1

Seminar 4: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)

♦ SALI pot fi caracterizate prin:- ecuaţia diferenţială- funcţia de sistem (fds) H(s)- funcţia pondere h(t)- răspunsul indicial a(t)- răspunsul la frecvenţă H(jω)

Răspunsul permanent al unui sistem analogic liniar şi invariant (SALI) la semnale armonice

1. Se consideră un SALI descris prin ecuaţia diferenţială: ( ) ( ) ( )dy t5y t x t

dt+ = .

(a) Să se determine răspunsul indicial, amplificarea şi defazajul sistemului.

(b) Să se determine răspunsul y(t) al sistemului dacă la IN se aplică: x( t ) cos 2t3π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

(a) – răspunsul în frecvenţă: ( ) ( )( ) ( ) j2 ftx t e

y tH f

x t π=

= or ( ) ( )( ) ( ) j tx t e

y tH

x t ωω

=

=

- amplificarea: ( ) ( )ω ω=A H .

- defazajul: ( ) ( ){ }ϕ ω ω= arg H .(b) – un SALI modifică amplitudinea şi faza iniţială al semnalului de la intrarea sa.

2. Se consideră un SALI descris prin răspunsul în frecvenţă: ( ) jH100 j

ωωπ ω

=+

. Să se determine răspunsul y(t)

al sistemului dacă la intrare se aplică: x( t ) 2 3cos 100 t 4cos 200 t2 4π ππ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Funcţii de transfer. Răspuns indicial, funcţia pondere.

1. Pentru circuitul din figură, să se determine:a) ecuaţia diferenţială ataşată circuitului.b) f.d.s. amplificare în tensiune ( ) ( ) ( )2 1H s U s / U s= .

c) răspunsul circuitului dacă la intrare se aplică semnalul ( )2te tγ− ⋅ .

d) funcţia pondere pentru R 1Ω= , L 4 H= şi 3C F4

= .

e) răspunsul indicial prin două metode.f) amplificarea şi defazajul.

SOLUŢIE:a) ( )inu t = intrarea, ( )outu t = ieşirea, ( ) ( ) ( )R L Ci t , i t , i t = mărimi interne- încercăm să obţinem o relaţie între u1 şi u2 :

R

uin uoutL C

iCiL

iR

2

R L C

in R 2

Lout

outC

i i i (1 )u R i u ( 2 )

diu L ( 3 )dt

dui C ( 3')

dt

= +⎧⎪ = ⋅ +⎪⎪⎨ = ⋅⎪⎪

= ⋅⎪⎩

; ( )

L R C

R in out

( 1 ) i i i1( 2 ) i u uR

⇒ = −

⇒ = ⋅ − ;

( ) outL in out

Lout

du1i u u CR dt( 3 ),( 3')

diu Ldt

⎧ = ⋅ − − ⋅⎪⎪⇒ ⎨⎪ = ⋅⎪⎩

( )2

out out out inout in out out2

du d u du dud 1 L Lu L u u C LC udt R dt R dt R dtdt⎛ ⎞⇒ = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

- s-a obţinut o ecuaţie diferenţială de ordin II, deci sistemul este de ordin II

b) Metoda I: se porneşte de la ecuaţia diferenţială → aplicăm transformata Laplace:( ){ } ( )

( ) ( )n

nn

u t U s

d u t s U s ( teorema derivării)dt

⎧ =⎪

⎧ ⎫⎨= ⋅⎨ ⎬⎪

⎩ ⎭⎩

L

L

Observaţie: În expresia generală a teoremei derivării mai apare un termen care reprezintă valoarea iniţială a originalului. Ocaracterizare a sistemului nu poate depinde de condiţiile iniţiale ale semnalelor, prin urmare în definirea f.d.s. presupunemcondiţii iniţiale nule.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2out out out in

00

2 22 2 0 0

L LLC s U s s U s U s s U sR R

11L ss LC2 sRCRH s L 1 1 s 2 s 1 Ls LC s 1 s sR RC LC 2R C

ωξωξω ω

ξ

⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒

⎧ =⎪⎪= = = ⇒ ⎨+ + ⎪+ + + + = ⋅⎪⎩

Metoda II: mai direct → se consideră schema operaţională (ca în c.c.):- divizor de tensiune

( ) ( ) ( )out in 2L C sLU s U s H s

R L C s RLC sL R⇒ = ⋅ ⇒ =

+ + +||||

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1out in out inU s H s U s u t H s U s−= ⋅ ⇒ = ⋅L

( ){ }

( ){ }

( ){ }t

t 11ts

1e ts

α

δ

γ

γα

−

=

=

⋅ =+

L

L

L

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2t 1in in out

4 s1 3u t e t U s u t1s 2 s s 2 s 13

γ− −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⎨ ⎬+ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

L

A B CU (s) = + +out 1 s + 2 s +1s +

3

R

Uin(s) Uout(s)L C

3

( ){ }

( ){ }

1 2A = s + U (s) -out3 51s -3

8B = s + 2 U (s) -out 5s -2

C = s +1 U (s) 2outs -1

lim

lim

lim

⋅ =

→

⋅ =→

⋅ =→

⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( )t / 3 2t tout

2 8u t e e 2 e t5 5

γ− − −⎛ ⎞⇒ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

d) ( ) ( ){ }1h t H s−=L ( ) { } ( ) ( )1 1 t t / 32 2 1 2h t h t 2 e e t1s 1 3 3s3

γ− − − −⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎪⇒ = + − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎨ ⎬+ ⎝ ⎠+⎪ ⎪⎩ ⎭

L L

e) Metoda I: ( ) ( )1 H sa ts

− ⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭L

( ) ( ) ( ) ( )1 1 t / 3 t

2

42 23a t a t 2 e 2 e t4 1 1 s 1s s s

3 3 3

γ− − − −

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⇒ = = − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

L L

Metoda II: ( ) ( )t t

/ 3

0 0

2a t h d 2 e e d3

τ ττ τ τ− −⎛ ⎞= = ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ( ) ( ) ( )t / 3 ta t 2 e 2 e tγ− −⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅

f) ( ) ( ) s jH j H s ωω == ( )2

4 j3H j 4 1j

3 3

ωω

ω ω⇒ =

− + +

- amplificarea: ( ) ( ) ( )2 2

2

43A H j A

1 43 3

ωω ω ω

ω ω

= ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- defazajul: ( ) ( ){ } ( ) { } { }24 4 1arg H j arg j arg j3 3 3

ϕ ω ω ϕ ω ω ω ω= ⇒ = − − + +

4

2

2

2

2

2

2

2

4arg j , 03 2

413arctg , pentru 01 3

1 4 3arg j43 3

13arctg , pentru 01 33

413arctg , pentru12 3

3( )4

13arctg , pentru12 33

πω ω

ωω

ωω ω

ωπ ω

ω

ωπ ωω

ϕ ωωπ ωω

⎧ ⎫ = ∀ >⎨ ⎬⎩ ⎭

⎧⎪

− >⎪⎪ −

⎧ ⎫ ⎪⎛ ⎞− + =⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎪

⎪ + − <⎪−⎪

⎩

⎧⎪

− <⎪⎪ −⎪⇒ = ⎨⎪⎪− − >⎪

−⎪⎩

2. Se consideră circuitul din Figura 2, unde 1 1 1R , L ,C3 4 2

= = = . Se cer:

(a) fdc ( ) ( )( )

01

U sH s

E s= şi ( ) ( )

( )L

2I s

H sE s

= .

(b) răspunsurile indiciale a1(t) şi a2(t) prin două metode.

SOLUŢIE: a) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0 1 12 2sL s RLC sL s 6sU s E s H s H s

1 s RLC sL R s 6s 8sL RsC

+ += ⋅ ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞ + + + ++ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0

L 2 1 2 2U s U s 4 s 61I s H s H s H s

sL sL E s sL s 6s 8

+= ⇒ = = ⋅ ⇒ =

⋅ + +

b) Metoda I:

( )( )

( )( ) { } { } ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2t 4t11 1

H s s 6 2 1a t a t 2 e e ts s 2 s 4 s 2 s 4

γ− − − − − −⎧ ⎫ +⎧ ⎫= = − ⇒ = ⋅ − ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + +⎩ ⎭ ⎩ ⎭=L L L L

( )( ) ( )

( )( ) { } ( ) ( ) ( )1 1 1 2t 4t22 2

4 s 6H s 3 4 1a t a t 3 4 e e ts s s 2 s 4 s s 2 s 4

γ− − − − −+⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪= = − + ⇒ = − ⋅ + ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + +⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭=L L L

Metoda II:

( ) ( ){ }( )( ) { } ( ) ( ) ( ) ( )

21 1 1 2t 4t

1 1 1s 6s 4 4h t H s 1 h t t 4 e 4 e t

s 2 s 4 s 2 s 4δ γ− − − − −⎧ ⎫+⎪ ⎪= = − + ⇒ = − ⋅ − ⋅ ⋅⎨ ⎬

+ + + +⎪ ⎪⎩ ⎭=L L L

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

2 4 2t 4t1 1 1

0 0

a t h d 4 e 4 e d a t 2 e e tτ ττ τ δ τ γ τ τ γ− − − −⎡ ⎤= = − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

Figura 2

L u0(t)

R

C

e(t)

5

Obs: am folosit: ( ) ( )t

0

d tδ τ τ γ=∫( ) ( ){ } ( )

( )( ) { } ( ) ( ) ( )1 1 1 2t 4t2 2 2

4 s 6 8 4h t H s h t 8 e 4 e ts 2 s 4 s 2 s 4

γ− − − − −+⎧ ⎫⎪ ⎪= = − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅⎨ ⎬+ + + +⎪ ⎪⎩ ⎭=L L L

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

2t 4t 2t 4t2 2 2

0 0

a t h d 8 e 4 e d a t 3 4 e e tτ τ τ γ− − − −= = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅∫ ∫

3. Pentru circuitul din Figura 3, determinaţi ( ) ( )( )

0V sH s

E s= .

SOLUŢIE: aplicăm teorema lui Millman în nodurile VM şi V0:

( )

0M

22 2 2 2 2

2 2 2 2M2 20

E sC V sCV

1 2 12sC s sR s R C 2sRC 1 RC R CH sE 3 1V sC s R C 3sRC 1 s sRV RC R C1sCR

⋅ + ⋅⎧ =⎪+⎪ + +⎪ + +⎪ ⇒ = =⎨

+ ⋅ + +⎪ + +=⎪

⎪ +⎪⎩

Figura 3

v0(t)C

e(t) R

C

R

VM