Aplicaţii ale derivatelor în studiul funcţiilor

1. Rolul primei derivate în studiul funcţiilor Teorema 1. a) Fie o funcţie monoton crescătoare pe un interval I. Dacă f este derivabilă pe I atunci

pe intervalul I.b) Fie o funcţie monoton descrescătoare pe un interval I. Dacă f este derivabilă pe I atunci pe intervalul I.Demonstraţie

a) Dacă f este monoton crescătoare pe I atunci avem şi

trecând la limită rezultă pe intrvalul I.

b) Dacă f este monoton descrescătoare pe I atunci avem

şi trecând la limită rezultă pe

intrvalul I.Teorema 2. Consecinţă a teoremei lui Lagrange.Fie o funcţie derivabilă pe un interval I . Dacă atunci funcţia f este monoton crescătoare pe I iar dacă atunci funcţia f este monoton descrescătoare pe I.DemonstraţieSă presupunem că şi .

Aplicând functiei f teorema creşterilor finite pe intervalul obţinem că :

astfel încât , (1)

Dar pentru că si , (2)Din relaţiile (1) şi (2) rezultă .Am demonstrat astfel că f monoton crescătoare pe intervalul .

Dacă şi . Aplicând functiei f teorema creşterilor finite pe

intervalul obţinem că :

astfel încât , (3)

Dar pentru că si , (4)Din relaţiile (3) şi (4) rezultă .Am demonstrat astfel că f monoton descrescătoare pe intervalul .

Aplicaţii.

1. Se consideră funcţia .a) Să se calculeze b) Să se rezolve ecuaţia c) Să se studieze monotonia funcţiei f.

Rezolvarea)

b)

c) Monotonia funcţie f rezultă din tabelul cu semnul primei derivate.

x- +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++

2. Se dă functia , unde m şi n sunt parametrii reali.a) Să se determine parametrii reali m şi n astfel încât b) Pentru m = 2 si n = 1 să se studieze monotonia functiei f.

Rezolvarea)

b). Pentru m = 2 şi n = 1 obţinem . Pentru a studia monotonia funcţiei f alcătuim un tabel cu semnul primei derivate.Ataşăm ecuaţia x = -3 sau x = -1.

x - -3 -1 ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + ++ + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + +

m

+ + + + + ++ + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + +

Din tabelul anterior rezultă că f este strict crescătoare pe intervalele (-,-3] şi [-1,+) şi este strict descrescătoare pe intervalul [-3, -1].

f(-3) f(-1)