7/29/2019 RMCS_nr.20

1/32

Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEULCARA-SEVERINNr. 20, An VIII-2007

Editura Neutrino

Reia, 2007 2

2006, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9767

Colectivul de redacie:

Bdescu OvidiuChi VasileDragomir AdrianaDragomir LucianDrghici MarianaDidraga IacobGdea VasilicaGolopena Marius

Moatr LaviniaPistril Ion DumitruStniloiu Nicolaeandru Mariusuoi Paul

2007, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0724224400www.neutrino.roE-mail: editura@neutrino.ro

7/29/2019 RMCS_nr.20

2/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

3/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

4/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

5/32

9

DacMeste un punct fixat ne propunem acum s determinm nfuncie de elemente cunoscute, expresia puterii sale fa de cerc.1) Int ( , )C O R

E suficient s considerm coarda (AB) ca fiind diametru i deci( ) 2 2( )( )A MB R OM R OM OM R= = + =

2) Ext ( , )C O R La fel, considermA , O , M , B coliniare (n aceast ordine)

astfel nct (AB) este diametru i astfel avem:( ) 2 2( )( )A MB R OM OM R OM R= = + = .Observaie: Dac ( , )C O R , ( ) 0M = , iar dacMTe

tangent la cerc, punctul Tfiind punctul de tangen, avem2 2 2 ( )T OM R M = = . Aadar pentru orice punctMdin planul

cercului ( , )C O R avem : ( ) 2 2OM R= .n continuare v propunem unele aplicaii (mai mult sau mai

puin cunoscute, unele deosebit de frumoase).Problema 1 . Dac ( , )C O R i ( , )C I r sunt cercul circumscris,respectiv cercul nscris pentru un triunghiABC, atunci

2 2

2 .OI R Rr = Soluie :Notm cu D intersecia bisectoarei(AI cu ( , )C O R , aadar D este

mijlocului arcului BC

. Deoarece( ) ( )

( )2

m B m Am IBD

+=

i

( ) ( )m IDB m C = , n BID obinem

0 ( ) ( )( ) 180 ( )2

m B m Am BID m C

+= =

00 ( ) ( ) 2 ( ) 180 ( )180 ( )

2 2

m B m A m C m C m IBD

+ + = = =

,

adic triunghiulBID este isoscel cu (1)BD ID= .

A

B

D

C

I

E

10

Folosind teorema sinusurilor n ABD avem i

2 sin (2)2

ABD R= .

Notm acum E piciorul perpendicularei din I pe CA i avem:IE r= , iar din AIE (dreptunghic n E), deducem:

(3)sin

2

rAI

A= .

Este suficient acum s scriem puterea punctuluiIfa de cercul( , )C O R i obinem: 2 2( )I IA ID OI R = = sau, folosind

relaiile (1) , (2) , (3) , 2 22 sin2sin

2

r AR R OIA =

, de unde

2 2 2 .OI R Rr = (Observaei: 2 0OI conduce acum la inegalitatea luiEuler,anume 2R r ).

Problema 2 . Dac ( , )C O R este cercul circumscris triunghiuluiABCn care G i H sunt centrul de greutate, respectiv ortocentrul,

iar , ,AB c BC a CA b= = = , atunci:2 2 2

2 2 .9

a b cOG R

+ +=

Soluie:Dac E este mijlocul lui (BC) i

{ }( , )AE C O R D = , putemscrie

2 2( )

2 ( )3 a

G OG R GA GD

m GE ED

= = =

= + =

2 1;

3 3a am m ED

= +

Folosind acum puterea punctului E fa de cercul ( , )C O R ,avem:

AE ED BE EC = ,adic2

4aa

m ED = i , revenind,ajungem la:

A

BCE

D

7/29/2019 RMCS_nr.20

6/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

7/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

8/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

9/32

17

DH FH

HE HG= i astfel DH HG FH HE = , adic H se afl pe axa

radical. Cum H AP , concluzia este imediat.

n ncheiere, v propunem s v ncercai puterile cu urmtoareaproblem:

Problem Fie ABC un triunghi i n interiorul su dou cercuri

1C i 2C care se intersecteaz n punctele M i N i astfel nct 1C

este tangent dreptelor AB i BC, iar 2C este tangent dreptelor AC i

BC. S se arate c dac M i N sunt situate pe mediana din A a

triunghiului ABC, atunci ABC este triunghi isoscel. Reciproca esteadevrat ?(Lucian Dragomir, G.M.)

Bibliografie:(1)D.M.Btineu-Giurgiu i colectiv Probleme date la

olimpiadele de matematic pentru licee (1950-1990), Ed.tiinific, Bucureti, 1992

(2)M.t.Botez Probleme de geometrie, Ed. Tehnic,Bucureti, 1976

(3)A.Coa i colectiv Matematic pentru clasa a IX a,manual, E.D.P. 1988

(4)A.Leonte,R.Trandafir Principii i structuri fundamentalen matematica de liceu, Ed. Albatros, Bucureti, 1986

(5)L.Nicolescu, V. Boskoff Probleme practice de geometrie,Ed. Tehnic, Bucureti, 1990

(6)Gazeta Matematic, colecia 1983- 2006

Lucian Dragomir, Grup colar Oelu-Roue-mail: lucidrag@yahoo.com

18

CONSIDERAII ASUPRA TEOREMEI LUI CEBEV

O teorem foarte interesant, dar mai puin folosit de ctre elevi,este Teorema lui Cebev. Ne propunem n acest articol s artamcum se poate extinde i s demonstrm o aplicaie a ei.

Lema 1. Pentru , 2n n avemn

Cn

nn

2

42

Lema 2. Dac nP este produsul numerelor prime mai mici sau

egale cu n, atunci nnP 4<

Lema 3. Dac p este un numr prim i2

/ 2 ; .r n rn

p C p n r ,

Corolar 1. Dac p este un numr prim i nnCp 2/ i ,2np

atunci p apare la puterea 1 n descompunerea n factori primi a luinnC2 .

Lema 4 . Fie p prim, nnn Cpnp 2/, atunci .3

2np

Lema 5. Dac p este un numr prim i npn 2< atunci nnCp 2/ .

Lema 6. Dac 2, nNn i notm ( )n numrul numerelorprime mai mici sau egale cu n, atunci ( ) ( ) .14;1

2

1 nnn

Toate aceste rezultate sunt demonstrate n W.Sierpinski - "Theoryof number " pag.132-135.Lema 7. Fie nR produsul numerelor prime p cu npn 2< ( 1=nR

dac nu exist astfel de numere). Atunci2

3

2

4n

n

n

nnR

>pentru

( ) .98 n

Demonstraie. Aplicnd lema 5 se obine c nnn CR 2/ de unde

rezult nnnn QRC =2 .

Dac p este prim i nnn CpQp 2// i aplicnd lema 3 rezult

.2np

7/29/2019 RMCS_nr.20

10/32

19

Dac npnp 2>> deci p apare la puterea 1 n dezvoltarea lui

.2nnC Iar nRp / din definiia lui nR rezult c p nu divide nQ . Deci

n descompunerea n factori primi a lui nQ apar doar numere primemai mici sau egale cu n.Dac p este prim nQpnp /; rezult

nnCp 2/ i cu lema 4 vom

avea c .3

2np

Fie ssn ppQ ...11= descompunerea n factori primi . Dintre

numerele { }n ,...,1 unele sunt egale cu 1 altele sunt mai mari ca 1.

S presupunem c 1>i pentru ti ,1= i 1=i pentru sti ,1+= ,

rezult c ( ) ( )ssn ppppQ s ...... 111

11 = unde sppp ,..., 21 sunt

numere distincte n3

2

Deci 32

3

221 4...n

ns pppp <

Corolar 1. Pentru .4,324 2nRn n >

Demonstraie. Pentru 3, kNk demonstrm prin inducie c

( ).164 + kk Dac [ ] [ ]( ) .6461644;3; xxxxRx xxx >>+

20

Deci nn

>64 pentru 2233 4432436

nnn

nnnn

>>

i cum 244234

nnnnn >> pentru .23124324

nn

nn >

Pentru2

723

23

18

23>=

n.

Atunci nnnnnnn

222

7

12 8,4 >=> . Deci

.244

84

4 223

212

24

>

>

>

nn

n

nn

nnn

nn

n

De unde .4 2nRn >

Corolar 2. Pentru orice ( ), kk astfel nct

( ) ( ) .,2 kk

n nnR >

Demonstratie . Pentrun

Rnn

n

n

nn

244324 1224 >> iar

( )

nk

n

nn 22

412deci ( ) k astfel nct

( )( ) kk

n

nnn

> ,122

412.

Teorema 1.Pentru orice 9n ntre n i 2n sunt cel putin 3 numere prime.Demonstraie. Pentru 324n rezult din corolarul 1, iar pentru

323n se verific direct.Teorema 2.Pentru orice numr natural 6n ntre n i 2n sunt cel putin 2numere prime.Teorema 3.(Cebev)Pentru orice numr natural 4n ntre n i 2n-2 exist cel putin unnumr prim.Teoremele 2 i 3 sunt consecine ale teoremei 1.

7/29/2019 RMCS_nr.20

11/32

21

Teorema 4.Pentru orice ( ), kk astfel nct ( ) kn ntre n i 2n

sunt cel putin k numere prime. Aceast teorem este o consecin acorolarului 2.Aplicaii.1. S se determine mulimea ( ){1 /A n a= impar cu

}nana /2 < ." Testul 2 " Tabra naional de matematic de la Sinaia 1984

2. Pentru 2n notm cu G grupul multiplicativ al elementelorinversabile din inelul n

a)S se demonstreze c dac pentru orice Gx avem xx =1 atunci numrul elementelor lui G este o putere a lui 2.

b)Determinai {2 / nA n= are proprietatea de la punctul }a

Olimpiada naional de matematic Trgovite 1987Punctul de la aplicaia 2 este cunoscut

Fie ( ){3 /A n p= impar }npnp /2 < . Se observ c

2313, AAAA ,

13AA n mod evident , iar pentru

23AA fie

2An i p prim np +

adic { }3,2,14

421 qq

npp .

Dar qppnnnn /52

65;/5572 212

7/29/2019 RMCS_nr.20

12/32

23

Asupra unei formule trigonometrice

Scopul prezentului articol este de a prezenta mai multe

metode, mai mult sau mai puin cunoscute, de obinere a uneibinecunoscute formule:

xyyxyx cossincossin)sin( +=+

Chiar dac n unele cazuri avem doar

2,0,

yx , considerm c

soluiile sunt instructive i utile n prezentarea lor la clas sau lacentrele de excelen .Trebuie astfel s menionm c ideea iniial

aparine elevilor care au dorit s cunoasci rezolvri dincolo demanuale.Soluia 1. (Experiena la catedr ne-a demonstrat c, din punct devedere metodic , aceast prim abordare e cea mai nimerit, chiardac identitatea e puternic condiionat)Considerm un dreptunghi ABCD i notm msurile unghiurilorformate de diagonala [AC] cu laturile adiacente cu x, respectiv y,

aadar

2

=+yx . Se obin imediat

:AC

BCx =sin ,

AC

ABx =cos ,

AC

DCy =sin ,

DC

ADy =cos , de unde

1cossincossin2

22

2=

+=

+=+

AC

ABBC

AC

DCABADBCxyyx =

sin( ).y= + Soluia 2. Considerm ABC untriunghi n care D este proiecia lui Ape BC .

b

DC

C

ADy ==cos i

c

BD

AB

BDx ==cos ; folosim acum

24

teorema proieciilori avem: xcyba coscos += .Cu teorema sinusurilori folosind faptul c Ayx =+ , avem:

xyRyxRAR cossin2cossin2sin2 += sauxyyxyx cossincossin)sin( +=+ .

(remarcm c e esenial n demonstraie ipoteza n care B, C suntvrfuri ale unui triunghi pentru ca B + C s fie unghi).

Soluia 3. Considerm triunghiul ABC n configuraia de mai jos:Egalitatea evidentA( ABC ) =A( ABD) +A( ACD )se poate scrie :

2 sin2 sin2 )sin( yhACxhAByxACAB

+

=+

de unde:

yBxCyAB

hx

AC

hyx sinsinsinsinsinsin)sin( +=+=+ sau

xyyxyx cossincossin)sin( +=+ .Soluia 4 . n cercul de diametru 2R fie coardele perpendiculare[AC] i [BD] care se intersecteaz n E. Folosind teorema

sinusurilor, cu notaiile din figur,avem: )sin(2 yxRBD += ( 1 )

BC

BEy =cos

yxRyBCBE cossin2cos ==( 2 )

Analog n triunghiul ADC : yRDC sin2 = i astfel:

DCDEx =cos xyRxDCDE cossin2cos == (3) .

Deoarece EDBEBD += , din (1), (2) i (3), avem:xyyxyx cossincossin)sin( +=+ .

Soluia 5. Considerm un triunghi ABC dreptunghic n A aa nctunghiul C are msura x; construim semidreapta (CT astfel camsura unghiului ACT s fie y; proiecia lui B pe CT este N, iar

7/29/2019 RMCS_nr.20

13/32

25

paralela prin A la BN intersecteaz CT n M, apoi proiectm A peBN n P. Se obine urmtoarea configuraie:

Avem succesiv:

sin( )

cos sin

BN BP PNx yBC BC

BP AM AB y AC y

BC BC

++ = = =

+ + = =

xyyxyx cossincossin)sin( +=+ .Soluia 6. O demonstraie clasic folosete teorema lui Ptolemeu;pentru uurarea calculelor ne vom permite s considerm n

patrulaterul inscriptibil ABCD dou unghiuri opuse drepte (deexemplu A i C ).Evident, [BD] este diametru i

avem:RBD 2= , xRCD cos2 = ,

xRBC sin2 = ,yRAB sin2 = ,yRAD cos2 = i

)sin(2 yxRAC += .E suficient s nlocuim totul n egalitatea lui Ptolemeu:

BDACCDABBCAD =+ .Soluia 7. Pe un cerc de raz Ri de centru A considerm puncteleM, N, P astfel nct unghiurile MAN i NAP s aib msurile 2x,respectiv 2y.

R

MN

R

MBx

2sin == ,

R

ABx =cos ,

RNPy2

sin = ,R

ACy =cos

iR

MPyx

2)sin( =+ ; n

triunghiul MNP avem c BCeste linie mijlocie, deci BCMN = 2 i astfel aceeai teorem alui Ptolemeu aplicat n patrulaterul inscriptibil ABNC conduce la:

26

ANBCBNACNCAB =+ RyxRyRyRyRxR +=+ )sin(sincossincos ;concluzia este imediat.

Soluia 8. Conform construciei norvegianului Wessel (uncartograf , nu matematicianspecialist), nmulirea a doivectori cu aceeai origine(identificai cu numerecomplexe corespunztoare)nseamn nmulirea modulelorlori adunarea argumentelor .

Aceast extraordinari aparent simpl observaie a lui Wessel setranscrie imediat astfel:

)sin()cos()sin)(cossin(cos yxiyxyiyxix +++=++ Nu avem dect s efectum nmulirile n membrul stng i segalm prile imaginare:

xyyxyx cossincossin)sin( +=+ . (Remarc: Folosind aici celebra formul a lui Euler:

xixeix

sincos += , avem imediat: )sin)(cossin(cos)sin()cos()( yiyxixeeyxiyxe iyixyxi ++==+++=+

continuarea fiind imediat).

Soluia 9. Rotaia de unghi este o transformare clasic n 2 ,definit prin R( x , y ) = )cossin,sincos( + yxyx

DeoareceR( 1 , 0 ) = )sin,(cos ,R( 0 , 1 ) = cos,sin( ),avem c matricea asociatacestei aplicaii liniare este

=

cossin

sincosA

Considerm punctul iniial M (1, 0) i rotim [OM] n senstrigonometric cu un unghi x, apoi cu un unghi y, aadar avem o

7/29/2019 RMCS_nr.20

14/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

15/32

29

U Robert Grup colarMoldova-Nou

Premiu SSMR

Clasa a 8 a

Cococeanu Oana coala nr.1 Oelu-Rou

Meniune

Meter Sergiu coala nr.2 Reia Premiu SSMRClasa a 9 a

Stniloiu Ovidiu Liceul Tata OanceaBoca

Premiul II

Lupu Vlad Grup colar Oelu-Rou

Meniune

Milcu Roxana Liceul PedagogicCaransebe Meniune

Cotoran Florin Liceul Traian VuiaReia

Premiu SSMR

Clasa a 10 aPrvu Ctlin Grup colar

Moldova-NouMeniune

Ungura Drago Grup colar Oelu-Rou

Meniune

Gurgu Caius Liceul .Traian DodaCaransebe

Premiu SSMR

Clasa a 11 aPopovici Doru Liceul Traian

Lalescu ReiaMeniune

Iacob Alexandra Liceul .Traian DodaCaransebe

Premiu SSMR

Clasa a 12 a

Mran Andrada Grup colarMoldova-Nou

Meniune

Cucu Silviu Liceul TraianLalescu Reia

Premiu SSMR

Prof. Drd. Paul Mihai uoi

30

Concursul Naional Interdisciplinar de MatematiciLimba Romn POEZIE , etapa judeean 2007

Ministerul Educaiei i Cercetrii a lansat,ncepnd cu acest an,un concurs pe ct de frumos i inedit (ne referim la subiecte), peatt de util , poate c mai ales pentru c s-a descoperit c elevii caretiu destul de mult matematic au carene de exprimare , au unvocabular destul de limitat.Ce este demn de subliniat este c judeulnostru a organizat ediia naional a acestei confruntri n premiern ara noastr , n perioada 4-6 mai 2007.

Pentru cei care nu prea tiu despre ce este vorba (i din pcate nu

sunt puini acetia), vom prezenta subiectele propuse la etapajudeean ale acestui concurs .

Clasa a 5-a , etapa judeean

1. Limba romn (15 puncte)Neagr ca un as de pic

Sub nemrginitul cer,

Singuratici mic

Ct o boab de piper. (G. Toprceanu Cioara)

n versurile de mai sus, poetul George Toprceanu descrie o pasre. Dac

vrei s primeti 15 puncte, citete cu atenie versurile de mai sus i

gsete rspunsul corect pentru urmtoarele sarcini de lucru:

1. Adaug fiecruia dintre primele trei versuri doar cte un singur cuvnt, n

aa fel nct s obii cte o propoziie (n total, trei propoziii) . (6 puncte)2. Scrie, pentru fiecare cuvnt adugat, ce parte de vorbire este i ce funcie

sintactic are acesta n enunul cruia i aparine. (6 puncte)

3. Construiete un singur enun n care s foloseti toate adjectivele propriu-

zise din text, care s ndeplineasc funcia sintactic de nume predicativ.

Atenie! Numele predicativ nu trebuie s fie multiplu. (3 puncte)

7/29/2019 RMCS_nr.20

16/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

17/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

18/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

19/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

20/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

21/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

22/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

23/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

24/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

25/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

26/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

27/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

28/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

29/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

30/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

31/32

7/29/2019 RMCS_nr.20

32/32