7/29/2019 RMCS_nr.17

1/40

Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEULCARA-SEVERIN

Nr. 17 , An VII-2006

Editura Neutrino

Reia, 2006 2

2006, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9767

Colectivul de redacie:

Bdescu OvidiuDragomir AdrianaDragomir LucianDidraga IacobGdea VasilicaGolopena MariusMoatr LaviniaPistril Ion Dumitru

Stniloiu Nicolaeandru Mariusuoi Paul

2006, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0724224400www.neutrino.roE-mail: editura@neutrino.ro

7/29/2019 RMCS_nr.17

2/40

3

CUPRINS

Gnduri despre matematici nu numai pag. 4 Interviu cu Anca Vcrescu ( Lucian Dragomir) .. pag. 5 Chestiuni metodice ,note matematice

Implementarea leciilor AEL n orele de matematic( Irina Avrmescu,Vasile Chi) pag. 8

Proiect de opional (Dorina Humia,Maria Mirulescu). pag.17

Distane ( Nicolae Stniloiu) . pag.22 Funcii periodice ( Mihai Monea ) .. pag.24

Tabra naional Poiana Pinului, 2006 pag.27Probleme rezolvate pag.28

Concursul revistei ediia a II-a (regulament , problemepropuse) .. pag.61

Rubrica rezolvitorilor .. pag.75

4

Gnduri despre matematic

i nu numai

n fiecare tiin este numai atta tiin adevrat ctmatematic conine.

Immanuel Kant Matematica reprezint n sine o colecie de rezultate care pot fiaplicate la orice.

Bertrand Russell

Geometria este arta de a judeca pe desene ru efectuate.Niels H. Abel Dac cineva vrea s determine cu un cuvnt laconic i expresivesena matematicii, acela trebuie s spun c este o tiin despreinfinit.

Henri Poincar Exist zerouri crora li se pare c sunt elipse i n jurul lor senvrte toat lumea.

S. E. Lec Eu am vzut cum odat Laplace a ncercat timp de o or srestabileasc lanul raionamentelor voalate de ctre el n "Mecanicacereasc" prin intermediul cuvintelor "este uor de vzut c".

Din amintirile unui elev de al lui Laplace Cu ct mai mult nvei, cu att mai mult tii.Cu ct mai mult tii, cu att mai mult uii.Dac mai mult uii, mai puin tii.Iar dac mai puin tii, mai puin uii.Dar dac mai puin uii, mai mult tii.Atunci pentru ce s nvei?

Din folclorul savanilor

Matematica seamn cu o moar: dac vei turna n ea boabe degru, vei obine fin, iar dac vei turna n ea tre, tre i veiobine.

A. Huxley

7/29/2019 RMCS_nr.17

3/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

4/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

5/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

6/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

7/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

8/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

9/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

10/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

11/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

12/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

13/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

14/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

15/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

16/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

17/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

18/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

19/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

20/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

21/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

22/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

23/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

24/40

47

db = ; analog se obine , din nyx

=+11

, ca = .

Aadar yx = ; cum 1+ yx , rmne posibil doar x = y .

Din x = y = 2x =b

a2 i

a

b

x

22= ( numere naturale ) , deducem c a

i b sunt divizori ai lui 2 i 0>b

a 1

1

1==

b

asau

2

1=

b

asau

21

2==

b

a, de unde obinem : x = y = 1 sau x = y = 2 sau x = y =

2

1

Variant : Ecuaia cu rdcinile x , y este

02

=+ mmntnt i impunem condiia ca discriminantul ei s fie ptratperfect . Sigur merge i aa .VIII.048 Determinai numerele naturale nenule n pentru care existnumerele naturale nxxx ,...,, 21 astfel nct

nxxx n 3...21 =+++ inxxx n 4

11

1...

11

21

+=+++ .

Prof. Lucian Dragomir , Oelu-Rou

Soluie: Folosind inegalitatea mediilor

=

= n

k k

n

kk

x

nn

x

1

1

1, egalitile din

enun conduc la

n

nn

n

n14

3+

de unde 31242 + nn ; cum n * ,

deducem { }3,2,1n .Acum trebuie s vedem dac exist kx ! .

Pentru n = 1 avem imediat 31 =x i 4

51

1=x , absurd .

Pentru n = 2 obinem

=+

=+

8

9116

21

21

xx

xx

; imediat avem c acest sistem nu

are soluii naturale ;

48

Pentru n = 3 , avem :

=++

=++

12

131119

321

321

xxx

xxx

Presupunem 321 xxx i vom avea 13x 3321 3xxxx ++ 31 x , 33 x

Se analizeaz rapid fiecare caz n parte ( 11 =x nu conduce la soluiinaturale pentru celelalte dou numere )Dac 21 =x , avem imediat 32 =x i 43 =x . Deci n = 3 , 4,3,2 321 === xxx ( sau permutri ) .

Clasa a IX-a

IX. 034 Fie ABC un triunghi i AD , BE , CF trei ceviene concurente n

P. Determinai poziia punctului P dac 122

2

2

2

2

2

=++PF

PC

PE

PB

PD

PA.

Prof. Nicolae Stniloiu , Boca

Soluie: Notm , ,PA PB PC

a b cPD PE PF

= = = i folosim

2 2 2 21 ( )3

a b c a b c+ + + + .Mai folosim relaiile lui Van Aubel i

2a b

b a+ .Deducem c cevienele sunt mediane,deci P este centrul de

greutate al triunghiului.IX.035 Demonstrai c :

22)(2 yxxyyx ++ , x , y +*Prof. Dumitru Btineu-Giurgiu , Bucureti

Soluie: Notm 2 2x

t x yt y

= = ;nlocuim i ,cu grij,vom ajunge la

inegalitatea echivalent 4( 1) 0t .IX.036 Demonstrai c un patrulater ABCD convex i ortodiagonal esteromb daci numai dac

ADBCCDABCDABBDAC +++=+ 2222 .Prof. Daniel Jinga , Piteti

Idee: Notm { }AC BD O = i ne jucm cu teorema lui Pitagora.

7/29/2019 RMCS_nr.17

25/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

26/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

27/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

28/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

29/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

30/40

59

XII.038 Artai c exist q astfel nct :

eqdxedxx xe

=+

2

0

sin

1

)arcsin(ln .

Prof. Aurel Doboan , LugojSoluie : Putem (i altfel) folosi egalitatea lui Young : dac

[ ] [ ]: , ,f a b c d e continui bijectiv , atunci

1( ) ( )b d

a c

f x dx f x dx bd ac+ = .E suficient s alegem

[ ]: 1, 0, , ( ) arcsin(ln )2f e f x x

= .XII.039 Care dintre urmtoarele numere este mai mare :

=3

2

arctgxdxa sau

=2

3

arctgxdxb ?

Gazeta Matematic

Soluie:3 2 3

2 2 2

a arctgxdx arctgxdx arctgxdx A B

= = + = + i2 2 2

3 3 2

b arctgxdx arctgxdx arctgxdx C A

= = + = + ;deoarece

0, 0arctgx x< < i 0, 0arctgx x> > .B C a b> >

XII. 040 Exist funcii f : continue care admit o primitiv F

pentru care 0))(( 3 =++ xxxFf , x ?Prof. Antoanela Buzescu , Caransebe

Soluie: Presupunem c exist funcii cu proprietatea din enun ;g : , xxxg = 3)( este strict cresctoare , deci injectiv

gFf = injectiv F injectiv ; F derivabil F continui deci

F este strict monoton fF =' pstreaz semn constant pe ( * )

02))1(( >=Ff i 02))1((

7/29/2019 RMCS_nr.17

31/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

32/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

33/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

34/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

35/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

36/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

37/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

38/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

39/40

7/29/2019 RMCS_nr.17

40/40