7/29/2019 RMCS_nr.14

1/28

Societatea de tiine matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEULCARA-SEVERIN

Nr.14, An V-2006

Editura Neutrino

Reia, 2006

2

2005, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9767

Colectivul de redacie:

Dragomir LucianBdescu Ovidiu

Stniloiu Nicolaeandru Marius

Moatr LaviniaPistril Ion Dumitru

uoi PaulGdea VasilicaDidraga Iacob

Golopena Marius

2006, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0724224400E-mail: editura@neutrino.ro

7/29/2019 RMCS_nr.14

2/28

3

CUPRINS

Sfaturinu neaprat matematice..........................................pag.4Note, articole

1) Metode de evaluare. Portofoliul.pag. 5

2) Principiul lui Dirichlet...........pag. 8

Probleme rezolvate din numrul 12 i 13 al revistei ..pag.13

Probleme propuse......pag.40

Rubrica rezolvitorilor....pag.51

4

Sfaturinu neaprat matematice1) Discut ca i cum ai ncerca s te asiguri pe tine

nc o dat c ai dreptate .

2) coala cea bun e aceea n care i colarul l nvape profesor.

3) S nvei pentru tine, dar stii pentru toi.4) Pentru ntrirea sufletului tu s fii mai

recunosctor celui ce te va nedrepti o dat dectcelui ce-i va da dreptate de o mie de ori.

5) Temnia cea mai de temut e aceea n care te simibine.

6) Talentul nentrebuinat e un furt.

7) Un om bun nu e acela care face bine, ci acela carese bucur c face bine.

(Nicolae Iorga)

7/29/2019 RMCS_nr.14

3/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

4/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

5/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

6/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

7/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

8/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

9/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

10/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

11/28

21

acest sistem , pentru x , y 5 i z 6 are soluie minim x = 55 ,

y = 49 , z = 45 n = 495 . VIII. 011. Fie a , b , c > 0 astfel nct abccba ++ . Demonstrai

c : 3222 abccba ++ .Cristinel Mortici , Trgovite

Soluia 1 : Presupunem prin absurd c 3222 abccba 33>abc ; pe de alt parte

avem : abccbacbacba

3

3

)(

3

2222222

0 avem :

21 +

++

++

=ac

a

cb

c

ba

bT

23

7/29/2019 RMCS_nr.14

12/28

23

Soluie : Folosim knkn 222 + , nk ,1= i avem :

2 )1(212 )1()1( 1122

+=

++

+

== nnnknknkkn knkn

k

n

k.

IX. 009. Considerm urmtorul tabel , n care linia n conine nnumere :

1

3 5

7 9 11.

Stabilii cte linii ale tabelului au primul element un numrraional .

* * *Soluie :Notm primul element din linia n cu na , deci

7,3,1 321 === aaa ; notm i 13,7,3,1 4321 ==== bbbb ,

etc. ; observm :

+=

+=

+=+=

)1(2

.....................

32

222

1

34

23

12

nbb

bb

bbbb

nn

Deducem imediat, prin nsumarea egalitilor

1)1(2

1 +=+= nnnnbbn 12

+= nnan .Deoarece n * , n(n-1) este ptrat perfect doar dac 1=n ( de

ce ? ) doar prima linie a tabelului are primul element raional .

IX. 010. Rezolvai ecuaia :{ }[ ]xx

x = .

Titu Andreescu , SUA

24

Soluie : [ ] ),1[)0,(0 xx .

Dac x [1, ), avem{ }

[ ]

1

x

xi , cum [ ] 1x , avem [ ] { } 1

7/29/2019 RMCS_nr.14

13/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

14/28

27

Soluie : Problema ni se pare deosebit de frumoasi nu foarteuoar : Considerm rotaia R1 de centru N i unghi DNB , apoirotaia R2 de centru M i unghi BMC . Deoarece

180DNB BMC+ =D

) ) , rezult c 12 RRR D= este o rotaie deunghi 180o , prin care D ajunge n C , deci al crei centru este K.Rezult c )(NRT= este simetricul lui N fa de K. Pe de alt

parte , NNR =)(1 , deci MT= ; analog KTKN= , deciKNMK . Msura cerut este deci 90o.

X. 006. Rezolvai ecuaia :22

6455 xxxx +=+ .

Nicolae Dragomir , Reia , juriu ON 2003

Soluie : Observm soluiile x = 0, x =1 i artm c sunt singurele.Pentru x < 0 nu avem soluii (de ce ?) , deci presupunem x > 0 . Fie

xxxf 56)( = ; dac x > 1 , atunci )()( 2 xfxf > , deoarece f este

strict cresctoare pe ( 0 , ) ; dar xxxx 4556 > ,x > 1,aadar ecuaia nu are soluii x > 1 . Dac x < 1, avem )()( 2 xfxf <

i , din xxxx 4556 , x > 1 ixxxx 4556 1 i concav pentru

x < 1 , aadar pentru a,b > 0 avem :xxx baba

+

+

22, x > 1 i

xxx baba

+

+22

, x < 1 , cu egalitate doar pentru a = b sau

x = 1 sau x = 0 . Lum acum a = 6 i b = 4 .

28

X. 007. Fie A o mulime de numere reale care satisfaceproprietile :

a ) 1 A ;

b ) 3 x A ( 1 + x ) A ;

c ) x A x A .

Demonstrai c : 3 A i 221+ A .

Lucian Dragomir , Oelu Rou

Soluie : AA = 211)2(

3 , deci AA 98)2(

3

A3)3( ; AA = 3)3( 822 sau A3 8

A+ 81)2(

.

X. 008. Artai c mulimea este infinit .* * *

Soluie: De exemplu , pentru orice n * , numrul 12 +n este

iraional ( 222 )1(1 +

7/29/2019 RMCS_nr.14

15/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

16/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

17/28

33

Soluie :Notm 06 = xt i inegalitatea propus devine :

04343)()1(4)(3 236326 += ttttPttt ;observm c

P ( 1 ) = 0 i deci : P( t ) = ( t 1 ) Q ( t ) , unde Q ( t ) se determinimediat i se observ Q ( 1 ) = 0 . Avem astfel :0)48963()1()( 2342 ++++= ttttttP , t > 0 .

XI. 010. Se consider matricea

=

ab

baA M2( ) .

Artai c urmtoarele afirmaii sunt echivalente :a ) n * astfel nct

2

IAn = ;

b ) q * astfel nct qbqa sin,cos == .Marcel ena , Bucureti

Soluie : a ) Trecem la determinani n 2IAn = i avem

1)(det =nA ; cum detA = a2 + b 2 0 , deducem 122 =+ ba , deci

t aa nct a = cost , b = sint

=

=

ktkt

ktktA

tt

ttA k

cossin

sincos

cossin

sincos ,k*i astfel

2IAn = cosnt = 1 , sinnt = 0 , adic pnt 2= ,p

qn

pt ==

2, q ;

b ) Dac qa cos= , qb sin= , q v

uq = , u ,

v

* sau chiar v

u

q 2

2=

=v

uv

u v

u

v

u

A2

2cos2

2sin 2

2sin

2

2cos

;se obine

imediat 22 IA v = ; notm n = 2v .

XI. 011. Care este numrul maxim de elemente ce pot fi alese dinmulimea { 1 , 2 , 3 , , 2005 } astfel nct oricare dou dintrecele alese s aib suma multiplu de 8 ?

* * *34

Soluie : Mulimea A = { 8k / k = 250,1 } satisface proprietatea dinenuni are 250 de elemente ; se pot gsi mai multe ? B = { 8k + 4 /

k = 250,0 } are 251 de elemente i dac x = 8k + 4 , y = 8m + 4 ,avem x + y = 8p A .

XI. 012. Un ptrat de latur 1 se mparte n 9 ptrate egale de latur

3

1i se haureaz ptratul din mijloc . Se repet procedeul ,

mprind cele 8 ptrate rmase n 9 ptrate fiecare , haurndu-septratele din mijloc. Artai c dup 1000 de astfel de pai aria

haurat nu depete 0,999.Cristinel Mortici , Trgovite

Soluie : Dup primul pas , suprafaa haurat are aria9

1

3

12

=

,

dup al doilea pas se obin 8 noi ptrate de latur9

1, suprafaa

haurat crescnd astfel cu2

9

8. Dup al treilea pas se adaug 82 =

64 noi ptrate de latur27

1, iar aria suprafeei haurate este

3

2

2 9

8

9

8

9

1++ ; continund procedeul , dup 1000 de pai aria este :

1000

1000

1000

999

3

2

2

9

81

9

81

9

81

9

1

9

8...

9

8

9

8

9

1

=

=++++ ; mai artm acum c

999,09

81

1000

>

, adic 1000

8

91000

>

;

ntr-adevr , avem :

10

1252502505005001000

24

9

2

3

16

25

4

5

64

81

8

9>

=

>

=

>

=

.

7/29/2019 RMCS_nr.14

18/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

19/28

37

f are limite laterale finite n orice x > 0 De asemenea , avem)()()2( xxfyfyx i , comutnd x cu y ,ajungem la:

)()()2( yyfxfxy )(2)()(2

xfyx

xyfxfy

xy

. Fixm pe

x i facem y x )()(lim)( xfyfxfxy

, adic f este

continu pe (0, ) . Ajungem acum la :y

xf

xy

xfyf

x

yf )()()()(

;

trecem la limit pentru y i avem :x

xf

xy

xfyfxy

)()()(lim =

f este derivabil pe (0, )i xfxf )()(' = . Deoarece 0)(

'

=

xxf

rezult axxf =)( , x > 0 ( a > 0 ) .

XII. 011. Dac F : e o primitiv a funciei f : ,2

)( xexf = , calculai :)(

)(lim

xf

xxFx

.

Mihai Blun , Bucureti

Soluie : 0)()('

>= xfxF , x F este strict cresctoare ,deci exist LxF

x=

)(lim . Pentru n aplicm teorema lui

Lagrange pe [ n , n + 1 ] funciei F )1,( + nncn cu

22

)()1( nc eenFnF =+

=

1

1

2

)(n

k

kenF

==

)(lim)(lim xFnFx

. Aplicnd teorema lui LHospital

succesiv de dou ori obinem21

)()(lim =

xfxxF

x.

XII. 012. Tangenta la graficul funciei f : , 2)( xxf = intersecteaz axele Ox i Oy n punctele A , respectiv B astfel nct

OBOA = . Determinai lungimea segmentului [AB].Concurs Rusia

38

Soluie: Dac punctul de tangen este T ),( vu , iar ),0(),0,( bBaA

ecuaia tangentei n T la parabol este uxvy

=+

2

Cum A i B sunt

pe tangent , avem :

=

=

vb

vua20; totodat 2uv = i OA = OB ba =

Din aceste patru egaliti obinem imediat c4

1=a i astfel

4

2

16

1

16

122 =+=+= baAB .

XII. 013. Gsii toate numerele ntregi n pentru care mulimea A= { 1 , 2 , 3 , , n } se poate scrie ca o reuniune de trei submulimidisjuncte astfel nct suma elementelor fiecreia s fie aceeai .

Concurs IranSoluie : Notm cu X , Y , Z cele trei submulimi i deci :

= ZYX , },...,2,1{ nZYX = i

6)1( +=== nnaaa ZaYaXa . Deducem acum : )1(/3 +nn , adic

n este congruent cu 0 , 2 , 3 sau 5 modulo 6 i n 5 . Pentru n = 5avem , de exemplu , }.5{},3,2{},4,1{ === ZYX Pentru n = 6avem : }4,3{},5,2{},6,1{ === ZYX , pentru n = 7 gsim

}8,4{},7,5{},6,3,2,1{ === ZYX . Presupunem c exist o partiieX,Y,Z cu proprietatea din enun pentru un n care satisface cindiiilegsite ,atunci pentru n + 6 gsim

},5,2{},6,1{ 11 ++=++= nnYYnnXX }4,3{1 ++= nnZZ care ( se verific ! ) satisface de asemenea

condiiile cerute. Folosim acum principiul induciei matematice iproblema se ncheie .

7/29/2019 RMCS_nr.14

20/28

39

XII. 014 Se consider o funcie f : ( 0 , ) ( 0 , ) cu

proprietatea cy

xfxyf

)()( = , x , y > 0 . Dac

f ( 500 ) = 3 , determinai f ( 600 ) .Concurs SUA

Soluie:

2

5

5

6)500(

)5

6500()600( ===

fff . Desigur , putem determina chiar

funcia dat : )500

1

500()1( = ff = 1500500/1

)500(

=

f

i apoi

0,1500)1(

)1()( >=== xxx

fxfxf .

40

Probleme propuse

Clasa a V-a

V. 015. Dac abcn = i cbam = , a > c > 0 , poate fi numruln m ptrat perfect ?

Gazeta Matematic

V. 016. Pe tabl sunt scrise patru numere . Se stabilete s sealeag oricare dou dintre ele , s li se adauge o unitate i s se scrienumerele obinute n locul celor alese iniial . E posibil ca prin maimulte astfel de operaii s se ajung de la numerele2 , 0 , 0 , 5 la patru numere egale ?

* * *V. 017. Acas la Drago au venit n vizit civa colegi de clas ;mama sa l-a ntrebat ci musafiri are, iar Drago a rspuns : Maimuli dect ase , dar Roxana , sora lui , i spune mamei : Maimuli dect cinci . tiind c un singur rspuns este corect , cimusafiri are Drago ?

* * *V. 018. O familie e format din trei persoane : tata , mama icopilul . Acum suma vrstelor lor este de 74 de ani , iar cu 10 ani nurm aceast sum era de 47 de ani . Ci ani are acum tatl daceste cu 28 de ani mai mare dect copilul ?

Concurs Rusia

V. 019. Gsii toate numerele de trei cifre care se micoreaz de 5

ori duptergerea primei cifre . * * *V. 020. La numerotarea paginilor unui manual s-au folosit 495cifre . Cte pagini are manualul ?

* * *

V. 021. Artai c nu exist n pentru care numrul5375 49 ++ += nnA este ptrat perfect .

* * *

7/29/2019 RMCS_nr.14

21/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

22/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

23/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

24/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

25/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

26/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

27/28

7/29/2019 RMCS_nr.14

28/28

55

Ambru Alin (Lic.Pedagogic Caransebe, prof.MirulescuMaria) - 41 p . Ionescu Alin (Lic.Pedagogic Caransebe , prof.Mirulescu

Maria) - 41 p . Bnescu Monica (Lic.Pedagogic Caransebe, prof.MirulescuMaria) - 42 p . Cornean Cristian (Lic.Pedagogic Caransebe, prof.MirulescuMaria) - 40 p . Dinc Alexandru (Lic.Pedagogic Caransebe, prof.MirulescuMaria) - 33 p Ghidan Alexandru ( Lic.Pedagogic Caransebe, prof.MirulescuMaria) - 33 ptefnu Paula(Lic.Traian Doda, prof. Moatr Lavinia) - 51p . Dochin Luminia (Lic.Traian Doda, prof. Moatr Lavinia) - 64p . Popovici Doru (Lic. Traian Lalescu Reia, prof. BdescuOvidiu) - 80 p Istodor Cosmin (Grup colar Oelu-Rou, prof.DragomirLucian) 129 p Iacob Alexandra (Lic.Traian Doda Caransebe, prof. DragomirDelia) 38 p

Clasa a XI-a

Loga Petru Florin (Lic.Traian Doda Caransebe, prof.DidragaIacob) - 38 p Ceauu Ioana (Lic.Traian Doda Caransebe, prof.DidragaIacob) - 70 p Iacubovschi Sergiu (Lic.Traian Doda Caransebe, prof.Didraga

Iacob) - 30 p

Clasa a XII-a

Andrei Corina Ionela (Lic.Traian Doda Caransebe, prof.DidragaIacob) - 47 p Teianu Iuliana (Grup colar Oelu-Rou, prof.DragomirLucian) -31 p

56

Sandu Ionela Alexandra (Grup colar Oelu-Rou,prof.Dragomir Lucian) -31 p Stancu Alexandra (Grup colar Oelu-Rou, prof.Dragomir

Lucian) -20 p Chiriac Anca (Grup colar Oelu-Rou, prof. DragomirLucian) -15 p Enache Alexandra (Grup colar Oelu-Rou,prof.DragomirLucian) -18 p Ionescu Maria(Grup colar Oelu-Rou, prof. DragomirLucian) -21 p Viescu Daniela (Grup colar Oelu-Rou, prof.DragomirLucian) -33 p Chi Vasile Andrei(Lic. Traian Lalescu Reia, prof. BdescuOvidiu) - 67 p

V DORIM UN AN NOU PLIN DE SATISFACII,MULT SNTATE I UN PIC DE NOROC.