7/29/2019 RMCS_nr.13

1/24

Societatea de tiine matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DEMATEMATIC

A ELEVILORI PROFESORILOR

DIN JUDEULCARA-SEVERIN

Nr.13, An IV-2005

Editura NeutrinoReia, 2005

2

2005, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeul Cara-Severin

I.S.S.N. 1584-9767

Colectivul de redacie:

Dragomir LucianBdescu Ovidiu

Stniloiu Nicolaeandru Marius

Moatr LaviniaPistril Ion Dumitruuoi Paul

Gdea VasilicaDidraga Iacob

Golopena Marius

2005, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateTel/ fax: 0255-224411Mobil: 0724224400E-mail: editura@neutrino.ro

7/29/2019 RMCS_nr.13

2/24

3

CUPRINS

Regulile grupului............................................................................pag. 4

Note, articole

1) Aplicaii n fizic a unor inegaliti algebrice...pag. 5

2) Funcii numerice total aditive...pag. 7

3) Congruena modulo n ..pag. 12

Din viaa SSMR

1)Efortul depus se transform sigur n bucuria mplinirilorpag. 15

2)Despre Gazeta Matematic...pag. 21

3)Cursurile de perfecionare pentru profesorii de matematic,

Buteni 2005....................................................................................pag. 23

Concursuri i olimpiade

1) Calendarul olimpiadei de matematic, 2005-2006pag.24

2) Programa olimpiadei locale..pag. 24

Probleme rezolvate din numrul 12 al revistei .....pag. 26

Probleme propusepag. 37

Rubrica rezolvitorilor..pag. 46

4

Regulile grupului

1)Toat lumea este egal.

2)Trei minute pentru a nchide o

conversaie care nu duce nicieri!

3)Fii punctuali!

4)O persoan vorbete o dat.

5)Criticm ideea, nu persoana!

6)Interacionai!

7)Vorbii n nume propriu!

8)Ce se discutn sal, rmne n sal!

9)Suntei responsabil de propriul proces

de nvare!

10)Respectai diferenele!

11)Toat lumea contribuie.

12)Fii pregtii s iertai.

13)Asigurai-v c ai neles.

14)Facei greeli!15)Colaborai!Distrai-v!

7/29/2019 RMCS_nr.13

3/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

4/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

5/24

9

*)( Nn =nd

nd|

)( (adic =nd

nidd|

)()( ),

rezult ci indicatorul lui Euler este multiplicativ.

Pentru funcii numerice total multiplicative sunt cunoscute maimulte caracterizri. Caracterizarea lui L.Carlitz ([1]) este dat de

Teorema 2. Funcia numeric f este total multiplicativ dacinumai dac are loc

=nd d

nfdfnnfNn

|

).()()()(*)(

O functie numeric f se numete total aditiv dac).()()(*),( nfmfnmfNnm +=

Restricia funciei logaritm la mulimea numerelor naturale nenule este ofuncie numeric total aditiv. Funcia numrul divizorilor primi luat cuordinul lor de multiplicitate:

,)(*)( 21 skkknNn +++= "

unde skskk pppn ...21 21= este descompunerea n factori primi a lui n, este

de asemenea o funcie numeric total aditiv. O caracterizare analoag cua lui Carlitz ale acestor funcii (vezi i [3]) este dat de teorema de mai jospentru care prezentm o demonstraie elementar asemntoare cudemonstraia teoremei lui Carlitz prezentat n [5] n sensul c folosim inoi n demonstraie inducia dup(n).

Teorema 3. Funcia numeric feste total aditiv daci numaidac are loc

=

nd

dfnnfNn|

).(2)()(*)(

Demonstraie. Presupunem c f este o funcie numeric totaladitiv. Atunci oricare ar fi nN*,

=+===nd nd nd nd

dfd

nfdfdidnfdidnfnnf

| | | |

00 ).(2)]()([)()()()()()(

S presupunem acum c f este o funcie numeric ce verificegalitatea din enun. Pentru n numr prim, avem:

)]()1([22)( nffnf +=

10

i deci .0)1( =f Demonstrm c f este total aditiv prin inducie dup(n), artnd c

)()()()((*) 2211 ss pfkpfkpfknf +++= "

dac skskk

pppn "21 21 = este descompunerea n factori primi a lui n.Pentru (n)=1 egalitatea este evidenta. Pentru (n)=2 putem avea n=p1p2sau n= 21p . n primul caz avem:

)]()()()1([24)( 21 nfpfpffnf +++=

de unde rezult ).()()( 21 pfpfnf +=

In al doilea caz: )]()()1([23)( 1 nfpffnf ++=

si deci ).(2)( 1pfnf =

Presupunem acum c(n)>2 i c egalitatea (*) are loc pentru orice m cu

(m)

7/29/2019 RMCS_nr.13

6/24

11

( skskk

pppn "21 21 = fiind descompunerea n factori primi a lui n),

numrul divizorilor lui n ce conin ca factor pe itip este

=

+s

ij

jjk

1

)1( .

Rezult:

1 1

[1 2 ( 1)] ( 1) [ ( 1) 1]s s

i i j i jj j

j i j i

k k k k = =

= + + + + + + = "

1( 1) ( 1)2

s

i ij i

j

j i

k k k k=

+ +

Folosind acum egalitatea din enunt:

| | ; 1,

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )d n d n d n

f n n f d f n f d

= = + ,

obinem

== =

=

=

++

=

= s

i

iii

s

i

s

i

s

ij

j

ijii

ii pfkpfn

kkkk

pfn

nf11 1

1

)()(2)(

2)1()1(

)(2)(

2)(

i deci f este total aditiv.Bibliografie

[1] L.Carlitz, Problem E 2268, American Math.Monthly, 78 (1971),p.1140.[2] C.Nstasescu, G.Andrei, M.ena, I.Otranu, Probleme de structurialgebrice, Ed.Academiei, (1988), Problema S26, p.166.[3] E.Schwab, E.D.Schwab, Total additivity and summation function,Seminar Arghiriade Nr.25 (1990).[4] I.M.Vinogradov, Bazele teoriei numerelor, Ed.Academiei, (1954).[5] RMT (Revista Matematica a elevilor din Timisoara), XX Nr.1,2(1989), Problema 6159, p.79.

12

Congruena modulo nProf. Ovidiu Bdescu,Liceul Traian Lalescu, Reia

n perioada 20 august 5 septembrie 2005, prin amabilitateadomnului profesor Saraolu Constantin, am participat la o tabr depregtire a concursurilorcolare n localitatea Voineasa. Cu o programbine stabilit, una din temele pe care a trebuit s o prezint elevilor declasa a VII-a a fost Congruena modulo n. Fiind o tem pentru careaveam 4 ore, coninutul ei a fost foarte bogat, ns aici prezint doar osintez absolut obligatorie oricrui elev de clasa a VII-a ce aspir la unloc frunta la olimpiada de matematic.

Definiia 1: Fie ,a b] . Spunem c a i b sunt congruenta

modulo n ( )m a b . Notm acest lucru prin ( )moda m n

Exemplu: ( ) ( ) ( )2 5 mod3 ,2 5 mod 3 ,2 5 mod 1 dar

2 ( )5 mod 5

Observaia 1: 1) dac ( )0,m m a b a b= =

2) ( ) ( ), mod1 i mod 1a b a b a b ]

3) pentru ( )0, fie restul :m r a m = , atunci

( ) ( )mod i moda r m a r m m

Exemplu: Cum restul lui 25:7 este egal cu 4, atunci

( ) ( )25 4 mod7 ,25 3 mod7

Observaia 2: ( )moda b m ai b dau acelai rest la

mprirea prin mProprieti:

1) ( )moda a m - reflexivitate

2) ( ) ( )mod moda b m b a m

3) ( )moda b m i ( ) ( )mod modb c m a c b d m + + i

( )moda c b d m

7/29/2019 RMCS_nr.13

7/24

13

4) ( )moda b m i *n ` ( )modn na b m

5) ( )moda b m i ( )modc ac bc m ]

6) ( )moda b m i ( )modc ac bc mc ] 7) ( )modac bc m i ( ) ( ), 1 modc m a b m=

8) ( )modac bc mc i ( )0 modc a b m

9) ( ) ( ) ( )1 2mod , mod ,..., mod ka b m a b m a b m i dac

[ ] ( )1 2, ,..., modkm m m a b M

10) ( ) ( )mod , moda b m d m a b d

11) ( )mod , ,a b m d a d m d b

12) ( )mod ,a b m m a m b Demonstraia acestor afirmaii e triviali o lsm n seama cititorului.Teorema lui Fermat: Dac , prim ia p] p nu l divide pe a, atunci

( )1 1 modpa p Demonstraie:

Fie ( )1 2 1, 2 ,..., 1pa M a M p a= = = multipli lui a. Evident c

iM # , 1, 1i p = . Fie 1 2 1, ,..., pr r r resturile lui :i p

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1mod , mod ,..., mod *p pM r p M r p M r p Artm prin reducere la absurd c resturile obinute mai sus sunt distincte.Presupunem c , undei jr r i j= . Vom avea

( ) ( )i jp M M p a i j . Cum /p a (p nu l divide pe a) vom avea

( ).p i j Cum i j p i j < = , fals aadar resturile sunt distincte.

Obinem deci c { }1 2 1, ,..., 1,2,..., 1pr r r p . nmulind congrueneledin relaia (*) obinem

( )1 2 1 1 2 1... ... modp pM M M r r r p ( ) ( ) ( )11 ! 1 ! modpp a p p

( )1 1 modpa p

Aplicaia 1: Artai c 40 403 2A = este divizibil cu 5.

(G.M. 5/1987) 14

Soluie:Folosind teorema lui Fermat obinem

( ) ( ) ( ) ( )

104 4 10 403 1 mod5 3 1 mod5 3 1 mod5 . Analog

( ) ( )40 40 402 1 mod5 3 2 0 mod5 ( )40 405 3 2 Aplicaia 2: Aflai cel mai mic numr natural kastfel nct numrul

19 14194 125A k= + s fie divizibil cu 7(G.M. 1/1988)

Soluie:

Deoarece ( ) ( )19 19194 7 27 5 194 5 mod 7 194 5 mod 7= +

Din Teorema lui Fermat avem( ) ( ) ( )6 18 195 1 mod7 5 1 mod7 5 5 mod7

( )19194 5 mod7 . Procednd n mod analog obinem

( )14125 1 mod7 , deci

( ) ( )19 14 19 14194 125 5 mod7 94 125 2 0 mod7 + 2k =

Aplicaia 3: Demonstrai c ecuaia 2 7 19x y z+ = nu are soluii n

mulimea numerelor naturale

Soluie:

Deoarece ( ) ( )19 1 mod3 19 1 mod3z (*)

( ) ( ) ( )2 7 1 1 mod3xx y + + , obinem, pentrux par c

( )2 7 2 mod3x y+ , iar pentrux impar c ( )2 7 0 mod3x y+ , care,mpreun cu relaia (*) conduce la contradicie.Bibliografie:1.Vasile erdean, Ovidiu Pop, - Matematica pentru grupele deperforman, clasa a VII-a, Editura Dacia Educaional, Cluj Napoca, 20042. Artur Bluc, Ioan icalo Algebr, Probleme semnificative pentruconcursurile colare, Botoani, 19953. Colecia Gazeta Matematic, 1995-2000

7/29/2019 RMCS_nr.13

8/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

9/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

10/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

11/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

12/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

13/24

25

Clasa a VIII a :

Algebr

1 ) Numere reale

Geometrie

1) Cercul1 ) Inegaliti geometrice3) Construcii cu rigla i compasul4) Probleme elementare de loc geometric5)Relaii ntre puncte , drepte , plane

Clasa a IX a :Algebr :1 ) Mulimi i elemente de logic matematic2 ) iruri3 ) Funcii , funcia de gradul nti

Geometrie

1 ) Vectori n plan

2) Coliniaritate, concuren, paralelism n plan-calcul vectorial

Clasa a X a :

1)Numere reale ( puteri , radicali , logaritmi )2)Funcii i ecuaii , Mulimea numerelor complexe

Clasa a XI a :

Matrice , Determinani , Matrice inversabil , rang , iruri

Clasa a XII a :1) Legi de compoziie2) Grupuri3) Primitive

26

Rezolvri ale unorprobleme din RMCS nr. 12

( Facem de la nceput sublinierea c , deocamdat , problemele la

care nu s-a primit nici o soluie nu vor fi prezentate n acest numr ,oferind astfel elevilor posibilitatea de a mai cuta , de a mai ncerca ; nule vom uita ns , pentru c unele sunt chiar interesante i instructive ,aadar mai ncercai i trimitei soluii la cele care nu apar aici ! )

V. 001 Fcnd observaii meteorologice mai multe zile consecutive , s-aconstatat c n nici una din zile nu a plouat i dimineaa i dup-amiaza. Aplouat n total 9 zile i n-a plouat n 7 diminei i 6 dup-amieze. Cte zileau durat observaiile ? n cte zile a plouat dimineaa i n cte zile dup-

amiaza ?American Mathematical Monthly

Soluie : Au fost 2)976(2

1=+ zile cnd nu a plouat nici

dimineaa i nici dup-amiaza , deci perioada studiat a fost de1129 =+ zile .

V.002 ntr-o gleat avem 12 litri de lapte . Cum se poate mpri aceast

cantitate de lapte n dou pri egale folosind dou vase de 5 i 7 litri ?KvantSoluie : Facem succesiv urmtoarele operaii :Numruloperaiei

V 12 7V 5V

0 12 0 01 7 0 52 7 5 03 2 5 5

4 2 7 35 9 0 36 9 3 07 4 3 58 4 7 19 11 0 110 11 1 011 6 1 512 6 6 0

7/29/2019 RMCS_nr.13

14/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

15/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

16/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

17/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

18/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

19/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

20/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

21/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

22/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

23/24

7/29/2019 RMCS_nr.13

24/24