7/29/2019 RMCS_nr.13
1/24
Societatea de tiine matematice din RomniaFiliala Cara-Severin
REVISTA DEMATEMATIC
A ELEVILORI PROFESORILOR
DIN JUDEULCARA-SEVERIN
Nr.13, An IV-2005
Editura NeutrinoReia, 2005
2
2005, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeul Cara-Severin
I.S.S.N. 1584-9767
Colectivul de redacie:
Dragomir LucianBdescu Ovidiu
Stniloiu Nicolaeandru Marius
Moatr LaviniaPistril Ion Dumitruuoi Paul
Gdea VasilicaDidraga Iacob
Golopena Marius
2005, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateTel/ fax: 0255-224411Mobil: 0724224400E-mail: [email protected]
7/29/2019 RMCS_nr.13
2/24
3
CUPRINS
Regulile grupului............................................................................pag. 4
Note, articole
1) Aplicaii n fizic a unor inegaliti algebrice...pag. 5
2) Funcii numerice total aditive...pag. 7
3) Congruena modulo n ..pag. 12
Din viaa SSMR
1)Efortul depus se transform sigur n bucuria mplinirilorpag. 15
2)Despre Gazeta Matematic...pag. 21
3)Cursurile de perfecionare pentru profesorii de matematic,
Buteni 2005....................................................................................pag. 23
Concursuri i olimpiade
1) Calendarul olimpiadei de matematic, 2005-2006pag.24
2) Programa olimpiadei locale..pag. 24
Probleme rezolvate din numrul 12 al revistei .....pag. 26
Probleme propusepag. 37
Rubrica rezolvitorilor..pag. 46
4
Regulile grupului
1)Toat lumea este egal.
2)Trei minute pentru a nchide o
conversaie care nu duce nicieri!
3)Fii punctuali!
4)O persoan vorbete o dat.
5)Criticm ideea, nu persoana!
6)Interacionai!
7)Vorbii n nume propriu!
8)Ce se discutn sal, rmne n sal!
9)Suntei responsabil de propriul proces
de nvare!
10)Respectai diferenele!
11)Toat lumea contribuie.
12)Fii pregtii s iertai.
13)Asigurai-v c ai neles.
14)Facei greeli!15)Colaborai!Distrai-v!
7/29/2019 RMCS_nr.13
3/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
4/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
5/24
9
*)( Nn =nd
nd|
)( (adic =nd
nidd|
)()( ),
rezult ci indicatorul lui Euler este multiplicativ.
Pentru funcii numerice total multiplicative sunt cunoscute maimulte caracterizri. Caracterizarea lui L.Carlitz ([1]) este dat de
Teorema 2. Funcia numeric f este total multiplicativ dacinumai dac are loc
=nd d
nfdfnnfNn
|
).()()()(*)(
O functie numeric f se numete total aditiv dac).()()(*),( nfmfnmfNnm +=
Restricia funciei logaritm la mulimea numerelor naturale nenule este ofuncie numeric total aditiv. Funcia numrul divizorilor primi luat cuordinul lor de multiplicitate:
,)(*)( 21 skkknNn +++= "
unde skskk pppn ...21 21= este descompunerea n factori primi a lui n, este
de asemenea o funcie numeric total aditiv. O caracterizare analoag cua lui Carlitz ale acestor funcii (vezi i [3]) este dat de teorema de mai jospentru care prezentm o demonstraie elementar asemntoare cudemonstraia teoremei lui Carlitz prezentat n [5] n sensul c folosim inoi n demonstraie inducia dup(n).
Teorema 3. Funcia numeric feste total aditiv daci numaidac are loc
=
nd
dfnnfNn|
).(2)()(*)(
Demonstraie. Presupunem c f este o funcie numeric totaladitiv. Atunci oricare ar fi nN*,
=+===nd nd nd nd
dfd
nfdfdidnfdidnfnnf
| | | |
00 ).(2)]()([)()()()()()(
S presupunem acum c f este o funcie numeric ce verificegalitatea din enun. Pentru n numr prim, avem:
)]()1([22)( nffnf +=
10
i deci .0)1( =f Demonstrm c f este total aditiv prin inducie dup(n), artnd c
)()()()((*) 2211 ss pfkpfkpfknf +++= "
dac skskk
pppn "21 21 = este descompunerea n factori primi a lui n.Pentru (n)=1 egalitatea este evidenta. Pentru (n)=2 putem avea n=p1p2sau n= 21p . n primul caz avem:
)]()()()1([24)( 21 nfpfpffnf +++=
de unde rezult ).()()( 21 pfpfnf +=
In al doilea caz: )]()()1([23)( 1 nfpffnf ++=
si deci ).(2)( 1pfnf =
Presupunem acum c(n)>2 i c egalitatea (*) are loc pentru orice m cu
(m)
7/29/2019 RMCS_nr.13
6/24
11
( skskk
pppn "21 21 = fiind descompunerea n factori primi a lui n),
numrul divizorilor lui n ce conin ca factor pe itip este
=
+s
ij
jjk
1
)1( .
Rezult:
1 1
[1 2 ( 1)] ( 1) [ ( 1) 1]s s
i i j i jj j
j i j i
k k k k = =
= + + + + + + = "
1( 1) ( 1)2
s
i ij i
j
j i
k k k k=
+ +
Folosind acum egalitatea din enunt:
| | ; 1,
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )d n d n d n
f n n f d f n f d
= = + ,
obinem
== =
=
=
++
=
= s
i
iii
s
i
s
i
s
ij
j
ijii
ii pfkpfn
kkkk
pfn
nf11 1
1
)()(2)(
2)1()1(
)(2)(
2)(
i deci f este total aditiv.Bibliografie
[1] L.Carlitz, Problem E 2268, American Math.Monthly, 78 (1971),p.1140.[2] C.Nstasescu, G.Andrei, M.ena, I.Otranu, Probleme de structurialgebrice, Ed.Academiei, (1988), Problema S26, p.166.[3] E.Schwab, E.D.Schwab, Total additivity and summation function,Seminar Arghiriade Nr.25 (1990).[4] I.M.Vinogradov, Bazele teoriei numerelor, Ed.Academiei, (1954).[5] RMT (Revista Matematica a elevilor din Timisoara), XX Nr.1,2(1989), Problema 6159, p.79.
12
Congruena modulo nProf. Ovidiu Bdescu,Liceul Traian Lalescu, Reia
n perioada 20 august 5 septembrie 2005, prin amabilitateadomnului profesor Saraolu Constantin, am participat la o tabr depregtire a concursurilorcolare n localitatea Voineasa. Cu o programbine stabilit, una din temele pe care a trebuit s o prezint elevilor declasa a VII-a a fost Congruena modulo n. Fiind o tem pentru careaveam 4 ore, coninutul ei a fost foarte bogat, ns aici prezint doar osintez absolut obligatorie oricrui elev de clasa a VII-a ce aspir la unloc frunta la olimpiada de matematic.
Definiia 1: Fie ,a b] . Spunem c a i b sunt congruenta
modulo n ( )m a b . Notm acest lucru prin ( )moda m n
Exemplu: ( ) ( ) ( )2 5 mod3 ,2 5 mod 3 ,2 5 mod 1 dar
2 ( )5 mod 5
Observaia 1: 1) dac ( )0,m m a b a b= =
2) ( ) ( ), mod1 i mod 1a b a b a b ]
3) pentru ( )0, fie restul :m r a m = , atunci
( ) ( )mod i moda r m a r m m
Exemplu: Cum restul lui 25:7 este egal cu 4, atunci
( ) ( )25 4 mod7 ,25 3 mod7
Observaia 2: ( )moda b m ai b dau acelai rest la
mprirea prin mProprieti:
1) ( )moda a m - reflexivitate
2) ( ) ( )mod moda b m b a m
3) ( )moda b m i ( ) ( )mod modb c m a c b d m + + i
( )moda c b d m
7/29/2019 RMCS_nr.13
7/24
13
4) ( )moda b m i *n ` ( )modn na b m
5) ( )moda b m i ( )modc ac bc m ]
6) ( )moda b m i ( )modc ac bc mc ] 7) ( )modac bc m i ( ) ( ), 1 modc m a b m=
8) ( )modac bc mc i ( )0 modc a b m
9) ( ) ( ) ( )1 2mod , mod ,..., mod ka b m a b m a b m i dac
[ ] ( )1 2, ,..., modkm m m a b M
10) ( ) ( )mod , moda b m d m a b d
11) ( )mod , ,a b m d a d m d b
12) ( )mod ,a b m m a m b Demonstraia acestor afirmaii e triviali o lsm n seama cititorului.Teorema lui Fermat: Dac , prim ia p] p nu l divide pe a, atunci
( )1 1 modpa p Demonstraie:
Fie ( )1 2 1, 2 ,..., 1pa M a M p a= = = multipli lui a. Evident c
iM # , 1, 1i p = . Fie 1 2 1, ,..., pr r r resturile lui :i p
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1mod , mod ,..., mod *p pM r p M r p M r p Artm prin reducere la absurd c resturile obinute mai sus sunt distincte.Presupunem c , undei jr r i j= . Vom avea
( ) ( )i jp M M p a i j . Cum /p a (p nu l divide pe a) vom avea
( ).p i j Cum i j p i j < = , fals aadar resturile sunt distincte.
Obinem deci c { }1 2 1, ,..., 1,2,..., 1pr r r p . nmulind congrueneledin relaia (*) obinem
( )1 2 1 1 2 1... ... modp pM M M r r r p ( ) ( ) ( )11 ! 1 ! modpp a p p
( )1 1 modpa p
Aplicaia 1: Artai c 40 403 2A = este divizibil cu 5.
(G.M. 5/1987) 14
Soluie:Folosind teorema lui Fermat obinem
( ) ( ) ( ) ( )
104 4 10 403 1 mod5 3 1 mod5 3 1 mod5 . Analog
( ) ( )40 40 402 1 mod5 3 2 0 mod5 ( )40 405 3 2 Aplicaia 2: Aflai cel mai mic numr natural kastfel nct numrul
19 14194 125A k= + s fie divizibil cu 7(G.M. 1/1988)
Soluie:
Deoarece ( ) ( )19 19194 7 27 5 194 5 mod 7 194 5 mod 7= +
Din Teorema lui Fermat avem( ) ( ) ( )6 18 195 1 mod7 5 1 mod7 5 5 mod7
( )19194 5 mod7 . Procednd n mod analog obinem
( )14125 1 mod7 , deci
( ) ( )19 14 19 14194 125 5 mod7 94 125 2 0 mod7 + 2k =
Aplicaia 3: Demonstrai c ecuaia 2 7 19x y z+ = nu are soluii n
mulimea numerelor naturale
Soluie:
Deoarece ( ) ( )19 1 mod3 19 1 mod3z (*)
( ) ( ) ( )2 7 1 1 mod3xx y + + , obinem, pentrux par c
( )2 7 2 mod3x y+ , iar pentrux impar c ( )2 7 0 mod3x y+ , care,mpreun cu relaia (*) conduce la contradicie.Bibliografie:1.Vasile erdean, Ovidiu Pop, - Matematica pentru grupele deperforman, clasa a VII-a, Editura Dacia Educaional, Cluj Napoca, 20042. Artur Bluc, Ioan icalo Algebr, Probleme semnificative pentruconcursurile colare, Botoani, 19953. Colecia Gazeta Matematic, 1995-2000
7/29/2019 RMCS_nr.13
8/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
9/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
10/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
11/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
12/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
13/24
25
Clasa a VIII a :
Algebr
1 ) Numere reale
Geometrie
1) Cercul1 ) Inegaliti geometrice3) Construcii cu rigla i compasul4) Probleme elementare de loc geometric5)Relaii ntre puncte , drepte , plane
Clasa a IX a :Algebr :1 ) Mulimi i elemente de logic matematic2 ) iruri3 ) Funcii , funcia de gradul nti
Geometrie
1 ) Vectori n plan
2) Coliniaritate, concuren, paralelism n plan-calcul vectorial
Clasa a X a :
1)Numere reale ( puteri , radicali , logaritmi )2)Funcii i ecuaii , Mulimea numerelor complexe
Clasa a XI a :
Matrice , Determinani , Matrice inversabil , rang , iruri
Clasa a XII a :1) Legi de compoziie2) Grupuri3) Primitive
26
Rezolvri ale unorprobleme din RMCS nr. 12
( Facem de la nceput sublinierea c , deocamdat , problemele la
care nu s-a primit nici o soluie nu vor fi prezentate n acest numr ,oferind astfel elevilor posibilitatea de a mai cuta , de a mai ncerca ; nule vom uita ns , pentru c unele sunt chiar interesante i instructive ,aadar mai ncercai i trimitei soluii la cele care nu apar aici ! )
V. 001 Fcnd observaii meteorologice mai multe zile consecutive , s-aconstatat c n nici una din zile nu a plouat i dimineaa i dup-amiaza. Aplouat n total 9 zile i n-a plouat n 7 diminei i 6 dup-amieze. Cte zileau durat observaiile ? n cte zile a plouat dimineaa i n cte zile dup-
amiaza ?American Mathematical Monthly
Soluie : Au fost 2)976(2
1=+ zile cnd nu a plouat nici
dimineaa i nici dup-amiaza , deci perioada studiat a fost de1129 =+ zile .
V.002 ntr-o gleat avem 12 litri de lapte . Cum se poate mpri aceast
cantitate de lapte n dou pri egale folosind dou vase de 5 i 7 litri ?KvantSoluie : Facem succesiv urmtoarele operaii :Numruloperaiei
V 12 7V 5V
0 12 0 01 7 0 52 7 5 03 2 5 5
4 2 7 35 9 0 36 9 3 07 4 3 58 4 7 19 11 0 110 11 1 011 6 1 512 6 6 0
7/29/2019 RMCS_nr.13
14/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
15/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
16/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
17/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
18/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
19/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
20/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
21/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
22/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
23/24
7/29/2019 RMCS_nr.13
24/24