UNIVERSITATEA ”POLITEHNICA” din BUCURESTIFACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICADEPARTAMENTUL DE ELECTROTEHNICA

Nr. Decizie Senat 230 din 21.07.2014

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

MODELAREA ELECTROMAGNETICA MULTIPROCESOR AMICROSISTEMELOR INTEGRATE

MULTIPROCESSOR ELECTROMAGNETIC MODELLING OFINTEGRATED MICROSYSTEMS

Autor: Ing. Cosmin-Bogdan DITAConducator de doctorat: Prof. dr. ing. Daniel IOAN

BUCURESTI2013

Cuprins

Cuprins i

1 Introducere 11.1 Incadrare ın contextul actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Structura lucrarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate 32.1 Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMS . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Modelarea electromagnetica a dispozitivelor microelectromecanice 73.1 Modelarea conceptuala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Modelarea matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Modelarea numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Reducerea ordinului modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Modelarea electromagnetica globala a circuitelor integrate 164.1 Partitionarea pe domenii (DP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Modele MEEC globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Reducerea timpului de calcul ın modelarea electromagnetica 205.1 Metode iterative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Metode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Modelarea MEMS si validarea experimentala a rezultatelor 256.1 Modelarea comutatorului Qian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Modelare electromagnetica 3D cu DP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Metoda de partitionare pe blocuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.4 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 Concluzii finale si contributii originale 35

Bibliografie 38

i

Capitolul 1

Introducere

1.1 Incadrare ın contextul actual

Progresul tehnologic actual poate fi atribuit ın mare masura evolutiei micro- si na-noelectronicii, ale carei aplicatii au avut un impact deosebit asupra societatii umane. Estegeneral acceptat ca inventarea tranzistorului a fost un pas tehnologic de o importanta de-osebita, ınsa nu functionarea propriu-zisa a tranzistorului ci posibilitatea integrarii lui lanivel microscopic, ieftin si rapid, a determinat succesul acestuia si implicit al microtehno-logiei, ın stransa legatura cu folosirea siliciului, reprezentand, de altfel, startul RevolutieiInformationale, a carei scanteie a fost aprinsa ın 1959 de celebra prezentare a lui RichardFeynman, ”There′s Plenty of Room at the Bottom”. Aceste noi circuite microelectronice,denumite ulterior circuite integrate (IC), au dovedit o crestere dramatica ın performanta,functionalitate si stabilitate, la costuri reduse de fabricatie. Succesul microelectronicii aextins perspectiva cercetatorilor catre alte domenii ale fizicii, principiul miniaturizarii sitehnologia de microfabricatie patentata de circuitele integrate, fiind ulterior aplicata pentruobtinerea unor dispozitive mecanice, luand astfel nastere sistemele microelectromecanice(MEMS).

Circuitele integrate si-au demonstrat aplicabilitatea ın practic toate domeniile tehnicesi nu numai, ınsa, dupa decenii de progrese, industria microcipurilor se afla ın criza, da-torita, ın primul rand, scaderii performantelor energetice. De aceea pentru fabricarea unuicomutator competitiv trebuie cautata o tehnologie mai eficienta din punct de vedere ener-getic pentru semnalele de ınalta frecventa, iar o solutie viabila este tehnologia sistemelormicroelectromecanice(MEMS).

Sistemele microelectromecanice (MEMS)[1], sunt ın esenta, dispozitive ın miniaturacare prin intermediul unei miscari mecanice modifica comportamentul unui circuit electric.Dispozitivele RF MEMS sunt microfabricate la temperaturi mici prin procese compatibilecu tehnologia de fabricare a circuitelor integrate pe baza de GaAs, SiGe si post-CMOS,mostenind astfel unele din avantajele tehnologice ale acestora, facand posibila integrareacomutatoarelor RF MEMS ın circuite microelectronice ın vederea obtinerii unor dispozitivecomplete cu un scop bine determinat.

Datorita tehnologiei de fabricatie, variatia ın timp a fluxului magnetic nu mai poate fineglijata iar ”pierderile” de curent de-a lungul liniilor de transmisie duc la violarea ipoteze-lor teoriei clasice, existand deci efecte ale campului electromagnetic pe care teoria clasica

1

1. Introducere

a circuitelor electrice nu le ia ın considerare. Din aceste motive, folosirea unor metodede modelare care au la baza rezolvarea campului electromagnetic, pornind de la ecuatiilelui Maxwell, este o necesitate. Proiectarea circuitelor integrate de ınalta frecventa si radiofrecventa au ın vedere efectele campului electromagnetic, ınsa astfel de metode pot con-duce la modele cu milioane de grade de libertate. De aceea este absolut necesara aplicareaunor tehnici de reducere a ordinului modelelor extrase[2], modelul initial fiind transformatıntr-un model echivalent, de ordin redus si cu o comportare similara pe la terminale. Totusi,deoarece efortul de calcul poate fi extrem de mare, o alternativa fezabila o constitue folosi-rea architecturilor multi-core (CPU) si many-core (GPGPU) dar si a unor algoritmi paralelisi distribuiti pentru reducerea timpului de extragere a acestor modele de ordin redus.

Teza de doctorat ”Modelarea electromagnetica multiprocesor a microsistemelorintegrate” are ca principal obiectiv modelarea electromagnetica a circuitelor integrate deradio-frecventa convertibile cu comutatoare microelectromecanice, propunandu-si mode-larea fenomenelor electromagnetice de RF din circuitele integrate care contin comutatoareMEMS. Se urmareste extragerea modelelor de ordin redus pentru aceste comutatoare, mo-delarea fenomenelor de cuplaj magnetic ıntre componentele circuitului dar si cu mediulexterior, precum si folosirea eficienta a sistemelor multiprocesor cu arhitectura ierarhica,cluster, CPU multi-nucleu.

1.2 Structura lucrariiTeza este alcatuita din sapte capitole. Primul capitol contine justificarea studierii

sistemelor micromecanice, prezentand importanta si actualitatea temei de cercetare, dome-niile de utilizare, notiuni generale legate de modelare si proiectare precum si structura tezeide doctorat.

Capitolul doi prezinta metode, tehnici si tehnologii actuale de modelare a sistemelormicromecanice, punand accent pe modelarea multifizica si pachetele software utilizate,incluzand, de asemenea, si principalele metode numerice folosite ın prezent.

Capitolul trei descrie procesul de modelare a sistemelor micromecanice, prezentandtoate etapele procesului de modelare, modelarea multifizica, modelarea matematica si mo-delarea numerica.

In capitolul patru sunt prezentate strategii si tehnici de reducere a complexitatii siste-mului ınainte de reducerea ordinului modelului prin tratarea ın mod independent a partilordisjuncte ale problemei, rezolvarea lor si reasamblarea sistemului pentru a obtine ın finalun model complet.

In capitolul cinci sunt prezentate principalele metode si tehnici folosite pentru ex-tragerea eficienta, corecta si rapida a unor modele valide pentru sistemele micromecanice.Sunt prezentate tehnici de reducere a efortului de calcul, metode de reducere a ordinuluimodelelor, avantajele folosirii arhitecturilor multiprocesor precum si a unor algoritmilorparaleli si distribuiti corespunzatori.

Capitolul sase contine studii de caz pentru o suita de probleme reale si de test pentruvalidarea rezultatelor cercetarii.

Ultimul capitol concluzioneaza acest studiu si descrie contributiile originale aduse deautor.

Anexele si bibliografia consultata ıncheie teza de doctorat.

2

Capitolul 2

Stadiul actual al modelarii sistemelormicromecanice integrate

Dezvoltarea RF MEMS este sustinuta prin contributiile stiintifice sub forma de arti-cole si carti, aparute ca urmare a interesului crescand pentru sistemele microelectromeca-nice, de-a lungul anilor fiind finantate o serie de proiecte pe aceasta tema, printre care siproiectul Advanced Tools and Methodologies for the Multiphysics Modelling and Simu-lation of RF MEMS Switches (ToMEMS), un parteneriat LMN/UPB-IMT, al carui coor-donator este dna.prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Ca membru al echipei ToMEMS, autorulprezentei teze, a participat la redactarea unor rapoarte de cercetare printre care si ”Sta-diul actual al cercetarii ın domeniul RF MEMS”, care trece ın revista rezultatele cercetariisi inventariaza resursele disponibile ın domeniul sistemelor microelectromecanice pana ınprezent.

2.1 Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMS

Ca si ın cazul circuitelor integrate tipice, modelarea sistemelor microelectromecanicefolosind instrumentele clasice de analiza a circuitelor electrice nu ofera cea mai ınalta pre-cizie. Diferenta majora ıntre teoria circuitelor electrice si teoria campului electromagneticeste complexitatea solutiei, ın primul caz solutia este un numar finit de semnale, pe cand ıncazul teoriei campului, solutia apartine unui spatiu infinit dimensional, datorita diferenteidintre spatiului fizic inerent celor doua teorii, R3 euclidian, respectiv topologic, ın cazul te-oriei circuitelor electrice, unde conexiunile dintre elementele de circuit sunt fundamentale,si nu distanta sau unghiul dintre ele.

Modele de circuit cu parametri concentrati

In regim static ecuatiile lui Kirchhoff sunt consecinte exacte ale ecuatiilor lui Ma-xwell, daca dielectricul din jurul conductoarelor este un izolator perfect. In cazul regimu-rilor variabile acest lucru nu mai este valabil, ın general ecuatiile lui Kirchhoff sunt doaraproximari ale ecuatiilor lui Maxwell, fiind necesare ipoteze simplificatoare pentru a re-duce sistemul cu derivate partiale (PDE) la un sistem de ecuatii ordinare (ODE), conditiilesuficiente pentru validarea ecuatiilor lui Kirchhoff ın circuite cu parametri concentrati.Mai

3

2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

mult, spre deosebire de metodele folosite ın analiza circuitelor electrice, pornind de laecuatiile lui Kirchhoff, care au nevoie de iteratii suplimentare pentru a obtine un cip func-tional, instrumentele care se bazeaza pe ecuatiile lui Maxwell pot obtine solutia dupa osingura iteratie [3].

Modele de circuit cu linii de transmisie

Pentru prezenta teza de doctorat, modelarea electromagnetica a RF MEMS are ınvedere, ın special, comutatoarele capacitive ın configuratie sunt, fiind tipul constructiv celmai promitator din punct de vedere al performantelor ınregistrate ın functionarea circuite-lor integrate de RF. In consecinta, acest tip de comutatoare sunt de regula folosite pentrucomutarea semnalelor de RF pentru liniile de transmisie, de regula, microstrip sau CPW(coplanar-waveguide) (Fig. 2.1a). G. Rebeiz face o descriere substantiala a comutatoarelorcapacitive RF MEMS ([1]), stabilind, printre altele, cadrul fizic de camp electromagneticce le caracterizeaza.

(a) Dispozitiv tipic cu comutator capacitiv RF MEMS(b) Circuitul echivalent

Figura 2.1: Descrierea comutatoarelor capacitive RF MEMS.

Modelele de circuit ıntalnite ın literatura de specialitate ın acest moment, pentru co-mutatoarele capacitive actionate electrostatic, sunt bazate pe un model hidbrid TL1/RLC/TL2,ıntregul dispozitiv fiind modelat ca doua portiuni ale liniei de transmisie plus circuitulRLC al comutatorului (Fig.2.1b), ın doua variante, corespunzatoare pozitiei actionat (Cd)si neactionat (Cu). Comportarea comutatorului este dominata de capacitatea acestuia pen-tru valori ale frecventei de functionare sub frecventa de rezonanta, si de inductivitatea luipeste aceasta valoare. Valoarea capacitatii condensatorului plan-paralel al comutatoruluiın stare neactionata (Cu), pozitia Up a membranei, luand ın considerare si grosimea td astratului dielectric, este:

Cpp =ε0wW

g +tdεr

. (2.1)

Simularile numerice din literatura arata ca influenta efectului de capat nu poate fineglijata, capacitatea comutatorului ın pozitia Up fiind deci suma celor doua capacitati,Cu = Cpp + Cf . Calculul capacitatii ın stare actionata, pozitia Down a membranei, nuimpune dificultati majore, datorita tehnologiei de fabricatie a comutatoarele capacitive RFMEMS, grosimea stratului dielectric nu poate fi mai mica de 0.1µm, iar limita superioara

4

2.1. Modelarea compacta a comutatoarelor RF-MEMS

este aproximativ 0.15µm din considerente de proiectare,

Cd =ε0εrwW

td. (2.2)

Rezistenta si inductivitatea comutatorului prezinta interes doar ın stare actionata, ınsacalcularea lor impune dificultati datorita efectelor inerente campului electromagnetic lafrecvente RF, ınsa ele pot fi extrase din solutia numerica de camp.

In [4] sunt prezentate aspectele fundamentale si dificultatile simularii dispozitive-lor MEMS, autorii identificand trei mari provocari: necesitatea dezvoltarii unor algoritmirapizi pentru calculul fortelor superficiale datorate campului electrostatic sau fluidului ex-terior, cuplarea cat mai eficienta a ecuatiilor diferitelor domenii ale fizicii care sa permitacaracterizarea corecta si rapida a performantelor dispozitivelor precum si identificare unormetode robuste de modelare folosind tehnici de reducere a ordinului modelelor, identificataın literatura de specialitate ca ”nonlinear macromodeling” sau ”nonlinear model order re-duction”.

Modele compacte extrase din solutii numerice

Llamas et at. ilustreaza procesul de modelare electromagnetica 3D si 2.5D a comu-tatoarelor capacitive (Fig. 2.2) si rezistive RF MEMS. Avand deja disponibile masuratorilesi folosind un proces heuristic, Llamas stabileste valorile de referinta pentru parametri ca-racteristici comutatorului, sub forma unui circuit echivalent hibrid TL1/RLC/TL2, la careadauga doua condensatoare ce corespund ancorarii. Abordarea lui Llamas este una pur ingi-nereasca, un exemplu clasic de modelare inginereasca, o ımbinare de cunostinte, experientasi intuitie, precum si folosirea eficienta a tehnicilor si tehnologiilor de calcul disponibile,pentru obtinerea unei model compact ce poate descrie cu o acuratete suficienta comporta-mentul dispozitivului analizat.

Figura 2.2: Llamas, comutator capacitiv RF MEMS si circuitul echivalent.

Un proces asemnanator, 2.5D si 3D, este prezentat de Verma and Singh, pentru uncomutator fara ancore capacitive, procesul de modelare fiind ın ıntregime electromagne-tic, toti parametirii fiind calculati prin simulari, rezultatele fiind destul de apropiate de cele

5

2. Stadiul actual al modelarii sistemelor micromecanice integrate

obtinute de Llamas. Kynack et at. realizeaza o modelare directa, electromagnetica, cu FEMın Sonnet, ınsa ca si Llamas, recunoaste dificultatea modelarii zonei de contact a comutato-rului capacitiv, solutia lui fiind extragerea modelului cu parametri concentrati pentru zonade contact. J. Qian descrie modelarea pur electromagnetica a unui comutator capacitiv detip punte folosit pentru comutarea semnalului de RF pentru o linie CPW. Folosind metodaelementului finit sub ANSYS-HFSS se determina parametri S iar apoi se extrage un modelparametric pentru pozitia neactionata a membranei. Un an mai tarziu autorii revin asu-pra problemei reusind sa extraga un model complet pentru cele doua stari ale membraneiprecum si validarea implementarii comparativ cu masuratorile[5].

Similar cu modelele pentru tranzistoarele din circuitele integrate, proiectarea unordispozitive RF MEMS cu performante superioare necesita modele de circuit compacte,ınsa dat fiind frecventele ınalte la care aceste comutatoare trebuie sa functioneze, modelerobuste nu pot fi obtinute decat din simularea acestor dispozitive folosind metode numericeadecvate prin discretizarea ecuatiilor campului electromagnetic, cu alte cuvinte modelareacu parametri distribuiti ai RF MEMS.

2.2 Concluzii

In acest capitol a fost prezentat stadiul actual ın modelarea sistemelor microelectro-mecanice, fiind realizata o analiza critica a technicilor de simulare si modelare folosite ınprezent pentru proiectarea MEMS. Capitolul ıncepe prin identificare formelor constructivesi a domeniului de utilizare precum si clasificarea dispozitivelor electromecanice si posibi-litatea combinarii lor. Dintre acestea, comutatoarele MEMS capacitive actionate electros-tatic sunt cele mai utilizate ın aplicatiile de RF datorita performatelor excelente la frecventeınalte si a consumului redus de energie.

Au fost de asemenea prezentate modele echivalente de circuit pentru comutatoareleRF MEMS ıntalnite ın literatura de specialitate, precum si numeroasele abordari menitepentru a ımbunatati performantele lor. Datorita naturii multifizice si a frecventelor ınaltepentru care sunt proiectate, concluzia este ca modelarea RF MEMS necesita modele mairobuste care trebuie sa ia ın considerare diferitele efecte ale campului electromagnetic, si nunumai. Pentru aceasta este nevoie de o analiza eficienta prin implementarea unor metodenumerice adecvate, de o modelare cu parametri distribuiti, din care se poate obtine solutiacu o acuratete ridicata.

In final au fost trecute ın revista principalele programe de modelare folosite ın simu-larea si proiectare RF MEMS, cu avantajele si dezavantajele fiecaruia.

Necesitatea de a realiza simulari foarte rapide este evidenta, mai ales ın cazul op-timizarilor si proiectarii optimale. Acestea nu pot fi obtinute decat utilizand sisteme decalcul multiprocesor.

6

Capitolul 3

Modelarea electromagnetica adispozitivelor microelectromecanice

Modelarea electromagnetica a comutatoarelor MEMS si a circuitelor integrate deradio frecventa presupune o analiza corecta a tuturor efectelor campului electromagneticde ınalta frecventa, efectul pelicular, ıntarzierea la propagare a undei electromagnetice,curenti turbionari, pentru aceasta fiind necesara rezolvarea numerica a ecuatiilor lui Ma-xwell, urmarindu-se ın final obtinerea unui circuit electric echivalent, de ordin redus, carepoate descrie corect comportarea dispozitivului studiat. Procesul de modelare este o etapaesentiala pentru proiectarea unor dispozitive performante, ınsa pentru a obtine modele cuo acuratete buna, cu efort minim si o complexitate rezonabila, trebuie ınteles fiecare aspectal modelarii.

3.1 Modelarea conceptuala

Procesul modelari ıncepe cu modelarea conceptuala ce cuprinde modelarea geome-trica si modelarea fizica, fiind analizata structura obiectului modelat si a principiului saude functionare, precum si adoptarea ipoteze simplificatoare ca idealizari permise ale geo-metriei reale a dispozitivului modelat.

Modelarea geometrica

In aceasta etapa se analizeaza obiectului studiat, se identifica forma si dimensiuneafiecarei parti componente si materialul din care este alcatuita, precum si relatiile dintre aces-tea, muchii si puncte de contact, totul pentru a avea o imagine clara asupra geometriei dis-pozitivului studiat. Folosind instrumente geometrice computationale adecvate, toate acesteinformatii sunt traduse ın format electronic, constituind de altfel primul pas ın implementa-rea unei probleme ın orice software de modelare si simulare. Pentru dispozitivele analizateın aceasta lucrare, geometria dispozitivului va fi considerata de tip Manhattan(doar cu un-ghiuri drepte), deci atat domeniul de calcul cat si subdomeniile omogene sunt de formaparalelipipedica. In consecinta, elementele geometrice care au muchii ce nu sunt paralelecu axele de coordonate, vor fi descrise ca o reuniune de paralelipipede dreptunghice ıntrepte.

7

3. Modelarea electromagnetica a dispozitivelor microelectromecanice

Modelarea fizica

Aceasta etapa porneste de la descrierea calitativa a fenomenelor fizice fundamen-tale pe care se bazeaza functionarea dispozitivului modelat, identificandu-se principalelefenomene si marimi fizice ce descriu starea si interactiunile obiectului respectiv, dar sirelatiile cauzale ıntre acestea. Modelarea electromagnetica corecta presupune adoptareaunor ipoteze simplificatoare, deoarece, chiar si ın regim general variabil, ecuatiile lui Ma-xwell, ın forma lor generala, pot fi folosite pentru tratarea unor efecte si fenomene ce nusunt esentiale ın analiza electromagnetica. Deoarece scopul este determinarea modeluluielectromagnetic de RF, ne intereseaza comportarea dispozitivului ın starile stabile, si nuın regimul tranzitoriu dinamic de la o stare la alta, deci vom considera corpurile imobile.Important este sa se identifice marimile ce caracterizeaza comportarea materialelor din di-feritele parti componente ale dispozitivului si care sunt sursele campului electromagnetic.

Modelarea a microsistemelor integrate la frecvente ınalte este o problema complexade natura electromagnetica, ın care, pentru obtinerea unei solutii precise, trebuie modelatecorect o serie de efecte ale campului electromagnetic, multe dintre ele datore frecventelormari de functionare: efectul pelicular ın conductoare, efectul de proximitate ıntre con-ductoare, efectul de propagare de-a lungul conductorului, efecte capacitive, inductive siinductive, precum si pierderile prin curenti turbionari ın substrat si radiatia electromagne-tica spre exterior. Problema fundamentala a analizei campului electromagnetic folosindecuatiile lui Maxwell ın medii ın miscare este o problema foarte complicata, cu caractercuplat electro-magnetic-mecanic.

Daca consideram medii imobile(v = 0) si se iau ın considerare atat curentii de de-plasare cat si fenomenul de inductie electromagnetica, atunci spunem ca regimul campuluielectromagnetic este cel general variabil, regim ce caracterizeaza legatura foarte stransadintre componentele campului electromagnetic, deoarece variatia ın timp a campului elec-tric determina aparitia unui camp magnetic si invers, aceasta generare reciproca si succesivaexplicand fenomenul de propagare a undelor electromagnetice. Regimul general variabileste folosit pentru probleme ın care campul electric si magnetic trebuie analizate simultan.Celelalte regimuri ale campului electromagnetic se obtin prin particularizarea regimuluigeneral variabil, adoptand anumite ipoteze simplificatoare.

Fabricarea microsistemelor integrate presupune depunerea unor straturi din materialediferite, numarul de straturi precum si materialul folosit difera de la un proiect la altul, deobicei fiind folosite Si, SiO2, Si3N4, Aer. Discontinuitatea proprietatilor de materialdetermina de obicei si discontinuitatea marimilor caracteristice campului, de aceea estenecesara impunerea unor conditii de interfata care sa asigure conservarea componentelorcampului, astfel curentul poate exista doar ın conductoare, densitatea de curent pe suprafataJs este zero, si ρs este neglijabila, iar daca suprafata nu este electrizata atunci componentanormala a inductiei are salt nul, sau altfel spus se conserva.

O astfel de problema ıncepe cu descrierea datelor de intrare: domeniul problemei,proprietatile de material si sursele de camp. Domeniul de calcul este un domeniu marginitΩ ∈ R3, de forma paralelipipedica ce corespunde cu realitatea fizica a microsistemelorintegrate, fiind construit prin reuniunea subdomeniilor omogene(”caramizi” sau bricks), iarpe frontiera ∂Ω a domeniului sunt specificate n suprafete disjuncte Sk, k = 1, 2, . . . , nce corespund terminalelor reale ale dispozitivului modelat, domeniul fiind omogen peportiuni atunci ın medii liniare, omogene si izotrope sunt suficiente trei constante reale

8

3.2. Modelarea matematica

si nenegative(εj, µj, σj), j = 1, . . . , s.Deoarece componentele dispozitivului sunt pasive si sunt realizate din materiale li-

neare, nu exista surse interne de camp, iar cum ın regim armonic ın timp nu avem conditiianterioare, nu exista nici conditii initiale. Sursele de camp sunt deci externe, reprezentateprin conditiile de frontiera, folosind functii definite pe frontiera ∂Ω a domeniului spatial.Conditiile de frontiera au in vedere componentele campului care se conserva la trecereaprin frontiera, cum sunt componenta tangetiala a intensitatii campului, componentele nor-male ale inductiilor si densitatilor de curent, asigurand de altfel cuplajul cu exteriorul darsi completand formularea corecta a problemei de camp.

Solutia problemei de camp este alcatuita din campurile vectoriale corespunzatoaresolutiei de regim general variabil, si anume D, E, B, H, J si ρ, toate functii de coordonatespatiale x, y, z ale punctelor din Ω si de cea temporala t, apartine intervalului de analiza(tmin, tmax). In abordarea matematica moderna, solutia nu este cautata sub forma unorfunctii clasice, ci, asa cum se va vedea ın sectiunea urmatoare, ca elemente din spatiulLebesgue, al claselor de functii de patrat integrabil, sau potentiale dintr-un spatiu Sobolev,al functiilor cu derivate de patrat integrabile (deci campuri de energie finita).

In modelarea si proiectarea microsistemelor integrate, o importanta deosebita o arecomportarea dispozitivelor din punct de vedere intrare-iesire, care descrie interactiuneadispozitivului cu mediul exterior. General vorbind, modelul electromagnetic este de tipulMIMO (Multiple-Input Multiple-Output), din cele n terminale ale dispozitivului, m ter-minale sunt alimentate ın tensiune iar restul(cu exceptia terminalului de referinta), suntalimentate ın curent. Constatam ca interactiunea elementului cu exteriorul se realizeazaexclusiv prin intermediul terminalelor. Fiecarui terminal flotant (cu exceptia terminaluluide referinta) ıi corespunde un semnal de intrare si unul de iesire. In functie de tipul decontrol al terminalului, acesta poate fi un potential sau un curent.

Modelarea fizica trebuie urmata de o modelare matematica riguroasa care sa garan-teze buna formulare a problemei si sa asigure unicitatea, existenta si stabilitatea solutiei.

3.2 Modelarea matematica

Pentru o analiza corecta a dispozitivelor studiate si pentru a asigura compatibilita-tea acestora cu alte componente de circuit, trebuie identificate ın mod corect ecuatiile cedescriu fenomenele esentiale si trebuie identificate structurile matematice prin care se re-prezinta marimile fizice, mai precis spatiile algebrice si/sau topologice, precum si domeniulde definitie si codomeniile aplicatiilor (functii sau operatori ce intervin ın ecuatii).

Elementul electromagnetic de circuit

Modelul obtinut ın urma analizei cu parametri distribuiti trebuie conectat ın exteriorcu un circuit electric cu parametri concentrati descris de ecuatiile lui Kirchhoff si nu deecuatiile lui Maxwell, de aceea trebuie definite conditii de frontiera adecvate, care sa in-troduca un numar finit de marimi scalare, pentru ca conceptul de terminal, curent prin ter-minal si potential la borna sa aiba sens. De asemenea, pentru ca nu exista conditii initiale,conditiile de frontiera sunt cele ce asigura unicitatea si completeaza formularea corecta aproblemei. Conditiile de frontiera sunt introduse prin definirea unor terminale ce corespund

9

3. Modelarea electromagnetica a dispozitivelor microelectromecanice

bornelor fizice ale dispozitivului. Introducerea lor se realizeaza prin adoptarea conceptuluide Element ElectroMagnetic de Circuit (EMCE), definit initial ın [6] ca o generalizarea aelemetului multipolar de circuit.

Definitia 1 Elementul Electromagnetic de Circuit este un domeniu simplu conex Ω marginitde suprafata Σ, alcatuit din n′ parti disjuncte S ′1, S

′2, . . . , S

′n numite terminale electrice

si n′′ parti disjuncte S ′′1 , S′′2 , . . . , S

′′n numite terminale magnetice, pe care sunt ındeplinite

urmatoarele conditii de frontiera:

n · [∇× E(P, t)] = 0, pentru ∀P ∈ Σ− ∪S ′′k (3.1)n · [∇×H(P, t)] = 0, pentru ∀P ∈ Σ− ∪S ′k (3.2)

n× E(P, t) = 0, pentru ∀P ∈ ∪S ′k (3.3)n×H(P, t) = 0, pentru ∀P ∈ ∪S ′′k (3.4)

unde n este vectorul normal la suprafata Σ ın punctul P .

Figura 3.1: Elementul Electromagnetic de Circuit.

Conditiile EMCE asigura ın mod consistent cuplajul cu exteriorul impunand o seriede constrangeri. Conditia (3.1) interzice cuplajele inductive cu exteriorul, cu exceptia ter-minalelor magnetice. Conditia (3.2) interzice cuplajele galvanice si capacitive pe frontiera,cu exceptia terminalelor electrice, iar conditiile (3.3) si (3.4) sunt impuse pentru a asiguracaracterul echipotential al terminalelor electrice respectiv magnetice.

Unicitatea solutiei si consecintele sale

Teorema de unicitate care incheie buna formulare a problemei de camp [7] este:

Teorema 1 Problema de camp electromagnetic asociata Elementului Electromagnetic deCircuit, descris de ecuatiile lui Maxwell ın medii liniare, conditiile de frontiera si conditiiinitiale nule, cu terminale excitate ın valori cunoscute pentru tensiune sau curent/flux,are solutie unica: E(M, t), D(M, t), B(M, t), H(M, t), J(M, t), ρ(M, t), pentru ∀M ∈Ω, t > 0 si ın consecinta EMCE are raspuns unic.

10

3.3. Modelarea numerica

Aceasta teorema este o consecinta directa a teoremei lui Timotin referitor la transferulde putere printr-o suprafata de separatie:

P =n′−1∑k=1

(vkik) +n′′∑k=1

ukdϕkdt

(3.5)

In aceasta formulare semnalele de iesire sunt univoc determinate de evolutia ın timpa semnalelor de iesire. In cazul elementului electromagnetic liniar cu conditii initiale nule,operatorii de circuit astfel definiti sunt liniari, comportarea dispozitivului fiind caracterizatade (n − 1)2 functii indiciale, care reprezinta raspunsul unui terminal la excitatia treptata aaltui terminal, ın conditiile ın care celelalte terminale au excitatie nula. Odata definit cadrulfizic si matematic al problemei de camp, urmeaza etapa de rezolvare numerica urmata deextragerea modelului de ordin redus pentru obtinerea unui model compact.

3.3 Modelarea numericaSolutia problemei de camp obtinuta ın urma modelarii fizice si matematice, ar con-

duce la un model continuu, cu un numar infinit de grade de libertate. Etapa de modelare nu-merica urmareste discretizarea si rezolvarea problemei de camp prin aproximarea spatiilorcontinue de functii ce descriu variatiile spatio-temporale ale marimilor fizice ce reprezintasolutia exacta prin spatii discrete, finit dimensionale, dar si discretizarea operatorilor careintervin ın ecuatiile campului. Problema de camp electromagnetic ın regim general variabilcu conditii de frontiera descrise de formularea EMCE este rezolvata numeric ın domeniulfrecventei folosind Tehnica Integralelor Finite (Finite Integral Technique-FIT) [8].

Data fiind geometria de tip Manhattan tipica circuitelor integrate, FIT cu un grid or-togonal este o metoda numerica adecvata pentru calculul solutiei unor astfel de structuri,pentru simplitatea si robustetea ei. FIT este o metoda numerica pentru rezolvarea probleme-lor de camp electromagnetic ce implementeaza o discretizare spatiala fara functii de formaın care gradele de libertate sunt variabile globale care intervin ın forma globala a ecuatiilorde camp, aplicate pe doua retele de discretizare ortogonale duale de tip Yee, ın care centrelecelulelor primare (sau electrice) sunt noduri ale celulelor secundare(magnetice).

Aplicand forma globala a legilor campului electromagnetic pe elementele retelei dediscretizare (celule, fete, bucle elementare), obtinem un sistem de ecuatii diferentiale al-gebrice (DAE) numite Maxwell Grid Equation (MGE), carora adaugam forma discreta ateoremei de conservare a sarcinii.

∇× E = −∂B∂t

⇒∮

Edr = −x ∂B

∂tdA ⇒ Cv =

dϕ

dt(3.6)

∇ ·B = 0 ⇒

BdA = 0 ⇒ D′ϕ = 0 (3.7)

∇×H = J +∂D

∂t⇒

∮Hdr =

x(J +

∂D

∂t)dA ⇒ C′u = i +

dψ

dt(3.8)

∇ ·D = ρ ⇒

DdA =y

ρdv ⇒ Dψ = q (3.9)

∇ · J = −∂ρ∂t

⇒x

JdA = −y ∂ρ

∂tdv ⇒ Di = −dq

dt(3.10)

11

3. Modelarea electromagnetica a dispozitivelor microelectromecanice

In aceste relatii, matricele topologice C si D reprezinta forma discreta a operatorilorrot si div.

Relatiile constitutive ce descriu proprietatile de material sunt definite cu ajutorul ope-ratorilor Hodge:

B = µH ⇒ ϕ = Mµu = M−1ν u, (3.11)

D = εE ⇒ ψ = Mεv, (3.12)J = σE ⇒ i = Mσv, (3.13)

Matricele operatorilor Hodge Mσ, Mν , Mε, sunt asociate conductatelor electrice,reluctantelor magnetice si capacitatilor electrice, motiv pentru care ın continuare va fi folo-sita o notatie mai intruitiva pentru teoria circuitelor, Mσ

not= Ge, M−1

νnot= Gm, Mε

not= Ce.

Deasemenea pentru pentru a evita confuzia cu matricea capacitatilor, matricea operatoruluidiscret rot din ecuatiile MGE va fi notata cu B si nu cu C.

Folosind aceste noi notatii relatiile (3.11)-(3.13) se rescriu astfel:

ϕ = Gmu (3.14)ψ = Cev (3.15)i = Gev (3.16)

iar ecuatiile (3.8) si (3.6) devin:

dψ

dt+ i−B′u = 0 (3.17)

dϕ

dt+ Bv = 0 (3.18)

Inlocuind expresiile pentru flux si curent (3.14)-(3.16) ın (3.17) si (3.18) rezulta:

Cedv

dt+ Gev −B′u = 0 (3.19)

Gmdu

dt+ Bv = 0 (3.20)

care sub forma matriceala devine:[Ce 00 Gm

]d

dt

[vu

]+

[Ge −B′B 0

] [vu

]= 0 (3.21)

sau ın forma compacta:

Cdx

dt+ Gx = 0 (3.22)

Sistemul (3.22) este structurat si foarte rar, permitand o stocare eficienta a matricelor,matricea C, de exemplu, contine un singur element nenul ce corespunde unei capacitati

12

3.4. Reducerea ordinului modelului

electrice, iar matricea G are pe fiecare linie cel mult 5 elemente diferite de zero, o valoarepentru o conductata electrica iar celelalte 4 sunt 1 sau −1.

Unul din importantele avantaje ale acestui circuit magneto-electric (MEEC = Magneto-Electric Equivalent Circuit) este usurinta cu care se pot obtine modele pentru cazurile parti-culare ale modelarii ın camp electromagnetic ın diferite regimuri, precum electrostatic(ES),magnetostatic(MS), electric cvasistationar(EQS), magnetic cvasistationar(MQS), prin sim-pla anulare a blocurilor corespunzatoare din matricele sistemului (blocuri corespunzatoareparametrilor constitutivi R, C si G, care dispar cand se anuleaza constantele de material µ,ε si σ).

Sistemul (3.22) nu este ınsa complet, deoarece nu exista un sistem de bucle inde-pendente. Ecuatiile care vor completa sistemul sunt cele corespunzatoare conditiilor defrontiera. Acest conditii sunt impuse sub formularea Elementului Electromagnetic de Cir-cuit (EMCE) prezentat anterior, care va fi discretizat conform tehnicii FIT. Forma finala asistemului, care ia ın considerare mai multe tipuri de excitatie, este:

Forma finala a sistemului de stare este:Cdx

dt+ Gx = y

z = Dx,(3.23)

unde

C =

Ce 00 Gm

S′C 00 00 0

, G =

Ge −B′B 0S′G 0S′E 00 SM

, D =

SE 00 SJ0 S′′M

(3.24)

y =

00j′

e′

f

, z =

v′i′w

,x =

[vu

]

In domeniul frecventa, sistemul linear invariabil ın timp (3.23) devine un sistemlinear complex:

(sC + G)x = Buy = Lx + Du

(3.25)

unde s = jω. Solutia acestui sistem de ecuatii furnizeaza un model complet aldispozitivului pentru o frecventa data, caracterizand complet distributia campului electro-magnetic ın domeniul de calcul.

3.4 Reducerea ordinului modeluluiProcesul de obtinere a modelului de ordin redus consta ın aproximarea modelului

discret cu unul de ordin mult mai mic, capabil totusi de a caracteriza comportarea dispo-zitivului cu o acuratete acceptabila. Metoda de reducere a ordinului modelului folosita ın

13

3. Modelarea electromagnetica a dispozitivelor microelectromecanice

aceasta lucrare este Esantionaea Adaptiva ın Frecventa cu Vector Fitting (AFS-VF), care ınstudiile de caz realizate pe componentele pasive ale circuitelor integrate s-a dovedit mai efi-cienta decat metodele bazate pe proiectie sau trunchiere echilibrata. Scopul AFS este acelade a reconstitui variatia ın functie de frecventa unui semnal, prelevand valorile sale ıntr-unnumar minim de esantioane de frecventa. Dimensiunea modelului este redusa prin folosi-rea metodei de aproximare (”fitare”) VF. Dar prin folosirea AFS, numarul de esantioane sereduce la minim, ceea ce reduce sensibil efortul de calcul, deoarece sistemul liniar complexde mari dimensiuni este rezolvat de un numar de ori egal cu numarul de esantioane.

Metoda Vector Fitting, propusa de ın 1999 de Gustavsen si Semlyen[9] este o metodade aproximare a raspunsurilor ın frecventa, bazata pe metoda celor mai mici patrate, careobtine o aproximare rationala a functiei de transfer prin rafinari succesive, plecand de la unset de frecvente initiale.

Data fiind o functie de variabila complexa s,

f(s) =a0 + a1 · s+ · · ·+ aN · sN

b0 + b1 · s+ · · ·+ bN · sN(3.26)

se urmareste gasirea parametrilor aproximarii rationale

g(s) =M∑n=1

cns− an

+ d+ sh (3.27)

astfel ıncat sa aproximeze functia initiala f(s) ın sensul celor mai mici patrate, undean sunt polii, cn sunt reziduurile aproximarii rationale, iar termenii d si h sunt numere reale.Daca ordinul aproximarii M este egal cu cel al functiei initiale, N, atunci avem de a face cuo interpolare exacta si nu cu o ”fitare”, iar polii si reziduurile aproximarii g(s) sunt exactpolii si reziduurile functiei originale f(s). Dar ce intereseaza ın metodele de reducere aordinului este cazul ın care ordinul M este mult mai mic decat N.

Pornind de la sistemul linear invariabil ın timp, prin reprezentarea ın complex, seobtine un sistem de tipul (3.25). Pentru matricea hibrida a elementului de circuit se cauta oaproximare rationala

Hr(ω) =

q∑i=1

Ki

jω − pi+ K∞ + jωH0 (3.28)

astfel ıncat q n.Folosind algoritmul Vector Fitting, prin rafinarea succesiva a unui set de frecvente

de esantionare S = ω1, . . . , ωm, se va genera caracteristica de frecventa HV F (ω). Aceastapresupune rezolvarea repetata a unui sistem linear de ecuatii de forma:

(G + jωC) · x = b (3.29)

Pentru a obtine acuratetea dorita, vor fi adaugate, pe langa esantioanele folosite ınaproximarea VF, noi frecvente, numite de test. Pasii algoritmului AFS-VF sunt prezentatischematic ın Fig. 3.2.

Eroarea ın punctele de esantionare εV F este parametrul de control al procedurii VF,reprezentand abaterea modelului ın punctele de esantionare, fata de curba aproximarii

14

3.5. Concluzii

Figura 3.2: Algoritmul AFS-VF pentru extragerea modelului de ordin redus.

rationale. Valoarea pentru εV F poate fi, din punct de vedere teoretic, oricat de mica, fi-ind garantata de VF, putandu-se impune chiar si abatere nula, ınsa din punct de vederepractic, castigul de precizie astfel obtinut nu este semnificativ ın raport cu efortul de calcul.De obicei εV F este ales ıntre 10−4 . . . 10−6.

Abaterea modelului ıntre punctele de esantionare, notata εAFS , reprezinta eroareadintre curba aproximarii rationale si curba raspunsului ın frecventa, si reprezinta princi-pala sursa de abateri pentru AFS-VF. Ea poate fi ımbunatatita prin cresterea numarului deesantioane, ın final succesul procedurii de extragere a modelului de ordin redus fiind uncompromis ıntre numarul de esantioane, controlul erorii si efortul de calcul.

3.5 Concluzii

In acest capitol a fost prezentat procesul de modelare electromagnetica a microcomu-tatoarelor capacitive MEMS, fiind descrise toate etapele necesare pentru realizearea uneimodelari eficiente. Procesul ıncepe cu adoptarea principalelor idealizari si ipoteze simpli-ficatoare care pot fi adoptate pentru stabilirea cadrului fizic si geometric necesar modelarii,urmat de stabilirea conceptelor matematice esentiale problemei studiate, pe baza carora sepoate realiza implementarea numerica, prin discretizarea ecuatiilor campului electromag-netic cu FIT. Odata obtinut sistemul matriceal de stare urmeaza extragerea modelului deordin redus cu ajutorul algoritmului AFS-VF, rezultatul final fiind un model rational bebaza caruia este sintetizat modelul de circuit echivalent cu parametri concentrati.

15

Capitolul 4

Modelarea electromagnetica globala acircuitelor integrate

Reducerea ordinului poate ıntampina ınsa probleme, daca dimensiunea modeluluidiscret este foarte mare, datorita efortului mare de calcul. O strategie eficienta s-a dovedita fi folosirea unor tehnici de reducere a complexitatii sistemului ınaintea aplicari MOR.O astfel de tehnica este cea de partitionare pe sub-domenii (DP - Domain Partitioning) aproblemei initiale, tratarea independenta a partilor disjuncte si reconectarea modelelor re-duse pentru fiecare, pentru obtinerea, ın final, a unui model complet. Conexiunea dintresub-domenii este realizata prin intermediul unor conditii speciale de frontiera, numite co-nectori. Baza teoretica a acestora se regaseste ın formularea Elementului Electro-Magneticde Circuit (EMCE), prezentat ın paragraful.

4.1 Partitionarea pe domenii (DP)

Metoda de partitionare pe domenii foloseste aceleasi principii de modelare electro-magnetica prezentate ın capitolul 3, diferenta abordarii, pe care de altfel se bazeaza si inge-niozitatea metodei, consta ın folosirea ıntregului potential ce sta la baza teoriei ElementuluiElectro-Magnetic de Circuit (EMCE). Metoda de partitionare pe domenii presupune sepa-rarea acestora ın subdomenii (Fig. 4.1), stratul de aer si substratul de Si fiind omogene sireprezentand o mare partea din volumul total al domeniului. Pentru a le trata cu usurinta,aceste subdomenii sunt identificate prin termenii: top (aer), middle (dispozitivul propriu-zis), bottom (substratul de siliciu).

Fiecare subdomeniu este un Element Electro-Magnetic de Circuit, si sunt legate ıntreele prin terminale, fiecare terminal fiind deci definit conform conditiilor de frontiera aleEMCE, avand doua semnale caracteristice: curent/flux si tensiune (electrica/magnetica),unul fiind semnalul de intrare iar celalalt fiind semnalul de iesire, acestea fiind definite peun numar finit de suprafete de pe frontiera domeniului numite terminale, care sunt de tipconectori, sau ”hooks” (daca au caracter parazit, neintentionat).

Partitionarea ne permite sa tratam fiecare subdomeniu ın mod independent, folosindregimul cel mai potrivit al campului electromagnetic: ın regim electric cvasitationar (EQS)pentru substratul de Si; ın regim electrostatic (ES) si magnetostatic (MS) pentru subdome-niul de aer; ın regim general variabil (FW) pentru sub-domeniul middle, ın care este inclus

16

4.1. Partitionarea pe domenii (DP)

stratul de SiO2; ın regim magnetic cvasistationar (MQS) ın conductoare.

(a) Domeniul ıntreg (b) Domeniu partitionat

Figura 4.1: Partitionarea domeniului.

Odata stabilit cadrul matematic si fizic de modelare, urmatorul pas consta ın aplicareaTehnicii Integralelor Finite pentru discretizarea subdomeniilor. Pentru fiecare din acestea,este obtinut un sistem liniar invariabil ın timp (LTI):

Ckdxk(t)dt

+ Gkxk(t) = Bkukyk(t) = Lkxk(t),

(4.1)

unde xk ∈ Cn este vectorul variabilelor de stare, uk ∈ Rn este vectorul semnalelor deintrare, yk ∈ Cn este vectorul marimilor de iesire, Bk ∈ Zn×m si Lk ∈ Zn×m sunt matricede selectie, iar Ck si Bk ∈ Rn×m sunt matricele sistemului de stare, n reprezinta numarulgradelor de libertate (DoFs) iar m este numarul de terminale.

Pentru a exemplifica procedura de conectare a modelelor vom considera cazul cuplariia doua astfel de modele k = 2, cu terminalele excitate ın tensiune. In cazul unui numarmare de subsisteme, procedura se va aplica recurent. Pentru fiecare sistem, vectorul sem-nalelor de intrare este partitionat ın functie de numarul si tipul de terminale electrice simagnetice, u1 =

[uT01 u

Tc1

]T , u2 =[uT02 u

Tc2

]T , unde u01 si u02 sunt tensiunile terminalelorcelor doua modele ce nu vor fi cuplate (nu sunt terminale definite pe interfata), iar uc1 siuc2 sunt tensiunile terminalelor ce trebuie cuplate (Fig. 4.2), iar pentru o cuplare corecta,vectorii uc1 si uc2 trebuie sa aiba aceiasi dimensiune.

Este, de asemenea, necesar sa partitionam si vectorul semnalelor de iesire y1 si y2, iarcum acestia sunt plasati ın ultimele pozitii ale vectorului variabilelor de stare, partitionareava fi de forma, x1 =

[xT01 y

T01 y

Tc1

]T , x2 =[xT02 y

T02 y

Tc2

]T , unde yT01 si yT02 sunt vectorii decurent prin terminalele ce nu se afla pe interfata, iar yTc1 si yTc2 sunt vectorii de curent de peinterfata de cuplare dintre cele doua subdomenii.

Impunand conditiile de cuplare pentru terminalele de pe interfata,

uc1 = uc2not= uc, yc1 = −yc2

not= yc, (4.2)

si ordonand vectorul de stare al modelului cuplat x =[xT01 x

T02 u

Tc yTc yT01 y

T02

]T , se poateobtine modelul de stare al sistemului interconectat, obtinerea modelului cuplat nu necesitacalcul efectiv, matricele fiind formate prin adaugare de blocuri.

17

4. Modelarea electromagnetica globala a circuitelor integrate

Figura 4.2: Cuplarea domeniilor.

Ultimul pas consta ın reducerea ordinului modelului prin procedura AFS-VF. Matri-cele ce descriu cele doua sisteme sunt de forma Hk = Lk(Gk + jωCk)

−1Bk, cu k = 1, 2,si care leaga reprezentarile ın complex a semnalelor de intrare si de iesire.[

y0k

yck

]= Hk

[u0k

uck

](4.3)

unde Hk este partitionata ın functie de terminalele pe care le cupleaza.

4.2 Modele MEEC globale

Metoda MEEC globala [10], este bazata pe descompunerea domeniul ıntr-un anumitnumar de sub-domenii (DP), tratarea lor ın diferite regimuri ale campului (Fig. 4.3), si folo-sirea circuitului magnetic pentru modelarea globala a efectelor inductive. Intregul domeniueste privit ca o uniune de sub-domenii caracteristice componentelor ce formeaza dispozi-tivul, iar prin discretizarea ecuatiilor campului corespunzatoare fiecaruia, pot fi extrase oserie de sub-modele. Prin aplicarea unei tehnici de reducere a ordiunului, sau prin sparsifi-care, aceste sub-modele pot fi sintetizate sub forma unor circuite cu parametrii concentrati:RLC (pentru modelare FW), RL (MQS), RC (EQS), Rm (MS) sau C (ES), iar prin inter-conectarea lor sunt generate circuite compacte.

Figura 4.3: Partitionarea verticala ın sub-domenii.

18

4.3. Concluzii

Sub-modele compacte sunt interconectate prin intermediul ”hook”-urilor plasate pefrontiera domeniului, iar prin sumarea acestor cuplaje sub forma unor surse de tensiune co-mandate ın curent, se obtine modelul global, format din doua circuite cuplate, unul electricsi celalalt magnetic. Circuitul electric descrie componentele active/pasive, interconexiunileconductive si efectele parazite capacitive, pe cand circuitul magnetic (Rm), caracterizeazacuplajele parazite inductive. Pentru simularea practica a acestor circuite folosind SPICE,este necesara adaugarea unui ”circuit de derivare”, pentru a modela surse de tensiune co-mandate ın curent si a tine astfel seama de cuplajele parazite.

Punctul cheie este identificarea si definirea corespunzatoare a terminalelor de peinterfata de conectare dintre sub-domenii, pentru a modela corect tensiunile electromotoareinduse datorita fluxurilor magnetice prin suprafetele delimitate de conductoare. Strategia dedefinire a ”hook”-urilor magnetice este de a le plasa peste suprafetele delimitate de buclelefundamentale ale circuitului electric, a carei topologie nu este triviala. Circuitul magneticcontine surse de ”tensiune” (de fapt surse de tensiune magnetica) controlate de curentiiprin coardele circuitului integrat. Tensiunile electrice induse sunt modelate prin surse detensiune plasate pe coardele circuitului electric, care sunt controlate prin derivata ın timpa fluxurilor magnetice din circuitul magnetic. Daca se mai adauga si un al treilea circuit”de derivare”, se poate genera un model de circuit echivalent, format din componente ac-tive, elemente pasive RLC si surse de tensiune comandate ın curent, modelul extras fiindcompatibil cu modelele extrase din simulatoare de circuite precum SPICE. Relatiile luiKirchhoff pentru acest model global reprezinta forma integrala a ecuatiilor campului elec-tromagnetic aplicate pe bucle fundamentale si suprafetele delimitate de acestea ın domeniulde calcul.

4.3 ConcluziiIn acest capitol au fost prezentate doar demonstrativ tehnici si strategii de reducere

a complexitatii modelelor ın modelarea electromagnetica a microsistemelor integrate, ba-zate pe considerente fizice. Tehnica MEEC urmareste obtinerea unor modele de ordinredus prin modelarea globala a efectelor inductive din circuitele integrate, prin implemen-tarea eficienta a metodei de partitionare pe sub-domenii (DP) si ıntrebuintarea formulariiElementului Electro-Magnetic de Circuit pentru definirea terminalelor si conectorilor, asi-gurandu-se astfel corectitudinea cuplajului dintre sub-domenii, dar si cu mediul exterior.Principalul avantaj al acestor metode consta ın reducerea resurselor de calcul, dovedindu-se a fi tehnici eficiente si robuste ın modelarea cuplajelor electromagnetice parazite dincircuitele integrate.

Metoda prezentata poate fi generalizata, putand fi aplicata pentru configuratii maicomplicate de dispunere a conductoarelor, putand fi extrase automat circuitele echivalentecuplate, electrice si magnetice. Fluxurile electrice generate ın buclele circuitelor integratedetermina efecte inductive parazite, ce impun probleme ın procesul de modelare a dis-pozitivului. Metoda MEEC globala, bazata pe partitionarea pe domenii si definirea co-respunzatoare a ”hook”-urilor magnetice, poate fi folosita cu succes ın modelarea acestorefecte parazite si determinarea circuitului echivalent cuplat, ce descrie comportarea dispo-zitivelor de foarte mare complexitate.

19

Capitolul 5

Reducerea timpului de calcul ınmodelarea electromagnetica

Sistemele de ecuatii lineare ce trebuie rezolvate pentru aceasta reducere pot fi destulde mari, ın functie de discretizarea folosita. De aceea este necesara gasirea unor tehnici dereducere a efortului de calcul, prin investigarea unor tehnici numerice si computationale cepot reduce timpul de rezolvarea a acestor sisteme si se pot ıncadra ın limitarile inerente alesistemelor hardware actuale. Este important ca aceste tehnici sa poate fi implementate ınmod eficient pentru sisteme multiprocesor, pentru a scadea si mai mult timpul de analiza.

5.1 Metode iterative

Practic problema se reduce la rezolvarea unui sistem liniar de forma Ax = b, undeA ∈ Cn×n este matricea coeficientilor, despre care vom presupune ca este nesingulara,b ∈ Rn este vectorul termenilor liberi, iar x ∈ Cn este vectorul necunoscutelor sistemului.

Problema rezolvarii sistemului liniarAx = b ocupa un loc central ın calculul stintific,iar pentru rezolvarea ei exista, practic, doua tipuri de metode: directe si iterative. Fiecaremetoda produce o solutie numerica x care ıncearca sa aproximeze, cu o acuratete accepta-bila, solutia exacta x∗ = A−1b. General vorbind, metodele directe sunt mult mai robustesi pot garanta obtinerea solutiei numerice dupa un anumit numar, usor de estimat, de pasi,ınsa necesita o cantitate mare de resurse de calcul (atat timp de calcul, dar mai ales me-moria necesara). Preconditionarea presupune identificarea unei matrice de transformareM , care aplicata matricei A, imbunatateste proprietatile numerice ale matricei sistemuluisi implicit convergenta solutiei. Matricele generate din FIT ın urma discretizarii ecuatiilorlui Maxwell cu conditii de frontiera EMCE, sunt matrice rare de foarte mari dimensiuni, cuun numar de conditionare ridicat, si care nu prezinta acele proprietati speciale favorabilemetodelor iterative, mai exact, nu sunt matrice simetrice, diagonal dominante sau pozitivdefinite. Calculand vectorii proprii ai matricei sistemului A putem construi matricea vec-torilor proprii V ale caror proprietati au fost analizate prin efectuarea unor teste ın Matlab.Rezultatul este ca matricea V este singulara si deci neinversabila, ceea ce ınseamna ca Anu are o baza completa de vectori proprii si ın consecinta nu este diagonalizabila. Cu altecuvinte, sunt prea putini vectori proprii independenti, ceea ce sugereaza ca multe valoriproprii au multiplicitate algebrica, cel putin, 2.

20

5.1. Metode iterative

Mai ıntai trebuie stabilit ce metode iterative si de preconditionare sunt indicate pentruacest tip de matrice. Pachetul de calcul iterativ ales este GMRES, datorita performantelorlui ın a trata cu matrice nesimetrice, iar pentru preconditionare a fost preferat pentru ınceputtehnica ILU, cu variantele sale, datorita flexibilitatii pe care o prezinta. Scopul este de adetermina ce combinatie a parametrilor pentru GMRES si ILU este adecvata si care estelimita acestor parametrii, sub forma unui compromis ıntre acuratete si timp de executie.

Metoda Timp Elemente Reziduu Iteratii Timpobtinere nenule GMRES rezolvareLU[sec] ın LU GMRES[sec]

LU 0.0685 L:49558 4.6630 · 10−12 1 0.0112U:73894

ILUTP 0.0608 L:48867 7.9705 · 10−12 1 0.0063droptol=0 U:71464

ILUTP 0.0546 L:23994 2.982 · 10−7 11 0.0358droptol=10−5 U:55885

(limita)Obs.GMRES necesita tol = 10−10 si 16 iteratii pentru a

obtine Rez = 2.6302 · 10−11

ILUTP 0.049 L:27444 9.4202 · 10−8 7 0.0195droptol=10−6 U:59206

Obs.GMRES necesita tol = 10−10 si 10 iteratii pentru aobtine Rez = 9.7117 · 10−12

Tabel 5.1: Teste combinate GMRES-ILU pentru 827 DoFs, 6x6x6 grid

Din rezultatele obtinute pentru forma standard din Matlab pentru ILU cu droptol =0, foarte apropiate de factorizarea completa LU, este evident ca simpla folosire a uneistrategii de pivotare nu conduce la obtinerea mai rapida a matricelor de preconditionare.Pentru droptol > 10−5, identificata ca limita de precizie, erorile ın L si U sunt prea mari sifactorii nu sunt folositori ın preconditionare. Scaderea tolerantei de eliminare(droptol) cuun ordin, cu alte cuvinte cresterea preciziei cu un ordin, nu are un impact deosebit asupratimpului de obtinere a L si U . Cresterea tolerantei pentru GMRES(tol) pana la 10−10 nuare efecte drastice asupra numarului de iteratii ale metodei de rezolvare.

Data fiind o matrice generata din FIT, primul obstacol identificat este prezenta multorelemente diagonale nule ın partea dreapta inferioara a matricei. In acest scop se va folosiun algoritm bazat pe descompunerea Dulmage-Mendelson, care identifica o matrice depermutare ce maximizeaza numarul de elemente nenule pe diagonala unei matrice rare[11]. intre cele doua variante de permutare implementate, functia dmperm s-a dovedit a fimai potrivita pentru matricele FIT. Dmperm returneaza o permutare pe linii r.

A = QrA, unde Qr = I(r, :) (5.1)

Urmatorul pas consta ın folosirea unei tehnici de scalare, care afecteaza ın mod directnumarul de conditionare. Vor fi folosite doua variante de scalare, ın primul caz matricea descalare va fi formata folosind termenii diagonali din matricea originala A, identificata prin

21

5. Reducerea timpului de calcul ın modelarea electromagnetica

SI iar ın cel de-al doilea caz se vor folosi termenii diagonali din matricea permutata QrA,identificata prin SII . Noii termeni ın matricea scalata vor fi:

aij =

aiisi

, daca i = j

aijsi · sj

, daca i 6= j(5.2)

unde

sk =1√|akk|

(5.3)

Noul sistem de rezolvat fiind de forma:

SQrAS · y = b (5.4)

undey = S−1x, b = SQrb

Parametrii folositi pentru verificare sunt, ILUTP cu droptol = 10−7, GMRES cutol = 10−10, maxit = 103 si restart = 30, iar frecventa folosita pentru generarea matri-celor este 10GHz. Rezultatele sunt prezentate ın Tabel 5.2, pentru o retea de discretizarede 11 × 11 × 11 cu 6317 DoFs, timpul prezentat ın tabel fiind timpul total de obtinerea matricelor de preconditionare respectiv de rezolvare iterativa, timpul necesar scalarii sipermutarii fiind neglijabil ın raport cu timpul total de rezolvare.

A SIQrASI SIIQrASII

κ() 4.362 · 1010 2.05 · 1010 6.08 · 108

Timp ILU[sec] 4.28 9.68 7.11Timp GMRES[sec] 0.43 0.48 0.42

Iteratii 7 5 5Eroare 2.399 · 10−12 6.71 · 10−13 8.47 · 10−12

Tabel 5.2: Preconditionare cu scalare si permutare - 11× 11× 11

Dupa folosirea tehnicile de permutare si scalare, calitatea matricelor de preconditionarepoate fi ımbunatatita prin aplicarea unor algoritmi de reordonare cu scopul de a reduce gra-dul de umplere ın timpul factorizarii. Au fost testate doua tipuri de reordonare, COLAMD(COLumn Approximate Minimum Degree) si o metoda de reordonare simetrica, ReverseCuthill-McKee(RCM).

Aplicarea COLAMD aduce noi ımbunatatiri procesului de preconditionare(Tabel 5.3).De aceasta data sistemul rezolvat va fi:

SQrASR · y = b (5.5)

unde

y = R−1S−1x b = SQrb

22

5.2. Metode directe

A SIQrASIR SIIQrASIIR

κ() 4.362 · 1010 2.175 · 1010 6.087 · 108

Timp ILU[sec] 4.28 2.19 2.16Timp GMRES[sec] 0.43 0.2 0.21

Iteratii 7 4 4Eroare 2.399 · 10−12 12.087 · 10−12 6.718 · 10−13

Tabel 5.3: Permutare, scalare si reordonare cu COLAMD

iar R este matricea de permutare pe coloane returnata de COLAMD.Totusi comparativ cu metodele directe, procesul de rezolvare iterativa cu preconditionare

prezentat, este mai costisitor din punct de vedere al obtinerii matricelor de preconditionarepentru matricele FIT. Din rezultatele obtinute, procesul de scalare si reordonare nesime-trica s-au dovedit mai potrivite pentru matricele analizate, scalarea afecteaza ın mod directnumarul de conditionare al matricei, iar reordonarea nesimetrica, spre deosebire de cea si-metrica, afecteaza valorile proprii ale matricei sistemului, fiind evident ca pentru gasireaunei metode si mai eficiente de preconditionare, ideea de la baza tehnicilor prezentate re-prezinta strategia cea mai promitatoare.

5.2 Metode directe

Metodele directe de rezolvare a sistemelor liniare de forma Ax = b cauta sa aducamatricea sistemului liniar, prin transformari care nu schimba solutia, la o forma speciala,usor de rezolvat, de regula triunghiular inferioara, triunghiular superioara sau diagonala.Marele dezavantaj al metodelor directe este necesarul de memorie, chiar si pentru matricerare, umplerile cu elemente nenule ın timpul factorizarii se dovedeste un factor limitatordin punct de vedere al memoriei folosite.

Din structura matricelor FIT, poate fi obsevat ca matricea E este diagonala, iar cumdificultatea principala determinata anterior este calculul inversei, atunci pentru o matricediagonala aceasta nu impune probleme. Daca realizam partitionarea:[

E YZ S

] [x1x2

]=

[b1b2

](5.6)

unde

S =

[C 0M1 T

], Y =

[B N1

], Z =

[BT

0

]aplicand aceiasi metoda de factorizare prezentata anterior, rezulta:

E · x1 = b1 − Y x2(S − ZE−1Y ) · x2 = b2 − ZE−1b1

. (5.7)

Matricea corespunzatoare complementului Schur este S − ZE−1Y , si este obtinutaastfel:

23

5. Reducerea timpului de calcul ın modelarea electromagnetica

S − ZA−1Y =

[C 0M1 T

]−[BT

0

]· E−1 ·

[B N1

]=

[C −BTE−1B −BTE−1N1

M1 T

]Matricele M1 si T nu sunt afectate ın urma factorizarii, iar celelalte blocuri com-

ponente, considerate individual, sunt rare, ın plus blocul din staga-sus este simetric. Dinmoment ce E si C sunt diagonale, (BTE−1B)T = BTE−TB = BTE−1B si deci matriceaC − BTE−1B este simetrica. Matricea S − ZE−1Y , spre deosebire de matricea initiala,are elementele nenule concentrate ın apropierea diagonale si ın partea de jos, pozitii favo-rabile pentru evitarea umplerii cu elemente nenule ın timpul factorizarii [12], ın conditiileın care nu este necesara folosirea unei strategii de pivotare. Mai mult, chiar daca este fo-losita o tehnica de pivotare (cazul de fata), umplerea cu elemente nenule este restransa laun sistem mai mic. Numarul de elementele nenule ın matricea initiala A, pentru o retea de11 × 11 × 11, este de 30909, ınainte de factorizare, si 1410826, dupa factorizare, pe cand

matricea partitionata[E Y0 S

]are 50301 elemente nenule, o crestere de 62% fata de 30909,

dar, dupa factorizare, numarul de elemente nenule ın matricea partitionata este de 1212453comparativ cu 1410826, adica o diferenta de 17%. Imbunatatirile aduse prin folosirea me-todei de partitionare pe blocuri sunt exemplificate ın Tabelul 5.4.

Grid 15x15x15 20x20x20 25x25x25 30x30x30 35x35x35Nr. DoFs 17069 42269 84719 148895 239345

LUTimp [s] 3.08 25.73 134.76 432.71 1539.05

Mem. [MB] 405 1136 3278 10027 24311

bloc LUTimp [s] 2.25 16.34 91.263 297.94 825.68

Mem. [MB] 373 934 2265 7345 16105

Tabel 5.4: Rezolvare directa vs. rezolvare pe blocuri pentru sisteme mari

5.3 Concluzii

In cadrul acestui capitol au fost analizate diferite tehnici, metode si programe decalcul multiprocesor ale caror scop este reducerea efortului de calcul ın modelarea elec-tromagnetica a microsistemelor integrate. Au fost studiate atent proprietatile matricelorspecifice modelarii electromagnetice cu FIT, fiind mai apoi definita o tehnica hibrida depreconditionare pentru ımbunatatirea timpului de calcul a metodelor iterative. Informatiilelegate de structura elementelor nenule, au fost exploatate pentru determinarea unei metodede partitionare pe blocuri care reduce considerabil timpul si memoria de calcul. A fostprezentate notiunile fundamentale ın folosirea sistemelor multiprocesor pentru modelareaelectromagnetica fiind analizate avantajele si dezavantajele inerente diferitor tipuri de im-plementari multiprocesor. Din acest studiu rezulta nu numai care sunt abordarile cele maieficiente pentru diferite dimensiuni de sisteme liniare si arhitecturi de sisteme de calculavute la dispozitie ci, ın mod clar si limitarile fiecarei abordari. Aceste informatii suntfolositoare celor care vor sa aleaga diferite solutii software si hardware pentru modelareaelectromagnetica a dispozitivelor complexe.

24

Capitolul 6

Modelarea MEMS si validareaexperimentala a rezultatelor

Notiunile teoretice fundamentale ce stau la baza modelarii electromagnetice a micro-sistemelor integrate au fost prezentate pe larg ın capitolele 3 si 4, fiind definit un procescoerent ce include toate etapele necesare modelarii corecte si precise a sistemelor micro-electromecanice. In acest capitol va fi prezentat, pas cu pas, procesul de modelare a unuicomutator capacitiv RF MEMS, prin implementarea si simularea ın Chamy a problemei detest QIAN01 [5].

6.1 Modelarea comutatorului Qian

In cele ce urmeaza se va analiza si modela un comutator de referinta din literatura despecialitate MEMS, si anume microcomutatorul capacitiv Raytheon, ın varianta prezentatade J.Y. Qian s.a. ın [5]. Se va urmari obtinerea modelului electromagnetic de RF, testareasi validarea acestuia.

Dupa introducerea datelor geometrice si de material ın Chamy, dispozitivul poate fivizualizat ın Fig. 6.1a. Domeniul de calcul este paralelipipedic si include toate straturilenecesare modelarii corecte electromagnetice ale comutatorului, avand dimensiunea 720 ×1200 × 600, pe Ox, Oy, respectiv Oz (toate marimile fiind in µm). Dispozitivul are 6terminale reale electrice, dintre care 4 sunt puse masa iar 2 reprezinta terminale electriceexcitate ın tensiune.

Gridul minimal generat de Chamy este 10 × 8 × 6 determinand un sistem cu 1981grade de libertate (DoFs). Pentru a se obtine rezultate mai bune, gridul a fost rafinat succe-siv, folosindu-se o retea de discretizare adaptiva (Fig. 6.1b). Teste au fost efectuate pentruun grid de 40 × 28 × 26, rezolvand un sistem cu 160437 DoFs, pentru care generareamatricelor s-a facut ın 191sec.

Rezolvarea liniara si cu AFS-VF ın Chamy

Pe toate cele trei axe distributia nodurilor retelei de discretizare este relativ uniforma.Rezolvarea a fost realizata pentru 100 de frecvente distribuite liniar ıntre 1GHz si 60GHz, siulterior folosind algoritmul Adaptive Frequency Sampling-Vector Fitting (AFS-VF), pentru

25

6. Modelarea MEMS si validarea experimentala a rezultatelor

(a) Layout comutator Qian ın Chamy (b) Exemplificare discretizare Chamy pentru oretea de 27× 27× 25.

Figura 6.1: Modelarea comutatorului QIAN01 ın Chamy.

acelasi interval de frecvente. Pentru fiecare caz s-au calculat parametrii S. Eroarea relativafiind de 0.18% pentru pozitia Up si de 0.04% pentru pozitia Down (Fig. 6.2).

(a) S11 pozitia Up (b) S21 pozitia Down

Figura 6.2: Comparatie 100 esantioane distribuite liniar si AFS-VF.

In pozitia neactionat a comutatorului, pentru extragerea modelului redus, algoritmulAFS-VF (cu 4 puncte de start) a avut nevoie de 2 iteratii, modelul final avand ordinul 5.Timpul de rezolvare pe sistem a fost de 123.38sec ın cazul clasic de rezolvarea si de 68.5secın cazul folosirii metodei de partitionare pe blocuri, iar memoria maxima necesara a fost de10.2GB, respectiv de 7.6GB. In total au fost rezolvate 13 sisteme, 4 corespunzatoare celor4 frecvente initiale, plus 3 frecvente adaugate la prima iteratie si ınca 6 frecvente la a douaiteratie. Timpul total de obtinere a modelui de ordin redus a fost de 1611sec pentru metodaclasica respectiv de 895sec pentru metoda de partionarea pe blocuri, ın total fiind obtinutao reducere cu 45% a timpului de calcul si cu 26% a memoriei.

Pentru pozitia actionat, cu 4 puncte de start, modelul redus are ordinul 6 si pentru

26

6.1. Modelarea comutatorului Qian

extragerea lui, AFS-VF a avut nevoie de 3 iteratie. Timpul de rezolvare pe sistem a fost de124.62sec pentru varianta clasica de rezolvare si de 69.1sec pentru metoda de partitionarepe blocuri, pentru rezolvare fiind necesara o memorie maxima de 10.4GB, respectiv 7.7GB.Timpul total de determinarea a modelului redus a fost de 2370sec pentru rezolvarea farapartitionare si de 1314sec cu partitionare.

Comparatie cu rezultatele din literatura

Avand la dispozitie valorile determinate de Qian pentru parametrii modelului compact alcomutatorului, parametri care au fost considerati ca referinta ın capitolul 3 pentru verifi-carea modelului analitic aproximativ, puteam face acum o comparatie cu modelul numericobtinut din Chamy cu AFS-VF (Fig. 6.3 si Fig. 6.4). Constatam ca ambele modele auo comportare foarte asemanatoare ın jurul frecventei de rezonanta a comutatorului (Fig.6.4b).

(a) S11 (b) S21

Figura 6.3: Model parametric Qian vs. AFS-VF ın Chamy, pozitia Up.

(a) S11(b) S21

Figura 6.4: Model parametric Qian vs. AFS-VF ın Chamy, pozitia Down.

27

6. Modelarea MEMS si validarea experimentala a rezultatelor

Extragerea modelului compact TL-RLC-TL din solutia numerica de camp

Pentru obtinerea modelului compact este necesara mai ıntai determinarea parame-trilor specifici liniei de transmisie (TL), inductivitatea lineica (LTL), capacitatea lineica(CTL) si rezistenta lineica (RTL). Pentru aceasta a fost realizata o similare ın Chamy cuFIT a problemei QIAN01 doar cu linia de transmisie CPW (a fost ındepartata membrana),rezultatul fiind stabilit ca referinta pentru determinarea parametrilor CPW.

Valoarea obtinuta analitic pentruLTL este de 4.07·10−7H/m, si a fost luata ca punct deplecare ın stabilirea inductivitatii lineice pentru linia CPW. Eroarea relativa a fost calculatala fiecare pas, valoarea inductivitati a fost izolata ıntre (3 − 4) · 10−7H/m, eroarea relativafata de referinta atingand minimul la valoarea LTL = 3.4 · 10−7H/m, aceasta valoare fiindfolosita ın continuare pentru determinarea celorlalti parametrii.

Pentru determinarea CTL s-a procedat ıntr-un mod asemanator determinarii inducti-vitatii. Luand ca referinta eroarea relativa, valoarea capacitatii lineice a fost izolata ıntre180 · 10−12F/m si 190 · 10−12F/m, obtinandu-se noua valoare pentru capacitatea lineicaC = 186 · 10−12F/m.

Pentru rezistenta lineica a fost obtinuta o valoare de 605 Ω/m si o eroare relativa de1.55%. O posibila explicatie pentru aceasta valoare mare este cresterea rezistentei odata cufrecventa. RTL nu influenteaza considerabil rezultatul, de fapt ıntre o valoare de 10Ω/msi 600 Ω/m diferenta dintre erorile lor relative fata de referinta este de sub 0.07. A fostpreferat RTL = 605 Ω/m deoarece aproximeaza cel mai bine referinta.

Valorile obtinute pentru parametrii lineici extrasi din solutia numerica sunt: LTL =3.4 · 10−7 H/m, CTL = 186 · 10−12 F/m si RTL = 605 Ω/m.

Odata stabilit setul de valori pentru linia de transmisie se poate trece la calculul pa-rametrilor comutatorului folosind un procedeu asemnanator calculului pentru TL. Pentrucapacitatea ın stare neactionat, ca valoarea initiala poate fi folosita valoarea determinataanalitic (38.808 fF), ınsa efectul de capat joaca un rol important ın determinarea capacitatiiın stare neactionat, iar din moment ce avem la dispozitie o referinta mai buna, si anume ar-ticolul Qian [5], ne putem astepta ca valoarea capacitatii extrasa din solutia numerica sa fieın jurul valorii de 75 fF. Intradevar, a fost obtinuta o valoare a capacitatii ın stare neactionatde CUp = 80 fF.

Pentru calculul rezistentei membranei, valoarea de start este valoarea determinataanalitic,Rmem = 0.022 Ω, iar valoarea determinata prin aproximarea raspunsului ın frecventafiind de Rmem = 0.017 Ω.

Inductivitatea membranei si capacitatea ın pozitia actionat sunt consideratii ımpreunadeoarece influenteaza ın mod direct frecventa de rezonanta a comutatorului. Valorile initialesunt cele extrase analitic, CDown = 8.924 pF si Lmem = 6.205 pH. Este de asteptat ca pen-tru capacitatea ın stare actionat efectul de capat sa fie neglijabil dat fiind grosimea foartemica a dielectricului 0.1 µm comparativ cu aria condesatorului de 120×120µm2. Mai ıntaia fost gasita inductivitatea membranei Lmem = 5.3 pH, iar pentru capacitate a fost identi-ficata valoarea de CDown = 8.92 pF, cum era de asteptat, fiind ın cele din urma preferatavaloarea analitica de 8.924 pF.

Tabelul 6.1 prezinta o comparatie ıntre parametrii obtinut de Qian ın [5] si rezultateleobtinute din extragerea modelului compact TL-RLC-TL (Fig. 6.5) din solutia numericaobtinuta cu FIT.

Modelul compact TL-RLC-TL extras din Chamy, pentru cele doua pozitii ale comu-

28

6.1. Modelarea comutatorului Qian

Parametrii RLC Qian[5] Parametrii RLC extrasi din ChamyCUp = 75 fF CUp = 80 fF

CDown = 9.31 pF CDown = 8.924 pFLmem = 5.03 pH Lmem = 5.3 pHRmem = 0.034 Ω Rmem = 0.017 Ω

Tabel 6.1: Compararea parametrilor RLC.

(a) Neactionat (b) Actionat

Figura 6.5: Modelele compacte TL-RLC-TL pentru cele doua stari ale comutatorului.

(a) S11 (b) S21

Figura 6.6: AFS-VF vs. TL-RLC-TL Qian vs. TL-RLC-TL extras din Chamy, Neactionat.

29

6. Modelarea MEMS si validarea experimentala a rezultatelor

tatorului, este comparat cu modelul TL-RLC-TL determinat de Qian si cu solutia obtinutacu AFS-VF (Fig. 6.6) si Fig. 6.7.

(a) S11 (b) S21

Figura 6.7: AFS-VF vs. TL-RLC-TL Qian vs. TL-RLC-TL extras din Chamy, Actionat.

Modelul compact extras anterior aproximeaza foarte bine solutia numerica dar si mo-delul parametric Qian. Rezultatele obtinute folosind modelul compact TL-RLC-TL vali-deaza valorile obtinute pentru parametrii specifici modelului din Tabelul 6.1.

Validarea metodei de modelare. Din moment ce nu sunt disponibile masuratorile,pentru validarea modelului s-au considerat ca referinta informatiile publicate ın Goldsmithet al. [13], si s-au folosit aceste date pentru validarea modelului ın stare neactionat.

Figura 6.8: Validarea metodei de modelare.

Comutatorul prezentat ın [13] este acelasi tip de comutator ca cel studiat (QIAN01),fiind de fapt articolul de referinta pentru datele publicate de Qian ın [5]. Exista totusi douadiferente majore, lungimea liniei CPW si latimea membranei. Lungimea CPW este dataca fiind de 1030 µm iar pentru latimea membranei, din [13] reiese ca aceasta are o valoarede 40 µm. Aceste noi date au fost introduse ın Chamy si a fost simulata apoi problema

30

6.2. Modelare electromagnetica 3D cu DP

pentru determinarea raspunsului ın frecventa, pentru 100 de puncte distribuite liniar ıntre1 − 40 GHz si apoi cu AFS-VF pentru aceeasi plaja de frecvente si cu 4 puncte de start(frecvente initiale). Cum se poate observa din Fig. 6.8 rezultatele obtinute cu AFS-VFofera o aproximare buna a masuratorilor.

6.2 Modelare electromagnetica 3D cu DPPentru a prezenta practic procesul de modelare cu Domain Partitioning se va folosi

ca exemplu o problema reala, si anume, un transformator format din doua bobine cuplate,cod CHRF202, pentru care avem acces la rezultatele masuratorilor ce au fost realizate deAustriamicrosystems, ca partener industrial ın cadrul proiectului ChameleonRF. Layout-ulpentru CHRF202 este prezentat ın Fig. 6.9a. Reteaua de discretizare folosita a fost de56× 31× 30 (Fig. 6.9).

(a) Layout CHRF202(b) Grid manual CHRF202

Figura 6.9: Layout si grid pentru problema CHRF202.

A fost analizat ın special modul si tipul de plasare a conectorilor, ın acest scop, pentrua exemplifica metoda DP, va fi prezentat cazul conectorilor nod cu nod (EQS + MS), cazcare valideaza notiunile teoretice prezentate ın capitolul 4.

CHRF202 EQSpMS, conectori nod cu nod. Domeniul de calcul a fost descom-pus ın trei subdomenii, modelate EQS+MS, FW si respectiv ES+MS. Pe interfata dintresubdomenii au fost considerate toate nodurile ca terminale electrice si respectiv magnetice.Generarea matricelor a durat aproximativ 7420 sec, iar rezolvarea cu AFS-VF (Tabel 6.2)pentru un sistem s-a realizat ın 440 sec.

Dupa cum se poate observa din caracteristici (Fig. 6.10 si 6.11), cazul cu DP EQS-pMS este foarte apropiat de CHRF202 fara DP. Datorita faptului ca fiecare nod de peinterfata dintre subdomenii este un terminal, atunci interfata este perfect transparenta pentrucampul electromagnetic, iar rezultatul simularii este acelasi cu cel al rezolvarii problemeicu subdomeniile reunite. In functie de problema, abateri sunt posibile ınsa este de asteptatsa fie foarte mici. In cazul de fata, o posibila abatere s-ar fi putut datora faptului ca ın sub-stratul de Si si in aer nu a fost luata ın considerare inductia electromagnetica. Dar deoareceabaterile sunt nesemnificative, ınseamna ca aceste fenomene nu sunt fundamentale ın acestdispozitiv.

31

6. Modelarea MEMS si validarea experimentala a rezultatelor

εAFS εV F Iteratii Ordin F + F ′ Timp rezolvare sistem[s]1e-2 1e-4 1 3 7 440

2 6 133 12 254 24 295 28 30

Tabel 6.2: Convergenta algoritmului AFS cu VF - EQSpMS.

(a) Re(Y11) (b) Imag(Y11)

Figura 6.10: Admitanta Y11: EQSpMS/noDP/masuratori.

6.3 Metoda de partitionare pe blocuri

In capitolul anterior a fost propusa o metoda de partitionare de blocuri, a matriceirezultate din modelarea cu Tehnica Integralelor Finite, menita sa reduca timpul de calculsi memoria folosita, scazand astfel efortul de calcul. Pentru verificarea metodei au fostınregistrate informatiile de timp si memorie, obtinute din rezolvarea folosind metoda departitionare pe blocuri, pentru problemele Qian si CHRF202. Testele au fost realizate penodul rho (Intel) de pe clusterul LMN, cu 8 ”core”-uri, folosind ”solver”-ul UmfPACK,pentru 10 frecvente distribuite liniar ıntre 1 GHz si 60 GHz. Datele prezentate sunt timpulde rezolvare pentru un sistem, timpul total de rezolvare pentru cele 10 frecvente si memoriamaxima utilizata ın timpul rezolvarii, Tabelul 6.3 si 6.4.

Grid 14x12x10 18x16x14 22x20x18 26x24x22 30x28x26 34x32x30Nr. DoFs 8017 20495 41667 73921 119533 180751

noBLKts[s] 0.37 1.84 8.63 23.6 57.85 159.3ttot[s] 4.03 18.47 86.52 238.17 575.06 1589.88Mem. 80MB 350MB 1.8GB 3.5GB 6.17GB 12GB

BLKts[s] 0.26 1.55 4.8 15.36 38.87 102.2ttot[s] 3.0 15.6 49.05 153.96 392.08 1025.5Mem. 53MB 200MB 1.2GB 2.4GB 4.6GB 8.8GB

Tabel 6.3: Rezultate de timp si memorie - problema Qian.

32

6.3. Metoda de partitionare pe blocuri

(a) Re(Y12) (b) Imag(Y12)

Figura 6.11: Admitanta Y11: EQSpMS/noDP/masuratori.

Grid 56x12x30 56x16x30 56x20x30 56x24x30 56x28x30 56x32x30Nr. DoFs 104277 142897 181517 220137 258757 297377

noBLKts[s] 25.2 51.64 113.8 175.04 273.2 413.5ttot[s] 251.32 519.37 1142.86 1752.12 2733.27 4139.73Mem. 4.42GB 6.2GB 8.9GB 12.8GB 18.7GB 27.7GB

BLKts[s] 14.8 28.42 56.5 95.2 140.5 224.8ttot[s] 148.66 285.07 566.56 953.5 1407.53 2252.74Mem. 2.9GB 3.81GB 5.62GB 8.72GB 13.2GB 18.3GB

Tabel 6.4: Rezultate de timp si memorie - problema CHRF202.

(a) Timp total de rezolvare pentru 10 frecvente (b) Memoria maxima atinsa ın timpul rezolvarii

Figura 6.12: Timpul total si memoria maxima - problema Qian.

Compararea rezultatelor obtinute pentru cele doua probleme este afisata grafic ınFig.6.12 si Fig.6.13 si valideaza metoda de partitionare pe blocuri prezentata ın capitolulanterior. Pentru CHRF202 reteaua de discretizare initiala (minimala) este destul de mare

33

6. Modelarea MEMS si validarea experimentala a rezultatelor

(a) Timp total de rezolvare pentru 10 frecvente (b) Memoria maxima atinsa ın timpul rezolvarii

Figura 6.13: Timpul total si memoria maxima - problema CHRF202.

de aceea au fost crescute treptat doar numarul de puncte pe axa Oy. Rezultatele de timpafisate ın Fig.6.12a si Fig.6.13a reprezinta timpul total (Ttot) pentru 10 frecvente, si a fostales pentru reprezentare grafica pentru a arata ca este proportional cu timpul de rezolvareaa unui sistem (Ts), adica Ttot ≈ 10 · Ts.

Prin folosirea metodei de partitionare pe blocuri propusa, rezolvarea necesita maiputina memorie comparativ cu cazul clasic, dar si mai important, este redus drastic timpulde rezolvare. Metoda are flexibilitatea necesara pentru a se adapta oricarui tip de problemamodelata cu FIT, dar si robustetea demonstrata de a putea fi folosita pentru un numar marede frecvente de calcul.

6.4 ConcluziiRezultatele numerice si grafice prezentate ın acest capitol valideaza experimental

metodele teoretice si numerice folosite ın modelarea electromagnetica a microsistemelorintegrate prezentate ın teza. A fost demonstrat ca modelarea electromagnetica bazata derezolvarea ecuatiilor lui Maxwell folosind Tehnica Integralelor Finite este o metoda ro-busta de extragere a modelor de ordin redus permitand extragerea acestora cu suficientaaccuratete. A fost deasemenea studiata ın detaliu metoda de partitionare pe domenii (DP),fiind validata corectitudinea metodei ın cazul limita al folosirii conectorilor nod cu nod, sifiind totodata prezentate principalele avantaje dar si dezavantaje ale metodei, punctele fortedar si limitarile metodei. In final, a fost testata metoda de partitionare pe blocuri pentrurezolvarea sistemelor de ecuatii rezultate din modelarea numerica a celor doua problemede interes ın teza, Qian si CHRF202. Rezultatele obtinute valideaza metoda de rezolvareapropusa si confirma astfel eficienta metodei ın rezolvarea sistemelor de ecuatii generate dinmodelarea numerica cu FIT.

34

Capitolul 7

Concluzii finale si contributii originale

Modelarea electromagnetica a microsistemelor integrate pentru aplicatiile de radio-frecventa este un proces ce se bazeaza pe elegantul sistem al ecuatiilor lui Maxwell, ınsa pecat este de interesant si fascinant din punct de vedere fizic si matematic, pe atat este dificilde finalizat ın practica. Analiza campului electromagnetic ramane totusi cea mai com-pleta si precisa metoda de a modela dispozitivele microelectronice, a caror dezvoltare, de-alungul ultimelor decenii, a determinat un proces de dezvoltare tehnologica cu nenumaratebeneficii pentru societatea umana.

Principalele limitari ın modelarea electromagnetica a microsistemelor integrate suntlegate de resursele de calcul, de timpul si memoria necesara obtinerii solutiei de camp. Inaceasta lucrare au fost cercetare metode de reducere a efortului de calcul, folosind diverseabordari si tehnici, urmarindu-se obtinerea cat mai rapida a unor modele ce usureaza muncaproiectatilor de circuite integrate. Acest deziderent poate fi realizat ınsa folosind diverseabordari.

O prima metoda de reducere a efortului de calcul, se bazeaza pe cunostintele de fizicasi matematica, constand ın simplificarea problemei, prin ıntelegerea fenomenelor electro-magnetice specifice dispozitivului analizat. Prin partitionarea pe domenii, fiecare partecomponenta este analizata ın mod independent, obtinandu-se astfel simplificarea proble-mei initiale de camp si tratarea subdomeniilor prin metode specifice. Metoda este eficientapentru dispozitive ın care domeniul de calcul prezinta zone omogene pentru a caror analizanu este necesar sa fie luate ın considerare toate efectele campului, pentru care se pot adoptaipoteze simplificatoare ce conduc la reducerea considerabila a efortului de calcul. Pe dealta partea, comparativ cu problema fara partitionare, identificarea conditiilor de frontiera,ce descriu ın mod optim cuplajul ıntre subdomenii, necesita gasirea conectorilor de peintefata, ceea ce introduce practic un efort suplimentar de calcul. Acesta este de multe oribalansat de rapiditatea generarii sistemului pentru subdomeniile ın care modelarea se faceın regimuri particulare ale campului, precum EQS, MQS, ES, facilitata de folosirea uneistrategii potrivite de alegerea a conectorilor.

Indiferent de metoda de modelare numerica aleasa, determinarea solutiei de campse reduce la rezolvarea unui sistem de ecuatii liniare. Un astfel de sistem a rezultat prindiscretizarea numerica cu FIT a ecuatiilor lui Maxwell, cu conditii de frontiera EMCE, iarpentru rezolvarea lui trebuie analizate proprietatile matricei sistemului si identificate celemai potrivite metode de calcul. Matricea este indefinita, nesimetria si complexa, acesteproprietati facand dificila rezolvarea cu metode standard, atat iterative cat si directe. Fo-

35

7. Concluzii finale si contributii originale

losirea unei tehnici adecvate de preconditionare este o necesitate analizata ın prezentalucrarea, aceasta fiind realizata prin adoptarea unei metode de eliminare a elementelornule de pe diagonala prin permutarea ecuatiilor si de scalare a lor pentru ımbunatatireanumarului de conditionare a matricei sistemului si de reordonare a necunoscutelor pentruımbunatatirea structurii matricei si pentru a facilita aplicarea metodelor iterative. Metodaaduce ımbunatatiri ın timpul de rezolvare si memoria folosita ınsa chiar si asa este departede a fi competitor redutabil pentru metodele directe. Aceasta se datoreaza caracteruluiindefinit si nesimetric ale matricei, care fac dificila identificarea unei preconditionarii cuadevarat eficiente, permitand obtinerea unor factori de preconditionare doar prin metode ceısi au radacinile tot ın algoritmii de rezolvare directa.

Modul ın care se realizeaza discretizarea ecuatiilor lui Maxwell cu FIT, are un avantajenorm ce este o consecinta directa a gridului dual de discretizare inerent metodei. Printr-o ordonare corespunzatoare, ecuatiile sistemului, ce corespund tensiunilor magnetice dininteriorul domeniului de calcul, pot fi aranjate ın primele poziitii ale matricei, formandun bloc diagonal de dimensiune mare raportata la dimensiunea ıntregului sistem. Acestlucru permite implementarea unei metode eficiente de partitioanare pe blocuri ce conducela rezolvarea unui sistem mult mai mic decat cel initial, cu ımbunatatiri evidente pentrutimpul de calcul si memoria sistemului.

Concluzia generala este ca discretizarea cu FIT care impune folosirea metodelor di-recte de rezolvare este aplicabila doar unor probleme de dimensiuni relativ scazute (cu subun milion de grade de libertate). In acest context doar abordarea de tip DP, folosita in-tensiv ın teza este cea care evidentiaza utilitatea discretizarii FIT ın modelarea circuitelorintegrate de mare complexitate.

Principalele contributii originale aduse de autor ın prezenta teza de doctorat sunturmatoarele:

1. Conceperea si implementarea unei proceduri de rezolvare directa, bazata pe exploa-tarea structurii bloc a matricei sistemului, ce reduce cu 35− 45% timpul de calcul sicu 30% memoria folosita.

2. Determinarea si implementarea unui proces hibrid de preconditionare pentru ımbu-natatirea rezolvarii prin metode iterative a sistemelor de ecuatii generate cu FIT.

3. Studiul eficientei metodei de partitionare pe domenii pentru modelarea microsisteme-lor integrate pe calculatoare microprocesor, obtinandu-se ın final o reducere a efortulde calcul ın modelarea electromagnetica a microsistemelor integrate.

4. Studiu critic asupra metodelor de modelare electromagnetica a microsistemelor in-tegrate prezentate ın literatura, fiind identificate principale avantaje, dezavantaje silimitari ale acestora. A fost identificata o metoda de modelare electromagnetica amicrosistemelor integrate, pornind de la ecuatiile lui Maxwell, care este potrivitapentru analiza si simularea acesor dispozitive si care tine seama de toate efectelecampului electromagnetic. Prezentarea comparativa a diferitelor proceduri de mode-lare, FEM, BEM, FIT, PEEC, si identificarea celei mai potrivite dintre acestea pentrumodelarea electromagnetica a microsistemelor integrate.

5. Studiul eficientei metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare generate cuFIT, folosind mediul de programare paralela din Matlab si a fost identificata pro-

36

cedura care da cele mai bune rezultate, experimentele realizandu-se pe sistemul decalcul multiprocesor ATLAS din LMN care are o arhitectura ierarhica, pe trei nivele.

6. Conceperea si implementarea ın mediul de programare PETSc a unui un programde calcul distribuit, bazat pe solverul MUMPS, pentru rezolvarea prin metode di-recte a sistemelor de ecuatii de mari dimensiuni rezultate prin discretizarea cu FIT aecuatiilor lui Maxwell satisfacute de campul electromagnetic din dispozitivele micro-electro-mecanice integrate.

Aceste realizari au fost obtinute prin lucrul ın echipa, ın cadrul diferitelor proiecte decercetare, cu caracter national si international, ce s-au desfasurat ın cadrul Laboratoruluide Modelare Numerica LMN din UPB.

Lista lucrarilor publicate1. G. Ciuprina, D. Ioan, I.A. Lazar and C.B. Dita, ”Vector Fitting Based Adaptive

Frequency Sampling for Compact Model Extraction on HPC Systems”, IEEE Tran-sactions on Magnetics, vol.48, nr.2, February 2012, pp:431-434, ISSN 0018-9464.

2. D. Ioan, G. Ciuprina, C.B. Dita and M.I. Andrei, ”Electromagnetic Models of Inte-grated Circuits with Coupled Magnetic Circuits”, 2012 International Conference onElectromagnetics in Advanced Applications (ICEAA), Cape Town, South Africa, 2-7September, 2012, pp: 768-771, ISBN: 978-1-4673-0333-0.

3. G. Ciuprina, D. Ioan, C.B. Dita and M.I. Andrei, ”Frequency Parameterized Modelsfor Planar On-Chip Inductors”, Book of Abstracts, Scientific Computing in ElectricalEngineering (SCEE 2012), 11-13 September, 2012, Zurich, Switzerland.

4. G. Ciuprina, D. Ioan, C.B. Dita, M.I. Andrei, ”Optimal terminals identification fordomain partitioning of electro-magnetic circuit elements”, Proceedings of 12th In-ternational Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism(OIPE 2012), 19-21 September, 2012, Ghent, Belgium.

5. M.I. Andrei, C.B. Dita, G. Ciuprina and D. Ioan, ”Effective Modeling of HF Inte-grated Components with Domain Partitioning and Order Reduction”, Proceedings ofthe 8th International Symposium on Advanced Topics in Electrical Engineering, May23-25, 2013, Bucharest, Romania, ISBN 978-1-4673-5978-8.

6. A. Alexandru, S. Lup and C.B. Dita, ”GDS2M: Preprocessing Tool for MEMS Devi-ces”, Proceedings of the 8th International Symposium on Advanced Topics in Electri-cal Engineering, May 23-25, 2013, Bucharest, Romania, ISBN 978-1-4673-5978-8.

7. G. Ciuprina, C.B. Dita, M.I. Andrei and D. Ioan, ”Hierarchical Sparse Circuits forthe Modeling of Homogenous Domains in High Frequency ICs”, Book chapter inAdvances in Engineering: From Theory to Application, Politehnica Press, Bucuresti,2012.

8. M.I. Andrei and C.B. Dita, ”Using Multiprocessors Systems for ElectromagneticModelling of Spiral Inductors”, Buletinul Stintific UPB, vol. 76, no. 1, 2014.

37

Bibliografie

[1] G. M. Rebeiz, RF MEMS Theory, Design and Technology. John Wiley, 2003.

[2] W. H. Schilders, H. A. van der Vorst, and J. Rommes, Model Order Reduction. Springer,2008.

[3] D. Ioan, “Parametric reduced-order models for passive integrated components coupled withtheir EM Environment, Scientific Computing in Electrical Engineering SCEE, September-October 2008, helsinki, Finland.

[4] S. Senturia, N. Aluru, and J. White, “Simulating the behavior of mems devices: Computantio-nal methods and needs, IEEE Computational Science and Engineering, vol. 4, January 1997.

[5] J. Qian, G. P. Li, and F. De Flaviis, “A parametric model of low-loss rf mems capacitiveswitches, in Microwave Conference, 2001. APMC 2001. 2001 Asia-Pacific, vol. 3, 2001, pp.1020–1023 vol.3.

[6] A. Timotin, “Elementul electromagnetic pasiv de circuit, Revue Roumaine des sciences tech-niques, vol. 21, 1971.

[7] D. Ioan, W. Schilders, G. Ciuprina, N. Meijs, and W. Schoenmaker, “Models for integratedcomponents coupled with their em enviroment, COMPEL, vol. 27, April 2008, 820–828.

[8] G. Ciuprina, A. Stefanescu, S. Kula, and D. Ioan, “Robust Procedures for Parametric Mo-del Order Reduction of High Speed Interconnects, to be published in COMSON handbook,Springer, 2014.

[9] B. Gustavsen and A. Semlyen, “Rational approximation of frequency domain responses byvector fitting, Power Delivery, IEEE Transactions on, vol. 14, no. 3, pp. 1052–1061, Jul 1999.

[10] D. Ioan, G. Ciuprina, C.-B. Dita, and M.-I. Andrei, “Electromagnetic models of integrated cir-cuits with coupled magnetic circuits, in Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA),2012 International Conference on, Sept 2012, pp. 768–771.

[11] I. Duff and J. Koster, “The design and use of algorithms for permuting large entries to thediagonal of sparse matrices, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 20,no. 4, pp. 889–901, 1999. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1137/S0895479897317661

[12] Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed. Society for Industrial andApplied Mathematics, 2003.

[13] C. Goldsmith, Z. Yao, S. Eshelman, and D. Denniston, “Performance of low-loss rf memscapacitive switches, Microwave and Guided Wave Letters, IEEE, vol. 8, no. 8, pp. 269–271,Aug 1998.

38