Cuprins

1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1

1.1 Spaţiul vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Produsul vectorial şi produsul mixt ı̂n R3 . . . . . . . . . . . 6

1.3 Funcţii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Continuitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Derivabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR 15

2.1 Curbe regulate ı̂n R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Parametrul lungime de arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Schimbarea a două parametrizări prin lungimea de arc 28

2.3 Tangenta ı̂ntr-un punct al unei curbe regulate . . . . . . . . . 28

2.4 Planul osculator la o curbă regulată ı̂ntr-un punct neinflexio-nar al ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Curbura unei curbe regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.1 Exprimarea curburii ı̂ntr-o parametrizare arbitrară . . 42

2.6 Reperul lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6.1 Reperul şi formulele lui Frenet pentru o curbă para-metrizată prin lungimea de arc . . . . . . . . . . . . . 47

2.6.2 Exprimarea torsiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.7 Forma locală a curbelor ı̂n spaţiu . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7.1 Forma locală a curbelor plane . . . . . . . . . . . . . . 59

v

vi Cuprins

2.8 Teorema fundamentală a curbelor ı̂n spaţiu . . . . . . . . . . 61

1

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1.1. Spaţiul vectorial Rn

Mulţimea Rn reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x1, . . . , xn) cu x1, . . . , xn

numere reale, adică

Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R}.

Un n-uplu x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn ı̂l vom numi ı̂n continuare vector. Definimadunarea vectorilor prin

” + ” : Rn × Rn → Rn, x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn),

unde x = (x1, . . . , xn) iar y = (y1, . . . , yn). Se verifică imediat că adunareavectorilor satisface următoarele proprietăţi:

1. (x+ y) + z = x+ (y + z) (asociativitatea)

2. vectorul nul 0 = (0, . . . , 0) este element neutru, adică

x+ 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ Rn

3. orice vector x = (x1, . . . , xn) are un opus notat −x dat de −x =(−x1, . . . ,−xn), adică

x+ (−x) = (−x) + x = 0

1

2 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

4. x+ y = y + x (comutativitatea).

Proprietăţile de mai sus arată că (Rn,+) este un grup abelian.Definim ı̂nmulţirea cu scalari a vectorilor prin

” · ” : R× Rn → Rn, a · x = ax = (ax1, . . . , axn),

unde x = (x1, . . . , xn). Înmulţirea cu scalari satisface următoarele pro-prietăţi:

1. a(x+ y) = ax+ ay

2. (a+ b)x = ax+ bx

3. (ab)x = a(bx)

4. 1x = x.

Prin urmare (Rn,+, ·) satisface axiomele de spaţiu vectorial real.

Observaţia 1.1.1. Dacă a este un număr real nenul, vom nota uneori 1axcu xa .

Vom presupune cunoscute noţiunile de sistem de vectori liniari indepen-denţi (̂ın Rn), bază şi orientare. Peste tot ı̂n acest curs, dacă nu se specifică,vom considera că (e1, . . . , en) este bază orientată pozitiv ı̂n R

n, unde e1 =(1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1). Vom folosi notaţia (e1, . . . , en) pentru apune ı̂n evidenţă faptul că ordinea vectorilor este importantă. Pentru unvector x ∈ Rn avem

x = (x1, . . . , xn) = x1e1 + . . .+ xnen = x

iei,

iar x1, . . . , xn se numesc coordonatele vectorului x ı̂n raport cu baza canonică{e1, . . . , en}.

Pe Rn definim acum produsul scalar euclidian

〈, 〉 : Rn × Rn → R, 〈x, y〉 = x1y1 + . . .+ xnyn.

Se verifică imediat că aplicaţia 〈, 〉 este biliniară, simetrică şi pozitiv definită,adică

1.1. Spaţiul vectorial Rn 3

1. 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉

2. 〈ax, y〉 = a〈x, y〉

3. 〈x, y〉 = 〈y, x〉

4. 〈x, x〉 ≥ 0 cu egalitate dacă şi numai dacă x = 0.

Norma euclidiană a unui vector x se defineşte prin

‖x‖ =»〈x, x〉 =

»(x1)2 + . . . + (xn)2.

Evident, ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0 şi ‖ax‖ = |a|‖x‖. Notăm că baza canonică{e1, . . . , en} este o bază ortonormată ı̂n raport cu produsul scalar euclidian.

Teorema 1.1.1. (Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz). Pentru oricevectori x, y ∈ Rn avem

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.Egalitatea are loc dacă şi numai dacă x şi y sunt coliniari (paraleli), adică‖x‖‖y‖ = 0 sau există a ∈ R∗ astfel ı̂ncât x = ay.

Teorema 1.1.2. (Inegalitatea Minkowski (inegalitatea triunghiulară)). Pen-tru orice vectori x, y ∈ Rn avem

‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Egalitatea are loc dacă şi numai dacă x şi y sunt coliniari şi de acelaşi sens,adică ‖x‖‖y‖ = 0 sau x = ay cu a > 0.

Corolarul 1.1.1. Pentru orice vectori x, y ∈ Rn avem∣∣∣‖x‖ − ‖y‖

∣∣∣ ≤ ‖x− y‖.

Prin definiţie, unghiul a doi vectori nenuli x şi y este numărul ∢(x, y) ∈[0, π] dat de

cos∢(x, y) =〈x, y〉‖x‖‖y‖ .

Doi vectori nenuli x şi y se numesc ortogonali, sau perpendiculari, dacă∢(x, y) = π2 , adică 〈x, y〉 = 0.

4 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Convenim că vectorul nul este paralel, sau paralel şi de acelaşi sens, cuorice alt vector şi, de asemeni, el este perpendicular pe orice alt vector.

Considerăm acum E3 spaţiul construit cu axiomatica lui Hilbert. Prinrelaţia de echipolenţă se construieşte V3-spaţiul vectorial al vectorilor liberi.Reamintim că două segmente orientate AB şi DC se numesc echipolentedacă segmentele [AC] şi [BD] au acelaşi mijloc. Relaţia de echipolenţă esteo relaţie de echivalenţă pe mulţimea segmentelor orientate, iar o clasă deechivalenţă se numeşte vector liber.

Un vector liber ı̂l vom nota, ı̂n general, prin−−→AB,

−−→CD, etc., sau u, v,

etc. Reamintim că vectorul nul, notat cu 0, este definit prin 0 =−→AA,

A ∈ E3, şi vom presupune cunoscute noţiunile de lungime a unui vector(avem fixată unitatea de lungime), direcţie şi sens. V3 cu operaţiile deadunare a vectorilor, după regula paralelogramului, şi ı̂nmulţire cu scalaridevine un spaţiu vectorial real de dimensiune 3.

Fie {i, j, k} o bază ortonormată arbitrară ı̂n V3, adică vectorii i, j şi kau lungimea 1 şi oricare doi dintre ei au direcţiile corespunzătoare perpen-diculare. Fixăm Oxyz un reper cartezian determinat de baza

Äi, j, k

äşi

punctul O ∈ E3, şi considerăm u1, u2 ∈ V3. Vectorului u1, aplicat ı̂n O, ı̂icorespunde ı̂n mod unic tripletul (x1, y1, z1) ∈ R3 şi, la fel, vectorului u2ı̂i corespunde ı̂n mod unic tripletul (x2, y2, z2). Notăm că tripletele respec-tive nu depind de alegerea punctului O din E3, dar depind de alegerea bazeiortonormate

Äi, j, k

ä. Se poate demonstra şi “geometric”, “algebric” fiind

trivial, că lui u1 + u2, construit cu regula paralelogramului, ı̂i corespunde(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Dacă lui u ı̂i corespunde (x, y, z), atunci lui au ı̂icorespunde tripletul (ax, ay, az). Lungimea vectorului u este dată de

‖u‖ =»x2 + y2 + z2.

În V3 definim ı̂n mod natural unghiul a doi vectori liberi nenuli, iar apoidefinim produsul scalar canonic

〈u, v〉 ={0, dacă u = 0 sau v = 0

‖u‖‖v‖ cos∢(u, v), dacă u 6= 0 şi v 6= 0,

unde ‖u‖ este lungimea vectorului u, iar prin ∢(u, v) ı̂nţelegem de faptmăsura unghiului dintre vectorii liberi u şi v. Evident, u⊥v, adică ‖u‖‖v‖ =

1.1. Spaţiul vectorial Rn 5

0 sau ∢(u, v) = π2 , dacă şi numai dacă 〈u, v〉 = 0, iar norma unui vector, caradical din produsul scalar dintre el şi el ı̂nsuşi, coincide cu lungimea sa.

Dacă {i, j, k} este o bază ortonormată ı̂n V3, atunci ea este ortonormatăşi ı̂n raport cu produsul scalar canonic. Fie Oxyz un reper cartezian fixat şiconsiderăm u1, u2 ∈ V3. Lui u1 ı̂i corespunde tripletul (x1, y1, z1), iar lui u2ı̂i corespunde (x2, y2, z2). Atunci se poate demonstra şi geometric că avemrelaţia

〈u1, u2〉 = x1x2 + y1y2 + z1z2.Deoarece ı̂ntr-un triunghi suma lungimilor a două laturi este mai mare

decât lungimea celei de a treia laturi obţinem că, pentru orice vectori liberinecoliniari u, v ∈ V3 avem

|u+ v| < |u|+ |v| şi |u| − |v| < |u+ v|.

Observaţia 1.1.2. Fie u =−→OA şi v =

−−→OB, u 6= v. Atunci 〈u, v〉 reprezintă

puterea punctului O faţă de cercul de diametru [AB], adică 〈u, v〉 = OK2−AB2

4 , unde K este mijlocul segmentului [AB].

Observaţia 1.1.3. În V3 nu avem o bază canonică.

Fie (i, j, k) o bază ortonormată orientată pozitiv (dacă nu se specifică,orientarea pozitivă ı̂n V3 este dată de regula burghiului). Definim operatorulliniar T : V3 → R3 prin T (i) = e1, T (j) = e2 şi T (k) = e3. T este unizomorfism, adică un operator liniar bijectiv şi, ı̂n plus, ‖T (u)‖ = ‖u‖,∀u ∈ V3, adică T este izometrie.

Relaţia ‖T (u)‖ = ‖u‖, ∀u ∈ V3, este echivalentă cu

〈T (u), T (v)〉 = 〈u, v〉, ∀u, v ∈ V3.

Într-adevăr, implicaţia directă rezultă astfel

‖T (u+ v)‖2 = ‖T (u) + T (v)‖2 = ‖T (u)‖2 + ‖T (v)‖2 + 2〈T (u), T (v)〉= ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈T (u), T (v)〉.

Pe de altă parte

‖T (u+ v)‖2 = ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉.

6 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Din cele două relaţii rezultă 〈T (u), T (v)〉 = 〈u, v〉.Implicaţia reciprocă rezultă imediat considerând u = v. Notăm că T nu

este o izometrie canonică.În general, ı̂n acest curs vom considera ı̂n E3 un reper cartezian

fixat, cu originea ı̂n punctul O şi Ox, Oy, Oz axele de coordonate (drepteleOx,Oy şi Oz sunt perpendiculare ı̂ntre ele, sunt orientate şi avem fixatăunitatea de lungime). Avem identificările obişnuite ale lui E3 cu R3 şi V3

E3 ∋ M → (xM , yM , zM ) = xMe1 + yMe2 + zMe3 ∈ R3

→ xM i+ yMj + zMk =−−→OM ∈ V3.

1.2. Produsul vectorial şi produsul mixt ı̂n R3

Pentru simplitatea expunerii, vom defini produsul vectorial şi produsul mixtpentru vectori din R3.

Definiţia 1.2.1. Dacă x = (x1, x2, x3) şi y = (y1, y2, y3) ∈ R3, atunciprodusul vectorial x× y este definit prin determinantul formal

x× y =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣∈ R3.

Produsul vectorial nu se schimbă dacă ı̂nlocuim baza canonică (e1, e2, e3)cu o altă bază ortonormată orientată pozitiv. Dacă vom schimba orientareape R3 produsul vectorial ı̂şi va schimba sensul.

Proprietăţi

1. x× y⊥x, adică 〈x× y, x〉 = 0, şi x× y⊥y

2. x× y = 0 ⇔ x‖y, adică x = ay sau y = bx, a, b ∈ R

3. dacă x× y 6= 0, atunci (x, y, x× y) este o bază orientată pozitiv ı̂n R3

4. dacă x × y 6= 0, atunci ‖x × y‖ = ‖x‖‖y‖ sin∢(x, y), adică ‖x × y‖este aria paralelogramului construit pe vectorii x şi y aplicaţi ı̂n acelaşipunct

1.2. Produsul vectorial şi produsul mixt ı̂n R3 7

5. x× y = −y × x.

Notăm că produsul vectorial nu este asociativ, iar proprietăţile anterioarenu depind de orientarea aleasă pe R3.

Observaţia 1.2.1. În V3 putem defini produsul vectorial a doi vectori exactca mai sus, folosind (i, j, k) o bază ortonormată orientată pozitiv (orientareapozitivă dată de regula burghiului). Sau, putem defini astfel: u × v = 0dacă u şi v sunt coliniari, iar dacă u şi v nu sunt coliniari, atunci u × veste vectorul cu direcţia perpendiculară pe direcţia lui u şi a lui v, lungimeaegală cu ‖u‖‖v‖ sin∢(u, v) şi sensul astfel ı̂ncât (u, v, u × v) este orientatăpozitiv.

Definiţia 1.2.2. Produsul mixt a trei vectori x, y, z ∈ R3 este numărul real

(x, y, z) = 〈x, y × z〉.

Prin (x, y, z) vom nota atât produsul mixt al celor trei vectori x, y şi z,cât şi sistemul format de ei; deosebirea va reieşi din context.

Se demonstrează că

(x, y, z) =

∣∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣

şi au loc

Proprietăţi

1. (x, y, z) = 0 ⇔ {x, y, z} sunt coplanari

2. dacă (x, y, z) 6= 0, atunci |(x, y, z)| reprezintă volumul paralelipipedu-lui construit pe cei 3 vectori aplicaţi ı̂n acelaşi punct.

Notăm că produsul mixt depinde până la semn de orientarea aleasă pe R3.

8 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1.3. Funcţii vectoriale

În această secţiune vom reaminti pe scurt câteva noţiuni elementare de to-pologie şi analiză vectorială. Nu vom prezenta demonstraţiile ı̂n detaliu, eleregăsindu-se ı̂n orice curs de Analiză Matematică.

Definiţia 1.3.1. Se numeşte bilă deschisă ı̂n Rn de centru x0 şi rază r > 0mulţimea

Bn(x0; r) = {x ∈ Rn : ‖x− x0‖ < r}.

Reamintim că, dacă x0 = (x10, . . . , x

n0 ) şi x = (x

1, . . . , xn), atunci

‖x− x0‖2 = (x1 − x10)2 + . . . + (xn − xn0 )2.

Dacă n = 1, atunci B1(x0; r) este intervalul deschis (x0 − r, x0 + r), dacăn = 2, B2(x0; r) reprezintă interiorul cercului C(x0; r) = S1(x0; r), iar dacăn = 3, B3(x0; r) reprezintă interiorul sferei S

2(x0; r).

Definiţia 1.3.2. O submulţime U ⊂ Rn se numeşte deschisă ı̂n Rn dacăoricare ar fi x ∈ U, există r > 0 astfel ı̂ncât Bn(x; r) ⊂ U.

Exemplul 1.3.1. Rn este deschisă ı̂n Rn, iar bila Bn(x0; r) este tot o sub-mulţime deschisă a lui Rn.

Prin convenţie, mulţimea vidă este considerată mulţime deschisă.

Exemplul 1.3.2. În R2, submulţimea U = {(x1, x2) ∈ R2 : a < x1 < bşi c < x2 < d} este deschisă, dar U = {(x1, x2) ∈ R2 : a ≤ x1 < b şic < x2 < d} nu mai este deschisă (vezi Figurile 1.1 şi 1.2)

a b

c

d

x2

x1

a b

c

d

x2

x1

.

Figura 1.1 Figura 1.2

1.3. Funcţii vectoriale 9

Definiţia 1.3.3. O submulţime U ⊂ Rn se numeşte ı̂nchisă ı̂n Rn dacăcomplementara sa Rn\U este deschisă ı̂n Rn.

Definiţia 1.3.4. Se numeşte bilă ı̂nchisă ı̂n Rn de centru x0 şi rază r > 0mulţimea

Bn(x0; r) = {x ∈ Rn : ‖x− x0‖ ≤ r}.

Evident, Bn(x0; r) = B

n(x0; r) ∪ Sn−1(x0; r).Orice bilă ı̂nchisă este o submulţime ı̂nchisă ı̂n Rn. Spaţiul Rn este

submulţime ı̂nchisă ı̂n Rn, iar mulţimea U = {(x1, x2) ∈ R2 : a ≤ x1 < b şic < x2 < d} nu este nici ı̂nchisă nici deschisă ı̂n Rn.

Considerăm I un interval deschis din R şi f : I → Rn o funcţie vectorială.Funcţia f se scrie ı̂n mod unic

f = (f1, . . . , fn) = f1e1 + . . .+ fnen,

unde f1, . . . , fn : I → R, iar (e1, . . . , en) este baza canonică.

Definiţia 1.3.5. Fie f : I → Rn o funcţie vectorială şi t0 ∈ R un punct deacumulare al lui I. Spunem că funcţia f are limita l ∈ Rn ı̂n punctul t0, şiscriem limt→t0 f(t) = l, dacă oricare ar fi ε > 0 există δ > 0 astfel ı̂ncât

f(t) ∈ Bn(l; ε), ∀t ∈ ((t0 − δ, t0 + δ)\{t0}) ∩ I.

Observaţia 1.3.1. Dacă t0 = ∞, atunci ı̂n definiţie vom ı̂nlocui ”∀t ∈((t0 − δ, t0 + δ)\{t0}) ∩ I” cu ”∀t > δ”, iar dacă t0 = −∞, atunci ı̂nlocuim”∀t ∈ ((t0 − δ, t0 + δ)\{t0}) ∩ I” cu ”∀t < −δ”.

Teorema 1.3.1. Fie f : I → Rn o funcţie vectorială şi t0 ∈ R un punct deacumulare. Atunci

limt→t0

f(t) = l ∈ Rn ⇔ limt→t0

‖f(t)− l‖ = 0.

Demonstraţie. Demonstraţia este evidentă deoarece

f(t) ∈ Bn(l; ε) ⇔ ‖f(t)− l‖ < ε.

10 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Teorema 1.3.2. Fie f : I → Rn o funcţie vectorială şi t0 ∈ R un punct deacumulare. Atunci

limt→t0

f(t) = l = (l1, . . . , ln) ∈ Rn ⇔ limt→t0

f1(t) = l1, . . . , limt→t0

fn(t) = ln.

Demonstraţie. Pentru implicaţia directă observăm mai ı̂ntâi că

‖f(t)− l‖2 = ‖(f1(t)− l1, . . . , fn(t)− ln)‖2

= (f1(t)− l1)2 + . . . + (fn(t)− ln)2

≥ (f i(t)− li)2,

pentru orice i = 1, n. Deci ‖f(t)−l‖ ≥ |f i(t)−li| şi prin urmare ‖f(t)−l‖ < εimplică |f i(t)− li| < ε.

”⇐” Presupunem că t0 ∈ R.Fie ε > 0. Atunci, pentru orice i = 1, n, există δi > 0 astfel ı̂ncât

|f i(t)− li| < ε√n, ∀t ∈ ((t0 − δi, t0 + δi)\{t0}) ∩ I.

Considerăm δ = min{δi : i = 1, n}. Atunci, ∀t ∈ ((t0 − δ, t0 + δ)\{t0}) ∩ Iavem |f i(t)− li| < ε√

n, ∀i = 1, n, şi deci

‖f(t)− l‖2 = (f1(t)− l1)2 + . . .+ (fn(t)− ln)2 < ε2

n+ . . .+

ε2

n= ε2,

adică ‖f(t)− l‖ < ε.Dacă t0 = ±∞, demonstraţia se face ı̂n mod analog.

Teorema 1.3.3. Fie f : I → Rn o funcţie vectorială şi t0 ∈ R un punct deacumulare. Dacă limt→t0 f(t) = l ∈ Rn, atunci limt→t0 ‖f(t)‖ = ‖l‖.

Demonstraţie. Deoarece funcţia radical este continuă, avem

limt→t0

‖f(t)‖ = limt→t0

»(f1(t))2 + . . . + (fn(t))2

=»(l1)2 + . . .+ (ln)2

= ‖l‖.

1.4. Continuitatea 11

Alte proprietăţi: Fie f , g : I → Rn două funcţii vectoriale şi t0 ∈ R unpunct de acumulare. Presupunem că limt→t0 f(t) = l ∈ Rn şi limt→t0 g(t) =m ∈ Rn. Considerăm h : I → R şi presupunem că limt→t0 h(t) = a ∈ R.Avem

1. limt→t0(f + g)(t) = limt→t0 f(t) + limt→t0 g(t) = l +m

2. limt→t0(hf)(t) = (limt→t0 h(t))(limt→t0 f(t)) = al

3. dacă a 6= 0, atunci limt→t0( 1hf)(t) = 1limt→t0 h(t) limt→t0 f(t) =1a l

4. limt→t0〈f , g〉(t) = 〈limt→t0 f(t), limt→t0 g(t)〉 = 〈l,m〉

5. ı̂n R3: limt→t0(f × g)(t) = (limt→t0 f(t))× (limt→t0 g(t)) = l ×m,

unde funcţia 〈f , g〉 : I → R este dată de 〈f , g〉(t) = 〈f(t), g(t)〉, iar ı̂n R3,f × g : I → R3 este definită prin (f × g)(t) = f(t)× g(t).

1.4. Continuitatea

Definiţia 1.4.1. Fie f : I → Rn o funcţie vectorială şi t0 ∈ I. Spunem căf este continuă ı̂n t0 dacă

∃ limt→t0

f(t) = f(t0).

Echivalent, f este continuă ı̂n t0 ∈ I dacă şi numai dacă oricare ar fiε > 0 există δ > 0 astfel ı̂ncât

‖f(t)− f(t0)‖ < ε, ∀t ∈ (t0 − δ, t0 + δ).

Teorema 1.4.1. O funcţie vectorială f : I → Rn este continuă ı̂n t0 dacăşi numai dacă f1, . . . , fn sunt funcţii continue ı̂n t0.

Definiţia 1.4.2. O funcţie vectorială f : I → Rn se numeşte continuă dacăf este continuă ı̂n orice punct t0 ∈ I.

12 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1.5. Derivabilitatea

Definiţia 1.5.1. Fie f : I → Rn o funcţie vectorială şi t0 ∈ I. Spunem căf este derivabilă ı̂n t0 dacă

∃ limt→t0

1

t− t0{f(t)− f(t0)} ∈ Rn.

Dacă f este derivabilă ı̂n t0 vom nota limita de mai sus cu f′(t0) sau cu

dfdt (t0).

Teorema 1.5.1. Fie f : I → Rn o funcţie vectorială şi t0 ∈ I. Atunci feste derivabilă ı̂n t0 dacă şi numai dacă f

1, . . . , fn sunt derivabile ı̂n t0 şi,ı̂n acest caz,

f′(t0) = ((f

1)′(t0), . . . , (fn)′(t0)).

Teorema 1.5.2. Fie f : I → Rn o funcţie vectorială şi t0 ∈ I. Dacă f estederivabilă ı̂n t0 atunci f este continuă ı̂n t0.

Demonstraţie. Pentru orice t ∈ I\{t0} avem

f(t) = f(t0) + (t− t0)f(t)− f(t0)

t− t0şi, trecând la limită cu t → t0, obţinem

limt→t0

f(t) = f(t0) + 0f′(t0) = f(t0),

adică f este continuă ı̂n t0.

Alte proprietăţi. Fie f, g : I → Rn două funcţii vectoriale derivabile ı̂nt0 ∈ I şi presupunem că h : I → R este derivabilă ı̂n t0. Avem

1. (f + g)′(t0) = f′(t0) + g

′(t0)

2. (hf)′(t0) = h′(t0)f(t0) + h(t0)f′(t0)

3. dacă h(t0) 6= 0, atunci(fh

)′(t0) =

h(t0)f′

(t0)−h′(t0)f(t0)h2(t0)

1.5. Derivabilitatea 13

4. (〈f , g〉)′(t0) = 〈f ′(t0), g(t0)〉+ 〈f(t0), g′(t0)〉

5. ı̂n R3 : (f × g)′(t0) = f ′(t0)× g(t0) + f(t0)× g′(t0).

Definiţia 1.5.2. O funcţie vectorială f : I → Rn se numeşte derivabilă dacăf este derivabilă ı̂n orice t0 ∈ I.

Este clar că o funcţie vectorială f : I → Rn este de clasă Cm, m ≥ 1,dacă şi numai dacă f i este de clasă Cm, ∀i = 1, n.

Dacă f , g şi h sunt de clasă Cm, atunci şi f+g, hf , 〈f , g〉 şi f×g (pentruR3) sunt de clasă Cm.Încheiem această secţiune reamintind Formula lui Taylor

Teorema 1.5.3. Fie I un interval deschis al lui R şi f : I → R o funcţie declasă Cm. Fie t0 ∈ I fixat arbitrar. Atunci există o unică funcţie αt0 : I → Rcontinuă, αt0(t0) = 0, astfel ı̂ncât

f(t) = f(t0) + (t− t0)f ′(t0)1!

+ (t− t0)2f ′′(t0)2!

+ . . .+ (t− t0)mf (m)(t0)

m!

+(t− t0)m

m!αt0(t), ∀t ∈ I.

Observaţia 1.5.1. Funcţia αt0 nu este, ı̂n general, derivabilă ı̂n t0. De

exemplu, considerăm f : (−1, 1) → R, f(t) ={−t4, t < 0t4, t ≥ 0

. Se verifică uşor

că f ∈ C3(−1, 1) şi f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 0. Prin urmare f(t) = t36 α0(t)unde α0(t) = 6|t| care nu este derivabilă ı̂n 0 (α ∈ C0(−1, 1)).

Teorema 1.5.4. Fie I un interval deschis al lui R şi f : I → Rn o funcţievectorială de clasă Cm. Fie t0 ∈ I fixat arbitrar. Atunci există o unicăfuncţie vectorială αt0 : I → Rn continuă, αt0(t0) = 0, astfel ı̂ncât

f(t) = f(t0) + (t− t0)f′(t0)

1!+ (t− t0)2

f′′(t0)

2!+ . . .+ (t− t0)m

f(m)

(t0)

m!

+(t− t0)m

m!αt0(t), ∀t ∈ I.

14 Capitolul 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

2

GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

2.1. Curbe regulate ı̂n R3

Definiţia 2.1.1. Numim curbă parametrizată regulată de clasă Cm ı̂n R3

o funcţie vectorială ρ : I → R3 de clasă Cm, m ≥ 1, astfel ı̂ncât ρ′(t) 6= 0,∀t ∈ I.Observaţia 2.1.1. Putem defini şi noţiunea de curbă parametrizată regu-lată de clasă Cm ı̂n E3 astfel. Fie ρ : I → E3 o funcţie şi fieR =

¶O;Äi, j, k

ä©

un reper cartezian. Folosind identificarea uzuală obţinem funcţia vectorialăρR : I → R3. Spunem că ρ : I → E3 este curbă parametrizată regulatăde clasă Cm dacă ρR : I → R3 este curbă parametrizată regulată de clasăCm (desigur, definiţia are caracter geometric, adică nu depinde de reperulcartezian ales).

Vectorul ρ′(t) se mai numeşte şi vectorul viteză al lui ρ ı̂n t, iar ‖ρ′(t)‖se mai numeşte viteza lui ρ ı̂n t.

O curbă parametrizată regulată poate avea puncte multiple, adică t1 6= t2dar ρ(t1) = ρ(t2). Totuşi, avem:

Teorema 2.1.1. Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată. Atuncioricare ar fi t0 ∈ I există ε > 0 astfel ı̂ncât (t0− ε, t0+ ε) ⊂ I şi ρ∣∣∣(t0−ε,t0+ε)este injectivă.

15

16 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Demonstraţie. Fie t0 ∈ I fixat arbitrar. Deoarece ρ′(t0) 6= 0 rezută căx′(t0) 6= 0 sau y′(t0) 6= 0 sau z′(t0) 6= 0, unde ρ(t) = (x(t), y(t), z(t)).Presupunem că x′(t0) 6= 0. Atunci x′(t) are semn constant pe o vecinătate alui t0, (t0−ε, t0+ε), şi prin urmare x(t) este strict monotonă pe (t0−ε, t0+ε)deci este injectivă. Prin urmare şi ρ∣∣∣(t0−ε,t0+ε)

este injectivă.

Proprietatea de a fi regulată, adică ρ′(t) 6= 0, implică anumite restricţiiasupra formei locale a curbelor. Vom ilustra acest lucru folosind, pentrusimplitate, cazul curbelor plane.

Propoziţia 2.1.1. Fie ρ : I → R2, ρ(t) = (x(t), y(t)), o curbă parametri-zată regulată plană. Presupunem că ρ(t0) = 0, y(t) > 0, ∀t ∈ I\{t0}, şix(t) < 0, ∀t < t0. Atunci există ε > 0 astfel ı̂ncât x(t) > 0, ∀t ∈ (t0, t0 + ε).

Demonstraţie. Din ρ(t0) = 0 rezultă y(t0) = 0. Prin urmare t0 este un punctde minim pentru t → y(t) şi deci y′(t0) = 0. Cum ρ′(t0) 6= 0 va rezulta căx′(t0) 6= 0, de unde obţinem că t → x(t) este strict monotonă pe o vecinătatea lui t0. Dar x(t) < 0 = x(t0), pentru t < t0, prin urmare t → x(t) este strictcrescătoare pe o vecinătate a lui t0, şi cu aceasta demonstraţia se ı̂ncheie.Mai mult, ρ′(t0) = (x′(t0), 0) şi, după cum vom vedea mai târziu, axa Oxeste tangentă la ρ ı̂n t0.

Fie ρ : I → R2, ρ(t) = (x(t), y(t)), o curbă parametrizată regulată planăce verifică ipotezele propoziţiei anterioare. Atunci, ı̂ntr-o vecinătate a lui t0,ρ are forma din Figura 2.1 şi nu poate avea, de exemplu, forma din Figura2.2:

y

x

0 0

y

x

Figura 2.1 Figura 2.2

2.1. Curbe regulate ı̂n R3 17

Asupra formei locale a curbelor ı̂n plan sau ı̂n spaţiu vom reveni maitârziu după ce vom studia reperul lui Frenet.

Fie acum µ : J → I un difeomorfism de clasă Cm, m ≥ 1, unde I şi Jsunt intervale deschise din R. Atunci, prin definiţie, µ este bijecţie iar µ şiµ−1 sunt de clasă Cm. Dacă µ : J → I este difeomorfism atunci µ′(s) 6= 0,∀s ∈ J , şi cum µ′ este continuă, avem fie µ′ > 0 pe J, fie µ′ < 0 pe J. Prinurmare µ este fie strict crescătoare, fie strict descrescătoare.

Reamintim următorul rezultat.

Propoziţia 2.1.2. Fie λ : I → R o aplicaţie de clasă Cm cu λ′(t) 6= 0,∀t ∈ I, unde I este un interval deschis din R. Atunci λ(I) este un intervaldeschis din R, iar λ : I → λ(I) este un difeomorfism de clasă Cm.

Vom da acum o proprietate care implică primele două rezultate anteri-oare.

Teorema 2.1.2. Fie ρ : I → R2, ρ(t) = (x(t), y(t)), o curbă parametrizatăregulată plană de clasă Cm şi t0 ∈ I. Presupunem că x′(t0) 6= 0. Atunciexistă ε1, ε2 > 0 şi există h : (x(t0)− ε2, x(t0) + ε2) → R de clasă Cm astfelı̂ncât

ρ(t0 − ε1, t0 + ε1) = {(x, h(x)) : x ∈ (x(t0)− ε2, x(t0) + ε2)} = Graf h.

Demonstraţie. Din ipoteza x′(t0) 6= 0 rezultă că există ε1 > 0 astfel ı̂ncâtx′(t) 6= 0, ∀t ∈ (t0 − ε1, t0 + ε1). Prin urmare există ε2 > 0 astfel ı̂ncâtx(t0 − ε1, t0 + ε1) = (x(t0)− ε2, x(t0) + ε2) şi

x : (t0 − ε1, t0 + ε1) → (x(t0)− ε2, x(t0) + ε2)

este difeomorfism de clasă Cm; oricărui x ∈ (x(t0)− ε2, x(t0) + ε2) ı̂i cores-punde un unic t ∈ (t0 − ε1, t0 + ε1), t = t(x), şi reciproc. Cu x, sau t, amnotat atât argumentul cât şi funcţia.

Pentru incluziunea “ ⊆ ”, considerăm (x(t), y(t)) un punct din imagine.Notăm x(t) cu x şi avem:

y(t) = y(t(x)) = h(x),

unde h : (x(t0)− ε2, x(t0) + ε2) → R, h = y ◦ t = y ◦ x−1. Funcţia h este declasă Cm. Deci (x(t), y(t) = (x, h(x)).

18 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Pentru incluziunea “ ⊇ ”, considerăm (x, h(x)) un punct de pe grafic.Există şi este unic t astfel ı̂ncât x = x(t). Apoi

h(x) = h(x(t)) =Äy ◦ x−1

ä(x(t)) = y(t).

Deci (x, h(x)) = (x(t), y(t)). Cu aceasta demonstraţia este ı̂ncheiată.

Propoziţia 2.1.3. Orice interval din R, nu neapărat deschis, este difeomorfcu unul (şi numai unul) din următoarele trei intervale [0, 1], (0, 1) sau [0, 1).

Demonstraţie. Funcţia liniară s = t−ab−a este un difeomorfism de la [a, b] la[0, 1], de la (a, b) la (0, 1) şi de la [a, b) la [0, 1). Funcţia liniară s = 1− t−ab−aeste un difeomorfism de la (a, b] la [0, 1). Rămâne să considerăm intervalele

infinite. Funcţia t = arctg θ aplică difeomorf R ı̂n (−π2 , π2 ), iar s =t+π

2π

aplică (−π2 , π2 ) ı̂n (0, 1). Deci funcţia compusă s =arctg θ+π

2π aplică difeomorf

R ı̂n (0, 1). Funcţia t = arctg θ aplică intervalul [a,∞), a ∈ R, ı̂n [arctg a, π2 ),iar s = t−arctg aπ

2−arctg a aplică [arctg a,

π2 ) ı̂n [0, 1). Prin urmare, funcţia compusă

s = arctg θ−arctg aπ2−arctg a aplică difeomorf [a,∞) ı̂n [0, 1].

Cazul (−∞, a] este evident.

Dacă ρ : I → R3 este o curbă parametrizată regulată, atunci şi ρ ◦ µ :J → R3 este tot o curbă parametrizată regulată, unde µ : J → I este undifeomorfism de clasă Cm. Într-adevăr

(ρ ◦ µ)′(s) = ρ′(µ(s))µ′(s) 6= 0, ∀s ∈ J.

Difeomorfismul λ = µ−1 se numeşte schimbare de parametru.

Definiţia 2.1.2. Fie ρ1 : I1 → R3 şi ρ2 : I2 → R3 două curbe parametrizateregulate de clasă Cm. Ele se numesc echivalente dacă există un difeomorfismde clasă Cm, µ : I2 → I1, astfel ı̂ncât ρ2 = ρ1 ◦ µ.

Se verifică uşor că relaţia de mai sus este o relaţie de echivalenţă pemulţimea curbelor parametrizate regulate.

Definiţia 2.1.3. Se numeşte curbă regulată o clasă de echivalenţă a uneicurbe parametrizate regulate.

2.1. Curbe regulate ı̂n R3 19

Două curbe parametrizate regulate echivalente au aceeaşi imagine. Vomdefini imaginea unei curbe regulate C ca fiind imaginea unui reprezentant şio vom nota cu ImC.

În acest curs vom considera curbe de clasă C∞, sau curbe netede.Fie C o curbă regulată, adică o clasă de echivalenţă pe mulţimea curbelor

parametrizate regulate. Considerăm ρ = ρ(t) o reprezentare a sa (sau repre-zentant), deci ρ : I → R3 este o curbă parametrizată regulată. Spunem că Ceste o curbă regulată simplă dacă ρ este o funcţie vectorială injectivă. Evi-dent, noţiunea de curbă regulată simplă este corect definită, sau are caractergeometric, adică nu depinde de reprezentantul ales.

Vom defini acum noţiunea de curbă regulată orientată. Fie ρ1 : I1 → R3şi ρ2 : I2 → R3 două curbe parametrizate regulate. Ele se numesc echivalentepozitiv (sau la fel orientate) dacă există un difeomorfism µ : I2 → I1, cuµ′ > 0, astfel ı̂ncât ρ2 = ρ1 ◦ µ.

Se verifică imediat că relaţia definită mai sus este o relaţie de echivalenţăpe mulţimea curbelor parametrizate regulate, iar o clasă de echivalenţă senumeşte curbă regulată orientată.

Intuitiv, o curbă regulată orientată este o curbă regulată pe care s-a fixatsensul de parcurs. Unei curbe regulate i se asociază ı̂n mod canonic douăcurbe regulate orientate.

În cele ce urmează vom defini noţiunea de lungimea unui arc de curbă.Mai ı̂ntâi demonstrăm următoarea propoziţie:

Propoziţia 2.1.4. Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată şi a, b ∈ I,a < b, astfel ı̂ncât ρ(a) 6= ρ(b). Atunci

∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt ≥ ‖ρ(b)− ρ(a)‖,

iar egalitatea are loc dacă şi numai dacă ρ∣∣∣[a,b]reprezintă segmentul de

dreaptă ce uneşte ρ(a) cu ρ(b).

Demonstraţie. Vom demonstra mai ı̂ntâi ultima parte a propoziţiei şi anumevom arăta că dacă ρ∣∣∣[a,b]

reprezintă segmentul de dreaptă ce uneşte ρ(a) cu

ρ(b), atunci ∫ b

a‖ρ′(t)‖dt = ‖ρ(b)− ρ(b)‖,

20 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

adică∫ ba ‖ρ′(t)‖dt este egală cu lungimea segmentului de dreaptă ce uneşte

ρ(a) cu ρ(b). Prin faptul că restricţia ρ∣∣∣[a,b]reprezintă segmentul de dreaptă

ce uneşte ρ(a) cu ρ(b) ı̂nţelegem că imaginea ρ([a, b]) este segmentul ı̂nchisdeterminat de punctele corespunzătoare vectorilor ρ(a) şi ρ(b).

Dacă restricţia ρ∣∣∣[a,b]reprezintă segmentul de dreaptă ce uneşte ρ(a) cu

ρ(b), atunci există un difeomorfism µ, µ(0) = a şi µ (||ρ(b)− ρ(a)||) = b,astfel ı̂ncât

(2.1.1) (ρ ◦ µ)(s) = ρ(a) + s ρ(b)− ρ(a)‖ρ(b)− ρ(a)‖ , s ∈ [0, ‖ρ(b)− ρ(a)‖].

Sau, echivalent, dacă restricţia ρ|[a,b] reprezintă segmentul de dreaptă ceuneşte ρ(a) cu ρ(b), atunci există un difeomorfism µ, µ(0) = b şi

µ (||ρ(b)− ρ(a)||) = a,

astfel ı̂ncât

(ρ ◦ µ)(s) = ρ(b) + s ρ(a)− ρ(b)‖ρ(a)− ρ(b)‖ , s ∈ [0, ‖ρ(b)− ρ(a)‖].

Într-adevăr, presupunem mai general că ρ∣∣∣[a,b]reprezintă un segment

ı̂nchis nenul [AB], adică ρ([a, b]) = [AB]. Atunci ρ(t) = rA + β(t)−−→AB, unde

β : [a, b] → [0, 1] este o funcţie surjectivă, de clasă C∞. Din ρ′(t) = β′(t)−−→ABşi condiţia de regularitate rezultă că β′(t) 6= 0, ∀t ∈ [a, b], şi prin urmare βeste strict monotonă. Mai mult, β este un difeomorfism.Dacă β′ > 0, atunci β(a) = 0 iar β(b) = 1. Avem ρ(a) = rA şi ρ(b) = rB,deci [AB] = [ρ(a)ρ(b)], iar

ρ(t) = ρ(a) + β(t)(ρ(b)− ρ(a)), ∀t ∈ [a, b].

În acest caz ρ(t) parcurge segmentul [AB] de la A la B (funcţia t → ‖−−−→Aρ(t)‖

este strict crescătoare).Dacă β′ < 0, atunci β(a) = 1, β(b) = 0, ρ(a) = rB , ρ(b) = rA, iar

ρ(t) = ρ(b) + β(t)(ρ(a)− ρ(b)) = ρ(a) + (1− β(t))(ρ(b)− ρ(a)).

2.1. Curbe regulate ı̂n R3 21

În acest caz ρ(t) parcurge segmentul [AB] de la B la A (funcţia t → ‖−−−→Bρ(t)‖este strict crescătoare). Renotând 1 − β cu β, obţinem β′ > 0 şi ρ(t) =ρ(a) + β(t)(ρ(b)− ρ(a)).

Mai departe facem schimbarea de parametru s = β(t) şi obţinem

(ρ ◦ β−1)(s) = ρ(a) + s(ρ(b)− ρ(a)), ∀s ∈ [0, 1],

de unde, după o nouă schimbare de parametru convenabilă, se obţine relaţia(2.1.1).

Avem ı̂n continuare

∫ ‖ρ(b)−ρ(a)‖

0‖(ρ ◦ µ)′(s)‖ ds =

∫ ‖ρ(b)−ρ(a)‖

0

∥∥∥∥∥ρ(b)− ρ(a)‖ρ(b)− ρ(a)‖

∥∥∥∥∥ ds

= ‖ρ(b)− ρ(a)‖.

Pe de altă parte, din formula de schimbare de variabilă, avem

∫ ‖ρ(b)−ρ(a)‖

0‖(ρ ◦ µ)′(s)‖ ds =

∫ ‖ρ(b)−ρ(a)‖

0‖ρ′(µ(s))‖|µ′(s)| ds

=

∫ ‖ρ(b)−ρ(a)‖

0‖ρ′(µ(s))‖µ′(s) ds

=

∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt.

Prin urmare∫ ba ‖ρ′(t)‖dt = ‖ρ(b)− ρ(a)‖.

Ne ı̂ntoarcem la prima parte a propoziţiei şi vom demonstra că

∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt ≥ ‖ρ(b)− ρ(a)‖.

Pentru aceasta considerăm v ∈ R3 un vector unitar, adică ‖v‖ = 1. Folosindinegalităţile cunoscute obţinem:

∫ b

a〈ρ′(t), v〉 dt ≤

∫ b

a|〈ρ′(t), v〉| dt ≤

∫ b

a‖ρ′(t)‖‖v‖ dt

=

∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt.(2.1.2)

22 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Dar∫ b

a〈ρ′(t), v〉 dt =

∫ b

a

d

dt{〈ρ(t), v〉} dt = 〈ρ(t), v〉

∣∣∣b

a

= 〈ρ(b)− ρ(a), v〉.(2.1.3)

Alegem v = ρ(b)−ρ(a)‖ρ(b)−ρ(a)‖ , iar din (2.1.2) şi (2.1.3) obţinem

∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt ≥ ‖ρ(b)− ρ(a)‖.

Presupunem acum că∫ ba ‖ρ′(t)‖ dt = ‖ρ(b) − ρ(a)‖. Prin urmare toate

inegalităţile de la (2.1.2) devin egalităţi (pentru v = ρ(b)−ρ(a)‖ρ(b)−ρ(a)‖ ), iar acest

lucru este echivalent cu ρ′(t) = f(t)v, unde f este o funcţie netedă strictpozitivă. Din ρ′(t) = f(t)v, ∀t, prin integrare se obţine

ρ(t) = ρ(a) +

Ç∫ taf(τ) dτ

åv.

Notăm λ(t) =∫ ta f(τ) dτ şi avem λ(a) = 0, λ(b) = ‖ρ(b) − ρ(a)‖. Cum

λ′(t) = f(t) > 0, rezultă că λ : [a, b] → [0, ‖ρ(b)− ρ(a)‖] este o funcţie strictcrescătoare. Mai mult, λ este un difeomorfism şi considerăm schimbarea deparametru s = λ(t). Obţinem

(ρ ◦ λ−1)(s) = ρ(a) + s ρ(b)− ρ(a)‖ρ(b)− ρ(a)‖ , ∀s ∈ [0, ‖ρ(b)− ρ(a)‖]

adică ρ∣∣∣[a,b]reprezintă segmentul de dreaptă ce uneşte ρ(a) cu ρ(b).

Considerăm acum ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată şi a, b ∈ I,a < b, fixaţi. Fie ∆ o partiţie a lui [a, b]

∆ : a = t0 < t1 < . . . < tn = b

şi considerăm suma

l∆ =n∑

i=1

‖ρ(ti)− ρ(ti−1)‖.

Suma l∆ reprezintă lungimea liniei poligonale cu vârfurile ρ(a), ρ(t1), . . . , ρ(b)(vezi Figura 2.3). Putem avea ρ(ti) = ρ(tj), i 6= j.

2.1. Curbe regulate ı̂n R3 23

(a)

(b)

(t )n-1

r

r

r

(t )1r

Figura 2.3

Propoziţia 2.1.5. Avem inegalitatea∫ ba ‖ρ′(t)‖ dt ≥ l∆, pentru orice partiţie

∆ a intervalului [a, b].

Demonstraţie. Folosind Propoziţia anterioară obţinem∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt =

∫ tn

t0

‖ρ′(t)‖ dt

=

∫ t1

t0

‖ρ′(t)‖ dt+∫ t2

t1

‖ρ′(t)‖ dt+ . . . +∫ tn

tn−1

‖ρ′(t)‖ dt

≥ ‖ρ(t1)− ρ(t0)‖+ ‖ρ(t2)− ρ(t1)‖+ . . .+ ‖ρ(tn)− ρ(tn−1)‖= l∆.

Din Propoziţia de mai sus rezultă că∫ ba ‖ρ′(t)‖ dt este un majorant pen-

tru mulţimea {l∆ : ∆ partiţie a lui [a, b]}.Dată o partiţie ∆ a lui [a, b] definim norma sa prin

‖∆‖ = max{|ti − ti−1| : i = 1, n}.

Considerăm ∆ : a = t0 < t1 < . . . < tn = b şi fie ∆′ partiţia lui [a, b] care

conţine t0, t1, . . . , tn şi ı̂n plus toate mijloacele segmentelor [t0, t1], [t1, t2], . . . , [tn−1, tn],adică

∆′ : a = t0 <t0 + t1

2< t1 <

t1 + t22

< t2 < . . . <tn−1 + tn

2< tn = b.

24 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Evident că ‖∆′‖ < ‖∆‖, ‖∆′‖ = 12‖∆‖, şi l∆ ≤ l∆′ ≤∫ ba ‖ρ′(t)‖dt (vezi

Figura 2.4).

(a)

(t )1

(t )2

(b)

(t )n-1

(t )n-2

r

r

r

r

r

r

rt +t0 1

2( )

rt +tn-2 n-1

2( )

Figura 2.4

Teorema 2.1.3. Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată şi a, b ∈ I,a < b. Atunci oricare ar fi ε > 0 există δ > 0 astfel ı̂ncât oricare ar fi ∆partiţie a lui [a, b] cu ‖∆‖ < δ avem

∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt− l∆ < ε.

Demonstraţie. Fie ε > 0 fixat arbitrar. Din definiţia integralei Riemann,există δ′ > 0 astfel ı̂ncât oricare ar fi ∆ cu ‖∆‖ < δ′ avem

(2.1.4)

∣∣∣∣∣

∫ b

a‖ρ′(t)‖dt −

∑

i

(ti − ti−1)‖ρ′(ti)‖∣∣∣∣∣ <

ε

2.

Deoarece x′, y′ şi z′ sunt uniform continue pe [a, b], pentru ε fixat anteriorexistă δ′′ > 0 astfel ı̂ncât oricare ar fi t, s ∈ [a, b] cu |t− s| < δ′ avem

(2.1.5)

|x′(t)− x′(s)| < ε2√3(b−a) ,

|y′(t)− y′(s)| < ε2√3(b−a)

|z′(t)− z′(s)| < ε2√3(b−a) .

2.1. Curbe regulate ı̂n R3 25

Fie ∆ cu ‖∆‖ < δ′′. Evaluăm∣∣∣∣∣∑

i

(ti − ti−1)‖ρ′(ti)‖ −∑

i

‖ρ(ti)− ρ(ti−1)‖∣∣∣∣∣ .

Folosind Teorema lui Lagrange obţinem∣∣∣∣∣∑

i

(ti − ti−1)‖ρ′(ti)‖ −∑

i

‖ρ(ti)− ρ(ti−1)‖∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∑

i

(ti − ti−1)‖ρ′(ti)‖ −∑

i

(ti − ti−1)‖(x′(ξi), y′(ηi), z′(wi))‖∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∑

i

(ti − ti−1)(‖ρ′(ti)‖ − ‖(x′(ξi), y′(ηi), z′(wi))‖))∣∣∣∣∣

≤∑

i

(ti − ti−1)∣∣∣‖ρ′(ti)‖ − ‖(x′(ξi), y′(ηi), z′(wi))‖

∣∣∣

≤∑

i

(ti − ti−1)‖ρ′(ti)− (x′(ξi), y′(ηi), z′(wi))‖

=∑

i

(ti − ti−1)»(x′(ti)− x′(ξi))2 + (y′(ti)− y′(ηi))2 + (z′(ti)− z′(wi))2,

unde ξi, ηi, wi ∈ (ti−1, ti), ∀i. Din (2.1.5) obţinem∣∣∣∣∣∑

i

(ti − ti−1)‖ρ′(ti)‖ −∑

i

‖ρ(ti)− ρ(ti−1)‖∣∣∣∣∣ <

<∑

i

(ti − ti−1)ε

2(b − a) =ε

2.(2.1.6)

Fie δ = min{δ′, δ′′}. Atunci, din (2.1.4) şi (2.1.6), pentru orice ∆ cu ‖∆‖ < δavem

∫ b

a‖ρ′(t)‖dt − l∆ ≤

∣∣∣∣∣

∫ b

a‖ρ′(t)‖dt −

∑

i

(ti − ti−1)‖ρ′(ti)‖∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∑

i

(ti − ti−1)‖ρ′(ti)‖ − l∆∣∣∣∣∣

<ε

2+

ε

2= ε.

26 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Din faptul că∫ ba ‖ρ′(t)‖ dt este un majorant pentru {l∆ : ∆ partiţie a lui

[a, b]} şi din teorema precedentă rezultă că∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt = sup{l∆ : ∆ partiţie a lui [a, b]}.

Observaţia 2.1.2. Local, pentru b − a suficient de mic, liniile poligonaleaproximează arcul de curbă cuprins ı̂ntre ρ(a) şi ρ(b), şi cu cât normapartiţiei este mai mică, aproximarea va fi mai bună; ı̂n acelaşi timp lun-gimea liniilor poligonale va creşte. Este deci natural să definim lungimeaarcului de curbă ca sup{l∆ : ∆ partiţie a lui [a, b]}.

Fie ρ o curbă parametrizată regulată şi a, b ∈ I, a < b fixaţi. Fie ρ ◦ µo curbă echivalentă cu ρ. Notăm c = µ−1(a) şi d = µ−1(b). Presupunemµ′ > 0 şi deci c < d. Clar că oricărei partiţii ∆ a lui [a, b] ı̂i corespundeo partiţie ‹∆ a lui [c, d] şi reciproc, iar l(∆, ρ) = l(‹∆, ρ ◦ µ) deoarece liniapoligonală este aceeaşi. Prin urmare

sup{l(∆, ρ) : ∆ partiţie a lui [a, b]}= sup{l(‹∆, ρ ◦ µ) : ‹∆partiţie a lui [c, d]}.

Să demonstrăm acelaşi lucru folosind integralele. Într-adevăr

∫ d

c‖(ρ ◦ µ)′(s)‖ ds =

∫ d

c‖ρ′(µ(s))‖|µ′(s)| ds =

∫ d

c‖ρ′(µ(s))‖µ′(s) ds

=

∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt.

Acum putem defini

Definiţia 2.1.4. Fie C o curbă regulată şi ρ : I → R3 o reprezentare a sa.Fie a, b ∈ I, a < b. Numim lungimea arcului de curbă C obţinut când tparcurge [a, b] numărul real strict pozitiv

l˚�ρ(a)ρ(b) =∫ b

a‖ρ′(t)‖ dt.

Observaţia 2.1.3. Dacă ρ : R → R2, ρ(t) = (cos t, sin t), atunci l¸�ρ(0)ρ(4π) =4π reprezintă lungimea cercului de rază 1 parcurs de două ori.

2.2. Parametrul lungime de arc 27

Observaţia 2.1.4. Dacă ρ : I → R3 este o curbă parametrizată regulatăatunci, local, l˚�ρ(a)ρ(b) reprezintă lungimea arcului “geometric” de curbă cu-prins ı̂ntre ρ(a) şi ρ(b).

Observaţia 2.1.5. Date două puncte ı̂n spaţiu, curba cu lungimea cea maimică ce uneşte cele două puncte este segmentul de dreaptă.

2.2. Parametrul lungime de arc

Definiţia 2.2.1. Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată. Pa-rametrul t se numeşte parametru lungime de arc, sau spunem că ρ esteparametrizată prin lungimea de arc, dacă ‖ρ′(t)‖ = 1, ∀t ∈ I.

Dacă ρ : I → R3 este o curbă parametrizată prin lungimea de arc, iart1 < t2, atunci l¸�ρ(t1)ρ(t2) = t2−t1. Sau, dacă 0 ∈ I şi 0 < t, atunci lρ̇(0)ρ(t) = t,ceea ce justifică denumirea de parametru lungime de arc pentru t.

Teorema 2.2.1. Orice curbă regulată admite un reprezentant parametrizatprin lungimea de arc.

Demonstraţie. Fie C o curbă regulată şi ρ : I → R3 un reprezentant al luiC. Fie t0 ∈ I fixat şi definim funcţia

λ : I → R, λ(t) =∫ t

t0

‖ρ′(τ)‖ dτ.

Avem λ′(t) = ‖ρ′(t)‖ > 0, ∀t ∈ I. Prin urmare λ este strict crescătoare,λ(I) = J este interval deschis ı̂n R, iar λ : I → J este difeomorfism. Notămµ = λ−1. Curba parametrizată regulată ρ ◦ µ este echivalentă cu ρ şi avem

‖(ρ ◦ µ)′(s)‖ = ‖ρ′(µ(s))µ′(s)‖ = ‖ρ′(µ(s))‖µ′(s)

= ‖ρ′(µ(s))‖ 1λ′(µ(s))

= ‖ρ′(µ(s))‖ 1‖ρ′(µ(s))‖= 1, ∀s.

Deci ρ ◦ µ este parametrizată prin lungimea de arc.

28 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Alegerea punctului t0 nu este importantă: dacă schimbăm punctul t0obţinem o nouă schimbare de parametru λ̃ care diferă de λ printr-o translaţie,adică λ̃(t) = λ(t)+a; dar nu ı̂ntotdeauna orice a ∈ R poate fi scris sub formaa =

∫ t0t̃0

‖ρ′(t)‖dt. Desigur, ρ ◦ µ̃ este tot o curbă parametrizată prin lun-gimea de arc. De asemenea, dacă considerăm schimbarea de parametruλ̃ = −λ se obţine tot o curbă parametrizată prin lungimea de arc. Dupăcum vom vedea imediat, acestea sunt, ı̂n esenţă, singurele posibilităţi de aobţine parametrizări prin lungimea de arc.

2.2.1 Schimbarea a două parametrizări prin lungimea de arc

Fie ρ şi ρ ◦ µ două curbe echivalente parametrizate prin lungimea de arc.Avem

1 = ‖(ρ ◦ µ)′(s)‖ = ‖ρ′(µ(s))‖|µ′(s)| = |µ′(s)|, ∀s,

deci µ′(s) = ±1, adică µ(s) = ±s + a, a ∈ R. Prin urmare două parame-trizări prin lungimea de arc diferă printr-o eventuală schimbare de semn şio translaţie. Putem concluziona acum

Propoziţia 2.2.1. Dată ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată, atunciρ ◦ µ̃ este o curbă parametrizată prin lungimea de arc dacă şi numai dacăλ̃ = µ̃−1 este de forma λ̃ = ±λ+ a, a ∈ R, unde λ a fost definit mai sus.

2.3. Tangenta ı̂ntr-un punct al unei curbe regulate

Definiţia 2.3.1. Fie C o curbă regulată şi ρ : I → R3 o reprezentare a sa.Fie t0 ∈ I. Tangenta la C ı̂n ρ(t0) este dreapta ce trece prin ρ(t0) şi aredirecţia dată de ρ′(t0)(vezi Figura 2.5).

Definiţia este corectă (sau are caracter geometric):

Într-adevăr, dacă ρ ◦ µ este un alt reprezentant al lui C şi s0 ∈ J astfelı̂ncât µ(s0) = t0, atunci (ρ ◦ µ)′(s0) = ρ′(µ(s0))µ′(s0) = ρ′(t0)µ′(s0), adică(ρ ◦ µ)′(s0)‖ρ′(t0), şi deci (ρ ◦ µ)′(s0) şi ρ′(t0) determină aceeaşi dreaptă ı̂n(ρ ◦ µ)(s0) = ρ(t0).

2.3. Tangenta ı̂ntr-un punct al unei curbe regulate 29

.r(t )0 r’(t )0

Figura 2.5

Observaţia 2.3.1. În definiţia anterioară ρ poate fi privită ca o curbăparametrizată regulată ı̂n E3, ρ(t0) poate fi privit ca element (punct) al luiE3, iar ρ′(t0) ca element (vector) al lui V3, adică

ρ′ (t0) = x′ (t0) i+ y

′ (t0) j + z′ (t0) k.

Evident, ρ′ (t0) nu depinde de reperul cartezian ales.

Observaţia 2.3.2. Noţiunea de tangentă la C ı̂n ρ(t0) este legată de argu-mentul t0; mai spunem tangenta la ρ ı̂n t0.

Observaţia 2.3.3. Dacă t1 6= t2 şi ρ(t1) = ρ(t2), atunci tangenta la ρ ı̂n t1poate să coincidă sau nu cu tangenta la ρ ı̂n t2 (vezi Figurile 2.6 şi 2.7).

r’(t )1

r’(t )2

.r r(t ) = (t )1 2

.r r(t ) = (t )1 2 r’(t )1 r’(t )2

Figura 2.6 Figura 2.7

30 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Ecuaţia vectorială parametrică a tangentei la ρ ı̂n t0 este

r = ρ(t0) + sρ′(t0), s ∈ R,

ecuaţiile parametrice ale tangentei sunt

x = x(t0) + sx′(t0)

y = y(t0) + sy′(t0),

z = z(t0) + sz′(t0)

s ∈ R

iar ecuaţiile canonice sunt date de

x− x(t0)x′(t0)

=y − y(t0)y′(t0)

=z − z(t0)z′(t0)

.

Vom prezenta acum o caracterizare a tangentei.

Propoziţia 2.3.1. Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată. Consi-derăm t0 ∈ I şi u ∈ R3 un vector nenul. Dreapta δu ce trece prin punctulρ(t0) şi are direcţia dată de vectorul u este tangenta la ρ ı̂n t0 dacă şi numaidacă

(2.3.7) ∃ limt→t0

dist(ρ(t), δu)

t− t0= 0,

unde dist(ρ(t), δu) reprezintă distanţa dintre ρ(t) şi δu (vezi Figura 2.8).

r(t)

r(t )0u du

.

Figura 2.8

Înainte de a demonstra acest rezultat, vom arăta că relaţia (2.3.7) arecaracter geometric. Într-adevăr, fie ρ ◦ µ o curbă echivalentă cu ρ, λ = µ−1,λ(t0) = s0. Avem

0 = limt→t0

dist(ρ(t), δu)

t− t0= lim

s→s0dist(ρ(µ(s)), δu)

µ(s)− µ(s0).

2.3. Tangenta ı̂ntr-un punct al unei curbe regulate 31

Apoi, din Teorema lui Lagrange rezultă µ(s)− µ(s0) = (s− s0)µ′(ξs), undeξs ∈ (s0, s) sau ξs ∈ (s, s0). Înlocuind obţinem

0 = lims→s0

dist((ρ ◦ µ)(s), δu)(s− s0)µ′(ξs)

.

Dar lims→s0 µ′(ξs) = µ′(s0) 6= 0 şi deci lims→s0 dist((ρ◦µ)(s),δu)s−s0 = 0.

Demonstraţie. Din aria paralelogramului construit pe vectorii u şi ρ(t) −ρ(t0) aplicaţi ı̂n punctul ρ(t0), exprimată ı̂n două moduri, obţinem

dist(ρ(t), δu) =‖(ρ(t)− ρ(t0))× u‖

‖u‖ ,

de unde rezultă

limt→t0

dist(ρ(t), δu)

t− t0= 0 ⇔ lim

t→t0

dist(ρ(t), δu)

|t− t0|= 0

⇔ limt→t0

1

‖u‖

∥∥∥∥∥ρ(t)− ρ(t0)

t− t0× u

∥∥∥∥∥ = 0

⇔ 1‖u‖

∥∥∥∥∥ limt→t0ρ(t)− ρ(t0)

t− t0× u

∥∥∥∥∥ = 0

⇔ 1‖u‖‖ρ′(t0)× u‖ = 0

⇔ ρ′(t0)∥∥∥u.

Observaţia 2.3.4. Dacă notăm fu(t) = dist(ρ(t), δu), atunci t0 este unpunct de minim absolut. Dar, pentru u neparalel cu ρ′(t0), fu nu estederivabilă ı̂n t0:

f ′u,s(t0) = −f ′u,d(t0) = −1

‖u‖‖ρ′(t0)× u‖.

Dacă u‖ρ′(t0), atunci fu este derivabilă ı̂n t0 şi, desigur, f ′u(t0) = 0.

32 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Propoziţia care urmează, ca şi cea anterioară, are caracter geometric,rezultatul rămânând acelaşi dacă se schimbă parametrizarea.

Propoziţia 2.3.2. Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată. Fiet∞ ∈ I fixat şi {tn}n∈N∗ ⊂ I astfel ı̂ncât limn→∞ tn = t∞, iar tn 6= t∞,∀n ∈ N∗. Atunci dreptele determinate de ρ(t∞) şi ρ(tn) tind, sau au poziţielimită, tangenta la ρ ı̂n t∞.

Demonstraţie. Reamintim că pe o vecinătate a lui t∞ funcţia vectorială ρeste injectivă, iar un vector unitar care dă direcţia dreptei determinate deρ(t∞) şi ρ(tn) este

ρ(tn)− ρ(t∞)‖ρ(tn)− ρ(t∞)‖

.

Presupunem tn > t∞. Avem

limn→∞

ρ(tn)− ρ(t∞)‖ρ(tn)− ρ(t∞)‖

= limn→∞

ρ(tn)− ρ(t∞)tn − t∞

1

‖ρ(tn)−ρ(t∞)tn−t∞ ‖=

ρ′(t∞)‖ρ′(t∞)‖

care este un vector paralel cu ρ′(t∞). Dacă tn < t∞, atunci limita de mai

sus ne va da − ρ′(t∞)

‖ρ′(t∞)‖ care este din nou un vector paralel cu ρ′(t∞).

Observaţia 2.3.5. În Propoziţia de mai sus am putea alege ca vector caredă direcţia dreptei determinate de ρ(t∞) şi ρ(tn) pe

ρ(tn)−ρ(t∞)tn−t∞ , ∀n ∈ N

∗.

Evident, limtn→t∞ρ(tn)−ρ(t∞)

tn−t∞ = ρ′(t∞).

Observaţia 2.3.6. Alegerea vectorului care dă direcţia dreptei determinatede ρ(t∞) şi ρ(tn) nu este foarte importantă. Într-adevăr, fie vn un vectornenul care dă direcţia dreptei ρ(t∞)ρ(tn), vn‖(ρ(tn) − ρ(t∞)), ∀n ∈ N∗.Presupunem că limn→∞ vn = v ∈ R3\{0}. Considerăm acum wn un altvector nenul care dă direcţia dreptei ρ(t∞)ρ(tn), ∀n ∈ N∗. Deci wn =anvn, an ∈ R∗. Dacă limn→∞wn = w ∈ R3, atunci există limn→∞ an = a ∈R şi deci w = av adică w‖v.

Propoziţia 2.3.3. Punctele de pe tangentă aproximează până la primulordin punctele de pe curbă situate ı̂ntr-o vecinătate a punctului de tangenţă.

2.4. Planul osculator la o curbă regulată ı̂ntr-un punct neinflexionar al ei 33

Demonstraţie. Am văzut că limt→t0dist(ρ(t),δ

ρ′(t0))

t−t0 = 0. Notăm

f(t) = dist(ρ(t), δρ′(t0)).

Avem f(t0) = 0 şi f′(t0) = 0. Din formula lui Taylor, sau direct, rezultă că

există α : I → R continuă, α(t0) = 0, astfel ı̂ncât

f(t) = (t− t0)α(t), ∀t ∈ I.

Observaţia 2.3.7. Dacă curba este plană şi curbura ei ı̂n t0 este strictpozitivă, din forma locală a curbelor plane, ce va fi studiată mai târziu ı̂nacest capitol, şi din formula distanţei de la un punct arbitrar la o dreaptădată, rezultă că f este netedă pe (t0 − ε, t0 + ε). Într-adevăr, dacă ecuaţiatangentei la ρ ı̂n t0 este Ax+By +C = 0, atunci pentru t ∈ (t0 − ε, t0 + ε)putem presupune că

f(t) =Ax(t) +By(t) + C√

A2 +B2.

Evident, f este netedă şi f ′(t0) = 0.

2.4. Planul osculator la o curbă regulată ı̂ntr-un punct nein-

flexionar al ei

Vom ı̂ncepe această secţiune cu definiţia punctului neinflexionar.

Definiţia 2.4.1. Fie C o curbă regulată şi ρ : I → R3 o reprezentare a sa.Fie t0 ∈ I. Punctul ρ(t0) se numeşte punct neinflexionar dacă vectorii ρ′(t0)şi ρ′′(t0) sunt necoliniari, adică ρ′(t0) × ρ′′(t0) 6= 0. În caz contrar, ρ(t0) senumeşte punct inflexionar sau punct de inflexiune.

Definiţia punctului neinflexionar are caracter geometric:

Dacă ρ ◦ µ este o altă reprezentare a lui C şi s0 ∈ J astfel ı̂ncât µ(s0) = t0,atunci

(ρ ◦ µ)′(s0) = ρ′(µ(s0))µ′(s0) = ρ′(t0)µ′(s0),

34 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

iar

(ρ ◦ µ)′′(s0) = ρ′′(µ(s0))(µ′(s0))2 + ρ′(µ(s0))µ′′(s0)= ρ′′(t0)(µ

′(s0))2 + ρ′(t0)µ

′′(s0).

Prin urmare

(ρ ◦ µ)′(s0)× (ρ ◦ µ)′′(s0) = (µ′(s0))3ρ′(t0)× ρ′′(t0).

Cum µ′(s0) 6= 0 rezultă că (ρ ◦ µ)′(s0)× (ρ ◦ µ)′′(s0) 6= 0 dacă şi numai dacăρ′(t0)× ρ′′(t0) 6= 0; desigur, cei doi vectori sunt coliniari.

Definiţia 2.4.2. O curbă regulată C care are numai puncte neinflexionarese numeşte curbă biregulată.

Propoziţia 2.4.1. Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată prin lungimea dearc. Atunci ρ(t0) este punct neinflexionar dacă şi numai dacă ρ

′′(t0) 6= 0.

Demonstraţie. Din ‖ρ′(t)‖ = 1, ∀t ∈ I, prin derivare rezultă că ρ′(t)⊥ρ′′(t),∀t ∈ I. Prin urmare

‖ρ′(t0)× ρ′′(t0)‖ = ‖ρ′′(t0)‖,

şi deci concluzia.

Propoziţia 2.4.2. O curbă regulată C are numai puncte inflexionare dacăşi numai dacă ea reprezintă un segment de dreaptă.

Demonstraţie. Fie ρ : I → R3 un reprezentant al lui C parametrizat prinlungimea de arc, adică ‖ρ′(t)‖ = 1,∀t. Curba C are numai puncte inflexio-nare dacă şi numai dacă ρ′′(t) = 0, ∀t ∈ I, de unde, integrând de două oriobţinem

ρ(t) = ta+ b, ∀t,unde a ∈ R3, ‖a‖ = 1, şi b ∈ R3.

Definiţia 2.4.3. Planul osculator la curba regulată C ı̂ntr-un punct nein-flexionar ρ(t0) este planul ce trece prin punctul ρ(t0) şi are direcţia planarădată de vectorii ρ′(t0) şi ρ′′(t0).

2.4. Planul osculator la o curbă regulată ı̂ntr-un punct neinflexionar al ei 35

Definiţia are caracter geometric deoarece am văzut că

span{ρ′(t0), ρ′′(t0)} = span{(ρ ◦ µ)′(s0), (ρ ◦ µ)′′(s0)},

unde span{a, b} reprezintă subspaţiul vectorial generat de vectorii a şi b.

Observaţia 2.4.1. Noţiunea de plan osculator la C ı̂n ρ(t0) este legată deargumentul t0; mai spunem şi planul osculator la ρ ı̂n t0.

Ecuaţia vectorială parametrică a planului osculator la C ı̂n ρ(t0) este

r = ρ(t0) + s1ρ′(t0) + s2ρ

′′(t0), s1, s2 ∈ R,

ecuaţia vectorială implicită este: (r − ρ (t0) , ρ′ (t0) , ρ′′ (t0)) = 0,ecuaţia vectorială generală este: 〈r − ρ(t0), ρ′(t0)× ρ′′(t0)〉 = 0,ecuaţiile parametrice sunt

x = x(t0) + s1x′(t0) + s2x′′(t0)

y = y(t0) + s1y′(t0) + s2y′′(t0),

z = z(t0) + s1z′(t0) + s2z′′(t0)

s1, s2 ∈ R,

iar ecuaţia canonică este dată de∣∣∣∣∣∣∣

x− x(t0) x′(t0) x′′(t0)y − y(t0) y′(t0) y′′(t0)z − z(t0) z′(t0) z′′(t0)

∣∣∣∣∣∣∣= 0.

Propoziţia 2.4.3. O curbă biregulată C reprezintă o curbă plană dacă şinumai dacă toate planele osculatoare asociate coincid.

Demonstraţie. Presupunem că ImC ⊂ π0. Notăm cu n un vector normalla planul π0. Considerăm ρ : I → R3 o reprezentare a lui C şi fixăm t0 ∈ I.Avem

〈n, ρ(t)− ρ(t0)〉 = 0, ∀t,de unde, prin derivări succesive obţinem 〈n, ρ′(t)〉 = 0, ∀t, şi 〈n, ρ′′(t)〉 = 0,∀t. Prin urmare n‖ρ′(t) × ρ′′(t), ∀t, deci n este un vector normal şi pentruplanul osculator la C ı̂n ρ(t), ∀t. Cum planul osculator la C ı̂n ρ(t) conţineρ(t), ca şi π0, rezultă că el coincide cu π0, ∀t.

Reciproca este evidentă deoarece planele oculatoare conţin punctul.

36 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Vom da acum o caracterizare a planului osculator

Teorema 2.4.1. Fie C o curbă regulată, ρ : I → R3 un reprezentant alsău şi ρ(t0) un punct neinflexionar. Considerăm u ∈ R3, u× ρ′(t0) 6= 0, şiplanul πu ce trece prin punctul ρ(t0) şi are direcţia planară determinată deρ′(t0) şi u. Planul πu este planul osculator la C ı̂n ρ(t0) dacă şi numai dacă

(2.4.8) limt→t0

dist(ρ(t), πu)

(t− t0)2= 0,

unde dist(ρ(t), πu) reprezintă distanţa de la ρ(t) la planul πu (vezi Figura2.9).

.

. r’(t )0

r(t )0

r(t)

u

Figura 2.9

Demonstraţie. Se verifică uşor că relaţia (2.4.8) are caracter geometric. Apoi,din volumul paralelipipedului construit pe vectorii u, ρ′(t0) şi ρ(t) − ρ(t0)aplicaţi ı̂n punctul ρ(t0) obţinem

dist(ρ(t), πu) =|(ρ(t)− ρ(t0), ρ′(t0), u)|

‖ρ′(t0)× u‖.(2.4.9)

Scriem formula lui Taylor pentru funcţia vectorială ρ(t) şi obţinem

ρ(t) = ρ(t0) +t− t01!

ρ′(t0) +(t− t0)2

2!ρ′′(t0) + (t− t0)2α(t),

unde α este continuă şi α(t0) = 0. Înlocuim ρ(t) ı̂n (2.4.9) şi, folosindproprietăţile produsului mixt, obţinem

dist(ρ(t), πu)

(t− t0)2=

|(12ρ′′(t0) + α(t), ρ′(t0), u)|‖ρ′(t0)× u‖

2.4. Planul osculator la o curbă regulată ı̂ntr-un punct neinflexionar al ei 37

şi deci

limt→t0

dist(ρ(t), πu)

(t− t0)2=

1

2

|(ρ′′(t0), ρ′(t0), u)|‖ρ′(t0)× u‖

.

Produsul mixt (ρ′′(t0), ρ′(t0), u) se anulează dacă şi numai dacă unul dinvectori este o combinaţie liniară de ceilalţi doi vectori. Dacă, de exemplu,ρ′′(t0) este o combinaţie liniară de ρ′(t0) şi u atunci, cum vectorii ρ′′(t0) şiρ′(t0) sunt liniari independenţi, coeficientul lui u nu poate fi nul şi deci putemexprima vectorul u ca o combinaţie liniară a vectorilor ρ′′(t0) şi ρ′(t0). Prin

urmare limt→t0dist(ρ(t),πu)

(t−t0)2 = 0 dacă şi numai dacă u ∈ span{ρ′(t0), ρ′′(t0)},

adică πu este planul osculator la C ı̂n ρ(t0).

Observaţia 2.4.2. Dacă notăm fu(t) = dist (ρ(t), πu), atunci t0 este unpunct de minim absolut, fu este derivabilă ı̂n t0, iar f

′u (t0) = 0. De aseme-

nea, observăm că

limt→t0

dist (ρ(t), πu)

(t− t0)2

există pentru orice u neparalel cu ρ′ (t0).

Notăm f(t) = dist(ρ(t), π), unde π este planul osculator. În demonstra-ţia de mai sus am văzut că putem scrie f sub forma

(2.4.10) f(t) = (t− t0)2β(t), ∀t ∈ I,

unde β este o funcţie continuă cu β(t0) = 0. Putem deci spune că puncteledin planul osculator aproximează până la ordinul al doilea punctele de pecurbă dintr-o vecinătate a punctului de tangenţă. La acelaşi rezultat putemajunge şi altfel.

Din forma locală a curbelor ı̂n spaţiu, ce va fi studiată mai târziu ı̂nacest capitol, şi din formula distanţei de la un punct arbitrar la un plan dat,rezultă că f este netedă pe (t0 − ε, t0 + ε)\{t0}. Într-adevăr, presupunemcă ecuaţia planului osculator la ρ ı̂n t0 este Ax+By+Cz+D = 0. Atunci,cum ρ(t) aparţine planului osculator la ρ ı̂n t0 numai pentru t = t0, cândt ∈ (t0 − ε, t0) putem presupune că

f(t) = −Ax(t) +By(t) + Cz(t) +D√A2 +B2 + C2

,

38 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

iar pentru t ∈ (t0, t0 + ε)

f(t) =Ax(t) +By(t) + Cz(t) +D√

A2 +B2 + C2.

Cum vectorul (A,B,C) este paralel cu ρ′(t0)×ρ′′(t0), rezultă că limtրt0 f ′(t)= 0 şi limtցt0 f

′(t) = 0. Prin urmare există f ′(t0) = 0. Analog, existăf ′′(t0) = 0. Deci f este de clasă C2 pe (t0 − ε, t0 + ε) şi din formula luiTaylor obţinem 2.4.10.

Propoziţia 2.4.4. Fie C o curbă regulată, ρ : I → R3 un reprezentantal său şi ρ(t∞) un punct neinflexionar. Considerăm un şir {tn}n∈N∗ ⊂ Iastfel ı̂ncât lim

n→∞tn → t∞ şi tn 6= t∞, ∀n ∈ N∗. Atunci planele care conţin

tangenta la ρ ı̂n t∞ şi ρ(tn) au ca poziţie limită planul osculator.

Demonstraţie. Notăm cu πn planul ce conţine tangenta la ρ ı̂n t∞ şi ρ(tn),n ∈ N∗. Direcţia planară a lui πn este dată de vectorii ρ′(t∞) şi ρ(tn)−ρ(t∞).Din formula lui Taylor pentru funcţia vectorială ρ(t) obţinem:

ρ(tn)− ρ(t∞) =tn − t∞

1!ρ′(t∞) +

(tn − t∞)22!

ρ′′(t∞) + (tn − t∞)2α(tn),

unde α : I → R este continuă şi α(t∞) = 0. Evident

span{ρ′(t∞), ρ(tn)− ρ(t∞)} = spanßρ′(t∞), (tn − t∞)2

Å1

2ρ′′(t∞) + α(tn)

ã™

= span{ρ′(t∞), ρ′′(t∞) + 2α(tn)}.

Prin urmare direcţia planară a lui πn tinde, pentru n → ∞, la

span{ρ′(t∞), ρ′′(t∞)},

adică poziţia limită a planelor πn este planul osculator.

Desigur, rezultatul anterior are caracter geometric.

2.5. Curbura unei curbe regulate 39

2.5. Curbura unei curbe regulate

Intuitiv, segmentul de dreaptă are ”curbura” nulă, iar cercul are ”curbura”constantă nenulă. În cele ce urmează, vom defini riguros noţiunea de curburăşi vom arăta că ea corespunde intuiţiei noastre.

Definiţia 2.5.1. Fie C o curbă regulată şi ρ : I → R3 o reprezentare a saparametrizată prin lungimea de arc. Fie t0 ∈ I. Vectorul ρ′′(t0) se numeştevectorul de curbură al curbei C ı̂n ρ(t0), iar numărul pozitiv k(t0) = ‖ρ′′(t0)‖se numeşte curbura curbei C ı̂n ρ(t0) (sau curbura lui ρ ı̂n t0).

Cele două noţiuni sunt corecte (au caracter geometric):Dacă ρ ◦ µ este un alt reprezentant al lui C parametrizat prin lungimea dearc, atunci µ′ = ±1 şi avem:

(ρ ◦ µ)′(s) = ρ′(µ(s))µ′(s)(ρ ◦ µ)′′(s) = ρ′′(µ(s))(µ′(s))2 + ρ′(µ(s))µ′′(s) = ρ′′(µ(s)).

Evident rezultă k̃(s) = ‖(ρ ◦ µ)′′(s)‖ = ‖ρ′′(µ(s))‖ = k(µ(s)). Vom reveniasupra caracterului geometric al curburii atunci când vom exprima curburaı̂ntr-o parametrizare arbitrară.

Propoziţia 2.5.1. Curbura unei curbe regulate este nulă dacă şi numaidacă curba reprezintă un segment de dreaptă.

Demonstraţie. Fie C o curbă regulată şi ρ : I → R3 un reprezentant al luiC parametrizat prin lungimea de arc. Evident, ρ′′(t) = 0, ∀t, dacă şi numaidacă ρ(t) = ta+ b, unde a, b ∈ R3 şi ‖a‖ = 1.

Prin urmare, curbura reprezintă o măsură a abaterii de la segmentul dedreaptă. Dacă C reprezintă un cerc de rază R, adică imaginea ImC esteinclusă ı̂ntr-un cerc de rază R, iar ρ este o reprezentare a lui C, atunci sepoate demonstra că există un difeomorfism µ astfel ı̂ncât

(ρ ◦ µ) (s) = rA +R coss

Re1 +R sin

s

Re2,

sau, echivalent, există un difeomeorfism µ astfel ı̂ncât

(ρ ◦ µ) (s) = rA +R coss

Re1 +R sin

s

R(−e2) .

40 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Este imediat faptul că, dacă C reprezintă un cerc de rază R, atunci C arecurbura constantă k = 1R > 0. Reciproc, dacă C este o curbă regulată planăavând curbura constantă k > 0, atunci C reprezintă un arc de cerc de razăR = 1k .

Deci, această definiţie a curburii, deşi nu foarte naturală, ne-a condus larezultatele la care ne aşteptam.

Notăm că funcţia curbură k este, ı̂n general, doar continuă. Dacă pre-supunem că k(t) > 0, pentru orice t, atunci funcţia curbură k : I → R estenetedă. Întotdeauna ı̂nsă k2 este funcţie netedă.

Interpretarea geometrică a curburii. Fie C o curbă regulată şi ρ : I →R3 o reprezentare a lui C parametrizată prin lungimea de arc. Fie t0 ∈ I.

Vectorii ρ′(t0) şi ρ′(t) aplicaţi ı̂n punctul ρ(t0) formează un triunghi isosceldeoarece ‖ρ′(t0)‖ = ‖ρ′(t)‖. Notăm θ(t) = θt = ∢(ρ′(t0), ρ′(t)), pentrut ≥ t0, iar pentru t < t0 definim θt = −∢(ρ′(t0), ρ′(t)).

Notăm că, ı̂n cazul curbelor plane, θ(t) reprezintă unghiul orientat dintreρ′ (t0) şi ρ′(t) atunci când curba este parcursă, ı̂ntr-o vecinătate a lui ρ (t0),“̂ın sens trigonometric”. După cum se va putea vedea şi din forma locală acurbelor plane, curba este parcursă “̂ın sens trigonometric” dacă curbura cusemn este strict pozitivă ı̂n t0 şi “̂ın sens anti-trigonometric” dacă curburacu semn este strict negativă ı̂n t0.

Din teorema cosinusului obţinem:

‖ρ′(t)− ρ′(t0)‖2 = ‖ρ′(t)‖2 + ‖ρ′(t0)‖2 − 2‖ρ′(t)‖‖ρ′(t0)‖ cos θt= 2− 2 cos θt = 4 sin2

θt

2.

2.5. Curbura unei curbe regulate 41

Evident θt0 = 0, |θt| ∈ [0, π], |θt| are caracter geometric, şi avem:

k(t0) = ‖ρ′′(t0)‖ =∥∥∥∥∥ limt→t0

ρ′(t)− ρ′(t0)t− t0

∥∥∥∥∥ =

= limt→t0

∥∥∥∥∥ρ′(t)− ρ′(t0)

t− t0

∥∥∥∥∥

= limt→t0

®1

|t− t0|2

∣∣∣∣sinθt

2

∣∣∣∣

´= lim

t→t0

∣∣∣sin θt2∣∣∣

∣∣∣ θt2∣∣∣

∣∣∣∣∣θt

t− t0

∣∣∣∣∣

= limt→t0

∣∣∣∣θt

t− t0

∣∣∣∣ = limt→t0θt

t− t0= lim

t→t0

θ(t)− θ (t0)t− t0

= θ′(t0),

unde θ(t) = θt. Prin urmare, curbura k(t0) a unei curbe parametrizateprin lungimea de arc ρ : I → R3 reprezintă viteza de rotaţie a vectoruluiρ′(t) = T (t) ı̂n t0. Sau, k(t0) reprezintă viteza de rotaţie a tangentei la ρı̂n t ı̂n momentul t0, atunci când ρ este parametrizată prin lungimea de arc.În felul acesta definiţia curburii devine naturală.

Notăm de asemenea că |t − t0| = l˚�ρ(t0)ρ(t) şi atunci k(t0) = limt→t0|θt|

lρ̇(t0)ρ(t)

.

Prin urmare putem da o nouă definiţie pentru curbură

Definiţia 2.5.2. Fie C o curbă regulată şi ρ : I → R3 un reprezentant alsău arbitrar. Definim curbura curbei C ı̂n ρ(t0) ca fiind numărul pozitiv

k(t0) = limt→t0

∢(T (t0), T (t))

l˚�ρ(t0)ρ(t).

Evident, definiţia are caracter geometric.

Interpretarea geometrică a curburii pentru curbe plane poate fi reobţinutăşi altfel. Fie ρ : I → R2 o curbă parametrizată prin lungimea de arc. Cum‖ρ′(t)‖ = 1, pentru orice t ∈ I, se poate demonstra că există o funcţie netedăθ = θ(t) astfel ı̂ncât x′(t) = cos θ(t) şi y′(t) = sin θ(t), pentru orice t ∈ I.Funcţia θ se numeşte funcţie unghi şi, până la un multiplu de 2π, θ(t) re-prezintă unghiul orientat dintre e1 şi ρ

′(t), pentru orice t ∈ I. Prin derivareobţinem x′(t) = − sin θ(t) · θ′(t) şi y′(t) = cos θ(t) · θ′(t) şi deci curbura cu

42 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

semn este θ′, iar curbura k(t) = ‖θ′(t)‖, pentru orice t ∈ I. Se poate vedeacu uşurinţă şi de aici că o curbă regulată plană ce are curbura constantăstrict pozitivă reprezintă un arc de cerc.

2.5.1 Exprimarea curburii ı̂ntr-o parametrizare arbitrară

Fie C o curbă regulată şi ρ : I → R3 o reprezentare a sa. Ştim că există oschimbare de parametru λ, s = λ(t), astfel ı̂ncât ρ◦λ−1 să fie parametrizatăprin lungimea de arc. Reamintim că λ′(t) = ‖ρ′(t)‖ şi notăm µ = λ−1. Înpunctul ρ(t0) = (ρ ◦ µ)(s0) definim curbura prin

k(t0) = k̃(s0) = ‖(ρ ◦ µ)′′(s0)‖.

Pentru a demonsta că definiţia are caracter geometric, schimbăm puţinnotaţiile şi considerăm ρ : I → R3 şi ρ ◦ µ : J → R3 curbe parametrizateregulate, nu neapărat parametrizate prin lungimea de arc. Avem diagrama

R3

R3

J

ρ◦µ

OO

µ// I

ρ

OO

J̃

µ2

OO

Ĩ

µ1

OO

unde λ′1(t) = ‖ρ′(t)‖ şi λ′2(s) = ‖ (ρ ◦ µ)′ (s)‖. Curbele ρ ◦ µ1 şi (ρ ◦ µ) ◦µ2 sunt curbe parametrizate prin lungimea de arc şi, mai mult, ele suntechivalente deoarece

(ρ ◦ µ) ◦ µ2 = (ρ ◦ µ1) ◦ĵ−11 ◦ µ ◦ µ2

ä.

Prin urmare, ı̂n punctele corespunzătoare, avem

‖ (ρ ◦ µ1)′′Ät̃0ä‖ = ‖ ((ρ ◦ µ) ◦ µ2)′′ (s̃0) ‖.

Fie acum ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată şi t0 ∈ I. Dorim săgăsim o formulă pentru k (t0), adică vrem să exprimăm (ρ ◦ µ)′′(s0) numaiı̂n funcţie de ρ şi derivatele sale ı̂n t0. Avem (ρ ◦ µ)′ = ρ′µ′ şi (ρ ◦ µ)′′ =

2.5. Curbura unei curbe regulate 43

ρ′′(µ′)2+ρ′µ′′. Vom determina µ′ (s0) şi µ′′ (s0) ı̂n funcţie de ρ′ (t0) şi ρ′′ (t0)şi le vom ı̂nlocui ı̂n ultima expresie. Deoarece

µ′(s) =1

λ′(µ(s))=

1

‖ρ′(µ(s))‖ =1»

〈ρ′(µ(s)), ρ′(µ(s))〉obţinem

µ′′(s) =− dds

∣∣∣»〈ρ′(µ(s)), ρ′(µ(s))〉‖ρ′(µ(s))‖2 =

−12 dds∣∣∣〈ρ′(µ(s)), ρ′(µ(s))〉‖ρ′(µ(s))‖3

= −12

2〈ρ′′(µ(s))µ′(s), ρ′(µ(s))〉‖ρ′(µ(s))‖3 = −

µ′(s)〈ρ′′(µ(s)), ρ′(µ(s))〉‖ρ′(µ(s))‖3

= −〈ρ′′(µ(s)), ρ′(µ(s))〉‖ρ′(µ(s))‖4 = −

〈ρ′′, ρ′〉‖ρ′‖4 (µ(s)).

Deci

(ρ ◦ µ)′′(s) = ρ′′(µ(s)) 1‖ρ′(µ(s))‖2 − ρ′(µ(s))

〈ρ′′, ρ′〉‖ρ′‖4 (µ(s))

=1

‖ρ′‖4 {‖ρ′‖2ρ′′ − 〈ρ′′, ρ′〉ρ′}

=1

‖ρ′‖4 {〈ρ′, ρ′〉ρ′′ − 〈ρ′, ρ′′〉ρ′}

=1

‖ρ′‖4 ρ′ × (ρ′′ × ρ′).

Prin urmare

‖(ρ ◦ µ)′′(s0)‖ =1

‖ρ′(t0)‖4‖ρ′(t0)‖‖ρ′′(t0)× ρ′(t0)‖

=‖ρ′(t0)× ρ′′(t0)‖

‖ρ′(t0)‖3,

adică

(2.5.11) k(t0) =‖ρ′(t0)× ρ′′(t0)‖

‖ρ′(t0)‖3.

Desigur, caracterul geometric al relaţiei (2.5.11) poate fi demonstrat şi directţinând cont de legătura dintre derivatele lui ρ ı̂n t0 şi derivatele lui ρ ◦ µ ı̂ns0, ρ şi ρ ◦ µ nefiind neapărat parametrizate prin lungimea de arc.

44 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Observaţia 2.5.1. Notăm că nici o noţiune introdusă până acum ı̂n acestcapitol nu depinde de orientarea aleasă pe R3.

2.6. Reperul lui Frenet

Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată regulată ce conţine numai puncteneinflexionare, adică ρ′(t) × ρ′′(t) 6= 0, ∀t ∈ I. Pentru fiecare t0 ∈ I vomdefini un reper ortonormat orientat pozitiv

R(t0) = {ρ(t0); (T (t0), N(t0), B(t0))}

numit reperul lui Frenet asociat lui ρ ı̂n t0. Ca de obicei, baza canonică(e1, e2, e3) este considerată ca fiind orientată pozitiv ı̂n R

3 şi avem identifi-carea uzuală

T (t0) = (Tx (t0) , Ty (t0) , Tz (t0)) = Tx (t0) i+ Ty (t0) j + Tz (t0) k ∈ V3;

analog, N (t0) şi B (t0) pot fi priviţi ca vectori liberi, iar ρ (t0) poate fi privitca un punct din E3.

După cum vom vedea, reperul şi formulele lui Frenet sunt foarte utile ı̂nstudiul curbelor. Astfel, din formulele lui Frenet apare noţiunea de torsiuneşi, după cum vom arăta ulterior, cunoaşterea torsiunii şi a curburii estesuficientă pentru determinarea curbei. De asemenea, reperul şi formulele luiFrenet sunt utile ı̂n determinarea formei locale a curbei.

Primul vector T (t0) =ρ′(t0)

‖ρ′(t0)‖ se numeşte vectorul unitar al tangentei laρ ı̂n t0. Acest vector nu are caracter geometric fiind invariant până la sens.Într-adevăr, dacă ρ ◦ µ este echivalentă cu ρ, adică µ este un difeomorfism,µ−1(t0) = s0, atunci (ρ ◦ µ)′(s0) = ρ′(t0)µ′(s0) şi

(ρ ◦ µ)′(s0)‖(ρ ◦ µ)′(s0)‖

=µ′(s0)|µ′(s0)|

ρ′(t0)‖ρ′(t0)‖

,

adică ‹T (s0) = ±T (t0) după cum µ′(s0) > 0 sau µ′(s0) < 0.Al doilea vector N(t0) este situat ı̂n planul osculator, este perpendicular

pe T (t0), are lungimea 1, iar sensul este astfel ı̂ncât bazele (ρ′(t0), ρ′′(t0)) şi

(T (t0), N(t0)) sunt la fel orientate. Aceste condiţii determină ı̂n mod unic

2.6. Reperul lui Frenet 45

vectorul N(t0) care se numeşte vectorul unitar al normalei principale la ρ ı̂nt0 şi are caracter geometric:Cum planul osculator şi direcţia lui ρ′(t0) au caracter geometric, singurullucru rămas de demonstrat este sensul luiN(t0). Fie ρ◦µ o curbă echivalentăcu ρ, µ(s0) = t0. Avem

(ρ ◦ µ)′(s0) = ρ′(t0)µ′(s0) şi (ρ ◦ µ)′′(s0) = ρ′′(t0)(µ′(s0))2 + ρ′(t0)µ′′(s0)

şi prin urmare matricea de trecere de la (ρ′(t0), ρ′′(t0)) la ((ρ ◦ µ)′(s0), (ρ ◦µ)′′(s0)) este Ç

µ′(s0) µ′′(s0)0 (µ′(s0))2

å

iar determinantul ei este (µ′(s0))3. Notăm cu ‹T (s0) şi ‹N(s0) vectorii cores-punzători lui ρ ◦ µ. Dacă µ′(s0) > 0 avem

(ρ′(t0), ρ′′(t0)) o (T (t0), N(t0))

(ρ′(t0), ρ′′(t0)) o ((ρ ◦ µ)′(s0), (ρ ◦ µ)′′(s0))((ρ ◦ µ)′(s0), (ρ ◦ µ)′′(s0)) o (‹T (s0), ‹N(s0))

şi deci (T (t0), N(t0)) o (‹T (s0), ‹N(s0)). În plus, avem T (t0) = ‹T (s0), unde‹T (s0) = (ρ◦µ)

′(s0)‖(ρ◦µ)′(s0)‖ . Prin urmare N(t0) =

‹N(s0).Dacă µ′(s0) < 0 avem

(ρ′(t0), ρ′′(t0)) o (T (t0), N(t0))

(ρ′(t0), ρ′′(t0)) o ((ρ ◦ µ)′(s0), (ρ ◦ µ)′′(s0))((ρ ◦ µ)′(s0), (ρ ◦ µ)′′(s0)) o (‹T (s0), ‹N(s0))

şi deci (T (t0), N(t0)) o (‹T (s0), ‹N(s0)). Cum, ı̂n acest caz, T (t0) = −‹T (s0)rezultă că N(t0) = ‹N(s0).Expresia explicită a lui N(t0) se poate obţine prin procedeul de ortonormareGram-Schmidt aplicat sistemului (ρ′(t0), ρ′′(t0)). Dar, după cum vom vedea,N(t0) se poate obţine mai uşor după ce vom defini vectorul B(t0).

Al treilea vector B(t0) este perpedicular pe T (t0) şi N(t0), adică peplanul osculator, are norma 1 şi sensul astfel ı̂ncât (T (t0), N(t0), B(t0)) esteorientată pozitiv ı̂n R3. Aceste condiţii determină ı̂n mod unic B(t0). Cum

46 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

T (t0) este invariant până la sens iar N(t0) are caracter geometric, rezultăcă B(t0) este invariant până la sens: dacă µ

′(s0) > 0, atunci ‹B(s0) = B(t0),iar dacă µ′(s0) < 0, atunci ‹B(s0) = −B(t0). Mai mult, cum (T (t0), N(t0))şi (ρ′(t0), ρ′′(t0)) sunt baze la fel orientate ı̂n planul osculator, rezultă că

B(t0) =ρ′(t0)× ρ′′(t0)‖ρ′(t0)× ρ′′(t0)‖

.

În sfârşit, deoarece (T (t0), N(t0), B(t0)) este o bază ortonormată orien-tată pozitiv, rezultă că (B(t0), T (t0), N(t0)) este tot o bază ortonormatăorientată pozitiv şi deci

N(t0) = B(t0)× T (t0) =‖ρ′(t0)‖2ρ′′(t0)− 〈ρ′(t0), ρ′′(t0)〉ρ′(t0)

‖ρ′(t0)‖ ‖ρ′(t0)× ρ′′(t0)‖.

Vectorul B(t0) se numeşte vectorul unitar al binormalei la ρ ı̂n t0.Cei trei vectori ai reperului Frenet determină 3 drepte şi 3 plane, toate

având ı̂nsă caracter geometric:

- dreapta ce trece prin ρ(t0) şi are direcţia dată de T (t0) este tangentala ρ ı̂n t0 (tangenta la C ı̂n ρ(t0)).

- dreapta ce trece prin ρ(t0) şi are direcţia dată de N(t0) se numeştenormala principală la ρ ı̂n t0 (la C ı̂n ρ(t0)).

- dreapta ce trece prin ρ(t0) şi are direcţia dată de B(t0) se numeştebinormala la C ı̂n ρ(t0).

- planul ce trece prin ρ(t0) şi are direcţia dată de {T (t0), N(t0)} esteplanul osculator la C ı̂n ρ(t0).

- planul ce trece prin ρ(t0) şi are direcţia dată de {N(t0), B(t0)} senumeşte planul normal la C ı̂n ρ(t).

- planul ce trece prin ρ(t0) şi are direcţia dată de {B(t0), T (t0)} senumeşte planul rectificator la C ı̂n ρ(t0).

Noţiunea de reper Frenet nu poate fi asociată curbelor biregulate ci cur-belor parametrizate biregulate (vectorii T şi B depind de parametrizare),sau curbelor orientate biregulate. Dar cele 3 drepte şi cele 3 plane definitemai sus sunt noţiuni asociate curbelor biregulate.

2.6. Reperul lui Frenet 47

Observaţia 2.6.1. Notăm că, pentru o curbă cu orientarea fixată, singuranoţiune care depinde de orientarea aleasă pe R3 este vectorul B care ı̂şischimbă sensul dacă se schimbă orientarea.

În ı̂ncheiere observăm că funcţiile vectoriale T,N,B : I → R3 sunt ne-tede.

2.6.1 Reperul şi formulele lui Frenet pentru o curbă para-

metrizată prin lungimea de arc

Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată prin lungimea de arc, adică ‖ρ′(t)‖ =1, ∀t ∈ I, şi presupunem că ρ′′(t) 6= 0, ∀t ∈ I (deci curba este biregulată,adică conţine numai puncte neinflexionare). Evident, T (t0) = ρ

′(t0). De-oarece ρ′′(t)⊥ρ′(t), ∀t ∈ I, şi ţinând cont de orientare, rezultă că N(t0) =ρ′′(t0)

‖ρ′′(t0)‖ =ρ′′(t0)k(t0)

. Ştiind acum primii doi vectori ai bazei ortonormate orien-

tată pozitiv (T (t0), N(t0), B(t0)) rezultă că B(t0) = T (t0)×N(t0). Reamin-tim că pe R3 considerăm orientarea uzuală. În concluzie,

T (t0) = ρ′(t0)

N(t0) =1

k(t0)ρ′′(t0)

B(t0) = T (t0)×N(t0) =1

k(t0)ρ′(t0)× ρ′′(t0).

Dacă ρ : I → R3 este o curbă parametrizată biregulată, ‖ρ′(t)‖ 6= 1, ∀t ∈ I,atunci putem reobţine expresia lui N reparametrizând ρ prin parametrullungime de arc.

Propoziţia 2.6.1. Fie ρ : I → R3 o curbă parametrizată biregulată şi t0 ∈ Ifixat arbitrar. Avem

k(t0)‖ρ′(t0)‖3N(t0) = −d

dt

∣∣∣∣∣t=t0

¶‖ρ′(t)‖

©ρ′(t0) + ‖ρ′(t0)‖ρ′′(t0).

Demonstraţie. Fie schimbarea de parametru λ(t) =∫ tt0‖ρ′(τ)‖ dτ şi µ =

λ−1. Considerăm ρ◦µ curba echivalentă cu ρ şi parametrizată prin lungimea

48 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

de arc. Evident, s0 = λ(t0) = 0. Cum λ′(t) > 0, avem

T (t0) = ‹T (0) = (ρ ◦ µ)′(0)N(t0) = ‹N(0) = 1

k̃(0)(ρ ◦ µ)′′(0)

k(t0) = k̃(0).

Ştim că

(ρ ◦ µ)′(s) = ρ′(µ(s))µ′(s) şi (ρ ◦ µ)′′(s) = ρ′′(µ(s))(µ′(s))2 + ρ′(µ(s))µ′′(s).

Pentru s = 0 obţinem

k(t0)N(t0) = (ρ ◦ µ)′′(0) = (µ′(0))2ρ′′(t0)−〈ρ′′(t0), ρ′(t0)〉

‖ρ′(t0)‖4ρ′(t0)

=1

‖ρ′(t0)‖2ρ′′(t0)−

〈ρ′(t0), ρ′′(t0)〉‖ρ′(t0)‖4

ρ′(t0).

Deci

k(t0)‖ρ′(t0)‖3N(t0) = −〈ρ′(t0), ρ′′(t0)〉

‖ρ′(t0)‖ρ′(t0) + ‖ρ′(t0)‖ρ′′(t0)

= − ddt

∣∣∣∣∣t=t0

¶‖ρ′(t)‖

©ρ′(t0) + ‖ρ′(t0)‖ρ′′(t0).

Următoarea teoremă ne dă legătura dintre derivatele de ordinul ı̂ntâi alefuncţiilor vectoriale T,N şi B : I → R3 şi aceste funcţii.

Teorema 2.6.1. (Formulele lui Frenet) Fie ρ : I → R3 o curbă parametri-zată prin lungimea de arc astfel ı̂ncât ρ′′(t) 6= 0, ∀t ∈ I. Avem

T ′(t) = k(t)N(t)

N ′(t) = −k(t)T (t) + τ(t)B(t)B′(t) = −τ(t)N(t)

, ∀t ∈ I,

unde τ : I → R se numeşte torsiunea curbei C (sau, τ(t) se numeşte torsiu-nea lui ρ ı̂n t) şi are caracter geometric.

2.6. Reperul lui Frenet 49

Demonstraţie. Deoarece ρ este parametrizată prin lungimea de arc şi ρ′′(t) 6=0, ∀t, este clar că T (t) = ρ′(t) şi T ′(t) = ρ′′(t) = k(t)N(t), ∀t ∈ I (deci amobţinut prima formulă a lui Frenet).

Ştim că {T (t), N(t), B(t)} este o bază, ∀t ∈ I. Vom exprima derivataN ′(t) ı̂n funcţie de T (t), N(t) şi B(t), şi nu ı̂n funcţie de e1, e2 şi e3 careformează baza canonică.

N ′(t) = α(t)T (t) + β(t)N(t) + τ(t)B(t), ∀t ∈ I,

unde α, β, τ : I → R. Din 〈N,T 〉 = 0, prin derivare obţinem

〈N ′, T 〉+ 〈N,T ′〉 = 0 ⇔ α+ k = 0 ⇔ α(t) = −k(t), ∀t ∈ I.

Din 〈N,N〉 = 1 rezultă 〈N ′, N〉 = 0 adică β(t) = 0, ∀t ∈ I. În felul acestaam obţinut a doua formulă a lui Frenet. Despre funcţia τ nu putem obţinenici o informaţie.

Pentru a obţine a treia formula a lui Frenet, scriem

B′(t) = a(t)T (t) + b(t)N(t) + c(t)B(t), ∀t ∈ I,

unde a, b, c : I → R. Din 〈B,T 〉 = 0 rezultă

〈B′, T 〉+ 〈B,T ′〉 = 0 ⇔ a+ 0 = 0 ⇔ a = 0,

din 〈B,N〉 = 0 rezultă

〈B′, N〉+ 〈B,N ′〉 = 0 ⇔ b+ τ = 0 ⇔ b = −τ,

iar din 〈B,B〉 = 1 rezultă

〈B′, B〉 = 0 ⇔ c = 0,

adică B′(t) = −τ(t)N(t),∀t ∈ I.Pentru a demonstra că torsiunea τ are caracter geometric, adică este

invariantă la schimbări de parametru prin lungimea de arc, vom folosi ultimaformulă a lui Frenet. Deoarece B este invariant până la sens, adică ‹B(s) =B(µ(s)),∀s, dacă µ′ = 1, şi ‹B(s) = −B(µ(s)), ∀s, dacă µ′ = −1, rezultăcă ‹B′(s) = B′(µ(s)), ∀s, indiferent dacă µ′ = 1 sau µ′ = −1 (reamintim cădacă ρ şi ρ ◦ µ sunt parametrizate prin lungimea de arc atunci (µ′)2 = 1).Acum, din faptul că B′ şi N au carater geometric şi din ultima formulă alui Frenet obţinem că τ = −〈B′, N〉 are caracter geometric.

50 Capitolul 2. GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A CURBELOR

Din ultima formulă a lui Frenet deducem că funcţia torsiune este netedă.

Observaţia 2.6.2. Notăm că torsiunea depinde până la semn de orientareaaleasă pe R3.

Observaţia 2.6.3. Matriceal, formulele lui Frenet se scriu sub forma

ÖT ′

N ′

B′

è

=

Ö0 k 0−k 0 τ0 −τ 0

èÖT

N

B

è

.

Propoziţia 2.6.2. Fie C o curbă biregulată. Atunci C reprezintă o curbăplană dacă şi numai dacă torsiunea ei este nulă.

Demonstraţie. Fie ρ : I → R3 un reprezentant al lui C parametrizat prinlungimea de arc.

Presupunem că ρ(I) ⊂ π. Atunci ştim că toate planele osculatoare la ρcoincid cu planul π şi deci B(t) = B(t0), ∀t ∈ I, unde t0 ∈ I a fost fixatarbitrar. Din a treia formula a lui Frenet rezultă τ = 0.

Reciproc, presupunem că τ = 0 şi vrem să demonstrăm că ρ(I) ⊂ π. Dina treia formulă a lui Frenet rezultă că t → B(t) este o funcţie constantă.Considerăm t0 ∈ I şi definim funcţia

f(t) = 〈ρ(t)− ρ(t0), B(t0)〉, ∀t ∈ I.

Avem

f ′(t) = 〈ρ′(t), B(t0)〉 = 〈T (t), B(t)〉 = 0, ∀t ∈ I.

Prin urmare f(t) = f(t0), ∀t ∈ I, şi deci 〈ρ(t) − ρ(t0), B(t0)〉 = 0,∀t ∈ I,adică ρ(I) este inclusă ı̂n planul π : 〈r − ρ(t0), B(t0)〉 = 0.

Din Propoziţia anterioară rezultă:

Propoziţia 2.6.3. Fie ρ : I → R2 o curbă plană parametrizată prin lun-gimea de arc astfel ı̂ncât ρ′′(t) 6= 0, ∀t ∈ I. Atunci formulele lui Frenet sescriu {

T ′(t) = k(t)N(t)

N ′(t) = −k(t)N(t), ∀t ∈ I.

2.6. Reperul lui Frenet 51

Observaţia 2.6.4. Baza (T (t), N(t)) nu este neapărat orientată pozitiv ı̂nR2 (reamintim că baza (T (t), N(t), B(t)) este orientată pozitiv ı̂n R3). Pen-

tru a obţine (T (t), N(t)) bază ortonormată orientată pozitiv putem procedaastfel: considerăm ρ : I → R2 o curbă parametrizată prin lungimea dearc, care p