REZISTENTA SI RIGIDITATEA - ELEMENTELOR DE TIP BARA 1.ELEMENTESOLICITATELAINTINDERESICOMPRESIUNE CENTRICA 1.1.INTINDEREASICOMPRESIUNEACENTRICA.DEFINITIE; EXEMPLE Intinderea/compresiuneacentricaestesolicitareasimplanprezenta careia, nsectiunea transversala, interactiunea este exprimata printr-o pereche de forte axiale (fig.3.1). fig.3.1. Operechedeforteechilibrateaplicatepeobaradreaptade-alungul axuluieigenereazantrepuncteledeaplicatiintindere/compresiunecentrica (fig.3.2).FortaaxialaNareintensitatataePafiecaruiadinceledouaforte exterioare Fig.3.2. Inpractica,ntinderea/compresiuneacentricaestesolicitarea caracteristicabarelorgrinzilorcuzabrele(singeneralsistemeloralcatuitedin baredreptearticulatelacapete,ncarcatecufortenpuncteledearticulare), numaisubformadentindere,eaestepropriefirelor(drepte,poligonalesau curbe). 1.2. REZISTENTA BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CENTRIC 1.2.1. Eforturi unitare pe sectiunea transversala Studiulgeometric(privindmoduldedeformare).Pesuprafetelelaterale ale unei bare drepte cu sectiune dreptunghiulara se traseaza un sistem de linii longitudinale (paralele cu axa) si transversale (perpendiculare pe axa). In regim de solicitare (fig.3.3) liniile transversale se departeaza /aproape (printranslatii) ramnnd drepte, paralele ntre ele si normale pe cele longitudinale. Fig.3.3. ObservatiacorespundeipotezeiBernoulli(sectiunitransversaleplanesi normale pe axa ramn plane si normale tot timpul deformarii), confirmnd-o (cu putin pe suprafata - vizibila - a barei) Cuprivirelaceledouatipuridedeformatii(liniaresiunghiulare)se constata - lipsa deformatiilor unghiulare (= 0) caci unghiurile retelei nu se modifica -prezentaunordeformatiiliniareegalentoatefibrelelongitudinaleale barei (Al = const., deci c = const.). Studiul fizici consemneaza conditia de elasticitate liniara (legea lui Hooke) acceptata n Rezistenta materialelor. Sinteza studiu geometrica - studiu fizic. Daca = 0, rezulta t = 0. Daca c =const.,rezulta=const.Pesectiuneatransversala,interactiuneapunctuala este exprimata prin eforturi unitare normale t egale (uniform distribuite) (fig.3.4). Fig.3.4. Studiulstatic.EfortulsectionalNsisistemuldeeforturiunitaresunt masura aceleasi interactiuni. Studiul static consemneaza echivalenta dintre cele doua moduri de exprimare ale ei: N =o dA Sinteza studiu geometric - studiu static. Intruct o = const. N = o dA = tA, de unde: o =(3.1). Marimea efortului unitar o depinde de doi parametri: -fortaaxialaN,parametrulglobalalinteractiuniidinsectiune,masura solicitarii - aria A, parametrul geometriei sectiunii transversale. I.2.2.Proiectareaderezistentaasectiuniibarelor ntinse/comprimate centric 1.2.2.1. Conditiiderezistenta.Verificare;dimensionare,capacitate portanta.Conditiaderezistentaimpusademetoda rezistentelor admisibile (1.1) devine s oa Relatia contine trei parametri; ei corespund celor trei factori care apar an procesul celor trei factori care apar n procesul proiectarii sectiunii: - solicitarea, exprimata prin forta axiala N; - materialul, exprimat prin rezistenta sa admisibila ta; -geometriasuprafeteisectiuniitransversale,exprimataprinariaA. 737h72hDupafelulncareacestiaintervin(caparametriicunoscutisau necunoscuti),proiectareadmbracatreiaspecte:verificarea,dimensionareasi determinarea capacitatii portante a sectiunii. Celetreiaspectealeproiectariisuntprezentatesinteticntabelul3.1si comentate n continuare. Tabelul 3.1. Parametri cunoscuti Parametri necunoscuti Relatia de calcul VerificareN, oa, A- s oa DimensionareN, oaAria necesara Anec Anec = Capacitate portanta oa, Aforta capabila Ncap Ncap = oaA Inproblemelededimensionare,dupastabilireaarieinecesareAnec, dimensiunile sectiunii (carora le va corespunde aria efectiva Aef) se aleg astfel, nct, indiferent de forma ei , Aef > Anec. Capacitatea portanta a unei sectiuni se masoara prin forta axiala - numita fortacapabila,Ncap-corespunzatoareunoreforturiunitareegalecurezistenta admisibila.RezistentabareiesteasiguratadacaefortulaxialNcorespunzator solicitarii(determinatnfunctiedencarcari)nudepasesteefortulcapabilNs Ncap. 1.2.2.2. Observatie privind proiectarea barelor comprimate.Barelecomprimatesepotdistrugemainaintecueforturileunitare (determinatecuraportntrefortaaxialasiariasectiuniitransversale)saatinga limita de rupere sau de curgere a materialului, prin fenomenul numit flambaj*. In principiu,pericolulflambajuluiestecuattmaimarecuctbarelesuntmai svelte.Numaibarelerobuste(culungimearedusasisectiunitransversale desvoltate) pot fi proiectate la compresiune n conditiile analizate n capitolul de fata. 1.2.3. Concentrari de eforturi Insectiunitransversalefoarteapropiatedepunctuldeaplicatieafortei exterioareaxiale(fig.3.8)ipotezaluiBernoulli(asectiunilorplane.)este infirmatadeexperiment.Fibrelelongitudinaledinpreajmaaxeibarei,cu deformatii longitudinale mai mari, vor fi mai puternic solicitate; *) Flambajul va fi analizat pe larg n unul din capitolele urmatoare ale cursului. Fig.3.8. fig.3.8prezintadistributiaeforturilorunitareontreisectiuni(a,b,c)aflatela distante diferite de punctul de aplicatii a fortei exterioare. Insectiunitransversalesuficientdedepartatedepunctuldeaplicatiea fortelor exterioare, distributia n sectiune a eforturilor unitare nu este influentata de modul de aplicare a acestor forte (principiului Saint-Venant). Neuniformitatilendistributiaeforturilorunitarepesectiuneatransversala apar si la variatii ....ale formei sectiunii (gauri, crestaturi etc.) (fig.3.9). Concentratiiledeeforturidinsectiunileslabitedegaurisaucrestaturiau consecinte diferite la materialele casante si ductile. La materialele casante bara se rupe brusc cnd "vrful" eforturilor atinge tr(decilaovaloareaefortuluimediumultmaimicadecttr(fig.3.10).La materialele ductile (cu curgere, sau cu deformatii plastice mari) ruperea este un proces ndelungat, care se sfrseste chiar dupa ce, treptat, pe masura ce creste solicitarea,toateeforturileunitaredinsectiuneatingrezistentadecurgere; distributiaeforturilorunitarenctevafazepremergatoareruperiiuneibare alcatuite din material ductil este prezentata n fig.3.11. fig.3.10 fig.3.10 fig.3.11. 1.3. DEFORMATIILE BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CETRIC 1.3.1. Calculul deformatiilor Intredeformatiisieforturiexistalegaturaliniaraexprimatadelegealui Hook o = Ec; de aici se deduce expresia formatiilor specifice liniare c: c = Deformatia specifica liniara c este proportionala cu solicitarea (N) si invers proportionalacufactorulderigiditatelantindere/compresiune(produsulEA); acesta,larndullui,depindededouacategoriideparametri:modululde elasticitateE(careexprimarigiditateamaterialului)siariasuprafeteisectiunii transversale A (care exprima rigiditatea sectiunii). Cum c reprezinta deformatia unitatii de lungime, deformatia ntregii unitati de lungime, deformatia ntregii bare (alungirea sau scurtarea Al) e proportionala cu lungimea l: Al = cl(3.3) Al =(3.4) 1.3.2. Efectul static al variatiilor de temperatura n bare Obaralibera,culungimeal,supusauneivariatiidetemperaturaAtose dilata/contracta (alungeste/scurteaya) cu cantiatea. Alt = Ato o l(3.5) unde o este coeficientul de dilatatie termica al materialului; pentru otel, o = 1,2 . 10-5 Aplicatie.Laovariatiedetemperaturade30o,obaradeotelde8m lungime se alungeste/scurteaza cu Alt = 30 . 1,2 . 10-5 . 8000 mm = 2,88 mm Dacadilatatia/contractiabareiestempiedicatadelegaturileacesteian sistem,nbaraapareforturittdecompresiune/ntinderecorespunzatoare alungirii/scurtariiblocate(casicumeforturiaxialedecompresiuneNar constrngebaradilatatacucantitateaAltsarevinalapozitiainitialaprintr-o scurtare AlN egala Alt = Al N; Ato . o . l =, de unde ot == At . o . E(3.6) Aplicatie.Pentrubaradinexemplulprecedent,blocareadeformatiilorde dilatare/contractiegenereayaeforturiunitarecareconsumamaimultde jumatate din reyistenta admisibila a materialului: ot = 30 . 1,2 . 10-5 . 2,1 . 106 = 755 Kgf/cm2 De remarcat ca n expresia eforturilor unitare (3.6) nu intervine geometria barei(niciariasectiuniitransversale,nicilungimea).Eforturilenupotfi moderateprindimensionare,ciprintr-oconformaredeansambluastructurii care sa permita deformatii libere. Insistemulstaticdeterminate(cunumarminimdelegaturi)deformatiile dedilatare/contractieseproducliber(fig.3.12.a),decifaraconsecinteasupra starii de efort din bare. Legaturilesuplimentarealesistemelorstaticnedeterminatengradesclibertatea de deformare, genernd n bare eforturi (fig.3.12.b). Podurilemetalicesunt totdeaunastructurisimplurezemate(cuunreazemfixsialtulmobil),cu posibilitatea de dilatare sau contractii neblocata n lungul axului podului. fig.3.12 2. ELEMENTESOLICITATELAFORFECAREPURA.FORFECAREA PIESELOR CU SECTIUNE REDUSA. 2.1. FORFECARE PURA. DEFINITIE; EXEMPLE. Forfecareapuraestesolicitareasimplanprezentacareia,nsectiunea transversala,interactiuneaesteexprimataprintr-operechedefortetaietoare (fig.3.14). Fig.3.14. DouaforteP,paralele,egalesidesenscontrar,actionnd,ladistanta neglijabilantreele,normalpeaxulbarei,genereazaforfecarepura(fig.3.15). Forsa taietoare T are intensitatea P a fiecareia din cele doua forte exterioare. Fig.3.14. 2.2. CADRUL PROBLEMEI

Sub forma pura (sau macar aproximativ) solicitarea apare rar. Inceleceurmeazastudiulselimiteazalacazanecurentalforfecarii pieselor cu sectiuni transversale mici (mituri, buloane, cordoane de sudura , etc. -folositelambinarileelementelordinmetal)lacareefectulunorsolicitari secundare este redus. 2.3. APROXIMATIV SI IPOTEZE SIMPLIFICATOARE A.Chiarsincazuldinfig.3.15forfecarealornsotitalancovoiere; momentul cuplului este mic nsa si se neglijeaza. B. La forfecarea pieselor cu suprafata sectiunii redusa se admite ca forta taietoareesterezultantaunoreforturielementaretangentialeparalele,acaror masura este un efortunitar t cu intensitate constanta. 2.4. EFORTURI UNITARE PE SECIUNEA TRANSVERSALA In conditiile ipotezei B facuta n paragraful precedent (t = const), T = A; de unde, t=(3.7) 2.5. PROBLEMEDEFORFECARELAOIMBINARECUNITURI SOLICITATA AXIAL 2.5.1. Descrierea imbinarii Ombinarerealizeazalegareaelementelorntr-unansamblu indeformabil. Imbinarilsecuniturisolicitateaxialblocheazadeplasarilerelativen lungulunuiaxcomuncelordouaelemente.Fig.3.16prezintaoastfelde mbinare. Fig.3.16. Niturile sunt piese din otel (rezistenta otelului nitului este putin inferioara celeiaoteluluipieselorcaresembina)cuformadinfig.3.17.a.Imbinarease realizeaza prin introducerea niturilor ncalzite la rosu n gauri date n prealabil si formarea, prin baterie, a celui de-al doilea cap (fig.3.17.b.). fig.3.17. 2.5.2. Proiectarea mbinarilor cu nituri 2.5.2.1.Moduldelucru.SubactiuneafortelorP,desenscontrar,care solicita mbinarea, cele doua elemente au tendinta de a luneca relativ (fig.3.18). Ca urmare, mbinarea se poate distruge n doua feluri: fig.3.18 -prinforfecareatijeisituluinsectuneatransversaladindreptulplanului de separatie a celor doua elemente; -prinstrivireatijeipesuprafatadecontactdintretijasiperetiigauriide nit. "Transportul"fortelorprinmbinare(adicaefectullorpesuprafata forfecata si pe suprafata strivita) este reprezentat n fig.3.19 prin forte interioare de legatura. fig.3.19. Se remarca echilibrul care controleaza parametrii tuturor acestor forte. Forta pe care o poate transmite mbinarea prin intermediul unui singur nit (numitarezistentanitului)depindederezistentalaforfecareRf(nsectiunea transversala a tijei) si de rezistenta la strivire Rs (pe suprafata de contact dintre dija si elementele mbinate. 2.5.2.2.Rezistentanituluilaforfecare.Capacitateaderezistentan sectiuneatransversalaatijeidepindedeariasectiuniiforfecate,Af,side rezistenta admisibila la forfecare, taf, a materialului tijei. In baza relatiei (3.7); Rf = Af .af Rf =af, (3.8) unde d este diametrul nitului. Pe baza experimentale, se considera af = 0,8 ta, undetaesterezistentaadmisibilalacompresiuneamaterialului elementelor care se mbina. Pentru elemente din OL37 (cu nituri din OL34), af = 0,8 x 1500 = 1200 Kgf/cm2. 2.5.2.3.Rezistentanituluilastrivire.Presiunilereciprocedintretijasi peretii gaurii au distributia neuniforma din fig.3.2 pentru simplificarea calculelor, volumulmatizat,avndodistributieuniforma,peedeala,deforma dreptunghiulara, a unui plan diametral (fig.3.20.b). fig.3.20 Inacesteconditiisimplificatoare,capacitateaderezistentalastrivireRs depinde de aria sectiunii strivite. As = dt si de rezistenta admisibila la strivire de peretii gaurii de nit tag. Daca elementele caresembinaaugrosimidiferite(t1ft2),aceeasifortaPsedistribuiepe suprafete cu arii diferite; eforturile unitare de strivire fiin mai mari pe piesa mai subtire, n determinarea ariei As se va considera tmin : Rs = dtmin tag (3.9) Rezistentaadmisibilalastriviretagseconsideradatnraportcu rezistenta admisibila ta a materialului elementelor de mbinat: ag = 2 a Pentru OL37, ag = 2 x 1500 = 3000 Kgf/cm2 2.5.2.4.Rezistentanitului.Rezistentanitului(fortaPpecareopoate transmitembinareaprinintermediulunuisingurmit),R,esteceamaimica dintre valorile Rf si Rs definite anterior. 2.5.2.5.Rezistentanituluicumaimultesectiunideforfecare.Lao mbinaredetreielemente(fig.3.21)fortaPsetransmiteprinforfecareadoua sectiuni. Rezistenta nitului la forfecare Rf se va dubla, caci numai jumatate din forta P trebuie echilibrata de eforturile tangentiale dintr-o sectiuune transversala a tijei. La limita de rezistenta, = Af .af, de unde Rf = 2af Pentru mai multe sectiuni de forfecare, daca nf este numarul lor Rf = ngaf(3.10) Ladeterminarearezistenteinituluilastrivire,interactiunileceaparla contactul tijei cu elementele cu tendinte de lunecare opuse Fig.3.21. seconsideraseparat;strivireamaximaaparepesuprafetaminimasiaceasta este suprafata care intervine n determinarea rezistentei Rs Rs = d (Et) minag (3.11) unde(Et)minestesumaminimaagrosimilorelementelorcaretindsase deplaseze n acelasi sens. 2.5.2.6.Determinareanumaruluidenituri.Lambinareaelementelor solicitatelantinderesaucompresiunecentricaseadmitecafortatransmisa prinmbinareserepartizeazanmodegaltuturorniturilor.Inaceastaipoteza, numarul necesar de nituri, n, se determina mpartind forta P care "traverseaza" mbinarea la rezistenta R a unui singur mit: n = (3.12) Diametrulnitului(careintervinencalcululrezistenteisale)sealegen functiedegrosimeaceluimaisubtireelementdinpachet,pebazaunor prevedericonstructivecuprinsenstandarde(cuaproximatie,d=2t).Tot standardele precizeaza reguli privind propozitia niturilor n mbinare. Desi calculul mbinarilor nituite are un caracter conventional (fiind condus pebazamaimultoripotezesimplificatoare),rezultateobtinutecorespund capacitatirealederezistenta,ntructrezistenteleadmisibileacceptatesunt determinate, experimental, tocmai prin ruperea unor astfel de mbinari. 2.6. COMPORTAREA IMBINARILOR CU BULOANE La mbinarea elementelor metalice se folosesc doua categorii de buloane: - buloane obisnuite (buloane brute, cu tija neprelucrata , care se introduc liberngauricudiametrulmaimaresibuloanepasuite,cutijaprelucrata, introduse fortat n gauri de acelasi diametru); - buloane de nalta rezistenta, pretensionate la montaj. Imbinarea cu buloane obisnuite se comporta la foc cu mbinarea cu nituri (curezistenteadmisibileidenticecelorfolositelambinarilecunituri-ncazul buloanelor pasuite - sau cu rezistente ceva mai mici - n cazul buloanelor brute). Lambinareaprinbuloanedenaltarezistenta,transmitereafortelorprin mbinaresebazeazapefrecareadintreelementelestriviteputernicprin intermediul buloanelor. In aceste conditii bulonul este solicitat la ntindere. 2.7.PROBLEMEDEFORFECARELAIMBINARISUDATE SOLICITATE AXIAL 2.7.1. Descriere Solidarizareaelementelorsudateserealizeazacumaterialtopitsub forma unui cordon. Dupa pozitia relativa a elementelor care se mbina, rndurile se mpart n doua categorii: - suduri n adncime, folosite la mbinarea cap la cap a doua elemente n prelungire (fig.3.22); - suduri n relief sau de colt, executate la elemente suprapuse (fig.3.23). fig.3.22fig.3.23 2.7.2. Proiectarea mbinarilor sudate 2.7.2.1.Moduldelucru.Seconstataexperimentulcasudurilen reliefsedistrugprinforfecareacordonuluidesuduranplanulsaubisector; fig.3.24prezintarupereaunuicordonlateral,iarfig.3.25-rupereaunuicordon frontal. fig.3.24fig.3.25 2.7.2.2.Conditiiderezistenta.Capacitateaderezistentaacordonului desudura(fortataietoaredinplanulsuprafataforfecatecorespunzatoareunei distributiideeforturiunitareegalecurezistentaadmisibila)depindedearia forfecataAssirezistentaadmisibilaamaterialuluisudurii,as,admitndca eforturiletangentialatsedistribuie uniform pesuprafata forfecata,capacitatea cordonului este T = tas A Se considera ca rezistenta admisibila la forfecare a cordonului de sudura tas este doua treimi din rezistenta admisibila ta a materialului pieselor mbinarii; pentru OL 37, tas = 2/3 . 1500 = 1000 Kgf/cm2. Suprafata forfecata a cordonuluidesudura esteundreptunghiculatura mica egala cu grosimea cordonului, de sudura si latura mare egala cu lungimea cordonului de sudura. Grosimea de calcul, a, se considera, acoperitor, egala cu naltimea triunghiulara isoscel nscris n forma sectiunii transversale prin cordon (fig.3.2.b):a~0,7b;eacorespundesectiuniiforfecatecuaria(decisi capacitatederezistenta)minima.Lungimeadecalcul,l,rezultadinlungimea efectiva ls a cordonului prin fig.3.26 scaderea zonelor de capat (fiecare cu o lungime aproximativ egala cu grosimea de calcul a) unde sudura este de slaba calitate : l = ls- 2a. Cu observatiile de mai sus: As = El . a Alegnd grosimea unui cordon (se recomanda b s tmin), rezulta lungimea sa,astfelnctcapacitateansumataatuturorcordoanelorforfecatesafie superioara fortei axiale transmise prin mbinare. x Sudurilenadncimelucreazalantindere,sisuntsolicitatelaeforturi normale t. 3. ELEMENTE SOLICITATE LA INCOVOIERE PURA 3.1. DEFINITIE; EXEMPLE Incovoierea pura este solicitarea simpla n prezenta careia, n sectiunea transversalainteractiuneaesteexprimataprintr-operechedemomente ncovoietoare (vectori cuplu cuprinsi n planul sectiunii). Subformapura,ncovoiereaapareiar.Douacazurisuntfurnizatela situatiileparticularedencarcaredinfig.3.27;tronsoanele1-2alecelordoua grinzi (unde T=0) sunt solicitate la ncovoiere pura. Fig.3.27 Deobicei,ncovoiereaaparensotitadeforfecare;subaceastaforma, tipica grinzilor va fi tratata n subcapitolul 4. Infunctiededirectiavectoruluimomentncovoietorfatadeaxele principale de inertie ale sectiunii transversale, se deosebesc urmatoareledoua cazuri: -ncovoierepedoua directiisauncovoiereoblica(cazulgeneral),cnd directia vectorului cuplu este oarecare fata de directia axelor; -ncovoierepeodirectiesauncovoieresimpla(cazulparticular),cnd directia vectorului cuplu coincide cu directia uneia din axe. Grinzilecusectiunisimetrice(nraportcucelputin oaxa),ncarcatecu forte n planul de simetrie longitudinal, sunt solicitate la ncovoiere pe o singura directie (fig.3.28). Este cazul cel mai des ntlnit n practica si el va fi studiat n continuare. O pava de acoperis (fig.3.29) este solicitata la ncovoiere oblica (pe doua directii) ; dar fiecare din cele doua componente Mx si My (pe directiile principale de fig.3.28 inertie) este masura unei solicitari de ncovoiere simpla. fig.3.29 3.2. REZISTENTA BARELOR INCOVOIATE 3.2.1.EFORTURIUNITAREPESECTIUNEATRANSVERSALA. FORMULA LUI NAVIER Studiul geometric. Pentru a evidentia modul de deformare, pe suprafetele laterale ale unei bare drepte cu sectiune dreptunghiulara se traseaza un sistem deliniilongitudinale(paralelecuaxa)sitransversale(perpendicularepeaxa) (fig. 3.30.a). In regim de solicitare (fig.3.30.b) liniile longitudinale se curbeaza n liniiletransversalesecurbeazanliniiletransversaleserotesc,ramnnd-n spiritul ipotezei lui Bernoulli - drepte si normale pe cele longitudinale. Cuprivirelaceledouatipuridedeformatii(liniaresiunghiulare)se constata: -lipsadeformatiilorunghiulare(=0),caciunghiurilereteleinuse modifica; - prezenta unor deformatii liniare pe directia axei barei. In zonele cu ncovoiere pozitiva (cazul din figura) fibrele longitudinale de la partea inferioara se alungesc, iar cele de la partea superioara se scurteaza. Se intuieste prezenta unui plan de fibre (fibre neutre) care se curbeaza fara Fig.3.30 a-simodificalungimea;intersectiadintreacestplansiplanulsectiunii transversale se numeste axa neutra. Douasectiuniaflateladistantaelementaradzserotesccuunghiul elementard(fig.3.31.a);pedesens-aupusnevidentafibraneutraABcu lungimea neschimbata (AB = dz) si raza de curbura a fibrei neutre (OA = OB =). Variatia de lungime a unei fibre oarecare (MNN') aflata la cota y' fata de firbraneutraestepusanevidentanfig.3.31.bprinsegmentulNN'.Din asemanarea triunghiurilor OAB si BNN' rezulta: sau ; primulraport(dintrealungireafibreisilungimeaeiinitiala)estedeformatia specifica c si relatia de asemanare devine: c =>';(3.13) deformatiilespecificec,nulendreptulaxeineutre,variazaliniarpenaltimea sectiunii transversale (fig.3.32.a). fig.3.31 Studiul fizic consemneaza conditia de elasticitate liniara (legea lui Hooke) acceptata n Rezistenta materialelor: o= Ec t = 6 Sintezastudiugeometric-studiufizic.Daca=0,t=0.Pesectiunea transversala, interactiunea este masurata numai prin eforturi unitare normalet. Introducnd relatia (3.13) n legea lui Hooke, rezulta: o = E y';(3.14) casideformatiilespecificec,eforturileunitarenormalet,nulendreptulaxei neutre,variazaliniarpenaltimeasectiuniitransversale(fig.3.32.bsi3.32.c). Axaneutrampartesectiuneandouazone:unacomprimatasialtantinsa (fig.3.32.d). Studiulstaticconsemneazaechivalentadintreceledouamoduride exprimare a interactiunii: prin eforturi a - diagrama de distributie a deformatiilor specifice c b - diagrama de distributie a eforturilor unitare normalec - masura interactiunii: prin eforturi unitare normale si prin momentul ncovoietor M d - sectiunea transversala si axa neutra Fig.3.32 sectionale (Mx = 0; N = 0) si prin eforturi unitare ( ) (fig.3.33): Fig.3.33 N = SA tdA = 0;(3.15) Mx = SA tdA . y(3.16) Sintezastudiugeometric-studiufizic-studiustatic.Cu(3.24),prima relatie de contravalenta devine N = E . SA y'dA adica SA y'dA = 0 Integralareprezintaunmomentstatic(alsuprafeteisectiuniitransversalefata deaxaneutraasectiunii);dinfaptulcaenul,rezultacaaxaneutratreceprin centruldegreutatealsuprafeteisectiunii;eacoincidecuaxax,motivpentru care y si y' masoara aceeasi distanta. Cu (3.14) a doua relatie de echivalenta devine: Mx = ESA y2dA sau Mx = ESA Ix,(3.17) unde Ix reprezinta momentul de inertie ale suprafetei sectiunii n raport cu axa x. Revenind la relatia (3.14), din care rezulta E (3.17) devine Mx = t =(3.18) Expresia(3.18)cunoscutasubnumeledeformulaluiNavierprecizeaza marimea efortului unitar normal t ntr-un punct M situat la distanta y fata de axa neutra (fig.3.34). Fig.3.34 3.2.2. EFORTURI UNITARE MAXIME Valorilemaximealeeforturilorunitaresedezvoltanfibreleextreme (celemaidepartatedeaxaneutra).DacaYmaxestedistantadelafibra extrema la axa neutra rezulta tmax = Ymax tmax = undelanumitorapareexpresiamodululuiderezistentaWxalsuprafetei sectiunii n raport cu axa netura x (2.9). Cu aceasta observatie, tmax =(3.19) Marimea efortului unitar maxim deprinde de doi parametri: - momentul ncovoietor M, parametrul global al interactiunii din sectiune, masura solicitarii; - modulul de rezistenta W, parametrul geometriei sectiunii transversale. 3.2.3. Trei forme ale interactiunii sectionale Rezultantafortelorinterioaredelegaturadepezonantinsa,Fi,si comprimata,Fc,suntdouaforteegalesidesenscontrar(fig.3.35);ele formeaza un cuplu al carui Fig.3.35. momentesteechivalentcumomentulncovoietorM.MomentulncovoietorM, cuplul fortelor Fc si Fi (rezultantele fortelor interioare de legatura) si sistemul de forta interioare de legatura cu distributie continua (a caror masura sunt eforturile unitare normale o) reprezinta trei forme ale aceleasi interactiuni. 3.2.4.Proiectarea de rezistenta a sectiunii barelor ncovoiate 3.2.4.1. Conditiiderezistenta.Verificare;dimensionare;capacitate portanta Conditiiderezistentaimpusademetodadecalcularezistentelor admisibile (1.1) devine s oa(3.20) Relatia contine trei parametri; ei corespund celor trei factori care intervin n procesul proiectarii sectiunii barelor ncovoietoare: - solicitarea, exprimata prin momentul ncovoietor M; - materialul , exprimat prin rezisnteta sa admisibila oa; -geometriasuprafeteisectiuniitransversale,exprimataprinmodululde rezistentaW,determinatnraportcuaxaneutra(axaprincipalacentralade inertie ce coincide cu suportul vectorului moment). Dupafelulncareacestiaintervin(caparametricunoscutisau necunoscuti),proiectareambracatreiaspecte;verificarearezistenteisectiunii, dimensionarea sectiunii si determinarea capacitatii portante a sectiunii. Cele trei aspecte ale proiectarii sectiunii sunt sintetic n tabelul 3.2. Tabelul 3.2. Parametrii cunoscuti Parametrii necunoscuti Relatia de calcul VerificareM, oa,W- soa DimensionareM, oamodulul de rezis- tenta necesar Wnec Wnec =Capacitate portanta oa, Mmomentul capabil Mcap Mcap = oaW Lamaterialelecurezistenteadmisibilediferitelantinderesila compresiune(deex.fonta)suntnecesaredouaverificari:unanzonantinsa, alta n zona comprimata a sectiunii. In problemele de dimensionare dimensiunile sectiunii se aleg astfel, nct Wef > Wnec,(3.21) undeWefestemodululderezistentaefectiv(alsectiuniipropuseprin proiectare). Pentru bare cu sectiune circulara,> Wnec de unde rezulta diametrul. Pentru bare cu sectiunea dreptunghiulara, > Wnec; relatiacontinedouanecunoscute-bsih;determinarealorse facepropunnd fieunadinele,fiecuanumitraport(orientativ)ntreele.Pentrubarelecu sectiunistadardizatecareseconfectioneazantr-unnumarlimitatdetipuri (cazul profilelor laminate din otel, sau al majoritatii grinzilor din lemn cu sectiune dreptunghiulara),sectiunearezultadirectprincomparareavaloriiWneccu valoareaWefdintabeleledecaracteristicialefiecaruitipdesectiune.Pentru sectiunidealteforme,dimensionareasefaceprinncercari,verificndrelatia (3.2) pentru diferite sectiuni propuse. Capacitateaportantaauneisectiunisemasoaraprinmomentul ncovoietor(numit momentcapabil,Mcap), caruiaicorespunde unefort unitar maximegalcurezistentaadmisibila.Rezistentabareinsectiuneaanalizata este asigurata daca momentul ncovoietor M generat de ncarcare nu depaseste momentul capabil:M s Mcap. Verificarea si dimensionarea cu momentul ncovoietor maxim. 3.2.4.2.Criteriideconformare.Sectiunirationale;randamentul sectiunii. Criteriul de rezistenta Wnec = M/oa aplicat la dimensionarea sectiunii ofera oinfinitatedesolutii.Elpoatefisatisfacutdesectiunicuformesiariidiferite; urmndreducereaconsumuluidematerialsepreferaformelecuarieminima. Pedealtaparte,laariiegale,formediferiteasiguracapacitatidiferite;forma rationala va corespunde capacitatii maxime. Capacitateasectiunii(exprimatacamomentalcupluluirezultantelor fortelorinterioaredelegatura)esteproportionalacuvaloarea-egala-acelor doua rezultante (Fc = Fi) si cu bratul lor de prghieZ (fig.3.36). A.Crestereacapacitatiisectiuniiprincrestereavaloriirezultantelor fortelor interioare de legatura

Suprafata sectiunii nu este solicitata uniform. Cu ct o parte ct mai mare din suprafata sectiunii se va afla n zonele cele mai solicitate (cu eforturi unitare mari),cuattrezultantafortelorinterioaredelegatura(casumaaproduselor dintre efortul unitar si elementul de arie) va fi mai mare. Pentru o sectiune dreptunghiulara cu aria A, Fc = Fi =oa;Fc = Fi =o Pentruosectiunefictiva,ideala,cuaceeasiarie,cusuprafata concentrata n mod simetric la cele doua extremitati (acolo unde toate eforturile unitare ating rezistenta admisibila ) (fig.3.37.b), rezultanta va fi dubla; Fc = Fi =oa Fig.3.36 Fig.3.37 B. Cresterea capacitatii sectiunii prin cresterea bratului de prghie.Este evident ca bratul creste odata cu cresterea naltimii sectiunii. Darcrestereanaltimiihestelimitatadediferiteconsiderente (functionale,estetice,etc.).Lanaltimeaconstanta,bratulcreste(casi rezultantele fortelor interioare de legatura) tot prin ndepartarea materialului axa neutra. Pentru sectiunile de forma dreptunghiulara, indiferent de proportiile lor, Z =h (3.22) Bratul de prghie maxim, z = h, corespunde sectiunii ideale cu suprafata concentrata la cele doua extremitati. Iataacum,pentruceledouatipuridesectiuneluatecareperen exempleleprecedente,valoareacapacitatiiportante,Mcap,caprodusntre rezultantele fortelor interioare de legatura si bratul de prghie: - pentru sectiunea dreptunghiulara, Mcap =oa .h =oa; - pentru sectiunea ideala, Mcap =oa . h =oa; Dacasectiunileauaceeasiarie,aceeasinaltimesisuntalcatuitedin aceleasimaterial,capacitateasectiuniiidealeestedetreiorimaimaredect capacitatea sectiunii de forma dreptunghiulara. Osectiunenationalatinde,princonformareaei,catreformaideala descrisa mai sus. Aceasta forma constituie reperul sectiunilor de tip I sau U ale parapetelorlaminatesaualegrinzilordinotel"cusectiunecompusa", confectionate prin sudare sau solidarizarea cu nituri (fig.3.38). Fig.3.38 Estedesemnalatsitipuldegrindametalica"expandata",realizataprin sudarea,npoziiedecalata,adouajumatatideinimataiatedupaolinie poligonala (fig.3.39). Fig.3.39 Caracteristica geometrica a suprafetei sectiunii care determina nemijlocit capacitatea portanta este modelul de rezistenta W: N cap = W oa; capacitatea este direct proportionala cu modulul de rezistenta. In legatura cu sectiunea ideala se defineste modulul de rezistenta ideal: Wideal = Wideal = Raportul dintre modulul de rezistenta W al unei sectiuni de forma data si modulul de rezistenta ideal reflecta raportul dintre capacitatile portante ale celor doua sectiuni si se numeste randament al sectiunii: r =(3.23) Randamentulsectiuniidreptunghiulareestedoar1/3.Randamentul sectiunii profilelor laminate de tip I si U este aproape 2/3, deci dublu. 3.3. DEFORMAREA BARELOR INCOVOIATE3.3.1. Parametrii deformarii 3.3.1.1. Parametriifundamentali(privinddeformatiaunuivolum elementar) Parametriicaredefinescdeformareaunuivolumelementarsunt deformatia specifica liniara c si de formatia specifica unghiulara . In elementele solicitatedencovoierepura,deformatiileunghiularesuntnule(=0)iar deformatiile liniare c, masurate n lungul axului barei, variaza liniar pe naltimea sectiunii, cu valori nule n dreptul axei neutre (care o mparte n doua zone: una comprimata, cu fibre scurtate, alta ntinsa, cu fibre alungite) (fig.3.40). Fig.3.40 3.3.1.2. Parametrii globali (privind deformarea unui tronson elementar de baza.Parametriiglobalisuntrazadecurburabarei1/o,rotireaelementarad (rotireaelementaraadouasectiuniaflateladistantaelementaradz),rotirea specifica cu (rotirea relativa a doua sectiuni aflate la distanta unitara( (fig. 3.41). Fig.3.41. 3.3.1.3. Parametrii practici ai deformarii (privind deformatiile absolute ale bazei).Parametriipracticiaideformariisuntrotirea(rotireaabsolutaaunei sectiuni) si sageata v (deplasarea, pe directia normala la axa barei, a centrului de greutate al unei sectiuni ) (fig.3.42). Fig.3.42Fig.3.43 3.3.1.4.Relatiintreparametriideformarii.Deformatiaspecificaceste proportionala cu curbura 1/ (conform relatiei 3.24): c = Din fig.3.41 se deduce relatia dintre parametrii globali ai deformarii: (3.24) Din fig.3.43, care prezinta un tronson elementar de bara n doua pozitii- naintesidupadeformareabarei,sededucerelatiadintreceidoiparametri practici ai deformarii: (3.25) De unde, prin derivare, considernd si relatia (3.24), rezulta: (3.26) care face legatura ntre toti parametrii deformarii. 3.3.2. Determinarea parametrilor deformarii 3.3.2.1.Relatiintreparametriistaticisiparametriigeometriciai raspunsului si schema relatiilor; expresia curburii. parametrul parametriiglobal o =staticiparametrul fundamental t Parametrii o = cE raspunsului parametrul fundam. c parametriic =y geometriciparametrul global 1/ IntroducndnlegealuiHooke(relatiadintreparametriifundamentaliai raspunsului - t si c) expresiile lor n functie de parametrii globali M si 1/, rezulta (3.27) Curbura barei este proportionala cu solicitarea, masurata prin momentul ncovoietorM.ProdusulEI,numitfactorderigiditatelaincovoiereintroducen expresiacurburiiattrigiditateamaterialului,prinmodululdeelasticitateE,ct si rigiditatea formei sectiunii, prin momentul de inertie I al suprafetei sectiunii n raport cu axa neutra. De remarcat faptul ca expresia rotirii specifice e =, carederivadin(3.27)si(3.24),areaceeasistructuracuexpresia alungirii/scurtariispecificeclasolicitareadentindere/compresiunecentrica (3.2). 3.3.2.2.Ecuatiaaxeielasticeabarei(aaxeibazeinregimde deformare liniar - elastic) Cu (3.2b) relatia (3.27 devine (3.28) Intructpentrumomentencovoietoarepozitive(nprezentacarora sagetile sunt pozitive) concavitatea barei este ndreptata spre sensul negativ al axei v, derivata a doua a sagetii trebuie sa fie negativa, cu aceasta observatie, relatia (3.28) devine (3.29) Fig.3.44 3.3.2.3.Determinarearotiriisisagetiiprinintegrareaanaliticaaecuatiei axeielastice.prinintegrareasuccesivaaecuatiei(3.29)seobtinexpresiile rotirii, (z) = si sagetii v(z) Urmatoareaaplicatievaurmaristabilireaecuatieielasticeabareisi determinareaexpresiilorrotiriisisagetiipentruoconsolancarcatacuoforta concentrata la extremitatea ei (fig.3.45) Fig.3.45Fig.3.46 Intr-osectiuneS,ladistantazdencastrare,momentulncovoietorare expresia M (z) = - P (l - z)(3.30) Cu (3.30) ecuatia axei elastice devine (l - z) Integrnd de doua ori, se obtine pe rnd : =(lz -) + C1, v =+ Ciz + C2 Pentru z = 0 (n ncastrare), si rotirea si sageata sunt nule; de unde, C1 = 0 si C2 = 0. Epresiile generale ale rotirii si sagetii sunt deci: (z) = v(z) = Lacapatulliberalconsolei(pentruz=l),sisageatasirotireasunt maxime (fig.3.46): max =(3.31) vmax =(3.32) 3.3.2.4.Determinarearotiriisisagetiiprinmetodagrinziiconjugate (fictive).Inparalelcugrindareala(fig.3.49),pentrucareurmeazasase determine parametrii deformarii si v, se consideraogrindafictiva,conjugata celei reale (fig.3.50). Intresageatav,rotireasimomentulncovoietorM(parametriiai situatiei reale) exista relatia, dedusa anterior. (3.33) Intre ncarcarea p, forta taietoare T si momentul ncovoietor M (parametri ai situatiei fictive) exista relatia dedusa n partea a III-a a cursului. Fig.3.49Fig.3.50 Daca p =; si iar n conditiile n care constantele de integrare sunt nule, v = M(3.34) si = T(3.35) Ceeacenseamnaca,noricesectiuneagrinziireale,sageatasirotireasunt egale cu momentul ncovoietor si forta taietoare din sectiunea corespunzatoare a unei grinzi fictive, conjugata celei reale, supusa ncarcarii p (z) = Anulareaconstantelordeintegrareesteconditionatadeunanumemod de rezemare a grinzii fictive n functie de rezemarea grinzii reale. Unei ncastrari agrinziireale(cu= 0siv=o)ncorespundengrinda fictivauncapatliber (caci numai ntr-o astfel de situatie si T si M sunt nule); unui capat liber al grinzii reale (cu = 0 si v = 0) i corespunde n grinda fictiva o ncastrare (care asigura F = 0 si M = 0) ; unui reazem simplu sau articulat (cu = 0 si v = 0) la capatul grinzii reale i corespunde n grinda fictiva acelasi tip de reazem (pentru care F = 0 si M = 0). Modul de rezemare a grinzii fictive este sintetizat n tabelul de mai jos. Grinda realaGrinda fictiva Urmatoareaaplicatievaurmarideterminareasagetiisirotiriimaxime pentru o consola ncarcata cu o forta concentrata la extremitatea ei (fig.3.51). Fig.3.51 Tmax =, max = Tmax = M max = vmax = Mmax = Aceleasirezultates-auobtinutsiprinintegrareaanaliticaaecuatieiaxei elastice, n cadrul aplicatiei de la punctul 3.3.2.3. 3.3.2.5.Formuleuzualepentrucazuriparticularederezemaresi ncarcare. Tabelul urmator prezinta expresiile actiunii maxime si sagetii maxime pentru grinda simpla rezemata si grinda ncastrata n doua situatii particulare de ncarcare. maxvmax 3.3.3. Proiectarea rigiditatii barelor ncovoiate Functionareacorectaauneiconstructiiesteconditionatasideoanume rigiditateaelementelorsale.Deformatiimaridauneazaexploatarii,chiardaca rezistenta este asigurata. Proiectarea rezistentei trebuie dublata de proiectarea rigiditatii. Conditiaderigiditatecareseimpunedeobieceiurmarestelimitarea sagetilor.Cuosageatamaresteperceptibilanumainraportcuodeschidere relativ mica, conditia de serie sub forma s(3.36) unde f este sageata maxima, l- deschiderea iar k- un coeficient care depinde defunctiuneaelementului,deimportantasaetc.Valorilesalecurentesunt cuprinse ntre 200 si 400. 4. ELEMENTESOLICITATELAINCOVOIERECUFORTE TAIETOARE. EFECTULA FORTEI TAIETOARE IN GRINZI

4.1. DEFINITIA SOLICITARII. EXEMPLE Incovoiereacufortetaietoareesteosolicitarecompusanprezenta careia,nsectiuneatransversala,interactiuneaesteexprimataprindouatipuri de efort sectional: moment ncovoietor si forta taietoare. Incovoiereacu fortetaietoare estetipicaelementelordetipgrinda(bare drepte ncarcate cu forte normale pe axul lor). (fig.3.53). Fig.5.53. Intre momentul ncovoietor si forta taietoare exista relatia stabilita anterior (partea a III-a) = T aceastanseamnacaprezentaforteitaietoareatragedupasinevariatia momentului ncovoietor. Efectulmomentuluincovoietor(raspunsulbarelorsolicitatelancovoiere pura) a fost analizat n paragraful precedent. In paragraful de fata va fi analizat efectul fortei taietoare. 4.2. EFECTUL FORTEI TAIETOARE. FORFECAREA SI LUNECAREA Echilibrultronsonuluielementardinfig.3.54.aesteasigurat,alaturide fortele exterioare a-i revin, de eforturile sectionale M, T, M + dm, T + dT. Fig.3.54 Celedouacupluri(MsiM+dm)introducnlungulfibrelorlongitudinale compresiuni,respectivntinderi,cuvaloridiferitenceledouasectiuni(conf. schemeidin fig.3.54.b).Aceastadiferenta devaloare estesursa uneitendinte delunecarede-alunguloricaruiplanlongitudinalcesepara(imaginar) elementuldebara.Tendintadelunecareesteconsecintavariatieimomentului ncovoietor, deci a prezentei fortei taietoare n zona. (Pe zonele de bara cu forta taietoarenula,momentulncovoietoresteconstantsitendinteledelunecare sunt nule). Masurainteractiuniidintreparteasuperioarasiceainferioaraa elementului este perechea fortelor de lunecare dL; restabilind echilibrul fiecarei parti, fortele de lunecare blocheaza lunecarea si asigura integritatea formei. Pe un element de bara aflat deopotriva sub regimul fortelor taietoare si al fortelor de lunecare, interactiunea este masurata prin eforturi unitare tangentiale(fig.3.55).Conformprincipiuluidualitatiieforturilorunitaretangentiale,eforturile unitaresuntegalesiformeaza,mpreunacuceledepefeteleopuseale elementului , cupluri egale si de sens contrar (fig.3.56) Fig.3.55Fig.3.56 4.3. REZISTENTA GRINZILOR IN PREZENTA FORTEI TAIETOARE 4.3.1. Eforturi unitare tangentiale. Formula lui Juravski SeconsideravolumulABCD,decupatdinbara(fig.3.57).Echilibrulde translatiipedirectiaaxuluibarei(fig.3.58)esteasiguratdefortelede interactiune a caror masura,pe sectiunea transversala este sistemul eforturilor unitare o, iar pe sectiunea longitudinala - forta elementelor de lunecare dL =tbdz(3.37) Fig.3.57 Fig.3.58 In prezenta unor momente ncovoietoare pozitive, la partea superioara a barei,eforturileunitaretmasoaracompresiuni.Peceledouasectiuni transversalecompresiunilesuntdiferite,cacinprezentaforteitaietoare momentulncovoietorvariaza.Crestereadearezultanteivolumuluide compresiuni este echilibrata de forta elementara de lunecare dL: dL = dC(3.38) Rezultanta volumului de compresiune cu expresia C = SA, odA unde A' este aria sectiunii transversale aflate n interactiune, nlocuind efortulo cu expresia (3.18), se obtine C = SA', C = unde S'x este momentul static al suprafetei partiale A' a sectiunii transversale n raport cu axa x; de aici dC = dMx (3.39) Din (3.37), (3.38) si (3.39) rezulta bdz = dMx = si =(3.40) Inexpresia(3.40),carepoartanumeleluiJuravski,oreprezintaefortul unitar tangential yz din planul longitudinal egal cu efortul unitar tangential zy din planul sectiunii transversale; ambele planuri trecprin punctul C n care ne-am propus determinarea efectului fortei taietoare (fig.3.57 si 3.58). Semnificatia parametrilor din membrul drept al formulei lui Juravski este urmatoarea: T - forta taietoare din sectiune; S'x-momentulstaticnraportcuaxax(axaneutraasectiunii)al suprafeteipartialeA'determinatepesectiuneatransversaladeplanul longitudinal ce trece prin punctul C (punctul n dreptul caruia se defineste efortul tangential);momentulstaticalsuprafeteiA'esteegalcumomentulstatical suprafetei"(S'x+S"x=Sx=0,caciSxreprezintamomentulstaticalunei suprafetenraportcuoaxacetreceprincentruldegreutate;nvaloare absoluta, S'x = S"x); b - latimea sectiunii transversale n dreptul punctului considerat; Ix-momentuldeinertiealsuprafeteisectiuniinraportcuaxax(axa neutra a sectiunii). Fig.3.58 4.3.2.1. Distributia eforturilor unitare pe sectiunea transversala; eforturi unitare tangentiale maxime. Asa cum rezulta din formula lui Juravski, parametrii care determina variatia eforturilor unitare . pe sectiunea transversala sunt b si S. Lasectiuniledreptunghiulare(culatimeconstanta),variatiaeforturiloreste determinatadoardevariatiamomentuluistatic.Expresiamomentuluistatic,n functie de cota y a planului de lunecare, este (fig.3.59): S(y) = b (Ei-sidecisiefortuluiunitar-icorespundeovariatieparabolica, simetricanraportcuaxax,cuvalorinulepentruy=h/2(laextremitatile sectiunii) si valoarea Fig.3.59 maxima pentru y = 0 (n dreptul axei x, axa neutra a sectiunii). Pentru y = 0 Smax = tmax = tmax = 1,5= 1,5 t med(3.41) unde o med s-a notat efortul unitar (fictiv) corespunzator unei distributii uniforme pe sectiunea transversala. La sectiunile de tip I si asimilate, cu sectiunea talpilor si a inimii de forma dreptunghiulara,distributiaeforturilorunitareesteceadinfig.3.60.a.Variatia parabolicaestentreruptadesalturindreptulmodificariibrustealatimii sectiunii. Fig.3.60Fig.3.61 Inrealitateaceastavariatiebruscaaformeiestesursaunorperturbatiin distributiateoreticaaeforturilorunitaresigeneraezaconcentraiideeforturi (fig.3.60.b).Pentruatenuareavrfuluideefort,sectiunileprofilelorlaminatede acest tip au laturile unite prin racordari (fig. 3.61). 4.3.2.2. Verificarea rezistentei la forfecare. La grinzi cu sectiune de forma dreptunghiularaeforturileunitaretangentialesuntmicincomparatiecu eforturile unitare normale. Aplicatia din fig.3.ba este edificatoare. Fig.3.62 omax = tmax = 1,5 de unde Sevedecapentrugrinzicuproportienormala,raportultmaxestenetn favoareaefortuluiunitart;deaceeaacestegrinziseverificanumaila ncovoiere. Inmodcurentverificarealaforfecarenuestenecesaranicincazul grinzilorcusectiuneI sauasimilataacesteia,desieforturileunitaretangentiale sunt mai mari ca cele corespunzatoare sectiunii dreptunghiulare. 4.3.3.Rezistentabarelornsectiunilongitudinale(rezistentala lunecare)

4.3.3.1. Determinarea fortei de lunecare. Variatia fortei de lunecare ObservatieprivindiptezaluiBernoulli.Fortaelementaradelunecarea fost determinata n paragraful 4.3.1. dL = dMPe lungimea finita cuprinsa ntre doua sectiuni (A si B), LAB = LAB = LAB =AT(3.42) unde AT este aria diagramei de forte taietoare cuprinsa ntre sectiunile A si B. Lagrinzilecusectiuneconstanta(cazulcurent),fortadelunecareeste proportionala cu aria diagramei de forte taietoare, deci maxima spre reazemele grinzii. Inplanurisituatelacotediferite,fortadelunecareesteproportionalacu momentulstatic,decimaximandreptulplanuluineutru.Infig.3.bseexprima aceasta variatii prin deplasari relative diferite ntre fsii longitudinale de bara. Fig.3.63 Imaginea obtinuta infirma ipoteza lui Bernoulli (a sectiunilor plane..). Tipuldedeformatiedinfig.3.b3estedoarunadinceletreicomponente ale deformatii complexe cu care bara raspunde solicitarii de ncovoiere cu forte taietoare; ele sunt prezentate n fig.3.64. Fig.3.64 4.3.3.2.Problemepracticeprivindasigurareainteractiuniilongitudinale. Cnddimensiunilepreamarialesectiuniitransversalenupermitrealizarea grinziidintr-osingurabucata,nplanurilelongitudinalecareseparaelementele componentealegrinziisemanifestatendintedelunecare(fig.3.65).Incelece urmeaza seprezinta Fig.3.65 modulparticulardeblocareaacestorlunecari(asigurareainteractiunii longitudinale) la diferite tipuri de astfel de grinzi. I. Grinzi de lemn cu sectiune compusa La acest tip de grinda asigurarea interactiunii longitudinale se realizeaza, traditional,prinintermediulpenelor(fig.3.66).Distantadintrepenedepindede capacitatealorlaforfecaresidemarimeadecapacitatealorlaforfecareside marimea fortelor de lunecare. Lagrinziledemaredeschideresauncazulncarefortataietoare prezinta variatii mari n lungul grinzii, se urmareste ca prin asezarea penelor la distante diferite (mici n zonele cu forta taietoare mare, deci lunecari puternice si marizonelecufortataietoareredusa)saserealizezeoncarcareuniformaa penelor. fig.3.66 Istoriaconstructiilorsisistemuldinfig.3.68,marcabilprineleganta solutiei. fig.3.68 II. Grinzi metalice cu sectiune compusa de tip I sau asimilata. Asigurarea n turatiuni longitudinale ntre inima si talpi - elementele componente ale grinzii - se realizeaza prin mbinari sudate (fig.3.69) sau nituite (3.70) fig.3.69 fig.3.70 III.Grinzicuzabrele.Lunecareadintreceledouatalpiesteblocatade legaturidetippendul,asiguratedebaretransversalesimple,articulatela capete, compuse n sistem cu ochiuri triunghiulare (fig.3.71 si 3.72) Fig.3.71Fig.3.72 Barele transversale (denumite, n functie de orientarea lor, diagonale sau montanti)suntalternativcomprimatesintinse(pentrusensultendinteide lunecare precizat n fig.3.71, diagonala din stnga este comprimata, iar cea din dreapta ntinsa). IV.GrinziVierendel.Lunecareadintreceledouatalpiesteblocatade montantirobusti,ncastratilacapete, formnd,mpreunacu talpile,sistemecu ochiuri dreptunghiulare (fig.3.73 si 3.74). Montantii sunt forfecati si ncovoiati. Fig.3.73Fig.3.74 V.Grindadebetonarmat.Grindade betonarmat(fig.3.75si3.76)poatefiasimilatacuogrindacuzabrele:talpa superioara(comprimata)estealcatuitadinbetonsimplu(doarpeccaunsfert dinnaltimeasagrindadebetonarmatestecomprimata),talpainferioara (ntinsa)estealcatuitadinbarelongitudinaledeotel(armaturi)iarelementele transversale "de coasere" ale celor doua talpi - din "vine" de beton comprimat si armaturintinse(ndouavariante:barenclinate,detipdiagonalesietrieri,de tip montanti). Fig.3.75Fig.3.76 5. ELEMENTESOLICITATELACOMPRESIUNE(INTINDERE) EXCENTRICA

5.1. DEFINITIA SOLICITARII. EXEMPLE Compresiunea(ntinderea)excentricaesteosolicitarecompusa,n prezenta careia, pe sectiunea transversala, interactiunea este reprezentata de o forta axiala si un moment ncovoietor (vector cuplu cuprins n planul sectiunii). Infunctiededirectiavectoruluimomentncovoietorfatadeaxele principale de inertie ale sectiunii transversale, se deosebesc urmatoareledoua cazuri: -ncovoiereoblicacufortaaxiala(cazulgeneraldecompresiunesau ntindereexcentrica),cnddirectiavectoruluicupluesteoarecarefata de directia axelor; -ncovoieresimplacufortaaxiala(cazulparticular),cnddirectia vectorului cuplu coincide cu directia uneia din axe. O pereche de forte echilibrate aplicate pe o bara dreapta de-a lungul unui suportparalelcuaxabareigenereaza,ntrepunctuldeaplicatie,compresiune (ntindere)excentrica(fig.3.77).Inariasectiunitransversala,masura interactiuniiesteofortanormalaA=P,aplicataexcentrica,de-alungul suportului. Fig.3.77 fortelorexterioare,easereducencentruldegreutatealsectiuniilaoforta axialaN=PsiuncupluM=Pl,undeeesteexcentricitateapunctuluide aplicatie a fortei interioare. Cndpunctuldeaplicatieseaflapeunadinaxeleprincipaledeinertie (fig.3.78)segenereazacazulparticulardecompresiuneexcentrica- ncovoierea simpla cu forta axiala. fig.3.78 Inpractica,compresiuneaexcentricaestesolicitareacaracteristicaa stlpilor de cadru n regim gravitantional de solicitare (fig.3.79). Fig.3.79 5.2. INCOVOIEREA SIMPLA CU FORTE AXIALE 5.2.1. Eforturi unitare pe sectiunea transversala Determinareaeforturilorunitarepesectiuneatransversalasefaceprin suprapunereaefectelorcelordouasolicitari(simple)componente: compresiunea(ntinderea)centricasincovoierea..Ambelegenereazape sectiunea transversala eforturi unitare normale t (fig.3.80). Fig.3.80 Intr-unpunctcurentalsectiunii,efortulunitarcorespunzatorsolicitarii compuseseobtineprinnsumareaeforturilorunitarecorespunzatoarefiecarei solicitari simple. t = tN + tM La distanta y de axa x , cu semnele corespunzatoare sensului eforturilor unitare t = 5.2.2. Semnele eforturilor si conditiile de ncarcare

Eforturileunitarensumatepotaveaacelasisemn(cnddominaefectul forteiaxiale)sausemnediferite(cnddominaefectul momentuluincovoietor). Dacaelementelesupuselacompresiuneexcentrica(stlpi,arceetc)sunt alcatuitedinmaterialenerezistentelantindere(piatra,caramida,etc.)se urmareste ca sectiunea sa fie comprimata n totalitatea ei. Pentru aceasta este necesarca(nvaloareabsoluta)......,unde.....reprezintaefortulmaximde ntindere corespunzator momentului ncovoietor: de unde l =(3.43) La o sectiune dreptunghiulara, indiferent de proportiile ei, (3.44) Pentruexcentricitatiinferioarevaloriih/badicapentrupozitiialeforteide compresiunecuprinsentreimeamijlocieasectiuniidreptunghiulare,eforturile voraveaacelasisemn(compresiuni).Tipuriledediagrama,ncorespondenta cu pozitia fortei fata de treimea mijlocie, sunt prezentate n fig.3.87. Fig.3.81 5.3. INCOVOIERE OBLICA CU FORTA AXIALA 5.3.1. Descompunerea solicitarii compuse in solicitari simple FortaPaplicatanpunctulP(xo,y)sereducencentruldegreutateal sectiunii la o forta axiala N = P si doua momente ncovoietoare: Mx Pyo si My = Pxo. Reducerea s-a facut n doua etape. din punctul P n punctul P1 si din P1 n centrul de greutate; etapele sunt prezentate n fig.3.82. fig.3.82 Celetreieforturisectionale(N,Mx,My)lecorespundeforturiunitare normale . Intr-un punct curent al sectiunii, efortul unitar corespunzator solicitarii compusaseobtineprinnsumareaeforturilorunitarecorespunzatoarefiecarei solicitari simple: t = tn + tMx + tmy In punctul M (x,y), t = +, t = -, t = -,(3.45) 5.3.2. Axa neutra 5.3.2.1. Ecuatia axei neutre. Axa neutra este locul geometric al punctelor cu eforturi unitare nule. Din conditia t= 0 rezulta ecuatia axei: 1 += 0 = 1 sau, cu notatiile -= asi -= b(3.46) = 1(3.48) Axaneutraesteodreaptacaretaieaxeledereferintaladistanteleasibde originea aflata n centrul de greutate al sectiunii (fig.3.83) fig.3.83 5.3.2.2. Proprietatile axei neutre. A. Intruct, conform relatiilor (3.46), la valori pozitive ale coordonatelor xo, yo corespund valori negative ale distantelor a si b, fata de punctul de aplicatie a fortei, axa neutra se afla de cealalta parte a centrului degreutate (fig.3.84). B. Punctelor de aplicatie a fortei aflate pe o dreapta ce trece prin centrul de greutate le corespund axe neutre parafele, caci= const. Conformrelatiilor(3.46),axaneutraseapropiedecentruldegreutate cnd punctul de aplicatie se departeaza (fig.3.85). fig.3.84 fig.3.85 C. Punctelor de aplicatie ale fortei aflate pe o dreapta care nu trece prin centruldegreutatelecorespundaxeneutreconcurente(farademonstratie) (fig.3.86). fig.3.86 5.3.4.3.Smburelecentralaluneisectiunidreptungiulare.Fiesectiunea dreptunghiulara din fig. 3.88, cu dimensiunile laturilor B si H. fig.3.87 conform (3.46) xo = -, yo = - Pozitiei (1) a axei neutru, tangenta la una din laturile mici ale sectiunii (cu ao si b = - H/2), i corespunde punctul 1 de aplicatie a fortei, cu coordonatele. xo = 0 yo = - Pozitiei(2)aaxeineutre,tangentalaunadinlaturilemarialesectiunii,i corespunde punctul 2 cu coordonatele xo = y = o CndaxaneutraserotestenjurulpunctuluiA,punctuldeaplicatiea fortei parcurge segmentul 1-2. Prin anologie, se deduce Fig.3.88Fig.3.89. sipozitiapunctelorsimetrice3si4sisegmentele2-3,3-4si4-1carenchid smburile central. Acestaesteunrombcudiagonaleleegalecuotreimedinlungimea laturilor dreptunghiului (fig.3.89). 5.3.4.4.Smburelecentralaluneisectiunicirculareesteuncerccu diametrul egal cu un sfert din diametrul sectiunii (fig. 3.90 si 3.91): yo = Fig.3.90Fig.3.91 5.4. Eforturi unitare pe talpa unei fundatii Pamntulesteunmaterialnerezistentlantindere.Deaceea,la contractuldintre fundatiesiteren,interactiuneanu poate firealizatadectprin eforturi de compresiune. Dacafortaesteaplicataninteriorulsmbureluicentral,distributia presiunilorsefacepetoatasuprafatatalpii,dupalegeatrapezoidalaprecizata anterior (fig.3.92). Daca forta este aplicata n afara smburelui central, distributia presiunilor se face pe o zona limitata a suprafetei talpii, numita zona activa (fig.3.93). Fig.3.92Fig.3.93 Suprafata zonei active si valoarea efortului unitar maxim se determina din conditiaca fortaP,aplicataexentricsirezultantaRavolumuluidepresiunisa formeze un sistem echilibrat. Daca P calca pe una din axele de simetrie ale unei fundatii dreptunghiulare, la distanta C de marginea fundatiei (fig. 3.93), latimea zonei active este d = 3 c, iar efortul unitar maxim, de doua ori mai mare dect efortul mediuomax = 2