Elemente de Baza in Rezistenta Materialelor Si Teoria Elasticitatii

5/11/2018 Elemente de Baza in Rezistenta Materialelor Si Teoria Elasticitatii

1/94

ELEMENTE DE BAZA iN REZISTENTAMATERIALlELQ:R s r TEORIA ELASTIC1TArn

Recenzia ~Iiinlifid:.Prof. dr ..rug, NiclIlia~ILIESCUConr. dr, Ing. Anton Mar13n RADAR

2

Dcserjerea C[p' a Btbliotecn Nationalc 3J ROIll:tlliciMAR1N, CORNEL

ELEi\fEt]'nE DE BAZ,AIN REZIS1'ENlA MAn;nJALELOR $1 TIWRlAELASTICITAlII!Cornel Marin, ~ Targoviste :Editura Macarie, 2001

210 p; 15cm ' (Universitaria)Bibliogr.ISBN

I. -

l002 _,Toate drepturlle suut rezervsteautorului


2/94

4CUPRJNS Iilive~ clll ::l.~I)(nH'ci _CArll'OILUL V I_ i NT 'fN DE I{ EA S ICUMPRESlUl'IJEA BAREILOR ORErl'E

6.1 . G"nen, li , a~.6 .2 . T en si un i ~ i d ef cr ma ti i i n b ar a s ol ic it .t J I.nnn


3/94

(\

PREFATACA~Nl'OLl!L xn - SOLICIT An I [l1iN AiI'flCEi 2 J _Ge ". " "i i ll ~ i1 2 .2 . SQ ' [j ~ j U ir : i d i na n ]~ t ,; f - ~r i : 11 l :f(i . rr-e. ,de inert ie] 2 . 3 . SQ1 ~ ~i l ar i d i n sm i e e i J ri I !jsoc

Aoea. ;s tl l ue ra re e st e r ez ul ta tu l e xper ieme i a ut or ul u] I n uer iv it at ea de c ur s ~~seminar ladisciplin R~isle1fla PTmJeri(ffdor, acrivitare clr:~f5:$UrHli i J I! i; ~ .~~ [ !d d i n ~994 ,,'\1 : s t \ ' i . d \ ; [ ) ~ i iF ., m lt "l ii do I ng in er ie E lo ~t ri oi i ~iC ol cg re lu i U ni ve rs it ar T eh ni c d in c ad ru t U ni ve rs it et ii"Valahia" T"":gO\"~t.,

Lucrsrea cuprinde t4 cspitole fiind srrucUI.R(~ l!II-(1fOIl!l1~ ct~:sici.cu 0 p.RrI_CeooT(:fiic~de p r ez e nt e re b i ne f um .l ~m en r nt 1 ii~ie l l a S J ~ ic a t ii praotiee s p ee l fi c e, l n tr - o - r uJ ' i l l l i l a t ; :c e s .ib i l i spe r ,r u ru r or s t ud~n~j J or d e l a s p ed a T iz J ri [ e fat.."UIt.Jri~or ~iooUeg r ii l or t e he i ce , f l in ( ] in (:olloordan~ilGUPn}WSUl l : :J a:_IJ)tJi ' I ,~, t ;~, ; :Ji:llcipl'i[!~i RI;~i ;50 l l ;n!t : : : i m:ik:ri~J.;:;l(lr { n J a I T t ~ I}.Autorul sp-or ti . co prezcntarea sub .ce'lSt. f .rmH a tecriei ~ i p ro bl em et or d . R oz iO le n_ t"rnateriatelor lira fi 1.1ti11l!enrru tnsuslrea ~'U~~.r in fe lor, ()e ~ilZ1dEi,(:i:itr.eroti smclen!i i mfrlt.ere:f:;;qi,preuUIl' l ~ c pentru rezelvarea user ~lpUi.:;.a~tractice ingi~er.e~li de entre illgineri ~i.$recia[~~[i,iproiectanti l I T ! demen iu l m ec an lc . D I: ! as emenea a ul or ul r ec or na nda f u r o o . t r l ; : ! ~ ~ 'ill paralel t . " 1 J aeestc ur s p en tm p ar te a ; ;- tp li c. an v J a o ut eg er ii de probleme apJrutiil a nt er io r i n Ed i tu r a M a c ar i e in.nuI2001: REZISTEl'/1A MATERLUELDR- PROBLEME DE EX,~MEN_ A"e-St ems $ 1""~.g"r""


4/94

CAlPrrOLUL IINTROD{JCERE

Din aceasta disciplina S-lS!l \metod" se bazcaza pc aproximarea !C Ica la

p1l l rdijormii a variabilei de ciimp, precum ~ia derivartelor ei 'ClI ajntorul lIDeUretele reerangulare din domeniul studiat,

1; , M etoda eie me me tor fin ite ulili:lea~ UI1 m od el m Ole mli1 ic in te gra ! a~fcnornenului studiat, model ClO C I IdOD1:len~~il1fLUite, {ill d iscoIlHI111ii~11 ~icol1ccntrl!ltori de lells'uni, eic. Dec 1


5/94

101.2. Problemele Rezistentei matertalelor[[I general in problemele de Rezistenta matcrialclor se determina seu verifiesvalori le anumi tor marimi i ll f i]]],~~edea lt ele pe baza unor r elat ii ma temat ice

specifice. Aceste marimi pot f grupate in trei elase:~.marirni ce caracterizeaza geometria piesei (forrnasi dimcnsiunilc piesei sau r a m 1 a'$Umari rnea difentelor sectiuni);

2. m.'irimi f g t afkc ) ~ i .o : f l:w ! i. te (ap"ri!ia jJrogtattrlei,}t jJfO.fcsk"'''k de am . al iZ i \ ~ i "imulate)a dus la dezvol tar ea int r- uu rian ext raord inar a e xp e rim en tu l u i n ume r ic . Madelullm a te m at ic c e c ar ac te ri ze az a ~1D fenomen llec~siti tr an se rie re a lu i s ub 0 formacnmpatibilZi en madill d~ operate al calculatorului, aeest lucru realizandn-se ella ju ro ru l p ro g ra rn e s pe ci al iz ar e e ll elemenre f in ite a vin d la b az l! u n a pa ra t m ate ma ticriguros.

La r ez "l vO fc a u fl e, p ro b[ cm e d e R cz i~ le n\ a i Tt al er ia lc lo t {I lfiHuCfi!1i h(>mtiitoateasupra rezultatului n ar e precizia {".(1Jt;~~bdm!unteric; L ' n t m , c L rezultatcle ( )b t jnutct re bu ie ~ 5 f ie ciit m a i a pr op ia te d e c el e r ca le ( de te rm in at e e xp er im en ta l) , I n R e zi st en taMaterialelor se admi t ercri de calcul in limitele de 2 , 5% .

Mode/If/ d e c a lc u l folosit In caleulele analitice din Rezisrenta materialelor esteo reprezcntarc simplifkara (schematizata] a piesei ~iconfignrntici de il1ci1I"Cnre ensarcini exterioare oontinRcd informaiiik; escntiale care defincsc; g"9m~('l'q 9",.p"lIll,m odu! de t:"(J$lrting",:e (lcgiiluriile co:;rnediul t i l ! . ~i[ e gi il u ri lc c u c e lc la lt c c le r nc r uc a leansarnblului dill care facre parte) ~i"'cil '/ jig! lraf ia de I l1din-ar li . Modelul de calculuMize.'lzii diferne ipoteze simpf!ftcaloare care scot In evidell!a ~i retin aspecteteesentiale ale geometriei corpului, lej}'i:turu~or~corrfigurnriei de incarcare.

DllP~ m~r~mea relativa a dimensiunilor principale ale geometnei cerpului, sefol~)scsctrci liputi (Iemodele:I . Mode!"l de lip barii (fig. Ll .! i) se mH i le az il atunei dlid una dintre dimcnsiunilecorpului este rnult mai JThlreill uport CII (;eld~l!x dQ!'w.JEJelllellt,je 8[lecific, ~leac, .t ll! t ip d, model .sunt (ll) ma /o>1giludi'1aiiia ba"",i '$ 1 (b) seciiuflfia !Jormaia(p~ mm IOllgi1Jlldill~lii); in fUDclie de forum a/\ei IOllgit:ll.dillale se d~osebcsc: baredrepte. clIrbe, come, E xem ple d e p ,e se ce u ti li zc a Z ii m od el ll l d e t ip bn ri 'i J: a xu l d ej;ii~I')iiJ, b]cl~, 'Li]!! \ lf i ci ~ ' \l p"p" , ~ iM de " !l lc fe t1; iI~ .b~rll de mctatc ".~!nlngr~r!d.,~X:I)~c~ c~!ne ~I IInlli motor,. "ICIlI el:i~idal, ~iborele m:mired~clor, ~d)arille co~it "llullui motor, etc, Un caz paDli~u~a[al modeL~lLl.lie tip bar~ este j im l j te : dbU carepl'~:.ianllluai forqe de illtindere.

1.3. Metode de studtu, modele de calculsl ipote-ze deluerufolosttein Rezistenta materialelerMetodele de s,tlJdi~.clasic~ ~i modeme Illililale p~DtrLl n:wlv~rw ~plic"!iiLartebnice de Rezisren!lJi matc,ialelor SlInt:

I . j l1etode teare/lce b~ale p~.CODsl;rtlqiilogice, algor~tmi de calcu~ sal! pmgr~ml~.spceial.e care Illilizeatii IIIl anumi t apamt trullem~t'ic c ar e f il Il lU = Z~ rczultatetc(>reliocar.;r;r;ptf!bi l", P~i1t,!,1 1 > 1 ("Qk!l f i'1gjmrnfsr;;


6/94

IU 12efortnr ile lncovoietoare, sail lntr-c barn curbs tensiunile normale prodnsc deeforturile axiale se n e gl ij ea zl \ i n rspon ell cele normale produse de momentelein co vn ic to ar c, in tr -o p la t'ii lc ns iu nu le n or rn alc d up ;; 0 d :ir ec t1 c p er pc nd fcu la ra 1 3suptiifa~1:tplii.c~~ e e ne. f~Ucaz i i tri f L i j J O r i ! . cu c c le r a d ia l e s a n c i rou t nfc rc n ti al e , eic . )

5 . i po te za p r i ' o ' i m i tegea dis trihil{ ie" t ensinni lor intr-o sectiune oarecare a u ne i bare:) di st ri bu ti a unif orma a t ensi un ilo r nonna le pe suprafaja rrnnsversala in cazntunei bare solicltats laeforturi axiale," d is tr ib u ti a I.rniali a te ns iu nilo r in c az nl n ne i b ar e s olic ir ata la ln co vo ie re p ur ~(NAVTER) ,

, . d i s! r ib" ~ lr i a 1 I " i3 ' ;; . a tcnsiunilor tangcnriale in cazu~ unci bare de sccjiunecireulara 001 icitatli la rasucirc,, . dis tr ibups uniforms a tensiunilor tangentiale intro sectiuue longitudinnla ineaznl unei bare solicitata la incovoiere sirnpla (JUMVSKI);

6_ tpoteza prM"d j it i. /aO! lf Imea legii lUi HOOKE san a unei tel l/ iU l in iare dimre(i;!n;;I,,,,j }'I r b] derncniul cia.topl",.Slica jmorrnateriale "Inn ar fi cele elasto-plastice, rigido-plasrice, ideal elsto-plastiee, idea]plastice, etc, se folosesc anumite legi dintre rensiuni ~j deformajii).

7. prim:ipiui s u p ra pn n e ri i e f e ct e lo r sail principi td itldeprmden{e~'ac{iuIJii fortelor,c ar e s e b az ea za p e i po te za p ri vi nd v al ab il it nt ea l eg ii I II .lH OOK E;

8 . i po te za lui S IU NT V EN AN T p ri vi nd e fe ct ul u ne i s ar el ni d ls rr lb ui te p e o ,s ll pm fa jlCare esre acelasi en efecml unci sarcini concentrate echivalentc, intr-o Z(mil 3corpulu] IndcpiirtaHide zona de actiunca sarcini] distribuite;

u.~./ /r-._ _ Q _ _ J l ~lJ-Y-- b.c,

F'!g.U2. Madelu{ del ip piadi (fig. 1.I .b) seutilizeezs atunci cand una dintre dirnensiunile

corputui este mult mai mica lu raport cu celelalte do\'r~; e t emen t e le s p e c if ic eprtncipale ale acesmi tip de model sunt; (a) s u pra /a l a m ed ia n l i a placii (forma .~imarime) i (0) grosimea ptac. in funcj ie de forma supra fa te i mediane sedeosebesc: pillc1p/ane (circulare, dreptunghiulare, ctc_),.plild curbe (de revolutie,rig laic, etc.). tr " Junetic de grcsimc: plJd Sil.b{1ri, pJii'!' gnxrse, placide grosimne""'!lorma, CIC. Placilc foarte subtiri se mai numesc membrane ~i$ u p or ta n u rn a ieformri de inrindere. Exernple: discul unei supepe, ptansaiba unui s trung, capulunuj p ~.tO I1, 0 foaie de gearn, planscul 1U1Oi carnere, capacul unui rezervor,eilindrul unui motor, rezervoarcle cilindrice.sferice, coniee .,etc.

3_ Mode lu t de t ip b loc tegu lt l/ (fig. L Lc) se uti Il=z~ atunci cand cele tre id im en siu ni a le c or pu lu i .",! nt c am d e ~cda~i o rd in d e m~"iTl'lc; sc iJ\)t mode:la prescavand 0 .t i:>ll l la geomet r ic l i s umpla ; sf i lr l i, cilindru, COli, prisms, cub, etc. Exemple:bile si role derulmenti, rnatrite simple, roji dintate, arbon scurti, batiuri de masini,fllllda~uu,blocuri debeton, etc,Rezolvarea clasica a multor aplicapitelmice se bazeaza deci pe creerea IIJlOfmodele de UllCI'lI ~i inrroduccrea unor IpOI= simpJij ieatoIT,-e de calcu], ipoteze

r ez OMb il e c ar ,e . im p li :f ic a m od el u l t ea l ~ i ~ ~ L \S lt ca zacal rna, f i de l ,COmpazr iiale Rezistente: mater ialelor :l,i p ot e za m ed tu i ut c o n ti n uu, omogen ~i izotrop:2, ipotez: {Jejorm(Jf/i.lormid ' I n r e por t CII d im en si un il e c or pu lu i s up us a et iu ni i 1111.Drsarcini ex L C r i O [ L f C ;3_ 'pote'/] sectinnii plane a u nc i b ar e supus!i la incovoicrc (ipoteza rui BERNOULLI)

~j a l in i e i d r e p t e p e rpe n d ic u l a re la suprafata medians a placii supusc la tacovoi~Ie(ipoteza [IIi K]Rl l


7/94

146. dupa efecml produs in piesa solicitata: forte (care produe solicitar i de intidere,compreslune ~D forfecare) ~lcup/uri deforte (care produc sollcltari de incovolew~i de disucirc);] _ d Up a natura lor: sarcini fimdamentole {~arcin" permanente, 1IIi~c,supfimentarecontrolate) ~isarcini occidentale sau f'1liimpf6lowe (necontrolate),

Se considers 0 barii dreapta avand axa 101lgitudillam Ox (fig. LJ) incM.eam cuun sistem de sarcinl exterioare (direct apllcate ~lde legJ.tllrll)carc se sectloneaza CIIuu plan. irnaginar P transversal ~, perpendicular pe a:,,", Qhlin~mdu..;)e dou" p>i.fli_Pentru a s e p as tT "J c ch il ib ru l c clo r d O- ~I .p"r!i estc n eccsar S " se inlroduca pe fiecarefalli a sox!i l lni i jor(ele etementare interioare (care sunt de bpi fortclc interatomic" alerejelei cristaline sectionate de planul imaginar) egale s i opuse pe cele dOIl~ fe~~1es ec ji un ii , c o nf o rm p rl rt cl pl ul ui ~ () II Ll I1 il~ie ac tl un !l d in M e ca ni ca c la sl d {fig" I . 4 ) _

Daca in jurul unui punct M seconsidera 0 arie clcmentars dA (elernentul dearie ciA poaie fi o faiR a unui cl ement de vel um JV) aiunci raporrul dintrc fonae/cm(!l!lara interioara ell' ~iaria clemcntara dA sc numeste tensiune:

].5. For!e elementare inueri.oare~j efortmiSub aC~~I]]e i se determina coeflcientnlde s igL1r~n!1 lIn raporr en tensiunea admisibil1i a materialului.Fortele interioare SOIl ejOF/1Jrife d i n s c ct iune a unci bare &C iWI p un c l il e"idc]]!"

G L I sjurorul mctodci S C C ( i l l f l H o , t (Ritler} de ~i\calculul g ri n zi l o t e ll ziibtde_ Scqioi\~f1dcuun pbJI imaginar 0 g(ind~ cu liibrde sc intrcdnc in sectiunile barelor respectivef or te t e i n te r io a r e :;~II ejorturiie N. C~!"j!i[!prelll!.~u 0*1" exterioare direct apli catcF, ~ 'CII fo $le de legJluufa H , V , N coeespunzaeoare fiecarei piir~i trebnie sa se afle II]e ch ilib m ( vc zi f ig l .2 }_

dFp= dA (U)Dad. se rednc aeeste for te elemenra re dF care acponeaza pe t O l l : t a supra fara illcentrul degreutate al sccjiunii barei considerate se obtine:> pent ru f~ ra d in s t i 1 . l 1 g ~ a sectinnii (fri{a pozilfv,,) 1 1 1 1 terser (t,... f o r m a t din

rezultantn (R~) s i e u pl ul r ez u lt an r 07"');; ;. pentru fal!! din dreapta a scctiunii ([a(a ""gati.a) un terser (-i''') formal dinrezultanta (-N-') ~iIIIl cuplu resultant (-Xf~) (tlg ..1.5).

Reducand J sarcinile exterioare in acclasi punet C, se oi>~ne:). pen In! partea din stanga torsorutfonetor exterioare (t:;) format din rezultantaR,; ' ~icuplul rezultant M :; ;

pentru parrea din dreapta torsorulfonelor exterioare (-r';') format dinrezultantaIf;' ~icuplul TCZnllantM;:: (fig.1.5).Emta!iulcde echu~rbm~I fortelor pentru fiecare dintre ceredall~ p~rti se scriu:

Fig.U fi~ 1.4(1.2)


8/94

1 5 1 5Variatia efortnrilor pe lungimea bare] se reprezinta grafic sub f0n113

diagm",elor'de efortur), pentru rrasarea carora se line seama de urmatoarcleconvcntii de scmae (coafcmt f i g _ I _ 7 ) :eforturile de pI!' /ala din stanga secfilmi;' (fap poitivii) sunt pOZ1!l\'C dac;i.~uacelasi sens en axa respectiva ~~negative daca daca ausens invers;

c to rturi le depela/a din dreapta seqiunn (faiRnegativa) glint pozitive dati au sensinvers axei respective ~u negative daca au acelasi sens;

b.pentru par te . din dreapta: - -t"" +"(.:'..0=-t~' = ~ : ' :. 'sau R ; " - J i " " =0; U:;' - M" = 0;'

. R ~ r = : . R ; .! . r; u- = M ~ i J(U)

C&ncill.:lii; elementele torsomlni T I o f t " , l o [ interioare corespuuzatoare .NM din Ikl1apla (-t"')

:SIID!egale ell elementele torsorului fortelor e xt ee io are c e a cti on ea za a su pr a piiY{iit h n s t an g a (,>~.);

elementele torsorulul forjelorinterieare c()resplll1Zll~ooref('fei din mingd { . c ' " ) sunteg alc e LLclcrnentclc tcrsorului r (or(cI ,)r cxter ioare ce a qi on ea za a su pr a parr!! dindreapta ( 'G ' I ;Dad! se descornpuu elemeutele torsorului Ior telor inter ioare de pe fa[J dins langa (s eu de ps f i l ( ; i J dill dreapta) dupa eele rrei directii ale triedrulus rriortogonal

drept Cxyz (f ig . 1.6) s e obt in snse componeute no tate cu : N_. t; T" M"" u; 114"nurnite e f or tur i s ec t iona l e (legate de sectinnea barei),Pentru elcrnenrele torsorului fortelor interioare sunt valabile urmatoarele rdariivectoriale:

.. un efort axial N; pozitiv intr-c sectiune p r O O 1 Q C e soltciiarea de"fntinde.re Da:rune fbrt axial negati v produce solicitarea de compresinne;eforturile Mil . si M; , pozitive produc ailmgirea f ib re ! ! nl er iO (l r: e , respectivc omprima re a f ib r e i s u p er i oa r e dilca privim in sens invers axelor 0)1 respcctiv 0;;;

e fortul T z este pozitiv dad! produce rotirea lit sens orw a ector dona secpuniprivind In sens mvers axei Qv isr eforrul T, esre pozitiv da.d produce r o ti re a ' "~:~nsantlorar a c ejo r d o- ~ S C C l r u n L p r iv j nd in s en s i m n: ;: rs a x .c :l , O .E ~

II'" =N, +1'. +7.M O ' =M. +M. +M"

(1.5)(1.6)

za, b.F ig 1 . 7

Pentru un sistem deforte coplanare (din plaeul xO: ,fig. 1.8) regu~a sernnelorde rnai S~IS aplicata cforturilor N, M. ~i T z pe cele dOIl~ fete ale r;ocliuruii barei (carec or es pu nd s cl or doui'i scnsuri de p ar cu rg er c) e st e prezentalii trn !"ig_1_8;

(a) (b)N,

t t l l functie de efecml pe care 11produc in bara dre-.aptii, cforturilc sectionalc auurmatoarele denumiri; N ,- eforturi a xia le , produc solicitarea de iutindere sal! compresiune; 1 ' , . T, efonurt l ii le to a re , produc solieitarea de forfecare. M;y, M" e !Nl .l lr i i n co vot e to o re , produc solicitarea de tncovoiere; M,., eforturi de riisncire , produc sohcitarea de : rnslIclre san torsiunc.


9/94

17Ui. Tensjuni, def()rma(ii ~ideplllSa.riS ec tio na nd o p ic sll c'u un plan imaginal, asupra arici clcrncntare nA dinv e ci na ta te a p u nc tu l ui M, V~ a cr io n a f t> r t, a i nt el io ~ rl l' e le m en ta ra M { f ig . .1 .9 ) . S e

define~!e lensil l J l.~ ,aC " " t . _ _ ! ! _ ,m m 111m

Dad se considers trei IIIanep er pe nd ic ula rc a ll) u nu i s is re m r ri or to go na ld rep t Oxyz d e v e rs o ri i,j Ii~k , ma tr ic ea c el orn ou a r en si un i n or m al e ~ i t an g er qi al e definite Inraport cu aces re p lan e, se n um este tens/Hilla, tensiunilor ~i ddin~tc ccrnplet starea det en s iu n i I n j u r ul p u nc tu l ui c o ns id e ra t:

a. Fig. Lli b.Penrru a pune in evidenj~ c/ejorma{i.i/e !mghi,dare s e c o ns id e ra 0 plesl

c;ilin~ricli de di,am~tru d s\Jlic~lalil solic,latii l a r il su o u r; , ~ e u ? momenll1'" ( f ig . . 1..1ib)Dac. se s tud.i! iZ1ldd(ii'fillii'i\ uri element p ar n. le hj :i lp OO iC d tc pt d ln vecInli!;ueac on ru ru lu i ( ell') s e o bs er va d sllt"rit d ef or ma ti i u ng bi ul ar c: u ng h iu ri le i rn ~i aj e d e 1 1/ 2I ntr e m uc hij le c on cu re nte in p un ctn l M s e r no dif ic a ell valoarea r e i n r ad ia nt) c ar e s cnurneste deformatie unghiulard sp.edjicu sau lunecare speci jl rx l ( ' ( > ()d.a{l~unghlulscene).

. in c az u l g e ne r al , starea de dejvrma{ii dinjurul umsipunct M, r sp or ta ta la u ns is tern de axe niortogonal drept MxW' ( fig. 1.I2} se exprima in functie de lungiri lespecifice: .e " e, e, corespunzatoare celor trei directii ~ilnnecarile specifice: r , . Y ' 1)"y", c o re sp u az at oa re f le c ar u i plan, care SUint e le me nt el e u nc i m at ric i s im et ri ce Te onumita t e ns o rt t! d e ji :m n c r{ ff io r s p ec t ft c e:

I It. 2 " 1 ' " . '2'l'r.T [" ~ ] I (U3)2 " Y ' " f, .{l'"

] I"tf~ 2"10' L[ 0 . t . r y ' " ]~ 1 0, 1". '""t:~ 1: ; ) ' IT, (1.10)

10/94

1 9 21)) . F " " f or i~ d e tracl~lln~.lnm ome nt nl e an d s e I n ! 'e gi .s tr ea za p ri ma sc~.dere a s ar cin ii ;:> F feria d e trac tiu rie c ea ma i mica inrcg~strati'u in tim pul curgerii p lastice a

rna te r ia l u lu i c p ruvet c j; F.""Jor!~ de tractiune maxima i!l~fl:islraI5; F IT forti! d, 1J~,!illlle din momentul r u pe ri i e p ru v et ei (ultima valcare in["giot[~!iilnainre de rupere);

:> . F, forta de tractiune inrcg~slraffi, corespunzatoare unci valori prescrise a ~llngirDDtotale ( AL = 0 ,5 L.j;

; . . F p fO[~llde traetiune inregistrata, cerespunzjltoarc unci valori a alungirii prcscriser 0.2% (neproportionale sau remaneute),Pe bazaneestor diagrame se poate reprezenta gratic var iatia deformanilo

l on g it ud i na le s p ec if ic e in functie tensiuni obt indndu-se 0 reprezentare C = JrE)nurnira eurba camcteristidi a materiahsiu! (fig.I.14).

dy e I +~) d:x{ I . .~ , l- Deplas area r ep reziata d ru mu l-v-. ~" parcurs de un punct M in raport en 111:1

tu s is tc rn d e . -c fe ru n[ ii 1 1: ;: Mx y z, ~i sey .;;~------------------- -- "1- rl=---+-.->I cxprim. prin dcp~a~rile If, ". w, dupij:w d: < directia axelor Mx, My , respectiv M~(fig. I. 12).In aoecasl flgllT~s im i r ep r ez en ta te ~.isemnificatiile deformatiilor specifice: ~"e_ " r~ ,~ i hmec ar l lo r s pe cl f ioe : : V ; " J\~ Y o "

M

PIg.I.n

].7. Curha earacteristica a.maeerialulu!i"ccr-carca la I rn c\ilm C c on fo rm S TA S S R E N H )0 02 .I J1 99 5, (lnrC)Cui"1lIC ST"AS

20085) S~ f ace I n s co p ul d et er m in ar ii u rm at oa re lo r c ar ac te ri st ie i m ec an ie e- al un gi re a p ro ce ntu al a l a r up er e ( A)-limtta de curgerecc","",,,(ionalil (R,)-Iimita de extensie cOl1wn(ionalii (RJ-limita de I:"rger~remanenta (f?,)[ooe-rcarca III !!: ac~iu!lc consta ill a p li ca re a p r og r es iv a a ~ IQ " j [{ )r le d ~ ' m ti nd e re F

p e directie lo nglm dinala asu pra u nei p iese cilin drice d e 0 a nu rn it a f or ma . o um il aepruvetd p~nii,Iii ruperea ei, Deformatiile longitndinale M ale picsei se inregistreazagrafic pe 0 d ia gr am a l n f un ct ie de forta de trnctiune F Clit>(il1iindllsc 0 d ia gr am a c a I IIfig. Ll." pcntru rnalcrialc liniare (o[duri carbon,alia!e, ete.), sau ca in fig. ~:Lb.pentrumatcrialc iiei.utii,;rt: (b,,:ltizuri, alamc, alia]c neferoasc, CIt .) .

D(J s1\If I

r It /iR m R I 1 " , IC rW I1 1 " jIQ., ~r% "1Im1/,i.,0. 'I" rnp~,. A~ .1 .%Fig, U4i'F C C

r - tr B/v f 7 "-r- V r. , : n 1', I r l i i ~ ! O : F. !F o : ! L . . I i f, F, 1 j! ji .'. 1

..'H... ,.: i%.L"

. 1

A i .Lungirea la :rupere A LI LUIJ_g;rrt :H la rupere

a. Fi~. 1.13 h... '-

Conform STA S SR EN ' iO O()2,iJI995, p e curba caraetcristica (fig. i14) scdoOS6bc.sc l t ii : f iiUoarc~C puncte cc C(Jtc.spltrld unor car~c~efi,Sljci importantc alematerialufuiI . P un et ul P corespunde Iimuei de proportionaliuue 0 " 1 ' c ar e e ste v al oa re a m m cim ll atensiunii a~illSa I I] m a te ri al p en tr u c ar e r na i cste v al ab il a l cg ea l ui H o ok e: 0' ME e (unde E e ste m od ulu l d e e la stic ita te s au m od nm l lu i Y o un g) .Limita de proportionalitate conventionold .S" dClctmiiiii d in c on el i!i ,; c a ,;baterc;;modulului de elasficitate I i , . (corespunzatoere punctului P) f~la de valoarea E"d et er m in at h p en tr u p ri ma p or ti un c IIe u rb e i c ar ae te ri at ic e s a nu d e pi is e as d i. lO% :e= E,- E, x u O O % < 1 0 % .E.

Valoarea tensiunii corespunasroare puncrului P de pc curba caracrerist ica caretndeplineste accasta conditio se numeste Iimita de pr"por{lorra/iftlle conven(fomdll~ , $ .0 nolcflZii up"' ' 'Semnit ic a ti a uo t at i il o r de pe curbele d in fig. D, conform STAS SR . EN 1000 '2 -1/1995 este l;rmlltoo;ca:


11/94

2.U2 . Punctul E corespunde Urn!lei de elasticuate O 'c s au v al oa re a te ns iu nii a tm sa in

material plil'l~I ~ c a re c om p or ta re a m at er ia lu lu i e st e p er fe ct elastica (dl lpli annlareaf\l~ei de intinderc epruveta revine exact la forma ini!i~~ij).Experienrcle au araratc. nu ex.oslo m at er ia lc p er fe ct c la sr ic e s i cpruvcla &l!lfc d

12/94

23 24CAPITOl..UL II

DIAGRAME DE EFORTURI iN BARELE DREPTERELATULE DIFERENTIALE iNTRE EFORTURI ~I FORTELEEXT ER1OARE

(2_2)Dad; $ C iD tc g rc ~ z; ; p rim a relatie (2.2) so obtinc expresia efenurilor axiale ill

functie dc fortele exterioare: N(;l.) = J - VA (2.3)Pc ' - 'a z a .-c1~!1ci(1._3,se t I1l seaZi idi~g~mcle de e fer t u ri a x ia l eE .te ev id en t fap tu ] e li d~c . ' i q,=iJ. Nr=constan), adicli ill abscnta sarcinilordistribuite efortunte axiale sun/ constante pe aao portiune.In dreptul foqelor axiale concentrate trebuicsc determinate cele dona valori nlc

cfortului in s ec ti un e a r es p ec ti v e: l im i ra l a stinga (N,,) r es p ec ti v l a d r ea p ta (N.._).Exempli.!;S lt d e t ra se zc d ia gr ar na d e c fo rt ur i axiale p c nt ru b a ra d r ca p ta l nd i .- c- a ll l ell un

sistern format d iu d on a f oq e axiale distribnite: q,/ q,'I~i t re i f o rt e axiale concentrate4P. p ~i 2P e a in fig,2,),

S e c o n" id c r; ; modelu! de {!'p barii SQlici!l1! d e u n sis tern d e f oric c op lan arecuprinse III planul Oxz. Eforturile sccjionale po fata negaliwi (partes din dreapta asccriunii corespuozatoare S"ll.LI~LI! ct. par curge re de la s tanga spre dr cepta) sccalculeaza ca sumli a tntnror proiectiitor fortelor dllp~ axele ex , Cz respec tiv arnornentelor fal~ de Cy , ce actioneazli asupra par~ii din ,stanga, cu respectareae on v en ti ei d e ~ "m n e slaNI ile lC c~p; l(>I'Lll .1(F 'g , 1 . ,1 , _

F " i g a.t

1.1 Diagrame de efortur i aix ialeSe considera 0 bad dreaprs supusa actiunii II110r forte exinleconcentrate P ~i

d i st r ibu i tc a x i al 'fr~'u n t ro n so n d e l un g im c dx.lhl I " d i s ta rua x de c a p 1 i . IT.1 d in . s t ang .al barei , I 'e fetele elernentului vorn avea efortur ile axiale '~J(J2i!ivc) N,respeclivN,+dN, (fig. 2 . 2 > . Va ri a} i a e fo r ru r il or a x ia le N, pe I un gim ea b ar ei c a 0 f un cu e d e x:N,=N,(x) s e r~p rczun t5 su b forma dtagramei de efortur! axiaie. In c on ti nu ar e v e rnnota / I I , CII N.

Pentru a scrie relajiile dfferentiale dintre eforturile axiale ~i fortele exterioarev or n s cr ,e c eu au a d e eehilibru a f ,l tf c 1\ lC e x te ri o ar e si e f or tu r i l o r din eele d(Fblii r e f < " cedc li :m i 'lCRZ ; ; e l er n en tu I oons iderat ;

Fi~2 . . . 3Se lnloculcste legatura din sectlunca 0 {tncasm.rea) 010 for~ de leg~.h.tr~H "

( in l mC~ ! f lY e x i~ l; ; altcsarcini . "Xlerioaf.e ; f=O. ~ =O . M ;= O) ~is e s cr ie e eu at ia dee ch i li b ru a f o rt el o r extencare ~ide I l lg i itm l i pe d i r ec t ia axialli ( f ig . 2 . 4 ):

H . + (/I., -3a + 4P - P - ql, 1a + 2P=O (2.4)(2.5)o 8)

q,,"PI. P 'l,,=2P/. 2P C D4P-11 '+'1 ,'dx+ /I I+dN=(j (2.11

____ N, e=r~

I'lg2,4

) . P e t ro ns on u l o~ a vem:(2.6)


13/94

2SCons tanta de integra re C1 se determina din con ditiaI a limit;\ a trons onulu i 0= I :

,l=(j=?N(O)=+ H.d~.c1 C j=6 P =? N'_' (X)"(-~+6Jp CU Ij" sectiunea 1 vorn avca cfortul; N/=NiJ . / (Ja)=:3P

P Pc Imnsomd 1-2avern:

262.2 Dlagrame de etorturt tiiiet~)ate ~i erortllri Im;-QvoiefQa,reSc considera 0 barli dreapta >tl!, lLSil a cti un ii u no " f (> r( c p cr pcnd ic ul ar c p c axa

O. concentrate ~i I S~1Idistribui te, momente d~lp~ axa Oy ~i WI t r ansom din aceastabara af lat [a dis tan] a x de cap atul din s tanga 00 lungime dx, pe fe ~ele caru ia vom aveanumai eforturile taieroate (pozi tive) r,~j\ 1 , ) " IW]IC_riv T,+dr; st M" +dM " (fig, 2.6).Vnriatia eformrilor T, ~ieforrurilor M., pe l ungimea barei ca funcj ii de x: T,"'G(x) ~ uM;J'=M,,{x} sc rcprczinta sub forma 'di'ag:mm!dur de "iV,trw, liiieloaro r cs pe cti v ad i' a gr a "; e /o r d e e o rl 1 w i f n c' () lJ I )i e fo a re . In eQnt~1!I,I


14/94

23x=t) ~ M{O)=+M;, dcci CI=qa " ~ Mo_Jx)~=qx' +qax+ ' la 'In s e c ti unea 1 v om a ve a e fo rt ul : M,~M,''I(2{j)~q,,

15/94

2- 9X =O "" M (O )= Mj deci (;,=0 "". M,jxj",rp;' -4qax2

i n S~ l i< !nc a 4 \(>1" a ve a c for l u l: M,=M j., 41J)=-84r/Sc oOsc tVi i eli In SBC(iufiC. 4 'Vern efotlUflle T,=() ji MI=-Sqa'. S e o b se rv E e1i

un. scc\i,mca d in c a .p~ tyl din deap1a c f er tu l t ~i "LQ r e s te zc r o~ i c f o; > r h! 1I nCQv( ) ic to r co l eeg.~ l ell !1i!OlUJ;\UtuIe x te ri o rc e a c ji o ne az a i . l] aceasta secnuue (8q.t) en SI>lIID schimbat ,( co nf or m c on v en ti ei de semne peut ru f i l i ! -1 p oz it iv a ); s pu ne m cli diagramele dee f or t ur ! s e i n c hi d .

302.3 Diagrame de efur turi tors ionaleSe consi der i i 0ba r ll d r ea J JLa supusi \ a c ti uni i UTIorm om en ta ax ia le c on ce ntr ate s ]

dismbuite ",.~iUJ] t rt ms on d in ace~5ta b ar ii a fl at l a d ii st ol ll P x d e c ap atu l d in StiIJlgil,d e I un gi me dx , pe t e t e1e carL li a vOJ[ a c~ iom n uma i e fo r tu ri le a x ia le (pozirive) M;'respectiv M"+dM, , , (fig. 2010). V ar ia ti a e fo rt ur il or a xi al e M,~ p e l un gim ea b ar ei (;3func ti ide x : / W " , '" M ix (x) s e r ep re zi nt a s ub f or ma diagramei de efonur! asiale.

Pcntru a gisi rcl.al;ile difen:.n\iak: dintre cfor!1!toik M" $i cup~llr.ik ll!xiakex terioa re vorn se rie ecua ti a de ecbi libru a cuplurilor exterioare ~ieforturilor ce~ c! io ne az a a su p ra e le m en ta l c on sj de ra t :

- M ", + "1 , dx+ Mu +dM", ~O (2.35)

(2.34)

D ia gr am el e d . e fo rt ur i t ;, ic to ar c ~i 11'lC()\'OiCIOBJe p e nr r u e x emp lu l c o ns id c ra t au.fotn'ltt din I lg . 2 . 9' .A= ordOll ll tc l or pOOI ![Udi ag ; ro l iI l a ds efortmi i nc u vu ie lo ar s e -s t, . o r ie [[ ~ li l i Oj 06 .

Fig 2. HI

m, M",+dM,. ,. , . ,,. . .",___dMsan __ JJ =-mdx '

Dac~ scintcgrcaza prima relatle (2.36) sc obtine expresia eforturllor axlale illfunctie de fortele exterioare: M,Jx)"'J - m,dx (2.37)

Rezulta dM,., ~-mN dx (2.36)

Pe b~za rela\,iei ( 2. 37 ) s c [Tascaz~ diagramdc d e e fo rt ur i t or si on al e . .Este e vi de nt f a- ph d c ~ d ~Q : ",,=0 ~ M ., =constani, adica In a bs en t s s a r ci a il o r

d is tr ib u it e e f br tu r il e t or s io n al e suntconstaate p e a ce a p o rt iu n e.il l drepml rnomentelor axlale concentrate r re bn ic s J. s e d et er m in e cdc dou~

v a lo r i a le e f or tn lu i M " irn.srotillllea r es pe ct lv a s an l im it el e f un o tl ci 2 3 7:l a s ! inga (M",,)rcspec!iv ladrcapta (M;" ,c) '

Exemplu :S ~ d e t ra se ze d ia gr am a de e fo rt ur i a xi al e p en tr u b ar a d re ap ta ! nc ii rc ~t ll ell II!)

s is tern formal din dona cupluri dis tr ibuite md-Pa/a . m,"~2Pa!(I si doua cupluriconcentrate M,,} "'5Pa, M,,; ~JPa e l l i l l fi .2.11..Jj:jq::IJ~DiolJ""".M + @1 : 'l1g lJ I


16/94

J ~Se in~ocLlie~telegarura din secjiunea 0 (incastrarea) ell cuplul de leglitu.rn M 'D(intrucat OU I exIstfi alte sarcini cxterioare: H ,, ~O , V ,, ~O ~i .Mi,~()} ~ise scrie ecuatia de

eebilibru B sarcinilor extcrioare ~icuplului de legiHurll(fig. 2_12):M", + " ' .' 1 - 4a + M".[,- m -Za- M ; ., =0De unde rez~ IL t l1 ; M. = 2Pa

(2:.3.8)(2.39)

" Pc tronsonu ~ e M :M.o-(:.;)= J - m.,Jx=-Px+ CL (2 .40)Constanta de integrate CIse d et er mi na d in condiria la linlitl1a t ronsonului 0-1:x-o ==;M,,(())-+M~J deci C]-2P" == ; M"".,(x)=(-x+2a)P (2.41)[n seetiunea IVOIll avea efornn: M;, =Mw/_d4a) =-2Pa

" Pe tronsonul \-2.: M " L - J x ) = J - mp'x =C, (cons/ani) (2.42)Constanta de lntegrare elSe determina din ,ol1ditia la l:imil~a tronsonului 1-2:x=i) ~MlI (0)= M,,=-lPa deci C1=-2Pa ~MlI,.o=-2Pa

; . Pe tronsouul 23: Mk,jx)= J - m,dx = C, (constant) (2:.4.3)(2.44)Constanta de integrate G;se determma din conditia lalimita a tronsonului 2-3:x=O :;; M " (0) = M,M


17/94

33; i liQmeltiul de inerf ie axial a l s ec tiu nii p la ne 1 n r ap or t c u a xa Oy ~iOz, e s te de f in i r

prin integrala (st rict jK.zili\'iij:APITOLUL IIICARACTERISTICI GEOM!ETRICE A.LESECTIUNILORPLANE 1,=J:r'dA. (3.4)> }Homel1'I...1 it.ineriie polar "I sectiunii plane i n repor t C,1 polul 0 e ste definit prin

integral", (strict pozi ti va):t,=J r ' , dA=Hy ' +~'J1A=I, +1,, . (3.5)

3.I.DeflnitllSc consi dcri i o seo ti unc t ransversal ji 'pl !t n~ int r-o bard. aV'and aria A, un element

de arie elernentara cI A a] sectiunii ~iun s is tem rec ta ngul ar d e axe Oyz, Poz ij ia a ce st nie lement d e a ri e 1 0 r apor t c unxe le s is te rn ul ui r ec ta ngula r e st e da m coordouarele (y , z}s i r es pe cti v I n r a po rt o rig in es 0 d e d is ta nt a r ( fig J.l ).

Sc observa c~ mornenml de iner(ic polar este egal CIl sum" momen telcr d ei nert ie (ax ia le ) fat 1i de dOlla axe rec tangul are ce t ree pri n polul respec ti v. iliomel1'/."/ J", inertie c~"f'ifi,gal a] sec ti un ji p lane in repor t cu axele rec tangul areOy ~iO~, estedefinit prin integrals:

1F ~ Iyz.dA (3.6)Din relapa (3,6) se observa d momentele d e in er ti e c en tr if ug al e pot f pozitive,n eg ati ve s ai l I11k 0 sectiu ne p lan~, avand eel putin 0 ax~ de simetrie aremomenml de i nert ic ren ir if ll ga l nul fatA de s is temul pen tru care una din axe es teaxa de sirnetrie, hOI'"1c~tea esie evidcn~ daci\ se tine searna c~scctiunca esteformata 10 pereehi de e lem en r e d e a r ie s im c ir ic e {fig, 3 .2 ) I i s e p oa te s cr ie :

+y: "tA - y.dA ~ 0 0.7)Dimcnsiunea C()tcS'pll f!2iiW"", p Rasa de ,nerf ie a secli!\nii p l a n e axialij (In. raport CU() ll"~)respeetiv 1 l ( > i ! l I i i . (inraport cu pelul OJ. se deline~!eprin rd!l\iile:i Y ~ f i ;1) (J.8)Dimens ju ne a p en tr u momen ru l s ta ti c e stc [S] = L'ill Sis temul l nt erna ti onal nni tn tea de m~surn pentru momenrut s tatic este m) ,' [i na nd s eama de rola tia p e l 1 l 1 " J J 1 c al cu lu l c oo rdon at elo r c en tml ui d e g re ut at e a l

sec ti un ii :

D im en si un ea c or es pu nz at oa re p en tr u r az a de i n er ti e e st e [ , ' ] 1 " Lil l Sis tema! Int emaj iona l uni ta tea de, t li l~ s. urapent ru raza de i nert ie est e,m,

Din fo lT Iiu .lC l . c ( 3.8 ) r ezu lt i \: I,~ : II: r. = '; . 11, : I,=i;.A,deci razel e de i nert ie reprezi nt a d is tant s f j

18/94

35t; = lyl '+d;u ,AI .~I + d~ ,A: :, ::,

3 ,2 . C iiJ lc ulU I m om en te lQ i' d e ifie!'fie I . . t r : ii l is la .!;1a axelQrFormelele JuiiSteiner. 0_14)t;=t,+ d ' < ' I , : smde d ' = d : . > c + d ;"

[,,_,= Jr~ +.J " J' < . d ,. Y o . ASe considers 0) sectiune plana carese raporteazs la 1 1 1 1 sistem de axe Oyz, ~iunsis!" '" , de axe O'y'z" parale] cu sis temul Oyz (fig. 3 .3 " o b tim ul lr in d O l r n tr;l!lIsll1lii

efectuate ell distanja a dupa axa Oy ~i respectiv I, dllp~.axa Oz.Un e lement de a rie dA ~I S~C~iUDii plane are coordonatele (v, . ) in r aport cusisteranl de axe Oyz, respectiv coordonatele (y, ~) in mport cu sistemul de axeO'y'z'{tig. 3.3). IIlIl"~aceste eoordonate existn relaliiLe: 3.3. Varhl~ia ruementelor dehtcrtic la rotatia axelnrSe considers 0 sectiune plal1~si douA sisteme rectangulare de axe: sistemul

,niliel OyZ; rcspcetiv sisicmul O'y'z' rul,1 en unghiul a fa!" d e 0 1'2 . (fig.3.4l_ Unelement dearie dA al sectiunii are coordooarele y ~i ;r in raporr ell sisternul de axeOyz, respectiv coordonatele y' ~i z", to raport 011 s is temul de axe OY'l'. Intre eel",doua perechi de coordonate z ~osa~ ysin'o.:

y~=y+(r.; .'=z + bApliC~jjd relit!iilc 0_4) se c!i~olileaz" momentul de utic"!k .1 iiccriullii A inmport eu axa oy tcspect,,, 1 L > ! & O'z"

(3. ~J)1,.;: f l Y ' ) ' , cI A . . f C v+ a ) ' cM .= J ( Y ' + 2a y + a') JA .. I, + 2aS , - :t -a 'A (US)Apl icand re la ti il e ( 3.6) s e calcu leaza rnornen tu l de inc rt ie cen tri fuga l a lsectiunii A in rsport cu axele 0''1'' ~iO'z.':[,,_,=Iy'z'dA .. J ( y + aX z + b )d A .. J ( y . + liZ + b y+ a b yJ A

Aplica nd re latiile (3_4) se po are c alcula mome ntul de iner tie a l sectiunii A inraport en axele O'y respectiv O'z":

f,.~Jk)' dA~ f (Z 'COSO: -F 'S ino : ) 'dA~ i,Co.h::H!,si"la~21).sin(/.cosa.f,. = ! ( v ' ) ' . ; J A = 1('; 'I 'l1a'+)"


19/94

37 3m om en relc d e in erjle au v alo ri ex trem e. P~nttnl acea sta se a au le aza d erlv arele Inr a po r t e ll u n g hl u l lao

.u . [-I.-.('.)=--'--' sin2a -1_ c052a =-1 ,~=Od 2a 2 }. ,.dl" =1.-1"i020:+1 eos2ct={ .=0d(20:) 2 ; " s s

E xp re si a o b rl tl T ht ~ r ep r ez in t n e c ua tl a u n u iC CrC in tr -u n sis tem d e ax e ,n c are p e ab sc;s !l sc1ll5soaril momentele de inertie axialc, iar peordonata rnomenre le de ~lJe~0e centrifugale( fig.3.5) avand cent ru l ill punetnl C dec o or d o n a te :

I"...

(3.18)

C l I p ; 1 , , o J~~raza :

D in r ela ti a ( 30 18 ) re.zllll~ u rm atc ar ea p ro pr ie ta te : m or ne nte le d ein er tie a xi alea l i iva lori extreme f aj~ d e a ce l s is te m de a xe 1 n r ep or t cu cn re m om en tn l d e in ertiec en tr if ug al e st c n u l. R e ci pr oc a a ce st ei p ro p ri et rq l n u e st e a de v ~m t~ ,

U { 21 )Ig2a"'---"- => 2a, "ar.:ig--. "'.1-1 I -IJ ' : . s .;R =! i(l -1 I'+41' .---' 2 ' 1 1 , . s} "(3.19)

respectiv: 2a, =2a, +)0 = > (3.20) 3.6" Caraetertsnei geometrice ale unor sec!iulli plane simpleS e c on si de rs u rm a tc ar el e s ec ji un i s im p le :

;:. 0 sectiune plaila simpla I I! f o rm a d'~ dreptungt i i , O;U laturile b ~ih r sp or ta ta lasistemul central de axe Oyz {figJ .6). Un element de arie, al acestui dreptnnghi, seobt ine ea 0 f1i~ueillgllsl1L, d e l un gi me b ~,i'1~ll~me dz, s~tc!a l~ Ia d~gtan!a z deaxaOy : dA =bdz. l vIomel1tu~ delnertie axial a l s e c tl un ll drepmnghlulare, lnraport ellaxa Oy, sepoate ser ie:

Deci cele dona d~r ec l~ ipenrru ca re momente le de iner pe sunt )1=i~J Je sauminime sunt perpendiculare. DlIca se inlocuiesc in expresiile (3, 17) valorile lui Ja/respecriv J o e J o b ti nu r e, r e zu l ta v a lm i le e xt re me a le m ome ut el or d e i ne rt ie a xi al e:

f", .: ~( ~J(l, - t}+4f~ (3.21)AceMe valo rl se n!.i l : i i ' ;SO momerue ,J", if1~'l;,: pr;I1";p,,I

20/94

i= ~_=~3(b' ","fl')'V A 6Mod :u : ld e d e t e2 ,S le n! a i II a ce st c az , s c c al cu lc az a c u r el ar ii le :

! ;rd' 2 mJ'W ~W _~_L=_._~_", ~ 64 d 32'2

I irJi' 2 mj'W . = 1 _ = n- d " = 1 6 '2

(3.39)

(3.30) 0.38)

(3.31),------------------, ~ Q sec tiunc .impl5 sub form s de .Iri""ghi

oar. . . c : :a re ra po nata ~ ~ un sister n d e ax e O yz(axa Oy co U n cid ecn b ay a rr iu ng hi u lu i, c a I IIfig_ 3 _ 8 )_ Bam t ri un gh iu lu i e st e b. il'lMlim.eaIi, i;;;cel"trietir~\1de arie dA csie (I ~iet [J )g us ~ c u b az a v ar ia bi ]~ b' ~i [n~l\im_ea ds,paralela CII ax a Or si sit\!~i:ll I,~ dj;st~!lr~, z1!~deaxa Oy.Pe b aza asem anarii tr iung hiu rilo r av andbazele b ~ib ' s e p oa te s cr ie r el at ia :f sa h,- z _ de node rezul!li:b s : _ _ -b'=~{h-.ln '

w .. l E _ . . A.fi1+I1"r~w 6 '

y

(3.40)Fig. }:8

> 0 . < {! "f hm~ $i"1pfa r,:,'n;,dwii p en uu c ar e o lm l. lO ll! u] d " a rie s e c on si de ra u n inel dorazat"~i l~~illll~dr(fig,3,7):~;IA"211r at"(3J2)M ome nild d e in er tie p ola r s e s cr ie :

- J" _F " J : " _ .r ltcI'10= r--ail" p"-21J:1"-,"p=-_- n

dA~ ir-ds ~.~(h~z)'d;:;t,Apl icand formula (3 .4 ) se poa te ca lcula momentnl de ine l' \i e a l secpunii

r ri un g hi nl ar e f u( A d e a xa Oy (care c o in c id e e n b a za t ri u ng h iu l ui ):

(HI)

0.34) (3.42.)d e u nd e re~llt~ m ome nt el e d e i ne rt ie a xi al e:

{ ~ [ ~ ! . . E . _ = 1 i . d ' ' 2 64!

T ot d ato rita s im etr ie i, m or ne ntu l d e i nc rt ie c en ni fu ga l e st" n ul: l)~ = 0, Razelede inertle p en tr u s ec jl un ea c ir cu la rs s nn t:

iy=L=fi=~~' ,~, =~ (3.36),_~__W4_.J 21 0 -LJA-~32J!d'-4 (3.37)

(3.35)D ad . d or ir n sa d ca er m in sm c as ac te ri st ic il c g com et ri ce 1 0 raport ell u n s is tcm d e

ax e c en tral, se a plic ll to mo d corespunzator f or mu le le lu i Steiner ( 3. 14 ) p en tr ur ra n sl at ia a x el o r d e c o or d on a te :

I =1 _ = ' " A = b h - _ ' _ ( ! ! . ) ' b l i = l J h 'se y 12 3 :2 36'" "ft 1112~za de mcrue cste: I = , _ _ _ r r _ _ =. --, 'A 6 (H3)bit'

W _!c_ _ )6_h'Y - .,_ - 21, - 24

3(3.44)


21/94

3.7, CiiJrll!!':~eri~tidgeomeFr1ce pentrll ~ei;tiuiii plaiiecompUstPentru calculul caractcristicilor geornetrice ale secjiunilor plane cornpuse sedescornpun acestea In suprafepe simple (ale carer caracteristici se pot calcula user),

apoi seinsumeaza tinaml seama de formulele pentru Irilllsiatuule sau rotatiile axelor decoordonatc loca le fa l~ de si temnl de axe cent ra l. Dadi sect lunca p lan~ cornpusaprczinta goluri, terrnenii corcspunzatori apar ,n fO.nDllkcu scrnnul minus {sail se

Pcntru rezclvarea problcmei, se descompune sectiunea In dOll" dreptunghiuri,notate cu 1 .~i2, , ,"and centrele de greutate notate in figurli ell C. ~i respect;" ~. Innorarea momcnretor de merti c, i nd icele super ior 00 re.ferii In nnmarnl dreptunghluluisecjiuni] cornpuse, iar indicele inferior ~aaxa III raport ell care se ealculeaza aeestea.el d Y J ' au fast notate distantele dinrre axe, iar ell A ariile drepmnghiuriloroorespunzetoare.} - Calcu lu l monli cn~UIU i de inert ie " I. SIT!~u,"iif a! " deaxa Oy ,

Mom~I lI '\ J1 d e i nc rt ie IIi dreptunghiului I, rll!a d e a xa c en tr ala c or es pu nz at oa reaccstuie CIYI este:I'" = (I{4'1 Y . = ( ) 4

22/94

4~M!ldullli de rezisrenja 1'\1~ de a ce ea si a x ~ ,"SIC:

1. Wa' lW.",_- =-_-=3,333a- y_ Ja

:;.. Momeniul de inertie centrifugal at secnuaii f~t~de allele Oy ~ Oz.Mom~J]i,ulde inertie centrifugal at dreptunghiului J, i fu~. de axele centrale C '-Y I ,~C,z, este nul deoarece ambete sunt axe de simetrie

(3.59)(3.65)

> Mcdu lc l e d c re 2 .i S 'L c nl " :O t ! " de aoclcasi axe:l_ 4a', 1 85a'W,_~-- '-~-~la - IV ~___!L~- '- --~3A!l '.. y~ 2a .. , vc Z 2.5a

)0 Momcntulde inertie centrifugal al ~lltt"g:ii sectiuni f i 1 1 a d's allele C'l ,~iCy llt~lilil[!dformula lui Steiner (3.14) pentru translatia axelor:

(3.66)

Momelltul deinerpecentrifugal at aceluiasi dreptunghi f~l~ de axele Oy ~~Oz,~1!;~iz5nd f')[nlill:l~ lui Steiner p~[i\ f\ ll t(i!iSIi !l i~ axd P o zi ti a a x cl or p ri nc ip a le ell a ju ro r ul r el at ie i ( 3 _1 9 ):

2 1Ig2a=-~:. 1333 =>-0:, =26565' si a," 116,565'i -I.Y .: - : . : - (3.68)Se procedeaza similar pentru dreptnnghiul 2 ~i56 obtine momentul 8~U de inertiecentrifugal ful~de axele Oy si Oz:

(3_61)Mornenrul de inertie centr ifugal al intregii sectiuni S~ obpne prin iusnmareav a lo r : l or o b ti nu te p e nt rn c el e c lo n a d r ep nmgh iu r i:

> - Momentele de inerpe principale C a r l i de noile axe Wr n ~iCy., rotite cu ulJg~111I e 5 10d e te rr n in a u ti li za n d f o rm u la ( 3 -. 21 .) :

I + r I [?~~,' 7 'in"[ =~_I(J -t ]+4/' =---'"""-:1:-..._"'~~w 2 2'1 ", ' 2 2 (3.69)f_ ~ J ,. . ~ lOa' respectiv 'M" ~ [~~2,5'"

:;..Razele de inertie ale sectiunji compuse inraport en axele Cz~ ~iCy~:i -= r r : : : -= fi07 = a r I . i = n : : = p ,5 a ' " ' ' ' f l O .~ V A 1 J ( ; ; 1 3'~ fA 6,,' V 2 4 '

fy: = I~)+J~~) =61-7~, (3-62)In rezo lvar ea unor probleme de Rezi sten ta ma te rialelor interv in m s ~carocteristicile geometrice fatii de axele centrale ~'iprtnctpole ale seC/llm/i', Pentru

dererrninarea lor in cazul unor secpuni compuse, S~ apLidird~tiile lui Steiner pentrut ra ns la ti a a xe lo r, d up n e e I II p re al ab il s -a n d er er rm n ar c ar ac te ri st ic il e g eom et ri ce f al ade doua axe oarecare (Oy ~,iOz) ~i pozit~a oentrulni de groutate al sectiunii. Dl1p~dd"rmin~.-ca ~cc&l\Jr caracteristici sc pvt determine: rnorncntele de un('''Iic principalc[maxim ~iminim lD raper! cu dircctiilc principale), m"d!!I{~1de r 'CZ~Slel1!~~irazele de'ine'fie corespunzatoare,

Pentru fjgura

23/94

45 I zj) = , , ~ +z"APITOLUL IViNCOV()1lIEREA BARELOR DREPTE

(4.2)Foloslnd ipoteza deferrnatiilor mid s e ponte neg ll jn : " in r aport cu l sl rclaj~a

(4.2) SC mal scric:~ "d';p :: : r : : W o " (4.3)

4 . 1. D eH ll if i iio b ' ;' f~ dn ; :a . jl~ (:$' l -C ~,UP-'I, i$~ ~ ! ' : i . i:rne;()v~)h::re d;;tC'~ ifilr=g ~tC\i un e { )~ r~ ~~ rcactioneaza cforturi incovoictcarc M ; . " , M , :- Dgcli fori"-(\c care aCi.ioncaz~ S;~l"! situate!utr-U[] plan de simetrie cc ~ou~~e axa barei, spunem di oar" "'01, supusa Iat n c ovo ie r e p l a n .a s imp l ii dadi in secpunea ei apar ~i eforturi t~ietoare,respeetiYincovoiere pu~5, daca in seetiunea ei apar numai efnrtnri tncovoieioare (efbrturit~~eloarc sunt nule) ,

Dad planul de acjlune al for jelor exter ioare estc difer lt de planele de slmetrieale bare i, seu dad! bam nu arc n ici un p lan de sime tr ie, spunern C o avern incovoiereobli",(i. Ehc.'i fu*l~ caw ac ti< :O l [ e; a ri l a s up r a barei lUI sunt situate intr-un singur plan,dar intersecteazs axa Iongitudinala a barei spunem di bara es te supusa la incovaieresMimhiI. Da ca f o rt el e CH;~ac~oneaza asupra barei n u inrersecteazh axa longitudinalaa ba re ], spun em c!l ba ra este ,SIIPIIs!i I~ i n c ovo te r e e l l r a s u c tr e .

Folosind legea lui Hooke (~~N exprima NI~~i~I iniara mITe tensinnile 0' ~ideformatin specifica e a fibrci MN detcnninaia en relatia 4"J) tcnsiunea normala lai nc o vo ic re a p ur ol i s e s cr ic :

(J~ E!;~E =E(t)zpunde to = .! .= d.;p este rot irea specified a sccpunii barei supusa laIm;ovo icre,p dx -

(4.4)

Conform celor sr ab il ir e la capi to lu l ] c forturi lc secponale sunt r ezul ta tu lrcducen for telor inter icare elementare in ecntnu de greutatc al secpunii. ln caznlbarei drepte supusa a Incovoiere pma, in sectiune apar numai tensiun: normale rrcareproduc fOrje elementare normale la sectiune dF~ IT dll. Purem deci scr ie rda!uik dec e hi v a lc n til:

N: JcrdA , ,0; M. "J < m1A;A

Din IIdona relatie (45) rezulta:@= M~ (4.6)!iI,

Ternenul de la uumltor EIJ , se numeste rigidilafea fa incovoiere a baret supus~1" incovoierc.Inlocuinf r cl at ia ( 4. 6) " 0 (4A) $C QbriTlc [orruula I , I I L Navicr:Mcr=Eroz=-", (4.7)- I,

Accnsta formula ~mta eli tensiunea faincovoterea pllri i lntr-un pllm::f al seqiuni i estedi rec t proporti ona td elf momena t! i n c ovo ie t or.dill sectiune f i el dis M " r a ' ; : P(,""il la i lxa/Jellirii, Est" evident faptul eli pentru punetcles ituate pe axa Ly tcnsjunilc sunt nulc (0=0)de acecaaxa C) semai numeste axa neurra.Tenslunea maxima (in valeare absolum) seo b - rc tl c p en tr u p un ct el e s i tu at e la distanta CC~maimare de ax a Inell~rii:

l'lg4.1f= i'!.O.fN). M'/v'-MN = (1 1 + z)dx-pdx = . : :

MN MN IPdx pF fb ra m C GE e deformata poate fi considerata o cu rb a r o ct i fi c abJ i !l z=frx) (mnctie

dcr.ivflbilil de d < ) I I " (lei) pentru care se poate ser ie raza de curburii cu ajutorul rel"tidCll[lCISOUte din geometria dif~reu!ial~;

(4.1)


24/94

47 48c) Cakulul sanntt capablleSe C(Hi~idcrii (I bMii . d rc .p l" J i\ c! it ca li' i e li u n , isocm de f or te ; p cn trucare ~e

C~l108C urmatoarele elememe: direcfj~ fortelor ~imodnl de amplasare, legl!lIIiile ,~jdimensiunile barei, forma ~idimensiunile secjiunii barei ~imaterialul din care estce xe cu ra ra b am , P en tr u e al cu lu l s ar ci ni i c ap ab il e s e p ar cu rg e ra pe le :I. Se determina reacjiunilesi se traseaza diagrama efonurilor lncovoietoare,2. Se detcrmina sectiunile periculoase ale barei si ...aloarea momentului lncovoietormaxim (in modal) in functic de sarcina paramctriea P.3. Sedetermins rnodulul de re~istenp ~Isectinnii barei IV,.;5. Secalculeaza sarcina capabjl P " ' f J din conditia:

M'J~ = ti.~"l' = '~.(j"

unde W, e s te r n ed u ] d c rc z; S ICn 'i ", la i n co v o ic rc I n r ap o rt ell axa 0", (r,g.4.2}.Semnul lui (fm= depindc de semnele manmilor M " ,~ u Zilla,

4.3. Calcule derezisten~j al barelor ,supuse 13 illcovoiereu..Caleule de verificanlSe considcra 0 bara dreapta !ndrc~t~. cu un sist em de tort e, pentru care se

c n no s e: v a to a rc a fmlelor ~;i r no du l d e a mp la sa re , legiitmile i d ir n cn s iu n il e b a re i,form a ,~ i dim ensiunile secti!lnii~i m aterialu l d in care estc executath. Pentruv e ri fl ca re a [ a ' HC lI v oi e: re .~ b a re i s e p a rc u rg n rma to a re le e ta p e:I.se delermlO'lii rcaqlUiiile ~ise troSC!izi>

25/94

49 50

~h =T,~,. = i( t-~'~I:'~~/j[l-{nTensiunile tangentiade f", se reprezinta in fig. 4A. C~ 0 functie diegradul al ]Jtea (0 parabola), avand un maxim pentru z~a:

Efbrturile sectionalese obtin prin reducerea forteler interioare elementaee lnc cn ir ul d e greulBle al seq iunii, tn ell "(L,1de fll~'ii asu pra elern cn ru lu i d e arie dinsecjiunea transversals actioneaza:> forta elementaranormala: dF'.= 0.A> forta el,emelllara tangenpala: dF,~ ' 1' ", . dA ,

Pentru eforturile din secjiunea barei sunt valabi]c relatiiledeechivalents:N = I o- JA = O; 1; ~ J '('~dA"'O ,: M " ea J z o-dA"'-O (4J4)

<

Deci obtinemc

Vorn scrie 111continuare eC\lll!ia de cchilibru pent,"" fO'lelc c ar e a q ,i QOC l lZ "asupra elemeatului de bara situat sub p b [ ! 1 1 1 longitudinal ABB 'A';- ImlA-'t"~,bJ;,+ J(cr+oo)dA:O

_ " B F Y

(4.17)

(4.18)

Ti,,,~ =1,5 b~D ec i t en si un il e t an ge :n ri a1 e m ax im e r",.,~ apar In puncrele axei neutre s i s li m~,5 ori ma i rnari dcc~ t Icn~irrnca I~ngcn!i~~!imed ic c a lc ~ ~ a t i' i cu f cm n rr rr a d e I ~forfecarea pieselor subtiri,. ( M J +dM }- J - . - " ;;


26/94

51 52

(4.23)

T e l1 S il m i~ t :n g cl l1 ia le o o re sp u nz at oa re a ce st ei ZD ( nc su n t: ( ) ' J=T -'-= T, 3a (225 2 - ~'1-1.-= 2. Z5 - !_1 'My 6a -.- a 8,5,,' n,,'~' .a

P I) - b - 2T, 0117 T.entmz=" ,Ja seo t rne: 't"A=--- = . _ "17a a

Tensiunile tangen!iIl~,e fIX se rep-=int~ in fig. 4_4.ca ofuncpe de gradu) al Ille a I n sinr(! a va od u n m ax im p en tr u r;=NIl:

Dccitensiuuile t~!]glm!i~lJ;:maxime 1:""ffl", apar ill punctele axei neutre ~isun t de1 ,333 on mai mari deciH tensiunea rned ie ca lculata e ll fo rmuln de l~ for feca reap icsdor subjiri.

!= (1- {Ja)' +30' a' + Ja (a)' + 30' a' =8 5a"y 12 1.2 ' (4.24)

(429)

(4.30)Teosiuniletaageetiale 'C,. se repr

27/94

Pentru sectiunencompusn dill dOll~ budi (i sndate {fig,.4.8)momentul . de lnerjleso d cte rm in a la rei ca II ! c azu l 1 1! care se ctiu nca ar f1 dintr-o si"g~ua bucata (vcziexemplll! ; ;

I = a (Jar +3a' .n' + 3a' (ar + 3a' n' = 1: !, 5n ', ~2 12I ~FW =-'-=.)a =3,4a'

I ;r~.n 2.5a

53

F;g4.9 b) oj

Sa consideram eel m ai s im pl u e xe mp lu de incovoicre sillIpL~:cazulunci barede lungime L aJlat~ pe dou~ r eezer ner ig ide lacapere le e l, i llC~rCBi~ e ll 0 forl~concentrata P la mij locul distantei intre reazeme (fig. 4.9}.

P en rr u s cc ti un ca c om (J us " d il ! d ,) fL " b u d if i i nd ep en dc nt c I n u rr na inc"rc"r,; celedoua haw se deplaseaza una Ull raport cu eealalta, S.~I)aluncca longitudinal una 1))raport el l c~k~[t i\ (f ig , 4 .9 .~}. Pri rr suda rea celor dona bue. '\ !i (t lg , 4 ,9.b) e steI tl Tl pi ed ic at i' i l un e ca re n l on g lm d ln a la s i c or d on u l de su du ra este su pu s Ie forfecare,j um s ra te i nt "- !U l s en s, c ea la lr a j um a ra te 1nceUlllit sens, P en trn a determina forta defQ rf e ca re p t t: [ w u! i d e c "f d \J af ie !e d e ~ 'l dY f ! i ( p "f il I! ) j Y tr ii j! ~ Le d i n b ! lf lU d e [!li\g~rncU2si ~~~ume~) ) dreptul cordonulni a) se folosesre relatia:

J . I ' ".'T S* U .1 ',30' 3PLF = J t a-dx J -o-adx= J - -- . ,tI,dx=-J " ~ , bl , n 2a" 8,5a< 34a

54Verificarea cordenulul de suomi! (aviind l~tltlTlea g ca in fig, 4,9.e) se face

astfel:

(4.32)

r :::~:::3PL .J_::: 3P $'1;f AJ 3411 L g 34ag .,'

undo v== r ez is te nt a a dm is ib it a l a forfecare a e or do nu lu i d e s ud ur a,Daca In locul cordonului de sudura sunt prcvaznte dOII~boljuri eil indr ice dediametru d (fig. i ef e sirnpl.ii !l\,~fidrigiditatca I~incovciere Elf constanta. pe lungimea sa, La paragraful 4.2 s-a aIiltatdflbra medie deformata (S3U l in ia elas ti ca a bare i) es te car ac te ri zata de ecuapa

diferentiala :

lnln)ciit pentru sistemul deaxe ales O:>~lID moment im'oYoi'>tor pozitiv aplicatI~ capetele b~iei produce totdeanna s~geti w(x) pozitive rezulta c~,deriv~t~ a dOIl~este negativa w"(i)


28/94

55 56a. MeIQda/1Iflc( id dff incal"care : laff a/ul' lc{id dff /vl "{ ii IA ce as ta c ste a m eto da a na li tie s, c ar e u tiliz ea za a sa TIllmifrll/lIm:(,'e de , , , d i n , , , , . , , , .

s a u f un c ti e d e f o r/ ii . [ lH .~ .g r~ nd e c ua ji a d if er en ,i al ~ ( 4. 3 7 ) s e o bt in e r ot ir en s ec ji un iiaflate 13 disranta x d e c ap am l b ar ei :Ij l{x)=dw =J-~A='i' + '(x) (4 .38)dx st, 'HI,

unde q!v CS IC r ot ir e a s e ct iu n ii a f la te 1> 1 c a pl it u l d i n S li in g a. al b a re i ( o ri gi n ea b a re i) ,~'(x)", J - M~d>; (4.39)

(4.41)

i ~r d er iv at e f uu ct ie i d e l nc ar ce re s e d et er m in a a st fe l:.p'(x) =~(lx-

29/94

A ce st e re ~i ll H s un t v al ab il e p en tr u o ri ce tr0I1S011 a.1 barei, a st fe l l ~ .c 1 i! s e pollculculs c U i O laprcapc tIl aproape mtiriJ.c$i s.gqilc pentru eapetele fiecare tronson,

Aplicarea fonm!lelor(4.45) ii(4.50) pentru calculul rot irilor ~is5ge! il or se facep r in s u pr sp u ne r ea e fe ct el o r s at rc in il or c ar e a c~ io l. l. ea 2 5 p~ t ro n so n ul r e sp e ct iv : p e nt ruc el e t re i ti pu ri d e s ar ci ni a le c ar or d ia gr ame M{x ) au forma d in t ab el u] 4 .1 f ormu le led e c alc ul a le a ri eis i momcnrulu is ta ti c a l d ia gr amel or d e mo rn en re t ncovoi et oa re s un tdil le In tabcl :

57 58Rclajia (4A5) s e n ume st e ecuaua rotinlor ~~p erm it e c al cu lu l r o ti ri i o p 1111r-o

s e e \ , ( u f ] , e Oil.teCl:itt a b ar ei e l i c , O F. ld i \. L :: i ,S a se e uf iO ! is c i1 t l) li o c t: t ~ i i i.u~o sec t iuneconsidesata ca o r i gi nc ~ia r ia d i ag r ame i d e TI}OJllGJlt .e IDcQvoieboare il(J;.;.

fl p u0 , H........ B x~~'b I

d II Dc" x I

x.I, .1," '" i -H-cf Hp....+ + + t - I~,+ Dl,~m,M ,.

Tabclul 4.1:C az d e I ll ca rc ar e s i

d ia r ama de momen teAria diagramei M om e nr ul s ta ti c I n

d~ agrame i Suo

Q01=-aN

Dac a s e i ll te s ;r~~< l i Inc .' \0 d a ta r ei a! ia ( 4 .4 5 ) s e o b ji ne :Ef,(w- x- fgep,) = - J Q.Jix +C

u(4.46)

Daca se i nt egreaza pri n ~ r~ i i nt egra la din membrul drept se obt ine:f !l OKd >- = xn .. , - JXd!l" = xf. !" , - d,' n"" =(x-d,).!l" =d,!lOK=S~"" e

(4.47) o

unde Sill reprezi nt a momentu] s ta ti c a] diagrarne i de mornent e l neovoi et oaref,,!~de 0 " . i > paralele ell Oz S i l'W ' l1 l i".disataraa x de origine.COn5~ ITta de i nt egra te sc obt ine t ot o m condit ii le la l imits (i!~origine):E/w.~Ofg\fJ")~~S."",, C (4.48)Relaj ia (4.46) devine:

(4.49)':1/,"-",.-,- Ig'P,)~-S,. sau:S

w~ H~~x- tgcp.:::::- E r :Re l" !i ,, { 4 50 ) s e n u rn c st c ecuatia sage {Uor - ~ i p e rm i t" c al cu lu l ~ "g cr ii W l O l I N '

sectiune carecare ,~barei en conditia ~1. se curio...lsc~ sageata W C! ~irotirea ~ II Is ec ti un ea con sid er at a c a o ri gin e !i momentu l s ta ti c al d ia gr amei d e moment alucovoietoare 3 : . :0.

o(4.50)

S l .o==-~ .' qI24+ b'q!24

30/94

,5 9

CAPITOLULVGRINZI CONTINUE

Grinzile continue suut s is teme static uedeterminate de tipul barelor dreptesituate pe manmulte reazeme, libere Iacapete san lncastraee, Cll sal! mTa console, cain f ig . 5 .1 . Reazemele pot fi situate laacelasi nivel, sau pot fi denivelate. Reazemelesc considera punctualc ~irigide.

b. FigS.1In eazul unci grinzi continue plane situ~t.'i pe 0 reazeme avem [1+1necunoscute: HI. VI. V,.,.Y.~ se pot scrie din Mecanicll3 ecuarii de echilibru:I:F, = 0; tF; =0, _tMy =0:

Aocasta cste un sistem static nedeterrninat avlind gradnl de nedeterrninare: GN-n-2In caznl barelor lncastrate la uncapat ~l si tuate pe n reazetne acestea se pot

eo hlv ala en 0 g uin dli co ntin ua p e ,,+ ] reazem e (ell b o= O , fig . 5 2} c are in tr od uce n +3tl,ccum)SC('.lh~, o c c : i c s t c un s~$tem s t a t i c nedetcrrniaat ; , ivS!n! j: G?' /=n

~Pq N

Ho + + + U n H (l1I ? t ~, 1b, b, bs "r / ' : o . v~Fig5.2

P en tr u r ez ol va re a u n or a st lf el d e s is re m e 86 p o ~ f o lo si r ne to de g ra fo -a nl it ic e s eua na li ti ce d up h c um urmeaza.

6(1

3 _ . iCclJatlacelor [rei momeute [ecuatla lui Clapeyron)Dadi se scetioneazabara in dreptul reazemului n, se pot pune on evudcotii douiitipuri de rcactiuni necunoscutc (se face absm-,(ie de reactiuaile orizontale II fig. 5.3):

> - Momentul incovoietor M. care este acelasi pentru cele douii tronsoane careconeurf illreazemnln;) R ea ctiun i Ie Y., ~i Y~~d ir er il e p e n. tr u c e le dOl la t rol ls o~ne d i n re a ze nT ll I ' I . ;

~ I

Ai. ~ = ;)V : K , ' t , _ _ _ b _ , . _ t _ _ : 1 v. V . I'( x) ( 5_ 1 ~ )Aceste ecuatii de deformatli sc referli fi e la valoarea s~getll 'in drepml

r ee ze me lo r, f ie I a v al oa re a r ot ir ii . s e q i l l l l u u in lncastrare.Ecuatia de d e fe rm a ti i l eg a le d e d e pl as ar i S 'C r na i H I ,) aI Cs cr ie IOUa ju to r ul eClfari 'ei

celor trei sagef' - care so objine astfel:> - s e s cr iu s1lgcri1e. corespunzatoare e el or t re i p un ct c i. j. k a u la !e I I! d i st an tc le ; ': xfrespectiv Xt d e C>1p~ 1 II 1a re i ( fi g. 5 .5 ):

E lw , = 4> (x, I i i - E{~,;x, -I- Elw, IL ,elapa (5_4)devine: (5_6)6E(W~' - "' " . ..w"., -11. ).. 6 ( S :- , . . . S ~ ~ , ) . . . M.- ,v . ..lM"b. .. M"b~, J .. } y f~ , b o " ~ 0

b. b",., b.r, b~,J~, t, 1 . t, t: t.;Aeeasta se numcste eeuosia celor fro. momente san eeua(fG [ui Clapeyron.Elw, = ( x , ) + El({!'.(x, +L,}+ Eiw;st; = ( x . ) + EJrp.(x,+L,)+Elw,

I-{L.+L)IL , (5.121

> - se ""mplif ic~ f iecare dil l eele trei ecuati i ,IIexpresi ile din dreaptasi se ad ll ll ilrnembru ,U memhru, iar dupa reducerea tcrmenilor ascmcnea se obtine eCIIG{iacelor Inn' sage/I:

E 1Iw ,L J - wiL, + L,)+ w , L , j = 1>, , -4>/L, + L,)+4>,, , ( 5 _ 1 3 )unde < P i , < P j . < P , sunt Jimcfiile de incdrcore calculate in punctele i, I. k

corcspunzatoarc sccliunilor aflate la distantele x; V r es p ec ti v x. d e c ap at ul i J~ .r ei _Ultima paranreza reprezinta suma reactiunilor din reazemul n pentm barelereciproee corespunzatoare celor dou a tronsonne de lungimi IJ. i b.+I.Reactlunlle din reazcmul n S~ determina prln suprapunerea efectululcelor dOlI~

scturi de reacpuni corespunzatoare fiecarui trouson:v=v +M._,-M,+V +M~,-M. uncle: (5.8)rr!ll b~ n:J b F r + 'V." V"" sunt reacjiunile din reazemul " ale sarcinilor extericarecorespunsatoarc celor dQna tronsoane de hmgimi b. ~i0,+1,V,=M~.,-}vf,_ V,=A1 ,-M" (5_9)" b. ' " D " . L

sunt reacjiunlle supllrnentare datorate eelor trel momente M ._" M . M ,pentru ccle doua tronsoarc dlnrenzemul n;in cazul unei grinzi continue ou incastrarc in c~.pi\t (fig. 5.I_b) se inlocuicsteaceasta incastrare ell della reazeme situate la disranta b , , = O . Eeuatia celor trei

momente pentru reazernele Oc]-2 Ole scrie ill acest caz:2M,b,+M,f:i,+6S,' =0 (5_10)h,

17 " '- - ._ . .Pig, .55

I Ac.:-stii imt:itodii p en tt u c al cu fu l r ea cj km i l or e st e prezall!'8tii de prur . dt. ' tng, . MilLiilll . ATANASIU ;[1 lucearea"Mer o de a u af ir ic e n(ll;11 H:~St!:;I1~:.:I ntH1:eri8IdIl)T'~E.!:LU.P.B[lcure.;,tm D994


32/94

63

(5J8)5.1. Grlnda conilnu~ pe h,el reazeme rlglde punctuate sttuale 13 aeel aslnivel ca a!~:3 barel (3R)Mod el ul m at em a ti c f ol os it c st e p rc zc nt at i n f ig u ra gener1:; '4 > 1 : ; . 4 > ; s am notat functii le de incarcare corespnnzatoare sarcinilorextericare cunoscute), amncl ecuatia (5. ~6) devine:

33/94

_ _ . ( / I , b . ) _ _Daca se rnultiplica ecuapa (5 .26) cu 4 ,! se aduna CII ecuapa (5.34)mIlH"plk~t1!u (2!,} eliminampe Vjsireznlta:

r :[hJ_b,(/I + z , + i> )~ b; + (h , -I- b ,) (o , +O , )~ . (Ii, +h,+h,Yb,]+L4"'4 4/1 4b0 1 . ~ I

65 66 - V,b. tb -I- b ) - 1 - ( < 1 > _ V , (h, -I- b, r _ v,b; )0 = I)- I t ::;:- 31 6 l a . - ~ . -::!J 6 6 _ ; ! ,[ of > _V,.b.:)h - ( < f > _ V,(b ,+ b,f_ v,b :](1 ) + b '+, . ( ) . " 6 - 6" /

+ ( < f > ~V ;( b, 4 -b , + b J ' ~ V;(b, 4- b ") ' ~ V ,b ~. J b = 0~ 6 - () 6'

f,e-

j!;,d,1'.-. P,hp~i

.~rl r r r11.1 1 . , 1 .1 . 1 . 1

L~ ~~, L~ L~ 'i-N, L::"_3 ~t:-ib J~/ ' b_ , f'~ b v ~ f e

fig, 5.7

Dad se !lot~aza in ecuatiile (5:'19) ~i(5,21)) :.4,. = " ,o ,

atunci ccuariile {530} i {53 I) sescriu astfel:V,b:(b, -I- b.} V , ( / I , + h,)' b , V,b:b,= -A.6 6 6 _.

P en tr u d et ermi na re a r ea ct iu ni lo r s o: c al cu le az a m a l tn~i f u ll c !i il e d e l n ca r cs r eale sarciniler exterioare ,pIg, ; s , iP.fS, ~UI1!~ tuturor [ortelor exterioare cu sensulpills indicat (Us.!.). suma mornentelor nrmrcr sarcinilcr exterioere fai~.de reazarnul 4en sensul plus trlgonometr lc (sensul axel Oy) : LI.1-s.

Penrru determinarea color patru reactiuni se folosesc doua ecuatii de eehilibrud in M e ca ni ca .~idoul t e cu atii d e d ef or ma pi, d Llp ll c u m u rr nea za :

V,b: c V ,(b , -I-b ,) '(b , + b.) V ,b :{b , + b,)-6'" -I- 6 -I- 6 -_ II; (b, + b, + b . , ) , b,_V, {b,+ b " f b, V , b ; I" ~=-A

6 6- 6 H

rz;! =Vj+V"+V$-I-V,L W ~ , ,= V r( b 2- 1 -b J -I -A J+ V d b ,+ b J -I - V J (b J '

(5_25)(5_26)

Celclalte dO~L~e,:mllt ii se scriu apticilnct eellaria ceior (rei s(lge{i pent" , oelcG O U a tripletc de reazcme /-2-3 * i 2 - 3- .{-

El[w,b, -w,(b, +b,)+ w,b,] =4>,b, -4>,(/1, + b,)+,b,El[w,b. -wlb, + b,,) + w"b,] =$,b" -,(b, -I - b,) + $,b, (5.27)(5.28)

uncle dacii se inlocniesc valor ile saget~!o" in rezemele puncmale r igide ( toate suntnule) ~.~valorile pentru functille de tncarcare din reazeme :$, = 4 > "

_ V ,b; .~ ". 6'if> =4> _ 1 1 ; ( 0 , +b,Y_ V,O;.", 6 6 .

of > => _ V,{b,+b,+b.)'_V,(b,+b.)' _V,b~'), 6 6 6

D ~ I - t- ~ . (" ~3 ) ( 3 ( b, + /I,) Ja ca s o: OIUtlJliC.a e cu ap a -'.~ (;11 - h,b,GUS) , el immam pe V,~irezuW' reactiunea VI:3 (b, -I-b.) A _ 1.5 tI -I- b,b,, , itI bh ,-, b " 4 L ..V =1 ~ ..'b, b](0,75b, -I- b,)+b,(b, +b,)

Jnlocuind pe VI in t~i~fia (5.22) vom oblin" r~act.~lIn"a.:

(530)

(5.311

(532)

(5_33)

(5.34)

(5.35)

(5.29)

ecuatiile (5.21) ~i(5.28) devin:

(5.36)

34/94

5 .3 . Grlnda ()6nt inn illca~trati la uu ~> lp~i ~i ~Ituaiili pe ~nr'ellZCI1lpunctual Ia aceia~tnlve! euaxa bnel (l+R)Mooch!1 matema ti e fo~~ , si t es t e prezentas Inrig. 5,8: 0 baI~dre!ipLiide sectiunc

constanta pe illI!gimea S", t~ca~l:r. lt li la un capat s i s it \!~t;l ipe un reazem punctual laacelasi n i v el c u l n cn s tr a rc a c ar e e st e s u 'p u s~ l a i nc o nv o ie re s ,~mp ta p ri n a ct iu n ea u n orsarcini cunocute ca module, direcjii si pozijii pe ham" astfel:, ~ dou ll f o rt el e c once n tr a te Ph fin a et io n an d n o rm a l p e a xa b a re i ' i n p l a nu l p ri nc ip a l,I~dh!:(1n!d,ed, ~id2 de ca~r!!~ barei; d(r i@sarcini uniform dis tr ibuile _ ( r M 1 . < - V . b , ) ; , , ' ,V,b,'-0.. " 2 6 - , _Ei(b,' + V. ( . b , '_ ! f ) = 0" 2 2 6

(5.40)(5.4 ~)(5.38)(5.42)

(5.39)(5.4))

sau(5.44)

De unde rezul Ul reactiunea V i , :v . ~ ~ ( r ~ l '~ : . )inl()cuind pe V " in ecuatla (5.41) rezL\l~ M i l '

M = 34\ _ : E M , .'Il,' 2

DiIJ eeuatia (5.4.0) se determine reactinnea V,,V =!!;z _ 2 .( '[ ,\ 1'" - I , , )I h, 2 h,' (5.4 7)

(5.45)

(5.46)

bu

I'll r rfi~.5.8

5.4. Grlnda con t ilm i l i l lu : s tra t ii . la UI I ca.p~j ! j i i situatalle d{)ui i . reazemepunctuale la !Iccl:~ nivel CIl axa uan:i (l+1R).Modelul maternatic folosit este prezentat in fig. ),9:. 0 grinda continua

""castrnt~ ~3 un ca( l~L~i s ituata pe doua re~zcmcpuo.ctll"le ~3 acda~; nivefcuillC.~5.tl:~[~~, ca re es te SIlP!lS~ l a inconvoie re s i:m[l !~ prin ~c, iunea unor sa rc in icunocute ca module, direcjii sipezijii pe bara, asifel: dou! i for te t e conce rur a te Ph Pi- actionsnd n o rm a lp e a x a b 'a re i i n p la nu I p ri nc ip a l,IIIdistanjele d, ~id, de capatnl barei;> - dO'~I~~a rc "niuni form di~~d1r~I~ t1OJ, q !eunocutc ca module , directii s i p o; oi li i p ~ .

bara, actionsnd normal pe axa barei I n 1 ' 1

35/94

70

. _. .6 ( 4 ) 1 ' ( . 2b, h I ) . I l , " "~ ' . patru resctiuni din l:Dcas!mre~ireazcmcle punetuale rigidecu core baraeste I.ega!.de medial f ix, sub forma fortelor V;. V" V o , si a momentulni dill lncastrare M " ,ClmOSCIiI~ca direetii s i po z it i e Debars, dar necunoscute ca module,

(5.551se l[lloellie~tc 1 ! 1 , . , in cxpresia {4~)~irezulta V , , ;V za 64" ~ 18 ( 1 ) , , ( , ,, lb, io!iJ",~I;',;;r ~ < ) , , )

u b,' b,Ob, +4b,} b, . to , b, 6'" b,S~ inlocuieste M, si V" ill expresia ( 5 .531 ~iNZL11.m V , . "

V , =~~M> , -M, -V.{b,+b,)~I

(5.51)

b, b, 'C_Q PI pt n " ( - ' q, q,~ ;T.T.T; J;T.T.: T . T . T : r . T . T .-, '-. ~ ~ < i ~V* V, V,ii" ,,{!tl'

el 11 .. . n

(556)

Sotnlocuiesre V. i V,in expresia (5.48) i rezll~t~ V :V,= EZ,! - v . - V ; (5.581

5.5..Gt~odacolttti!lua tll~'uttata la ambele capete f:ita reazem Intermedlai- (21)Modelul metematic folosi: este prezentat ill fig. 5.9: "grind~ continub im:~slr~~ la

III!capat si silliarn pe dOIl~reazcme pnnctnale la acelasi nivel cu lncastrareacareestc supnsa la lnconvolere s impla prin actiunea unor sarcinicunocute ca rnodnle,directii si pozitii pe bar~. astfel:~ dow l fortde concentrate Ph P1. actionand normal pe axa bare, inplanulprincipal,

IDdisrantele d, #d" de capatul barei;~ dmlii sarcini uniform distribuite ' I I> 'f 1cunocute C~module, di re c ti i si pozi~ii petara, aqi"lland normal peilxa barei in planul principal'. d ou a r no rn en te c on ce nt ra te d Cl pi 'i Jx a Oy: N j, N; c un os cu te c a s en s ~imodule.'. patru I "C ; \c ! i un~d in tn ca sn 'l l. rHe ell c are b ar n e st e le ge l1 L de m ediu l fix, sub form afOf\clor d~D]iieaiiMiii" lV,. V, $i a rn~,m~filelor . M " , Mr c un os eu te C i t d j fCC !~~~ipozitie pe bars, dar necuuoscute ca module.

Pentru determinnrea celor trei reactiuni . M I) , V . . V i se folosesc douh ecuatii diee ch il ib ru d in M e ca ni ca ~iurrnaroarele doom eCIlBjH de dcformatii:

EZ. J.~V, + V,+ V, (50481EM ' " ~M u + v.,(b,-l-b,) + II;b.EIw =,~ _M .b ,' _ V "b~= 0, " 2 6-

(5.491(5.501

V,{b,+b,) ' _ V,b~=0() 6 (5.511

Din relatia (5.50) rezulta V" in functie d'~ M" iar dill relatia ( 5 .491 ' r c z ll i ia \7 ] intil'llc~~ede M. ,~iV,,:

V = ~ ( M " " - 3 M ) (5.52)-u b , . . b . l . U,L

0 fl :;~I. MJ'II (11 ~r ITTJJJI : ; r . r . : r ; : r ; : r . ~: : : ! '-' '" ~V,. " ' d . l Vj; n. . "I i!2~: eI fJ

oJ F jg _ 5 .9f2

(553)

(5.54)

36/94

/IPentru rezolvarca sisternului de c lo u o ri s ta ti c n ed er ermln at s e i1:p~idiccuatlllede echilibru din Mccanjea: bj b,

M. P! IP'rN1 ? ' q, (h M* ::tITIIT ~ ~dl '-t. '-. ~~ ~ ViI;.,I el ~,l

elI " 1'1

tz, 1", If, -I- v ;r . ,W I, ca M, -t- M, +)-',b,

~j urmatoarele douaecuatii de dcfonnatij:Elw =0=1> _ M"L ' _ V ,L ', "2 6Efo -0-1>' M.L ~,L''i', - - '1'-'-1---2-

(5.59)(5.60)

v(5.61)

(5.62)Din ecuatiile (5~61) ~i(5~62)rezrtltarcactiunile V. ~iMil:

V : i_ ( < l > ' _ 2 4 \ , ) (L ' -" L 5.6.3)M = ~ ( 3 ' J (5.64'l! L. L - It . J

Dill relatiile (5.59) 9i 1'5,60)reznltareactiunile 1' / ~irespectiv Ml:V = E Z J, _ ~ ( ' _ 2O P ,,) . ( . ,, , L' I' L5.651M =" M - ~ ' -I- 6" (5.66~, z: " L " L ' 'J

fill. 5,10EZ, ~1=V. -I- V, -I- V,E , M ~ . , ~ Nt, + 1.1, + v,,(b,*b,)+ ~b,

p r ec um ~ i YTm~ t \) a rc ~ c tr c] e CWi fi icvidcnt e de d'cfo["'~tii;Elw = 0 . . 4> _ ., 14 .1 > ,' _ V , b l

~ 1 ,. 2 GEI -0-" _rlo, + l i , J 'W- -,..,." 2 VJOI +oj6 1';0;(j

5.6. Crilnda contlnuii tn.caSlralii la ambele capeteeu un reazemIntermedsar puodll,al rigid la acela~i nlvel eu 3~:abarel (2[+R),Modelul matemar ic folosit este prczentat III tl~. 5.10: o ~il lda continua

il\C " 1>'" 1>JI>, +31>0)Jn b, b,(l ,+b,) (l ,+b,) N b - ,M = 2 4 > " _ 3 4 > " -I-_____!';,_ + 4>,lb, +30,) b,' II/b, -I- b,) (b, + b,) b,'b,

V,=b~iIl",-2'(b,-I-b,)M.-(bJ +b,)'v"l,V, =EZ , ! -" :" . - V,,'M, =LU " - M.-v,,(b,+b,)- r,b,

(5-


37/94

73 746.2. TensIon! ~i deformatl:i i ii bara sol'icitatii la tiitindere-compresluneS e e o ns id e ra 0 s ec tiu ne tr an sv er sa la p rir nr -o I l~ fii s olic ir ata L a i ntin de re 1 3distanja x de cap~t\l1 ei ~u II ll e lcmt d in aces taa b id de lungiue dx , ca ln figura 6 .3 .

Ti,, ' ;ild s cama de i]:lo tael" de hazE ale RezuSlei\!c1 Mlilet, alclo. (ipofeza lui Bernoulii,i po tcza val ab il il ~! ii l eg ii l ui Hook" ~i principiul suprapunerii cfcclclor) 1mb "'Ii\lnc asarcinilor exterioatrc asupra barci, sl!lpf;If~~plana AA ' (illainte de aplicarea sistemuluide f or te ) r amR ll ~ tot p lanas i perpendicn la ra pe axa bar ei AlA} ~,idllpli aplicareasistem ulu i d e f orte : d eci orice p un ct a l s ec pu nii suferll a ce le as i d ep la sa re , a di cadeformatiile .Ndx)al~ d if erite lo r fib re ale b ar ei s un t ac elea si, deci defonuatiiles p~c i ffC~ pe ll tm e le mc nt ll l d e b ar ~ sW lt co ns l1m te ( fi g. 6.3.a): E=mnSMnr (6.1)

A A,

CAPITOL lJL VIINTINDEREA ~I COMPRESIUNEABAREWR DREPTE

6.1 Genera l i t a t iD ad asu pra un ci bare drep te sc aplic~ un sisrern de forte pe d irec tia ax el,

anuOlc~0 p or ti un c a ba rc i c st e soliciLaLill~ intindcre c an d c fo rt ur il c a xi al e sun t 1" )2 . il ;1 I e~i ea I~ i rnarestc l un gi me a ( se I un g es re ) ,~iste wiicit.~ta la compresiune a tu n ci c an deformrite a x ia le s u nt pozitive ~iea !~imiqore=~ lungirnea (000 scnrreaza) .

I nt r- o s eq il lJ l. e t ra ns v er sa ls a b ar ei e fo rt ul a xi al p e f at a I lc ga ti vl \ ( di ll d re ap ra ,c or es pu nz ato ar e s en su lu i d e parcllrgere a l b ar ei a ce la si ell s en su l a xd Ox) sec al cu le az s c a s um a r ur ur or f or te lo r a xia le c e a cn on ea za a su pr a p . 1 l r f i : i d i n s t il ng ," , . ~ a : rpe fa~ pOLilill~ (din sL~Olga, co..e;;puni,\\tQ~rcsensului dc parcurgere al barei opuss en su lu i a xe i 0 0 ; s e ~ !'\I IG i.lZ .i c a s um a tu tu ro r f or te lo r a xia le c a ctio ne az a a su pr ap ~.r pi d il l d re ap ta . D ia gr am a d e e fo rtu ri a xia le r ep re zin ta v ar ia ji n e fo rtu ri lo r N pel un g im e a b ar ei ; N ~ N6:), a ~a cu m es te reprezenrarf d ia gr nm a d ill f ig . 6 ,2 p en tr uc am t ~ are ~ nrezcntate in fillC.6.1

N NA A,'

x ax - - - - - 1 ~x)--- o x" .. fig .JC on fo rm ~e gii lu i H oo ke in tr e te nsiu nile n orm ale ,~i d e fo rm at ii le s p ec if ic eexist~ relatla: u~ E e , llnand seama de (6 .1) rezuM .c~ tcnsiun lle normale pes up ra fa ta s ec pn n ii s nn t c on st an re (fill. 6.3.b): o=constant (6.2)

E fo rtu l a xia l c lc mc nta r in tr -u n p un ct o ar ec sr e a l S(lC!'UOliieste prin dc fin i' \: i c : :dN=(HJA

~Rr,efor\1i]1a x ia l t o ta l se sorie : N= fadA=crJdA~(J. A, , (6.3)(6.4)Nc;,=-A

Re la ri a ( 6 5) s e l I~ i. ~i ze az ii pe n tr u c a lc u le le de r ez is te n ta l a s o li ci ta r ea s im p l a deuO .L indccc ,c( Jr npr e sinnc as tf e l:

d ec i r cn si un es n er m al n e st e: (65)

t , ~ . ~ r " " " ~ p l l l l l l l l l . l l l l l l l M 1 1 1 1 1 1 1 ' ; ;. P ea tr u c al cu lu l d e v er il ic ~r e; (J =!i : ;;J- II unde N este cfortul axial maxim iar a,este rezistenta admisibila a rnaterialului;(6.61I'i.g.6.2 N> Pcntm calculul de dirnensionare: A~. (6.7)S e o b se rv e d forma diagrllmei de e fo rt ur i n u depinde de s ec ti uu e a b a re t ~i[lidde sensul de parcurgere ~Iei, Pe trousonul 0-1 eforturiledin bara sunt pozitive (N)()),

d ec i p e a ce as ta p or tiu ne b ar n e ste SllPUS~ la ln tin de re , ia r p e tr on so an ele I ~ 2, 2 ~ 3, 3 ~4e fo rm r ll e d in b ar li s un t n eg at iv e (N Pcntsu ca lcu lu l S " I'C ln iU cap~bi t e: N_,. ~(J.A (6.8)


38/94

7SP en tr u e xe mp lu l c on sid er at I II fig. 6 .1 , in ta be lu l 6 .~ a ve m v alo rile te ns iu nii

p en tr u f ie ca re tr on so n ( se c oo sid er a e un os cn te v alo rile f or te i P s i a le s ec tiu nii A )TabclulS.l

76[ lI la be lu I6 .2 s um d ate v al or il e a ee sto r d ef or ma jii p en tr u e xe mp lu l d in f ig , 6 .1 :

Tabelul621-2 2-3 3-4-p -3P -4PlEA lE A .FA

-f\aIJEA -3PaIEA -J2PaIEA

Tronson OJTronson O'~ 12 2=3 34Elort ul N 2P -p -JP 4PArlo 4A 3A lA II

$~ctjQni'iC J PillA - r / s -lPI2A 4PlA

n~~I.:ctfJ'iplli~ c o i :i ~ idc i' :l il 1 ! i fig. 6.1., pentru r"oC~te trootSMavern; N lEA =const ~ifda!ia 6_12 s e p


39/94

77 78S e o b se rv a c a lu eru l m ecan ic e feetu at d e fo rta F este eg al ell a ria cu prin si su bd ia gr er na d e v a ri at ie a f or te i a pl ic at e p ro g re si v: F~F(II)D ad i lI1 locul barc i d e l un gi rn e e se C I > rtS id e r. e l cmn rul de lungi me a x ~i inLOCH I .fortei P cfortul N p c f c! el .c a ce st ui e lc rn en t s e DOBIe scric a n al o g l uc r ul rnecanic

e le me nta r c or es pu nz ar or a ce stu i e le me nt s ub f or me :

Considerarn c a a ce as rll b ar a s e d ila l3 lib er ~! a po i e a ,s uf er 1i 0 cornprimareaxial. C \ " ! dcfotrrt ia! ia ,1, fo t t!~ de COI t ip f ( :oc i ul l cP fHi'ld chia r f()til ' OC iii n i\ ~ li O re l ad i la t ar e a impie d i oa t a:> pentru fazade dilatare So ponte scrie: M ~aL, til ~aL(t, -t,}; ( 1 ) . 2 2 . ) _ _ . PLpentru fazade compreaume s epoate s ene: 6L '" fA

Egalind cele dona expresii se obtine:PLaL(j, -t,}=- =:> P=EA a . . . (r,-t,)EA (6_24)

(G_P) (6.23)

Lucrulmecanic total se transforms In energie potentiala de deforrnatie elasticaa b a rc i ~is e s c ri c :

r '"l.iJxL:U", JdL", r~" 0 2E A

T in in d s em a d o e xp re aia te ns iu nii ~id ef or rn atie i s pe ci fic e d e m ai s us S o p o ateSe observa d for ja axia~~nil depinde de lungimea barei , d doar de riglditatea

~~compresiune EA , t ipu l ma t er i al u lu i ~id if cr en la d e t em p er at ur a . .e xp ri rn a e ne rg ia p o (e ll li ai a s pe ci ti ca U J c a r ap or tn l d in tr e e ne rg ia p ote nl i3 ~~corespunzatoare elemenmlui de lnngime dx i volumnl accstui dement:

U =aU = N'dx. -'-=!cr. E =!.e =_!_cr'- I (JV lEA Adx 2' _ 2 _ 2E -

dU b) IHla.tarea iml)i.edicata ell joe (li.g.6.5.b.)A ce ea si b al'il d e l un gir ne L ~is ec ti un ea c on st an ra at la th i nr re d o i s up or ti r ig iz iast fel I nca t ex is ta un joe axial {j ca lUIfigura 6..5.b, este Indilzili i uniform de la

temperatura I, la t,; Se cunosc: modulul de elasticitatc E sicoeficienml de dilatarerermica G r: a ~ m ar er ia lu lu i, D o ri m s ~ dcrcrmieam foqa ~xial. ' l P ce ia nastere i l l . bar~,

S ~: u tiliz ea za a ce la s r ajio na rn en t c a la p ro bl em a p re cc de or a: b ar n s e d ila rs ,II:ti=(j- L til =oL{t, -.I,}; intr l lci ' tt bara a re u n jo c ii atunci s e p o ar c considera ci 'Ucas e c ompr irns eu.call'illltea:tlL-S= P LI E A. Egal ind cele dou5 expresii se obpne:

\ JJ .M - S= PL =p~ EA[Q 'M '-~] (6_25)EA _ L _

P e nr ru e x emp lu l considerat [ n f ig , 6, I e n er g ia pO le !l ll al ~ t ot al ~ ( 6 ,1 8 ) s e s c ri e:L=U = i iV' dx = 4P ' O ja +....!'!!_+ 9P'2a + 16P'3a =347 P'a (&.20)

o2EA 2E-4A 2E3A 2E-2A 2E-A 12 EA

Obscrva t ie : I'cn!IT! t il :; :: S /Q .L v ii lo ri le f o- rL ci ax ia le d in b ar ~ nc~ SliD! negat ivelt$8 cum=~dlil din relatia (625) cisunt nule , '6.5, Problcine static ucdeteruunate de i!lti_ndere ~ieompreslune

6..5.1. Dilararea impicdicaUa) Oliafarea Impiedlcafi I ,h,~ j l )C (fig. 6.5.a.)Sc cons idc ra I>bard d e l u ng ir n e L ~,s(:qi\lne cOIl$tanta A f i xaU \ in tr e d o i s :u ~ oq . i

rigizi C~Ie c st c I D ci il zi ta ll ni fo nm a st fe l i ne il ! t em p er at ur a c re st e de I~ II la f~c ScCLlUlOSC: rnodulul de elasticitate E ~icoeficienml de dilatare tennies a "I materialului.D o ri rn s a d et er m in hm f br ta a xi aj ~ P C~ i a ua s tc r e ill b~tii

6.5.2-. Barn dublu articulata eu sectiunea omogell8( fig. 6..6}S~: eonsidera 0 barn articulata la am bele capete de lungim e L i sectiune

c on st an ts , s ol ic it at a l a d is ta nt a (I tarA d e c ap ~tu l d ill stan ga cu 0 f or ~ a 1( ia l~ P ( fig ,6_6)_ Dorim S a d c te rmi n am v . lo r il c t e; tc r iu f ii lo r d i i' l cde douE articulatii.

L o p ri ma e cu at ie s c s cr ic p cn tr u c ch il ib ru l f or rc :l or a st fc l:HI +H,=P =() (5.:l6).


40/94

79A d on a e eu atie s e o blin e dun c on di ti a c a d ef on na pa t ot aH 'i a bare i s.[i fie nuJZi :

e o6.5A. Sistem plan de hnreparaleta (fig. 6.8)So consi der s 1 1 1 1 s is te m f orm at din 4 bare L, = ilL. (6.32)aH =p-I! :- a l. (5.30)

6,5.3. I llata de ~ecfillJJe lI_eomugellii solicitola la cumpresiune (fig. 6.1)Se cocsidcra 0piesa de Iungime L (mm) si sectiune Iwomagerra ItHmat5 din trei

piese din marer iale difer ite (de exernplu doua tubuti din alumiou ~icupru ~iuncilindru din otel), solicitara la comeresiune eu 0 forf~.axials P ( fig. 6.6}. Dor im sad etertt1 jn ~~1 Jl. v alo rile fo rte lor p relu ate d e cole trei p iese llv lin d rigid iW lile lac omp re si un e r es pe ct iv E,A,. E2A, ~.iEyl3 , ia r tu bn fl in te rio r e ste m a~ sc m'! d ec ariJuHmlexterior eu S ~ibolled interior mal lungdeclit tubul cxterlorcu S(m.m).

~P

E,A,p

o prilIla eclla\ie se scrie pentru echilibrulfortelor astfel:(6_26)

LA doua ecuape se obtine din conditia dinrre deformatiile color doua perechi dep i co c e xi s t il r t# \ i i le:flL, = flL, - Iii ! . L , ea 61., +8 a (5.27) v

Fig 6.1Deformatiile celor trei piese se scriu:i ! . L , = J N,dx = N,L - !J.[ = N,L ..,E,A, E,A,' 'E,A,' c N1l.llL,=-.- E,A, (6_28) l'ij!_.6.S.N,L = N,L -6;E,A, a,A, (5.29) ss , = N,L,'E,A, c.L = ,V,L , i lL , = N,L ;-, E,A, E,A, (6.33)RcruWi un si stem de trei ecuapi (6.26) ~i (6.29) din! C~T-e se oblin valorilefortelor axiale N1, 1 1 ' ; st N J a le c el or t re i p ie se , i li loc u li nd In relaluu!e. (6.32) s e ob t ine :


41/94

:=..: ~= ~E,A, lE,A, 3E,A, "E,A,Rezulta l in si st em de c inci ccua ti i (6 .31), (632) ~i (634) d in ca re se obt invah}d~ereactiunii V ~iafortelor axiale Mi, N" N~.~iN, dill .:"1,,4 bare.

Se considera emsistern format din 4 bare av3nd.aeeeasi lungbne L i aceleasif'lgidilali la lntindere EA . f ixate launul dincspete de 110 perete fixiar la celalalt caparde 0 placa rigida avind dimensiunile a X b en in fig. 6,9. lntr-nn punct al placii decoordonate A(x., _ V A , 0) acponeaza a forp P. Dorim ~~determinam fortele axiale pecare Ie preiau o"I~4 bare. Se pol scrie ~reiecuatii de echilibru din Mecanica:

EF ,=O .. Ni + N J + NJ + N. - P = ()I:,Mar=(j: N, b + N. b- P'Yo=O

Ultima e'll~jie Nmmdill conditia de deformatii si S~pcate scrie !i[l~I!dseaman: . la l i a georne trica ~'rDde!l~dintre cele palm deformatii:

llL,", llL, llL, -a.M, ~ N, + NJ = N, + N, (6.38)2 2

6,.5.5.Sistem splilial de bare pamlC:le (fig. 6.9)

EA L t: EA

x

A ~~~G r ~ - L , - . - - - - - - - - - - _ , I - ( d L - - , + - d - L - J a - . - - - - ~ j ~ L ~ . IB

(6.34)

(6.35)(6.36)(6.3 7)


42/94

34In Fig ura 7 , I ~51;e p re ze nta t c az ul u nu i a rb or e CJT,e p rim es te f lu xu l d e p ute re la

m a ra I a va nd cu pl ll i M " ~i11 transmite ill doua sensurl la rotilc 2 , 3 , 4 prin cuplurlleM , , ,, M;."rcspecl'v M ; . _ Este v~l~bil" rclatia: M ;, =M;l+ M ; . ' + M;,.CAIP[TOLUL VIIRASIDCIiREA BARELOR DREPTEDE SECT[UNE CIRCULAR:A s] INELARA - - : 1 ( - ~~I---------- - ( - - - - - - - - - I - - - - f - - - - ' - - - - E - - x--. - '- M,1 M"..._ M"

7.]. GeneralitiifiAceasta solicitare este specifics barelor de torsiune, arbor iler , arcur ilor , etc .

Pentru un arbore care transmite 0 putere d~mP, avand turaiia fI' (rot/min}. C:/lpbd sam om em ul d e r as uc ir e M " s ec al cu le az a c u e ju to ru l r el at ie i CIl!!OSCllt~ d i n Me c an ! ca :M" =P/w (7.1)nnde: r o~2 )l " 11e st e v it ez a u ng h iu le ta a a rb or el ni .i n S ls te mu l International de untillt de ml isu rn m~ .u : il iT l il e d in r c la ti a ( 7_1) all

dimertSirliliic' [M,L" ,=Nm; [P]w=W=Nms-l; {(l)jw=".-1; (7_1)T i na n d s e ar n a de lll l il i i l ile de mllsllIilll~iiizall) e u re n t i n c al cu lc le l ng i ne r es ri :

[Mi]M Nm; {PI- kfV; [ roJM min"; ({n l- ra j/min)'.i _ _P 10 ' _ _ JC lC lO O ! _ _ _ ' 5 ~ 4 9 ~j Pre[aiia (7-1) devine: "" 7 ..,"2ltn n" - n

00

(7.3)

:!n F ig ura 7 ,2 e ste p re zen rat c azu l u nu i arb ore c are p rim este flu xu l d e p uter e lareala 1 ilV"ti(U cuplul M ,J ~i II Iran.mite 1,tlC4lti .iiigm "ei\S 1. rorile 2, )', 4 pt1ticuplurilc M ;" !W,j , respccliv M d- B.IC valabil1\ $; aici rcl~!;.;

M,J = M,J+ Mi,+ Mi.

(7.4) 1.2, Tensinni tangentiale ~i deforma,{i.i la rasucireSe considers 0' b~f.l df\:~pt.'i.de sectiune coustenta (circulars "all inelara) de

lungirne L solicitata la rssu cire la c ape te le 'O i d ~ m om en ru l M ", Pe IlI JlU u su ri nj as t ud i u lu i t e ns i un il o r ~;ie fo rm a ti il er s un t n ec es ar e u rm a to ar el e i po te ze :} - lpoteza lu i B ernou lli - 0 sectiune plana ~ino rrna la p e ax a bare i ram ane d llp adeformarea ei tot p1al1~ ~inorrnala pe axa bard;" 0 t"lea de gcnefiifoorc trasate j)C supti\ra~ e:xleriOafiUil barc i d~ii\clr.ice devine ore tea de Iiaii elicoidale dUllii dcformarc iar cereurile nu-si modifica forma( llg,7J .~). astfel locat IIIl element de velum dV din vec inatarea supra fe jeiexterio are d e form a unui para lelipip ed drept dev ine d upii deformare unp a ra la li p ip e d a v fi n d mu c hi il e lndinate cuunghiul rf~liie


43/94

35

~ I H I I I I I H I I I I i T i j lilta,c.

Fl".7_3 b.unde; a~ ~ CS[~ r l is nc in : a spc ci f1ci 'dx

"f - l un e ca re s p ec if ic a ( v ar ~ a, ia nngiului d e l ti 2 ) ( f il l. 7 _ J . h) ;R el al ia ( 75 ) d it il TC [ e; ;s i\ lt ii ~idcr(}i':tfJ'i!l\iauligliiill.tii so; salc~


44/94

57 88L = Y M , o#

u(1.17) S ~ au u ti li z nt u rm a to a rc t c n o tn ji i:- R rBZ


45/94

89

M.APITOLUL VIIISl'UDIUL DEPLASARllOR PRIN METODEENERGETICE

r P_ . . . [ : ': ;~ : =; '. ~~~ :' :- :' :-: '::":::":'c:~~.:~i1t;: '~

M,..- - - .~\

l> .a,

F' 1l - 8 .1Daca la capete le unc i bare drepte de sec tiune c irculara ac tioncaza d te lin

mcrnent de t or si un c c ar e ereelt p ro gr es iv d e 1 1'1 ze ro la v alo ar ca m ax im a M., "fundlucrul mecanic al acestci forte sc scricanalog:8.1. 'GeneraIit.!i,iin cazul solieirllcilor corpurilor Iiniar elastice, se poatcconsidcra Q a luerulrnecanic produs de fortele exterioare se acumuleaza integra! sub forma cleel1ergie

polfm{i'a:li'i de d40mlalie etastict: Folosind expresiile analitice ale energiei potentialcir n f un ctic d e e fo rr ur l, r en siu ni s i deformatf se eb jin relatii care p oi serv i I~ stu diuldeplasariler ~j deformatiilor , s is temelor s tatice uedcrerminate, vibrati ilor , etc .Melodele de calcul COlt ' eul i l. iZC!i2il ,cxprc . i il " i i ecgic i j Jotent ia le de d c fo o oa ii c e ta sl ,d isc numesc rrw((xk '!f!rg!'(;",,,.

Expresiile energiei potentiale de deformatie JI l cazul bare ] dreptc sc ri se infunctie de cele patru tiputi de eforturisecfiouale ale sunt date in I

46/94

91

F, F,

- --_ . ....._- r..... ._ _.----------... "'_"---1I1j

b.F i g. 8 . 2

S.5. Medoda Mohr-Maxwell pentru ealeulul deplasiirllor&.5.1.Calenlnl deplas:ll'il6r la solicitarea de Intlndere cempresiuneSe consi der s I) b~rn d re ap ra s ot tc ir at a a xi al d e c el e d ou a s t. \i .r is uc ce si ve : p ri ma ,s tar e a de tnc arca re r eal da l1l, a doua se c onsidera stares de roc ~r care e n 0 forj~

I ln tl :a ri l apl icat a i n scc ti unea i n care dor im s~ cal cu lam deplasarca 1 h corespunzatoarecap"'l :nlui A al barci

a ,S ta rca Id . i",,",,,ar,,p 3l P /'L 21 '. . . . . . . . . . . . . _ _ _ . . . . . ..

t l bb. StarenZ de ini .' :~ rcare.

~~ ~A~

~2.-. .~I . , .Qid

(8.3)

dL" = N .~ ( L " =r VndxEA , EAund'e L\(dx)= ndx este deforrnatia elementului dx s ub actiunea f orte lor din aEA

(8.121

dona stare,

(8.9) Egali iml cele dOlI~ expresii (8.11) ~i[ 8. 12 ) s e obti ne d ep la sa rc a c ap at ulu i b ar e]c ar e c o i n ci de ell d ef or ma ti a I ot a 1~ a b ar ei :

( Il .! 0 )oS = s e ' " J Nn dxA ,F Acare reprez in ta expresia ma te rnat ica a me tode i Mohr Maxwel l de calcu l a

deplasarilor la tntindere-compresinneim . cazul in care dorim sa ca~Cllmm d epla sare a I n a lta s ectiune, s e aplica I n

s ec pu ne a re sp ec ti ve o f oJr t1 l a x.i al~ egnl~ CII u n it ar cn . . D a ca rezulaml o bt in ut e sr ep oz it iv , a ru nc i d ep ls ar ea r ea la co in ci de c a s en s C II s o ns u l f o rt ei 1 I 1 1 i l a r C aplicate,

(8.13)

A ce as ta r ep re zi nt a e xp re si a t eo re me l I "e ci pr o( it ii ~i i deplasatilot (M.axwell) ~:iare urrnsrorul enun]: Deplasorea produstr in seer,"nea 1 a unei bare dind


47/94

93 94ca lculul s ~getii (f 1.gJ !.4_b) sa u cea cores punzatoare unui mome nt nnita r a plicat I nsectiunea don!!" anmci ell.adse doreste calculul rotirii (fig_SA_c) pc direcria depiassrii(fig. K4),

- lucrul mecanic produs de fortele /ouplurile din prima stare pe deplasarilep ro du se c up lu l d im . a d ou a s ta re d e I ll c. 'l rc ar c e st e:

dl: =M _,./,''' . M m;'W .- ~ L =JM ,m :dx (S.18)""" ,W\j' .1 "I, 1unde d Iv = ' m;,lx este ronrea felelor elementnlui . ; 1 ) ; ' sub actiunea fortelor din aE1d ou a s ta te , E ga U\ nd cdc

Elemente de Baza in Rezistenta Materialelor Si Teoria Elasticitatii

Documents

Transcript of Elemente de Baza in Rezistenta Materialelor Si Teoria Elasticitatii