REZISTENTA SI RIGIDITATEA - ELEMENTELOR DE TIP BARA1.ELEMENTE SOLICITATE LA INTINDERE SI COMPRESIUNE CENTRICA1.1. INTINDEREA SI COMPRESIUNEA CENTRICA. DEFINITIE; EXEMPLEIntinderea/compresiunea centrica este solicitarea simpla n prezenta careia, n sectiunea transversala, interactiunea este exprimata printr-o pereche de forte axiale (fig.3.1).

fig.3.1.O pereche de forte echilibrate aplicate pe o bara dreapta de-a lungul axului ei genereaza ntre punctele de aplicatii ntindere/compresiune centrica (fig.3.2). Forta axiala N are intensitatatae P a fiecaruia din cele doua forte exterioare

Fig.3.2.In practica, ntinderea/compresiunea centrica este solicitarea caracteristica barelor grinzilor cu zabrele (si n general sistemelor alcatuite din bare drepte articulate la capete, ncarcate cu forte n punctele de articulare), numai sub forma de ntindere, ea este proprie firelor (drepte, poligonale sau curbe).1.2. REZISTENTA BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CENTRIC1.2.1.Eforturi unitare pe sectiunea transversalaStudiul geometric (privind modul de deformare). Pe suprafetele laterale ale unei bare drepte cu sectiune dreptunghiulara se traseaza un sistem de linii longitudinale (paralele cu axa) si transversale (perpendiculare pe axa). In regim de solicitare (fig.3.3) liniile transversale se departeaza /aproape (printranslatii) ramnnd drepte, paralele ntre ele si normale pe cele longitudinale.

Fig.3.3.Observatia corespunde ipotezei Bernoulli (sectiuni transversale plane si normale pe axa ramn plane si normale tot timpul deformarii), confirmnd-o (cu putin pe suprafata - vizibila - a barei)Cu privire la cele doua tipuri de deformatii (liniare si unghiulare) se constata- lipsa deformatiilor unghiulare (= 0) caci unghiurile retelei nu se modifica- prezenta unor deformatii liniare egale n toate fibrele longitudinale ale barei (l = const., deci= const.).Studiul fizici consemneaza conditia de elasticitate liniara (legea lui Hooke) acceptata n Rezistenta materialelor.Sinteza studiu geometrica - studiu fizic. Daca= 0, rezulta= 0. Daca= const., rezulta= const. Pe sectiunea transversala, interactiunea punctuala este exprimata prin eforturi unitare normaleegale (uniform distribuite) (fig.3.4).

Fig.3.4.Studiul static. Efortul sectional N si sistemul de eforturi unitare sunt masura aceleasi interactiuni. Studiul static consemneaza echivalenta dintre cele doua moduri de exprimare ale ei:N =dASinteza studiu geometric - studiu static. Intruct= const.N =dA =A,de unde:=(3.1).Marimea efortului unitardepinde de doi parametri:- forta axiala N, parametrul global al interactiunii din sectiune, masura solicitarii- aria A, parametrul geometriei sectiunii transversale.I.2.2.Proiectarea de rezistenta a sectiunii barelor ntinse/comprimate centric1.2.2.1.Conditii de rezistenta. Verificare; dimensionare, capacitate portanta. Conditia de rezistenta impusa de metoda rezistentelor admisibile (1.1) devineaRelatia contine trei parametri; ei corespund celor trei factori care apar an procesul celor trei factori care apar n procesul proiectarii sectiunii:- solicitarea, exprimata prin forta axiala N;- materialul, exprimat prin rezistenta sa admisibilaa;- geometria suprafetei sectiunii transversale, exprimata prin aria A. 737h72hDupa felul n care acestia intervin (ca parametrii cunoscuti sau necunoscuti), proiectaread mbraca trei aspecte: verificarea, dimensionarea si determinarea capacitatii portante a sectiunii.Cele trei aspecte ale proiectarii sunt prezentate sintetic n tabelul 3.1 si comentate n continuare.Tabelul 3.1.ParametricunoscutiParametri necunoscutiRelatia de calcul

VerificareN,a, A-a

DimensionareN,aAria necesaraAnecAnec=

Capacitate portantaa, Aforta capabilaNcapNcap=aA

In problemele de dimensionare, dupa stabilirea ariei necesare Anec, dimensiunile sectiunii (carora le va corespunde aria efectiva Aef) se aleg astfel, nct, indiferent de forma ei , AefAnec.Capacitatea portanta a unei sectiuni se masoara prin forta axiala - numita forta capabila, Ncap- corespunzatoare unor eforturi unitare egale cu rezistenta admisibila. Rezistenta barei este asigurata daca efortul axial N corespunzator solicitarii (determinat n functie de ncarcari) nu depaseste efortul capabil NNcap.1.2.2.2. Observatie privind proiectarea barelor comprimate.Barele comprimate se pot distruge mai nainte cu eforturile unitare (determinate cu raport ntre forta axiala si aria sectiunii transversale) sa atinga limita de rupere sau de curgere a materialului, prin fenomenul numit flambaj*. In principiu, pericolul flambajului este cu att mai mare cu ct barele sunt mai svelte. Numai barele robuste (cu lungimea redusa si sectiuni transversale desvoltate) pot fi proiectate la compresiune n conditiile analizate n capitolul de fata.1.2.3. Concentrari de eforturiIn sectiuni transversale foarte apropiate de punctul de aplicatie a fortei exterioare axiale (fig.3.8) ipoteza lui Bernoulli (a sectiunilor plane.) este infirmata de experiment. Fibrele longitudinale din preajma axei barei, cu deformatii longitudinale mai mari, vor fi mai puternic solicitate;

*) Flambajul va fi analizat pe larg n unul din capitolele urmatoare ale cursului.

Fig.3.8.fig.3.8 prezinta distributia eforturilor unitaren trei sectiuni (a, b, c) aflate la distante diferite de punctul de aplicatii a fortei exterioare.In sectiuni transversale suficient de departate de punctul de aplicatie a fortelor exterioare, distributia n sectiune a eforturilor unitare nu este influentata de modul de aplicare a acestor forte (principiului Saint-Venant).Neuniformitatile n distributia eforturilor unitare pe sectiunea transversala apar si la variatii ....ale formei sectiunii (gauri, crestaturi etc.) (fig.3.9).Concentratiile de eforturi din sectiunile slabite de gauri sau crestaturi au consecinte diferite la materialele casante si ductile.La materialele casante bara se rupe brusc cnd "vrful" eforturilor atinger (deci la o valoare a efortului mediu mult mai mica dectr (fig.3.10). La materialele ductile (cu curgere, sau cu deformatii plastice mari) ruperea este un proces ndelungat, care se sfrseste chiar dupa ce, treptat, pe masura ce creste solicitarea, toate eforturile unitare din sectiune ating rezistenta de curgere; distributia eforturilor unitare n cteva faze premergatoare ruperii unei bare alcatuite din material ductil este prezentata n fig.3.11.

fig.3.10

fig.3.10

fig.3.11.1.3. DEFORMATIILE BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CETRIC1.3.1. Calculul deformatiilorIntre deformatii si eforturi exista legatura liniara exprimata de legea lui Hook= E; de aici se deduce expresia formatiilor specifice liniare:=Deformatia specifica liniaraeste proportionala cu solicitarea (N) si invers proportionala cu factorul de rigiditate la ntindere /compresiune (produsul EA); acesta, la rndul lui, depinde de doua categorii de parametri: modulul de elasticitate E (care exprima rigiditatea materialului) si aria suprafetei sectiunii transversale A (care exprima rigiditatea sectiunii).Cumreprezinta deformatia unitatii de lungime, deformatia ntregii unitati de lungime, deformatia ntregii bare (alungirea sau scurtareal) e proportionala cu lungimea l:l =l(3.3)l =(3.4)1.3.2.Efectul static al variatiilor de temperatura n bareO bara libera, cu lungimea l, supusa unei variatii de temperaturatose dilata/contracta (alungeste/scurteaya) cu cantiatea.lt=tol(3.5)undeeste coeficientul de dilatatie termica al materialului; pentru otel,= 1,2 . 10-5Aplicatie. La o variatie de temperatura de 30o, o bara de otel de 8 m lungime se alungeste/scurteaza cult= 30 . 1,2 . 10-5. 8000 mm = 2,88 mmDaca dilatatia/contractia barei este mpiedicata de legaturile acesteia n sistem, n bara apar eforturitde compresiune/ntindere corespunzatoare alungirii/scurtarii blocate (ca si cum eforturi axiale de compresiune N ar constrnge bara dilatata cu cantitatealtsa revina la pozitia initiala printr-o scurtarelNegalalt=lN;to.. l =,de undet==t .. E(3.6)Aplicatie. Pentru bara din exemplul precedent, blocarea deformatiilor de dilatare/contractie genereaya eforturi unitare care consuma mai mult de jumatate din reyistenta admisibila a materialului:t= 30 . 1,2 . 10-5. 2,1 . 106= 755 Kgf/cm2De remarcat ca n expresia eforturilor unitare (3.6) nu intervine geometria barei (nici aria sectiuniitransversale, nici lungimea). Eforturile nu pot fi moderate prindimensionare, ci printr-oconformarede ansamblua structurii care sa permita deformatii libere.In sistemul static determinate (cu numar minim de legaturi) deformatiile de dilatare/contractie se produc liber (fig.3.12.a), deci fara consecinte asupra starii de efort din bare.Legaturile suplimentare ale sistemelor static nedeterminate ngradesclibertatea de deformare, genernd n bare eforturi (fig.3.12.b).Podurile metalice sunt totdeauna structuri simplu rezemate (cu un reazem fix si altul mobil), cu posibilitatea de dilatare sau contractii neblocata n lungul axului podului.fig.3.122.ELEMENTE SOLICITATE LA FORFECARE PURA. FORFECAREA PIESELOR CU SECTIUNE REDUSA.2.1. FORFECARE PURA. DEFINITIE; EXEMPLE.Forfecarea pura este solicitarea simpla n prezenta careia, n sectiunea transversala, interactiunea este exprimata printr-o pereche de forte taietoare (fig.3.14).

Fig.3.14.Doua forte P, paralele, egale si de sens contrar, actionnd, la distanta neglijabila ntre ele, normal pe axul barei, genereaza forfecare pura (fig.3.15). Forsa taietoare T are intensitatea P a fiecareia din cele doua forte exterioare.

Fig.3.14.2.2.CADRUL PROBLEMEISub forma pura (sau macar aproximativ) solicitarea apare rar.In cele ce urmeaza studiul se limiteaza la cazane curent al forfecarii pieselor cu sectiuni transversale mici (mituri, buloane, cordoane de sudura , etc. - folosite la mbinarile elementelor din metal) la care efectul unor solicitari secundare este redus.2.3. APROXIMATIV SI IPOTEZE SIMPLIFICATOAREA. Chiar si n cazul din fig.3.15 forfecarea lor nsotita la ncovoiere; momentul cuplului este mic nsa si se neglijeaza.B. La forfecarea pieselor cu suprafata sectiunii redusa se admite ca forta taietoare este rezultanta unor eforturi elementare tangentiale paralele, a caror masura este un efortunitarcu intensitate constanta.2.4. EFORTURI UNITARE PE SECIUNEA TRANSVERSALAIn conditiile ipotezei B facuta n paragraful precedent (= const),T =A;de unde,=(3.7)2.5.PROBLEME DE FORFECARE LA O IMBINARE CU NITURI SOLICITATA AXIAL2.5.1. Descrierea imbinariiO mbinare realizeaza legarea elementelor ntr-un ansamblu indeformabil.Imbinarilse cu nituri solicitate axial blocheaza deplasarile relative n lungul unui ax comun celor doua elemente. Fig.3.16 prezinta o astfel de mbinare.

Fig.3.16.Niturile sunt piese din otel (rezistenta otelului nitului este putin inferioara celei a otelului pieselor care se mbina) cu forma din fig.3.17.a. Imbinarea se realizeaza prin introducerea niturilor ncalzite la rosu n gauri date n prealabil si formarea, prin baterie, a celui de-al doilea cap (fig.3.17.b.).

fig.3.17.2.5.2.Proiectarea mbinarilor cu nituri2.5.2.1. Modul de lucru. Sub actiunea fortelor P, de sens contrar, care solicita mbinarea, cele doua elemente au tendinta de a luneca relativ (fig.3.18). Ca urmare, mbinarea se poate distruge n doua feluri:

fig.3.18- prin forfecarea tijei sitului n sectunea transversala din dreptul planului de separatie a celor doua elemente;- prin strivirea tijei pe suprafata de contact dintre tija si peretii gaurii de nit."Transportul" fortelor prin mbinare (adica efectul lor pe suprafata forfecata si pe suprafata strivita) este reprezentat n fig.3.19 prin forte interioare de legatura.

fig.3.19.Se remarca echilibrul care controleaza parametrii tuturor acestor forte.Forta pe care o poate transmite mbinarea prin intermediul unui singur nit (numita rezistenta nitului) depinde de rezistenta la forfecare Rf (n sectiunea transversala a tijei) si de rezistenta la strivire Rs (pe suprafata de contact dintre dija si elementele mbinate.2.5.2.2. Rezistenta nitului la forfecare. Capacitatea de rezistenta n sectiunea transversala a tijei depinde de aria sectiunii forfecate, Af, si de rezistenta admisibila la forfecare,af, a materialului tijei. In baza relatiei (3.7);Rf = Af .afRf =af,(3.8)unde d este diametrul nitului.Pe baza experimentale, se consideraaf = 0,8a,undea este rezistenta admisibila la compresiune a materialului elementelor care se mbina. Pentru elemente din OL37 (cu nituri din OL34),af = 0,8 x 1500 = 1200 Kgf/cm2.2.5.2.3. Rezistenta nitului la strivire. Presiunile reciproce dintre tija si peretii gaurii au distributia neuniforma din fig.3.2 pentru simplificarea calculelor, volumul matizat, avnd o distributie uniforma, pe edeala, de forma dreptunghiulara, a unui plan diametral (fig.3.20.b).

fig.3.20In aceste conditii simplificatoare, capacitatea de rezistenta la strivire Rs depinde de aria sectiunii strivite.As = dtsi de rezistenta admisibila la strivire de peretii gaurii de nitag. Daca elementele care se mbina au grosimi diferite (t1ft2), aceeasi forta P se distribuie pe suprafete cu arii diferite; eforturile unitare de strivire fiin mai mari pe piesa mai subtire, n determinarea ariei As se va considera tmin :Rs = dtminag(3.9)Rezistenta admisibila la strivireagse considera dat n raport cu rezistenta admisibilaaa materialului elementelor de mbinat:ag = 2aPentru OL37,ag = 2 x 1500 = 3000 Kgf/cm22.5.2.4. Rezistenta nitului. Rezistenta nitului (forta P pe care o poate transmite mbinarea prin intermediul unui singur mit), R, este cea mai mica dintre valorile Rf si Rs definite anterior.2.5.2.5. Rezistenta nitului cu mai multe sectiuni de forfecare. La o mbinare de trei elemente (fig.3.21) forta P se transmite prin forfecare a doua sectiuni. Rezistenta nitului la forfecare Rf se va dubla, caci numai jumatate din forta P trebuie echilibrata de eforturile tangentiale dintr-o sectiuune transversala a tijei. La limita de rezistenta,= Af .af,de undeRf = 2

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image055.gif" \* MERGEFORMATINET afPentru mai multe sectiuni de forfecare, daca nf este numarul lor

Rf = ngaf(3.10)La determinarea rezistentei nitului la strivire, interactiunile ce apar la contactul tijei cu elementele cu tendinte de lunecare opuse

Fig.3.21.se considera separat; strivirea maxima apare pe suprafeta minima si aceasta este suprafata care intervine n determinarea rezistentei RsRs = d (t) minag(3.11)unde (t) min este suma minima a grosimilor elementelor care tind sa se deplaseze n acelasi sens.2.5.2.6. Determinarea numarului de nituri. La mbinarea elementelor solicitate la ntindere sau compresiune centrica se admite ca forta transmisa prin mbinare se repartizeaza n mod egal tuturor niturilor. In aceasta ipoteza, numarul necesar de nituri, n, se determina mpartind forta P care "traverseaza" mbinarea la rezistenta R a unui singur mit:n =(3.12)Diametrul nitului (care intervine n calculul rezistentei sale) se alege n functie de grosimea celui mai subtire element din pachet, pe baza unor prevederi constructive cuprinse n standarde (cu aproximatie, d = 2t). Tot standardele precizeaza reguli privind propozitia niturilor n mbinare.Desi calculul mbinarilor nituite are un caracter conventional (fiind condus pe baza mai multor ipoteze simplificatoare), rezultate obtinute corespund capacitati reale de rezistenta, ntruct rezistentele admisibile acceptate sunt determinate, experimental, tocmai prin ruperea unor astfel de mbinari.2.6. COMPORTAREA IMBINARILOR CU BULOANELa mbinarea elementelor metalice se folosesc doua categorii de buloane:- buloane obisnuite (buloane brute, cu tija neprelucrata , care se introduc liber n gauri cu diametrul mai mare si buloane pasuite, cu tija prelucrata, introduse fortat n gauri de acelasi diametru);- buloane de nalta rezistenta, pretensionate la montaj.Imbinarea cu buloane obisnuite se comporta la foc cu mbinarea cu nituri (cu rezistente admisibile identice celor folosite la mbinarile cu nituri - n cazul buloanelor pasuite - sau cu rezistente ceva mai mici - n cazul buloanelor brute).La mbinarea prin buloane de nalta rezistenta, transmiterea fortelor prin mbinare se bazeaza pe frecarea dintre elementele strivite puternic prin intermediul buloanelor. In aceste conditii bulonul este solicitat la ntindere.2.7. PROBLEME DE FORFECARE LA IMBINARI SUDATE SOLICITATE AXIAL2.7.1. DescriereSolidarizarea elementelor sudate se realizeaza cu material topit sub forma unui cordon.Dupa pozitia relativa a elementelor care se mbina, rndurile se mpart n doua categorii:- suduri n adncime, folosite la mbinarea cap la cap a doua elemente n prelungire (fig.3.22);- suduri n relief sau de colt, executate la elemente suprapuse (fig.3.23).

fig.3.22fig.3.232.7.2.Proiectarea mbinarilor sudate2.7.2.1. Modul de lucru. Se constata experimentul ca sudurile n relief se distrug prin forfecarea cordonului de sudura n planul sau bisector; fig.3.24 prezinta ruperea unui cordon lateral, iar fig.3.25 - ruperea unui cordon frontal.

fig.3.24fig.3.252.7.2.2. Conditii de rezistenta. Capacitatea de rezistenta a cordonului de sudura (forta taietoare din planul suprafata forfecate corespunzatoare unei distributii de eforturi unitareegale cu rezistenta admisibila) depinde de aria forfecata As si rezistenta admisibila a materialului sudurii,as, admitnd ca eforturile tangentialase distribuie uniform pe suprafata forfecata, capacitatea cordonului esteT =asASe considera ca rezistenta admisibila la forfecare a cordonului de suduraas este doua treimi din rezistenta admisibilaaa materialului pieselor mbinarii; pentru OL 37,as= 2/3 . 1500 = 1000 Kgf/cm2.Suprafata forfecata a cordonului de sudura este un dreptunghi cu latura mica egala cu grosimea cordonului, de sudura si latura mare egala cu lungimea cordonului de sudura. Grosimea de calcul, a, se considera, acoperitor, egala cu naltimea triunghiulara isoscel nscris n forma sectiunii transversale prin cordon (fig. 3.2.b) : a0,7 b; ea corespunde sectiunii forfecate cu aria (deci si capacitate de rezistenta) minima. Lungimea de calcul, l, rezulta din lungimea efectiva ls a cordonului prin

fig.3.26scaderea zonelor de capat (fiecare cu o lungime aproximativ egala cu grosimea de calcul a) unde sudura este de slaba calitate : l = ls - 2a. Cu observatiile de mai sus:As =l . aAlegnd grosimea unui cordon (se recomanda btmin), rezulta lungimea sa, astfel nct capacitatea nsumata a tuturor cordoanelor forfecate sa fie superioara fortei axiale transmise prin mbinare.xSudurile n adncime lucreaza la ntindere, si sunt solicitate la eforturi normale.3.ELEMENTE SOLICITATE LA INCOVOIERE PURA3.1. DEFINITIE; EXEMPLEIncovoierea pura este solicitarea simpla n prezenta careia, n sectiunea transversala interactiunea este exprimata printr-o pereche de momente ncovoietoare (vectori cuplu cuprinsi n planul sectiunii).Sub forma pura, ncovoierea apare iar. Doua cazuri sunt furnizate la situatiile particulare de ncarcare din fig.3.27; tronsoanele 1 - 2 ale celor doua grinzi (unde T=0) sunt solicitate la ncovoiere pura.

Fig.3.27De obicei, ncovoierea apare nsotita de forfecare; sub aceasta forma, tipica grinzilor va fi tratata n subcapitolul 4.In functie de directia vectorului moment ncovoietor fata de axele principale de inertie ale sectiunii transversale, se deosebesc urmatoarele doua cazuri:- ncovoiere pe doua directii sau ncovoiere oblica (cazul general), cnd directia vectorului cuplu este oarecare fata de directia axelor;- ncovoiere pe o directie sau ncovoiere simpla (cazul particular), cnd directia vectorului cuplu coincide cu directia uneia din axe.Grinzile cu sectiuni simetrice (n raport cu cel putin o axa), ncarcate cu forte n planul de simetrie longitudinal, sunt solicitate la ncovoiere pe o singura directie (fig.3.28). Este cazul cel mai des ntlnit n practica si el va fi studiat n continuare.O pava de acoperis (fig.3.29) este solicitata la ncovoiere oblica (pe doua directii) ; dar fiecare din cele doua componente Mx si My (pe directiile principale de

fig.3.28inertie) este masura unei solicitari de ncovoiere simpla.

fig.3.293.2.REZISTENTA BARELOR INCOVOIATE3.2.1.EFORTURI UNITARE PE SECTIUNEA TRANSVERSALA. FORMULA LUI NAVIERStudiul geometric. Pentru a evidentia modul de deformare, pe suprafetele laterale ale unei bare drepte cu sectiune dreptunghiulara se traseaza un sistem de linii longitudinale (paralele cu axa) si transversale (perpendiculare pe axa) (fig. 3.30.a). In regim de solicitare (fig.3.30.b) liniile longitudinale se curbeaza n liniile transversale se curbeaza n liniile transversale se rotesc, ramnnd - n spiritul ipotezei lui Bernoulli - drepte si normale pe cele longitudinale.Cu privire la cele doua tipuri de deformatii (liniare si unghiulare) se constata:- lipsa deformatiilor unghiulare (= 0), caci unghiurile retelei nu se modifica;- prezenta unor deformatii liniare pe directia axei barei.In zonele cu ncovoiere pozitiva (cazul din figura) fibrele longitudinale de la partea inferioara se alungesc, iar cele de la partea superioara se scurteaza. Se intuieste prezenta unui plan de fibre (fibre neutre) care se curbeaza fara

Fig.3.30a-si modifica lungimea; intersectia dintre acest plan si planul sectiunii transversale se numeste axa neutra.Doua sectiuni aflate la distanta elementara dz se rotesc cu unghiul elementar d(fig.3.31.a); pe desen s-au pus n evidenta fibra neutra AB cu lungimea neschimbata (AB = dz) si raza de curbura a fibrei neutre (OA = OB =).Variatia de lungime a unei fibre oarecare (MNN') aflata la cota y' fata de firbra neutra este pusa n evidenta n fig. 3.31.b prin segmentul NN'. Din asemanarea triunghiurilor OAB si BNN' rezulta:sau;primul raport (dintre alungirea fibrei si lungimea ei initiala) este deformatia specificasi relatia de asemanare devine:=>';(3.13)deformatiile specifice, nule n dreptul axei neutre, variaza liniar pe naltimea sectiunii transversale (fig.3.32.a).

fig.3.31Studiul fizic consemneaza conditia de elasticitate liniara (legea lui Hooke) acceptata n Rezistenta materialelor:= ESinteza studiu geometric - studiu fizic. Daca= 0,= 0. Pe sectiunea transversala, interactiunea este masurata numai prin eforturi unitare normale. Introducnd relatia (3.13) n legea lui Hooke, rezulta:= Ey';(3.14)ca si deformatiile specifice, eforturile unitare normale, nule n dreptul axei neutre, variaza liniar pe naltimea sectiunii transversale (fig.3.32.b si 3.32.c). Axa neutra mparte sectiunea n doua zone: una comprimata si alta ntinsa (fig.3.32.d).Studiul static consemneaza echivalenta dintre cele doua moduri de exprimare a interactiunii: prin eforturi

a - diagrama de distributie a deformatiilor specificeb - diagrama de distributie a eforturilor unitare normalec - masura interactiunii: prin eforturi unitare normale si prin momentul ncovoietor Md - sectiunea transversala si axa neutraFig.3.32sectionale (Mx0; N = 0) si prin eforturi unitare () (fig.3.33):

Fig.3.33N = SAdA= 0;(3.15)Mx = SAdA. y(3.16)Sinteza studiu geometric - studiu fizic - studiu static. Cu (3.24), prima relatie de contravalenta devineN = E .SAy'dAadicaSAy'dA= 0Integrala reprezinta un moment static (al suprafetei sectiunii transversale fata de axa neutra a sectiunii); din faptul ca e nul, rezulta ca axa neutra trece prin centrul de greutate al suprafetei sectiunii; ea coincide cu axa x, motiv pentru care y si y' masoara aceeasi distanta.Cu (3.14) a doua relatie de echivalenta devine:Mx = ESAy2dAsauMx = ESAIx,(3.17)unde Ix reprezinta momentul de inertie ale suprafetei sectiunii n raport cu axa x. Revenind la relatia (3.14), din care rezultaE(3.17) devineMx ==(3.18)Expresia (3.18) cunoscuta sub numele de formula lui Navier precizeaza marimea efortului unitar normalntr-un punct M situat la distanta y fata de axa neutra (fig.3.34).

Fig.3.343.2.2. EFORTURI UNITARE MAXIMEValorile maxime ale eforturilor unitarese dezvolta n fibrele extreme (cele mai departate de axa neutra). Daca Ymax este distanta de la fibra extrema la axa neutra rezultamax=Ymaxmax=unde la numitor apare expresia modulului de rezistenta Wx al suprafetei sectiunii n raport cu axa netura x (2.9). Cu aceasta observatie,max=(3.19)Marimea efortului unitar maxim deprinde de doi parametri:- momentul ncovoietor M, parametrul global al interactiunii din sectiune, masura solicitarii;- modulul de rezistenta W, parametrul geometriei sectiunii transversale.3.2.3.Trei forme ale interactiunii sectionaleRezultanta fortelor interioare de legatura de pe zona ntinsa, Fi, si comprimata, Fc, sunt doua forte egale si de sens contrar (fig.3.35); ele formeaza un cuplu al carui

Fig.3.35.moment este echivalent cu momentul ncovoietor M. Momentul ncovoietor M, cuplul fortelor Fc si Fi (rezultantele fortelor interioare de legatura) si sistemul de forta interioare de legatura cu distributie continua (a caror masura sunt eforturile unitare normale) reprezinta trei forme ale aceleasi interactiuni.3.2.4.Proiectarea de rezistenta a sectiunii barelor ncovoiate3.2.4.1.Conditii de rezistenta. Verificare; dimensionare; capacitate portantaConditii de rezistenta impusa de metoda de calcul a rezistentelor admisibile (1.1) devinea(3.20)Relatia contine trei parametri; ei corespund celor trei factori care intervin n procesul proiectarii sectiunii barelor ncovoietoare:- solicitarea, exprimata prin momentul ncovoietor M;- materialul , exprimat prin rezisnteta sa admisibilaa;- geometria suprafetei sectiunii transversale, exprimata prin modulul de rezistenta W, determinat n raport cu axa neutra (axa principala centrala de inertie ce coincide cu suportul vectorului moment).Dupa felul n care acestia intervin (ca parametri cunoscuti sau necunoscuti), proiectarea mbraca trei aspecte; verificarea rezistentei sectiunii, dimensionarea sectiunii si determinarea capacitatii portante a sectiunii.Cele trei aspecte ale proiectarii sectiunii sunt sintetic n tabelul 3.2.Tabelul 3.2.Parametrii cunoscutiParametrii necunoscutiRelatia de calcul

VerificareM,a,W-a

DimensionareM,amodulul de rezis- tenta necesar WnecWnec=

Capacitate portantaa, Mmomentul capabil McapMcap=aW

La materialele cu rezistente admisibile diferite la ntindere si la compresiune (de ex. fonta) sunt necesare doua verificari: una n zona ntinsa, alta n zona comprimata a sectiunii.In problemele de dimensionare dimensiunile sectiunii se aleg astfel, nctWefWnec,(3.21)unde Wefeste modulul de rezistenta efectiv (al sectiunii propuse prin proiectare). Pentru bare cu sectiune circulara,Wnecde unde rezulta diametrul. Pentru bare cu sectiunea dreptunghiulara,Wnec;relatia contine doua necunoscute - b si h; determinarea lor se face propunnd fie una din ele, fie cu anumit raport (orientativ) ntre ele. Pentru barele cu sectiuni stadardizate care se confectioneaza ntr-un numar limitat de tipuri (cazul profilelor laminate din otel, sau al majoritatii grinzilor din lemn cu sectiune dreptunghiulara), sectiunea rezulta direct prin compararea valorii Wneccu valoarea Wefdin tabelele de caracteristici ale fiecarui tip de sectiune. Pentru sectiuni de alte forme, dimensionarea se face prin ncercari, verificnd relatia (3.2) pentru diferite sectiuni propuse.Capacitatea portanta a unei sectiuni se masoara prin momentul ncovoietor (numit moment capabil, Mcap), caruia i corespunde un efort unitar maxim egal cu rezistenta admisibila. Rezistenta barei n sectiunea analizata este asigurata daca momentul ncovoietor M generat de ncarcare nu depaseste momentul capabil:MMcap.Verificarea si dimensionarea cu momentul ncovoietor maxim.3.2.4.2. Criterii de conformare. Sectiuni rationale; randamentul sectiunii.Criteriul de rezistenta Wnec= M/aaplicat la dimensionarea sectiunii ofera o infinitate de solutii. El poate fi satisfacut de sectiuni cu forme si arii diferite; urmnd reducerea consumului de material se prefera formele cu arie minima. Pe de alta parte, la arii egale, forme diferite asigura capacitati diferite; forma rationala va corespunde capacitatii maxime.Capacitatea sectiunii (exprimata ca moment al cuplului rezultantelor fortelor interioare de legatura) este proportionala cu valoarea - egala - a celor doua rezultante (Fc = Fi) si cu bratul lor de prghieZ (fig.3.36).A.Cresterea capacitatii sectiunii prin cresterea valorii rezultantelor fortelor interioare de legaturaSuprafata sectiunii nu este solicitata uniform. Cu ct o parte ct mai mare din suprafata sectiunii se va afla n zonele cele mai solicitate (cu eforturi unitare mari), cu att rezultanta fortelor interioare de legatura (ca suma a produselor dintre efortul unitar si elementul de arie) va fi mai mare.Pentru o sectiune dreptunghiulara cu aria A,Fc = Fi =a;Fc = Fi =Pentru o sectiune fictiva, ideala, cu aceeasi arie, cu suprafata concentrata n mod simetric la cele doua extremitati (acolo unde toate eforturile unitare ating rezistenta admisibila ) (fig.3.37.b), rezultanta va fi dubla;Fc = Fi =a

Fig.3.36

Fig.3.37B.Cresterea capacitatii sectiunii prin cresterea bratului de prghie.Este evident ca bratul creste odata cu cresterea naltimii sectiunii.Dar cresterea naltimii h este limitata de diferite considerente (functionale, estetice, etc.). La naltimea constanta, bratul creste (ca si rezultantele fortelor interioare de legatura) tot prin ndepartarea materialului axa neutra.Pentru sectiunile de forma dreptunghiulara, indiferent de proportiile lor,Z =h(3.22)Bratul de prghie maxim, z = h, corespunde sectiunii ideale cu suprafata concentrata la cele doua extremitati.Iata acum, pentru cele doua tipuri de sectiune luate ca repere n exemplele precedente, valoarea capacitatii portante, Mcap, ca produs ntre rezultantele fortelor interioare de legatura si bratul de prghie:- pentru sectiunea dreptunghiulara,Mcap=a.h =a;- pentru sectiunea ideala,Mcap=a. h =a;Daca sectiunile au aceeasi arie, aceeasi naltime si sunt alcatuite din aceleasi material, capacitatea sectiunii ideale este de trei ori mai mare dect capacitatea sectiunii de forma dreptunghiulara.O sectiune nationala tinde, prin conformarea ei, catre forma ideala descrisa mai sus. Aceasta forma constituie reperul sectiunilor de tip I sau U ale parapetelor laminate sau ale grinzilor din otel "cu sectiune compusa", confectionate prin sudare sau solidarizarea cu nituri (fig.3.38).

Fig.3.38Este de semnalat si tipul de grinda metalica "expandata", realizata prin sudarea, n poziie decalata, a doua jumatati de inima taiate dupa o linie poligonala (fig.3.39).

Fig.3.39Caracteristica geometrica a suprafetei sectiunii care determina nemijlocit capacitatea portanta este modelul de rezistenta W:Ncap= Wa;capacitatea este direct proportionala cu modulul de rezistenta.In legatura cu sectiunea ideala se defineste modulul de rezistenta ideal:Wideal=Wideal=Raportul dintre modulul de rezistenta W al unei sectiuni de forma data si modulul de rezistenta ideal reflecta raportul dintre capacitatile portante ale celor doua sectiuni si se numeste randament al sectiunii:r =(3.23)Randamentul sectiunii dreptunghiulare este doar 1/3. Randamentul sectiunii profilelor laminate de tip I si U este aproape 2/3, deci dublu.3.3. DEFORMAREA BARELOR INCOVOIATE3.3.1.Parametrii deformarii3.3.1.1.Parametrii fundamentali (privind deformatia unui volum elementar)Parametrii care definesc deformarea unui volum elementar sunt deformatia specifica liniarasi de formatia specifica unghiulara. In elementele solicitate de ncovoiere pura, deformatiile unghiulare sunt nule (= 0) iar deformatiile liniare, masurate n lungul axului barei, variaza liniar pe naltimea sectiunii, cu valori nule n dreptul axei neutre (care o mparte n doua zone: una comprimata, cu fibre scurtate, alta ntinsa, cu fibre alungite) (fig.3.40).

Fig.3.403.3.1.2.Parametrii globali (privind deformarea unui tronson elementar de baza. Parametrii globali sunt raza de curbura barei 1/, rotirea elementara d(rotirea elementara a doua sectiuni aflate la distanta elementara dz), rotirea specifica cu (rotirea relativa a doua sectiuni aflate la distanta unitara( (fig. 3.41).

Fig.3.41.3.3.1.3.Parametrii practici ai deformarii (privind deformatiile absolute ale bazei). Parametrii practici ai deformarii sunt rotirea(rotirea absoluta a unei sectiuni) si sageata v (deplasarea, pe directia normala la axa barei, a centrului de greutate al unei sectiuni ) (fig.3.42).

Fig.3.42Fig.3.433.3.1.4. Relatii ntre parametrii deformarii. Deformatia specificaeste proportionala cu curbura 1/(conform relatiei 3.24):=Din fig.3.41 se deduce relatia dintre parametrii globali ai deformarii:(3.24)Din fig.3.43, care prezinta un tronson elementar de bara n doua pozitii - nainte si dupa deformarea barei, se deduce relatia dintre cei doi parametri practici ai deformarii:(3.25)De unde, prin derivare, considernd si relatia (3.24), rezulta:(3.26)care face legatura ntre toti parametrii deformarii.3.3.2.Determinarea parametrilor deformarii3.3.2.1. Relatii ntre parametrii statici si parametrii geometrici ai raspunsului si schema relatiilor; expresia curburii.

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image155.gif" \* MERGEFORMATINET parametrulparametriiglobal=staticiparametrulfundamentalParametrii=Eraspunsului

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image161.gif" \* MERGEFORMATINET parametrulfundam.parametrii=ygeometriciparametrulglobal 1/Introducnd n legea lui Hooke (relatia dintre parametrii fundamentali ai raspunsului -si) expresiile lor n functie de parametrii globali M si 1/, rezulta(3.27)Curbura barei este proportionala cu solicitarea, masurata prin momentul ncovoietor M. Produsul EI, numit factor de rigiditate la incovoiere introduce n expresia curburii att rigiditatea materialului, prin modulul de elasticitate E, ct si rigiditatea formei sectiunii, prin momentul de inertie I al suprafetei sectiunii n raport cu axa neutra.De remarcat faptul ca expresia rotirii specifice=,care deriva din (3.27) si (3.24), are aceeasi structura cu expresia alungirii/scurtarii specificela solicitarea de ntindere/compresiune centrica (3.2).3.3.2.2. Ecuatia axei elastice a barei (a axei bazei n regim de deformare liniar - elastic) Cu (3.2b) relatia (3.27 devine(3.28)Intruct pentru momente ncovoietoare pozitive (n prezenta carora sagetile sunt pozitive) concavitatea barei este ndreptata spre sensul negativ al axei v, derivata a doua a sagetii trebuie sa fie negativa, cu aceasta observatie, relatia (3.28) devine(3.29)

Fig.3.443.3.2.3. Determinarea rotirii si sagetii prin integrarea analitica a ecuatiei axei elastice. prin integrarea succesiva a ecuatiei (3.29) se obtin expresiile rotirii,(z) =si sagetii v(z)Urmatoarea aplicatie va urmari stabilirea ecuatiei elastice a barei si determinarea expresiilor rotirii si sagetii pentru o consola ncarcata cu o forta concentrata la extremitatea ei (fig.3.45)

Fig.3.45Fig.3.46Intr-o sectiune S, la distanta z de ncastrare, momentul ncovoietor are expresiaM (z) = - P (l - z)(3.30)Cu (3.30) ecuatia axei elastice devine(l - z)Integrnd de doua ori, se obtine pe rnd :=

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image180.gif" \* MERGEFORMATINET (lz-) + C1,v =+ Ciz+ C2Pentru z = 0 (n ncastrare), si rotirea si sageata sunt nule; de unde, C1 = 0 si C2 = 0. Epresiile generale ale rotirii si sagetii sunt deci:(z) =v(z) =La capatul liber al consolei (pentru z = l), si sageata si rotirea sunt maxime (fig.3.46):max=(3.31)vmax=(3.32)3.3.2.4. Determinarea rotirii si sagetii prin metoda grinzii conjugate (fictive). In paralel cu grinda reala (fig.3.49), pentru care urmeaza sa se determine parametrii deformariisi v, se considerao grinda fictiva, conjugata celei reale (fig.3.50).Intre sageata v, rotireasi momentul ncovoietor M (parametrii ai situatiei reale) exista relatia, dedusa anterior.(3.33)Intre ncarcarea p, forta taietoare T si momentul ncovoietor M (parametri ai situatiei fictive) exista relatia dedusa n partea a III-a a cursului.

Fig.3.49Fig.3.50

Dacap =;siiar n conditiile n care constantele de integrare sunt nule,v = M(3.34)si= T(3.35)Ceea ce nseamna ca, n orice sectiune a grinzii reale, sageata si rotirea sunt egale cu momentul ncovoietor si forta taietoare din sectiunea corespunzatoare a unei grinzi fictive, conjugata celei reale, supusa ncarcariip (z) =Anularea constantelor de integrare este conditionata de un anume mod de rezemare a grinzii fictive n functie de rezemarea grinzii reale. Unei ncastrari a grinzii reale (cu= 0 si v = o) n corespunde n grinda fictiva un capat liber (caci numai ntr-o astfel de situatie si T si M sunt nule); unui capat liber al grinzii reale (cu0 si v0) i corespunde n grinda fictiva o ncastrare (care asigura F0 si M0) ; unui reazem simplu sau articulat (cu0 si v = 0) la capatul grinzii reale i corespunde n grinda fictiva acelasi tip de reazem (pentru care F0 si M = 0). Modul de rezemare a grinzii fictive este sintetizat n tabelul de mai jos.Grinda realaGrinda fictiva

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image209.jpg" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image211.jpg" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image211.jpg" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image207.jpg" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.scritub.com/files/tehnica%20mecanica/1102_poze/image209.jpg" \* MERGEFORMATINET

Urmatoarea aplicatie va urmari determinarea sagetii si rotirii maxime pentru o consola ncarcata cu o forta concentrata la extremitatea ei (fig.3.51).

Fig.3.51Tmax=,max= Tmax=Mmax=vmax= Mmax=Aceleasi rezultate s-au obtinut si prin integrarea analitica a ecuatiei axei elastice, n cadrul aplicatiei de la punctul 3.3.2.3.3.3.2.5. Formule uzuale pentru cazuri particulare de rezemare si ncarcare. Tabelul urmator prezinta expresiile actiunii maxime si sagetii maxime pentru grinda simpla rezemata si grinda ncastrata n doua situatii particulare de ncarcare.maxvmax

3.3.3. Proiectarea rigiditatii barelor ncovoiateFunctionarea corecta a unei constructii este conditionata si de o anume rigiditate a elementelor sale. Deformatii mari dauneaza exploatarii, chiar daca rezistenta este asigurata.Proiectarea rezistentei trebuie dublata de proiectarea rigiditatii.Conditia de rigiditate care se impune de obiecei urmareste limitarea sagetilor. Cu o sageata mare ste perceptibila numai n raport cu o deschidere relativ mica, conditia de serie sub forma(3.36)unde f este sageata maxima, l - deschiderea iar k - un coeficient care depinde de functiunea elementului, de importanta sa etc. Valorile sale curente sunt cuprinse ntre 200 si 400.4.ELEMENTE SOLICITATE LA INCOVOIERE CU FORTE TAIETOARE. EFECTULA FORTEI TAIETOARE IN GRINZI4.1. DEFINITIA SOLICITARII. EXEMPLEIncovoierea cu forte taietoare este o solicitare compusa n prezenta careia, n sectiunea transversala, interactiunea este exprimata prin doua tipuri de efort sectional: moment ncovoietor si forta taietoare.Incovoierea cu forte taietoare este tipica elementelor de tip grinda (bare drepte ncarcate cu forte normale pe axul lor). (fig.3.53).

Fig.5.53.Intre momentul ncovoietor si forta taietoare exista relatia stabilita anterior (partea a III-a)= Taceasta nseamna ca prezenta fortei taietoare atrage dupa sine variatia momentului ncovoietor.Efectul momentului ncovoietor (raspunsul barelor solicitate la ncovoiere pura) a fost analizat n paragraful precedent. In paragraful de fata va fi analizat efectul fortei taietoare.4.2. EFECTUL FORTEI TAIETOARE. FORFECAREA SI LUNECAREAEchilibrul tronsonului elementar din fig.3.54.a este asigurat, alaturi de fortele exterioare a-i revin, de eforturile sectionale M, T, M + dm, T + dT.

Fig.3.54Cele doua cupluri (M si M + dm) introduc n lungul fibrelor longitudinale compresiuni, respectiv ntinderi, cu valori diferite n cele doua sectiuni (conf. schemei din fig. 3.54.b). Aceasta diferenta de valoare este sursa unei tendinte de lunecare de-a lungul oricarui plan longitudinal ce separa (imaginar) elementul de bara. Tendinta de lunecare este consecinta variatiei momentului ncovoietor, deci a prezentei fortei taietoare n zona. (Pe zonele de bara cu forta taietoare nula, momentul ncovoietor este constant si tendintele de lunecare sunt nule).Masura interactiunii dintre partea superioara si cea inferioara a elementului este perechea fortelor de lunecare dL; restabilind echilibrul fiecarei parti, fortele de lunecare blocheaza lunecarea si asigura integritatea formei.Pe un element de bara aflat deopotriva sub regimul fortelor taietoare si al fortelor de lunecare, interactiunea este masurata prin eforturi unitare tangentiale(fig.3.55). Conform principiului dualitatii eforturilor unitare tangentiale, eforturile unitaresunt egale si formeaza, mpreuna cu cele de pefetele opuse ale elementului , cupluri egale si de sens contrar (fig.3.56)

Fig.3.55Fig.3.564.3. REZISTENTA GRINZILOR IN PREZENTA FORTEI TAIETOARE4.3.1.Eforturi unitare tangentiale. Formula lui JuravskiSe considera volumul ABCD, decupat din bara (fig.3.57). Echilibrul de translatii pe directia axului barei (fig.3.58) este asigurat de fortele de interactiune a caror masura, pe sectiunea transversala este sistemul eforturilor unitare, iar pe sectiunea longitudinala - forta elementelor de lunecaredL =bdz(3.37)

Fig.3.57

Fig.3.58In prezenta unor momente ncovoietoare pozitive, la partea superioara a barei, eforturile unitaremasoara compresiuni. Pe cele doua sectiuni transversale compresiunile sunt diferite, caci n prezenta fortei taietoare momentul ncovoietor variaza. Cresterea de a rezultantei volumului de compresiuni este echilibrata de forta elementara de lunecare dL:dL = dC(3.38)Rezultanta volumului de compresiune cu expresiaC = SA,dAunde A' este aria sectiunii transversale aflate n interactiune, nlocuind efortulcu expresia (3.18), se obtineC = SA',C =unde S'xeste momentul static al suprafetei partiale A' a sectiunii transversale n raport cu axa x; de aicidC = dMx(3.39)Din (3.37), (3.38) si (3.39) rezultabdz = dMx=si=(3.40)In expresia (3.40), care poarta numele lui Juravski,reprezinta efortul unitar tangentialyz din planul longitudinal egal cu efortul unitar tangentialzy din planul sectiunii transversale; ambele planuri trec prin punctul C n care ne-am propus determinarea efectului fortei taietoare (fig.3.57 si 3.58). Semnificatia parametrilor din membrul drept al formulei lui Juravski este urmatoarea:T - forta taietoare din sectiune;S'x- momentul static n raport cu axa x (axa neutra a sectiunii) al suprafetei partiale A' determinate pe sectiunea transversala de planul longitudinal ce trece prin punctul C (punctul n dreptul caruia se defineste efortul tangential); momentul static al suprafetei A' este egal cu momentul static al suprafetei" (S'x + S"x = Sx = 0, caci Sx reprezinta momentul static al unei suprafete n raport cu o axa ce trece prin centrul de greutate; n valoare absoluta, S'x = S"x);b - latimea sectiunii transversale n dreptul punctului considerat;Ix - momentul de inertie al suprafetei sectiunii n raport cu axa x (axa neutra a sectiunii).

Fig.3.584.3.2.1. Distributia eforturilor unitarepe sectiunea transversala; eforturi unitare tangentiale maxime. Asa cum rezulta din formula lui Juravski, parametrii care determina variatia eforturilor unitare . pe sectiunea transversala sunt b si S. La sectiunile dreptunghiulare (cu latime constanta), variatia eforturilor este determinata doar de variatia momentului static. Expresia momentului static, n functie de cota y a planului de lunecare, este (fig.3.59):S(y) = b (Ei - si deci si efortului unitar- i corespunde o variatie parabolica, simetrica n raport cu axa x, cu valori nule pentru y = h/2 (la extremitatile sectiunii) si valoarea

Fig.3.59maxima pentru y = 0 (n dreptul axei x, axa neutra a sectiunii).Pentru y = 0Smax=max=max= 1,5= 1,5med(3.41)undemed s-a notat efortul unitar (fictiv) corespunzator unei distributii uniforme pe sectiunea transversala.La sectiunile de tip I si asimilate, cu sectiunea talpilor si a inimii de forma dreptunghiulara, distributia eforturilor unitare este cea din fig.3.60.a. Variatia parabolica este ntrerupta de salturi n dreptul modificarii bruste a latimii sectiunii.

Fig.3.60Fig.3.61In realitate aceasta variatie brusca a formei este sursa unor perturbatii n distributia teoretica a eforturilor unitare si generaeza concentraii de eforturi (fig.3.60.b). Pentru atenuarea vrfului de efort, sectiunile profilelor laminate de acest tip au laturile unite prin racordari (fig. 3.61).4.3.2.2. Verificarea rezistentei la forfecare. La grinzi cu sectiune de forma dreptunghiulara eforturile unitare tangentiale sunt mici n comparatie cu eforturile unitare normale. Aplicatia din fig.3.ba este edificatoare.

Fig.3.62max=max= 1,5de undeSe vede ca pentru grinzi cu proportie normala, raportulmaxeste net n favoarea efortului unitar; de aceea aceste grinzi se verifica numai la ncovoiere.In mod curent verificarea la forfecare nu este necesara nici n cazul grinzilor cu sectiune I sau asimilata acesteia, desi eforturile unitare tangentiale sunt mai mari ca cele corespunzatoare sectiunii dreptunghiulare.4.3.3.Rezistenta barelor n sectiuni longitudinale (rezistenta la lunecare)4.3.3.1. Determinarea fortei de lunecare. Variatia fortei de lunecareObservatie privind ipteza lui Bernoulli. Forta elementara de lunecare a fost determinata n paragraful 4.3.1.dL = dMPe lungimea finita cuprinsa ntre doua sectiuni (A si B),LAB=LAB=LAB=AT(3.42)unde ATeste aria diagramei de forte taietoare cuprinsa ntre sectiunile A si B.La grinzile cu sectiune constanta (cazul curent), forta de lunecare este proportionala cu aria diagramei de forte taietoare, deci maxima spre reazemele grinzii.In planuri situate la cote diferite, forta de lunecare este proportionala cu momentul static, deci maxima n dreptul planului neutru. In fig.3.b se exprima aceasta variatii prin deplasari relative diferite ntre fsii longitudinale de bara.

Fig.3.63Imaginea obtinuta infirma ipoteza lui Bernoulli (a sectiunilor plane..).Tipul de deformatie din fig.3.b3 este doar una din cele trei componente ale deformatii complexe cu care bara raspunde solicitarii de ncovoiere cu forte taietoare; ele sunt prezentate n fig.3.64.

Fig.3.644.3.3.2. Probleme practice privind asigurarea interactiunii longitudinale. Cnd dimensiunile prea mari ale sectiunii transversale nu permit realizarea grinzii dintr-o singura bucata, n planurile longitudinale care separa elementele componente ale grinzii se manifesta tendinte de lunecare (fig.3.65). In cele ce urmeaza seprezinta

Fig.3.65modul particular de blocare a acestor lunecari (asigurarea interactiunii longitudinale) la diferite tipuri de astfel de grinzi.I.Grinzi de lemn cu sectiune compusaLa acest tip de grinda asigurarea interactiunii longitudinale se realizeaza, traditional, prin intermediul penelor (fig.3.66). Distanta dintre pene depinde de capacitatea lor la forfecare si de marimea de capacitatea lor la forfecare si de marimea fortelor de lunecare.La grinzile de mare deschidere sau n cazul n care forta taietoare prezinta variatii mari n lungul grinzii, se urmareste ca prin asezarea penelor la distante diferite (mici n zonele cu forta taietoare mare, deci lunecari puternice si mari zonele cu forta taietoare redusa) sa se realizeze o ncarcare uniforma a penelor.

fig.3.66Istoria constructiilor si sistemul din fig.3.68, marcabil prin eleganta solutiei.

fig.3.68II. Grinzi metalice cu sectiune compusa de tip I sau asimilata. Asigurarea n turatiuni longitudinale ntre inima si talpi - elementele componente ale grinzii - se realizeaza prin mbinari sudate (fig.3.69) sau nituite (3.70)

fig.3.69

fig.3.70III. Grinzi cu zabrele. Lunecarea dintre cele doua talpi este blocata de legaturi de tip pendul, asigurate de bare transversale simple, articulate la capete, compuse n sistem cu ochiuri triunghiulare (fig.3.71 si 3.72)

Fig.3.71Fig.3.72Barele transversale (denumite, n functie de orientarea lor, diagonale sau montanti) sunt alternativ comprimate si ntinse (pentru sensul tendintei de lunecare precizat n fig.3.71, diagonala din stnga este comprimata, iar cea din dreapta ntinsa).IV. Grinzi Vierendel. Lunecarea dintre cele doua talpi este blocata de montanti robusti, ncastrati la capete, formnd, mpreuna cu talpile, sisteme cu ochiuri dreptunghiulare (fig.3.73 si 3.74). Montantii sunt forfecati si ncovoiati.

Fig.3.73Fig.3.74V. Grinda de beton armat. Grinda de beton armat (fig.3.75 si 3.76) poate fi asimilata cu o grinda cu zabrele: talpa superioara (comprimata) este alcatuita din beton simplu (doar pe cca un sfert din naltimea sa grinda de beton armat este comprimata), talpa inferioara (ntinsa) este alcatuita din bare longitudinale de otel (armaturi) iar elementele transversale "de coasere" ale celor doua talpi - din "vine" de beton comprimat si armaturi ntinse (n doua variante: bare nclinate, de tip diagonale si etrieri, de tip montanti).

Fig.3.75Fig.3.765.ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE (INTINDERE) EXCENTRICA5.1. DEFINITIA SOLICITARII. EXEMPLECompresiunea (ntinderea) excentrica este o solicitare compusa, n prezenta careia, pe sectiunea transversala, interactiunea este reprezentata de o forta axiala si un moment ncovoietor (vector cuplu cuprins n planul sectiunii).In functie de directia vectorului moment ncovoietor fata de axele principale de inertie ale sectiunii transversale, se deosebesc urmatoarele doua cazuri:- ncovoiere oblica cu forta axiala (cazul general de compresiune sau ntindere excentrica), cnd directia vectorului cuplu este oarecare fata de directia axelor;- ncovoiere simpla cu forta axiala (cazul particular), cnd directia vectorului cuplu coincide cu directia uneia din axe.O pereche de forte echilibrate aplicate pe o bara dreapta de-a lungul unui suport paralel cu axa barei genereaza, ntre punctul de aplicatie, compresiune (ntindere) excentrica (fig.3.77). In aria sectiuni transversala, masura interactiunii este o forta normala A = P, aplicata excentrica, de-a lungul suportului.

Fig.3.77fortelor exterioare, ea se reduce n centrul de greutate al sectiunii la o forta axiala N = P si un cuplu M = Pl, unde e este excentricitatea punctului de aplicatie a fortei interioare.Cnd punctul de aplicatie se afla pe una din axele principale de inertie (fig.3.78) se genereaza cazul particular de compresiune excentrica - ncovoierea simpla cu forta axiala.

fig.3.78In practica, compresiunea excentrica este solicitarea caracteristica a stlpilor de cadru n regim gravitantional de solicitare (fig.3.79).

Fig.3.795.2. INCOVOIEREA SIMPLA CU FORTE AXIALE5.2.1.Eforturi unitare pe sectiunea transversalaDeterminarea eforturilor unitare pe sectiunea transversala se face prin suprapunerea efectelor celor doua solicitari (simple) componente: compresiunea (ntinderea) centrica si ncovoierea .. Ambele genereaza pe sectiunea transversala eforturi unitare normale(fig.3.80).

Fig.3.80Intr-un punct curent al sectiunii, efortul unitar corespunzator solicitarii compuse se obtine prin nsumarea eforturilor unitare corespunzatoare fiecarei solicitari simple.=N+MLa distanta y de axa x , cu semnele corespunzatoare sensului eforturilor unitare=5.2.2.Semnele eforturilor si conditiile de ncarcareEforturile unitare nsumate pot avea acelasi semn (cnd domina efectul fortei axiale) sau semne diferite (cnd domina efectul momentului ncovoietor). Daca elementele supuse la compresiune excentrica (stlpi, arce etc) sunt alcatuite din materiale nerezistente la ntindere (piatra, caramida, etc.) se urmareste ca sectiunea sa fie comprimata n totalitatea ei. Pentru aceasta este necesar ca (n valoare absoluta) ......, unde ..... reprezinta efortul maxim de ntindere corespunzator momentului ncovoietor:de undel =(3.43)La o sectiune dreptunghiulara, indiferent de proportiile ei,(3.44)Pentru excentricitati inferioare valorii h/b adica pentru pozitii ale fortei de compresiune cuprinse n treimea mijlocie a sectiunii dreptunghiulare, eforturile vor avea acelasi semn (compresiuni). Tipurile de diagrama, n corespondenta cu pozitia fortei fata de treimea mijlocie, sunt prezentate n fig.3.87.

Fig.3.815.3. INCOVOIERE OBLICA CU FORTA AXIALA5.3.1.Descompunerea solicitarii compuse in solicitari simpleForta P aplicata n punctul P (xo,y) se reduce n centrul de greutate al sectiunii la o forta axiala N = P si doua momente ncovoietoare: Mx Pyo si My = Pxo. Reducerea s-a facut n doua etape. din punctul P n punctul P1 si din P1 n centrul de greutate; etapele sunt prezentate n fig.3.82.

fig.3.82Cele trei eforturi sectionale (N, Mx, My) le corespund eforturi unitare normale . Intr-un punct curent al sectiunii, efortul unitar corespunzator solicitarii compusa se obtine prin nsumarea eforturilor unitare corespunzatoare fiecarei solicitari simple:=n+Mx+myIn punctul M (x,y),= +,= -,= -,(3.45)5.3.2. Axa neutra5.3.2.1. Ecuatia axei neutre. Axa neutra este locul geometric al punctelor cu eforturi unitare nule. Din conditia= 0 rezulta ecuatia axei:1 += 0= 1sau, cu notatiile-= asi-= b(3.46)= 1(3.48)Axa neutra este o dreapta care taie axele de referinta la distantele a si b de originea aflata n centrul de greutate al sectiunii (fig.3.83)

fig.3.835.3.2.2. Proprietatile axei neutre.A. Intruct, conform relatiilor (3.46), la valori pozitive ale coordonatelor xo, yo corespund valori negative ale distantelor a si b, fata de punctul de aplicatie a fortei, axa neutra se afla de cealalta parte a centrului degreutate (fig.3.84).B. Punctelor de aplicatie a fortei aflate pe o dreapta ce trece prin centrul de greutate le corespund axe neutre parafele, caci= const.Conform relatiilor (3.46) , axa neutra se apropie de centrul de greutate cnd punctul de aplicatie se departeaza (fig.3.85).

fig.3.84

fig.3.85C. Punctelor de aplicatie ale fortei aflate pe o dreapta care nu trece prin centrul de greutate le corespund axe neutre concurente (fara demonstratie) (fig.3.86).

fig.3.865.3.4.3. Smburele central al unei sectiuni dreptungiulare. Fie sectiunea dreptunghiulara din fig. 3.88, cu dimensiunile laturilor B si H.fig.3.87conform (3.46)xo = -,yo = -Pozitiei (1) a axei neutru, tangenta la una din laturile mici ale sectiunii (cu asi b = - H/2), i corespunde punctul 1 de aplicatie a fortei, cu coordonatele.xo = 0yo = -Pozitiei (2) a axei neutre, tangenta la una din laturile mari ale sectiunii, i corespunde punctul 2 cu coordonatelexo =y = oCnd axa neutra se roteste n jurul punctului A, punctul de aplicatie a fortei parcurge segmentul 1-2. Prin anologie, se deduce

Fig.3.88Fig.3.89.si pozitia punctelor simetrice 3 si 4 si segmentele 2-3, 3-4 si 4-1 care nchid smburile central.Acesta este un romb cu diagonalele egale cu o treime din lungimea laturilor dreptunghiului (fig.3.89).5.3.4.4. Smburele central al unei sectiuni circulare este un cerc cu diametrul egal cu un sfert din diametrul sectiunii (fig. 3.90 si 3.91):yo =

Fig.3.90Fig.3.915.4. Eforturi unitare pe talpa unei fundatiiPamntul este un material nerezistent la ntindere. De aceea, la contractul dintre fundatie si teren, interactiunea nu poate fi realizata dect prin eforturi de compresiune.Daca forta este aplicata n interiorul smburelui central, distributia presiunilor se face pe toata suprafata talpii, dupa legea trapezoidala precizata anterior (fig.3.92).Daca forta este aplicata n afara smburelui central, distributia presiunilor se face pe o zona limitata a suprafetei talpii, numita zona activa (fig.3.93).

Fig.3.92Fig.3.93Suprafata zonei active si valoarea efortului unitar maxim se determina din conditia ca forta P, aplicata exentric si rezultanta R a volumului de presiuni sa formeze un sistem echilibrat. Daca P calca pe una din axele de simetrie ale unei fundatii dreptunghiulare, la distanta C de marginea fundatiei (fig. 3.93), latimea zonei active este d = 3 c,iar efortul unitar maxim, de doua ori mai mare dect efortul mediumax= 2