1

1 PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR

1.1 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care

continuă logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea în calcule a proprietăţilor de deformabilitate ale corpurilor solide reale. În Mecanică corpul solid este considerat rigid, nedeformabil, iar vectorii forţă de încărcare sunt consideraţi alunecători. Rezistenţa materialelor ia în studiu corpurile reale, care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) îşi schimbă forma geometrică, respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere, la valori mari ale acestora. Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) în funcţie de mărimea, poziţia şi modul de acţionare a forţelor exterioare; proprietăţile mecanice ale materialelor; dimensiunile constructive, forma şi importanţa ansamblului în care se înglobează, iar în anumite cazuri şi de durata de funcţionare. Elementele de rezistenţă trebuie să îndeplinească următoarele condiţii de bază:

- condiţia de rezistenţă, care are în vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere în bucăţi;

- condiţia de rigiditate, se referă la valorile deformaţiilor ce nu trebuie să depăşească mărimile admisibile;

- condiţia de stabilitate, care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru stabil, pentru o anumită stare de încărcare.

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţei materialelor sunt: - criteriul economic, prin care se impune ca orice element de rezistenţă

(piesă) să fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică, în privinţa materialului utilizat şi al manoperei;

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de rezistenţă proiectat, respectând condiţiile de rezistenţă, rigiditate şi stabilitate.

În cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul de solicitare real. Experimentările practice în laborator, permit verificarea legilor rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor.

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme:

2

- probleme de dimensionare, prin care se stabilesc dimensiunile optime ale elementelor de rezistenţă proiectate, în funcţie de încărcările exterioare (sarcini) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat;

- probleme de verificare, la care se determină dacă un element de rezistenţă, de dimensiuni cunoscute, satisface condiţiile de rezistenţă, rigiditate şi stabilitate, cunoscând încărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat;

- probleme de calcul al capacităţii de încărcare al unui element de rezistenţă, cunoscându-se caracteristicile mecanice ale materialului, dimensiunile şi modul de solicitare.

1.2 Clasificarea corpurilor în Rezistenţa materialelor Corpurile (elementele de rezistenţă) au, în general, forme constructive

relativ complicate. În Rezistenţa materialelor, pentru simplificarea calculelor, corpurile se schematizează prin forme geometrice mai simple, obţinându-se următoarele grupe:

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decât celelalte două (corpuri cu fibră medie). Elementele geometrice caracteristice sunt – axa longitudinală şi secţiunea transversală. Aceste corpuri solide pot fi: - fire, care pot prelua solicitarea de întindere;

- bare, care rezistă atât la solicitări axiale cât şi la solicitări transversale. După forma axei longitudinale barele pot fi drepte, cotite (cu axa o linie

frântă), curbe în plan sau în spaţiu. După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale: tiranţi, solicitaţi la întindere (fig.1.1,a); stâlpi, solicitaţi la compresiune (fig.1.1,b); grinzi, solicitate la încovoiere (fig.1.1,c) şi arbori solicitaţi la răsucire (fig.1.1,d). Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă geometrică constantă sau variabilă în lungul barei.

Fig. 1.1 Denumirea convenţională a barelor

3

b) corpuri care au două dimensiuni mari, în raport cu a treia. Elementele geometrice caracteristice sunt forma şi dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea. După formă şi destinaţie se deosebesc plăci plane,învelişuri (curbe), vase, tuburi, membrane.

c) corpuri masive, care au dimensiunile aproximativ de acelaşi ordin de mărime (blocuri de fundaţii, bile şi role de rulmenţi, tuburi cu pereţi groşi etc.).

Calculele de rezistenţă sunt mai simple în cazul barelor drepte şi mai complicate la barele curbe, plăci respectiv blocuri.

1.3 Clasificarea încărcărilor exterioare Elementele de rezistenţă sunt supuse acţiunilor încărcărilor exterioare, care

pot fi forţe sau momente (cupluri de forţe) şi care pot fi clasificate după următoarele criterii:

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică: - sarcini concentrate, aplicate teoretic într-un punct (fig.1.2,a); - sarcini distribuite uniform sau cu intensitate variabilă în lungul barei sau

pe o suprafaţă (fig.1.2,b,c şi d).

b) după locul de aplicare se deosebesc: - forţe de suprafaţă sau de contur, care sunt aplicate din exterior şi indică

legătura cu piesele învecinate; - forţe masice, distribuite în tot corpul, ca de exemplu – greutăţi, forţe de

inerţie respectiv forţe electromagnetice.

Fig. 1.2 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

4

c) după modul de acţiune în timp se disting: - sarcini statice, care se aplică lent şi progresiv până la valoarea maximă şi

apoi rămân constante (fig.1.3,a); - sarcini dinamice, care se aplică cu viteze de încărcare relativ mari. Se

deosebesc sarcini aplicate prin şoc, cu variaţie bruscă de viteză (fig.1.3,b) şi sarcini variabile periodic între o valoare minimă şi una maximă (fig.1.3,c).

d) după poziţia ocupată, se disting: - sarcini fixe, care nu îşi modifică poziţia; - sarcini mobile, care îşi schimbă poziţia faţă de elementul de rezistenţă în timpul acţiunii.

1.4 Diagrame de eforturi în barele drepte

1.4.1 Definirea eforturilor în secţiunea barei În vederea calculului de rezistenţă, de rigiditate şi de stabilitate a barelor şi

a sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare (eforturilor) care apar în secţiunile transversale ale acestora şi datorate încărcărilor exterioare. Eforturile indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi se pun în evidenţă prin metoda secţiunilor ; se secţionează imaginar elementul de rezistenţă printr-un plan normal pe axa longitudinală, separându-l în două părţi.

Pe ambele feţe ale secţiunii se introduc eforturi egale şi de sens contrar, astfel încât fiecare parte componentă să fie în echilibru sub acţiunea forţelor aferente ei.

Eforturile se pun în evidenţă prin reducerea tuturor forţelor interioare, aplicate pe elementele de arie ale unei feţe a secţiunii transversale, în raport cu centrul de greutate. Astfel, se obţine torsorul de reducere ( R , M ) al eforturilor, care este echivalent cu forţele exterioare de pe partea înlăturată imaginar. Pentru

Fig.1.3 Tipuri de sarcini după modul de

acţiune în timp

5

exemplificare se consideră bara din fig.1.4,a, având secţiunea de formă oarecare şi încărcată cu sistemul de forţe exterioare 1F , 2F , ..., nF care îşi fac echilibrul. Aplicând metoda secţiunilor, se obţin două părţi componente ca în fig.1.4,b şi 1.4,c, care sunt în echilibru sub acţiunea forţelor exterioare şi eforturilor aferente.

Eforturile R , M aplicate în centrul de greutate al secţiunii, se determină cu ajutorul relaţiilor de echilibru din Mecanică. Pentru rezolvarea problemelor, eforturile R şi M se descompun în componente pe normala la planul secţiunii şi componente conţinute în planul secţiunii, cum este prezentat în fig. 1.4:

a) rezultanta R are o componentă normală N , numită forţă normală sau forţă axială şi o componentă T , conţinută în planul secţiunii, numită forţă tăietoare;

b) momentul M se descompune într-un moment de răsucire rM , dirijat de-a lungul axei şi un moment încovoietor iM , având vectorul conţinut în planul secţiunii.

Mărimile N , T , iM şi rM poartă denumirea de eforturi, ele

considerându-se convenţional aplicate în centrul de greutate, pentru a uşura explicarea fenomenului de interacţiune dintre cele două părţi ale corpului.

Fig.1.4 Eforturi în secţiunea barei drepte

6

Observaţie: deoarece T şi iM pot avea direcţii oarecare în planul secţiunii ele se descompun în componente pe axele: zT , yT , respectiv izM , iyM prin adoptarea unui sistem de axe de coordonate conform fig. 1.4,d – axa Cx în lungul barei, axa Cz orizontală în secţiune şi axa Cy verticală în secţiune.

1.4.2 Convenţii de semne

7

Pentru simplificarea modului de expunere se consideră că toate forţele

exterioare aplicate barei se află într-un plan de simetrie longitudinal, care trece prin axa barei şi care este un plan principal de inerţie, adică conţine una dintre axele principale de inerţie ale fiecărei secţiuni transversale. În acest caz momentul

8

de răsucire este nul, forţa tăietoare se află pe axa principală care determină planul forţelor, iar momentul încovoietor pe a doua axă principală (fig.1.5,a).

Pentru studiul s-a ales grinda simplu rezemată încărcată complex conform fig.1.5. În prima etapă se analizează echilibrul exterior al grinzii, determinându-se reacţiunile. Aplicând metoda secţiunilor se obţin două părţi de grindă: partea din dreapta II, mărginită prin faţa din dreapta a secţiunii şi partea din stânga I, mărginită prin faţa din stânga a secţiunii (fig. 1.5,b şi c).

În secţiunea barei pot exista cel mult următoarele trei eforturi: a) O forţă axială N , egală cu suma algebrică a proiecţiilor pe axa barei, în

dreptul secţiunii considerată, a tuturor forţelor exterioare (inclusiv reacţiunile) din stânga secţiunii sau a celor din dreapta luate cu sensuri schimbate.

Forţa axială N se consideră pozitivă când are tendinţa să lungească elementul de bară (fig.1.6,a);

b) O forţă tăietoare T , egală cu suma algebrică a proiecţiilor pe normala la axa barei, în dreptul secţiunii considerate, a tuturor forţelor exterioare (inclusiv reacţiunile) din stânga secţiunii sau a celor din dreapta cu sensuri schimbate.

Forţa tăietoare T se consideră pozitivă când este dirijată de jos în sus pe faţa din dreapta a secţiunii (Ad) şi de sus în jos pe faţa din stânga (As), respectiv când forţele tăietoare de pe feţele limitrofe ale unui element de bară au tendinţa să-l rotească în sens orar şi să producă lunecarea relativă a celor două feţe (fig.1.6,b).

c) Un moment încovoietor iM , egal cu suma momentelor în raport cu centrul de greutate C al secţiunii considerate, a tuturor forţelor din stânga secţiunii sau a celor din dreapta luate cu sensuri schimbate. Momentul încovoietor se consideră pozitiv când pe faţa din dreapta (Ad) a secţiunii este în sens orar, iar pe faţa din stânga (As) în sens antiorar, respectiv când produce o curbare a elementului de bară care lungeşte fibrele inferioare şi scurtează pe cele superioare (fig.1.6,c).

În figurile 1.5,d şi 1.6,d se indică sensurile pozitive ale eforturilor N , T şi iM pe ambele feţe ale secţiunii. La trecerea de la o secţiune la alta a unei bare

încărcate, eforturile N , T şi iM variază, obţinându-se diagramele de eforturi la care interesează în special valorile maxime ale acestora.

Fig. 1.6 Convenţia de semne pentru eforturi

9

1.5 Relaţii diferenţiale între eforturi

Se consideră grinda simplu rezemată (fig. 1.7,a) încărcată complex: forţe concentrate iF , sarcini distribuite ( )xpp = , precum şi cuplul concentrat eM . La distanţa x de reazemul i se detaşează imaginar un element de bară de lungime dx, pe care intensitatea sarcinii distribuite p, exprimată în newtoni pe metru, având componenta normală pn şi componenta tangenţială pt, se consideră uniformă. Pe faţa din dreapta (Ad) se introduc eforturile N ; T ; iM pozitive şi pe faţa din stânga (As) se introduc eforturile ii MdM;TdT;NdN +++ , de asemenea pozitive (fig. 1.7,b). Studiul echilibrului acestui element de bară se face scriind cele trei ecuaţii de echilibru ale sistemului de forţe sub forma:

a) proiecţii pe axa x; b) proiecţii pe axa y; c) momente faţă de punctul C.

0dNNdxpN t =+++− 0dTTdxpT n =−−−+ (1.1)

0dMM2

dxpTdxM ii

2

ni =−−−+

Fig. 1.7 Deducerea relaţiilor diferenţiale dintre eforturi

10

Prin neglijarea infiniţilor mici de ordin superior, se obţin expresiile:

a) tpdxdN

−= ; b) npdxdT

−= ; c) Tdx

dMi = (1.2)

denumite relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini. Relaţiile (b) şi (c) se pot scrie sub formă reunită:

n2i

2

pdxdT

dxMd

−== . (1.3)

Relaţiile stabilite mai sus au importanţă în construcţia diagramelor de eforturi, datorită regulilor ce se desprind din interpretarea lor şi anume: - dacă pt = pn = 0, diagramele N, T sunt constante, iar diagrama Mi variază liniar;

- pentru pt şi pn constante, diagramele N şi T variază liniar, iar diagrama Mi, parabolic;

- sarcina distribuită pn măsoară panta diagramei T, iar mărimea forţei tăietoare într-o secţiune măsoară panta diagramei Mi din secţiune;

- în secţiunea unde T = 0, diagrama Mi are un minim sau un maxim local; - funcţia forţei tăietoare este cu un grad superioară funcţiei sarcinii

distribuite, iar cea a momentului cu un grad superioară celei a forţei tăietoare; - pe intervale unde forţa tăietoare este pozitivă, momentul încovoietor

creşte şi invers; - diagrama forţei tăietoare prezintă salturi în dreptul forţelor concentrate

verticale, iar diagrama momentelor încovoietoare are salturi numai în dreptul unor cupluri exterioare, aplicate pe bară. În tabelul 1.1. sunt indicate câteva tipuri de încărcări, precum şi modul de variaţie a diagramelor T şi Mi. Tipul de încărcări şi modul de variaţie a diagramelor T şi Mi Tabelul 1.1

11

1.6 Construcţia analitică a diagramelor de eforturii

Diagramele de eforturi sunt nişte reprezentări grafice ale variaţiei eforturilor de-a lungul unei bare. Pentru construcţia acestora este necesară alegerea unui sens de parcurs al barei, adică de creştere a variabilei x, de obicei de la stânga la dreapta, sau a variabilei x’, de la dreapta spre stânga.

Etapele de rezolvare sunt: - determinarea echilibrului exterior al barei prin calculul reacţiunilor,

utilizând ecuaţiile de echilibru; - se stabilesc punctele caracteristice ale barei şi se delimitează tronsoanele

dintre acestea; - se scriu ecuaţiile de variaţie a eforturilor de-a lungul fiecărui tronson al

barei: N = f1(x); T = f2(x) respectiv Mi = f3(x); - reprezentarea grafică a ecuaţiilor de variaţie a eforturilor. Observaţii: - prin punct caracteristic se înţelege acel punct al barei în care apare „o

noutate” (exemple: capăt de bară, punct de reazem, punct de aplicaţie al forţei concentrate, început şi sfârşit de sarcină distribuită etc.);

- tronsonul reprezintă porţiunea de bară cuprinsă între două puncte caracteristice succesive.

1.6.1 Grinzi simplu rezemate

12

Bara articulată la un capăt şi simplu rezemată la celălalt poartă denumirea

generală de grindă simplu rezemată la capete. a) Grindă simplu rezemată la capete acţionată de o sarcină

concentrată În fig.1.8 este reprezentată grinda

care are deschiderea l, este articulată în punctul 1, simplu rezemată în punctul 2 şi încărcată cu o forţă concentrată F înclinată cu unghiul α. Scriind ecuaţiile de echilibru se găsesc valorile reacţiunilor:

α= cosFH1 ; l

sinFbV1α

= ;

lsinFaV2

α= .

Se notează cu 1,2,3, … punctele caracteristice ale grinzii, fie reazemele, fie punctele în care se aplică forţe sau cupluri. Utilizând metoda secţiunilor şi ţinând seama de convenţia de semne se pot scrie legile de variaţie ale eforturilor pentru fiecare tronson (distanţa dintre două puncte caracteristice succesive) ale grinzii.

α−=−= cosFHN 113 ; 0FHN H132 =+−=

l

sinFbVT 113α

=+= ; l

sinFaVFVT 2V132α

−=−=−+=

;x

lsinFbxVM 1i 13

α==

( )

α−−α

=

=−−=

sin)ax(Fxl

sinFb

axFxVM V1i 32

pentru [ ]ax ,0∈ pentru [ ]lax ,∈ Momentul încovoietor variază liniar, având în punctele caracteristice valorile:

0M;lsinFabMM;0M

2max21 iiii =α

=== .

Fig. 1.8 Grindă simplu

rezemată încărcată cu o forţă concentrată

13

Reprezentarea diagramelor de eforturi este redată în fig.1.8. b) Grindă simplu rezemată încărcată cu sarcină

uniform distribuită

O astfel de grindă este reprezentată în fig.1.9; din ecuaţiile de echilibru rezultă reacţiunile:

2plVV;0H 211 ===

Forţa axială este identic nulă. Expresiile eforturilor T şi Mi într-o secţiune curentă [ ]l,0x;x ∈ sunt:

−=−=−= x

2lppx

2plpxVT 1x ;

2plT1 = ;

2plT2 −=

( )xl

2px

2px

2plx

2xpxxVM

2

1i x

−=

=−=−=

0MM21 ii == .

Pentru 2lx = forţa tăietoare se anulează, iar

momentul încovoietor devine maxim:

8plM

2

max = . Variaţie funcţiei T este liniară,

iar a funcţiei Mi este parabolică. 1.6.2 Grinzi în consolă

Fig. 1.9 Grindă simplu rezemată acţionată de o

sarcină uniform distribuită

Fig. 1.10 Diagramele de eforturi pentru o grindă în consolă

14

Grinzile în consolă reprezintă bare încastrate la un capăt şi libere la celălalt.

Pentru exemplificare se consideră o grindă în consolă încărcată cu o sarcină concentrată (fig.1.10). Pentru grinzile în consolă regulile stabilite pentru trasarea diagramelor de eforturi rămân valabile. Ecuaţiile de echilibru dau reacţiunile din încastrare:

α== cosFFH H2 ; α−== sinFFV V2 ;

α== sinFllFM Vi2.

Într-o secţiune, la distanţa x de capătul 1, eforturile sunt:

α== cosFFN H12 ; α−== sinFFT V12 ;

α−=−= sinFxxFM Vi x.

Forţa axială şi forţa tăietoare sunt constante, iar momentul încovoietor variază liniar, fiind nul la capătul liber şi (- αsinFl ) în încastrare. Observaţie: Barele simplu rezemate, având la unul sau la ambele capete prelungiri, încărcate cu sarcini, numite console, poartă denumirea de grindă simplu rezemată cu console. În acest caz modul de construcţie a diagramelor de eforturi respectă etapele prezentate pe cazurile particulare de mai sus.

1.7 Elemente caracteristice stărilor de solicitare

1.7.1 Eforturi şi tensiuni (eforturi unitare)

Sub acţiunea încărcărilor exterioare, în interiorul elementelor de rezistenţă apar forţe şi momente interioare, numite eforturi. Au fost prezentate şi explicate eforturile: N (forţă axială), T (forţă tăietoare), Mi (moment încovoietor) şi Mr (moment de răsucire), care apar în elementele de rezistenţă. Fiecare dintre eforturi luat separat produce asupra elementului de rezistenţă o solicitare simplă. Dacă în secţiunea unui element de rezistenţă se evidenţiază simultan două sau mai multe

15

eforturi se spune că este supus la solicitări compuse (întindere cu încovoiere, încovoiere cu răsucire, încovoiere cu forfecare şi răsucire etc.)

Studiul repartiţiei eforturilor într-o secţiune a unui element de rezistenţă, necesită introducerea unei mărimi care să caracterizate, în fiecare punct al secţiunii, intensitatea acestor eforturi. Mărimea utilizată poartă denumirea de tensiune sau de efort unitar. Se consideră o secţiune An, a unui element de rezistenţă definită de vectorul normalei n şi pe care acţionează un sistem de forţe interioare. Pe elementul de arie ∆An acţionează forţa interioară aferentă nFΔ cu direcţia diferită de cea a normalei n (fig.1.11,a). Valoarea raportului:

( )n

nmedn A

Fp∆∆

= , se numeşte tensiune (efort unitar) medie.

Trecând la limită relaţia de mai sus, se obţine:

n

n

n

n

0An dAFd

AFlimp

n

=∆∆

=→∆

(1.4)

Vectorul np se numeşte tensiune (efort unitar) totală şi se exprimă dimensional în N/m2, N/mm2 sau daN/cm2 etc. În calculele de rezistenţă sunt utilizate componentele tensiunii totale pe normala nσn ⇒ - tensiune normală; şi pe planul elementului de suprafaţă dAn ⇒ nτ - tensiune tangenţială (fig.1.11,b). În cazul particular al unei secţiuni Ax, pentru care normala coincide cu direcţia axei barei (fig.1.11,c), vectorul tensiune totală şi componenetele sale se notează: px, σx şi xτ ; ( xyτ şi xzτ ) şi între aceste mărimi există relaţia:

2xz

2xy

2x

2x

2xxp τ+τ+σ=τ+σ= , (1.5)

Fig.1.11 Tensiuni normale şi tangenţiale pe secţiunea barei

16

în care xyτ şi xzτ sunt componentele tensiunii tangenţiale xτ , după axele care determină planul secţiunii Ax. Primul indice corespunde axei normale la secţiune, iar al doilea corespunde axei cu care tensiunea tangenţială este paralelă. 1.7.2 Ecuaţii de echivalenţă statică între eforturi şi tensiuni Se consideră o bară de secţiune dreptunghiulară solicitată de un sistem de forţe spaţiale în echilibrul static. Prin metoda secţiunilor se pun în evidenţă, pe un element de arie dA, eforturile unitare σx, τxy şi τxz cărora le corespund forţele elementare: dAdN xx σ= ; dAdT xyy τ= şi dAdT xzz τ= , paralele cu axele de coordonate (fig. 1.12,a şi fig.1.12,b). Prin reducerea acestor forţe elementare, de pe întreaga secţiune, în raport cu centrul de greutate al acesteia se obţin eforturile Nx, Ty, Tz (fig. 1.12,c), respectiv Mx, My şi Mz (fig. 1.12,d). Aceste eforturi se calculează cu relaţiile:

- forţa axială Nx: AdNdN

Axx

Ax ∫∫ σ== ; (1.6)

- momentele încovoietoare My şi Mz: AdzNzdM

Axx

Ay ∫∫ σ−=−= ;

Fig. 1.12 Eforturi şi tensiuni pe secţiunea barei

17

(1.7)

- forţa tăietoare Ty şi Tz: AdTdT

Axyy

Ay ∫∫ τ== ;

(1.8)

- momentul de răsucire Mx (se notează cu Mr):

( ) ( ) AdyzydTzdTMMA

xzxyA

zyrx ∫∫ τ−τ=−== . (1.9)

Relaţiile (1.6, …, 1.9) se numesc ecuaţiile de echivalenţă statică între eforturi şi eforturi unitare.

În cazurile practice se întâlneşte frecvent situaţia în care grinzile sunt solicitate de forţe coplanare, situate de exemplu în planul xCy. În acest caz în secţiune apar numai eforturile: Nx, Ty şi Mz = Mi.

1.7.3 Deformaţii şi deplasări Sub acţiunea sarcinilor (încărcărilor) exterioare elementele de rezistenţă se

deformează, iar punctele lor se deplasează. Deformaţia poate fi elastică dacă după îndepărtarea cauzelor care au produs-o, elementul de rezistenţă revine la forma şi dimensiunile iniţiale precum şi elasto-plastică sau plastică, dacă elementul de rezistenţă rămâne cu deformaţii, numite deformaţii remanente. Deformaţiile depind de o serie de factori: caracteristicile mecanice ale materialului, forma şi dimensiunile elementului, mărimea şi modul de aplicare a sarcinilor etc.

a) Deformaţii liniare. Elementul de rezistenţă din fig.1.13,a este solicitat la întindere de către forţa exterioară F care produce o deformaţie longitudinală (lungire) şi deformaţii transversale. Aceste deformaţii se calculează cu relaţiile: ∆l = l – l0; ∆b = b – b0 ; ∆h = h – h0 , în care l0, b0, h0 şi l, b, h sunt dimensiunile iniţiale respectiv finale ale elementului. Diferenţa ∆l = l – l0 reprezintă lungirea barei, iar deformaţia unităţii de lungime poartă denumirea de deformaţie specifică sau alungire şi se calculează cu relaţia:

00

0

ll

lll ∆

=−

=ε (1.10)

Când bara este solicitată la compresiune, mărimile ∆l şi ε se numesc scurtare, respectiv scurtare specifică.

.AdzNydMA

xxA

z ∫∫ == σ

AdTdTA

xzzA

z ∫∫ τ==

18

Experimental s-a constatat că deformaţiile specifice transversale sunt proporţionale cu deformaţia specifică longitudinală:

νε−=∆

=∆

=ε00

tr hh

bb (1.11)

Coeficientul ν se numeşte coeficientul de contracţie transversală sau coeficientul lui Poisson.

b) Deformaţii unghiulare. Se consideră un element de volum infinit mic, de formă paralelipipedică, detaşat imaginar dintr-un element de rezistenţă, pe feţele caruia acţionează tensiunile tangenţiale τ, cu sensurile din fig.1.13,b. Sub acţiunea acestora apar deformaţii unghiulare materializate prin modificarea unghiurilor drepte, cu valoarea γ numită lunecare specifică. Convenţional, lunecarea specifică este pozitivă când are loc micşorarea unghiului drept şi negativă, în sens contrar.

c) Deplasări. Prin deplasare se înţelege drumul parcurs de un punct al elementului de rezistenţă în decursul deformării, sub acţiunea încărcărilor exterioare. 1.7.4 Relaţia între tensiuni (eforturi unitare) şi deformaţiile specifice

În orice punct al unui element de rezistenţă solicitat de încărcări exterioare există o dependenţă între tensiuni şi deformaţiile specifice, care depinde de caracteristicile materialului. Unor tensiuni normale σ le corespund deformaţii specifice liniare ε, iar tensiunilor tangenţiale τ , deformaţii specifice unghiulare γ. Din curba caracteristică a materialului la tracţiune (fig. 1.14,a) se constată, pentru majoriatatea materialelor, o dependenţă liniară dintre σ şi ε, exprimată prin relaţia:

Fig. 1.13 Deformaţii liniare şi unghiulare

19

( ) ε=εα=σ Etg , (1.12) numită legea lui Hooke pentru întinderea simplă. Mărimea E este o caracteristică elastică a materialului, se exprimă în N/m2 sau daN/cm2 şi poartă denumirea de modul de elasticitate longitudinal.

Curba τ = f (γ), se obţine prin solicitarea unei epruvete la răsucire (fig.1.14,b) la care legea lui Hooke este valabilă pe porţiunea liniară şi se exprimă prin:

τ = (tgβ) γ = Gγ (1.13) în care G este modulul de elasticitate transversal al materialului şi se exprimă în aceeaşi unitate de măsură ca şi E. Valoarea tensiunii până la care se respectă legea lui Hooke poartă denumirea de limită de proportionalitate (σp respectiv τp). Mărimile E, G şi ν sunt constante elastice ale materialului. 1.7.5 Încercarea materialelor la tracţiune Prin încercările mecanice se urmăreşte determinarea unor mărimi numite caracteristici mecanice ale materialului. Încercarea la tracţiune (întindere) se caracterizează prin încărcarea unei epruvete cu o forţă progresivă, crescătoare până la epuizarea capacităţii de deformare (Reglementată prin normativul SR EN 10002-1:2002). Maşinile universale de încercat permit determinarea continuă a mărimilor F şi ∆L prin trasarea diagramei F = f (∆L). Prin prelucrarea acestei diagrame, se obţine curba caracteristica convenţională σ = f (ε) a materialului (fig.1.15.), pe care se deosebesc următoarele caracteristici:

- limita de proporţionalitate σp , care este ordonata punctului A până la care curba caracteristică este o linie dreaptă;

- limita de elasticitate σe, care corespunde valorii tensiunii normale până la care materialul se comportă perfect elastic;

- limita de curgere σc, care reprezintă valoarea tensiunii normale la care deformaţia specifică creşte la o sarcină constantă. Pentru materialele la care

Fig.1.14 Curbe caracteristice ale materialului

20

palierul CD de curgere nu există, se defineşte limita de curgere tehnică σ0,2 (Rp0,2) căreia îi corespunde o deformaţie specifică remanentă εc = 0,2% ;

- rezistenţa la tracţiune σr (Rm), care reprezintă valoarea maximă a tensiunii normale

0

max

SF

== maxr σσ (1.14)

După atingerea încărcării maxime (Fmax), epruveta se gâtuieşte (fig.1.16.) până când se produce ruperea. În final se pot determina următoarele caracteristici, aferente condiţiei de rigiditate:

- alungirea procentuală după rupere

%100L

LLA

u

0u−= (1.15)

în care L0 şi Lu reprezintă lungimea iniţială respectiv finală, dintre reperele epruvetei, de pe partea calibrată a acesteia.

- coeficientul de gâtuire

%100S

SSZ

0

u0 −= (1.16)

în care S0 şi Su sunt aria iniţială respectiv ultimă, a secţiunii epruvetei. 1.7.6 Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă Se presupune cunoscută curba caracteristică a materialului unui element de rezistenţă şi trebuie precizată valoarea maximă a tensiunii normale sau tangenţiale (în funcţie de tipul solicitării), numită rezistenţă admisibilă, astfel încât să fie îndeplinite condiţiile de rezistenţă respectiv de rigiditate. Rezistenţa admisibilă este o mărime convenţional aleasă în calcul, pe baza experienţei practice, pentru tensiunea maximă ce poate apărea într-un element de rezistenţă în condiţii date de solicitare şi de material; se notează cu σa respectiv τa. Tensiunea efectivă din elementele de rezistenţă trebuie stabilită sub limita de elasticitate, deoarece:

Fig.1.15 Curba caracteristică

convenţională

Fig.1.16 Gâtuirea epruvetei

21

- determinarea sarcinilor este în general aproximativă; - schemele de calcul duc la diferenţe faţă de cazul real; - caracteristicile mecanice ale materialelor nu se pot cunoaşte cu

certitudine. Rezistenţa admisibilă se raportează la una dintre tensiunile particulare de

pe curba caracteristică şi anume σc , τc (pentru materialele tenace), respectiv σr, τr (pentru materialele fragile)

c

ca c

σ=σ ,

r

ra c

σ=σ respectiv

c

ca c

τ=τ ,

r

r

cτ

=τ (1.17)

Coeficienţii cc şi cr se numesc coeficenţi de siguranţă. La alegerea rezistenţelor admisibile şi deci a coeficienţilor de siguranţă,

trebuie să se ţină cont de o serie de factori: natura materialului, tratamentele termice, durata de funcţionare, felul şi natura sarcinilor, temperatura, ipotezele de calcul etc.

1.7.7 Ipotezele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor utilizează o serie de ipoteze simplificatoare asupra structurii materialelor şi a stării de solicitare. Experimentările practice au arătat justeţea utilizării lor pentru stabilirea schemelor şi relaţiilor de calcul. a) Ipoteza mediului continuu, pe baza căreia materialul elementului de rezistenţă considerat este un mediu continuu, care ocupă întreg spaţiul ocupat de volumul său. b) Ipoteza omogenităţii şi izotropiei, prin care materialele se consideră cu aceleaşi proprietăţi în toate punctele şi după toate direcţiile. c) Ipoteza elasticităţii perfecte, care consideră, că atunci când sarcinile nu depăşesc anumite limite, materialele se comportă perfect elastic. d) Ipoteza deformaţiilor mici, arată că deformaţiile elastice sunt mici în raport cu dimensiunile elementului de rezistenţă, ceea ce permite scrierea ecuaţiilor de echilibru static pe formă nedeformată. e) Ipoteza proporţionalităţii dintre eforturile unitare şi deformaţiile specifice, care indică faptul că eforturile unitare efective din elementul de rezistenţă solicitat nu depăşesc limita de elasticitate şi deci este valabilă legea lui Hooke. f) Ipoteza lui Bernoulli (ipoteza secţiunilor plane), conform căreia o secţiune plană şi normală pe axa barei înainte de deformare rămâne plană şi normală pe axă şi după deformare. Exemple de aplicare se întâlnesc la solicitarea de întindere (fig. 1.17, a) şi încovoierea pură (fig. 1.17, b).

Fig. 1.17 Exemple de aplicare a ipotezelor lui Bernoulli respectiv Saint-Venant

22

g) Ipoteza lui Saint-Venant, care arată că două sisteme de forţe echivalente din punct de vedere mecanic, au efecte diferite în ceea ce priveşte distribuţia de eforturi unitare (tensiuni) în zona de aplicare, dar au acelaşi efect într-o secţiune suficient de îndepărtată. Zona cu efecte diferite se consideră în jurul porţiunii de aplicare, pe o distanţă egală cu cel mult dimensiunea maximă de gabarit a secţiunii transversale a barei. În fig. 1.17,c este reprezentată o grindă încastrată având la capătul liber o forţă concentrată F (prima variantă), respectiv o sarcină distribuită p (a doua variantă). La locul de aplicare, distribuţia eforturilor unitare în secţiune este diferită, iar în secţiunea x sau în încastrare distribuţie este identică.

23

2 ÎNTINDEREA ŞI COMPRESIUNEA

O bară este solicitată la întindere sau compresiune, dacă în secţiunile normale pe axa ei apar numai eforturi de tip forţă axială.

2.1 Tensiuni normale şi deformaţii Se consideră o bară dreaptă de secţiune constantă, acţionată la capete de

un sistem de două forţe exterioare egale şi sens contrar, faţă de care greutatea proprie a barei este neglijabil de mică. În orice secţiune transversală forţa axială N este egală cu forţa F din capăt şi care solicită bara la întindere (fig.2.1,a) sau la compresiune (fig.2.1,c).

Fig. 2.1 Bare drepte solicitate la întindere sau compresiune

24

Pentru barele încărcate cu mai multe forţe, de-a lungul axei, este necesară

construirea unei diagrame a forţelor axiale, care să indice secţiunile periculoase, adică secţiunile cu eforturi maxime (fig. 2.2).

Fie o secţiune transversală BC, situată la o distanţă x de la un capăt al barei solicitată la întindere (fig.2.3). Sub acţiunea forţelor exterioare bara se deformează, iar secţiunea transversală se deplasează, dar rămâne plană şi normală pe axa longitudinală şi după deformaţie (ipoteza lui Bernoulli este respectată). Toate punctele secţiunii transversale se deplasează axial cu aceeaşi cantitate ∆x,

iar deformaţiile specifice xx∆

=ε sunt constante.

Aplicând legea lui Hooke εEσ = , rezultă că tensiunea normală este constantă pe secţiunea transversală. Utilizând relaţia de echivalenţă statică dintre forţa axială N şi tensiunea normală σ se obţine:

AdAdANAA

σ=σ=σ= ∫∫ ⇒ AN

=σ (2.1)

relaţia reprezintă formula de bază, în calculul de întindere sau compresiune, din condiţia de rezistenţă. Dacă materialul barei respectă legea lui Hooke, se poate exprima deformaţia specifică respectiv deformaţia barei, cu relaţiile:

Fig. 2.2 Diagramă de eforturi axiale Fig. 2.3 Deformaţii şi deplasări la întindere

25

EAN

E=

σ=ε respectiv

EANll =∆ (2.2)

Numitorul acestor relaţii (EA) se numeşte rigiditatea la întindere respectiv la compresiune a barelor. Cu relaţiile de mai sus se pot efectua cele trei categorii de probleme din Rezistenţa materialelor (tabelul 2.1). Relaţiile de calcul la întindere – compresiune Tabelul 2.1

Relaţia de bază Dimensionare Verificare Calculul efortului capabil

AN

=σ a

necNAσ

= aef

ef AN

σ≤=σ efacap AN σ=

EANll =∆ ( )a

'nec lE

NlA∆

= ( ) ( )aef

ef lEA

Nll ∆≤=∆ ( )ef

a'cap EA

ll

N∆

=

În tabelul 2.1, mărimile utilizate au următoarele semnificaţii: A, Anec şi

Aef reprezintă aria secţiunii, aria secţiunii necesară şi respectiv aria secţiunii efective; aσ şi efσ sunt tensiunea normală admisibilă respectiv tensiunea efectivă; N cap este forţa maximă ce poate fi preluată de către bară fără a se rupe (sau să nu producă deformaţii permanente.

Observaţii: - la dimensionare se adoptă o arie efectivă mai mare sau egală decât aria

cea mai mare dintre Anec şi 'necA ;

- în urma calcului efeortului capabil se alege valoarea cea mai mică dintre Ncap şi '

capN .

2.2 Întinderea şi compresiunea barelor cu variaţii de secţiune

Barele solicitate la întindere sau compresiune se execută, în general, cu secţiunea constantă pe toată lungimea lor. În unele cazuri, din motive constructive sau accidentale, secţiunea variază în lungul barei. În fig.2.4. s-au reprezentat două platbande îmbinate prin trei nituri şi solicitate la întindere de către sistemul de forţe F. În secţiunile efectuate, platbandele au următoarele arii: A1-1 = bs, A2-2 = (b - d)s, respectiv A3-3 = (b - 2d)s.

26

Fig. 2.4 Barele cu variaţii de secţiune solicitate la întindere-compresiune Secţiunea neslăbită a platbandei se numeşte secţiune brută (Abrut), iar

secţiunile slăbite se numesc secţiuni nete sau efective (Aef). Dintre toate secţiunile cu slăbiri care se găsesc în lungul barei, cea mai mică poartă denumirea de secţiune periculoasă. În această secţiune se produce efortul unitar cel mai mare. La orice problemă, calculul de rezistentă se efectuează în dreptul secţiunii periculoase. Măsurătorile de precizie a valorilor eforturilor din barele cu variaţii de secţiune au arătat că în dreptul secţiunilor slăbite repartiţia eforturilor unitare nu este uniformă pe suprafaţa secţiunii transversale.

În cazul unei platbande solicitate la întindere şi slăbită printr-o gaură, tensiunea (efortul unitar) normală variază în secţiunea slăbită, având valoarea maximă la marginea găurii (fig. 2.5.). Tensiunea normală σmax este mult mai mare decât tensiunea normală σn din secţiunea neslăbită. Relaţia de legătură se stabileşte prin coeficientul de concentrare αk > 1, astfel că: σmax = αkσn (2.3) Acest fenomen se numeşte concentrarea eforturilor unitare, iar variaţiile de secţiune (gaură, racordare, crestătură, canal etc.) sau orice altă cauză care provoacă acest fenomen se numeşte concentrator de eforturi unitare. Concentratorii de tensiune sunt deosebit de periculoşi în cazul materialelor fragile. La materialele tenace, efortul de concentrare este mai redus, uneori chiar neglijabil. Mărimea coeficientului de concentrare αk depinde de forma şi dimensiunile concentratorului precum şi de materialul piesei. Valorile lui αk se dau în memoratoare, sub formă de tabele, sau se obţin din diagrame.

2.3 Tensiuni şi deformaţii ţinând cont de greutatea proprie La barele de lungime mare, care se află în poziţie verticală, este necesar să

se ţină cont şi de greutatea proprie. În fig.2.6. se prezintă o bară verticală de lungimel l, cu rigiditatea EA = ct. şi din material omogen cu greutatea specifică γ.

Fig. 2.5 Variaţia eforturilor unitare

normale în dreptul unui concentrator de tensiune

27

Bara este încastrată la capătul superior şi solicitată la întindere de o forţă F la capătul liber, precum şi de greutatea proprie. Într-o secţiune x, de la capătul liber, forţa axială şi tensiunea normală se calculează cu:

AxF γ+=xN xAF

ANx γ+==xσ (2.4)

Deci, Nx şi σx variază liniar de-a lungul barei (fig.2.6.). La extremităţile barei valorile tensiunilor normale sunt:

minAF

σ==1σ , respectiv maxlAF

σ=γ+=2σ (2.5)

Secţiunea periculoasă este la capătul încastrat al barei, iar pentru dimensionare se impune amax σσ = şi se obţine:

Fig. 2.6 Bara solicitată axial şi Fig. 2.7 Forma practică a barei de de greutatea proprie egală rezistenţă la întindere

28

l

FAa

nec γ−σ= (2.6)

La bare de lungimi foarte mari (de exemplu cablurile din industria minieră), se poate ajunge la ruperea sub greutate proprie (F = 0 şi σr = γlr). Lungimea de rupere sub efectul greutăţii proprii se calculează cu realţia:

γσ

= rrl . (2.7)

Calculul deformaţiei se face ţinând cont că σ variază în lungul barei. Se presupune, pe lungimea infinit mică dx, că σx = const., obţinând lungirea elementului dx cu expresia:

dxxAF

E1dx

Edxdx x

x

γ+=

σ=ε=∆ (2.8)

Lungirea l∆ a întregii bare se obţine integrând relaţia anterioară pe lungimea l, adică

EA

llA21F

E2l

EAFldxx

AF

E1dxl

21

0

1

0

γ+

=γ

+=

γ+=∆=∆ ∫∫ (2.9)

Ţinând cont de greutatea barei G = γlA, se obţine

EA

l2GF

l

+

=∆ , iar pentru F = 0 rezultă EA2Gll =∆ (2.10)

În tabelul 2.2. se prezintă relaţiile de calcul, ţinându-se cont de greutatea proprie a barei. Relaţiile de calcul la întindere ţinând cont şi de greutatea proprie Tabelul 2.2.

Dimensionare Verificare Calculul efortului capabil Deformaţia

lFA

anec γ−σ

= aef

ef lAF

σ≤γ+=σ ( ) efacap AlN γ−σ=

+=∆

2GF

EAll

Bara de lungime mare şi secţiune constantă este o soluţie neeconomică de

utilizare a materialului. Soluţia corectă o constitue bara de egală rezistenţă la întindere sau compresiune, la care tensiunea normală este constantă în lungul barei. Aria secţiunii barei trebuie să varieze de-a lungul acesteia (fig.2.8.), după o lege exponenţială.

29

Notând cu Gx greutatea de bară situată sub secţiunea x şi considerând elementul de bară dintre secţiunile x şi (x + dx) ca prismatic, deci de greutate γAxdx, se poate scrie echilibrul în secţiunile x şi (x + dx), sub forma:

Axσa = F + Gx;

( ) dxAGFdAA xxaxx γ++=σ+ .

Prin scădere, se obţine ecuaţia diferenţială a barei de egală rezistenţă la întindere:

dxAdA xax γ=σ , sau dxA

dA

ax

x

σγ

= .

Prin integrare se obţine:

CxAlna

x +σγ

= , (2.11)

unde constanta a

0FACσ

== se determină din condiţiile la limită pentru x = 0 şi

Ax = A0.

Legea exponenţială de variaţie a secţiunii barei este:

x

ax

aeFA σγ

σ= (2.12)

Constructiv, o bară de egală rezistenţă (fig.2.8) este dificil de executat. Ea se înlocuieşte printr-o bară cu variaţie în trepte a secţiunii transversale (fig.2.7,a), realizabilă constructiv mai simplu. Aplicând succesiv formula de dimensionare (2.6) pentru bara din fig.2.6, se obţine:

30

;l

FA1a

nec1 γ−σ= ef111 AlG γ= ;

;l

GFA2a

1nec2 γ−σ

+= ef222 AlG γ= ; (2.13)

;l

G...GFAna

1n1necn γ−σ

+++= − efnnn AlG γ= ;

Variaţia tensiunilor normale de-a lungul tronsoanelor este indicată în fig.2.7,b.

Lungirea totală se determină prin însumarea lungirilor tronsoanelor componete ale barei:

n21 l...lll ∆++∆+∆=∆

Lungirea unui tronson se calculeză cu relaţia generală:

+++=∆

2G...GF

EAll n

1efn

nn (2.14)

Observaţie: Formulele de calcul stabilite pentru barele verticale lungi solicitate la întindere sunt valabile şi pentru barele verticale solicitate la compresiune, ţinând cont şi de greutatea proprie, care este de asemenea o foţă de compresiune dacă nu intervin fenomene de pierdere a stabilităţii.

2.4 Probleme static nedeterminate de întindere – compresiune

Pentru unele probleme de întindere sau de compresiune, valorile forţelor axiale din secţiunile transversale ale barei nu se pot determina numai cu metodele de calcul ale staticii. Aceste probleme se numesc static nedeterminate. În cadrul acestor probleme se poate descompune o forţă într-un număr de componente mai mare decât numărul de ecuaţii de echilibru; se pot calcula eforturile într-o secţiune neomogenă sau se pot studia efectele variaţiilor de temperatură. Pentru rezolvarea sistemelor static nedeterminate de întindere-compresiune trebuia ca, pe lângă ecuaţiile de echilibru static, să se formeze cu necunoscutele respective noi ecuaţii,

Fig.2.8 Grinda de egală rezistenţă la întindere

31

egale ca număr cu gradul de nedeterminare statică al sistemului respectiv. Aceste ecuaţii se formează cu ajutorul relaţiilor de deformaţii şi deplasări, care să fie compatibile cu legăturile sistemului deformat. Rezolvarea acestor probleme implică cunoaşterea prealabilă, sau admiterea drept cunoscute a rigidităţilor tuturor barelor sau, cel puţin, a raportului dintre aceste mărimi. Modul de rezolvare a acestor probleme este indicat prin câteva exemple tipice.

a) Bara articulată (sau încastrată) la capete Considerăm bara dublu articulată (fig. 2.9), de rigiditate EA=ct. şi încărcată cu forţa F aplicată în punctul M. Se cer reacţiunile H1 şi H2 din

articulaţii. Bara se deformează pe tronsoanele 1 – 3 cu ∆a şi pe 3 – 2 cu ∆b, dar lungirea ei totală este zero, deoarece reazemele 1 şi 2 sunt fixe. Pentru calculul necunoscutelor se scrie ecuaţia de echilibru static ( )0Xi =Σ şi condiţia de deformaţie ( )0l =∆ obţinându-se: 021 =−+− HFH (2.15)

Δa + Δb = 0 (2.16) Deformaţiile ∆a şi ∆b se calculează cu relaţia specifică, ţinând cont că pe tronsonul 1–3 forţa axială este 113 HN = şi creează întindere, iar pe tronsonul 3–2, 2132 HFHN −=−= determină

Fig. 2.9 Bara articulată (sau

încastrată la capete)

32

compresiune. Revenind în (2.16) se obţine:

( ) 0EA

bFHEA

aHl 11 =−

+=∆

sau: 0b)FH(aH 11 =−+ ,

din care se deduce

lbF

babFH1 =+

=

Folosind relaţia 2.15, se găseşte:

laFH2 =

Cunoscând valorile forţelor axiale pe fiecare tronson al barei, se poate trasa diagrama N (fig. 2.9). Metoda este aplicabilă pentru orice număr de forţe şi pentru cazul rigidităţilor diferite pe intervalele barei. b) Eforturi unitare datorate variaţiilor de temperatură

În cazul unei variaţii de temperatură ∆t = ∆T, bara de lungime l suferă o variaţie de lungime egală cu:

tllt ∆α=∆ (2.17) în care α este coeficientul de dilatare termică liniară al materialului barei. Dacă dilatarea unei bare datorită unei variaţii de temperatură este parţial sau total împiedicată de legături, în bara respectivă se produc eforturi şi eforturi unitare termice (tensiuni). În cazul dilatării împiedicate (fig. 2.10,a) în bară apare un efort N (egal cu recţiunea reazemelor) care produce o scurtare a barei (reazemele fiind fixe) de mărime.

EANllN =∆ (2.18)

Condiţia de deformare este 0=∆−∆=∆ Nt lll , de unde rezultă:

Fig. 2.10 Elemente de

rezistenţă supuse variaţiilor de temperatură

33

EANltl =∆α , respectiv tEAN ∆= α (2.19)

Efortul unitar normal datorită dilatării împiedicate este:

tEAN

∆== ασ (2.20)

Dacă la capătul barei există un rost de dilatare, de mărime δ (fig. 2.10,b), relaţia de deformaţie are forma:

δ=−∆αEANltl (2.21)

şi prin rezolvare se obţine N. Dacă N este negativ, înseamnă că prin dilatare nu se umple rostul şi deci nu se produc eforturi unitare termice.

3 COMPRESIUNEA PE SUPRAFAŢA DE CONTACT A DOUĂ CORPURI. STRIVIREA

Transmiterea unor încărcări de la un element de rezistenţă la altul este

însoţită de o solicitare de compresiune pe suprafaţa comună de contact a celor două elemente de rezistenţă, numită compresiune locală sau strivire. La valori mari ale tensiunii pe suprafaţa de contact numită presiune de contact ( sσ ), zona de

34

contact se poate deteriora sau distruge prin strivire. Pentru fiecare pereche de materiale în contact, solicitate la strivire, calculul se face pe baza tensiunii normale admisibile la strivire asσ (sau presiune de contact admisibilă pac) a materialului mai puţin rezistent. Forma geometrică a suprafeţei de contact poate fi: plană, curbă, liniară sau punctiformă.

a) Suprafaţă plană de contact. În general, rezultanta forţelor de apăsare trece prin centrul de greutate al suprafeţei de contact, calculul făcându-se ca şi în cazul compresiunii centrice,

admiţând o repartiţie uniformă a presiunii de contact. Pentru exemplificare se consideră un stâlp de oţel rezemat centric pe teren prin intermediul unei plăci de fontă şi al unui bloc din beton (fig.3.1.).

S-au notat: F, forţa de compresiune aplicată stâlpului; G1, G2, G3 greutăţile proprii ale elementelor componente; A1, A2, A3 ariile suprafeţelor de contact ale perechilor de materiale; terenas,betonas,fontăas,otelas, σσσσ >>> tensiunile normale adimisibile la strivire ale materialelor elementelor de rezistenţă în contact.

Se efectuează următoarele verificări:

fontă,as1

11s A

GFσ≤

+=σ beton,as

2

212s A

GGFσ≤

++=σ (3.1)

teren,as3

3213s A

GGGFσ≤

+++=σ

b) Suprafeţe curbe de contact. În cazul contactului dintre fusul radial de capăt al unui arbore şi lagăr (fig.3.2,a), dintre tija unui nit sau bulon (fig. 3.2,c) şi pereţii găurilor pieselor asamblate etc., suprafaţa de contact este de formă cilindrică. Pentru fusul sferic contactul cu lagărul respectiv este după o suprafaţă sferică (fig. 3.2,d)

Fig. 3.1 Strivirea suprafeţelor plane de

contact

35

Repartiţia presiunii de contact pe conturul unei secţiuni transversale este după o lege dificil de stabilit (fig.3.2,b). În calculele practice se operează, în mod convenţional, cu o presiune medie de contact dată de relaţia:

asmed,s ldF σσ ≤⋅

= (3.2)

Valoarea asσ depinde de natura perechilor de materiale şi de condiţiile de

lucru ale elementelor de rezistenţă în contact. c) Suprafeţe mici de contact. În cazul rezemărilor dintre elementele de rezistenţă, prin intermediul bilelor sau rolelor, suprafeţele de contact sunt foarte mici, respectiv presiunile de contact sunt foarte mari. Este cazul rulmenţilor cu bile sau cu role, a roţilor vagoanelor pe şină etc. Calculul acestor presiuni de contact se face utilizând relaţiile stabilite de către Hertz, având la bază ecuaţiile teoriei elasticităţii.

4 FORFECAREA 2.1 Tensiuni tangenţiale şi deformaţii Solicitarea simplă de forfecare este produsă de către forţa tăietoare. În

practică, solicitarea de forfecare este însoţită, de regulă, de încovoiere respectiv strivire. O bară se consideră solicitată la forfecare sau tăiere dacă perpendicular pe axa ei acţionează două forţe distribuite liniar, egale şi sens contrar, cu o

Fig. 3.2 Strivirea suprafeţelor curbe de contact

36

distanţă a foarte mică între suporturile lor (fig. 4.1). Un exemplu de forfecare o reprezintă tăierea unei bare cu ajutorul cuţitelor unei foarfeci. La creşterea modulelor forţelor F, bara se foarfecă în dreptul unei secţiuni, numită secţiune de forfecare A, cuprinsă între planele de alunecare ale cuţitelor foarfecelui. În această secţiune se produce o forţă tăietoare T egală şi de sens contrar cu F, care creează tensiuni tangenţiale τ. În calculul la forfecare se admite ipoteza simplificatoare a repartiţiei uniforme a tensiunii tangenţiale τ pe suprafaţa secţiunii de forfecare. Pe baza relaţiei de echivalenţă statică dintre forţa tăietoare T şi tensiunea tangenţială τ din secţiunea de forfecare având aria A, se poate scrie:

AdAdATA A

τ=τ=τ= ∫ ∫ ⇒ AT

=τ (4.1)

Expresia de mai sus reprezintă formula de bază în calculul convenţional la forfecare, din condiţia de rezistenţă, cu care se pot efectua următoarele tipuri de probleme: a) Calculul de dimensionare. În acest caz trebuie cunoscute încărcarile exterioare (cu care se determină T) şi caracteristica de material τaf. Aria minimă necesară a secţiunii de forfecare se determină cu relaţia:

af

necTAτ

= (4.2)

În funcţie de elementele standardizate sau de componente constructive se adoptă aria efectivă Aef ≥ Anec. b) Calculul pentru verificare. Se presupun cunoscute încărcarea exterioară (pentru determinarea lui T), aria secţiunii de forfecare Aef şi caracteristica mecanică de materiale τaf. Verificarea constă în calculul efortului unitar tangenţial (tensiunea tangenţială) efectiv din secţiunea piesei şi comparerea cu τaf. Condiţia de rezistenţă este îndeplinită dacă se respectă relaţia:

(4.3)

c) Calculul efortului capabil. În acest caz trebuie cunoscute Aef şi τaf. Efortul capabil se determină cu relaţia:

(4.4)

afef

ef AT ττ ≤=

afefcap AT τ=

37

La prelucrarea unor piese prin tăiere sau decupare trebuie determinată tensiunea de rupere prin forfecare a piesei, pentru alegerea corectă a tipului de foarfecă sau de presă, pe care să se execute operaţia tehnologică. Relaţia de calcul este: efrrup AT τ= (4.5) Deformaţia la forfecare nu prezintă un interes practic. Ea constă în deplasarea relativă Δs a două secţiuni situate la distanţa a (fig.4.1).

Pentru materialele care satisfac legea lui Hooke se obţin succesiv deplasări calculate cu:

GATaa

Gas =

τ=γ=∆ (4.6)

în care produsul GA se numeşte rigiditatea la forfecare a secţiunii transversale.

Relaţia convenţională (4.1), suficientă pentru nevoile practicii, permite rezolvarea celor trei categorii de probleme, redate schematic în tabelul 4.1.

Relaţiile de calcul la solicitarea de forfecare Tabelul 4.1

Dimensionare Verificare Calculul efortului capabil Deformaţii

afnec

TAτ

= afef

ef AT

τ≤=τ afefcap AT τ= GATaas =γ=∆

Fig. 4.1 Schema solicitării la forfecare

38

4.2 Elemente de îmbinare solicitate la forfecare Îmbinarea reprezintă o legătură dintre două sau mai multe elemente de

rezistenţă, realizată astfel încât să se asigure condiţiile de rezistenţă, rigiditate, funcţionalitate şi economicitate a ansamblului din care face parte.

a a a Îmbinările pot fi nedemontabile, respectiv demontabile (asamblări). La

îmbinările nedemontabile prin nituire, sudare respectiv lipire apare solicitarea simplă de forfecare. În (fig. 4.2,a) este redată schema unei îmbinări prin nituire precum şi modul de transmitere a încărcării prin nit. Schema unei îmbinări sudate cu sudură laterală de colţ este redată în (fig. 4.2,b). Aria de forfecare se consideră de-a lungul cordonului de sudură, fiind înclinată la 450 şi având valoarea 2(ls

.a). În cazul îmbinărilor prin lipire (fig. 4.2,c) aria de forfecare este tocmai aria de suprapunere a profilelor lipite.

6 ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

Fig. 4.2 Exemple de elemente solicitate la forfecare

39

6.1 Noţiuni generale Dacă în secţiunea unei bare se pune în evidenţă efortul moment

încovoietor (Mi) atunci bara este solicitată la încovoiere. Încovoierea poate fi de două tipuri: încovoiere pură, respectiv încovoiere simplă. Încovoierea pură apare atunci când în secţiunea barei există numai tensiuni normale (σ), produse de momentul încovoietor (fig.6.1,a). Solicitarea barei este de încovoiere simplă dacă există simultan, în secţiunea barei, tensiunile σ şi τ produse de către momentul încovoietor respectiv de o forţă tăietoare (fig.6.1,b).

Fig. 6.1 Eforturi şi tensiuni la încovoiere pură respectiv încovoiere simplă

Fig. 6.2. Grindă simplu rezemată solicitată la încovoiere

40

La grinda simplu rezemată (fig.6.2) încărcată simetric, tronsoanele 1 – 2 şi 3 – 4 sunt solicitate la încovoiere simplă (T ≠ 0 şi Mi ≠ ct.), iar tronsonul 2 – 3 la încovoiere pură (T = 0 şi Mi = ct.).

6.2 Încovoierea pură. Formula lui Navier Considerăm un element de lungime dx (fig.6.3) dintr-o bară solicitată la

încovoiere pură şi se admite planul forţelor ca un plan de simetrie al barei (xOy), rezultă că axa Oy este axă principală de inerţie.

Experimental s-a demonstrat că ipoteza lui Bernoulli este valabilă în cazul

barelor solicitate la încovoiere pură. În urma deformaţiei elementului de bară, arcele A’C’; OP; M’N’ şi B’D’

care provin prin scurtarea segmentului AC şi lungirea segmentelor MN respectiv BD, au centrul de curbură la intersecţia dreptelor A’B’ şi C’D’.

Linia OP care este locul geometric al centrelor de greutate al tuturor secţiunilor, numită fibră medie a barei, rămâne de lungime neschimbată. Fibrele barei care după deformaţie îşi păstrează lungimea poartă denumirea de fibre

Fig. 6.3 Deformaţia grinzii supuse la solicitarea de încovoierea pură

41

neutre. Totalitatea fibrelor neutre corespunzătoare întregii lăţimi a secţiunii determină suprafaţa neutră. Lungimea arcului de curbă OP, în funcţie de raza de curbură ρ a fibrei medii deformate este:

dx = ρdϕ (6.1) Unghiul dϕ măsoară rotirea celor două secţiuni situate la distanţa dx una

faţă de cealaltă. În urma deformaţiei, fibra MN de lungime iniţială dx şi situată la distanţa y de fibra medie devine arcul M’N’ (fig.6.3,c) de lungime arc M’N’ = (ρ + y)dϕ. Alungirea acestei fibre se calculează cu relaţia:

( )ρ

=ρϕ

ϕρ−ρ+ρ=

∆=ε

yddydxdx (6.2)

Pe baza legii lui Hooke se calculează tensiunea normală σ, ce corespunde fibrei MN, cu expresia:

ρ

=ε=σyEE (6.3)

Relaţiile (6.2) şi (6.3) arată că efortul unitar σ şi alungirea ε variază liniar pe secţiune (fig.6.4).

Pentru a determina relaţia de legătură dintre momentul încovoietor şi tensiunea normală în secţiunea considerată, se utilizează ecuaţiile de echivalenţă statică. Pe elementele de arie dA, eforturile unitare σ produc eforturile elementare σdA paralele (fig. 6.1,a). Deoarece în secţiune nu există forţa axială N, iar momentul încovoietor este dirijat de-a lungul

Oz, ecuaţiile de echivalenţă sunt:

a) ∫ =σ=A

0AN ; b) ∫ =σ=Ay 0zAM ; c) ∫ =σ=

A iz MydAM (6.4)

Ţinând cont că 0E≠

ρ (din relaţia 6.3) şi că nu depinde de elementul dA,

din relaţiile (6.4) se obţin:

a) ∫ =A

ydA 0 ; b) ∫ =A

0zydA ; c) ∫ =ρ A i

2 MdAyE (6.5)

Fig.6.4 Variaţia pe secţiune a tensiunii

normale şi deformaţiei specifice

42

şi rezultă:

a) Sz = 0; b) Iyz = 0; c) iz MIE=

ρ (6.6)

Relaţiile obţinute arată următoarele: - axa z trece prin centrul de greutate al secţiunii, deoarece momentul

static faţă de ea este nul. Ea se numeşte axa neutră a secţiunii: Axa neutră reprezintă intersecţia dintre suprafaţa neutră cu planul

secţiunii transversale şi coincide în cazul solicitării de încovoiere pură cu axa vectorului moment încovoietor.

- axele y şi z sunt axe principale de inerţie deoarece momentul centrifugal este nul.

Din relaţiile (6.6,c şi 6.3) se obţine expresia de calcul a tensiunii normale (efort unitar normal):

z

i

IyM

=σ (6.7)

numită formula lui Navier. În fibrele extreme ale secţiunii (y = ymax) se produc tensiunile normale σmax calculabile din formula lui Navier:

z

i

z

imaxmax W

MI

My==σ (6.8)

în care max

zz y

IW = se numeşte modulul de rezistenţă axial şi este o caracteristică

geometrică a secţiunii.

6.3 Relaţii de calcul

Calculul la încovoierea pură se face pe bază condiţiei de rezistenţă utilizând relaţia (6.8). a) Calculul de dimensionare. Se determină caracteristica minimă de secţiune cu relaţia:

ai

maxiznec

MWσ

= (6.9)

în care maxiM este momentul de încovoiere maxim, iar aiσ rezistenţa admisibilă. După determinarea valorii znecW trebuie aleasă forma raţională a secţiunii şi găsite dimensiunile ei astfel încât zneczef WW ≥ . Forma secţiunii este cu atât mai

43

raţională cu cât modulul de rezistenţă are o valoare mai mare pentru un consum de material cât mai mic. Secţiunea este mai economică cu cât raportul dintre modulul de rezistenţă şi arie este mai mare. În tabelul 6.1. se dau comparativ valorile acestui raport pentru câteva forme uzuale de secţiune. Raportul dintre caracteristicile geometrice uzuale de secţiune Tabelul 6.1

b) Calculul pentru verificare. În funcţie de momentul încovoietor maxim şi de caracteristica efectivă a secţiunii, se calculează tensiunea normală efectivă şi se compară cu valoarea admisibilă:

aizef

maxief W

Mσ≤=σ (6.10)

c) Calculul efortului capabil. Se determină valoarea maximă a momentului încovoietor ce poate fi preluat de către o grindă cunoscând caracteristica efectivă a secţiunii şi valoarea rezistenţei admisibile: aizeficap WM σ= (6.11)

În tabelul 6.2 sunt prezentate formulele de calcul la încovoierea pură, din condiţia de rezistenţă.

Relaţii de calcul la încovoierea pură Tabelul 6.2

Relaţia de bază Dimensionare Verificare Calculul efortului capabil

44

z

i

WM

=σ ( )ai

maxinecz

MW

σ= ai

efz

maxief )W(

Mσ≤=σ ( ) ( ) aiefzcapi WM σ=

Dacă încărcările exterioare ale unei bare au componente în planele xOy şi

xOz, atunci în secţiunea barei apar simultan momentele încovoietoare Miz şi Miy dirijate după axele Oz respectiv Oy. Această solicitare poartă denumirea de încovoiere oblică. Într-un punct al secţiunii transversale de coordonate z şi y, tensiunea normală este egală cu suma algebrică a tensiunilor normale produse de către cele două momente încovoietoare:

y

iy

z

iz

y

iy

z

iz'''

WM

WM

IzM

IyM

±±=±±=σ+σ=σ (6.12)

Modulele de rezistenţă axiale pentru câteva secţiuni caracteristice sunt date în tabelul 6.3. Module de rezistenţă axiale pentru secţiuni particulare Tabelul 6.3

6.4 Dualitatea tensiunilor (eforturilor unitare) tangenţiale

45

Se consideră un element de volum paralelipipedic (fig. 6.5, a) pe feţele căruia apar eforturi unitare normale şi tangenţiale datorită încărcării exterioare a elementului de rezistenţă din care face parte. Deoarece grosimea elementului considerat este egală cu unitatea, starea de solicitare poate fi reprezentată printr-o figură plană (fig. 6.5, b) şi poartă denumirea de stare plană de eforturi unitare. Dacă se scrie ecuaţia de momente în raport cu O1 a tuturor forţelor elementare de pe feţele elementului, se obţine:

02

dy1dx22

dx1dy2 yxxy =⋅⋅⋅τ−⋅⋅⋅τ

de unde rezultă: yxxy τ=τ . (6.13)

Relaţia (6.13) exprimă una dintre teoremele fundamentale ale teoriei elasticităţii, numită dualitatea eforturilor unitare tangenţiale şi care se enunţă astfel: dacă pe un plan din interiorul uni corp există un efort unitar tangenţial, atunci pe un plan perpendicular pe el există acelaşi efort unitar tangenţial, ambele fiind orientate simetric faţă de muchia comună a planelor şi perpendiculare pe ea.

Fig. 6.5 Tensiuni normale şi tangenţiale pe feţele elementului de volum

46

6.5 Tensiuni tangenţiale la încovoiere simplă

La grinzile solicitate la încovoierea simplă, în secţiunile transversale acţionează simultan momente încovoietoare şi forţe tăietoare. Din tronsonul 1 – 3 al barei reprezentate în fig. 6.2 se detaşează un element solicitat la încovoiere simplă, de lungime dx. Pe feţele elementului apar eforturile moment încovoietor şi forţă tăietoare (fig.6.6,a) care produc eforturile unitare reprezentate în fig.6.6,b. Eforturile unitare tangenţiale τ, din secţiunile PQB şi PP’Q’Q au în punctele de pe muchia comună aceeaşi valoare, în conformitate cu principiul dualităţii eforturilor unitare tangenţiale (fig.6.6,d). În dreptul unui punct de ordonată y valoarea eforturilor unitare normale, pe feţele elementului, se calculează cu relaţia lui Navier:

z

i

IyM

=σ , respectiv ( )z

ii

IydMMd +

=σ+σ (6.14)

Echilibrul forţelor elementare de pe elementul secţionat (fig.6.6,d) se exprimă cu ajutorul unei ecuaţii de proiecţie 0Xi =Σ , după cum urmează:

( ) 0bdxdAdAdAyAy

=τ−σ−σ+σ ∫∫

47

Fig. 6.6 Starea de tensiuni în secţiunea grinzii solicitate la încovoiere simplă

48

Utilizând relaţiile (6.14) se obţine: ( ) 0bdxdA

IyMdA

IydMM

Ay z

i

Ay z

ii =τ−−+

∫∫

de unde rezultă expresia tensiunii tangenţiale:

∫=τyA

i

z

ydAdx

dMbI1 .

Deoarece Tdx

dMi = este forţa tăietoare din secţiune; Iz –momentul de

inerţie axial al întregii secţiunii, calculat faţă de Oz ; b –laţimea secţiunii la

distanţa y faţă de axa neutră şi zAy

SydA =∫ este momentul static al părţii de

secţiune (Ay) în raport cu axa neutră a secţiunii, se obţine:

z

z

bITS

=τ , (6.15)

numită formula lui Juravski. Modul de variaţie a tensiunilor tangenţiale la diferite secţiuni transversale ale grinzii: a) secţiune dreptunghiulară Pentru secţiunea dreptunghiulară (fig.6.7), mărimile geometrice care sunt cuprinse în formula lui Juravski au expresiile:

−=

−+

−= 2

2

42242yhbyhyyhbS z ;

bhA;12bhI

3

z ==

iar tensiunea (efortul unitar) tangenţială este:

−=

−=

−=

−

= 2

2

2

2

2

22

2

33

22

65,14

64

6

12

42hy

AT

hy

hh

ATyh

bhT

bhb

yhbT

xyτ

49

Fig.6.7 Variaţia tensiunilor tangenţiale la secţiunea

dreptunghiulară

Fig.6.8 Variaţia tensiunilor tangenţiale la secţiunea circulară

50

Variaţia efortului unitar tangenţial este parabolică, având valoare maximă în axa

neutră (y = 0) şi nul în fibrele extreme

=

2hy , fiind în opoziţie cu efortul unitar normal

σ, care este nul în axa neutră şi maxim în fibrele extreme:

AT5,1

bhT

23

maxxy ==τ . (6.17)

b) secţiunea circulară Analizând fig. 6.8 se pot scrie următoarele relaţii:

dxsinrdy;cosry α−=α= Mărimile geometrice care intră în formula lui Juravski sunt:

4r

64dI;sinr2b

44

zπ

=π

=α= şi

αααα 3323

02 sin

32cossin2 rdxrybdyydAS

d

yAy

z =−=== ∫∫∫ ,

iar tensiunea tangenţială (efortul unitar tangenţial) are expresia:

(6.18)

Tensiunea tangenţială τxy variază după legea funcţiei sin2α, este nulă în fibrele extreme şi maximă în axa neutră (α = π / 2), iar:

AT

34

=τ (6.19)

c) Secţiune transversală în formă de profil I În această situaţie se poate considera că secţiunea este compusă din mai multe dreptunghiuri cărora li se aplică formula lui Juravski. În timp ce momentul static Sz variază continuu când se parcurge distanţa de la axa neutră spre fibrele extreme, în B apare un salt al lăţimii b, ceea ce dă o discontinuitate a parabolei care reprezintă variaţia tensiunii tangenţiale τx.

Fig. 6.9 Variaţia tensiunilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii

transversale în formă de I a grinzii Se aplică formula lui Juravski, mai întâi pentru dreptunghiul tălpii, de lăţime bt şi apoi pentru dreptunghiul inimii, de lăţime mai mică, bi şi se obţin:

- în talpă

α=π

α

α=τ 2

4

33

xy sinAT

34

4rsinr2

sinr32T

51

−=

−⋅=τ 2

2

z

22

t

ztyx y

4h

I2Ty

4h

2b

IbT

- în inimă

−+

−⋅= 2

222

4442y

hb

hhbIb

T ii

it

ziyxτ

Observaţie: Tensiunea tangenţială din secţiune (τyx) are o variaţie parabolică pe întreaga înălţime a acesteia, dar din cauza trecerii de la bt la bi diagrama acesteia va prezenta un salt pentru y = ± hi / 2. Rezultă că la profilul I, din cauza formei sale, se produc tensiuni tangenţiale τyx destul de mari în apropierea de fibrele extreme, la trecerea de la inimă la talpă. Prin calcule se poate demonstra că raportul dintre tensiunea (efortul unitar) tangenţială τ şi tensiunea normală (efortul unitar) normal σ este direct proporţional cu înălţimea secţiunii şi invers proporţional cu deschiderea grinzii. Pentru h/l suficient de mic, τmax este neglijabil în comparaţie cu σmax. Din acest motiv, calculul se efectuează numai în baza momentului încovoietor. La grinzile cu h/l mare se ţine seama de tensiunea tangenţială produsă de forţa tăietoare.

6.6 Neglijarea tensiunilor tangenţiale în unele calcule de încovoiere

52

S-a pus problema de examinare a raportului existent între valorile maxime ale tensiunilor τ şi σ, într-o bară solicitată la încovoiere. Calculul se realizează pe exemplul particular al unei grinzi simplu rezemată la capete, cu o sarcină concentrată aplicată la mijlocul deschiderii (fig.6.10), având secţiunea dreptunghiulară b.h. Eforturile în secţiunea pe care acţionează sarcina concentrată F, au următoarele valori maxime:

4

;2

FlMFT iz ==

Tensiunile maxime în aceeaşi secţiune sunt:

2maxmax 23;

43

23

dhFl

WM

bhF

AT

z

iz ==== στ

Împărţind aceste valori, se află:

l2h

max

max =στ

Pentru grinzile care au, în general, raportul h/l destul de mic, ceea ce face ca τmax să aibă o valoare neglijabilă în comparaţie cu σmax. Din acest motiv, la grinzile omogene, executate dintr-o singură bucată, de obicei, nu se ţine cont în calcule de tensiunile tangenţiale, dimensionarea făcându-se în baza momentului încovoietor, ca şi la încovoierea pură.

La grinzile cu raportul h/l relativ mare, în calcule se va ţine cont şi de efectul datorat tensiunilor tangenţiale.

6.7 Lunecarea longitudinală şi împiedicare ei

Pe planul orizontal PQQ’P’ din fig.6.6, tensiunile tangenţiale dau o forţă paralelă cu axa barei.

dxI

TSbdxbITSbdxdL

z

z

z

zyx ==τ=

Pe o lungime oarecare de grindă l, forţa de lunecare longitudinală este:

∫∫ ==l

z

zl

dxI

TSdLL

Pentru bara prismatică, mărimile Sz, Iz sunt constante şi ies de sub integrală:

Fig. 6.10 Grindă simplu rezemată şi diagramele de eforturi aferente

53

∫=l

z

z TdxISL (6.20)

Dacă planul PQQ’P’ este plan de separare efectivă a grinzii, lunecarea longitudinală nu mai este împiedicată şi cele două părţi lunecă una faţă de alta. Pentru exemplificare se analizează cazul a două grinzi de secţiune pătrată, executată din lemn (fig.6.11,a). În urma încărcării, grinzile se deformează conform fig. 6.11, b, iar ipoteza secţiunilor plane nu mai este valabilă pentru ansamblul, ci doar pentru grinzile luate separat.

Modulul de rezistenţă a întregii grinzi este suma modulelor de rezistenţă ale celor două grinzi separate:

3a

6a2W

33

1 ==

Pentru ansamblul grinzii trebuie împiedicată lunecarea, astfel încât rigidizarea se poate realiza prin două buloane (fig.6.11, c). În noua situaţie modulul de rezistenţă axial este:

3a2

6)a2(a

6bhW

322

2 ===

54

Fig. 6.11 Lunecarea longitudinală şi împiedicarea ei Observaţie: Se constată că W2 = 2W1 deci, în cazul considerat grinda solidarizată are capacitatea portantă de două ori mai mare decât pentru cazul de nesolidarizare. Se poate calcula forţa de lunecare şi apoi se face dimensionarea bulonului. Schema de încărcare este reprezentată în fig. 6.11. Integrând pe lungimea l/2, pe care forţa tăietoare este constantă, se poate calcula forţa preluată de un bulon.

∫ == 2l

0z

z

z

z

I4FlSdx

2F

ISL

În această relaţie Sz se referă la suprafaţa care tinde să lunece, faţă de restul secţiunii, adică la un pătrat complet.

3a2

12)a2(a

12bhI

2a

2aaS

433

z

32

z =====

a16

Fl3

3a24

Fl2a

L 4

3

== (6.21)

Pentru grinzile de secţiuni compuse îmbinate prin nituire sau sudare, lunecarea longitudinală este preluată de nituri respectiv cordoanele de sudură. Pentru exemplificare se ia calculul cordoanelor de sudură, la o grindă de secţiuni sub formă de I, compusă dintr-o inimă şi două tălpi solidarizate prin sudură (fig. 6.12,a şi b).

55

Fig. 6.12 Elementele componente ale unor îmbinări sudate

În prima fază se va determina modul de calcul la rezistenţă al cordonului de sudură, având secţiunea în formă de triunghi isoscel, ca în fig.6.12,c. Pe feţele BC şi CD, cordonul aderă la piesele care se îmbină; acestea exercită asupra lui forţele de lunecare longitudinală L de sensuri contrare. Se admite situaţia în care cordonul s-ar putea rupe prin forfecare după planul de simetrie CEE’C’. Ca urmare pe acest plan, de arie A = ac, se produc tensiuni tangenţiale de forfecare τ, care se consideră uniform distribuite, având

mărimea:acL

=τ .

În cazul grinzilor din fig.6.12, lunecarea tălpii faţă de inimă este împiedicată de două cordoane de sudură, situate de o parte şi de alta a inimii. Sudura se poate face în două variante: prin cordon continuu (fig.6.12,a) sau prin cordon intermitent (fig.6.12,b). În cazul sudurii continue, dacă se ia o lungime oarecare de cordon c, şi se egalează forţa de lunecare cu forţa capabilă a celor două cordoane rezultă:

ac2TcIS

L asz

p τ≤=

De unde rezultă:

zas

p

I2TS

aτ

≥ (6.22)

În această relaţie, Sp este momentul static al suprafeţei tălpii (suprafaţa haşurată din fig.6.12,d), calculat faţă de axa neutră, T este forţa tăietoare considerată constantă pe lungimea c şi τas este rezistenţa admisibilă la forfecare a cordonului de sudură. În situaţia unei suduri având cordon intermitent se poate scrie relaţia:

ac2TeIS

asz

p τ≤ , de unde rezultă TSIa2

ce

p

zasτ≤ (6.23)

Observaţie: se alege valoarea segmentului e şi rezultă c sau invers.

6.8 Bare de egală rezistenţă la încovoiere sau bare cu moment de inerţie variabil.

56

În cazul barelor drepte solicitate la încovoiere (grinzile), care au A = constant. (aria secţiunii transversale) soluţia este neconvenabilă. Este necesar ca grinda să aibă moment de inerţie variabil pentru secţiunile transversale, în lungul ei. Grinda de egală rezistenţă este soluţia optimă, fiind nevoie ca momentul de inerţie axial (Iz) să varieze astfel încât în fibrele extreme ale grinzii să fie σmax. = σai = constant.

( ) ( )ai

izz

xMxWσ

= (6.24)

În relaţia 6.24 se evidenţiază mărimile: Wz (x) şi Miz(x) care sunt funcţii de x şi variază după aceeaşi lege. Forma grinzii este funcţie de: modul de rezemare; felul sarcinilor; modul de aplicare a acestora, precum şi de forma secţiunii. Pentru exemplificare se studiază o grindă încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, de secţiune dreptunghiulară, solicitată la capătul liber de către o forţă concentrată (fig.6.13). Se vor examina două cazuri particulare după cum urmează:

( ) ( ) ( )aiai

izziz

FxxMxWFxxM

σσ=== ; ă

Fig. 6.13 Grinda încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, cu diagramele aferente

57

1) Secţiunea are b = constant şi înălţimea h variabilă (fig.6.14).

ai

2

ai

2

z bFx6;

6byFx;

6by)x(W

σ==

σ= 2y (6.25)

Se obţine o variaţie parabolică pentru care soluţiile practice sunt prezentate prin: parabolă nesimetrică (fig. 614,a) respectiv parabolă simetrică(fig. 6.14,b) Valoarea maximă ymax. = h pentru x = l.

aib

flhyσ6

max ==

Fig.6.14 Grindă de egală rezistenţă la încovoiere cu secţiunea dreptunghiulară, cu

b = const. şi y variabil. 2) Secţiunea are h = const. şi lăţimea z variabilă (fig.6.15)

ai

z

Fxzh

zhxW

σ=

=

6

;6

)(

2

2

58

Fig.6.15 Grindă de egală rezistenţă la încovoiere cu secţiunea

având h = const. şi z variabil.

2aihFx6z

σ= (6.26)

Dimensiunea z are o variaţie liniară cu o valoare maximă 2ai

max hFl6bz

σ==

6.9 Forma optimă a secţiunii barelor solicitate la încovoiere

Pentru dimensionarea unei bare solicitate la încovoiere se parcurg următoarele etape: 1. Determinarea echilibrului exterior al barei prin calculul reacţiunilor, utilizând ecuaţiile de echilibru; 2. Stabilirea ecuaţiilor de variaţie a eforturilor de-a lungul barei N = f1(x); T = f2(x) şi respectiv Mi = f3(x); 3. Se reprezintă grafic ecuaţiile de variaţie ale eforturilor şi se determină valoarea momentului maxim, la care se dimensionează grinda. Dacă grinda are secţiunea variabilă, se va căuta momentul încovoietor din secţiunea periculoasă. În fig. 6.16 se reprezintă o grindă încastrată pentru care trebuie calculat momentul încovoietor atât în secţiunea I cât şi în secţiunea II, adoptându-se pentru calcule secţiunea cu momentul maxim; 4. Se alege rezistenţa admisibilă la încovoiere a materialului înglobat în elementul de rezistenţă; 5. Se aplică formula de dimensionare la încovoiere obţinându-se modulul de rezistenţă axial. Trebuie aleasă forma secţiunii şi găsirea dimensiunilor ei, respectiv determinarea formei optime a secţiunii.

59

Fig.6.16 Bară încastrată la un capăt şi liberă la celălalt având variaţii ale

secţiunii transversale

Fig.6.17 Secţiuni cu arii

egale şi module de rezistenţă axiale inegale

La valori egale ale ariilor, secţiunea I este mai avantajoasă decât cea dreptunghiulară, deoarece este capabilă să preia un moment încovoietor mai mare (fig. 6.17). Acest lucru se explică prin faptul că o parte a suprafeţei este aşezată în apropierea fibrei extreme, unde σ este maxim. Pentru barele solicitate la încovoiere sunt de preferat formele de secţiuni la care materialul este cât mai depărtat de axa neutră, cum sunt profilele I, U respectiv secţiunile inelare. Analizând elementele prezentate se pot desprinde următoarele: a) În expresia modulului de rezistenţă Wz intră atât momentul de inerţie Iz cât şi distanţa ymax. Dacă se compară cele două secţiuni din fig. 6.18 se observă că secţiunea din fig.6.18,b are un moment de inerţie mai mare decât cel din fig.6.18,a, datorită plusului de suprafaţă haşurată. Deoarece ymax este mai mare pentru fig. 6.18,b, rezultă că modulul de rezistenţă este mai mic decât cel din fig.6.18,a. În consecinţă, ariile suplimentare (haşurate în figură) sunt dezavantajoase deoarece conduc la micşorarea capacităţii de rezistenţă a barei. b) Trebuie ţinut cont că modulele de rezistenţă axiale Wz şi Wy nu pot fi însumate algebric, ci trebuie calculat momentul de inerţie al ansamblului

Fig.6.18 Creşterea valori momentului de inerţie axial însoţit de micşorarea

Fig.6.19 Modalităţi de

60

modului de rezistenţă aşezare a profilelor I Este posibilă însumarea algebrică a modulelor de rezistenţă numai în cazul particular când axa neutră trece prin centul de greutate al fiecărui element component şi toate elementele de rezistenţă au acelaşi ymax. În fig. 6.19 sunt prezentate situaţiile în care nu se pot aduna modulele de rezistenţă (fig. 6.19,a), dar pot fi adunate pentru profilele aşezate alăturat (fig.6.19,b)

c) Secţiunile la care axa neutră este axă de simetrie sunt cele mai potrivite pentru materialele care se comportă identic la întindere şi compresiune: la astfel de secţiuni, tensiunile din fibrele extreme întinse sunt egale cu cele din fibrele extreme comprimate. La materialele care se comportă diferit la întindere faţă de compresiune, astfel de secţiuni nu sunt economice, deoarece când una din fibre atinge rezistenţa admisibilă, în cealaltă efortul unitar este superior sau inferior rezistenţei admisibile. Ca urmare pentru astfel de

materialele se utilizează secţiuni la care axa neutră nu este axă de simetrie. Pentru bară de fontă (fig. 6.20) se preferă secţiuni de forma profil T sau de I, cu tălpi neegale. La fonte rezistenţele de rupere la compresiune şi întindere se află în raportul este de aproximativ 3, deci şi rezistenţele admisibile au acelaşi raport, secţiunea va fi alcătuită astfel:

( )( ) 3

ee

maxt

maxc

1

2 =σσ

=

La aşezarea grinzii se va avea în vedere că fibrele cele mai îndepărtate de axa neutră să fie cele comprimate. Tensiunile normale în fibrele extreme pentru o astfel de grindă sunt:

( ) ( )z

iz1maxt

z

iz2maxc I

Me;IMe

=σ=σ (6.27)

6.10 Deformaţia barelor drepte solicitate la încovoiere

6.10.1 Generalităţi privind elementele ce caracterizează deformaţia barelor

Fig.6.20 Variaţia

tensiunii normale în secţiunea transversală

61

Prin solicitarea la încovoiere barele drepte se deformează şi iau forme curbe. Studiul se face asupra axei barei care în urma deformaţiei poartă denumirea de fibră medie sau linie elastică a barei.

Fig. 6.21 Analiza deformaţiilor unei grinzi solicitate la încovoiere Prin calcule se urmăreşte stabilirea formei fibrei medii deformate sau determinarea deplasărilor produse în dreptul unor secţiuni. Starea deformată în dreptul unei secţiuni transversale de abscisă x se caracterizează prin următoarele mărimi geometrice (fig.6.21): - deplasarea transversală v numită săgeată şi care rezultă din ecuaţia fibrei medii deformate ca ordonată corespunzătoare unei abscise: ( )xfv 1= (6.28) - rotirea secţiunii ϕ sau înclinarea fibrei medii care se obţine prin derivarea

ecuaţiei fibrei medii deformate:

(6.29)

- raza de curbură ρ a fibrei medii deformate, care este dată de a doua derivată a acestei funcţii:

(6.30)

Din relaţiile (6.6,c şi 6.30) şi ţinând cont de sistemul de axe ales în fig.6.21 se obţine ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate:

(6.31)

dxdvtg =ϕ≈ϕ

dxd

dxvd12

2 ρ=≈

ρ

z

i2

2

EIM

dxvd

−≈

62

Dacă o bară are rigiditatea la încovoiere EIz constantă şi se ţine cont de relaţiile diferenţiale între eforturi rezultă următoarele ecuaţii diferenţiale aproximative, de ordin superior, ale fibrei medii deformate:

z

3

3

EIT

dxvd

−≈ , respectiv z

4

4

EIp

dxvd≈ (6.32)

Integrarea analitică a ecuaţiei (6.31) este recomandată în cazurile simple de încărcare, când grinda conţine una sau două tronsoane. În cazul existenţei mai multor tronsoane metoda devine greoaie, deoarece determinarea constantelor de integrare necesită un volum mare de calcule. Constantele de integrare se determină utilizând condiţiile de limită şi de continuitate a fibrei medii deformate. Condiţiile de limită, reprezintă valori ale deplasării v sau rotirii ϕ în punctele de rezemare sau în alte secţiuni caracteristice ale grinzii. În afara unor cazuri speciale, condiţiile de limită sunt:

- în articulaţie şi în simpla rezemare, săgeata este nulă; - în încastrare, unghiul şi săgeata sunt nule.

Condiţiile de continuitate indică faptul că în punctul de trecere de la un tronson la altul, săgeata şi unghiul au aceeaşi valoare pe ambele tronsoane. În zona în care momentul încovoietor se anulează fibra medie deformată are un punct de inflexiune. Modul de integrare a ecuaţiei (6.31) va fi prezentat pentru câteva exemple de încărcare. 6.10.2 Exemple de calcul a elementelor ce caracterizează deformaţia barelor a) Grindă în consolă, încărcată cu o sarcină concentrată la capătul liber În fig.6.22 este prezentată o grindă în consolă încărcată la capătul liber de forţa concentrată F. Momentul încovoietor în secţiunea x este negativ şi are expresia:

( )xlFMi −−= . Ecuaţia fibrei medii deformate este:

( )zz

i2

2

EIxlF

EIM

dxvd −

=−= .

Se integrează de două ori şi se determină constantele de integrare ţinând cont că în încastrare, pentru x=0, se

cunosc 0dxdv

=ϕ= şi v = 0.

0C;C2

xlxEIF

dxdv

11

2

z

=+

−==ϕ

Fig. 6.22 Elementele deformaţiei la încovoiere într-o grindă încărcată

cu o sarcină concentrată

63

0C;C6x

2lx

EIFv 22

32

z

=+

−=

Ecuaţiile finale ale săgeţii şi unghiului de rotire sunt:

−=

3xlx

EI2Fv

32

z

; (6.33)

(6.34)

Pentru x = l, se găsesc valorile maxime:

;EI3Flfv

z

3

max == (6.35)

.EI2Fl

z

2

1 =ϕ (6.36)

b) Grindă simplu rezemată, încărcată cu o sarcină uniform distribuită O astfel de grindă este reprezentată în fig.6.11. Într-o secţiune x, momentul încovoietor are expresia:

( )222

1i xlx2p

2xpx

2pl

2xpxVM −=−=−= .

Ecuaţia fibrei medii deformate este:

( )2

zz

i2

2

xlxEI2p

EIM

dxvd

−−=−= .

Se integrează această ecuaţie de două ori şi se obţine:

1

32

z

C3x

2lx

EI2p

dxdv

+

−−=ϕ= ;

21

43

z

CxC12x

6lx

EI2pv ++

−−= .

Fig. 6.23 Elementele deformaţiei la încovoiere într-

−=ϕ

2xlx

EIF 2

z

64

o grindă încărcată cu o sarcină uniform distribuită

Condiţiile de limită permit determinarea constantelor de integrare:

0C,0v,0x 2 ===

z

3

1 EI24plC,0

dxdv,2/lx ===ϕ= .

Ecuaţiile finale ale deformaţiei sunt:

+−==ϕ

12l

2lx

3x

EI2p

dxdv 323

z

; (6.37)

(6.38)

Săgeata maximă este la mijlocul barei

=

21x

z

4

EI384pl5f = , (6.39)

Iar unghiurile pe reazeme sunt:

2z

3

1 EI24pl

ϕ−==ϕ . (6.40)

În literatura de specialitate se găsesc expresiile săgeţilor şi rotirilor pentru diferite tipuri de grinzi şi de moduri de încărcare.

7 RĂSUCIREA

7.1 Calculul momentului de răsucire Răsucirea este solicitarea simplă care apare datorită existenţei în secţiunile

transversale ale unui element de rezistenţă a unui moment de răsucire (Mr), având vectorul dirijat în lungul axei longitudinale. Acest efort este produs de forţele de încărcare care nu întâlnesc axa elementului de rezistenţă şi nu sunt paralele cu ea (fig.7.1).

.12

xl6

lx12x

EI2pv

334

z

+−=

Fig 7 2 Moment de răsucire la bara

65

Elementele de rezistenţă solicitate la răsucire sunt: arborii, arcurile elicoidale, elementele construcţiilor spaţiale etc.

Calculul de rezistenţă şi de rigiditate la răsucire este relativ simplu în cazul secţiunilor circulare sau inelare şi mai dificil pentru alte forme şi secţiuni.

În cazul arborilor de transmisie, încărcarea exterioară este dată prin puterea P şi turaţia n de regim, iar calculul momentului de răsucire se face cu relaţia

nPkM r = [Nm] (7.1)

unde k este o constantă, având valorile: k = 9,55⋅103, pentru P în kw şi n în rot/min; k = 7,02⋅103, pentru P în CP şi n în rot/min. Când pe arbore sunt montate roţi de curea (fig.7.2), momentul de răsucire transmis de roata motoare I (S1 > S2) este egal cu cel preluat de roata condusă II (S4 > S3)

( ) ( )rSSRSSM 3421r −=−= (7.2) Pe intervalul dintre roţile de curea arborele este solicitat la răsucire de un moment constant. La arborii pe care sunt montate mai multe roţi de transmisie (roţi de curea, roţi dinţate etc.) se trasează diagrama momentelor de răsucire respectând regula generală: momentul într-o secţiune este egal cu suma momentelor de răsucire din stânga secţiunii sau a celor din dreapta secţiunii, luate cu semn schimbat. Convenţional, momentul de răsucire motor se consideră pozitiv, iar momentele rezistente sunt negative.

7.2 Răsucirea barelor drepte cu secţiunea circulară respectiv inelară Pe bara de secţiune circulară, încastrată la unul din capete şi liberă la celălalt

(fig.7.3,a) se trasează o reţea de generatoare şi de cercuri la distanţe egale, apoi la capătul liber se aplică un moment de răsucire Mr.

În urma deformaţiei barei se constată următoarele:

66

-secţiunile plane şi normale pe axa longitudinală a barei nu îşi modifică poziţia (se

verifică ipoteza lui Bernoulli); -secţiunile transversale se rotesc una faţă de cealaltă cu un unghi numit unghi de

răsucire şi a cărui valoare depinde de distanţa dintre secţiuni; -dreptunghiurile curbilinii elementare abcd se transformă în paralelograme astfel încât unghiurile drepte variază cu unghiul de lunecare specifică γmax (fig.7.3,b). Conform legii lui Hooke pe feţele elementului există eforturi unitare tangenţiale τmax = Gγmax, elementul aflându-se într-o stare de forfecare pură.

Se consideră un element de bară din partea centrală r < R, de lungime dx (fig.7.3,c) ale cărui feţe extreme se rotesc relativ cu unghiul γ. Din considerente de deformaţii se poate scrie arcgg’ = γdx = rdϕ, de unde:

θ=ϕ

=γ rdxdr (7.3)

S-a notat cu θ unghiul de răsucire specifică (unghiul cu care se rotesc una faţă de cealaltă două secţiuni transversale distanţate cu o unitate de lungime). Utilizând relaţia (7.3), legea lui Hooke pentru răsucire devine:

θ=γ=τ GrG (7.4) Tensiunile tangenţiale sunt nule în centrul secţiunii (r = 0) şi variază liniar cu raza

având valoarea maximă lângă conturul secţiunii (fig.7.3,d): θ=γ=τ GRG maxmax (7.5) Relaţia de legătură dintre tensiunea tangenţială τ şi momentul de răsucire Mr se

obţine scriind echilibrul dintre Mr şi suma momentelor τdAr ale tuturor forţelor elementare faţă de centrul O (fig.7.3,e).

pA

2

A

2

Ar IGdArGdAGrdArM θ=θ=θ=τ= ∫∫∫ (7.6)

Se obţine relaţia p

r

IMG =θ , care înlocuită în relaţia (7.4) conduce la:

p

r

IrM

=τ (7.7)

Pentru r = R se obţine:

p

r

p

rmax W

MI

RM==τ (7.8)

67

în care:RI

W pp = este modulul de rezistenţă polar (7.9)

Din relaţiile (7.4 şi 7.7) se obţine relaţia deformaţiei specifice:

p

r

GIM

=θ (7.10)

Integrând relaţia dϕ = θ dx pe o lungime l se obţine valoarea unghiului de răsucire:

∫ ∫ ==θ=ϕ∆l l

p

r

p

r

GIlMdx

GIMdx (7.11)

7.3 Relaţii de calcul

Calculul la solicitarea de răsucire se face pe baza condiţiilor de rezistenţă şi de rigiditate utilizând relaţiile de bază (7.8 şi 7.10). a) Calculul de dimensionare. Se determină caracteristica minimă de secţiune, cu relaţiile:

a

rp

MWnec τ= sau

a

rp G

MInec θ= (7.12)

în care Mr este momentul de răsucire maxim, τa rezistenţa admisibilă a materialului, θa răsucirea specifică admisă a barei, iar G este modulul de elasticitate transversal al materialului. Modulul se rezistenţă polar se calculează cu expresiile:

- pentru secţiunea circulară:

;16d

2d32d

RI

W3

4

pp

π=

π

== (7.13)

- pentru secţiunea inelară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d:

( )

;Dd1

16D

2D

dD32

RI

W43

44

pp

−

π=

−π

== (7.14)

b) Calculul pentru verificare. În funcţie de momentul de răsucire şi de caracteristicile efective ale secţiunii se calculează tensiunea tangenţială respectiv răsucirea specifică efectivă şi se compară cu valorile admisibile:

aef

ref Wp

Mτ≤=τ sau a

efp

ref GI

Mθ≤=τ (7.15)

c) Calculul efortului capabil. Se determină valoarea maximă a momentului de răsucire ce poate fi preluat de către un element de rezistenţă cunoscând caracteristicile efective ale secţiunii respectiv tensiunea tangenţială sau răsucirea specifică admisibilă.

68

apr efcapWM τ= sau apr efcap

GIM τ= (7.16) Cu relaţiile de mai sus se pot efectua cele trei categorii de probleme din Rezistenţa materialelor (tabelul 7.1). Relaţiile de calcul la răsucire Tabelul 7.1

Relaţia de bază Dimensionare Verificare Calculul efortului capabil

p

r

WM

=τ ( )a

rnecp

MWτ

= ( ) aefp

ref W

Mτ≤=τ ( ) ( ) aefpcapr WM τ=

p

r

GIM

=θ ( )a

rnecp G

MIθ

= ( ) aefp

ref IG

Mθ≤=θ ( ) ( ) aefp

'capr IGM θ=

Observaţie: dacă se impun condiţiile de rezistenţă respectiv rigiditate atunci se

adoptă momentul de răsucire cel mai mic dintre (Mr)cap şi ( )'caprM .

Fig. 7.4. Tensiunea tangenţiale pe

secţiunea inelară

10 STABILITATEA ECHILIBRULUI ELASTIC A BARELOR DREPTE. FLAMBAJUL

10.1 Generalităţi

Compresiunea barelor drepte cu secţiunea transversală relativ mică, comparativ cu lungimea lor, conduce la deformaţii care se accentuează cu creşterea forţei axiale de compresiune, astfel încât poate apare o dezechilibrare a elementului de rezistenţă. Acest fenomen de pierdere a stabilităţii elastice poartă denumirea de flambaj.

Capacitatea portantă a unei bare de secţiune inelară este mai mare decât cea a barei de secţiune circulară plină, cu aceeaşi mărime a suprafeţei, deci cu aceeaşi cantitate de material, deoarece valoarea modulului de rezistenţă polar este mai mare În fig.7.4 s-a reprezentat modul de variaţie a tensiunilor tangenţiale pe o secţiune inelară

Fig.10.1. Analogia dintre fenomenul de

flambaj şi echilibru mecanic

Fig.10.2 Echilibrul stabil

respectiv instabil al unei bare drepte

69

Se poate face o analogie între echilibrul mecanic care poate fi stabil, instabil sau indiferent şi fenomenul de flambaj.

În figura 10.1 bila de masă m, poate ocupa poziţiile 1, 2 sau 3. Echilibrul este stabil atunci când pentru o deplasare arbitrară mică, bila revine la poziţia de echilibru. În acest caz poziţia 1 corespunde poziţiei de echilibru stabil, 3- poziţii de echilibru indiferent, iar poziţia 2- echilibrului instabil.

Un fenomen de stabilitate sau nestabilitate se întâlneşte la numeroase elemente de rezistenţă. De exemplu, în figura 10.2,a oricare ar fi valoarea forţei F, bara este în echilibru stabil. Exemple de echilibru elastic instabil pot fi întâlnite şi în cazul unui inel subţire supus unei presiuni hidrostatice exterioare respectiv la compresiunea unui cilindru cu pereţi subţiri (fig.10.3).

10.2 Calculul forţei critice la flambaj. Formula lui Euler

70

Forţa la care se produce pierderea stabilităţii elastice (flambajul) este denumită forţă critică şi ea depinde de lungimea barei respectiv de modul de rezemare a acesteia. În fig.10.4 sunt prezentate cele patru cazuri de rezemare ideală ale barei drepte.

În primă fază a fost demonstrată formula de calcul a forţei critice de flambaj (de către Euler), pentru cazul II de rezemare numit şi caz fundamental de flambaj, întâlnit în mod curent în problemele de construcţii metalice şi organe de maşini. Se consideră o bară în poziţie deformată, ca în fig.10.5, raportată la un sistem de axe xOy. Într-o secţiunea oarecare x, bara are săgeata v, iar forţa F produce un moment pozitiv Mi = Fv. Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este:

0; 2

2

2

2

=+−= vEIF

dxvdsauM

dxvdEI i (10.1)

Se face notaţia simplificatoare:

2

EIF

α= (10.2)

cu care ecuaţia diferenţială devine:

0vdx

vd 22

2

=α+ (10.3)

Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi este: v = A sinαx + B cosαx (10.4) Constantele se determină din condiţiile de legătură ale barei v = 0 pentru x = 0 şi x = l. Din prima condiţie rezultă B = 0, ceea ce înseamnă că bara se deformează după o sinusoidă de ecuaţie:

v = A sin αx Din a doua condiţie se obţine A sin αl = 0. Pentru a se realiza flambajul barei trebuia ca A ≠ 0. Se obţine

sinαl = 0; sau αl = nπ, unde n este un număr întreg pozitiv. Din relaţia 10.2 se obţine valoarea forţei critice de flambaj:

2

22

cr lEInF π

= (10.5)

Fig.10.4 Cazuri de rezemare

Fig.10.5 Bară deformată raportată

la un sistem de axe

71

Flambajul barei se realizează pentru cea mai mică valoare a forţei critice, deci pentru n = 1. În relaţia de mai sus momentul de inerţie axial central Iz al secţiunii transversale corespunde direcţiei faţă de care apare flambajul, adică direcţia faţă de care bara prezintă rigiditatea minimă. Relaţia pentru calculul forţei critice de flambaj, în cazul fundamental, numită relaţia lui Euler, este:

2min

2

cr lEIF π

= (10.6)

Relaţia a fost demonstrată de către Euler pentru cazul barei drepte articulată la ambele capete şi solicitată la compresiune. Pentru cazurile de rezemare I, III şi IV (fig.10.4) s-a demonstrat o formulă a forţei critice de flambaj, în care intervine lungimea de flambaj ( lf ) în locul lungimii geometrice. Formula lui Euler generalizată este:

2f

min2

cr lEIF π

= (10.7)

în care(lf) este lungimea de flambaj care depinde de lungime geometrică a barei şi de modul de rezemare a acesteia (fig.10.4) şi tabelul 10.1. Cazurile de rezemare la flambaj Tabelul 10.1

Cazul de rezemare I II II IV Lungimea de flambaj lf 2 l l 0,7 l 0,5 l

10.3 Domeniul de valabilitate a formulei lui Euler

Împărţind valoarea forţei critice de flambaj prin aria secţiunii se obţine tensiunea (efortul unitar) critică de flambaj:

2

2

2

min

f

2

2f

min2

crcr

E

il

EAl

EIAF

λπ

=

π=

π==σ (10.8)

În relaţia (10.8) s-a introdus mărimea adimensională

min

f

il

=λ (10.9)

numită coeficient de zvelteţe. Relaţia între crσ şi λ din (10.8) reprezintă în fig. 10.6, pe porţiunea AB, o hiperbolă (hiperbola lui Euler). Punctul B corespunde coordonatelor 0λ şi pσ (limita de

Fig. 10.6 Reprezentarea grafică σcr = f(λ)

72

proporţionalitate). Deoarece formula lui Euler s-a stabilit pe baza unor relaţii care admit legea lui Hooke, rezultă ca ea este valabilă atâta timp cât pcr σσ < , respectiv 0λλ > .

Pentru valoarea lui crσ cuprins între limita de proporţionalitate şi limita de curgere ( )ccrp σσσ << , respectiv pentru coeficientul de zvelteţe ( )01 λλλλ << , nu mai este valabilă formula lui Euler. Materialul elementului de rezistenţă se comportă elasto-plastic; pentru acest domeniu, marcat de punctele B şi C, în fig.10.6, a fost stabilită experimental formula lui Tetmajer-Iasinski

λ−=σ bacr [daN/cm2] (10.10) iar pentru fonte 2

cr cba λ+λ−=σ [daN/cm2] (10.11) Coeficienţii a şi b au fost obţinuţi experimental şi depind de natura materialului, având dimensiunea în [dan/cm2]

Valorile 0λ şi 1λ se determină din relaţiile (10.8 şi 10.10) înlocuind tensiunea (efortul unitar) critică cu valorile pσ respectiv cσ .

20

2

pE

λπ

=σ ⇒ p

2Eσπ

=0λ ; 1c ba λ−=σ ⇒ b

a cσ−=1λ

Câteva valori pentru coeficienţii λ0 şi λ1 , respectiv pentru a şi b sunt date în tabelul 2. Valorile coeficienţilor utilizaţi Tabelul 10.2

Materialul a b l0 l 1 OL 37 (σc=24 daN/mm2) 3040 11,2 105 60 Oţel (σr=48 daN/mm2) (σc=31 daN/mm2) 4600 25,7 100 60

Oţel (σr=52 daN/mm2) (σc=36 daN/mm2) 5770 37,4 100 60

Oţel cu 5% nichel 4610 22,5 86 0 Oţel crom molibden 9800 53 55 0

Duraluminiu 3720 21,4 50 0 Lemn 287 1,9 100 0

Valoarea forţei critice este:

AF crcr σ= (10.12) Pentru valorile lui crσ mai mari decât limita de curgere ccr σσ > , domeniul fiind plastic ( )1λλ < , procesul nu se mai consideră de flambaj, ci de compresiune clasică, valoarea forţei critice fiind: AF ccr σ= (10.13)

10.4 Etapele în calculul de verificare la flambaj

73

Calculul de verificare la flambaj se efectuează, în funcţie de valoarea coeficientului de zvelteţe, parcurgând următoarele etape:

a. se determină centrul de greutate al secţiunii transversale a barei, se calculează momentele de inerţie faţă de axele principale şi se adoptă pentru calcul momentul de inerţie minim Imin ;

b. se calculează raza de inerţie minimă şi coeficientul de zvelteţe

A

Ii minmin = şi

min

f

il

=λ (10.14)

c. în funcţie de λ ( )0λ>λ sau 01 λ<λ<λ se adoptă relaţia de calcul adecvată pentru determinarea forţei critice de flambaj (10.7) respectiv a tensiunii normale critice (10.10);

d. se adoptă un coeficient de siguranţă şi se calculează forţa admisibilă de încărcare cu relaţia:

f

cra c

FF = ⇒

a

crf F

Fc = (10.15)

e. la calculul coeficientului de siguranţă se pot utiliza relaţiile:

FA

AFA

F

FF

csaucF

Fc cr

cr

crf

crf

crf

σσσ

===== ;;

în care F este forţa tehnologică care încarcă bara. Valoarea coeficientului de siguranţă este uzual de 3...5, iar pentru bielelor maşinilor termice mari ajunge la valori de 14...28.