Rezistenta Materialelor Solicitari Axiale

8/8/2019 Rezistenta Materialelor Solicitari Axiale

1/16


2/16

ELEMENTE DE REZISTENA

MATERIALELOR

Forele axiale s-au calculat astfel:

N1-2=2F, N2-3=2F-6F=-4F, N3-4=2F-6F+10F=6F.

Se observ c fora axial maxim este Nmax = 6F.

Pentru stabilirea relaiilor de calcul ale tensiunilor i deplasrilorconsiderm o bar dreapt de seciune constant supus la ntindere de ctre foraF, conform figurii 2.2. Secionnd bara cu un plan normal pe axa barei, rezultN=F.

Fig. 2.2

n seciunea barei iau natere tensiunile normale, iar acestea nsumatepe ntreaga seciune A echivaleaz cu fora axial

N= dAA

. (2.1)

Conform ipotezei lui Bernoulli, toate fibrele barei se lungesc cu aceeaicantitate, deoarece o seciune plan i normal la axa barei, nainte de solicitareaacesteia rmne plan i normal la axa barei i dup solicitarea acesteia, decilungirile specifice sunt constante pe ntreaga seciune. Aplicnd legea lui Hooke( = E), se constat c tensiunea este constant pe ntreaga seciune. Relaia(2.1) rezult sub forma

N= A

dA =A . (2.2)

Tensiunea normal produs la ntindere sau compresiune este:

=A

N, (2.3)

unde N este fora axial din seciune i A este aria seciunii. Unitatea de msurpentru tensiune este N/mm2 sau MPa.

26


3/16

2.SOLICITRI AXIALE

n aplicaii se efectueaz urmtoarele calcule de rezisten:

1) Verificare pentru bara de seciune constant

ef=A

Na ; [N/mm2],[MPa] (2.4)

n care N este fora axial maxim, luat din diagrama de variaie a acesteia nlungul barei, iar a este rezistena admisibil a materialului barei.

Dac bara nu este de seciune constant, iar fora axial este constant can figura 2.3, calculul de verificare se efectueaz n seciunea net cu aria cea mai

mic.

Fig. 2.3

Astfel tensiunile n cele trei seciuni sunt:

max3322112d)h(b

F,

d)h(b

F,

hb

F =

=

== .

Seciunea n care se produce cea mai mare tensiune se numete seciunepericuloas.

Atunci cnd bara este realizat din tronsoane cu seciuni diferite (fig. 2.4)calculul de verificare trebuie efectuat pentru fiecare tronson n parte.

Astfel, pentru primul tronson din diagrama N rezult c Nmax = 3F, iartensiunea maxim

A

3F1 = .

Pentru al doilea tronson Nmax= 9F, iar tensiunea maxim

A

F4,5

2A

9F2 == .

Deci, tensiunea maxim n bar este 2 .

27


4/16


MATERIALELOR

Fig. 2.4

Dac bara este dintr-un material care se comport deosebit la ntinderefa de compresiune, cum este cazul fontei sau a altor materiale, calculul deverificare trebuie efectuat pentru fiecare solicitare n parte. Astfel, pentru bara dinfigura 2.5 solicitat prin forele 3F i 8F, condiiile ca bara s reziste sunt:

Fig. 2.5

,A5F

,A

3F

acc

att

=

=

at fiind rezistena admisibil a materialului la traciune, iar ac rezistenaadmisibil a materialului la compresiune.

Atunci cnd materialele au aceeai comportare la ntindere i lacompresiune, calculul de verificare se face la fora axial maxim.

2) Dimensionarea barei de seciune constant

28


5/16

2.SOLICITRI AXIALE

Anec =a

N

; [mm2] (2.5)

unde N este fora axial maxim din diagrama de variaie a forei axiale;

3) Determinarea forei capabile

Ncap = Aefa. [N] (2.6)

Din legea lui Hooke rezult expresia lungirii specifice

= EA

N

E =

, (2.7)

iar expresia deformaiei (lungirii) totale a barei este

EA

N== ll . (2.8)

Se observ c lungirea l este cu att mai mic cu ct produsul dintremodulul de elasticitate E al materialului i aria seciunii transversale A este maimare. De aceea produsul EA se numete modul de rigiditate la ntindere-compresiune al seciunii transversale.

La o bar dreapt format din mai multe tronsoane cu seciuni i

materiale diferite, solicitat prin fore axiale, deformaia axial a acesteia este datde relaia

l = =

n

i ii

ii

AE

lN

1

, (2.9)

unde Ni , n [N], este fora axial care acioneaz pe fiecare interval; A i, n [mm2],este aria suprafeei seciunii barei; li, n [mm], este lungimea intervalului i Ei , n [N/mm2] sau [MPa], este modulul de elasticitate longitudinal al materialului.

Pentru traciune (ntindere), forele axiale, tensiunile i deformaiile suntpozitive, iar pentru compresiune ele sunt negative.

n aplicaii se folosesc i urmtoarele relaii de calcul funcie dedeformaiile impuse:

- de verificare

alEA

Nll = , [mm] (2.10)

n care la este lungirea admis;

- de dimensionare,

29


6/16


MATERIALELOR

a

neclE

NlA

= ; [mm2] (2.11)

- calculul forei axiale capabile

EAl

lN acap

= . [N] (2.12)

Dac n calcule este necesar s se foloseasc ambele forme de relaii decalcul, att cea de rezisten, ct i cea de rigiditate, atunci se alege soluia care leasigur pe amndou, adic cea mai mare valoare pentru dimensionare sauverificare i cea mai mic valoare pentru for capabil.

Aplicaia 1

O bar de aluminiu cu seciunea 3x30 mm2, solicitat la ntindere cu foraF = 1,5 kN, are pe o poriune de 40mm seciunea 3x10 mm 2 (fig. 2.6). S secalculeze tensiunea maxim n bar i lungirea total a acesteia. Se d E = 7104

MPa.

Fig. 2.6

Rezolvare

Verificarea barei trebuie efectuat n seciunea de arie minim, rezultnd

50MPa3x101500

ANmin

===ef .

Lungirea barei este

.A

b

A

2a

E

Nl

21

+=

nlocuind cu datele problemei, se obine

30


7/16

2.SOLICITRI AXIALE

mm.0,12103

40

303

2002

107

1500l

4=

+

=

Aplicaia 2

O lamel de cupru cu seciunea dreptunghiular h = 1,5b este solicitat lantindere prin fora F = 1200 N (fig. 2.7). S se dimensioneze lamela i s secalculeze lungirea total. Se dau: a = 40 MPa, E = 11104 MPa.

Fig. 2.7

Rezolvare

Utiliznd relaia de dimensionare, se obine

Anec =230mm

40

1200= .

Dar A = bh = 1,5b2, rezultnd b = 4,47 mm, h = 6,72 mm.

Lungirea total este

.0,009mm301011

251200l

4=

=

Aplicaia 3

Bara din oel (fig. 2.8) cu seciunea circular de diametru d = 40 mm estesolicitat prin forele 2F i 5F. S se determine sarcina capabil a barei i lungireatotal. Se dau: a = 150 MPa, E = 21104 MPa.

Rezolvare

Trasnd diagrama de variaie a forei axiale rezult c Nmax = 3F. Sarcinacapabil este

Ncap = aAef= 3F, de unde

31


8/16


MATERIALELOR

N628324

40

3

150F

2

=

=

.

Fig. 2.8

Lungirea total a barei este

.EA

3Fa

EA

2Fbl =

nlocuind cu datele problemei, se obine

( ) mm0,033130315024001021

62832l4

=

=

.

Deci bara se scurteaz cu 0,033 mm.

2.2 Concentrarea tensiunilor

Orice variaie brusc de seciune, ca de exemplu, degajri, guri, canale,filete etc., reprezint un concentrator de tensiune. n zona concentrrilor,

distribuia tensiunilor nu se repartizeaz uniform pe suprafaa seciuniitransversale, producndu-se un efect de concentrare a tensiunilor.

Studiile teoretice i experimentale au demonstrat c tensiunea maxim

min

maxA

N= prezint corect starea se tensiune din seciune, dar la o distan

suficient de mare de zona n care apare variaia de seciune, iar n apropiereaacesteia, distribuia tensiunilor este neuniform, conform figurii 2.9.

Pentru orice variant de concentrator (fig. 2.9, a,b,c), tensiunea maximse poate calcula cu relaia

32


9/16

2.SOLICITRI AXIALE

nkk ==min

maxA

N, (2.13)

n care k este coeficientul de concentrare a tensiunilor la solicitare static, iar n este tensiunea nominal, ntr-o seciune deprtat de concentrator.

Fig. 2.9

Valorile coeficientului de concentrare a tensiunilor depind numai deconfiguraia geometric a concentratorilor i de tipul de solicitare, ns doar pentrumaterialele cu comportare liniar elastic. Coeficientul poate fi determinat princalcul sau experimental. Rezultatele acestor determinri sunt prezentate sub formde diagrame n literatura de specialitate.

Deformaia global a barei nu este influenat semnificativ de prezenaconcentratorilor de tensiuni. Concentratorii de tensiuni au un efect deosebit depericulos n cazul materialelor fragile, la care tensiunea maxim poate produce

33


10/16


MATERIALELOR

ruperea. Dac materialul este tenace, atunci efectul de concentrare dup atingerealimitei de curgere a materialului nu se mai manifest.

2.3 Bare i sisteme de bare static nedeterminate

Un sistem este static nedeterminatatunci cnd numrul ecuaiilor deechilibru static nu este suficient pentru determinarea reaciunilor din reazeme saueforturilor din bare. Pentru rezolvarea acestor sisteme se folosesc, pe lngecuaiile de echilibru static i condiiile suplimentare de deformaie. Numrulcondiiilor de deformaie trebuie s fie egal cu gradul de nedeterminare static,adic cu diferena dintre numrul necunoscutelor i numrul ecuaiilor deechilibru static.

Un mod foarte folosit este scrierea ecuaiilor de deformaii prin deducerefizico-geometric, observndu-se particularitile deformrii fiecrui sistem nparte.

Se prezint, n continuare, cteva tipuri de sisteme de bare staticnedeterminate, solicitate axial, la care rezolvarea ecuaiilor de deformaii sebazeaz pe considerente fizico-geometrice.

2.3.1 Bara dublu articulat la capete

Fie bara dreapt articulat la ambele capete (fig. 2.10), de rigiditateconstant EA, solicitat axial prin fora F, aplicat n punctul 3.

Fig. 2.10

34


11/16

2.SOLICITRI AXIALE

Sistemul este simplu static nedeterminat. Reaciunile H1 i H2 din celedou articulaii rezult din sistemul format din ecuaia de echilibru static i dincondiia de deformaie, adic deplasarea relativ a articulaiilor 1 i 2 este nul:

=

+=+=

=+

0.EA

F)b(H

EA

aH;0lll

F;HH

113213tot

21

(2.14)

Din rezolvarea sistemului (2.14) rezult H1=l

Fbi H2=

l

Fa. Cunoscnd

valorile reaciunilor se poate trasa diagrama de fore axiale N, ca n figura 2.10.

Metoda de calcul poate fi folosit i n cazul general, cnd n lungul barei seaplic mai multe fore, iar rigiditatea este variabil.

2.3.2 Bare cu seciune neomogen

Se consider o bar cu seciune neomogen, format din mai multeelemente din materiale diferite, dar toate avnd aceeai lungime, cum ar fi cabluricu fire din diverse materiale, stlpi din beton armat etc. Se admite c elementelecomponente sunt dispuse simetric n jurul centrului de greutate al seciuniitransversale. Spre exemplificare, se reprezint o astfel de bar, format din treielemente cu rigiditi diferite, conform figurii 2.11, avnd aceeai lungime l.Asupra barei acioneaz fora de compresiune F, for care se distribuie n cele treibare componente sub forma eforturilor necunoscute N1, N2 i N3.

Fig. 2.11

35


12/16


MATERIALELOR

Ecuaiile sistemului sunt:

-ecuaia de echilibru static

N1+N2+N3=F; (2.15)

-condiiile de deformaie; deformaiile celor trei bare sunt egale:

l1 = l2 = l3;33

3

22

2

11

1

AE

N

AE

N

AE

N== ; (2.16)

Din sistemul de ecuaii (2.15) i (2.16) rezult eforturile necunoscute N1,

N2 i N3. tiind c rapoartele (2.16) sunt egale i cu raportul dintre sumanumrtorilor i suma numitorilor se obine

Nk= n

1

ii

kk

AE

AFE

. (2.17)

Tensiunile n bare sunt:

3

33

2

22

1

11

A

N,

A

N,

A

N=== . (2.18)

Aplicaia 4

Un cablu aerian monofazat este format dintr-un miez de cupru, doustraturi de nveli izolator din policlorur de vinil (PCV) i un strat de plumb, ca nseciunea din figura 2.12. Cablul este solicitat la traciune printr-o for F = 15 kN.Se cere s se determine tensiunile n cele trei materiale. Se dau: E Cu=E1=11104MPa, EPb = E2 = 17103 MPa, EPCV = E3 = 103 MPa.

Rezolvare

Pentru a calcula tensiunile n cele trei materiale trebuie cunoscute valorile

forelor preluate de fiecare din acestea.Ecuaia de echilibru din static este

F1+F2+F3 = F,

rezultnd o singur ecuaie cu trei necunoscute, problema fiind, deci dublu staticnedeterminat.

Cele dou condiii suplimentare n deformaii se refer la faptul c celetrei materiale lucreaz mpreun i au deci, aceleai alungiri, adic

36


13/16

2.SOLICITRI AXIALE

1 = 2 = 3 sau3

3

2

2

1

1

EEE

== .

Fig. 2.12

Amplificnd numrtorii i numitorii fraciilor de mai sus cu ariile

fiecrui material, se obine relaia

33221133

33

22

22

11

11

AEAEAE

F

AE

A

AE

A

AE

A

++===

Tensiunile n cele trei materiale sunt:

1

33

1

221

1

E

AE

E

AEA

F

++=

;

2

33

2

112

2

E

AE

E

AEA

F

++=

;

.

E

AE

E

AEA

F

3

22

3

113

3

++

=

Ariile celor trei materiale sunt:

A1 = ACu = 9,52 = 283,53 mm2,

A2 = APb = (20,52-17,52) = 358,14 mm2,

A3 = APcv = (17,52-9,52+23,52-20,52) = 1093,3 mm2.

37


14/16


MATERIALELOR

Rezult valorile tensiunilor n cele trei materiale:

0,39MPa.358,14

0,1

1,7283,53

0,1

111093,3

15000

6,65MPa,

1093,31,7

0,1283,53

1,7

11358,14

15000

43MPa,

1093,311

0,1358,14

11

1,7283,53

15000

3

2

1

=++=

=++

=

=++

=

Pentru a se putea aprecia dac acest cablu rezist la fora de traciunedat, trebuie ca tensiunile calculate n cele trei materiale s fie inferioarerezistenelor admisibile ale materialelor respective, adic

1


15/16

2.SOLICITRI AXIALE

tEA

N== . (2.21)

Fig. 2.13

Dac la unul din capetele barei drepte exist un joc (fig. 2.13, b), atunci

relaia de deformaie este de forma

lt=lN+. (2.22)

2.3.4 Sisteme de bare paralele

Se consider o bar dreapt, rigid, orizontal suspendat prin trei tije saucabluri verticale de lungimi i rigiditi diferite (l 1, E1, A1, l2, E2, A2, l3, E3, A3)solicitat cu fora vertical F (Fig. 2.14).

Necunoscutele sunt eforturile N1, N2 i N3, iar sistemul este simplu staticnedeterminat. Pe lng dou ecuaii de echilibru static se mai poate scrie i ocondiie de deformaie.

Deoarece bara orizontal este rigid, ea rmne rectilinie, dar sedeplaseaz n poziia AC, ca urmare a deformrii tijelor verticale. Obinndu-setriunghiuri asemenea n forma deformat, rezult sistemul de trei ecuaii:

39


16/16


MATERIALELOR

=

++

+=+++=

=++

,c

ll

cba

ll

c);F(bcNc)b(aN0,M

F;NNN

3231

21C

321

(2.21)

unde33

333

22

222

11

111

AE

lNl,

AE

lNl,

AE

lNl === .

Fig. 2.14

Cazul prezentat este un caz particular, dar metoda de calcul poate fifolosit i la cazul general, cnd bara orizontal este susinut prin mai multe tijesau articulat la unul din capete (caz n care se consider c bara se rotete n jurularticulaiei) sau sistemul este solicitat cu mai multe fore.

40

Rezistenta Materialelor Solicitari Axiale

Documents

Transcript of Rezistenta Materialelor Solicitari Axiale