Capitolul 5

Diagrame de eforturi în bare drepte, cotite şi curbe

5.1. Relaţii diferenţiale de echilibru în cazul barelor drepte

În capitolele precedente au fost trasate diagrame care evidenţiau variaţiile forţelor axiale sau momentelor de torsiune de-a lungul axelor unor bare drepte.

În primul capitol al cursului a fost prezentată metoda secţionării prin care se stabilesc componentele torsorului de reducere a forţelor interioare în centrul de greutate al secţiunii respective. Semnele acestor componente, numite eforturi, se stabilesc în conformitate cu convenţia de semne introdusă: pe faţa pozitivă a secţiunii sunt pozitive eforturile dirijate în sensurile pozitive ale axelor de referinţă, iar pe faţa negativă sunt pozitive eforturile cu vectori orientaţi în sensuri contrare faţă de axele sistemului Oxyz .

În cele ce urmează se adaugă consideraţii privind trasarea rapidă a diagramelor de variaţie a forţelor axiale N şi tăietoare Ty , Tz , momentelor de torsiune Mx şi momentelor de încovoiere My , Mz .

Dintr-o bară în echilibru sub efectul sarcinilor exterioare şi al forţelor de legătură exterioare (reacţiuni în reazeme) se izolează un element infinitezimal, de lungime dx .

Pe acest element sarcinile px , py şi pz sunt considerate constante şi egale cu valorile medii din intervalul [x, x+dx]. Pentru claritatea expunerii, sunt reprezentate separat încărcările din plan vertical (fig. 5,b) şi cele din plan orizontal (fig. 5,c).

Fig. 5.1. Eforturi în bara dreaptă

În secţiunile de la capetele elementului de bară acţionează eforturi obţinute prin reducerea încărcărilor ce acţionează pe zonele adiacente ale barelor. Pe baza schemei din figura 5.1,b au fost scrise ecuaţiile de proiecţii ale forţelor şi suma de momente faţă de centrul de greutate al capătului din dreapta al elementului de bară

, (5.1)

, (5.2)

. (5.3)

Deoarece , ultimul termen din ecuaţia (5.3) este neglijabil faţă de ceilalţi. În final, din aceste ecuaţii deducem

, (5.4)

, . (5.5)

Pe baza celei de-a doua scheme (fig. 5.1,b) au fost scrise următoarele ecuaţii de echilibru

, (5.6), (5.7)

. (5.8)

După simplificări şi după eliminarea termenului neglijabil, se obţine , adică . (5.9)

, . (5.10)

În continuare, pe baza relaţiilor (5.5) vor fi formulate concluzii privind trasarea rapidă a diagramelor de variaţie a forţelor tăietoare Tz şi a momentelor încovoietoare My . Ulterior, aceste concluzii vor fi extinse prin similitudine şi la trasarea celorlalte diagrame de eforturi.

Din (5.5) se deduce o relaţie diferenţială între funcţiile pz ,Tz , My , de argument x

. (5.11)

Pe baza relaţiilor (5.5) şi (5.11) se pot formula următoarele concluzii:1. Dacă expresia funcţiei sarcinii este un polinom de grad n, atunci şi

vor fi polinoame, cu gradele n+1 , respectiv, n+2 . Ca urmare:a) Pe porţiunile de bară unde nu acţionează încărcare distribuită ( ) forţa tăietoare Tz este constantă, iar momentul încovoietor My are variaţie liniară.b) Pe intervalele unde acţionează încărcare distribuită uniform ( ) forţa tăietoare Tz variară liniar, iar momentul încovoietor My are variaţie parabolică.

2. Diagrama forţelor tăietoare are un salt la trecerea peste o secţiune în care este aplicată o forţă concentrată transversală, iar în diagrama de momente încovoietoare apare discontinuitate (salt) unde acţionează un cuplu concentrat.3. Funcţia momentului încovoietor atinge valori extreme (maxime şi minime) în secţiunile unde se anulează forţa tăietoare.

4. Panta tangentei la curba ce dă variaţia forţei tăietoare este proporţională cu modulul sarcinii distribuite, iar panta tangentei la curba de variaţie a momentului încovoietor este proporţională cu modulul forţei tăietoare din secţiunea respectivă.5. Momentul din secţiunea i+1 se poate calcula adăugând la momentul din secţiunea anterioară i suma ariilor din diagrama de forţe tăietoare pe intervalul

, adică

. (5.12)

Această relaţie a fost stabilită destul de simplu. Pornind de la (5.5) s-a dedus

, ,

şi scăzând membru cu membrul ultimele două relaţii s-a obţinut formula (5.12). Cu s-a notat momentul încovoietor ce acţionează la capătul din stânga al barei (la x =0).

O convenţie acceptată este ca la reprezentarea grafică a variaţiei momentelor încovoietoare valorile pozitive să fie plasate sub linia de referinţă, iar cele negative, deasupra acesteia. În cazul forţelor axiale şi tăietoare se procedează invers, valorile pozitive fiind reprezentate deasupra liniei de referinţă.

5.2. Relaţii diferenţiale de echilibru în cazul barelor curbe circulare

Se analizează cazul când deformarea are loc în planul axei barei curbe, care este un arc de cerc de rază R. Se consideră încărcări de următoarele tipuri: sarcini distribuite radiale, forţe concentrate radiale sau tangenţiale şi cupluri concentrate cu vector normal pe planul axei barei (fig. 5.2).

Fig. 5.2. Eforturi în bara curbă circularăForţele de legătură interioare de la capetele elementului de bară curbă N, T, M,

respectiv N+dN, T+dT, M+dM, sunt considerate pozitive dacă au sensurile din figura 5.2.

De reţinut că este considerat pozitiv momentul încovoietor ce tinde să deformeze bara mărindu-i raza de curbură.

La scrierea ecuaţilor de echilibru, sarcina radială de intensitate p distribuită uniform pe arcul ab de lungime se echivalează cu o sarcina concentrată .

Ecuaţiile de proiecţii pe direcţiile forţelor N, T şi suma de momente faţă de punctul b sunt următoarele

, (5.13)

, (5.14)

, (5.13)

După simplificări, după introducerea aproximărilor uzuale pentru unghiuri mici (, ) şi după neglijarea infiniţilor mici de ordin superior relaţiile

anterioare se reduc la ,

, ,

Având în vedere că , aceste ecuaţii se pot exprima două forme

, , , (5.14)

sau

, , , (5.15)

Bara cu rază foarte mare de curbură se apropie de o bară dreaptă. De aceea, pentru şi , din relaţiile (5.15) rezultă (5.5).În cazul când bara curbă este încărcată numai cu forţe şi cupluri concentrate (p=0)

şi eforturile sunt exprimate ca funcţii de unghiul , relaţiile deduse din (5.14)

, , ,

(5.16)arată că în secţiunile unde se anulează forţa axială are valoare extremă forţa tăietoare, iar în secţiunile unde se anulează T, ating valori extreme N şi M.

Notă: Barele cu ramificaţii în plan sau în spaţiu, cunoscute sub numele de bare cotite, se analizează pe porţiuni aplicând regulile stabilite mai sus. Pentru fiecare ramificaţie se alege cel mai convenabil sens de parcurs şi se reduc, din aproape în aproape, în centrul de greutate al secţiunii curente toate sarcinile ce acţionează de o parte sau de alta a acelei secţiuni.

Aplicaţii

5.1. Admiţând că nivelul solicitării în cel mai încărcat punct al unei secţiuni este determinat de modulul momentului încovoietor (care acţionează în acea secţiune), să se

stabilească poziţionarea simetrică optimă a reazemelor unei bare drepte de-a lungul căreia acţionează o sarcină uniform distribuită (fig. 5.3).

Fig. 5.3. Schema de calcul şi diagrama de eforturi la aplicaţia 5.1

În capitolul următor se va demonstra că un moment My produce tensiunea de încovoiere de modul maxim în punctul din secţiune cel mai depărtat de axa Cy, în timp ce tensiunea de forfecare determinată de forţa tăietoare Tz este nulă în acelaşi punct.

Ca urmare, se consideră optimă amplasarea reazemelor care conduce la minimizarea modului momentului încovoietor maxim. Pentru simplificarea scrierii se renunţă la indici, adică momentul încovoietor şi forţa tăietoare se notează cu T şi M în loc de Tz şi My .

Datorită simetriei reacţiunile sunt egale şi rezultă din ecuaţia de proiecţie a forţelor pe direcţie normală pe axa barei

.La capătul 1 al barei nu acţionează sarcină concentrată, deci forţa tăietoare este

nulă. Reducând încărcarea de pe consola 1-2 în secţiunea 2 se obţin componentele , .

Reacţiunea V provoacă un salt, aşa încât la drepta secţiunii 2, forţa tăietoare are valoarea .

La mijlocul barei forţa tăietoare este egală cu suma proiecţiilor forţelor din intervalul 1-3 pe normala la axa barei

.

Momentul încovoietor se poate calcula aplicând formula (5.12), adică M3 se obţine adăugând la M2 aria triunghiului din diagrama T (din intervalul 2-3)

.

Continuând calculele în aceeaşi manieră şi aplicând regulile formulate în paragraful 5.1 au fost trasate diagramele din figura 5.3,b şi c.

Se observă că diagrama T este antisimetrică iar diagrama M este simetrică. Acest aspect se constată în toate cazurile când există simetrie geometrică, de rezemare şi încărcare faţă de normala pe mijlocul barei.

Pentru optimizarea poziţiei reazemelor se pune condiţia ca momentele de încovoiere din secţiunile 2 şi 3 să aibă acelaşi modul. Această condiţie este echivalentă cu relaţia , care devine

,sau

.

Dintre cele două soluţii ale acestei ecuaţii , este convenabilă doar

valoarea pozitivă . Aceasta este cota ce asigură amplasarea optimă a reazemelor barei.

5.2. În cazul barei având rezemarea şi încărcarea din schema prezentată în figura 5.4,a sunt cerute diagramele de variaţie a forţei tăietoare şi momentului încovoietor.

Fig. 5.4. Schema de calcul şi diagrama de eforturi la aplicaţia 5.2

La scrierea ecuaţiilor de echilibru în locul sarcinii distribuite se consideră forţa concentrată echivalentă de 51,2=6 kN. Din ecuaţiile de momente faţă de punctele 4 şi 1

, ,

deducem kN şi kN.Valorile sunt corecte deoarece verifică ecuaţia de proiecţii de forţe pe direcţia

normalei pe axa barei .

Prin reducerea forţelor de la stânga în centrul de greutate al secţiunii curente au fost stabilite forţele tăietoare kN, kN, kN, kN, kN, 1 kN, .

Într-o secţiune din intervalul 2-3, unde se anulează forţa tăietoare, momentul încovoietor va lua valoare extremă. Dacă notăm cu distanţa dintre secţiunile 2 şi 2’ putem scrie expresia forţei tăietoare pentru intervalul 2-3

.Din condiţia deducem m. Pe fiecare interval forţele tăietoare

variază liniar. Având în vedere că M1=0 şi aplicând formula (5.12) au fost calculate momentele de încovoiere

kNm,-0,756 kNm,

kNm, kNm,

kNm,.

Curburile arcelor de parabolă au rezultat având în vedere că panta tangentei la curba de variaţie a momentului încovoietor este proporţională cu modulul forţei tăietoare din secţiunea respectivă. Ca urmare, unde forţa tăietoare se anulează panta este nulă, adică tanganta este paralelă cu linia de referinţă a diagramei.

5.3. Pentru o bară curbă plană (fig. 5.5) sunt cerute diagramele de variaţie a forţelor axiale, forţelor tăietoare şi momentelor de încovoiere.

Pentru determinarea reacţiunilor în reazeme se scriu ecuaţiile de proiecţii de forţe pe orizontală şi pe verticală şi suma de momente faţă de punctul 1:

din care rezultă

, , .

Fig. 5.5. Schema de calcul şi diagrama de eforturi la aplicaţia 5.3

Expresiile eforturilor pe intervalul 1-2 ( ) au fost stabilite reducând toate forţele care acţionează la stânga secţiunii curente, adică H1 şi V1. Expresiile forţelor axiale şi tăietoare se deduc proiectând H1 şi V1 pe direcţiile n şi t (direcţiile pozitive pentru forţele axiale şi tăietoare din secţiunea curentă)

(5.17)

Ecuaţia trigonometrică , adică nu are soluţii în intervalul [0, /2], iar din condiţia , rezultă , ecuaţie ce are în intervalul precizat soluţia 78,69o . În secţiunea definită prin acest unghi, forţa axială şi momentul încovoietor au următoarele valori extreme:

, .

Prin reducerea forţelor ce acţionează la dreapta unor secţiuni curente din intervalele 4-3 şi 3-2 au fost stabilite expresiile eforturilor:

- pe intervalul 4-3 ( ):,

, (5.18),

- pe intervalul 3-2 ( ):,

, (5.19),

Diagramele de eforturi din figura 5.5 au fost trasate pornind de valori obţinute din expresiile pe intervalele: 1-2 (pentru = 0; 78,69o şi 90o), 4-3 (pentru = 0 şi 90o), 3-2 (pentru = 90o şi 180o).

5.4. Pentru o bară cotită plană (fig. 5.6) sunt cerute diagramele de variaţie a forţelor axiale, forţelor tăietoare şi momentelor de încovoiere.

Pentru determinarea reacţiunilor au fost scrise ecuaţiile de echilibru:- suma forţelor proiectate pe orizontală

H6 2pl = 0,- suma forţelor proiectate pe verticală

V1 + V6 3pl = 0,- suma de momente faţă de articulaţia 6

V12l +2pl0 3pl 0,5l = 0.Au rezultat V1 = 0,75pl , V6 = 2,25pl , H6 = 2pl .Pentru simplificarea calculului eforturilor au fost stabilite sensuri de parcurs pe

fiecare ramură. Pe primul traseu 1-2-3-4 au fost reduse forţele de la stânga secţiunii curente. Pe ramurile 5-4 şi 6-4 au fost reduse forţele de la dreapta secţiunii curente.

Pe baza valorilor calculate la au fost trasate diagramele de eforturi din figura 5.6.

Fig. 5.6. Schema de calcul şi diagrama de eforturi la aplicaţia 5.4

Forţele tăietoare variază liniar în zona încărcată cu sarcină uniform distribuită şi sunt constante pe celelalte intervale. În intervalul 3-4, la distanţa 0,75l , s-a anulat forţa tăietoare iar momentul a atins o valoare minimă locală.

5.5. Pentru o bară cotită în spaţiu (fig. 5.7) sunt cerute toate diagramele de eforturi.

Nu este necesar să se calculeze reacţiunile în încastrare, deoarece eforturile se pot stabili parcurgând bara pe traseul 4-3-2-1. Reducând succesiv în nodurile 3 şi 2 încărcările din 4 au fost obţinute cele două scheme din partea superioară a figurii 5.7.

La stabilirea semnelor s-a aplicat convenţia acceptată în capitolul introductiv: dintre forţele şi momentele obţinute la o operaţie de reducere sunt considerate pozitive cele cu vectori dirijaţi în sensurile pozitive ale axelor locale de referinţă.

Diagramele din intervalul 3-4 se pot obţine considerând că această bară este încastrată în 3 şi încărcată în 4 cu forţele Fy=F şi Fz=F/2 . Similar, bara 2-3 se consideră încastrată în 2 şi încărcată în 3 cu Fx=F/2 , Fy=F , Mx=Fl , My=0,5Fl , iar la capătul 2 al barei 1-2 acţionează Fx=F , Fy=F/2 , Mx=Fl/2 , My=Fl , Mz=Fl .

Fig. 5.7. Schema de calcul şi diagrama de eforturi la aplicaţia 5.5