CAPITOLUL I

INTRODUCERE

1.1 Obiectul şi problemele Rezistenţei Materialelor

Orice construcţie sau maşină trebuie să răspundă, după realizare, unor condiţii tehnice şi economice.

Una dintre condiţiile tehnice importante este condiţia de rezistenţă, care cere ca maşina sau construcţia respectivă să lucreze în condiţii sigure sub acţiunea sarcinilor la care este supusă pe toată durata exploatării ei.

O altă condiţie tehnică nu mai puţin importantă, legată strâns de cea de rezistenţă, este condiţia de rigiditate. Această condiţie cere ca elementele care intră în alcătuirea unei maşini sau construcţii să nu-şi schimbe, în timpul funcţionării, sub sarcinile de lucru, nici forma şi nici dimensiunile.

În unele cazuri, deşi sunt îndeplinite atât condiţia de rezistenţă cât şi cea de rigiditate, la anumite valori ale sarcinilor considerate critice, unele organe de maşini sau elemente de construcţii îşi pot pierde echilibrul stabil şi se pot distruge. Acestea trebuie să satisfacă şi condiţia de stabilitate care cere ca valorile sarcinilor, ce le sunt aplicate, să fie mai mici decât cele critice.

Aceste condiţii tehnice pot fi îndeplinite pe diverse căi. Cea mai uşoară este aceea a folosirii unor secţiuni transversal masive şi de dimensiuni mari. Această cale face ca maşina sau construcţia respectivă să fie grea, iar realizarea ei să fie scumpă, neeconomică.

Una din condiţiile de bază ale unei realizări tehnice este condiţia de economicitate, după care orice piesă proiectată trebuie să fie realizată cu un consum cât mai mic de material şi manoperă, respectând condiţiile de rezistenţă, rigiditate şi stabilitate impuse.

Pentru a răspunde acestor cerinţe este necesară folosirea unor relaţii de calcul stabilite ştiinţific, care să servească la dimensionarea, verificarea sau determinarea sarcinii pe care o poate suporta o piesă, precum şi pentru determinarea deformaţiilor acesteia sub sarcini.

Este necesară de asemenea alegerea potrivită a materialului piesei ţinând seamă de condiţiile de lucru ale acesteia, astfel încât materialele să fie cât mai bine folosite. În consecinţă, obiectul rezistenţei materialelor îl constituie stabilirea metodelor pentru calculul eforturilor, deformaţiilor şi deplasărilor ce se produc în organele de maşini şi în elementele de construcţii sub acţiunea încărcărilor, în vederea dimensionării şi verificării lor. Spre deosebire de mecanică, la această disciplină corpurile sunt considerate deformabile, forţele sunt vectori legaţi şi nu alunecători.

Rezistenţa materialelor este deci ştiinţa care, considerând corpurile deformabile sub acţiunea forţelor exterioare, stabileşte formule de calcul pentru studiul rezistenţei, rigidităţii şi stabilităţii acestora, în scopul realizării unor construcţii tehnice sigure în funcţionare şi ieftine.

Rezistenţa materialelor studiază, de asemenea, comportarea materialelor sub sarcini şi dă indicaţii asupra modului de alegere a materialului unei anumite piese, ţinând seama de sarcinile ce-i sunt aplicate şi de condiţiile de lucru ale acesteia.

Legătura cu alte discipline - rezistenţa materialelor se ocupă cu calculul de rezistenţă al elementelor de construcţii şi organelor de maşini. Acestea sunt corpuri fizice şi pentru calculul lor este necesară cunoaşterea proprietăţilor fizice. Deoarece ele-

1

mentele unei construcţii sau organelor de maşini se află în contact cu alte corpuri, interacţiunea acestora din urmă se manifestă prin forţe şi, în consecinţă, se face apel la mecanica teoretică.

Corpurile reale se deformează însă sub sarcini. Legătura dintre deformaţii şi sarcini reflectă fenomene fizice importante care fac obiectul unor discipline cum ar fi „teoria elasticităţii şi teoria plasticităţii”. Soluţiile exacte ale diverselor probleme date de aceste discipline sunt uneori foarte complexe. De aceea, rezistenţa materialelor admite o serie de simplificări şi ipoteze, suficiente pentru nevoile tehnicii.

Aceste consideraţii se referă la aspectul teoretic al rezistenţei materialelor. Aspectul experimental al acestei discipline are, de asemenea, o importanţă foarte mare deoarece urmăreşte :

obţinerea caracteristicilor materialelor necesare pentru calcule; verificarea relaţiilor deduse teoretic prin compararea lor cu fenomenele reale ; studiul fenomenului de rupere a materialelor sub acţiunea sarcinilor,

precum şi al diverşilor factori ce influenţează acest fenomen.Din cele de mai sus rezultă importanţa deosebită a cercetărilor experimentale în

acest domeniu şi influenţa reciprocă a teoriei experienţei pentru dezvoltarea acestei discipline.

Cunoştinţe necesare din mecanica teoretică - din punctul de vedere al mecanicii, corpurile materiale ce se întâlnesc în jurul nostru pot fi considerate: puncte materiale, solide rigide, sisteme de puncte materiale şi sisteme de solide rigide.

Prin punct material se înţelege un corp material ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în raport cu sistemul de referinţă ales în problema dată, astfel încât corpul poate fi redus la un punct în care este concentrată întreaga masă a sa.

Aşadar, punctul material este reprezentat de un punct geometric care are masă proprie.

Prin solid rigid se înţelege un corp material solid care prezintă proprietatea că distanţa dintre oricare pereche de puncte ale sale rămâne nemodificată, indiferent de mărimea forţelor care acţionează asupra lui. Aşadar, solidul rigid este un corp solid nedeformabil. Denumirea de solid rigid derivă din faptul că este vorba de corpuri cu stare de agregare solidă, indeformabile (rigide).

Mai multe puncte materiale sau mai multe solide rigide ale căror stări de mişcare sau de repaus se intercondiţionează (depind unele de altele) formează un sistem de puncte materiale sau de rigide.

Mărimile cu care se lucrează în rezistenţa materialelor sunt: forţa (încărcarea) ce acţionează asupra structurii - N; caracteristica geometrică a secţiunii - S; efortul unitar (tensiunea) ce ia naştere la nivelul secţiunii periculoase a

structurii - σ.Dintre acestea , în general, se cunosc două şi urmează a se determina a treia.

Problemele puse sunt următoarele: de dimensionare - se cunosc N, σ, se determină S; dimensiunile

elementului de structură rezultă din condiţiile ca forţele interne (implicit tensiunile) si deformaţiile să nu depăşească anumite valori limită;

de verificare - se cunosc N,S, se determină σ; se impune şi se verifică nedepăşirea valorilor limită prescrise pentru tensiuni şi/sau deformaţii;

2

de determinare a forţei capabile - se cunosc σ,S, se determină N; trebuie ştiute/determinate forţa şi/sau momentul limită suportabile la nivelul secţiunii periculoase.

În rezolvarea unei probleme apar trei aspecte:a) aspectul static-care se referă la scrierea ecuaţiilor de echilibru;b) aspectul geometric-implică studierea mediului de deformare;c) aspectul fizic-reuneşte rezultatele de la a) şi b) prin intermediul unei legi

fizice(exemplu:Hooke).

1.2. Clasificarea materialelor, corpurilor şi a încărcărilor

1.2.1 Clasificarea materialelor

a. După natura deformaţiilor căpătate: elastice - corpurile se deformează sub acţiunea forţelor aplicate, dar revin

la forma şi dimensiunile iniţiale după îndepărtarea acestora; plastice - corpurile se deformează sub acţiunea forţelor aplicate, dar nu

mai revin la forma şi dimensiunile iniţiale după îndepărtarea acestora; elastoplastice - corpurile se deformează sub acţiunea forţelor aplicate, dar

revin parţial (mai mult sau mai puţin) la forma şi dimensiunile iniţiale după îndepărtarea acestora;

Observaţie: Între anumite limite, toate materialele prezintă o comportare elastică încât calculul de rezistenţă se va face în ipoteza că toate materialele sunt elastice în anumite limite precizate.

b. După mărimea deformaţiilor căpătate înainte de rupere: fragile sau casante - prezintă deformaţii foarte mici, neglijabile, înainte de

rupere (fonta, sticla, etc.); tenace sau ductile - prezintă deformaţii apreciabile înainte de rupere

(cuprul, plumbul, aluminiul, etc.);

c. După proprietăţile manifestate pe diverse direcţii în spaţiu, plecând din acelaşi punct:

izotrope - prezintă aceleaşi proprietăţi de-a lungul tuturor direcţiilor care pleacă dintr-un punct determinat (metalele turnate, etc.);

anizotrope - prezintă proprietăţi diferite de-a lungul diferitelor direcţii care pleacă dintr-un punct determinat (lemnul, etc.).

d. După proprietăţile manifestate în diverse regiuni ale spaţiului: omogene: prezintă aceleaşi proprietăţi în tot volumul ocupat (aluminiul

pur, etc.); neomogene: prezintă proprietăţi diferite în diferite zone ale volumului

ocupat (beton armat).

1.2.2 Clasificarea corpurilorÎn funcţie de forma şi caracteristicile geometrice, în Rezistenţa materialelor se

studiază următoarele tipuri de corpuri:

a. Bare - corpuri cu o dimensiune preponderentă, care au rigiditate transversală şi pot suporta forţă axială şi tăietoare, precum şi moment de încovoiere şi de răsucire.

3

Axa barei este linia care uneşte centrele de greutate ale secţiunilor transversale. Secţiunea transversală este perpendiculară pe axa barei (fig.1.1).

Fig. 1.1 – Elementele caracteristice ale unei bare

Barele pot fi: a.1 - după mărimea axei longitudinale:

bare scurte; bare lungi;

a.2 - după forma axei longitudinale: bare drepte; bare curbe: bare în plan; bare în spaţiu;

a.3 - după mărimea secţiunii: bare subţiri (fire); bare groase;

a.4 - după forma secţiunii: bare cu secţiune regulată:

bare cu secţiune constantă; bare cu secţiune variabilă;

bare cu secţiune neregulată: bare cu secţiune constantă; bare cu secţiune variabilă;

În figura 1.2 se prezintă câteva tipuri de secţiuni uzuale pentru bare.

Fig. 1.2 – Secţiuni uzuale pentru bare

Observaţie: Firele sunt bare cu secţiune neglijabilă, au axa longitudinală mobilă şi nu suportă decât forţe axiale de întindere.

b. Plăci - corpuri sau elemente de construcţii la care două dintre dimensiuni (lungimea şi lăţimea) sunt apropiate ca ordin de mărime şi mult mai mare decât cea de-a treia (grosimea).

4

Ele pot fi: b.1 - după mărimea suprafeţei mediane:

plăci mici; plăci mari;

b.2 - după forma suprafeţei mediane: plăci plane; plăci curbe; plăci cu curbură simplă; plăci cu curbură dublă;

b.3 - după mărimea grosimii suprafeţei mediane: plăci subţiri (membrane); plăci groase;

b.4 - după forma grosimii suprafeţei mediane: plăci cu grosime constantă; plăci cu grosime neregulată;

Observaţie: Membranele sunt plăci de grosime foarte mică şi care preiau numai eforturi de întindere.

În figura 1.3 se prezintă câteva tipuri de secţiuni uzuale pentru plăci.

Fig. 1.3 – Secţiuni uzuale pentru plăci

c. Blocuri - corpuri sau elemente de construcţii la care cele trei dimensiuni sunt apropiate ca ordin de mărime.

1.2.3 Încărcările

Pot proveni din interacţiunea corpurilor sau pot fi de natură masică (greutate,forţă de inerţie).

Din punct de vedere al suprafeţei pe care se exercită sarcinile, acestea pot fi (fig. 1.3):

a) forţe concentrate - se notează cu litere mari (P,F,Q); se consideră aplicate într-un singur punct (în realitate sunt forţe distribuite pe suprafeţe foarte mici, astfel încât se înlocuiesc în mod permanent prin rezultantele lor); se măsoară în [N], respectiv în [N m];

b) forţe distribuite:

pe o linie, notându-se cu litere mici (q) şi având unitatea de măsură .

pe o suprafaţă, notându-se cu litere mici (p) şi având unitatea de măsură

.

5

Fig. 1.3 – Tipuri de forţe

Sarcinile distribuite pot fi: uniform distribuite (q = const.) (fig. 1.4) - ca în cazul greutăţii proprii a unei

bare sau a unui fir de secţiune constantă;

Fig. 1.4 – Sarcini uniform distribuite

distribuite linear (fig. 1.5) - ca în cazul presiunii hidrostatice pe un perete vertical;

Fig. 1.5 – Sarcini liniar distribuite

sarcini distribuite conform unei legi date, ca presiunea vântului pe o structură etc.

Din punct de vedere al poziţiei faţă de corp a punctelor în care se aplică sarcinile, există:

a) forţe de suprafaţă, aplicate la suprafaţa corpului, care rezultă de obicei din interacţiunea mecanică între corpuri;

b) forţe de volum sau masice, aplicate în toată masa corpului, care rezultă din acţiunea unui câmp (gravitaţional, centrifugal, magnetic, termic etc.).

Din punct de vedere al poziţiei în timp a forţelor, avem:a) forţe fixe;b) forţe mobile.

Din punct de vedere al modului de acţiune în timp al încărcărilor, avem:a) sarcini statice - care se aplică de la zero la valoarea maximă, după care

rămân constante pe întreaga durată de funcţionare a piesei (fig. 1.6-a);b) sarcini dinamice - care pot fi aplicate prin şoc, prin forţe de inerţie sau sarcini

variabile – cu oscilaţie continuă între o valoare minimă şi un maximă (fig. 1.6-b).

6

Fig. 1.6 – Modul de acţiune al sarcinilor statice şi dinamice

1.3. Eforturi secţionale

Metoda de studiu cu care se pun în evidenţă eforturile este metoda secţiunilor.Să considerăm un corp supus acţiunii unor forţe exterioare care se află în

echilibru (fig. 1.7-a).Se secţionează corpul şi se reţine o parte. Evident se înlocuieşte acţiunea părţii

îndepărtate cu rezultanta R, ce se află la distanţa „a” de centrul de greutate al secţiunii părţii rămase, a tuturor forţelor de pe această parte (fig. 1.7-b).

a) b)Fig. 1.7 – Rezultanta forţelor de secţiune

Reducând forţa R în raport cu centrul de greutate al secţiunii (fig. 1.8), se obţine:

(1.1)

Fig. 1.8 – Reducerea forţelor la centrul de greutate al secţiunii

Considerând o bară secţionată având axa longitudinală Ox şi axele secţiunii

transversale Oy şi Oz (fig. 1.9), se descompune după axa Ox şi după intersecţia

7

dintre planul secţiunii transversale şi planul format de şi Ox, obţinându-se

componentele N (denumită forţă axială) şi T (denumită forţă tăietoare). Apoi T se descompune după Oy şi Oz, obţinând componentele şi . Vectorul moment se descompune după Ox şi după intersecţia dintre planul secţiunii transversale şi planul format de şi Ox, obţinând componentele (moment de torsiune) şi (moment

de încovoiere). Componenta se descompune după Oy şi Oz obţinând

componentele momentului încovoietor şi .

Mărimile N, , , , şi se numesc eforturi; fiecărui efort îi corespunde o solicitare simplă:

întindere – compresiune - solicitarea produsă de forţa axială N; tăiere sau forfecare – solicitarea produsă de componentele forţei tăietoare

şi ;

torsiune sau răsucire – solicitare produsă de momentul de torsiune ; încovoiere – solicitarea produsă de componentele momentului încovoietor

şi .

Fig. 1.9 – Descompunerea forţelor din secţiune

Solicitările compuse corespund cazului când apar simultan cel puţin două eforturi în secţiune.

1.4. Ipoteze de bază

Pentru a putea stabili relaţiile de calcul simple, în rezistenţa materialelor se folosesc anumite ipoteze referitoare atât la structura materialelor cât şi la comportarea lor sub acţiunea sarcinilor aplicate. Aceste ipoteze sunt uneori în concordanţă cu realitatea, iar alteori ele reprezintă simplificări ale fenomenelor reale, care duc la rezultate verificate experimental şi deci acceptabile pentru scopul rezistenţei materialelor.

Principalele ipoteze de acest fel sunt:

Ipoteze cu caracter fizic: Se consideră corpul făcut dintr-un material ce are o

comportare liniară şi perfect elastică. Pentru solicitări în domeniul elastic se consideră că între tensiuni şi deformaţiile specifice există o relaţie liniară, adică este valabilă legea lui Hooke. Dacă tensiunile nu depăşesc anumite valori limită, materialele

8

utilizate de ingineri se consideră perfect elastice. Ceea ce înseamnă că deformaţiile produse de sarcini se anulează odată cu anularea sarcinilor.

Se consideră materialul izotrop (valorile constantelor elastice sunt aceleaşi după orice direcţie).,

Ipoteze cu caracter geometric: Corpurile sunt considerate continue şi omogene. Se

admite că materialul se consideră un mediu continuu, ce ocupă întregul spaţiu delimitat de volumul său. Prin ipoteza mediului omogen se admite că materialul are în toate punctele din volumul său aceleaşi mărimi fizice .

Deformaţiile sunt considerate mici în raport cu dimensiunile corpului. Se consideră că deformaţiile sunt foarte mici în raport cu dimensiunile acestuia. Ipoteza este foarte importantă întrucât ecuaţiile de echilibru static se pot scrie raportând forţele la starea iniţială nedeformată a corpului. Tot pe baza acestei ipoteze, în calculele analitice, termenii ce conţin deformaţii specifice sau deplasări la puteri superioare se pot neglija în raport cu termenii la puterea întâi (teoria de ordinul întâi).

Ipoteze de natură statică: Se consideră valabile, ecuaţiile de echilibru din mecanica

rigidului. Corpul se consideră iniţial fără eforturi.

Principiul lui Barré de Saint-Venant: un sistem echilibrat de forţe aplicat unui corp, produce în zona de aplicare o stare de eforturi importantă, care scade pe măsură ce ne îndepărtăm de această zonă.

Ipoteza lui Bernoulli: o secţiune plană şi normală pe axa barei înainte de deformare, rămâne plană şi normală şi după deformare.

9