Reprezentarea interna a numerelor reale si tipuri de erori

7/25/2019 Reprezentarea interna a numerelor reale si tipuri de erori

1/5

Cap.1 Reprezentarea intern a numerelor reale i tipuri de erori

1

#

1. Reprezentarea intern a numerelor reale i tipuri de erori

Problemele descrise matematic prin diferite tipuri de ecuaii, se pot rezolva n cele maimulte cazuri prin metode numerice. Prin utilizarea unei metode numerice se dorete obinereaunui rezultat cu o precizie ct mai mare i ntr-un timp ct mai redus. Foarte important nrezolvarea numeric a unei probleme este estimarea erorilor cu care este obinut rezultatul.n toate calculele care utilizeaz numere reale i complexe apar erori datorit reprezentriinterne aproximative a acestor numere, ele fiind reprezentate printr-un numr relativ redus ifinit de cifre.

Eroare este definit ca fiind diferena dintre valoare exact a unei mrimi i valoareaaproximativ a acesteia:

xXE

Eroarea absolut este egal cu modulul diferenei dintre valoarea exact a unei mrimii valoarea aproximativ a acesteia:

xXEa

Eroarea relativ este definit ca fiind raportul dintre eroarea absolut i modulul valoriiexacte a marimi considerate:

X

xXE

r

Deoarece XxX iar valoarea exacta X nu este cunoscut, pentru eroarea

realtiv se poate utiliza relaia:

x

xXE

r

Principalele erori care intervin in calculele numerice sunt: Erori de metod

Orice fenomen fizic este modelat aproximativ printr-o formul matematic. Modelareaideal simplificat a fenomenului fizic introduce erori de metod. Erorile de metod sunt ngeneral controlate prin verificarea ipotezelor care au fost fcute n modelarea matematic afenomenului fizic.


2/5


2

Erori de trunchiere

Erorile de trunchiere sunt erori datorate procedurilor numerice care teoretic suntinfinite dar sunt ntrerupte dup un numr finit de operaii. Erorile de trunchiere nu pot fievaluate exact, dar se pot pot estima.

Erori de rotunjire (round-off)

Erorile de rotunjire sunt datorate faptului c numerele reale sunt reprezentate printr-un numr finit de cifre, astfel prin limitarea numrului de cifre apar erori de round-off.Calculatoarele digitale utilizeaz numere reale scrise n baza 2, 8 sau 16. n anul 1985 s-aadoptat standardul (floating point arithmetic) de catre IEEE Standards Board si The AmericanNational Standards Institute (ANSI) care reglementeaz modul n care sunt reprezentatenumerele reale n memoria intern a calculatoarelor . n Matlab numerele reale suntreprezentate n dubl precizie (double precision) dar pot fi reprezentate i n simpl precizie(single precision), ns aceast reprezentare nu aduce avantaje de memorie semnificativedatorit vitezei mari de calcul a calculatoarelor actuale.

Corespondena dintre unitile de memorie sunt:

1bit=21poate lua valoarea 0 sau 11byte= 4bits=poate lua 24valori1word=2byte=8bits=poate lua 28valori

Un numr real poate fi reprezentat sub form normalizat (normalized floating-point)astfel:

01

1

cBcBR

n

i

i

i

e

B

unde, B este baza n care este scris numrul care poate fi 2, 8 sau 16; e se numetecaracteristic; succesiunea de cifre (0


3/5


3

Pentru numerele reale n baza 2 n simpl precizie sunt alocai 32 de bit, dintre care 23de bit sunt pentru cifrele din mantis, 8 bit pentru caracteristic iar 1bit pentru semn. n cazulnumerelor reale n baza 2 reprezentate n dubl precizie sunt alocai n memeorie 64 de bit,

dintre care 52 bit sunt pentru cifrele din mantis, 11 bit pentru caracteristic, iar 1bit pentrusemn. Eroarea maxim absolut care se face la reprezentarea unui numr real n simplaprecizie n baza 2 este 2-23=1.192092895507813e-007, iar in dubl precizie eroarea este 2-52=2.220446049250313e-016.

n baza 16 un numr real este reprezentat n simpla precizie pe 32 de bit, 1 bit pentrusemn, 3 bit pentru caracteristic i 24 pentru mantis, eroarea absolut este 16-6=5.960464477539063e-008, iar n cazul reprezentri n dubl precizie n baza 16 a unui numrreal se utilizeaz 64 de bit dintre care 1 bit pentru semn, 56 bit pentru mantis i 7 bit pentrucaracteristic, eroarea absolut fiind 16-14=1.387778780781446e-017

n Matlab sunt definite trei valori eps, realmax i realmin care caracterizeaz sistemulstandard n ceea ce privete reprezentarea numerelor reale din punct de vedere al eroriabsolute, valorilor maxime i minime pe care le poate lua un numr real.

Nume Sistemul binar Sistemul zecimalEps 2^(-52) 2.2204e-16Realmin 2^(-1022) 2.2251e-308Realmax (2-eps)*2^1023 1.7977e+308

Dacn timpul unui calcul numerele reale au valori mai mari dect realmax atunciv-a apare fenomenul de overflow, numrul real n acest caz se noteaz Inf de la infinit(Infinity) i verific relaiile Inf+Inf=Inf i 1/Inf=0. Dac n procesul de desfurare a unuicalcul se obtine o valoare mai mica decat valoarea realmin apare fenomenul de underflow,totui cea mai mic valoare care o poate avea un numr real este eps*realmin, orice numrreal mai mic dect aceast valoare este setat ca fiind 0. Uneori n procesul de calcul pot apareoperaii cum ar fi 0/0 sau Inf-Inf care nu au ca rezultat un numr real, n acest caz rezultatulfiind scris sub forma NaN (de la Not a Number) .

Erorile de calcul care apar la aplicare celor patru operaii aritmetice asupra numerelorX i Y sunt:

Eroarea la adunarea numerelor X i Y:yxyxyxyx

EEEEEyxEyExYX

)(

Eroarea relativ la adunarea numerelor X i Y:

yx

E

yx

E

yx

EEr

yxyx

yx

Eroarea la scderea numerelor X i Y:yxyxyxyx

EEEEEyxEyExYX

)(


4/5


4

Eroarea relativ la scderea numerelor X i Y:

y

E

yx

y

x

E

yx

x

yx

EEr

yxyx

yx

Eroarea la nmulirea numerelor X i Y:1))(( xyyxxyxyyxyx EExEyEEEExEyExyEyExXY

Eroarea realtiv la nmulirea numerelor X i Y:

y

E

x

E

xy

EEr

yxxy

xy

Eroarea la mprirea numerelor X i Y:

y

x

y

xxy

y

y

x

yyx

y

x

y

x

Ey

x

y

EEEE

y

EE

y

x

y

E

y

x

y

E

y

E

y

Ex

y

Ey

Ex

Ey

Ex

Y

X

2

2

2

2

;0;0;

...1

1

1

Eroarea relativ la mprirea numerelor X i Y:

y

E

x

E

y

x

E

Er yxy

x

y

x

n cazul unei funcii eroarea absolut i relativ se poate exprima n funcie de erorilevariabilei independente.

Eroarea absolut a funciei f(x) este :

)()()(()()()()(()()()( ''' xfExfExfxfxfxXxfxfxfXfE xxf

unde, xXEx

are o valoare foarte mic i reprezint eroarea variabilei.

Eroarea relativ a funciei f(x) este:

)(

)(

)(

'

xf

xfE

xf

EEr x

f

f

Pentru estimarea erorilor care apar ntr-un calcul cu numerele reale se utilizeazgrafuri de procedur n care se evalueaz att erorile introduse de cei patru operanzi


5/5


5

(adunare, nmulire, scdere i mprire) ct i erorile de rotunjire datorate modului dereprezentare a numerelor reale n memoria calculatorului.

Reprezentarea interna a numerelor reale si tipuri de erori

Documents

Transcript of Reprezentarea interna a numerelor reale si tipuri de erori