1

RELATIVITATE

2

Galileo GALILEI (1564-1642):

Este imposibil să precizăm care dintre două sisteme de referinţă care se mişcă cu viteză constantă unul faţă de celălalt este în repaus sau care în mişcare.

Formulare similară şi în primul postulat al lui Einstein.

3

Isaac NEWTON (1643-1727):

Legile mecanicii clasice şi ale gravitaţiei (1687 Principia).

4

Ernst MACH (1838-1916)

• 1883 The Science of Mechanics• ridică problema distincţiei dintre mişcare relativă şi mişcare absolută.

conceptele Newtoniene de “spaţiu” şi “timp”.

5

Pentru Newton, spaţiul şi timpul absolut, existau.

Absolute, true, and mathematical time, of itself, and from its own nature, flows equably without relation to anything external, and by another name is called duration: relative, apparent, and common time, is some sensible and external (whether accurate or unequable) measure of duration by the means of motion, which is commonly used instead of true time; such as an hour, a day, a month, a year.

6

Absolute, true, and mathematical space remains similar and immovable without relation to anything external. Relative spaces are measures of absolute space defined with reference to some system of bodies or another, and thus a relative space may, and likely will, be in motion.

Pentru Newton, spaţiul şi timpul absolut existau.

7

Mach: trebuie să ne folosim de experiment pentru a înţelege proprietăţile naturii şi nu să ne bazăm pe abstracţiuni ale gândirii.

Efectul criticii lui Mach a definiţiei lui Newton despre spaţiu şi timp: mic.

Definiţia lui Newton a spaţiului şi timpului nu afectează legile acestuia.

8

Albert Einstein (1879-1955)

Postulatele lui Einstein

Teoria relativităţii

...

9

“Căderea” mecanicii clasice nu va veni din cauza criticilor lui Mach.

Probleme fundamentale apăreau în legătură cu anumite aspecte prezise de teoria electromagnetismului elaborată de Maxwell (1861) (ecuaţiile lui Maxwell):

În vid, undele electromagnetice se propagă cu viteza

smc /103 8

.

10

.

And what ?

11

.

Care e problema?

Problema este că undele electromagnetice se propagă în vid cu viteza

.

smc /103 8

12

. .

Singurele unde cunoscute până atunci erau undele mecanice care se propagau în solide, lichide şi gaze.

Adică se propagau într-un anume mediu.

Undele sonore se propagă în mediu cu viteza de 330 m/s (ceva mai puţin decât viteza agitaţiei moleculare).

În metale, viteza undelor sonore este mai mare, cam 5000 m/s.

13

. .

Undele electromagnetice trebuie că se propagă printr-un mediu care pe de-o parte este foarte rigid, pentru ca viteza de propagare să fie atât de mare, pe de altă parte este destul de gol (lipsit de substanţă) pentru a nu interfera, de exemplu, cu mişcarea planetelor.

Să presupunem că mediul în care se propagă undele electromagnetice este ETERUL.

14

. .

De fapt teoria lui Maxwell nu făcea nici o referinţă la eter însă contemporanii săi nu vroiau să accepte ideea unor unde care se propagă în vid.

Spaţiul trebuia umplut cu ceva: cu ETER.

15

. .

Am văzut în cursul precedent că viteza vs unei unde

sonore depinde de proprietăţile mediului.

Dacă observăm o undă sonoră dintr-un sistem de coordonate care se mişcă faţă de mediu, viteza sunetului va apărea a fi mai mare sau mai mică decât vs, în funcţie de direcţia noastră de deplasare:

în direcţia de propagare sau în sens opus.

16

. .

Analog cu acest rezultat, cunoscut, Maxwell a precizat că viteza de rotaţie a Pământului în jurul Soarelui (aprox ) ar trebui să schimbe valoarea măsurată a vitezei luminii, măsurată pe Pământ.

sm /103 4

17

. .

Să presupunem că lumina face traseul ABA între două puncte separate de distanţa l.

18

. .

Dacă presupunem că instrumentul se mişcă spre

dreapta faţă de eter (şi deci eterul se mişcă spre

stânga faţă de instrument), atunci viteza luminii

faţă de instrument va fi c - v de la A la B şi c – v

de la B la A.

Atunci timpul în care lumina parcurge distanţa AB

ar trebui să fie vc

lt

1 iar timpul în care lumina

parcurge distanţa BA ar trebui să fie: vc

lt

1 .

19

. .

Dacă instrumentul ar fi fost în repaus, cei doi timpi

ar trebui să fie egali, şi egali cu c

lt 0 .

Efectul rotaţiei Pământului ar fi de o întârziere a

semnalului pe ruta ABA cu 021 2tttt

1/1

12

2/1

1/1

1 2

22 cvcl

cvcvcl

cl

vcl

vcl

t

2

2

2c

v

c

lt

20

. .

2

2

2c

v

c

lt

Ştiind că 410c

v şi presupunând l = 1m, obţinem

st 17107 , un interval temporal prea mic

pentru a fi măsurat direct.

21

. .

Michelson (1881):

În loc să se măsoare timpul de tranzit a unui fascicul, Michelson a observat diferenţa dintre timpii în care două fascicule parcurg un traseu, după care interferă.

22

. .

Deplasarea franjelor de interferenţă ar indica o

modificare a diferenţei de fază (deci de timp)

între cele două unde care interferă: 2

2

c

v

c

lt

(adică unda 2 ajunge mai târziu cu 2

2

c

v

c

lt faţă

de unda 1).

O modificare faţă de ce? Faţă de cazul în care eterul nu s-ar mişca.

Oups, avem o problemă. Nu avem “zeroul”

franjelor. Nu ştim unde ar fi acestea în cazul în

care eterul nu se mişcă.

Problema a fost rezolvată tot de Michelson. O

rotire cu 90 grade a instrumentului ar da o

deplasare a franjelor în partea cealaltă (adică

unda 2 ar ajunge mai devreme, tot cu t , faţă de

unda 1). Înseamnă că diferenţa dintre cele două

poziţii trebuie să fie t2 . 23

. .

24

. .

Dacă este lungimea de undă a luminii folosite, o

întârziere de c/ va deplasa figura cu o franjă. O

întârziere t2 va deplasa figura de interferenţă cu

N franje, unde 2

22

/

2

c

vl

c

tN

.

25

. .

În primul instrument folosit de Michelson,

lungimea braţelor era de 1.2 m, adică 6102

lungimi de undă ale radiaţiei galbene a sodiului

folosită în experiment. 04.0N . Rezoluţia

experimentului ar fi fost suficient de mare pentru

ca această deplasare a franjelor să fie observată.

26

. .

În 1887, un experiment mai complex executat de Morley a folosit reflexii multiple pentru a creşte deplasarea dintre cele două unde la 0.4. Chiar dacă în acest experiment s-ar fi putut observa deplasări de ordinul a 0.01 franje, şi acest experiment a dat un rezultat negativ: nici un efect nu a fost observat. Adică nici un efect al mişcării Pământului prin eter nu a fost identificată.

27

. .

Prietenii eterului au apărut cu o mulţime de

argumente, care încercau să explice eşecul

experimentelor:

antrenare a eterului de mişcarea Pământului,

comprimare a aparatului în mişcarea acestuia

în eter

dilatare a timpului, ...

Eterul părea să fie ceva ce nu poate fi detectat

prin nici un mijloc. Şi atunci cum ştim că există?

28

. .

E ca şi cum am spune că pe Lună sunt nişte oameni mici şi verzi, cu urechi mari (nu mici), care se ascund atunci când ne uităm la Lună.

Nu prea avem mijloace pentru verifica dacă acele personaje există.

Despre o astfel de ipoteză am spune că este ne-ştiinţifică.

29

. .

Ipoteza despre eter era însă una ştiinţifică, însă orice încercare de a găsi mişcarea Pământului în eter a fost fără succes.

Înseamnă atunci că preziceri ale teoriei electromagnetismului a lui Maxwell sunt greşite? Deci teoria este greşită?

Sau înseamnă, simplu, că ... ?

30

. .

Einstein a văzut în eşecul de a găsi eterul nu o problemă în teoria lui Maxwell ci una în bazele principiilor dinamicii.

31

. .

Postulat: legile fizicii au aceeaşi formă în toate sistemele de referinţă inerţiale.

Postulat: deoarece viteza luminii, c, prezisă de teoria electromagnetismului nu implică nici o referinţă faţă de un mediu (este viteza luminii în vid) atunci ea trebuie să fie o constantă universală, aceeaşi pentru toţi observatorii, indiferent de viteza sursei de lumină.

Altfel spus, pentru fiecare observator inerţial, viteza luminii în vid este aceeaşi.

32

. .

Einstein a pornit de la ideea că ambele postulate sunt adevărate şi a căutat ce altceva trebuie modificat pentru ca formulele-relaţiile să fie consistente.

Teoriile ştiinţifice trebuie să aibă aceste două calităţi:

1) self-consistenţă: o parte a unei teorii să nu o contrazică pe cealaltă;

2) trebuie să aibă corespondenţă într-un experiment (verificabilitate, testabilitate). Trebuie să explice rezultatele experimentelor precedente şi a celor viitoare.

33

. .

Expresia matematică a teoriei speciale a relativităţii este cuprinsă în transformările LORENTZ.

34

. .

Dar să revedem transformările Galilei: cazul în

care S’ se deplasează de-a lungul axei x cu viteza

v şi a fost în origine la 0t .

vtxx '

yy '

zz '

tt '

Ultima ecuaţie e scrisă mai mult pentru completitudine.

Apare din idea de timp absolut a lui Newton.

35

. .

Dacă forma unor legi (sau valoarea unor constante, G de exemplu), ar fi diferită în cele două sisteme, am putea emite judecăţi asupra vitezei sistemelor de coordonate prin investigarea legilor respective în acele sisteme.

SISTEMELE INERŢIALE NU AR MAI FI ECHIVALENTE, în acest caz.

36

. .

Ce se întâmplă cu ecuaţiile pentru un semnal luminos, din punct de vedere al transformărilor lui Galilei?

37

. .

Exemplu: să presupunem că la 0t se emite un

semnal luminos din originea sistemului de

coordonate S, şi că acest semnal se propagă în

toate direcţiile cu viteza c.

Ecuaţia frontului de undă de-a lungul axei x este

ctx .

38

. .

Într-un sistem de referinţă 'S care se deplasează

cu viteza v de-a lungul axei x, ecuaţia frontului de

undă va fi: tvcvtxx ' , unde v este viteza

relativă a celor două sisteme.

În 'S , viteza semnalului luminos, va fi: vct

x

d

'd.

Aceasta este în contradicţie cu postulatul că

viteza luminii este o constantă universală pentru

toţi observatorii.

39

. .

Transformările LORENTZ:

Având în vedere că transformările Galilei nu satisfăceau postulatul că viteza luminii este constantă, Einstein a propus o variantă alternativă de descriere a aceluiaşi eveniment din două sisteme de referinţă diferite.

40

. .

Să presupunem că tzyx ,,, este sistemul de

referinţă în repaus şi că sistemul ',',',' tzyx se

deplasează cu viteză constantă v în lungul axei x,

în sensul pozitiv al axei şi că originile celor două

sisteme de axe coincid la 0'tt .

BtAxx '

yy '

zz '

DtCxt '

41

. .

BtAxx '

yy '

zz '

DtCxt '

Pentru a determina cele patru constante trebuie să ştim cum apar patru tipuri/cazuri de evenimente, observatorilor din cele două sisteme de referinţă.

42

. . BtAxx ' DtCxt 'yy ' zz '

1) Observatorul din S vede originea lui 'S

mişcându-se de-a lungul axei x cu viteza v.

vtx , 0'x BtAvt 0 adică AvB deci

rescriem

vtxAx ' .

DtCxt '

43

. . DtCxt 'yy ' zz ' vtxAx '

2) Observatorul din 'S vede originea lui S

mişcându-se de-a lungul axei x cu viteza -v.

0x , '' vtx DtvvtA 00 AD şi

rescriem:

vtxAx '

AtCxt '

44

. . yy ' zz ' vtxAx ' AtCxt '

3) Un puls luminos emis din origine de-a lungul

axei x la 0t e localizat în ctx şi '' ctx

AtCctcvtctA 2c

AvC şi rescriem:

vtxAx '

tx

c

vAt

2'

45

. . yy ' zz ' vtxAx '

tx

c

vAt

2'

4. Un puls luminos emis de-a lungul axei y în S la

0t , are în 'S componente de-a lungul lui 'x şi 'y .

Viteza pulsului însă este aceeaşi, c, în ambele

sisteme.

0x , cty ; 2222 ''' tcyx

2

2222222 00

t

c

vActcvtA

22 /1

1

cvA

.

46

. .

Transformările lui Lorentz.

22 /1

'cv

vtxx

yy '

zz '

222 /1

1'

c

vxt

cvt

47

. .

Relaţiile inverse:

22 /1

''

cv

vtxx

yy '

zz '

222

''

/1

1

c

vxt

cvt

48

. .

Pentru a evita lupta cu paradoxurile (de obicei greşeli simple de aplicare a transformărilor Lorentz) trebuie înţeles foarte clar că aceste transformări leagă coordonatele unui eveniment dintr-un sistem de coordonate inerţial cu coordonatele aceluiaşi eveniment dintr-un al doilea sistem de coordonate inerţial.

49

. .

Exemple de evenimente simple:

o un puls luminos este pornit în 3x m, 7y m,

4z m la 5t s.

o Originea lui 'S trece prin originea lui S la

momentul t.

o Capătul unui liniar se află în punctul ',',' zyx la

momentul 't .

Evenimentele simple sunt caracterizate de un set

de valori tzyx ,,, .

50

. .

Evenimente mai complicate pot fi descrise ca şi

colecţii de evenimente simple.

Să presupunem de exemplu un băţ situat de-a

lungul axei x. Poziţia băţului este definită de două

evenimente simple: coordonatele celor două

capete, la un moment dat.

51

. .

Simultaneitate şi ordine a evenimentelor.

Un conductor se află la mijlocul unui tren de

lungime 2L. Cu lanterna sa, emite un puls

luminos, care se transmite în toate direcţiile.

Lumina ajunge la capetele trenului după un

interval de timp cL / . În acest sistem de referinţă,

lumina ajunge simultan în capetele A (stânga) şi B

(dreapta) ale trenului.

52

. .

Să analizăm problema dintr-un sistem de referinţă care se deplasează spre dreapta cu viteza v. În acest sistem de referinţă, trenul se mişcă spre stânga cu viteza v.

Şi în acest sistem de referinţă viteza luminii este aceeaşi, c, însă cele două evenimente nu vor fi simultane în acest sistem de referinţă.

Lumina va ajunge mai rapid la capătul B al trenului şi mai târziu la capătul A (evenimentul din B îl precede pe cel din A).

53

. .

Cum aflăm timpul în care ajung pulsurile de

lumină în capetele A şi B ale trenului?

Pentru sistemul trenului, în repaus, problema e

simplă:

A: T

c

Lt

Lx

1

1

, B: T

c

Lt

Lx

2

2

54

. .

Pentru sistemul de referinţă în mişcare vom avea:

cvcv

T

cvT

Tcv

cvL

Tcv

t

/1/1

/1

1

/1

1'

22

2221

şi analog pentru cv

cvTt

/1

/1'2

.

Pulsul luminos ajunge mai rapid în punctul B

(evenimentul 2).

55

. .

SIMULTANEITATEA EVENIMENTELOR DEPINDE DE ALEGEREA SISTEMULUI DE COORDONATE.

Exemplu:

Să presupunem că două evenimente A şi B au

coordonatele AA tx , şi BB tx , (y = 0 pentru ambele

evenimente).

Distanţa spaţială şi intervalul temporal dintre cele

două evenimente sunt AB xxL şi AB ttT

(presupunem pozitive).

56

. .

Pentru a afla coordonatele evenimentelor într-un

sistem de coordonate 'S vom scrie:

AAA vtxx ' ,

2'

c

vxtt A

AA

şi BBB vtxx ' ,

2'

c

vxtt B

BB

şi putem calcula:

AB xxL ''' , vTLttvxxL ABAB '

2'

c

vLTT .

57

. .

vTLL ' ,

2'

c

vLTT

Ştiind că cv , atunci dacă cTL , 'L este

întotdeauna pozitiv, în timp ce 'T poate fi

pozitiv, negativ sau zero.

În acest caz, deci, putem alege un sistem în

care cele două evenimente sunt simultane,

sistemul pentru care L

Tcv

2

.

58

. .

vTLL ' ,

2'

c

vLTT

Pe de altă parte, dacă cTL , 'T este tot timpul

pozitiv iar 'L poate fi pozitiv, negativ sau zero.

În acest caz putem găsi un sistem de coordonate

în care evenimentele au loc în acelaşi punct.

59

. .

Contracţia lungimilor.

Să presupunem că un băţ, aflat în repaus în 'S ,

stă de-a lungul axei x cu capetele sale în Ax' şi Bx'

.

Notăm cu AB xxl ''0 , lungimea proprie a băţului,

adică lungimea măsurată în SR în care băţul este

în repaus.

Care va fi lungimea băţului în S?

60

. .

vtxx BB ' şi vtxx AA ' rezultând:

2

2

00 1

c

vl

ll

, adică lungimea băţului în

mişcare este mai mică decât lungimea acestuia în

repaus = contracţia lungimilor.

Lungimile în mişcare sunt mai mici decât lungimile

în repaus. Contracţia lungimilor are loc doar pe

direcţia de mişcare (x).

61

. .

Dilatarea timpului.

Să presupunem că în 'S avem două evenimente A

şi B, ambele având loc în acelaşi 0'x : Atx ','0 şi

Btx ','0 .

AB tt '' este intervalul de timp dintre cele două

evenimente.

62

. .

În S, intervalul de timp se calculează folosind:

2

''

c

vxtt , adică:

20''

c

vxtt AA ,

20''

c

vxtt BB rezultând

22 /1 cvttΤ AB

.

Intervalul de timp măsurat în S este mai

mare decât cel măsurat în 'S .

63

. .

Veţi mai găsi în cărţi că experimentul experimentul Michelson-Morley este “crucial” care a “condamnat” mecanica clasică este.

Se pare că este greşit. Albert Michelson, cel care a conceput şi realizat experimentul:

• a vrut să dovedească, nu să infirme, existenţa eterului.

• l-a considerat un eşec, pentru că nu a dat rezultatul aşteptat. L-a repetat de mai multe ori, confirmând inexistenţa vreunui efect.