La a MATRICI SI Deter Min Anti

download La a MATRICI SI Deter Min Anti

of 65

  • date post

    09-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    227
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of La a MATRICI SI Deter Min Anti

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    1/65

    Liceul de InformaticSpiru-Haret Suceava

    Elev : Alexevici Ctlin

    Profesor coordonator: Oanea Clin

    referat.clopotel.ro 1

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    2/65

    CUPRINS

    1. MATRICI pg. 11.1. Despre matrici1.2. Operaii cu matrici

    1.2.1.Egalitatea a dou matrici1.2.2.Adunarea matricilor1.2.3.nmulirea cu scalari a matricilor1.2.4.nmulirea matricilor

    2. DETERMINANI .pg. 52.1. Definiia determinantului de ordinn42.2. Definiia determinantului de ordin n

    2.3. Proprietile determinanilor2.4. Calculul inversei unei matrici2.5. Ecuaii matriciale

    3. APLICAII pg. 12

    Adres de e-mail: alexey @mail2grandpa.comCopyright C 2003 Alexey

    referat.clopotel.ro 2

    mailto:alexey@mail2grandpa.commailto:alexey@mail2grandpa.com
  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    3/65

    MATRICI I DETERMINANI

    MATRICI

    1.1. Despre matrici

    Acest concept l-am ntalnit nca din primul an de liceu, atunci cnd s-a pus problema

    rexolvarii unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscutex,y, de forma

    =+

    =+''' cybxa

    cb ya x.

    Acestui sistem i-am asociat un teblou ptratic, care conine coeficienii necunoscutelor (nprima linie sunt coeficienii luix,y din prima ecuaie, iar in a doua linie figureaz coeficienii luix,

    y din ecuaia a doua):

    ''ba

    ba.

    Am numit acest tablou matrice ptratic (sau matricea sistemului). Pe cele dou coloane alematricei figureaz coeficienii luix (pe prima coloan a, 'a ) i respectiv coeficienii luiy (pe a doua

    coloan b,'

    b ).

    Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip nm ) un tablou cu mlinii i n coloane

    referat.clopotel.ro 3

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    4/65

    m nmm

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    . . .

    . . .. . .. . .. . .

    . . .

    . . .

    21

    22 22 1

    11 21 1

    ale crui elemente ija sunt numere complexe.

    Uneori aceast matrice se noteaz i ( jiaA = unde mi ,1= i nj ,1= . Pentru elementul ija, indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indicej indic pe ce coloan este situat.

    Mulimea matricilor de tipnm

    cu elemente numere reale se noteaz prin ( )Rnm,

    .Aceleai semnificaii au i mulimile ( )Znm, , ( )Qnm, , ( )Cnm, .

    Cazuri particulare1) O matrice de tipul n1 (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i are forma

    ( )naaaA ...21= .2) O matrice de tipul 1m (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i are forma

    =

    ma

    a

    a

    B. . .

    2

    1

    .

    3) O matrice de tip nm se numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Se noteaz cuO

    =

    0. . .00

    . . .. . .. . .. . .

    0. . .00

    0. . .00

    O .

    4) Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numete ptratic.

    referat.clopotel.ro 4

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    5/65

    =n nnn

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    . . .

    . . .. . .. . .. . .

    . . .

    . . .

    21

    22 22 1

    11 21 1

    .

    Sistemul de elemente ( )nnaaa ...2211 reprezint diagonala principal a matricii A,iar suma acestor elemente nnaaa ... 2211 +++ se numete urma matriciiA notat Tr(A)

    =

    =n

    i

    iia1

    . Sistemul de elemente ( )1121 ... nnn aaa reprezint diagonala secundar a matricii

    A.Mulimea acestor matrici se noteaz ( )Cn . Printre aceste matrici una este foarte

    important aceasta fiind

    =

    1. . .00. .. . .. . .. . .

    0. . .10

    0. . .01

    nI

    i se numete matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1, iar n restsunt egale cu 0).

    1.2. Operaii cu matrici

    1.2.1.Egalitatea a dou matrici

    Definiie. Fie jiaA = , jibB = ( )Cnm, . Spunem c matricile A, B sunt egale i

    scriemA = B dac jia = jib , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .

    Exemplu: S se determine numerele realex,y astfel nct s avem egalitatea de matrici

    referat.clopotel.ro 5

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    6/65

    = ++ xx

    yx

    yxx

    290

    12

    20

    1.

    R. Matricile sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic:

    =

    =

    =+

    =+

    .292

    00

    1

    21

    xyx

    xyx

    x

    Rezolvnd acest sistem gsim soluiax = 1,y = -3.

    1.2.2.Adunarea matricilor

    Definiie. Fie jiaA = , jibB = , jicC = ( )Cnm, . Matricea C se numete sumamatricilorA,B dac: jic = jia + jib , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .

    Observaii1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr de linii i acelainumr de coloane, deciA,B ( )Cnm, .2) Explicit adunarea matricilorA,B nseamn:

    m nmm

    n

    n

    aaa

    aaaaaa

    . . .

    . . .. . .. . .. . .

    . . .

    . . .

    21

    22 22 1

    11 21 1

    +

    m nmm

    n

    n

    bbb

    bbbbbb

    . . .

    . . .. . .. . .. . .

    . . .

    . . .

    21

    22 22 1

    11 21 1

    =

    +++

    +++ +++

    m nm nmmmm

    nn

    nn

    bababa

    babababababa

    . . .

    . . .. . .. . .. . .

    . . .

    . . .

    2211

    222 22 22 12 1

    111 21 21 11 1

    .

    Exemplu: S se calculezeA + B pentru:

    referat.clopotel.ro 6

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    7/65

    1.

    = = 511350

    ,103

    211BA

    ;

    2. .01

    10,

    11

    11

    =

    =BA

    R. 1. Avem

    referat.clopotel.ro 7

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    8/65

    611

    141

    511013

    3-251-01

    511 0

    350

    103

    211

    BA 2. Avem

    referat.clopotel.ro 8

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    9/65

    1021

    01111101

    .0110

    1111

    BA

    .

    Proprieti ale adunrii matricilor

    1A (Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:

    ( ) ( )CBACBA ++=++ , ( )A,B, C ( )Cnm, .2

    A (Comutativitatea adunrii). Adunarea matricilor este comutativ, adic:ABBA +=+ , ( )A,B ( )Cnm, .

    3A (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul ca element neutru, adic

    nmO , ( )Cnm, astfel nct A + nmO , =A, ( )A ( )Cnm, .4

    A (Elemente opuse). Orice matriceA ( )Cnm, are un opus, notat A , astfel nct( ) nmOAA ,=+ .

    1.2.3.nmulirea cu scalari a matricilor

    Definiie.Fie CiA = jia ( )Cnm, . Se numete produsul dintre scalarul

    Ci matriceaA, matricea notat A ( )Cnm, definit prin A = jia .Obs.: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.

    referat.clopotel.ro 9

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    10/65

    Deci A =

    m nmm

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    . . .

    . . .. . .. . .. . .

    . . .

    . . .

    21

    22 22 1

    11 21 1

    .

    Exemplu Fie

    =1

    3

    20

    53

    2

    1

    A . Atunci 6A = 64031 83

    .

    Proprieti ale nmulirii matricilor cu scalari

    1S ( ) ( )AA = , ( ) , C, ( ) A ( )Cnm, ;

    2S ( ) BABA +=+ , ( ) C, ( ) A,B ( )Cnm, ;

    3S ( ) AAA +=+ , ( ) , C, ( ) A ( )Cnm, ;

    4S AA =1 ,1 C, ( ) A ( )Cnm, ;

    1.2.4. nmulirea matricilor

    Definiie. FieA = ( )ika ( )Rnm, , B = jib ( )Rpn, . Produsul dintre matricileA iB (n aceasta ordine), notatAB este matricea C= jkc ( )Rpm, definit prin

    =

    =n

    i

    jiikjk bac1

    , ( ) mk ,1= , ( ) nj ,1= .

    Observaii

    1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dac A ( )Rnm, , B( )Rpn, , adic numrul de coloane ale lui A este egal cu numrul de linii ale lui B, cnd se

    obine o matrice C = AB ( )Rpm, .2) Dac matricile sunt ptraticeA, B ( )Rn atunci are sens ntotdeauna attAB ct iBA, iar, ngeneral,AB BA adic nmulirea matricilornu este comutativ.

    Proprieti ale nmulirii matricilor

    1I (Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricilor este asociativ, adic

    referat.clopotel.ro 10

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    11/65

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    12/65

    dc

    ba

    dc

    baIA

    10

    01

    .

    ) =++==

    = 0000d e t2

    bdaa db cdadc

    ba

    IA

    ( ) 02 =++ bcadda polinom caracteristic

    Generalizat.( ) ( ) 0detTr 1 =+ nnn IAAAA

    1. DETERMINANI

    2.1. Definiia determinantului de ordin n4

    Fie A= jia ( )Cn o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numr notatdet(A) numit determinantul matricii A.

    Definiie. DacA= ( )11a ( )Cn este o matrice ptratic de ordinul nti, atuncidet(A) = 11a .

    referat.clopotel.ro 12

  • 8/8/2019 Referat.clopotel.ro-referat La a MATRICI SI Deter Min Anti

    13/65

    Definiie. Determinantul matricii

    =

    22 1

    11 1

    aa

    aaA este numrul

    ( ) 21122211det aaaaA =

    22 1

    11 1

    aa

    aa=

    i se numete determinant de ordin 2. Termenii 2211aa , 2112aa se numesc termenii dezvoltriideterminantului de ordin 2.

    Definiie. Determinantul matricii

    =3 33 23 1

    2 32 22 1

    1 31 21 1

    aaa

    aaa

    aaa

    Aeste numrul

    322311332112312213312312322113332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA