RECAPITULARE RAPIDA , BACALAUREAT - 2012 -2013 SUBIECT II.Algebra Cl. A XI-a si a XII-a. Programa M21.Matrice.

Exerciii tipice pentru bacalaureat:

1.

Se consider matricele i a)

S se calculeze matricea , unde b) S se verifice c c)

S se arate c unde i 2.

Se consider matricele i . Definim matricele i unde i este transpusa matricei Y.a) S se arate c matricea .b) S se calculeze determinantul matricei A.c)

S se arate c matricea este inversabil, 3.

Se consider matricea Se noteaz , a) S se calculeze determinantul matricei A.b) S se arate c c) S se calculeze suma 4.

Se consider matricele cu i .a)

S se arate c dac , atunci b) S se determine valorile reale ale numrului a pentru care determinantul matricei A este nenul.c) S se determine trei soluii distincte ale sistemului de ecuaii 5.

Se consider matricele , i din Pentru se noteaz cu a) S se verifice c b) S se calculeze suma c) S se calculeze inversa matricei 6. Se consider matricea a)

S se calculeze unde .b)

tiind c i , s se rezolve ecuaia c) S se determine matricea 7.

Se consider matricele i n a) S se verifice c b)

S se calculeze unde i c)

S se arate c unde i 8. Se consider mulimea a)

S se verifice dac matricele i respectiv aparin mulimii G.b)

S se determine matricea astfel nct c) S se demonstreze c inversa oricrei matrice din G este tot o matrice din G.9.

Se consider matricele i funcia , undea) S se calculeze b) S se demonstreze c c)

S se arate c , unde 10.

Fie matricea cu , i sunt soluiile ecuaiei a) S se calculeze determinatul matricei A(0).b) S se determine matricea c) S se calculeze suma elementelor matricei A(k) pentru fiecare.11.

Se consider matricele , i , unde a)

S se calculeze unde .b)

S se verifice c unde .c)

tiind c cu s se arate c exist astfel nct 12.

Se consider matricele i .a)

S se calculeze unde .b) S se verifice c c)

S se determine matricele care verific egalitatea 13.

Se consider mulimea unde i .a) S se verifice c b) S se determine matricele inversabile din mulimea M n raport cu operaia de nmulire din c)

tiind c s se arate c 14.

n mulimea notm cu transpusa matricei A.a)

S se calculeze unde.b)

S se demonstreze c pentru i are loc relaia c)

S se determine matricele pentru care unde .15.

Se consider mulimea Pentru se noteaz , unde a)

S se arate c b)

S se arate c dac atunci c)

S se determine astfel nct 16.

Se consider mulimea i matricea .a) S se calculeze determinantul matricei b)

S se demonstreze c dac atunci c)

S se arate c 17.

n mulimea se consider matricele i .a) S se determine numerele a, b i c astfel nct .b) S se arate c a = c=0 i b= -1 pentru matricea A este inversa matricei F.c)

S se rezolve ecuaia , unde 18.

Se consider mulimea i matricea .a) S se arate c .b)

tiind c s se arate c .c)

S se demonstreze c .19.

Se consider matricele i .a)

S se verifice c unde .b)

S se determine astfel nct .c)

S se rezolve n ecuaia .20.

Se consider mulimea i matricea .a) S se arate c .b) S se demonstreze c produsul a dou matrice din M este o matrice din M.c)

tiind c cu s se demonstreze c unde 21.

Se consider matricele , din . Se noteaz cu transpusa matricei A.a)

tiind c i , s se calculeze .b) S se calculeze c)

S se demonstreze c dac suma elementelor matricei este egal cu 0, atunci .22.

Se consider matricele i din . Se noteaz .a) S se calculeze .b) S se verifice c .c)

tiind c i cu , s se demonstreze c .23.

Se consider matricele , , i mulimea .a)

S se verifice c , unde.b) S se determine inversa matricei .c) S se determine matricele inversabile din mulimea G.24.

Se consider matricele i din . Se noteaz pentru .a) S se calculeze .b) S se determine inversa matricei X.c) S se determine numrul real r astfel nct .25.

Se consider matricele de forma , unde .a) S se calculeze .b)

S se calculeze , unde c)

S se determine matricele pentru care , .26.

Se consider mulimea i matricea .a) S se arate c .b)

tiind c , s se arate c .c)

S se demonstreze c, 27. Se consider matricea , unde a >0.a)

S se calculeze , .b)

S se arate c, .c) S se calculeze determinantul matricei .28.

n mulimea matricelor ptratice se consider matricea . Se noteaz , a) S se arate c .b)

S se determine matricele , astfel nct .c)

tiind c s se demonstreze c .29. Se consider matricea .a) S se calculeze .b)

S se demonstreze c unde .c)

S se demonstreze c , unde i .30.

n se consider matricele , .a) S se calculeze .b)

S se verifice dac .c) S se determine inversa matricei 31.

Se consider matricele .a) S se calculeze determinantul matricei A.b)

S se calculeze tiind c .c) S se calculeze inversa matricei .32.

Se consider matricele , i mulimea a)

S se determine , astfel nct .b)

S se demonstreze c , unde i.c)

S se arate c dac , atunci astfel nct .33.

n se consider matricele, i submulimea .a) S se verifice dac aparine mulimii G.b)

S se arate c .c)

S se arate c pentru inversa matricei este matricea .34.

Se consider matricele , i .a) S se calculeze determinantul matricei A.b)

S se calculeze unde ic) S se arate inversa matricei B este .35.

n se consider matricele, . Se noteaz , pentru .a) S se arate c .b)

S se rezolve ecuaia matriceal, unde.c) S se calculeze .36.

n mulimea se consider matricele, i , unde .a) S se demonstreze c .b) S se calculeze .c)

S se domonstreze c , .37.

Se consider matricele , , cu .a) S se determine numrul real x astfel nct .b)

S se verifice c, unde.c)

S se determine numrul real a astfel nct, unde.38.

Se consider matricele, i. Se noteaz .a) S se calculeze AB.b) S se demonstreze c .c) S se calculeze inversa matricei .39.

Fie mricea. Pentru fixat, definim .a) S se calculeze pentru a=1.b)

S se calculezeunde .c)

S se demonstreze c i s se determine .40.

n se consider matricele , unde , i submulimea .a) S se calculeze .b)

S se demonstreze c , , unde .c)

S se arate c dac , atunci matricea .41.

n mulimea se consider matricele , i .a)

S se calculeze , unde .b)

S se demonstreze c , unde .c) S se demonstreze c matricea A verific egalitatea .42.

Pentru fiecare se consider matricele i .a) S se determine valorile lui x pentru care.b)

S se determineastfel nct , undec) S se demonstreze c 43.

n mulimea se consider matricele, i .a) S se calculeze AB.b)

S se demonstreze c i , unde c)

S se demonstreze c, unde

2. Determinani. Exerciii tipice pentru bacalaureat:1. Se consider determinatul , unde a, b i x sunt numere realea) S se calculeze .b) S se demonstreze c nu depinde de numrul real x.c) S se rezolve ecuaia , unde a, b sunt numere reale distincte.2. a) S se calculeze determinantul .

b) S se calculeze determinantul , tiind c i sunt soluiile ecuaiei .

3.

Se consider determinatul , unde a, b, .a) S se calculeze determinantul d pentru a=2, b=1, c= - 1.b)

S se verifice dac .c) S se rezolve n R ecuaia 4.

Se consider determinatul unde , , sunt soluiile ecuaiei .a) S se calculeze b) S se calculez .c) S se calculeze valoarea determinantului d.5.

Se consider determinatul unde , , sunt soluiile ecuaiei .a) S se calculeze b) S se arate c .c) S se calculeze valoarea determinantului d.

6. Se consider determinatul unde a este numr real.a) S se calculeze valoarea determinantului b) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia c) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 7.

Se consider determinatul cu .a)

tiind c i s se calculeze determinantul b)

S se arate c c)

S se rezolve ecuaia .8. Se consider determinatul unde a este numr real.a) S se calculeze determinantul pentru a = -1.b) S se demonstreze c pentru orice a numr real.c) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia .

c) Fie matricele i . S se arate c , unde i 3. Ecuaia dreptei. Exerciii tipice pentru bacalaureat: 1.

n reperul cartezian xOy se consider punctele i cu .a) S se scrie ecuaia dreptei .b)

S se arate c punctele O, sunt coliniare.c) S se calculeze aria triunghiului .2.

n reperul cartezian xOy se consider punctele i unde .a) Pentru a = 0s se calculeze aria triunghiului ABC.b) Pentru a = - 2 s se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele B i C.c)

S se determine pentru care orice punct cu este coliniar cu punctele B i C.3.

n reperul cartezian xOy se consider dreptele i .a) S se determine coordonatele punctului B.b) Pentru s se scrie ecuaia medianei triunghiului ABC,duse din vrful C.c) Pentru s se calculeze aria triunghiului ABC.4.

n reperul cartezian xOy se consider dreptele de ecuaii i .a) S se determine coordonatele punctului A.b)

S se calculeze aria triunghiului ABC, dac , i .c)

S se determine astfel nct punctele , i s fie coliniare.

5.

n reperul cartezian xOy se consider punctele i a) S se verifice dac sunt coliniare.b) S se determine numrul dreptelor care trec prin cel puin dau dintre punctele c)

S se calculeze aria triunghiului determinat de punctele 6.

n reperul cartezian xOy se consider punctele i a) S se determine ecuaia dreptei b) S se calculeze aria triunghiului c)

S se arate c toate punctele sunt coliniare.7.

n reperul cartezian xOy se consider punctele i a)

S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctele i b)

S se arate c .c)

S se demonstreze c pentru punctul aparine dreptei 8.

n reperul cartezian xOy se consider punctele i a)

S se scrie ecuaia dreptei determinat de punctele i b) S se calculeze aria triunghiului c)

S se demonstreze c pentru punctele , i sunt coliniare.9.

Se consider punctele unde a) S se determine ecuaia dreptei b) S se calculeze aria triunghiului c)

S se arate c pentru distincte dou cte dou, aria triunghiului este un numr natural.10.

n reperul cartezian xOy se consider punctele i a) S se scrie ecuaia dreptei b) S se arate c punctele sunt coliniare.c) S se arate c aria triunghiului nu depinde de numrul natural n.11.

Se consider matricea cu . n reperul cartezian xOy se consider punctele i cu a) S se calculeze determinantul matricei M.b) S se arate c punctele A, B, sunt coliniare.c) S se determine numrul natural nenul n astfel nct aria triunghiului s fie minim.

4.Sisteme de ecuaii. 1.

Se consider sistemul unde a) S se calculeze determinantul matricei asociate sistemului.b) Pentru a =0 s se rezolve sistemul.c)

S se determine astfel nct soluia sistemului s verifice relaia .

2.

Pentru fiecare, se consider matricea i sistemul .a)

S se calculeze determinatul matricei .b) S se determine pentru care sistemul dat poate fi rezolvat prin metoda Cramer.c) Pentru a=0, s rezolve sistemul.3. Se consider sistemul unde m este un parametru real.a)

S se determine tiind c b)

S se determine astfel nct sistemul s admit soluia .c) Pentru m = -1 s se rezolve sistemul de ecuaii.4. Se consider sistemul de ecuaii unde m este un parametru real.a)

S se determine astfel nct soluia sistemului s fie .b)

S se rezolve ecuaia unde .c) Pentru m = -5 s se rezolve sistemul de ecuaii.5.

Se consider sistemul de ecuaii i matricea a) S se calculeze b)

S se determine pentru care matricea este inversabil.c) Pentru s se rezolve sistemul.6.

Se consider sistemul de ecuaii unde sunt distincte dou cte dou.a) S se rezolve sistemul pentru a = 0, b =1 i c =2.b) S se verifice c unde A este matricea asociat sistemului.c) S se demonstreze c soluia sistemului nu depinde de numerele reale a, b i c.7.

Se consider sistemul unde a) S se calculeze determinatul matricei asociate sistemului.b) Pentru a= -1 i b=2 s se rezolve sistemul.c)

S se determine numrul real b, tiind c este soluie a sistemului i c .8.

Se consider sistemul unde a) Pentru a=1 s se calculeze determinantul matricei asociate sistemului.b)

S se arate c tripletul nu poate fi soluie a sistemului, c)

S se determine soluia a sistemului pentru care .9. Se consider sistemul .a) S se calculeze b)

S se determine a, b, , tiind c ecuaia are soluiile c) S se determine soluiile sistemului.10. Se consider sistemul unde m este un parametru real i A matricea sistemului.a) S se arate c pentru orice m numr real tripletul este soluie a sistemului.b) S se determine valorile parametrului real m pentru care sistemul admite soluie unic.c) Pentru , s se rezolve sistemul.11.

Se consider sistemul de ecuaii , unde i notm cu A matricea sistemului.a) S se calculeze determinantul matricei A.b) Pentru a =1 s se rezolve sistemul.c) S se determine cea mai mic valoare a lui pentru care soluia sistemului este format din trei numere naturale.12. Se consider sistemul unde m este un parametru real i A matricea sistemului.a) S se calculeze determinantul matricei A pentru m=1.b) S se determine parametrul real m tiind c determinantul matricei sistemului este nul.c) Pentru s se rezolve sistemul.13.

Se consider sistemul , i , matricea sistemului. Notm , , .a) Pentru a = - 1 s se rezolve sistemul de ecuaii.b) S se verifice egalitatea .c)

S se determine tiind c matricea A verific egalitatea ..14.

Se consider sistemul unde i matricea sistemului .a) S se determine valorile reale ale lui a astfel nct matricea A s fie inversabil.b)

S se calculezeunde .c) S se rezolve sistemul pentru a =1.15.

Se consider sistemul unde i matricea sistemului .a) Pentru a =1 s se calculeze determinantul matricei A.b) S se determine mulimea valorilor reale ale numrului a pentru care .c) S se rezolve sistemul pentru .5.Legi de compoziie. Grupuri. Inele. Corpuri.1.

Pe mulimea numerelor reale definim operaia , pentru orice .a)

S se verifice c pentru orice .b) S se calculeze c)

tiind c operaia este asociativ, s se calculeze

2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compozitie a) S se calculeze b)

S se verifice c pentru orice .c)

tiind c legea este asociativ, s se se rezolve n mulimea numerelor reale, ecuaia 3.

Pe mulimea numerelor ntregi se definesc legile de compozitie i a) S se rezolve n mulimea numerelor ntregi ecuaia b) S se determine numrul ntreg a care are proprietatea oricare ar fi numrul ntreg x.c)

S se rezolve sistemul de ecuaii unde 4. Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compozitie a)

S se demonstreze c , .b) S se determine elementul neutru al legii de compoziie .c)

tiind c legea de compoziie este asociativ s se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 5. Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compozitie .a)

S se arate c , .b) S se arate c legea de compoziie este asociativ.c) S se rezolve n R ecuaia 6.

Pe mulimea Z se consider legile de compozitie cu i funcia definit prin a)

S se demonstreze c .b)

S se determine pentru care legea de compoziie este asociativ.c)

Dac s se arate c funcia f este morfism ntre grupurile i .7. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compozitie .a) S se calculeze .b) S se rezolve n R ecuaia c)

S se demonstreze c nu exist pentru care .8. Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compozitie .a) S se calculeze b) S se demonstreze c legea de compoziie este asociativ.c)

tiind c i s se arate c 9.

Se consider mulimea i operaia a) S se determine mulimea soluiilor reale ale ecuaiei unde e este baza logaritmului natural.b)

S se demonstreze c pentru c) S se c operaia este asociativ pe mulimea G.10.

Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compoziie pentru .a)

S se arate c b) S se rezolve n R ecuaia c) S se determine elementele simetrizabile n raport cu legea .11.

Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie .a)

S se arate c , b) S se determine elementul neutru, tiind c legea de compoziie este asociativ i comutativ.c)

S se determine astfel nct 12.

Pe mulimea numerelor ntregi definim legile de compoziie i .a) S se rezolve n Z ecuaia .b) S se arate c .c) S se rezolve n mulimea ZXZ sistemul .13. Pe mulimea numerelor ntregi se definete legea de compoziie a) S se arate c legea de compoziie este asociativ.b) S se rezolve ecuaia c) S se demonstreze c este grup comutativ.14.

Pe mulimea numerelor reale se consider legile de compoziie i a)

S se verifice c .b)

tiind c este elementul neutru n raport cu legea de compoziie i este elementul neutru n raport cu legea de compoziie s se calculeze c)

Se consider funcia , . S se determine astfel nct ,.15.

Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie , .a)

S se arate c , .b) S se arate c legea are elementul neutru e=4.c) S se determine elementele simetrizabile ale mulimii R n raport cu legea .16.

Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compoziie .a) S se rezolve ecuaia .b) S se demonstreze c legea este asociativ.c) S se demonstreze c este grup.17. Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compoziie .a)

S se verifice c , b) S se calculeze c)

S se rezolve ecuaia unde .18. Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compoziie .a)

S se demonstreze c .b) S se demonstreze c legea este asociativ.c) S se calculeze 19.

Pe mulimea Z se consider legile de compoziie i respectiv .a) S se demonstreze c .b) S se determine elementele neutre ale fiecreia dintre cele dou legi de compoziie.c) S se rezolve sistemul .20. Pe mulimea numerelor reale se consider legea de compoziie .a)

S se demonstreze c , .b) S se rezolve ecuaia .c)

tiind c operaia este asociativ, s se calculeze 21. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie .a)

S se demonstreze c , .b)

S se determine perechile pentru care c) tiind c legea este asociativ, s se calculeze valoarea expresiei

22.

Pe mulimea numerelor reale se consider legile de compoziie i respectiv .a)

S se verifice c, .b) S se rezolve n R ecuaia c) S se rezolve sistemul de ecuaii 23.

Se consider mulimea unde matricea , a)

S verifice c unde .b) S se determine elementul neutru din grupul .c)

S se demonstreze c funcia este morfism de grupuri.24.

Se consider matricea , pentru i mulimea

a)

S verifice c. unde .b)

S demonstreze c unde .c) S se arate c este grup n raport cu nmulirea matricelor.25. Se consider inelul a) S se calculeze numrul elementelor inversbile n raoprt cu nmulirea din inelul b)

Se consider S suma soluiilor ecuaiei i P produsul soluiilor ecuaiei unde S se calculeze S+P.c)

S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element din inelul acesta s fie soluie a ecuaiei 26.

n mulimea se consider submulimea i matricele i .a)

S se arate c i .b)

S se arate c dac atunci .c) S se verifice c mulimea G mpreun cu operaia de adunare a matricelor este grup comutativ.27. Se consider inelul claselor de resturi modulo 8.a)

S se calculeze n suma b) S se calculeze n produsul elementelor inversabile ale inelului.c)

S se rezolve n sistemul .28. Fie mulimea a) S se verifice dac 0 i 1 aparin mulimii G.b)

S se demonstreze c pentru avem c)

S se arate c dac atunci .29.

n mulimea se consider , i unde .a)

S se calculeze , unde .b)

S se verifice dac , c) S se calculeze suma .30.

Se consider mulimea , unde matricea a)

S se verificeunde .b) S se determine elementul neutru din grupul c)

S se arate c funcia este morfism ntre grupurile i .31. Fie mulimea .a)

S se verifice dac b) S se arate c este element neutru fa de operaia de nmulire a matricelor pe M.c) S se determine simetricul elementului n raport cu operaia de nmulire a matricelor pe mulimea M.32. Se consider mulime a)

S se verifice i b)

S se arate c pentru are loc egalitatea c) S se demonstreze c inversa oricrei matrice din G aparine mulimii G.33.

Se consider mulimea Pentru se noteaz , unde.a)

S se arate c , .b)

S se arate c dac atunci c)

S se determine astfel nct 6. polinoame 1.

Se consider polinomul unde a)

Pentru i s se determine ctul i restul mpririi polinomului f la b) S se determine numerele a, b, c tiind c restul mpririi polinomului f la este X, iar restul mpririi polinomului f la X 1 este 1.c) S se demonstreze c dac atunci f nu are toate rdcinile reale.

2.

n mulinea se consider polinoamele i a) S se determine ctul i restul mpririi polinomului f la polinomul g.b) S se arate c dac y este rdcin a polinomului g, atunci c) S se demonstreze c dac y este rdcin a polinomului g, atunci nu este numr raional.

3.

Se consider polinoamele cu coeficeni reali i .a) S se scrie forma algebric a polinomului b)

S se determine astfel nct polinoamele i s fie egale.c) S se rezolve n R ecuaia 4.

Fie polinoamele i din inelul .a) S se determine , astfel nct polinomul f s fie divizibil cu polinomul g.b)

Pentru s se arate c c)

Pentru s se rezolve n inelul ecuaia 5.

Se consider polinoamele i a) S se determine astfel nct cele dou polinoame s fie egale.b)

Pentru s se calculeze n suma c)

Pentru s se rezolve n ecuaia 6.

Se consider polinoamele i Polinomul f are forma algebric cu a) S se determine b) S se calculeze restul mpririi polinomului f la polinomul g.c) S se calculeze suma coeficienilor polinomului f.7.

Se consider polinoamele i a) S se descompun polinomul g n produs de factori ireductibili n R[X].b) S se demonstreze c polinomul f nu este divizibil cu polinomul g.c) S se determine restul mpririi polinomului f la polinomul g.8.

Se consider polinomul unde Rdcinile polinomului sunt a)

S se determine tiind c polinomul f admite rdcinile i b)

S se determine astfel nct rdcinile polinomului s verifice relaia c) Pentru m=1 i n=1 s se descompun polinomul f n produs de factori ireductibili n R[X].9.

Se consider polinoamele cu coeficieni raionali i a) S se determine , astfel nct polinomul f s fie divizibil cu polinomul g.b)

Pentru i s se descompun polinomul f n produs de factori ireductibili n c) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 10.

Se consider polinomul care are rdcinile a) S se determine ctul i restul mpririi polinomului f la b) S se verifice c c) S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 11.

Se consider polinomul cu coeficieni raionali i suma unde sunt rdcinile polinomului f.a) S se determine numrul raional a astfel nct polinomul f s admit rdcina b)

Pentru s se rezolve ecuaia c)

Pentru s se demonstreze egalitatea 12.

Se consider polinoamele i a) S se claculeze b)

S se rezolve n mulimea ecuaia c) S se determine ctul i restul mpririi polinomului f la polinomul g.13. Se consider polinomul care are coeficieni reali.a)

S se determine astfel nct polinomul f s fie divizibil cu polinomul b)

Pentru s se descompun polinomul f n produs de factori ireductibili n c) Pentru s se calculeze suma ptratelor rdcinilor polinomului f.14. Fie polinomul care are coeficienii numere reale.a)

S se determine astfel nct unde sunt rdcinile reale ale polinomului .b)

S se determine astfel nct polinomul s fie divizibil cu polinomul c)

S determine pentru care polinomul are o rdcin raional pozitiv.15.

Se consider polinomul unde .a) S se determine a tiind c x=1 este rdcin a polinomului f.b) Pentru a=1 s se determine rdcinile reale ale polinomului f.c) S se demonstreze c 16. Se consider inelul polinoamelor a)

Pentru s se calculeze b)

Dac s se arate c c)

S se determine toate polinoamele care au gradul egal cu 3 i pentru care 17.

Se consider polinomul unde a) S se determine tiind c x =1 este rdcin a polinomului f.b) S se determine tiind c suma rdcinilor polinomului f este egal cu 0.c)

Pentru s se rezolve ecuaia 18.

Se consider polinomul unde a) tiind c a =0 s se determine soluiile ecuaiei b) S se verifice c.c) S se determine pentru care polinomul f are toate rdcinile reale.19. Se consider polinomul a) S se arate c b) S se demonstreze c polinomul f nu are rdcini ntregi.c) S se descompun polinomul f n produs de factori ireductibili n 20.

Se consider polinomul cu rdcinile a) S se calculeze suma b) S se determine rdcinile polinomului f tiind c a = 1, b = 2 i c=0. c) tiind c rdcinile polinomului f sunt n progresie aritmetic, s se demonstreze c .21.

Se consider polinomul cu rdcinile unde a) Pentru a =1 i b=0 s se determine b) tiind c s se arate c a=1.c) tiind c s se determine numerele reale a i b.22.

n inelul se consider polinomul cu rdcinile .a) S se calculeze b)

S se determine numrul real a pentru care restul mpririi polinomului f la s fie c) S se arate c valoarea determinantului este numr ntreg.23.

Se consider polinomul i rdcinile sale. Se definete pentru .a) S se determine numrul real m astfel nct .b) S se arate c c) S se arate c pentru orice numr par polinomul f nu are rdcini raionale.24.

Se consider polinoamele i a) S se demonstreze c b) S se determine rdcinile reale ale polinomului g.c) S se calculeze tiind c a este o rdcin a polinomului g.25.

Se consider polinoamele i .a) S se calculeze b) S se verifice c .c) S se determine numrul rdcinilor din ale polinomului f.26.

Se consider polinoamele cu rdcinile i cu rdcinile a)

S se calculeze diferena S S unde S i b) S se determine ctul i restul mpririi polinomului f la g.c) S se calculeze produsul 27.

Se consider polinomul cu rdcinile a) S se arate c polinomul f este divizibil cu b)

S se calculeze produsul unde i c) S se caluleze suma 28.

Se consider polinomul care are forma algebric a) S se determine b) S se arate c este numr ntreg par.c) S se determine rdcinile reale ale polinomului f.29.

Se consider polinomul cu a) Pentru c=501, s se demonstreze c b) Pentru a = 2 , b=2 i c = 1 s se determine rdcinile reale ale polinomului f.c) S se demonstreze c nu exist valori reale ale coeficienilor a, b, c astfel ca f s se divid cu polinomul 30.

Se consider polinomul cu avnd rdcinile a) S se determine numrul real c tiind c b) tiind c a = 3, b=1, c=1, s se determine rdcinile reale ale polinomului f.c) S se exprime n funcie de numerele reale a, b, c determinantul 31.

Se consider polinomul cu forma algebric a) S se calculeze b) S se arate c este un numr ntreg impar.c) S se determine restul mpririi polinomului f la polinomul

1