RANGUL UNEI MATRICE

Realizatori: Cristea Octavian

Laza AndreiMancas GeorgeMarcu Beniamin

Sa consideram matricea A Є Mm,n (C). Daca p Є N*, p ≤ min(m,n), numim minor de ordin p al matricei A determinantul unei matricei patratice de ordin p formata cu elementele situate la intersectia a p linii si p coloane

din matricea A.

De exemplu pentru matricea Є

M3,4 (C), determinantii sunt

minori de ordin 2.

Deoarece putem alege p linii in Cmp moduri si p

coloane Cnp moduri rezulta ca matricea A Є

Mm,n (C) are Cmp * Cn

p minori de ordin p. Sa observam ca mionrul unui element intr-o

matrice patratica de ordin n este un minor de ordin n-1 al acelei matrice.

Sa presupunem ca matricea A Є Mm,n (C) este nenula , deci are cel putin un

element nenul . Atunci A are cel putin un minor nenul si anume minorul de ordin 1

format din acest element.

Multime ordinelor minorilor nenuli ai matricei A este , in acest caz , nevida (deoarece il contine pe 1) si finita, fiind inclusa in multimea {1,2,...,min(m,n)}. In consecinta ea are un cel mai mare element , adica exista un ordin maxim de minori nenuli ai matricei A. Suntem condusi, in acest fel , catre urmatorul concept important.Definitie: Fie A Є Mm,n (C) o matrice nenula. Ordinul maxim al minorilor nenuli ai matricei A se numeste rangul lui A. Observatie: Definitia precedenta arata ca pentru o matrice nenula A Є Mm,n (C) , numarul natural nenul r reprezinta rangul lui A daca sunt indeplinite simultan conditiile:

1. Matricea A are cel putin un minor nenul de ordin r.

2. Toti minorii de ordin r + 1 ai matricii A (daca exista) sunt nuli, ceea ce este totuna cu

faptul ca toti minorii de ordin strict mai mare ca r (daca exista) sunt nuli.

Ultima parte a conditiei 2 rezulta din faptul ca orice minor de ordinul r + 2 este o

combinatie liniara de minori de ordinul r + 1 si, in conseciinta, el este nul, s.a.m.d.

Evident, daca r = min(m,n) atunci matricea A nu are minor de ordin strict mai mare ca r.

Matricea Om,n nu are minori nenuli, de aceea, prin definitie, rangul ei este 0.

Fie A Є Mm,n (C) o matrice nenula r ≥1 rangul sau. Daca fixam un minor nenul de ordin r al matricei

A, acesta va fi numit minor principal. Cele r linii (coloane) ale lui A corespunzatoare liniilor (coloane) minorului principal se numesc linii

(coloane) principale, iar celelalte linii (coloane) ale lui A se numesc linii (coloane)

secundare.Teorema: Orice coloane (linie) a unei matrice

nenule este combinatie liniata de coloanele (liniile) principale ale matricei.

Definitie: Daca ∆ este un minor de ordin r al matricei A Є Mm,n (C), cu r < min(m,n), numim

bordat al lui ∆ un minor de ordin r + 1 al matricei A obtinut prin adaugarea la ∆ a unei linii

si a unei coloane, ramase in afara lui ∆.

Propozitie: Daca intr-o matrice A Є Mm,n (C) exista un minor nenul de ordin r si toti

bordantii sai (daca exista) sunt nuli, atunci rangul matricei A este egal cu r.

Exercitii1) Sa se calculeze rangul urmatoarelor matrice:a) ; b) ; c) ; d) ;

2) a) Matricea A Є M2(R) verifica relatia = . Aflati rangul matricei A.

b) Matricea A Є M2(R) verifica relatia = . Determinanti rangul matricei A.

3) Se considera matricele A,B Є Mn(C) astfel incat AB=BA si = =In.

Sa se arate ca (A+B)=n.

Raspunsuri1) a)2; b)2; c)1; d)2;2) a)2; b)1;3) Cum 2 In = + = (A+B)( - AB + ) rezulta ca A + B

este inversabila, deci are rang n.