Putere ncu texponent al naatuurral - Sibiul Copiilor - … ncu texponent al naatuurral : - Daca a R...

Clasa a X-a Algebra - 1

Cap. I : Functia EXPONENTIALA

Functia exponentiala

Putere cu exponent nnaattuurraall :

- Daca Ra si Nn , atunci am definit puterea an ( unde a este baza puterii , iar n

exponentul puterii ) prin :

0 si 0 daca , 1

0 daca , .....

an

naaa

a nn

.

- De asemenea daca :

1). 10 10 aa n ;

2). 1 1 aa n .

Putere cu exponent iinnttrreegg :

- Daca Ra*

si Nn*

, atunci am definit notiunea de putere cu exponent intreg negativ

prin :

a

an

n 1

Putere cu exponent rraattiioonnaall ppoozziittiivv :

- Daca 0a si Nmn*, , 2n atunci am definit :

n mn

m

aa

- De asemenea daca 2, nNn

1). 10 10 n aa ;

2). 1 1 n aa .




Putere cu exponent rraattiioonnaall nneeggaattiivv :

- Daca 0a si Nmn*, , 2n atunci am definit :

aa

n

mn

m 1

Principalele proprietati ale puterilor cu eexxppoonneenntt rraattiioonnaall :

- Erau urmatoarele : daca 0, ba si Qyx , , atunci

1). aaayxyx

;

2). aa

a yx

y

x

;

3). baba xxx

;

4). b

a

b

ax

xx

;

5). aaxyx y

.

Au loc de asemenea urmatoarele doua proprietati date de Propozitiile :

Propozitia 1 :

-- Daca

10 0 ,

10

a

xQx

ax

;

si daca

1 0 ,

10

a

xQx

ax

;

- Daca

aaayxQyx yx atunci , 10 , , , .




Propozitia 2 :

-- Daca

1 0 ,

1

a

xQx

ax

;

si daca

10 0 ,

1

a

xQx

ax

;

- Daca

aaayxQyx yx atunci , 1 , , , .

Puteri cu exponent rreeaall :

- Se demonstreaza ca lista de proprietati discutate anterior raman valabile si pentru puterile cu

exponenti irationali .

- Daca 0 , xRx atunci prin definitie : a

ax

x 1

.

- Se demonstreaza urmatorul rezultat :

, 0 Rxa 0 ax

cu alte cuvinte orice putere cu exponent real este un numar strict pozitiv .




Definitia ffuunnccttiieeii eexxppoonneennttiiaallee :

- Fie 0a , 1a ;

- Se numeste functie exponentiala de baza a functia :

,0: Rf , axf x .

Proprietati importante ale ffuunnccttiieeii eexxppoonneennttiiaallee :

1). - Daca 1a , atunci pentru 0x avem 1ax

;

- Daca 1a , atunci pentru 0x avem 1ax

;

- Daca 10 a , atunci pentru 0x avem 1ax

;

- Daca 10 a , atunci pentru 0x avem 1ax

.

2). Daca 0x , atunci independent de 0a avem 1ax

.

3). Pentru 1a se obtine functia constanta ,0: Rf , 1 axf x ;

4). Pentru 1a :

- functia exponentiala axf x este strict crescatoare ;

- graficul functiei este situate deasupra axei Ox ;

- graficul intersecteaza axa Oy in 1,0 ;

- graficul functiei exponentiale este format dintr-o singura ramura care urca convex ;

- graficul functiei exponentiale este din ce in ce mai apropiat de axele de coordinate , cu

cat baza este mai mare .

5). Pentru 10 a :

- functia exponentiala axf x este strict descrescatoare ;

- graficul functiei este situate deasupra axei Ox ;

- graficul intersecteaza axa Oy in 1,0 ;

- graficul functiei exponentiale este format dintr-o singura ramura care coboara convex ;

- graficul functiei exponentiale este din ce in ce mai apropiat de axele de coordinate , cu

cat baza este mai mica .

6). Functia exponentiala ,0: Rf , axf x ( 1,0 aa ) este bijectiva si

deci inversabila .




Definitia eeccuuaattiieeii eexxppoonneennttiiaallee :

- Prin ecuatie exponentiala vom intelege o ecuatie in care necunoscuta x figureaza la

exponenti .

Definitia ssoolluuttiieeii eeccuuaattiieeii eexxppoonneennttiiaallee :

- Se numeste solutie a unei ecuatii exponentiale de necunoscuta x un numar real x0 cu

proprietatea ca punand xx 0 in ecuatie , aceasta se verifica .

Definitia rreezzoollvvaarriiii eeccuuaattiieeii eexxppoonneennttiiaallee :

- A rezolva o ecuatie exponentiala inseamna a-i determina toate solutiile .

- Rezolvarea ecuatiilor exponentiale se bazeaza pe proprietatea : doua puteri de aceeasi baza

( pozitiva si diferita de unu ) egale , au exponenti egali .

Definitie eeccuuaattiiii eexxppoonneennttiiaallee eecchhiivvaalleennttee :

- Doua ecuatii exponentiale se numesc echivalente daca multimile de solutii coincid .




1 Ecuatii eexxppoonneennttiiaallee ddee ffoorrmmaa ::

aaxgxf

:

- Metoda de rezolvare : ecuatia este echivalenta cu ecuatia xgxf , solutiile acestei

ecuatii sunt si solutii ale ecuatiei date .

2 Ecuatii eexxppoonneennttiiaallee ddee ffoorrmmaa

baxf ::

- Metoda de rezolvare :

1). - daca 0b , ecuatia nu are solutii ( intotdeauna exponentiala ia numai valori strict

pozitive ) .

2). - daca 0b , atunci se logaritmeaza ambii membrii intr-o baza convenabila ;

- daca se logaritmeaza in baza a ecuatia se scrie echivalent bxfa

log si se

rezolva aceasta ecuatie .

3 Ecuatii eexxppoonneennttiiaallee ddee ffoorrmmaa bbaa

xgxgxfxf2121

2121 ::

- Conditii : 0, ba ii , 1, ba ii

Metoda de rezolvare :

- se logaritmeaza ambii membri ai ecuatiei intr-o baza convenabila si apoi se rezolva ecuatia

astfel obtinuta ;

- solutiile acestei ecuatii sunt si solutii ale ecuatiei date .


cacacxfxf

32

2

1 ::


1). - Ecuatiile de acest tip se rezolva prin substitutie .

- Se noteaza

0 yaxf

si se obtine ecuatia de gradul al doilea in y :

032

2

1 cycyc cu solutiile yy21

,

- Ecuatiile ya i

xf , 2,1i au solutii daca 0y

i .




2). - In general ecuatia de forma 0af x se rezolva substituind 0 ya

x si apoi

rezolvand ecuatiile exponentiale ya i

x , unde y

i sunt solutiile ecuatiei 0yf .

- In final reuniunea acestor solutii reprezinta multimea de solutii pentru ecuatia data .


cbcacxfxf

321 ::

- Conditii : 0, ba , 1, ba , 1ba .


- Este o ecuatie exponentiala in care figureaza bazele ba, cu proprietatea ca produsul lor este

unu , 1ba ;

- De aici a

b1

iar ecuatia se scrie echivalent :

03

2

1 ca

cac

xf

xf .

- Se noteaza

0 yaxf

si se obtine ecuatia de gradul al doilea in y :

032

2

1 cycyc cu solutiile yy21

,

- Se revine la substitutie si se rezolva ecuatiile ya i

xf , 2,1i au solutii daca 0y

i ;

- Reuniunea acestor solutii este multimea de solutii a ecuatiei date .


bdbdacacxg

l

xgxf

k

xflk .......... 11

11

- Conditii : 0, ba , 1, ba , 1ba .


- In ecuatiile exponentiale care contin exponentiale cu baza diferite ba , este indicat sa

grupam intr-un membru termenii care contin exponentiale de aceeasi baza a , iar in celalalt membru

termenii care au in componenta lor exponentiale cu aceeasi baza b .

- In fiecare membru se da factor comun exponentiala de exponent cel mai mic , ajungandu-se la

o ecuatie exponentiala mai simpla de forma :

baxgxf

, R

- Solutiile acestei ecuatii sunt solutiile ecuatiei date .





0213

2

22

2

11 aacacacxfxfxf

, 0ai , 1ai .


- O ecuatie de acest tip o numim omogena , deoarece fiecare termen al ecuatiei in a1 si a2 ,

are exponentul acelasi xf2 .

- Pentru a rezolva astfel de ecuatii se recomanda impartirea ambilor membri ai ecuatiei prin

axf2

2 cand se obtine ecuatia echivalenta

02

2

1

3

2

1

2

1

c

a

ac

a

ac

xfxf

care este de tipul 4 .

- Se poate imparti ecuatia prin aaxf

21 cand obtinem :

03

1

2

2

2

1

1

c

a

ac

a

ac

xfxf

, care este o ecuatie de tipul 5 .

8 Ecuatii eexxppoonneennttiiaallee ccaarree ssee rreezzoollvvaa pprriinn ::

Descompunerea in factori sau substitutii .


- In general pentru rezolvarea ecuatiilor exponentiale cu baze diferite , se recomanda ,

descompunerea bazelor in factori primi , observand astfel o anume posibilitate de a grupa termenii

ecuatiei in idea de a scrie ecuatia ca un produs de factori egal cu zero .

- Alteori este profitabil de a lucra cu cat mai putine baze .

- In fine , in unele cazuri , se remarca o anume expresie depinzand de necunoscuta care poate fi

substituita si se rescrie ecuatia data in functie de noua necunoscuta .

9 Ecuatii eexxppoonneennttiiaallee ccuu ssoolluuttiiee uunniiccaa ::


- Rezolvarea acestor ecuatii consta in a le aduce la forma cxf , unde f este o functie

strict monotona , iar c este o constanta si observand ca ecuatia are o solutie x0 .

- Cum f este strict monotona se deduce ca f este injective si deci ecuatia data are solutia

unica x0 .




10 Ecuatii eexxppoonneennttiiaallee ddee ffoorrmmaa xfxf

xhxg

::

Exista si ecuatii in acre necunoscuta figureaza atat in baza cat si in exponent .


- Se stie ca daca 0xf , 1xf , atunci ecuatia considerate este una exponentiala si

se reduce la rezolvarea ecuatiei xhxg .

- Vor fi solutii acele valori x pentru care 0xf si 1xf .

- Daca posibilitatea 0xf sau 1xf nu este eliminate de la inceput , atunci se

analizeaza mai multe cazuri :

1). Daca 1xf , atunci egalitatea se verifica oricare ar fi xhxg , ;

2). Daca 1xf , atunci egalitatea devine : 11

xhxg ;

3). Daca 0xf , atunci egalitatea are loc pentru 0xg , 0xh .




Definitie rreezzoollvvaarreeaa iinneeccuuaattiiiilloorr eexxppoonneennttiiaallee ssiimmppllee :

Pentru rezolvarea inecuatiilor exponentiale simple se utilizeaza monotonia functiei

exponentiale .

Functia exponentiala de baza 0a , 1a , ,0: Rf , axf x este :

- strict crescatoare daca 1a ( daca baza este supraunitara ) ;

- strict descrescatoare daca 10 a ( daca baza este subunitara ) .

Definitie iinneeccuuaattiiii eexxppoonneennttiiaallee eecchhiivvaalleennttee :

- Doua inecuatii exponentiale se numesc echivalente daca au aceleasi multimi de solutii .

Definitie sscchheemmaa ddee rreezzoollvvaarree aa iinneeccuuaattiiiilloorr eexxppoonneennttiiaallee ssiimmppllee :

Schema de rezolvare a acestor inecuatii este data pentru cele doua situatii de mai jos :

1).

1

1

xg

a

xhxg

a

aaxh

;

2).

10

10

xg

a

xhxg

a

aaxh

;

Definitie rreezzoollvvaarreeaa iinneeccuuaattiiiilloorr eexxppoonneennttiiaallee ccoommpplliiccaattee :

In cazul inecuatiilor mai complicate 0 , 0 xf , unde in membrul stang figureaza

si exponentiale pentru rezolvarea lor se poate aplica urmatoarea tehnica :

- se rezolva ecuatia 0xf ;

- se realizeaza tabelul de semn al functiei tinand seama de faptul ca aceasta functie daca nu

se anuleaza pe un interval , atunci are pe acest interval semn constant .

- pentru a vedea semnul lui f pe un astfel de interval se alege de aici o valoare x0 pentru

care calculul xf 0 sa fie cat mai simplu .

- semnul lui xf 0 se pastreaza pe tot intervalul analizat .




Exercitiul nr. 1 :

Sa se rezolve ecuatiile :

1). 1255 x

; 2). 10244 x

; 3). 729

19

x ; 4). 2,025

x ;

5). 3223

x ; 6). 168

x ; 7). 12966

x ; 8). 3 93

x .

Exercitiul nr. 2 :


1). 1365

2

xx ; 2). 644

12

x ; 3).

7

149

x ;

4). 3 255 x

; 5). 421332 2

xxx ; 6).

3

5

5

373113 xx

;

7). 125

125

x ; 8).

3

4

4

35x

; 9).

2

3

9

48x

;

10). 81312

x ; 11). 84

32

xx ; 12).

4

5

5

43773 xx

;

13).

2

3

9

45x

; 14). 64

27

8

9

3

2

xx

.

Exercitiul nr. 3 :


1). 932243

xx

; 2). 5256421 xx

; 3). 164123

2

xxx ;

4). 200521

xx

; 5). 1600523

xx

; 6). 52523322

xxxx

;

7). 3312 xx

; 8). 236

8342 xxx

; 9). 2554364

xx

;

10). 10001,0523 222

xxx ; 11). 927 2

1212

x

x

x

; 12). 84

1 2

42

x

x

;

13).

27

1

3

13

3 xx

x ; 14). 11,01010

1

xx .




Exercitiul nr. 4 :


1). 3750551

xx ; 2). 677

1

xx ; 3). 13333

321

xxx ;

4). 34774712

xx ; 5). 02137353

11

xxx .

Exercitiul nr. 5 :


1). 264411

xx

; 2). 3 2148

xx ; 3). 225,0 14

5

x

x

.

Exercitiul nr. 6 :


1). 521

x ; 2). 13

2

x ; 3). 23

2

x ; 4). 13

1

x .

Exercitiul nr. 7 :


1). 72332

xx

; 2). 048241

xx

; 3). 04755652

xx

;

4). 233252

xx ; 5). 01434

232

xx ; 6). 093103

2

xx ;

7). 2716222134144

xxxx ; 8). 05005525

22

xx ;

9). 2733121

2

1

xx ; 10). 082124515

22

xxxx

;

11). 4322311

xxx

; 12). 0625242

42

2

xx

xx ;

13). 06254212

22

xxxx

; 14). 5439313

22

xx .

Exercitiul nr. 8 :


1). 0600552

xx

; 2). 2,15

3

5

311

xx

; 3). 0639 xx

;

4). 033432

xx

; 5). 80241

xx ; 6). 410252

xxx ;

7). 0810931

xx

; 8). 659243 xxx ; 9).

5

3

15

24

1

xx .




Exercitiul nr. 9 :


1). 34223223 xx

; 2). 14487487 xx

;

3). 323232 xx

; 4). 348383 xx

;

5). 32

53

2

53

xx

; 6). 8154154 xx

;

7). 43232 xx

.

Exercitiul nr. 10 :


1). 302222321

xxxx ; 2). 487271477

12

xxxx ;

3). 233412

2

1

2

1

xxxx

; 4). 53522124

xxxx

.

Exercitiul nr. 11 :


1). 31862422

xxx ; 2). 6

2

549

xxx ;

3). 652934 2x

xx ; 4). 04661396

111

xxx ;

5). 02312183273

xxxx .

Exercitiul nr. 12 :


1). 012

1

2

12

2

xx

x ; 2). 2412

113

xxx ;

3). 9632 xxxx

; 4). 10125425448481111

xxxx ;

5). 23

63

3

183

2

2

x

x

x

x ; 6). 8227229227

33

xxxx .




Exercitiul nr. 13 :


1). 743 xx

; 2). 36321 xx

; 3). 543 xxx ;

4). 253 3x

x

; 5). 620211

xx

; 6). 23232 x

xx

;

7). 276

xx

; 8). 132 2x

x ; 9). 256294

xxxx ;

10). 51232 xxx

.

Exercitiul nr. 14 :


1). 22122

xxxx

; 2). 4343523

2

xxxx ; 3). xx

x

4 .

Exercitiul nr. 15 :


1). xxxx

26214 ; 2). 22226412

xxx ; 3). x

xsin2

2 ;

4). 223

cos2 xxx

; 5). 12232 xx xxx .

Exercitiul nr. 16 :


1). 212252321

xxx ; 2). 9502510

21

xxx ;

3). 32322323

xxxx

; 4). 433245,35,452

xxxx

;

5). 0334324

xx

; 6). 15

2

5

3322

xx .

Exercitiul nr. 17 :


1). 946549111

xxx ; 2). 101525421

xxx

;

3). 016,025,621225 xxx

; 4). 96322 xxxx

.




Exercitiul nr. 18 :


1). xxxx

4224

; 2). 355

953

322312 xxxx

; 3). xx

xx .

Exercitiul nr. 19 :

Sa se rezolve inecuatiile :

1). 31255 x

; 2). 1624

x ; 3).

8

1

64

1

x

;

4).

27

1

3

13

3 xx

x ; 5). 75

33 xx ; 6). 52 3

223

xx .

Exercitiul nr. 20 :


1). 0531544342

xxx ; 2). 023223

3121

xxxxx ;

3). 27527112

xxxx

; 4). 023231211910

xxxx .

Exercitiul nr. 21 :


1). 1028,01,01 xx

; 2). 06359 xx

;

3). 505251

xx ; 4). 0272188

xxx ;

5). 0365812163 xxx

; 6). 04661396111

xxx ;

7). 68383 xx

; 8). 62154154 xx

;

9). 10245245 xx

; 10). 0225212

xx

;

11). 35235211

xxxx

; 12). 692112

xxx

;

13). 012274 xx

; 14). 9389 xx

;

15). 27527112

xxxx

; 16). 132

3521

1

xx

xx

.




Exercitiul nr. 22 :


1). 212

6 x

x

; 2).

21

1

12

11

xx

; 3). 65

1

251

24

xx

;

4). 251741 xx

; 5). 75752452 xxx

;

6). 1 12

xxx

; 7). 1286

2

xxx

; 8). 743 xx

;

9). 523xxx

; 10). 3 368653xxxx

;

11). 043595322

xxx

xx .

Exercitiul nr. 23 :


1). 12

10

361

xx

x

; 2). xx

x

23

10

1

721

;

3). 13

1

53

11

xx ; 4). 5

531194

313111

1

xx

x

;

5). 39239xxx

; 6). 75 752452 xxx

;

7). 251741

x

; 8). 51312132 513 xxx

;

9). 1286

2

xxx

; 10). 1372

2

xx

;

11). 11242

2

xxxx

; 12). 1122 12

2

xxxx

;

13). 1 122 1

xxx

; 14). 543xxx

;

15). 29432 xxx

; 16). 256294xxxx

;

17). 1024264xxxx

; 18). 3 368653xxxx

;

19). 29532

xx

x ; 20). 25

3

2

13

xx

x ;

21). 0 43595322

xxx

xx ;

22). 0365812163 xxx

;

23). 0 4661396111

xxx .




Exercitiul nr. 24 :

Sa se rezolve sistemele :

1).

273

2833 yx

yx

; 2).

1832

1232

xy

yx

;

3).

0 ,

23 yyx

yxyx

; 4).

16

2 1

y

yx

x

;

5).

x

x

y

y

2324

9

21

; 6).

3

1

27

52

1

x

x

y

y

;

7). 0, ,

3

12

yxxy

yxyx

xy

; 8). 0, ,

yx

yx

yxyx

xy

;

9).

37272218

9274

1yxyxyxyx

yxxy

; 10).

752

743

22

223

yxyx

yxyx

;

11).

68383

43232

33

22

yxyx

yxyx

; 12).

13

7299 1yx

yx

;

13).

042

0

yx

xy yx ; 14).

15

1284 323 yx

yx

;

15).

6

322

xy

yx

; 16).

594

332

yx

yx

;

17).

5525

302525 22

xy

yx

; 18).

723

7723

2

2

yx

yx

;

19).

5

1222

yx

yx

; 20).

522

222 2112

22

yx

yxyx

;

21).

yx

yxyxx

xy

2

; 22).

xy

yx

yx

xx

;

23).

12

22 yxyx

eyexyx

; 24). Zyxx

yxy

x

, ,

228

11 2

32

.




Exercitiul nr. 25 :


1). aax

5

; 2). 0

2

1

a

x ;

3). 0 2

1

aaa

xx ; 4). 0 34

2 aa

xx ;

5). 2

aaxx

; 6). 2 24 aa

xx ;

7). aaaaxxxx 2221213

; 8). 0 1625924

aaxx

;

9). 0 81023

aaaxxx

.

Unde : a > 0 ; a 1 .

Exercitiul nr. 26 :


1). 0 164 x; 2). 0 23

3

1333

xxx ;

3). 0 8101 22232 xxx

; 4). 0 317 33313

xxx

;

5). 0,1 102

x x ; 6). 82

251

xx ;

7). 5259

527

5

3122

311212

xx

xxx

; 8). 1255 2

4

1

1

x

x

xx

;

9).

813

1 1

3

1

xx

x

x

; 10). 0 1355 31

x

;

11). 931222

27

xx

; 12). 032243 xx

;

13). 0 9 33242

xx ; 14). 011

5

32

1 2

x

;

15). 0 225 - 513

x

; 16). 1 -

2 14

1

1 -

1 -

1

9

21

3

7

3

72323

x

x

x

x

x

x

;

17). 0 2 3 - 10102

xx

; 18). 0 36 13 - 3324

xx

;

19). 0 3 - 2

- 3

9 x

x ; 20). 0 180 - - 66

232

xx ;

21). 0 25 - 1 - 55 xx

; 22). 323411412 - -

xxxx

.




Exercitiul nr. 27 :


1). 0 5 - 3 2 10103x62

x

; 2). 0 9 - 5 - 4 463xx2

x ;

3). 0 - 3 21471212 xxx

; 4). 0 3 714123 xx

;

5).

0 625 - 5413

xx

; 6). 2 - 1

2 - 12

3

62

x

x

x

;

7). 0 121

1 - 11

32

xx ; 8). 392 20 - 3 - 777

x12

xx ;

9). 32322-x3x

2 3 xx ; 10). 18 - 93

13

xx ;

11). 12169 xxx ; 12). 25104 2 8

xxx ;

13). 25104111

xxx ; 14). 8 15 - 415 4 xx

;

15). 3524 - 35 - 635 6 xx

; 16). 543 xxx

;

17). 333 15129 xxx

; 18). 189 54 xx

;

19). 288 642 xxx

; 20). 2 52231 2

xx x

;

21). 10368 6 - 32623122

xxxx ; 22).

732

1

5

11

131

1

1

xx

xx

;

23).

9

13

3

14

3

2

99

x

x

x

; 24). 84 991

xx

;

25). 354 5 - - 2 33333123x4

xxxx

; 26). 4 654316842 432

xxxx

.

Exercitiul nr. 28 :


1). 9324 3 1 xxxx ; 2). 225,0

14

5 16 x

x

;

3). 0 8 12 - 24515 22

xx xx ; 4). 0 3 36 - 39

31 22

xx ;

5). 421332 2

xx x ; 6). 24 10 - 24

1 xx ;

7). 135 15 15 2221 xx

; 8). 12832 3

17

7

5

25,0

x

x

x

x

;

9). 0 6 5 4816 xxx ; 10). 33

31

10 2

xxxx

;




11). 1,2 5

3

5

311

xx

; 12), 135 15 15 2221 xx

;

13). 222214322312

xxxxxx .

Exercitiul nr. 29 :


1). 4,422

5 23

32

x

x

; 2). 225,0 12

5 8 x

x

; 3). 6416 3

17

7

5

512

x

x

x

x

;

4). 6422121

2 xx ; 5).

4 33

443

1

2

4

3

x

x

; 6). 164123

2 xxx

;

7).

3

193

3

2

12

27x

.

Exercitiul nr. 30 :


1). 108 331

xx

; 2). 0 32 3 - 2221 xx

; 3). 28 - 2212 xx

;

4). 120 - 551212

xx ; 5). 155 555

1x1

xx ; 6). 687 2 77

1222

xx ;

7). 1 2 - 2 - 33321

xxx ; 8). 315 - 333

421

xxx ; 9). 896 222

322212 xxx ;

Exercitiul nr. 31 :


1). 66222121

xxxxx ; 2). 5353

3521 3 -

xxxx ;

3). 772221123

xxxxx ; 4). 555777

1221212212

xxxxxx ;

Exercitiul nr. 32 :


1). 0 1 3 - 2 222 xx

; 2). 272 42 xx ; 3). 3229

122

7

2

1

- -

xxxx ;

4). 0 12 - 2643

31

xx ; 5). 3813

4122 9 3

xxx

.




Exercitiul nr. 33 :


1). 0 3 - 2 3324

xx

; 2). 0 500 - 5 - 52533

xx

; 3). 0 3 4 - 33442

xx

.

Exercitiul nr. 34 :


1). 33

3

1

1 -

16 1

xx ; 2). 0 2

22 aaaxx

; 3). 10 33

xx ;

4). 0 8 12 - 24515 22

xx xx .

Exercitiul nr. 35 :


1). 62 154154 xx

; 2). 98 245245 xx

;

3). 2 2232239696 22

xx xx

.

Exercitiul nr. 36 :


1). 0 13 - 96212 xxx

; 2). 0 6 13 - 6 469111

xxx ;

3). 0 3 - 93241 xxxx

; 4). 1200 10 - 521023122

xxxx ;

5). 5153965396 2 222 2

3 4

xxx xxx .

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