7/23/2019 Proprietile Integralei Duble

1/3

Volumul corpului cilindric. Integrala dubl.

Una dintre problemele ce duc la no iunea de integral dubl este problema geometric: Aflareavolumului corpului cilindric. n acest sens vom da difini ia corpului cilindric raportat la un

sistem rectangular cartezian de coordinate Oxyz pentru comoditate .

Defini ie: Numim corp cilindric corpul mrginit de palnul xOy (inferior) de graficulfunc iei

z= f(x , y )

(suprafa a superioar ) i de o suprafa cilindric generatoarea creia este paralela axei Oz

.

Notm prinD

suprafa a palan din planul xOy

a corpului cilindric.

esen

!ie

z=f(x , y )

(")

este o func ie graficul creia mrgine te superior corpul cilindric (#n acest caz f(x , y )0

).$unoa tem urmtoarele propriet i:

". ac #mpr im un corp #n mai multe pr i atunci volumul corpului este egal cu suma volumelor corpurilor #n care este #mpr it (a tuturor).

%. Volumul corpului cilindric drept (bazele sunt #n plane paralele) este egal cu produsularieie bazei la #nl ime.

mpr im domeniul D #n n & domenii par iale notate: 1, 2, , n ' iar aria fiecrui

domeniu partial prin : 1 , 2 , 3 .

!im #n domeniul i un punct P1 i cu coordonatele Pi (x i , y i ), i= 1,n .

$onstruim pe fiecare domeniu #nl imea egal cu f(xi , y i) pentru i ' astfel ob inem un

corp cilindric #n trepte (fiecare treapt fiind paralel planului xOy ).

Volumul corpului #n trepte va fi cu un volum cu at#t mai aproape de volumul corpului initial cu

c#t domeniile par iale vor fi mai mici i respective ariile lor vor fi mai mici.

7/23/2019 Proprietile Integralei Duble

2/3

Not! Nu trebuie de confundat aria mica cu un domeniu mic pentru cazul dat.

entru a eclude o astfe* de incertitudine vom introduce no iunea de diametru a figurii date(domeniul par ial).

Numim diametru a figurii date coarda de cea mai mare lungime.

Volumul corpului #n trepte Vn

Vn=i=1

n

f(xi , y i) i(2)

+rec#nd la limita #n (%) c#nd n i maxdi0 ' vom ob ine volumul corpului cilindric

initial.

V= limmax di0

i=

1

n

f(x i , y i) i(3 )

,bservm c #n partea st#ng a egalit ii (-) am ob inut o limit a unei sume integrale.

!ie func ia (") ia orice valoare.

Difini ie! Numim integrala dubl a func iei (") dup domeniul D limita sumei integrale din

(%) cnd cel mai mare dintre diametrele domeniilor par iale tinde la zero.

limmaxdi0

i=1

n

f(x i , y i ) i=D

f(x , y ) d(4)

unde f (x , y ) se nume te func ia de sub integral' domeniul D & domeniul de integrare' iar

/ element al ariei.

0ensul geometric al integralei este volumul corpului cilindric.

V=D

f(x , y )d .

Teorema despre existen a integralei duble.

Dac func ia (") este continua in domeniul D mrginit de o linie nchis atunci suma ei

integral (din(%)) tinde la limit cnd cel mai mare diametre tinde la 0 ( maxdi0 ), atunci

aceast limit, adic integral dubl nu depinde de mpr irea domeniului D n integrale

par iale i nici de alegerea punctelor Pi .

ropriet ile integralei duble

,bservm c integral dubl este definit analog integralei definite ca o limit a sumei integrale'astfel prin analogie propriet ile integralei definite vor fi valabile i pentru integral dubl.

7/23/2019 Proprietile Integralei Duble

3/3

". Integrala dubl a unei sume finite de func ii este egal cu suma integralelor duble aacestor func ii

u++vd=D

ud++D

vd(1)

D

%. $onstanta iese #n fa a integralei duble

D

C f(x , y ) d=CD

f(x , y )d(2)

-. ac domeniul D este #mpr it #n % domenii D1 , D2 atunci:

D

f(x , y)d=D

1

f(x , y ) d+D

2

f(x , y )d(3)

1. ac #n toate punctele domeniului D are loc rela ia f(x , y ) (x , y ) atunci i

aceast rela ie are loc:

D

f(x , y ) d D

1

(x , y ) d(4)

0emnul egal are loc #n cazul egalit ii func iilor.

onsecin ! ntegrala dubl pstreaz semnul func iei de sub integral.

in sensul geometric al integralei duble rezult:

D

1d=S

Unde S & aria dreptung2iului D .

3. ac #n domeniul D m f(x , y ) H atunci

mS D

f(x , y ) d=HS(5)

4. 5ist #n domeniul D cel pu in un punct P( , ) #nc#t are loc rela ia :

D

f(x , y ) d=f( , ) S (6 ) .