Propagarea UEM in Spatiul Liber

7/24/2019 Propagarea UEM in Spatiul Liber

1/7

1

C2. PROPAGAREA UNDELOR ELECTROMAGNETICEN SPAIUL L IBER

2.1 Ecuaiile lui Maxwell2.2 Viteza de propagare a undelor electromagnetice

2.3

Determinarea ecuaiilor generale de propagare2.4 Ecuaiile de propagare a undelor armonice

2.1. Ecuaiile lui Maxwell

Ecuaiile lui Maxwell sunt reprezentate de formele locale ale legilor: circuitului magnetic,

induciei electromagnetice, fluxului electric i fluxului magnetic, n cazul mediilor imobile ( 0v= )i n domenii de continuitate i netezime a proprietilor fizice locale:

t

DJHrot

+= (1)

t

BErot

= (2)

vDdiv = (3)

0Bdiv = (4)n medii liniare, omogene, izotrope, fr polarizaie permanent i fr magnetizaie

permanent, mrimile vectoriale care caracterizeaz cmpul electromagnetic satisfac relaiileurmtoare, numite i relaii constitutive:

HB;ED == (5)

Vectorul densitatea curentului electric de conducie J este legat de densitatea de sarcinelectric vprin legea conservrii sarcinii electrice:

tJdiv v

= (6)

innd cont de relaiile (5), cmpul electromagnetic este complet caracterizat de dou

mrimi vectoriale, de exemplu E i H . n funcie de vectorii E i H ecuaiile lui Maxwell se scriusub forma urmtoare:

t

EJHrot

+= ;t

HErot

= ;

= vEdiv ; 0Hdiv = (7)

n coordonate carteziene, sistemul de ecuaii (7) la care se adaug i ecuaia (6), sescrie sub forma unui sistem de nou ecuaii cu derivate pariale:

t

EJ

z

H

y

H xx

yz

+=

;t

EJ

x

H

z

H yy

zx

+=

;t

EJ

y

H

x

Hz

zxy

+=

;

t

H

z

E

y

E xyz

=

;t

H

x

E

z

E yzx

=

;t

H

y

E

x

Ezxy

=

;

vzyx 1

z

E

y

E

x

E

=

+

+

; 0z

H

y

H

x

H zyx =

+

+

;tz

J

y

J

x

J vzyx

=

+

+

(8)

sistem care are nou necunoscute (componentele vectorilor E , H i J ).Soluiile sistemului sunt determinate n mod unic dac se cunosc: mrimile , i v;

condiiile de frontier pe frontiera domeniului n care se determin cmpul; condiiile iniiale.


2/7

2

n medii izolante (v= 0, J = 0), ecuaiile (7) se exprim sub forma:

t

EHrot

= ;t

HErot

= ; 0Ediv = ; 0Hdiv = (9)

relaii care arat c cele dou cmpuri E i H sunt solenoidale.

n funcie de E i B ecuaiile lui Maxwell sunt urmtoarele:

= vE (10)

0B= (11)

t

BE

= (12)

+

=

J

t

EBv2 (13)

unde v este viteza de propagare a cmpului electromagnetic. n cazul aerului sau vidului,

1rr == , rezultnd v = c, unde s/m103c8

= , fiind viteza de propagare a luminii.Se observ ca variaia spaial a lui E determin o variaie temporal a lui B , i respectiv,

variaia spaial a lui B determin o variaie temporal a lui E .

Condiii pe frontier

Pentru a determina soluiile unice i proprii ale ecuaiilor lui Maxwell, n anumite cazuriparticulare, este necesar cunoaterea comportrii CEM la suprafaa de separaie a corpurilor.

Dac n domeniul considerat exist i suprafee de discontinuitate (presupuse ns frsarcini electrice i cureni superficiali cazul mediilor neconductoare) la rezolvarea problemei se vaine cont i de condiiile la limit pe aceste suprafee, exprimate de conservarea componentelor

tangeniale ale intensitii cmpului electric i intensitii cmpului magnetic i de conservareacomponentelor normale ale induciei electrice i induciei magnetice:

n2n1n2n1t2t1t2t1 BB;DD;HH;EE ==== (14)Atunci cnd suprafaa de separaie a dou domenii este un material bun conductor (metal),

condiiile pe frontiera de separaie au forme particulare. n mediile conductoare CEM se propagfoarte puin, amplitudinea sa scznd exponenial conform legii ( ) /xexp , unde x este distanaconsiderat pe direcia normal spre conductor, iar este adncimea de ptrundere a CEM nmaterial. Adncimea de ptrundere este un parametru de material (depinde de conductivitatea i de

permeabilitatea materialului) i este invers proporional cu rdcina ptrat a frecvenei curentuluielectric. Dac conductivitatea are valori foarte mari, adncimea de ptrundere se apropie devaloarea zero iar curentul electric devine de suprafa. n cazul mediilor conductoare adncimea de

ptrundere se poate calcula cu relaia:

fk

1

f

121

=

=

=

= (15)

unde este constanta de atenuare, iar k un parametru de material. Se observ c atunci cnd0f (semnalul se transform n radiaie), iar cnd = 0f ocup tot conduc-

torul (n c.c. nu avem radiaie). Condiiile pe frontier au acelai rol n rezolvarea ecuaiilor cuderivate pariale ca i condiiile iniiale n ecuaiile difereniale pentru calculul circuitelor electrice.

2.2. Viteza de propagare a undelor electromagnetice

Undele electromagnetice reprezint moduri de vibraie a cmpului electromagnetic. Cmpulelectric ( E ), cmpul magnetic ( B ) i viteza v de deplasare a CEM se ntrein reciproc, conform


3/7

3

ecuaiilor lui Maxwell (rel. 10-13). Radiaia electromagnetic reprezint fenomenul de transformarea unui semnal n und electromagnetic.

O und electromagnetic are urmtoarea form:( )v/xtsinA)v,(a += (16)

rezultnd c are att vitez de oscilaie dat de pulsaia ct i vitez de deplasare (v).

Parametrii unei unde electromagnetice sunt urmtorii:- amplitudinea: A valoarea maxim i pozitiv;- frecvena (numrul de oscilaii complete efectuate de cmpul electromagnetic n unitatea de

timp): T/1f= [Hz], unde T [s] este perioada de oscilaie (timpul n care se efectueaz ooscilaie complet);

- pulsaia: f2= [rad/s];- viteza de propagare (viteza cu care se propag frontul undei): v [m/s];- lungimea de und: Tcf/c == [m] distana ntre dou maxime succesive = distana

parcurs ntr-o perioad de oscilaie (pentru spaii cu o oarecare densitate a materiei:Tvf/v == );

La trecerea unei unde electromagnetice dintr-un mediu n altul frecvena de oscilaie rmneaceeai, n schimb se modific lungimea de und i respectiv, viteza de propagare a undei.

Fenomenul de propagare a undelor electromagnetice reprezint modul n care o undptrunde n spaiul nconjurtor. Undele electromagnetice se pot propaga n spaiul liber (spaiul ncare se propag unda este nelimitat) sau se pot propaga n mod ghidat (una din dimensiunilespaiului este limitat). Viteza maxim de propagare a undelor electromagnetice este egal cu vitezade propagare a luminii (c) i se obine la propagarea undelor electromagnetice n aer sau n vid:

s/m103cv 8== (17)Se consider direcia de propagare axa Ox, iar vectorii E i B au componente 0 numai

dup axele Oy, respectiv Oz ( E i B sunt coninui n plane transversale fa de direcia depropagare fig. 2.1).

a) b)

Fig. 2.1 Figur explicativ la determinarea vitezei de propagare

Pentru determinarea vitezei de deplasare a CEM se aplic n figura 2.1a legea inducieielectromagnetice:

=

S

SdBt

ldE (18)

Considernd curba de dimensiuni foarte mici ( === 12 tt;hvdtthvdS;hdl dtttt 12 = ) se obine:


4/7

4

vBEvdthBt

Eh == (19)

Se aplic legea circuitului magnetic n figura 2.1b i se ine cont de faptul c n spaiul liber

nu sunt sarcini electrice ( 0J= ):

= S2

SdEtldBc (20)

innd cont de consideraiile fcute mai sus, rezult:

EvEcvdthEt

Bhc 22 == (21)

innd cont de relaia (19) rezult:cvvcBvBc 2222 === (22)

Pentru un mediu oarecare, cu o anumit densitate a luminii, viteza de propagare a undelorelectromagnetice este cel mult egal cu viteza de propagare a luminii:

oo

1c

1v

=

= (23)

Raportul celor 2 viteze se reprezint indicele de refracie al mediului:

rrv

c = (24)

Viteza de propagare a undelor, n orice mod de propagare, depinde numai de proprietilemediului n care se propag. Unda electromagnetic, odat generat, nu mai depinde de sursa care aemis-o. Unda emis se supune fenomenelor de reflexie i de refracie.

2.3. Determinarea ecuaiilor generale de propagare

Pentru de terminarea ecuaiilor generale de propagare se consider ecuaiile lui Maxwell lapropagarea cmpului electromagnetic n aer (sau n vid):

o

vE

= (25)

0B= (26)

t

BE

= (27)

o

2 J

t

EBc

+

= (28)

Din ecuaia (26) (dac divergena unui vector este nul atunci acel vector provine dintr-unrotor) rezult:

AB = (29)unde A se numete potenial magnetic vector

Din ecuaiile (27) i (29), i innd cont c operatorul este constant n raport cu timpul,se obine succesiv:

( )t

AA

tE

=

= 0

t

AE =

+ 0

t

AE =

+ (30)

Dac rotorul unui vector este nul, atunci vectorul provine dintr-un gradient. Rezult:

=+

tAE (31)


5/7

5

unde este o mrime scalar. Semnul ( ) apare datorit regulii lui Lenz (vectorul obinut prininducie electromagnetic se opune cauzei care l-a produs).

Din ecuaia (31) rezult:

=

t

AE (32)

i aplicnd ecuaia (25) rezult:

o

q

t

A

=

o

2 qAt

=+

(33)

Din ecuaiile (28), (29) i (32) rezult:

( )o

2 J

t

A

tAc

+

= (34)

innd cont, n membrul stng, de identitatea:

( ) ( ) AAA 2= (35)

se obine succesiv:( )[ ]

+

= 2o

2

222 c:

J

tt

AAAc (36)

( )o

222

2

22 J

c

1

tc

1

t

A

c

1AA

+

= (37)

Aplicnd transformata de normare Lorentz:

( )

=tc

1A

2 (38)

o

22

2

22 J

c

1

t

A

c

1A

+

=

o

22

2

22 J

c

1

t

A

c

1A

=

(39)

(ecuaia de propagare diferenial n A )Din ecuaia (38) rezult:

tc

1A

2

= (40)

i derivnd relaia n raport cu timpul se obine:

2

2

2 tc

1A

t =

(41)

Introducnd relaia (41) n relaia (33) rezult:

o2

2

2

2 q

tc

1

=

(ecuaia undelor de potenial) (42)Soluiile ecuaiilor (39) i (42) descriu forma undei electromagnetice:

)tvx(f)v,(fx = (43))tvy(f)v,(fy = (44)

)tvz(f)v,(fz = (45)Unda electromagnetic plan se obine atunci cnd mrimile de stare ale cmpului

electromagnetic variabil n timp au aceeai valoare n toate punctele unui plan perpendicular pe odirecie privilegiat, care se numete direcie de propagare. innd cont c n spaiul liber nu suntsarcini electrice i nici cureni electrici, rezult urmtoarele ecuaii de propagare:

0tE

c1E 2

2

22 =

(46)


6/7

6

0t

H

c

1H

2

2

22 =

(47)

Se observ c att cmpul electric ct i cmpul magnetic satisfac aceeai ecuaie a undelor.Componentele Ey, Hz i Ez, Hy formeaz dou unde independente ntre ele, care prin suprapunereformeaz unda plan.

Din ecuaiile (46) i (47), pentru condiiile de mediu menionate, rezult c ecuaia depropagare a undelor, n direcia de propagare Ox, este urmtoarea:

0t

F

v

1

x

F2

2

22

2

=

(48)

soluia general a ecuaiei undelor fiind de forma:)tvx(g)tvx(f)t,x(F ++= (49)

unde f i g sunt dou funcii arbitrare (f se propag n sensul pozitiv al axei Ox cu viteza v, iar g, nsensul negativ, cu aceeai vitez.

n concluzie, unda plan este suma dintre o und direct (progresiv) i o und invers(reflectat).

2.4. Ecuaiile de propagare a undelor armonice

Se consider ecuaiile lui Maxwell pentru spaiul liber ( 0q= ):

0E= (50)0B= (51)

t

BE

= (52)

o

2 JtEBc += (53)

i relaiile constitutive: ED o= , HB o= .Din ecuaia (53) se obine succesiv:

ooo

oo

2 J

t

EH

1H

1Bc

+

=

=

= (54)

JEt

H o +

= (55)

unde, EJ = , reprezint densitatea curentului electric de conducie.

Din ecuaia (52) rezult:H

tE o

= (56)

Considernd o variaie sinusoidal n timp (armonic) att a cmpului electric ct i acmpului magnetic, cu pulsaia , trecnd n complex relaia (55), se obine:

EjEj

jEEjH coo =

+=+= (57)

unde: E i H sunt reprezentantele n complex ale intensitii cmpului electric i respectiv,

intensitii cmpului magnetic, iar c este permitivitatea dielectric complex a mediului.innd cont de o proprietatea a undelor electromagnetice, dualitatea (identificnd ecuaia de

propagare a undei E unda H se obine prin simetrie), rezult pentru unda H ecuaia:


7/7

7

HjE = (58)Ecuaiile (57) i (58) s-au obinut, innd cont c n complex, operaia de derivare n raport

cu timpul se transform ntr-o operaie de nmulire cu numrul complex j , astfel:

j

t

2jjtt

=

, respectiv:

22

2

oo2

c

1

t

= (59)

Pentru obinerea ecuaiilor de propagare se aplic rotorul ecuaiei (58). Rezult:

HjE = ( ) HjEE 2 = (59)Deoarece 0E= i innd cont de ecuaia (57) rezult:

EjjE c2 = EE c

22 = (60)Pentru o= i oc = rezult ecuaia de propagare a undelor armonice pentru cmpul

electric, n vid (aer).

0EE oo22 =+ (61)

Corespunzror, innd cont de proprietatea de dualitate, se obine ecuaia undelor armonice

pentru cmpul magnetic.0HH oo

22 =+ (62)

Propagarea UEM in Spatiul Liber

Documents

Transcript of Propagarea UEM in Spatiul Liber