UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI

Modelare matematica si simulare numerica

Doctorand: ing.Ovidiu Suciu Conducator stiintific: prof.dr.ing. Mircea Ieremia

Bucuresti, 2010

Cuprins

Capitolul I Cutremurele de pamant.................................................3 Capitolul II Undele seismice...........................................................6 Capitolul III - Concepte de baza ale propagarii undelor intr-un mediu simplu stratificat..........................................................8 Capitolul IV Functia deplasare-timp pentru medii stratificate........12 Bibliografie.........................................................................................15 Abstract...............................................................................................15

2

I - Cutremure de pamantCutremurele de pamant sunt fenomene fizice complexe, caracterizate printr-o miscare violenta si haotica a straturilor superficiale ale Pamantului. Cutremurele sunt unul dintre cele mai terifiante si mai violente fenomene din natura. In general, pamantul este perceput ca o roca solida si complet stabila, insa un cutremur poate spulbera aceasta perceptie instantaneu, si de cele mai multe ori cu o violen devastatoare. Cutremurele de pamant provoaca distrugeri pe arii extinse ale fondului construit, insa consecintele lor au un efect nefast si asupra psihologiei oamenilor. Cutremurele sunt provocate in general de:

Eruptii vulcanice Impacturi ale meteoritilor Explozii subterane (de exemplu teste nucleare subterane) Prabusiri de structuri (de exemplu prabusirea unei mine)

insa majoritatea cutremurelor naturale sunt datorate miscarii placilor tectonice ale pamantului. Teoria cutremurelor de pamant consta in faptul ca stratul superior al pamantului litosfera este compusa din numeroase placi care aluneca de-a lungul unui strat lubrifiant astenosfera. Locurile in care placile se apropie una de alta sunt denumite limite de convergenta a placilor. La limita de divergenta dintre aceste placi masive de pamant si roca isi face aparitia unul dintre urmatoarele fenomene:

Placile se pot indeparta una fata de alta Daca doua placi se indeparteaza una de alta, roca incandescenta si topita izbucneste din straturile mantalei aflate sub litosfera. Aceasta magma iese la suprafata (mai ales pe fundul oceanului), din acest moment fiind numita lava. Pe masura ce lava se raceste, aceasta se si intareste, integrandu-se in litosfera si umpland golurile.

Placile se pot apropia una fata de alta In cazul in care cele doua placi se

misca una spre alta, de obicei una dintre placi se intercaleaza cu cealalta astfel intrand dedesuptul ei si eliberand energii enorme. Aceasta placa, numita de subductie se scufunda in straturile inferioare ale mantalei, unde se topeste. In

3

anumite locuri in care se intalnesc cele doua placi, niciuna dintre placi nu poate sa patrunda sub cealalta, astfel ca se imping una pe alta, astfel creandu-se muntii

Placile pot aluneca una pe langa cealalta

In acest caz, placile aluneca

una pe lanaga cealalta pur si simplu; una se misca spre nord iar cealalta placa spre sud. Desi placile nu se deplaseaza direct una spre cealalta, la aceste limite de transformare, sunt impinse una in alta. Astfel, se creeaza o mare tensiune in zona de contact. Cand doua sau mai multe placi tectonice se intalnesc formeaza fisuri in scoarta pamantului numite falii.

In momentul cedarii unei falii, se produc doua tipuri de deformatii: statice si dinamice. Deformatia statica este deformatia permanenta a solului ca urmare a evenimentului. Ciclul de cutremur avanseaz de la o falie care nu este sub tensiune, la o falie supusa unor tensiuni cauzate de miscarea placilor tectonice, la rupere in timpul cutremurului si in cele din urma la o noua stare de relaxare insa deformata, cum se arata in figura da mai jos:

4

Daca cineva construieste o linie de referinta, cum ar fi un drum sa o linie de cale ferata, de-alungul faliei pre-rupta si incarcata cu tensiuni, dupa cutremur linia formal dreapta va avea o forma deformata si deplasari mari in apropierea falie, fenomen cunoscut sub numele de soc elastic.

Falia San Andreas din California

Seismologia (derivate din cuvantul grec Seismos care inseamna cutremur si Logos care inseamna stiinta) ramura a geofizicii care se ocupa cu studiul cutremurelor si propagarii undelor seismice.

Seismograf instrument care permite inregistrarea undelor seismice. Seismograma inregistrarea miscarii seismice obtinuta cu un seismograf si care exprima variatia deplasarilor in timp.

5

Focar punct teoretic situat in interiorul pamantului care reprezinta originea sursei energetice a unui cutremur; originea energiei eliberate radial mediului prin unde elastice de propagare se mai numeste si hipocentru. Epicentru punct theoretic situat la suprafata libera a terenului pe verticala focarului.

6

II - Undele seismiceUndele seismice sunt vibratii produse de cutremure care traverseaza pamantul; ele sunt valuri de energie brusc create de ruperi ale placilor tectonice sau de explozii. Viteza de propagare a undelor depinde de densitatea si elasticitatea mediului in care se propaga.Viteza de propagare a undelor seismice are valori de aprox. 3-8km/s in scoarta terestra, pana la valori de 13km/s in mantaua inferioara. Undele seismice se impart in doua mari categorii: Unde interne Unde de suprafata

Undele interne strabat interiorul pamantului; sunt considerate unde libere pentru ca se pot propaga oriunde in interiorul pamantuluisi se impart la randul lor in: Undele P Primare (longitudinale sau de dilatatie) strabat

pamantul ca un val longitudinal (val de compresiune); miscarea pamantului are aceeasi directie cu directia de propagare a undei; viteza lor maxima de propagare este aprox. 6km/s in scoarta terestra si astfel sunt cele mai rapide unde seismice.

Undele S Secundare (transversale sau de forfecare) strabat

pamantul ca un val transversal; aceste unde misca pamantul pe directie sus-jos (perpendicula pe directia lor de deplasare); viteza acestor unde este de aprox 3.5km/s in scoarta pamantului.

Unde de suprafata sunt considerate unde legate, adica sunt legate de o anumita suprafata sau de un anumit strat in timpul propagarii lor; ele se impart in: Undele Love sunt unde de suprafata care cauzeaza forfecarea

orizontala a pamantlui; ele sunt denumite dupa A.E.H. Love, un matematician englez care a creat modelul matematic al undelor in anul 1911; viteza lor de propagare este de 90% din viteza de propagare a undelor S.

Undele Rayleigh sunt denumite dupa numele lui John

William Strutt, Lord Rayleigh, care a prezis matematic existenta acestui tip de unde in anul 1885; aceste unde se strabat terenul asemenea unui val care strabate un ocean; datorita acestui tip de propagare, undele Rayleigh, produc miscari ale terenului sus-jos si fata-spate pe directia lor de propagare; cea mai mare parte din vibratiile percepute in timpul unui seism sunt datorate acestui tip de unde;

III - Concepte de baza ale propagarii undelor intr-un mediu simplu stratificatCea mai simpla forma a ecuatie care descrie valuri in trei dimensiuni este ecuati lui Helmholtz:

...(1) unde este variabila de camp, c este viteza si t este timpul

Cand viteza c este independenta de timp, solutia undelor plane este:

...(2)

unde A este amplitudinea, k este vectorul unda, x este vectorul pozitie si vectorul amortizare. Este de preferat sa se utilizeze vectorul amortizarii, p, in detrimentul vectorului de unda k, pentru a se indica directia undei deoarece acesta nu depinde de amplitudine. Suprafetele pe care k x este constant, ilustrat in Fig.1, se numesc fronturi de unda.

este

Fig.1 Unda plana intr-un mediu omogen [-lungime de unda; k vectorul unda; x vectorul pozitie;]

Daca o unda plana este incidenta la o suprafata, ne asteptam sa fie generate unde reflectate si transmise, astfel trebuie aplicate unele conditii de continuitate variabilei de camp sau derivatei acesteia. Chiar si fara a specifica conditiile pe contur, este clar faptul ca pentru o ecuatie liniara a undei, toate undele trebuie sa aiba aceeasi frecventa si aceasi lungime de unda. Fara aceste conditii, undele nu se pot potrivi la orice moment de timp si spatiu. Se considera un plan la z = 0, care separa in doua spatiu omogen cu vitezele c1 pentru z > 0, si c2 pentru z < 0 (Fig.2). Pentru simplificare vom roti sistemul de coordonate astfel incat vectorul incident de amortizare, pinc, sa fie in planul xz, adica py = 0. Lungimea de unda de-alungul suprafetei este 2/kx = 2/px, deci componenta px a vectorului de amortizare trebuie sa fie egala pentru toate undele. Intrucat |p|= 1/c,vectorul amortizare incident al undei este:

...(3)

Radacina patrata in pz este luata cu semn pozitiv, asa ca semnul minus din ecuatie ilustreaza faptul ca unda incidenta se propaga pe directia z in sensul negativ (Fig.2). Unghiul inc este unghiul dintre vectorul amortizare si normala la suprafata si este masurat in asa fel incat 0 inc /2. Undele reflectate si transmise vor avea vectorul amortizare:

...(4)

...(5)

unde, unghiurile re si trans sunt similar definite.

Fig.2 Undele plane incidente, reflecatate si transmise pentru un plan la suprafata de separatie a celor doua spatii omogene. Este prezentata situatia cand c2 >. Partea (a) frontul de unda si (b)vectorul amortizare.

Egalitatea pentru componenta x a vectorului de amortizare conduce la legea de reflexie: ...(6) si legea refractiei sau Legea lui Snell:

...(7)

Situatia prezentata in Fig.2 este pentru c2 > c1 deci trans >inc si vectorul amortizare este refractat de la normala. Inversul acestei situatii apare cand c2 < c1. Daca c2 > c1 si inc = crit = sin1(c1/c2), atunci pz pentru unda transmisa este zero. Acesta este numit unghi critic. Daca inc >crit, atunci componenta z a vectorului de transmitere devine imaginara: ,(,p-trans.)-z.=,-(,1-,c-x-2..-,p-x-2.)-1/2.=,-(,1-,c-2-2..-,,,(sin-,-inc.).2.-,c-1-2..)-1/2.=-isgn(),(,,,(sin-,-inc.).-2.-,c-1-2..-,1-,c-2-2..)-1/2. (8) De retinut este faptul ca semnul partii imaginare este pozitiv adica Im(pz )< 0, asa ca undele transmise trec in partea negativa a lui z: ,e-i,p-trans.x.=,e-i,p-x.x.,e-i,p-z.z.=,e-i,p-x.x.,e-,,pz..z. 0 ...(9) deoarece z In diagrama frontului de unde (Fig.3), frontul pentru undele transmise este perpendicular pe suprafata (din cauza dependentei de x din expresia (8)), iar liniile de aamplitudine constanta sunt paralele cu suprafata de separatie dintre cele doua medii omogene (din cauza dependentei de z din expresia (9)). Nu se transmite energie de la suprafata de superatie in al doilea mediu de propagare al undelor. ...

Fig.3 Unde plane incidente si total reflectate in dreptul planului de separatie dintre mediurile omogene.

IV - Functia deplasare-timp pentru medii stratificateIntr-un mediu stratificat, vectorul amortizare paralel cu suprafata de separatie se conserva. Scriem vectorul amortizare ca:

...(10) Am definit axele in asa fel incat axa z este perpendiculara pe stratureile mediului iar vectorul amortizare este in planul x-z adica py = 0. In Fig.4 este ilustrat vectorul amortizare propagandu-se prin straturi. Ne vom referi la x ca la directia orizontala iar z ca directie verticala, pozitiva in sus.

Fig.4 O unda ( vector amortizare) propagandu-se prin stratul i al mediului.

Daca consideram un model de straturi plane omogene, iar viteza intr-un strat de

grosime zi este ci avem:

...(11) ...(12)

unde i este unghiul dintre unda si axa z (Fig.4), astfel putem calcula:

...(13) ...(14) unde insumarea se face pe toate straturile. In general, unda poate fi reflectata sau transmisa la orice suprafata de separatie. Toate straturile sunt luate in considerare (cu zi pozitive pentru oricare ar fi directia de propagare), iar pentru undele reflectate un strat se ia in considerare de mai multe ori. Functia deplasare-timp este:

...(15)

Daca z dz in ecuatiile (13) si (14), functia ddeplasare-timp devine:

...(16) ...(17)

unde componentele vectorului amortizare sunt:

...(18) ...(19) Notatia folosita pentru a indica integrarea pe toate segmentele undei, astfel

incat sa contribuie fiecare pozitiv. Aceasta, pentru unda din Fig.5 este:

...(20)

Fig.5 Reverberatie a undei intr-un strat.

Bibliografie

Champman C. H., Cambridge 2004, Fundamentals of seismic waves propagation Petty R., Seismic Waves Propagation, Modeling and Invertion Cretu D., Conspress 2004, Teoria Elasticitatii Ifrim M., Dinamica Structurilor si Inginerie Seismica Wikipedia, www.wikipedia.org

AbstractEarthquakes terminology and basic ingormation is presented in the first chapter; when an fault ruptures, it causes two types of deformation: static and dynamic. Seismic waves are the vibrations from earthquakes that travel through the Earth. There are two types of seismic waves, body waves and surface waves. The simplest form of wave equation describing waves in three dimensions is the Helmholtz equation, describe in the third chapter. The last chapter describe the travel-time function in layerd media.