Proiectul unităţii de învăţare “Proprietăţile funcţiilor derivabile”

Moto:”Înţelepciunea este a ta numai când o dai altuia, altfel ea este numai în tine.”Nicolae Iorga

Cls.a XI-a 5ore-săptămânăProf.Alboni Estela Ruxana nr.ore alocat 12Deta-lieri deconţi-nut

Competenţe Activităţi de învăţare Resurse

Ora 1

Pc.de extremTr. Fermat Tr. RolleTr. La-

Conpetenţe generale -Identificarea unor date si relaţii matematice şi corelarea lor in funcţie de contextul în care au fost definite.

Verificarea cunoaşterii de către elevi a regulilor de derivare.

Stârnirea interesului. Se face legătura cu alte domenii.Se scrie pe tablă întrebarea esenţială.Li se comunică elevilor

Se aplică Fişa de evaluare iniţială ce conţine exerciţii de tip grilă, corectarea pe loc, urmată de dezbaterea scurtă a răspunsurilor.Fişele se vor restitui elevilor (ora următoare) şi vor face parte din portofoliu.Scrierea pe tablă a întrebării esenţiale.Conversaţia.Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, şi bineînţeles matematice, este important de ştiut care sunt maximele şi minimele anumitor mărimi variabile.

grange, Tr. Cauchy

-Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunţuri matematice.

Competenţe specifice :-Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme.-Explorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/sau global ale unor funcţii utilizând continuitatea şi derivabilitatea (studiul monotoniei, convexităţii, evidenţierea punctelor de extrem, valorificarea

cerinţele legate de această unitate de învăţare

Achiziţionarea de noi cunoştinţe. Puncte de extrem.

Dezvoltarea independenţei în gândire şi acţiune.

Conversaţia.Definiţie Fiind dată o funcţie RR D ,Df : , un punct Dx 0 se numeşte:

a) punct de maxim relativ al lui f dacă există o vecinătate U a punctului 0x astfel încât pentru orice

DUx să avem )()( 0xfxf .b) punct de minim relativ al lui f dacă există o vecinătate U a punctului 0x astfel încât pentru orice

DUx să avem )()( 0xfxf .Dacă 0x este punct de maxim relativ al lui f

atunci valoarea 0xf se numeşte un maxim relativ al lui f.Dacă 0x este punct de minim relativ al lui f atunci valoarea 0xf se numeşte un minim relativ al lui f.

Completarea Fişei de lucru nr.1 cu teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange, teorema lui Couchy, folosind manualul. Se discută comparativ despre condiţiile pe care le îndeplinesc funcţiile cărora li se poate aplica una din cele 3 teoreme şi rezultatele aplicării lor

Rezolvarea din manual a 4 probleme în care se cere să se verifice condiţiile teoremelor studiate. Profesorul insistă asupra condiţiilor ce trebuiesc verificate, punând elevii să găsească asemănările şi deosebirile.

geometrică a derivatei într-un punct în probleme de tangenţă, utilizarea inducţiei matematice)

Manifestarea tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare

pag.174, ex.1 a, b, ex.2, ex.6 a, b.Li se comunică elevilor cerinţele legate de această unitate de învăţare.Temă de casă. Manual pag 72 ex.1, 2, 3, pag.74 ex.1c, 6 c.

ora 2

Consecinţele Tr. Rolle

Conpetenţe generale :-Utilizarea algoritmilor pentru rezolvarea unor probleme practice.-Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă în scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluţiilor.Competenţe specifice :- Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor

Captarea atenţiei :

Evaluarea elevilor. Se notează elevii după cum s-au evidenţiat in timpul orei , pentru felul cum au activat în grupă şi pentru modul cum au rezolvat ex..

Manifestarea iniţiativei şi a disponibilităţii de a aborda sarcini variate

Anunţarea temeiConsecinţele Teoremei Lui Rolle

Prezentarea de material nou

Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (în cazul in care apar diferenţe rezultat, se rezolvă exerciţiile la tablă ).

Li se dă elevior să rezolve exerciţiile de pe Fişa de evaluare nr.1 .Elevii vor fi împărţiţi pe grupe. La urmă se face turul galeriei.

Dezbatere – raspunsuri la întrebări ce duc spre răspunsul la întrebarea esenţialăConversaţie. Consecinţa1 Între două zerouri ale unei funcţii derivabile pe un interval se află cel puţin un zerou al derivatei.

Observaţia 1( Interpretarea geometrică a teoremei lui Rolle).Teorema lui Rolle admite următoarea interpretare geometrică: Dacă dreapta determinată de punctele )(,,)(, bfbafa este paralelă cu axa Ox, atunci există cel puţin un punct între a şi b în care tangenta la

probleme.

Consolidarea cunostinţelor şi asigurarea feed-back-ului.,Tema pentru acasă Se vor propune spre rezolvare ca temă

graficul lui f este paralelă cu axa Ox.

Obsservaţia 2(Interpretarea geometrică a Teoremei lui Lagrange) Fie f o funcţie Rolle pe un interval compact ba, , atunci există cel puţin un punct bac , astfel încât tangenta la graficul funcţiei f în )(, cfc este paralelă cu coarda determinată de punctele )(, afa şi )(, bfb .Consecinţa 2 Fie f o funcţie definită pe o vecinătate V a punctului 0x , derivabilă pe 0\ xV şi continuă în 0x .

Dacă există limita )(lim

0

xfxx

, atunci )( 0xf există şi

)( 0xf . Dacă este finită, atunci f este derivabilă în 0x .

Fiecare elev va primi câte o fişă de lucru Fişa de lucru nr.2 – activitate individuală. Pe parcursul rezolvării exerciţiilor, profesorul intervine cu întrebări, adresate

pentru acasă , exerciţiile din manual .

elevilor pentru a se clarifica demersul rezolvării.

Ora 3

Studiul monotoniei unei funcţii

Conpetenţe generale :-Identificarea unor date si relaţii matematice şi corelarea lor in funcţie de contextul în care au fost definite.-Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunţuri matematice.-Utilizarea algoritmilor pentru rezolvarea unor probleme practice.-Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii

Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfăşurare a orei ;Captarea atenţiei : Informarea elevilor asupra lecţiei

Verificarea cunostintelor anterioare

Prezentarea de material nou

Consolidarea cunoştinţelor şi asigurarea feed-back-ului. Se realizează pe parcurs.

Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (în cazul in care apar diferenţe rezultat, se rezolvă exerciţiile la tablă ).Se anunţă şi se scrie pe tablă titlul lecţiei:

Se propune elevilor o activitate interactivă frontală. Profesorul pune intrebări elevilor, urmăreste completarea răspunsurilor primite şi retinerea notiunilor fundamentale insusite anterior de catre elevi si necesare în rezolvarea exerciţiilor.

Prima consecinta (Functii cu derivata nula)Daca o functie are derivata nula pe un interval, atunci ea este constanta pe acest interval.Observatie!

Pentru determinarea constantei se alege o valoare particulara x0 din interval pentru care f(x0) are o formă cât mai simplă.

Fiecare elev primeşte Fişa de lucru nr.3. Problemele se rezolvă şi la tablă de către elevi.Aplicatie: se rezolvă prima problemă din fişa de lucru nr.3.

problemă în scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluţiilor.Competenţe specifice :- Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme.

Manifestarea tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare

Temă de casă rămân exerciţiile nerezolvate de pe fişă.

A doua consecinţă (Funcţii cu derivate egale)Dacă două funcţii au derivatele egale pe un interval, atunci ele diferă printr-o constantă pe acel interval.Aplicatie: se rezolvă a doua problemă din fişa de lucru nr.3.

A treia consecinta ( Monotonia functiilor)Fie REf : , E interval, o funcţie derivabilă.Dacă Exxf ,0)( atunci f este crescătoare pe E:Dacă Exxf ,0)( atunci f este descrescătoare pe E;Daca Exxf ,0)( atunci f este strict crescatoare pe E;Daca Exxf ,0)( atunci f este strict descrescatoare pe E;Etapele studiului monotoniei unei funcţii.Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei functii derivabile REf : , E nu neaparat interval din R se procedeaza astfel:

se calculeaza derivata functiei f se rezolva ecuatia Exxf ,0)(

se determina intervalele in care f` pastreaza acelasi semn

se tine seama de consecinta 3 si se stabilesc intervalele de monotonie

Observatie!Utilizand monotonia unei functii putem stabili

punctele de minim sau maxim local pentru o functie

derivabila.Aplicatie: se rezolva celelalte probleme din fisa de lucru nr.3.

Ora 4 Conpetenţe generale :-Utilizarea algoritmilor pentru rezolvarea unor probleme practice.-Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă în scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluţiilor.Competenţe specifice :- Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme.

Reactualizarea cunostintelor anterioare

Anuntarea cerinţelor.

Manifestarea tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare

Evaluarea performantei

Profesorul face aprecieri cu privire la munca elevilor si noteaza felul cum elevii colaborează în cadrul grupei.

Verificarea temei.Profesorul verifica tema pentru acasă şi corectează eventualele greşeli. Elevii vor preciza daca sunt exerciţii neefectuate, iar acestea vor fi lucrate la tablă.Realizarea – pe calculator – pentru prezentarea finală, de către fiecare grupă de elevi a unui fişier word cu ceea ce i-a fost repartizat. Ex. De mai jos şi partea teoretică care se potriveşte.Din Fişa de evaluare nr.1 Grupa 1 ex.1Grupa 2 ex.2Grupa 3 ex.3Grupa 4 ex.4Vor preciza partea teoretică şi exerciţiul potrivit.Din Fişa de lucru nr.3Grupa 1 ex.1 Grupa 2 ex.2 Grupa 3 ex.3 şi 4Grupa 4 ex.5 şi 6’

Ora 5 Competenţe generale-Exprimarea şi redactarea corectă şi coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei problemeCompetenţe specifice :- Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme.

Evaluarea elevilor-prin teste clasice aplicate individual

Elevii rezolvă individual Fişa de evaluare nr.2

Ora 6

Rolul deriva-tei a doua în studiul funcţi-

Conpetenţe generale -Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrica a unor cazuri particulare.

Captarea atenţiei: - verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (în cazul în care apar diferenţe mari la rezultat, se rezolvă exerciţiile la tablă ).

Conversaţia.Prin discuţii cu clasa se va asigura o atmosferă adecvată pentru buna desfăşurare a orei ;

ilor -Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajutorul reprezentarilor grafice.-Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese.-Exprimarea cu ajutorul noţiunilor derivabilitate, tabel de variaţie a unor proprietăţi cantitative şi calitative ale unei funcţii.-Studierea unor funcţii din punct de vedere cantitativ si calitativ utilizand diverse procedee: majorări, minorări pe un interval dat,

Informarea elevilor asupra lectiei: -Se anunţă şi se scrie pe tablă titlul lecţiei: Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilorVerificarea cunoştinţelor anterioare:- reţinerea noţiunilor fundamentale însuşite anterior de către elevi şi necesare în rezolvarea exerciţiilor.

Prezentarea de material nou -Determinarea intervalelor de convexitate şi concavitate

Utilizarea semnului derivatei a doua pentru studiul convexităţii şi concavităţii unei funcţii de două ori derivabilă.

Conversaţia. Se propune elevilor o activitate interactivă frontală. Profesorul pune întrebări elevilor, urmăreşte completarea răspunsurilor primite .

Expunerea. Definiţie: Fie, o funcţie RIf : derivabilă pe intervalul I. a) Funcţia f se numeşte convexă pe intervalul I, dacă tangenta în orice punct al graficului funcţiei f se află sub acest grafic.b) Funcţia f se numeşte concavă pe intervalul I, dacă tangenta în oricare punct al graficului funcţiei f se află deasupra acestui grafic.Activitate frontală. Se discută cele două situaţii pe graficele următoare.

funcţie convexă funcţie concavă

proprietăţile algebrice şi de ordine ale mulţimii numerelor reale în studiul calitativ local, aproximarea unor funcţii mai simple cunoscute.-Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi.-Explorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/sau global utilizând continuitatea şi derivabilitatea.Competenţe specifice :-Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme.

Din tabel rezultă că funcţia f este concavă pe intervalul (-, 0) şi este convexă pe intervalul (0, ).

Determinarea punctelor de inflexiune

Teoremă: Fie RIf : , o funcţie de două ori derivabilă pe intervalul I. Atunci:1) Funcţia f este convexă pe intervalul I dacă şi numai dacă derivata a doua este pozitivă pe intervalul I.2) Funcţia f este concavă pe intervalul I dacă şi numai dacă derivata a doua este negativă pe intervalul I.Exemplul 1: Să se determine intervalele de convexitate şi concavitate a funcţiei:

Rezolvare: Funcţia f este de două ori derivabilă pe R iar

Ecuaţia 0)( xf are soluţia x=0. Construim tabelul de semn pentru derivata a doua:

x - 0 +)(xf - - - - - - - -0 + + + + +

f(x)

Stabilirea intervalelor de convexitate şi concavitate a unei funcţii RIf :

I. Se calculează derivatele f , respectiv f a funcţiei f.II. Se rezolvă ecuaţia 0)( xf .III. Se determină semnul funcţiei f pe intervalele pe care aceasta nu se anulează şi se trec datele în tabel.

-Determinarea intervalelor de convexitate şi concavitate a funcţiilor.-Determinarea punctelor de inflexiune.

Dezvoltarea independenţei în gândire şi acţiune

Consolidarea cunoştinţelor şi asigurarea feed-back-ului.

Tema pentru acasă: Se vor propune spre rezolvare ca temă pentru acasă, exerciţiile 4, 5, 6, 7. Aprecieri: Se notează elevii care s-au evidenţiat în timpul orei.

IV. Se stabilesc intervalele de convexitate şi concavitate în funcţie de semnul derivatei f . Conversaţia. Se discută cu elevii următoarea Definiţie

Fie Rbaf ],[: şi ),(0 bax .Punctul ),(0 bax se numeşte punct de inflexiune al funcţiei f, dacă f este continuă în x0 şi dacă într-o parte a lui x0 funcţia f este convexă, iar în cealaltă parte a lui x0 funcţia f este concavă.

Munca prin descoperire. Se ajută elevii să observe: Dacă funcţia Rbaf ],[: este derivabilă de două ori în punctul de inflexiune ),(0 bax , atunci 0)( 0 xf . Pentru o funcţie de două ori derivabilă RIf : , punctele de inflexiune sunt printre soluţiile ecuaţiei

0)( 0 xf . Determinarea acestora se face studiind semnul derivatei a doua.Fişa de lucru nr.4. Fiecare elev va primi câte o fişă de lucru. Elevii sunt organizaţi în grupe omogene. Pe parcursul rezolvării exerciţiilor, profesorul intervine cu întrebări şi răspunde la întrebările fiecărei grupe.La sfârşit se realzează turul galeriei pt. al 2-lea ex.de la fiecare grupă.

A(x0,f(x0))

Ora 7 Conpetenţe generale -Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrica a unor cazuri particulare.-Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajutorul reprezentarilor grafice.-Explorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/sau global utilizând continuitatea şi derivabilitatea.Competenţe specifice :-Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme.-Determinarea

Reactualizarea cunostintelor anterioare

Anuntarea cerinţelor.

Manifestarea tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii

Evaluarea performanţei

Profesorul face aprecieri cu privire la munca elevilor si noteaza felul cum elevii colaborează în cadrul grupei.

Verificarea temei.Profesorul verifica tema pentru acasă şi corectează eventualele greşeli. Elevii vor preciza daca sunt exerciţii neefectuate, iar acestea vor fi lucrate la tablă.Realizarea – pe calculator – pentru prezentarea finală, de către fiecare grupă de elevi a unui fişier power point cu ceea ce i-a fost repartizat. Ex. de mai jos şi partea teoretică care se potriveşte doar grupa 4.Din Fişa de lucru nr.4 Grupa 1 ex.10Grupa 2 ex.9Grupa 3 ex.8Grupa 4 ex.7Crearea saitului fiecărei grupe.Aşezarea materialelor pe sait.

intervalelor de convexitate şi concavitate a funcţiilor.-Determinarea punctelor de inflexiune.

Ora 8Ora 9Ora 10

Grupele de elevi vor căuta aplicaţii ale derivatei în economie, fizică, variante bacalaureat 2009 şi vor realiza prezentări Power Point cu rezultatele găsite.Grupa 1 - studiul monotoniei şi mărginirii şirurilor folosind funcţii derivabile. http://preprints.readingroo.ms/Smarandache/MetodeCalcul.pdfGrupa 2-aplicaţii ale derivatelor la admiterea la Universitatea Politehnică din Timişoara.Culegere Admitere Politehnică Timişoara.http://www.ac.upt.ro/uploads/Culegere_Mate_Adm_UPT_2009.pdfGrupa 3+aplicaţii ale derivatelor în variantele de Bac.http://www.ebacalaureat.ro/cat2/5/65/128/1/Subiecte-bacalaureat-2009-MatematicaGrupa 4+aplicaţii ale derivatelor la cinematica punctului material.

Ora 11 Evaluare sumativă Se completează individual Fişa de evaluare nr.3Ora 12

Fiş ă de evaluare imi ţială

1.Derivata funcţie este egală cu…

2.Derivata funcţiei în punctul x0=4 este gală cu…

A. 5 B.

3.Aflaţi derivata funcţiei

4.Calculaţi f /(1), dacă

A.-8. B.8. C.6. D.-6.

5.Aflaţi valoarea derivatei funcţiei în punctul x0=0.

A.1. B.0. C.0,5. D.-1.

6.Aflaţi derivata funcţiei

7.Coieficientul unghiular al tangentei, dusă la graficul funcţiei în punctul cu abscisa x0 = - 0,5 este egal cu…

A.1. B.2. C.-2. D.-4.

8.Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei în punctul x0=2 are forma….

Barem de corectare:2p oficiu, fiecare ex. 1p

Fişa de lucru nr.1

Folosind manualul completaţi individual următoarele teoreme:

Teorema ( Teorema lui Fermat) Fie I un interval deschis şi Ix 0 un punct de extrem relativ al unei funcţii RIf : . Dacă f este derivabilă în punctul 0x , atunci 00 xf .

Teorema (Teorema lui Rolle) Fie Rbaf ,: o funcţie Rolle astfel încât )()( bfaf , atunci există cel puţin un punct bac , astfel încât 0 cf .Teorema (Teorema lui Lagrange sau teorema creşterilor finite)

Fie f o funcţie Rolle pe un interval compact ba, , atunci există bac , astfel încât abafbfcf

)()()( .

Teorema ( Teorema lui Cauchy) Fie f, g două funcţii Rolle pe intervalul compact ba, , astfel încât

baxxg ,,0)( ; atunci există un punct bac , astfel încât )()()()(

)()(

agbgafbf

cgcf

Fişa de lucru nr.2

1. Să se studieze derivabilitatea funcţiei

0,

0),1ln()(,:

2

xdacaarctgxxxdacax

xfRRf

f este continuă şi derivabilă pe )0,( şi pe ),0( .

0)0(

0lim)(lim)0(

01ln)1ln(lim)(lim)0(

00

00

2

00

00

f

arctgxxxfl

xxfl

xx

xxd

xx

xxs

f este continuă în punctul 0.

0,1

0,1

2

)(

2

2

2

xx

x

xx

x

xf

, 0

1lim)0(,0

12lim)0( 2

2

002

00

x

xfx

xfxxd

xxs

0)0()0( ds ff

Aplicând consecinţa anterioară rezultă că f este derivabilă în 0 şi 0)0( f .În concluzie f este derivabilă pe R.

2. Se consideră funcţia

0,1

0,1)(,:

2009

2009

xdacax

xdacaxxff RR

. Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în punctul 0.

Acest exemplu ne arată de ce este esenţial să se impună condiţia ca f să fie continuă. Pentru acest exemplu *,2009)( 2008 Rxxxf

0)(lim)(lim00

00

xfxfxx

xx

şi totuşi f nu este derivabilă ( deoarece 1)0(,1)0( ds ll , f nu este continuă în 0 şi

x

xx

fxfffxx

xxds

2lim)0()(lim)0(,0)0(2009

00

00

).

Fişa de evaluare nr.1

1. Se consideră funcţia f:[ -1; 1] R, f(x) = , unde: m, n, p R.

a) Determinaţi parametrii reali: m, n, p, astfel încât f să satisfacă condiţiile de aplicabilitate ale teoremei lui Rolle, pe intervalul: [ -1; 1].

b) Pentru m, n, p determinaţi, mai sus, aplicaţi efectiv teorema lui Rolle.

2. Se consideră funcţia f: ( - , - 2) (0, ) R, f(x) = ln . Să se arate că, există un

punct c (1, 2) astfel încât: (c – 1) f ’ ( c) + f(c) = f(2).

3. Determinaţi a, b R, astfel încât funcţiei: , să i se poată aplica

teorema lui Lagrange şi să se aplice efectiv teorema.4. Se consideră funcţia f: R R, f(x) = . Să se arate că, pentru orice k (0, ), există

c (k, k + 1), astfel încât: f(k + 1) – f(k) = .

Grupa 1 rezolvă ex.1Grupa 2 rezolvă ex.2Grupa 3 rezolvă ex.3Grupa 4 rezolvă ex.4Se realizează turul galeriei.

Fişa de lucru nr.3

1. Să se arate că /2, 0≤x≤ 1

2. Să se arate că fucţiile f(x)=arctgx şi g(x)=arctg , diferă printr-o constantă pe intervalul ( )

3..Se consideră funcţia .a) Să se calculeze b) Să se rezolve ecuaţia c) Să se studieze monotonia funcţiei f.

Rezolvare

a)

b) c) Monotonia funcţie f rezultă din tabelul cu semnul primei derivate.

x - +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++- - - - - - - - - - - - - -0 ++++++++++++++++

4. Se dă functia , unde m şi n sunt parametrii reali.a) Să se determine parametrii reali m şi n astfel încât b) Pentru m = 2 si n = 1 să se studieze monotonia functiei f.

Rezolvarea)

b). Pentru m = 2 şi n = 1 obţinem . Pentru a studia monotonia funcţiei f alcătuim un tabel cu semnul primei derivate.Ataşăm ecuaţia x = -3 sau x = -1.

m

x - -3 -1 ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - -0 + + + + + + +

Din tabelul anterior rezultă că f este strict crescătoare pe intervalele (-,-3] şi [-1,+) şi este strict descrescătoare pe intervalul [-3, -1].

5. Fie funcţia f:R – { -1,0} R, f(x) = . Demonstraţi că f nu are puncte de extrem local.

6. Se consideră funcţia f: R, f(x) = lnx - .

a) Să se calculeze derivata funcţiei f.

b) Determinaţi punctele graficului funcţiei f, în care tangenta la grafic este paralelă cu

dreapta de ecuaţie: 9y = 2x.

c) Să se arate că, dacă x > 1, atunci: lnx .

7. Demonstraţi că funcţia f: R R, f(x) = x + cosx, este strict crescătoare pe R.

Fişa de evaluare nr.2

f(-3) f(-1)

1. Se consideră funcţia f: R R, f(x) = x – sinx. a) Să se arate că funcţia f este crescătoare . b) Verificaţi că funcţia g: R R, g(x) = este derivabilă pe R.

2. Se consideră funcţia f: R R, f(x) = ex – ax, unde a R, a > 0.

a) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f.

b) Determinaţi a , ştiind că f(x) 1, x R.

3. Se consideră funcţia f: R, f(x) = 18x2 – lnx. Determinaţi intervalele de monotonie.

Fişa de lucru nr.4

Să se determine intervalele de convexitate şi concavitate şi punctele de inflexiune ale următoarelor funcţii:

1. 533)(,: 23 xxxxff RR

2. xexff x )(,: RR

3. )2()(,: xexff xRR

4. )62()(,: xexff xRR

5. 12)(,: 2 xxexff xRR

6.

12)(,:

xxxff R1-\R

7. xexxff )(,: RR

8. arctgxxxff )(,: RR

9. 1ln)(,: 2 xxff RR

10. )1()(,: 2 xexff xRR

Grupa 1Ex.1 şi 10Grupa 2Ex2 şi 9Grupa 3Ex. 3 şi 8Grupa 4Ex.4 şi 7TemăEx. 5, 6

Fişa de lucru nr.5Grupa de experţi

Monotonia şi mărginirea pentru şiruri şi funcţii

Şirul este o funcţie La unele şiruri putem asocia o funcţie şi să studiem monotonia şirului studiind monotonia funcţiei, folosind derivata..Se notează n cu x şi se obţine f(x) din formula termenului general al sirului.

Se studiaza monotonia şi mărginirea cu tabelul de variaţie al funcţiei.Se trag concluzii cu privire la monotonia şi mărginirea şirului, ţinând cont că domeniul este N.http://preprints.readingroo.ms/Smarandache/MetodeCalcul.pdf

Fişa de evaluare nr.3