PIERRE FERMAT MAREA TEOREMA

PIERRE DE FERMAT ŞI ORIGINILE TEOREMEI

  "Am descoperit o demonstraţie cu adevărat

minunată, dar nu am aici destul spaţiu pentru a o scrie."

Acestea sunt cuvintele notate de ilustrul matematician Pierre de Fermat pe marginea unei pagini din ediţia Aritmeticii lui Diofant, în 1637. De aici a început nebunia. Vreme de 358 de ani, marii matematicieni ai lumii au încercat în zadar să găsească demonstraţia teoremei lui Fermat, devenită simbol al misterului matematic.

MAREA TEOREMĂ A LUI FERMAT

Marea teoremă a lui Fermat este o celebră teoremă de teoria numerelor. Ea a fost enunțată de Pierre de Fermat în anul 1637, iar demonstrația completă a fost găsită de-abia 357 de ani mai târziu de către matematicianul englez Andrew Wiles.

Enunțul este simplu:ecuația nu are soluții dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere întregi nenule.

Originile teoremei pornesc de la şi mai celebra teoremă a lui Pitagora, care ne spune că într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică:x2 + y2 = z2

32 + 42 = 52

Ca urmare a formulării clare şi concise a lui Pitagora, teorema a fost memorată şi reţinută o viaţă întreagă de milioane, dacă nu miliarde de minţi omeneşti. Este teorema fundamentală pe care orice şcolar este obligat s-o înveţe. Dar, în ciuda faptului că poate fi înţeleasă de un puşti de zece ani, creaţia lui Pitagora a fost sursa de inspiraţie pentru o problemă care a biruit cele mai mari minţi matematice ale tuturor timpurilor.

Dar ce se întâmplă dacă ridicăm pe x,z şi z la puterea a 3-a?  Adică dacă avem x3 + y3 = z3 ?

Se pare că nu există soluţii pentru această ecuaţie. La fel cum nu există pentru x4 + y4 = z4, x5 + y5 = z5 şi, de fapt, pentru xn + yn = zn.

Prin urmare teorema enunţată de Fermat, sună cam aşa:Ecuaţia xn + yn = zn nu are soluţii întregi diferite de zero, pentru n mai mare ca 2.Complicat? Deloc. Dar acest lucru trebuie demonstrat. Aici se schimbă lucrurile radical.

CAZURI PARTICULARE 

Pentru n=2, ecuația are soluții. Există triplete de numere naturale (x,y,z) cu care se pot forma laturile unui triunghi dreptunghic; de aici, conform teoremei lui Pitagora, avem . De exemplu (3,4,5) sau (5,12,13). Există chiar o infinitate de astfel de triplete.

Pentru n>2, doar cazul n=4 admite o demonstrație elementară, schițată de Fermat însuși.Primul care s-a ocupat de cazul n=3 a fost matematicianul Leonhard Euler, în 1753. În 1825, francezii Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet și Adrien-Marie Legendre tranșează cazul n=5, demonstrația având ca punct de plecare o idee mai veche a lui Sophie Germain. După câțiva ani, este finalizată demonstrația pentru n=7,de către francezul Gabriel Lamé.

DEMONSTRAREA TEOREMEI

La mijlocul secolului XIX, Academia Franceză instituie un premiu de 3000 franci (o sumă enormă atunci) pentru o demonstrație completă a teoremei.

Demonstrații pentru numere prime mai mici ca 100 au fost date aproximativ în aceeași perioadă, de către matematicianul german Ernst Kummer.

În 1908, magnatul german Paul Wolfskehl alocă uriașa sumă de 100.000 de mărci celui ce va demonstra teorema ('oferta' fiind valabilă până în 2007).

După apariția calculatoarelor electronice, au fost abordate cazuri particulare pentru valori tot mai mari ale lui n; prin anii 1980,erau elucidate toate cazurile în care n<4.000.000.

DEMONSTRAREA TEOREMEI

În ultimii ani de dinaintea găsirii demonstrației complete pentru orice n>2, matematicienii erau convinși că prin metode elementare nu se mai poate aduce nimic nou.

În anul 1983, matematicianul german Gerd Faltings a demonstrat că există cel mult o mulțime finită de contra-exemple la marea teoremă a lui Fermat.

În septembrie 1994, matematicianul englez Andrew Wiles a dat demonstrația completă a teoremei, după ce, în 1993, propusese o altă demonstrație, care se dovedise a fi greșită.

DOUĂ PĂTRATE ÎNSUMATE FORMEAZĂ UN AL TREILEA PĂTRAT. DE EXEMPLU: 9+16=25.