Metode Numerice. Lucrari Practice

7/25/2019 Metode Numerice. Lucrari Practice

1/27


2/27

Metode Numerice n IngineriaElectricMICU Dan Doru, CECLAN Andrei

a

1

PREFA

Cartea de fapropune un breviar teoretic al metodelor numerice clasice, combinatcu un set de aplicaii, a cror soluii se axeaz pe derularea metodelor numerice tratate. Se

justific abordarea n acest sens a suportului de curs i a lucrrilorde laborator din cadruldisciplinei de Metode Numerice, prin faptul c structura teoretic se plaseaz ntr-uncontext cu deschideri nspre aplicaii. Metodele numerice implementate n utilitare de calcul

precum: Mathcad, Mathematica, Matlab, conduc la soluionri precise i cu caracteraccesibil nelegerii, evident.

Organizarea volumului cuprinde pentru fiecare capitol n parte un breviar teoretic, oseciune de implementare n programul Mathcad a metodelor expuse, o parte aplicativ ncare se face apel la instrumentarul utilitarului de calcul numeric i o ultim seciune n carese rezolv probleme de electrotehnic cu ajutorul metodelor numerice teoretizate iimplementate n Mathcad.

Exist un set de metode numerice numite primare, care formeaz baza studiului princalcul numeric a modelelor matematice asociate fenomenelor fizice, implicit electrice.

Acestea sunt: aproximarea funciilor i a irurilor de date, cu partea de interpolare;integrarea i derivarea numeric; rezolvarea ecuaiilor i a sistemelor de ecuaii algebrice;rezolvarea ecuaiilor difereniale i a sistemelor de ecuaii difereniale. Majoritatea teoriilorvalidate din domeniul enumerat sunt nuanari matematice pornite dintr-un singur punct de

plecareacela al dezvoltrii n serieTaylor a funciilor. Tot acestei stri i se datoreaz icaracterul metodelor numerice amintite ca fiind primare, caracter care se reduce matematic

la formule recursive parcurse iterativ pn la obinerea soluiilor dorite.Esena metodelor numerice primare este furnizat de dualitatea recuren calcul

iterativ. La nivel numeric fundamental de calcul aritmetic i logic (adunare, scdere,nmulire i mprire, relaii logice) preocuprile revin inginerului de calculatoare. Maideparte de clasa primarde metode numerice, unde intervin combinaiile acestora sau chiaro mixtur complex de formule numerice, nelegerea i controlul devin realizabile doardac este parcurs prima clas de metode numerice. n stadiul nvrii teoriei cmpuluielectromagnetic i a circuitelor electrice parcurgerea acestei etape specifice din domeniulmetodelor numerice primare se constat a fi un cadru favorabil pregtirii didactice, dar iextinderii la aplicaii concrete. Problemele exemplu din aceast lucrare vor fi atent detaliatetocmai pentru a demonstra ctigul didactic asumat.

Aria de metode numerice din lucrare, nu acoper ntregul domeniu al metodelornumerice, numite primare. Pentru fiecare din direciile urmrite, exist cte o diversitate dealtfel de exprimri i perspective. n relaia cu Ingineria Electric, ansamblul de metodenumerice introdus n aceast carte poate fi acceptat ca un minim suficient.

Att n prezentrile de teorie, ct i n aplicarea ei efectiv, se accentueaz mai puinevenimentele matematice de calcul algebric elementar, la nivel de limbaj main. Deoarecesuportul computaional de lucru l constituie utilitarul de calcul numeric Mathcad, cu unlimbaj de scriere de nivel nalt, problema operaiilor algebrice (adunare, scdere, nmulire,mparire) i a erorilor de rotunjire depind de posibilitaile softului utilizat. Proprietaile deacest gen ale programului Mathcad se precizeaz n primul capitol al lucrrii.

O serie de opiuni de calcul numeric i simbolic din programul Mathcad vor fi

nsuite temeinic; deprinderea de scriere a sintaxei de programare n Mathcad va fi deasemenea format prin lectura acestei cri. Caracteristica esenial a utilitarului de cal culnumeric Mathcad st n posibilitatea efecturii calculelor iterative, asupra formulelor derecuren, cu declararea inteligibil a relaiilor, fapt care demonstreaz mbinarea cu succesa metodelor numerice primare cu aplicaiile teoretice din Electrotehnic.


3/27

2 Metode Numerice n Ingineria ElectricMICU Dan Doru, CECLAN Andrei

a

Elaborarea prezentei lucrri s-a sprijinit pe o perioad de civa ani de informare, ndomeniul metodelor numerice, n aria bogat dezvoltat a problemelor de Electrotehnic in mediul de utilizare a programului Mathcad. Lucrarea se bazeaz pe o vast bibliografiecare conine 54 de cri i articole tiinifice publicate la conferine naionale iinternaionale de specialitate, dintre care 14 titluri aparin autorilor acestei cri. Se enumer cteva din aplicaiile n inginerie electric ale metodelor numerice primare:

Aproximarea analitica funciilor tabelare se apeleaz des n ridicarea caracteristicilorde funcionare a generatoarelor sincrone (maini electrice, n general); la dimensionride instalaii electrice prin exprimarea analitica unor coeficieni de calcul, ce intr nformule de optimizare.

Interpolarea datelorprelevate din experimente, n msurri electrice, la parcurgerea

caracteristicilor parametrizate n proiectarea mainilor electrice. Rezolvarea ecuaiilor intervine n analiza defectoscopiei cablurilor, n studierea

stabilitii la perturbaii a generatoarelor electrice. Sistemele de ecuaii liniare sunt aparatul matematic al tehnologiei de fabricare a

materialelor electrotehnice, rezolv unele criterii de simetrizare a reelelor trifazate,caracterizeaz modelele problemelor inverse electromagnetice.

Sistemele neliniare de ecuaii apar n determinarea circulaiei de puteri n sistemeleelectroenergetice.

Integrarea numeric cuantific n timp consumurile de energie electric, dup curbelede sarcin, particip la calculul intensitii luminoase a aparatelor de iluminat pe spaiidelimitate.

Aa cum s-a precizat, materialul expus folosete desfurrii activitii de curs ilaborator al disciplineiMetode Numerice ise adreseaz n primul rnd studenilor anului IIdin cadrul Facultii de Inginerie Electric, care au prevzut pentru studiu aceastdisciplin. Lucrarea este conceput astfel nct s ghideze teoretic i practic nelegerea insuirea metodelor numerice abordate, i nu n ultimul rnd s ajute la deprindereautilizrii softului de calcul numeric Mathcad. De asemenea, considerm c materialul

prezentat poate fi util i pentru studenii din ani superiori i pentru inginerii care ntlnescaplicaii electrotehnice ce trebuie finalizate prin metode numerice.

Autorii


4/27

2 Dan D. Micu, Andrei Ceclan, Levente Czumbil, Denes Csala

Cuprins

Prefa................................................................... ................................................................ 1

Lucrarea nr. 1Prezentarea general a utilitarului MathCad 14.................... ..................... 3

Lucrarea nr. 2Rezolvarea numerica ecuaiilor algebrice i transcemdente -Partea I ... 12

Lucrarea nr. 3Rezolvarea numeric a ecuaiilor algebrice i transcemdente -Partea II .. 24

Lucrarea nr. 4Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii Partea I ............ 38

Lucrarea nr. 5+6Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaiiPartea II ....... 52

Lucrarea nr. 7Inversarea i factorizarea matricelor ........................................................ 65

Lucrarea nr. 8Aproximarea numeric a funciilor.................. ........................................ 75

Lucrarea nr. 9Aproximarea funciilor prin polinoame de interpolare............................. 84

Lucrarea nr. 10+11Integrarea i derivarea numerica funciilor reale........................... 93

Lucrarea nr. 12Metode numerice de rezolvare a ecuaiilor difereniale................. ...... 109

Lucrarea nr. 13Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii difereniale...... 120

Lucrarea nr. 14Exemple de probleme pentru testul de laborator .................................. 129

Bibliografie............................................................ ............................................................ 133


5/27

Metode numerice. Lucrri practice 3

Lucrarea nr. 1

PREZENTARE GENERAL AUTILITARULUIMATHCAD 14

1.1.Descrierea instrumentelor de baz

Mathcad-ul este un program de calcul utilizat n aplicaiile matematice i tehnice.n decursul anilor s-au dezvoltat mai multe variante, ncepnd de la variantele rulate subsistemul de operare DOS pn la cele sub Windows, ultima variant fiind Mathcad 14. Lanceput Mathcad-ul a existat sub o singur variant, astzi el fiind disponibil sub treivariante n funcie de nivelul de cerine [X1], [X2], [X3]:- Mathcad Standardeste utilizat pentru calcule inginereti uzuale;- Mathcad Professional Academiceste dezvoltat pentru a veni n ajutorul studenilor i

profesorilor;

- Mathcad Professional cu ajutorul cruia pot fi efectuate calcule i aplicaiiprofesionale.Fa de alte utilitare matematice, Mathcad-ul ofer avantajul unei scrieri mai uoare i

mai vizibile, asemntoare cu cea utilizat n scrierea pe o coal de hrtie.

Fig. 1.1. Fereastra principal a programuluiMathCad 14

Bara demeniu

Bara de

unelte

Bara de

format

Bara

matematic


6/27


De exemplu, n limbaj de programare, o linie de sintax pentru a calcula radicaluldin modulul diferenei dintre dou numere se scrie: y = sqrt(mod(B-A)), iar n Mathcad sescrie sub forma:

Interfaa sub Windows ofer posibilitatea mpririi diferitelor operaii n maimulte bare: astfel bara de meniu care este asemntoare oricrei aplicaii rulate subWindows, bara de unelte (prezentat n figura 1.2.c, respective 1.2.d), bara de format(figura1.2.b) i bara matematic (figura 1.2.a). Afiarea acestor bare pe ecran se poate facen funcie de necesitile utilizatorului.

Fig. 1.2.a Descrierea barei matematice

Fig. 1.2.b Bara format

Fig. 1.2.c Descrierea barei de unelte

y B A

Paleta Calator Paleta Gafic

Paleta MatricelorPaleta de Evaluare

Paleta de Calcul

Paleta de Programare

Paleta de

Calcul Analitic

Paleta Boolean

Paleta AlfabetuluiGrecesc

Printarea aplicaiei curente

Salvarea aplicaiei curente

Deschiderea uneiaplicaii existente

Pagin Nou

Vizualizarea formatului de printare

Lipete unlitmacomand

terge unlitmacomand

Lipete o zon

Copiaz o zon

Taie o zon

Corector

lingvistic


7/27


Fig. 1.2.d Descrierea barei de unelte (continuare)

Pentru efectuarea calculelor simple se tasteaz cifrele i operatorii corespunztori,iar apoi introducnd semnul=se va obine rezultatul dorit. De exemplu:

1.2. Comenzi rapide

n tabelul urmtor sunt prezentate shortcut-urile corespunztoare operatorilorprincipali din cadrul programului MathCad 14.

Tabelul 1.1. Shortcut-uri utile n MathCad 14

Operatorul Simbol Observaii

+ + Operatorul de adunare a dou mrimi, numere

- - Operatorul de scdere a dou numere

* * Operatorul de nmulire a dou mrimi, numere

/ / Operatorul de mprire a dou numere

^ ^ Operatorul de ridicare la putere

\ Operatorul de extragere a radicalului de ordin doi

n Ctr+\ Operatorul de extragere a radicalului de ordin n

| | |Modulul dintr-o expresie matematic;Determinantul matricei

= :Operatorul de atribuire a unei expresii unei

variabile

= =Oparatorul de afiare al rezultatului unei variabile,expresii

25 3

1.53

Ordonare

orizontal

Ordonare

vertical

Introducerea

funciilor predefinite

Introducerea unitilorde msur

Help-ul

Zoom

Inserarea unei marice

Introducerea unor obiecte

Inserare Hyperlink

Comanda de calculare


8/27


= Ctr + = Operatorul de egalitate boolean

Ctrl + 3 Operatorul de neegalitate boolean

Ctr + 9 Operatorul mai mic sau egal

Ctr + 0 Operatorul mai mare sau egal

Shift + / Derivarea unei funcii ntr-un punct definit anterior

Ctr + Shift +/ Derivarea unei funcii de n ori ntr-un punct definit

Shift + 7 Integrarea unei funcii pe un domeniu dat

Ctr + ICalcularea primitivei unei funcii (accesibil doar ncalculul simbolic)

Ctr + Shift +

4nsumarea elementelor unui ir

Ctr + Shift +

3Produsul elementelor unui ir

Numrul maxim de zecimale cu care se poate seta afiarea rezultatelor n Mathcad

este de 15, urmat de amplificarea cu o putere a lui 10. Cu toate acestea, definirea valorilornumerice n pagina de calcul se poate face, pn n limita marginilor de format [J1].Indicii n cmpul de definire al Mathcad-ului ncep de la 0.

Programarea intern a funciilor Mathcad ia n considerare mai multe rutine decalcul numeric, ori simbolic i dispune de un aparat de optimizare, de alegere corect ametodei de calcul adaptat la problema care urmeaz a fi soluionat.Evaluarea abaterilorntre valorile succesive calculate i evaluarea erorilor de metod sunt supuse unei constante,numit TOL (tolerana) i stabilit implicit la valoarea 0.001. Creterea preciziei deexecutare a calculelor numerice se realizeaz prin redefinirea TOL la o valoare convenabil[C4], [X1].

n problemele de calcul i n cele care se preteaz la folosirea metodelor numericeprimare interpolare de o variabil, rezolvare de ecuaii i sisteme de ecuaii, integrare,derivare softul Mathcad, tocmai fiindc se bazeaz pe rularea iterativ a formulelor, nu

dilat constrngerile de timp i spaiu de calcul. Doar aplicaiile complexe mai impun nprezent organizarea riguroas a logicii spaiu-timp de operare. Aspectele menionatenicidecum nu evit modul de lucru eficient n pagina Mathcad, ci doar ndeamn lastabilirea altor prioriti.

d

d

d

d

d

d

=

=


9/27


1.3. Funcii de baz predefinite n programul MathCad 14

n acest paragraf, sunt schiate cteva exemple cu opiunile predefinite din cadrulprogrammului MathCad.

Tabelul 1.2. Funcii trigonometrice

Descrierea funciei Exemplu de aplicare a funciei

angle(x, y) -

returneaz unghiul, nradiani, dintre axa x

i punctul (x, y) dinplanul (xOy)

sin(x) calculeazsinusul unghiului x

cos(x) calculeazcosinusul unghiului x

tan(x) calculeaztangenta unghiului x

cot(x) calculeazcotangenta unghiului x

asin(z) returneazvaloarea unghiului nradiani, al inversei

sinusului lui z.

Valoarea este cuprinsntre -/2 i /2 dac zeste real;

acos(z) returneazvaloarea invers acosinusului; rezultatul

este o valoare (nradiani) ntre 0 i

acot(z) returneaz valoareacorespunztoare inverseicotangentei,valoare cuprinsntre 0 i , dac z este real;

atan(z) returneaz valoareacorespunztoare inversei

tangentei; rezultatul este ovaloare cuprins ntre -/2 i/2, dac z este real;

atan2(x,y)returneazvaloarea unghiului cuprins

ntre axa x i punctul (x, y)dinplanul 2D. Rezultatul este

cuprins ntre -i ;

asec(z)returneaz valoarea

corespunztoare inverseisecantei;acsc(z)returneaz valoareacorespunztoare inverseicosecantei.

x 1

y 1

angle x y( ) 0.785

sau

angle x y( ) 45 deg

1t 0 0.01 2

sin t( )

cos t( )

t180

0 100 200 300

1

0

1

tan t( )

cot t( )

t180

0 100 200 300

1

0

1


10/27


Tabelul 1.3. Funcii hiperbolice


sinh(x) calculeaz

sinusul hiperbolica lui x

cosh(x) calculeazcosinusul hiperbolic

a lui x

tanh(x) calculeaztangenta hiperbolica lui x

coth(x) calculeazcotangenta

hiperbolic a lui x

sech(x) calculeazsecanta hiperbolica lui x

csch(x) calculeazcosecanta hiperbolica lui x

asinh(x)calculeaz inversa sinusului hiperbolic a lui x acosh(x)calculeaz inversa cosinusului hiperbolic a lui x

atanh(x)calculeaz inversa tangentei hiperbolice a lui xacoth(x)calculeaz inversa cotangentei hiperbolice a lui xasech(x)calculeaz inversa secantei hiperbolice a lui xacsch(x)calculeaz inversa cosecantei hiperbolice a lui x

Tabelul 1.4. Funcii caracteristice numerelor complexe


arg(z) - returneazunghiul, n radian, din

numrul complexz

z 1 j

arg z( ) 0. 785

sau

arg z( ) 45 deg

tanh x( )

x

0 10

1

coth x( )

x

0 0.5 10

100

sech x( )

x

0 10.6

0.8

1

csch x( )

x

0 0.5 10

100


11/27


Re(z) - returneaz parteareal a unui numrcomplex;

Im(z) - returneaz parteaimaginar a unui numrcomplex

signum(z) - returneazvaloarea 1 dac z = 0 irespectiv z/zdac z0

restin1

0)zRe(si0)zRe(

sau0)zRe(daca1

csgn(z)

Tabelul 1.5. Funcii caracteristice operaiilor cu vectori i matrice

Descrierea funciei Exemplu de aplicare a funcieitr(M) - returneaz suma elementelor de pediagonala principal a matricei M

max(M) - returneaz valoarea maxim dinmatricea M

min(M) - returneaz valoarea minim dinmatricea M

norm1(M) - returneaz valoarea normei L1a matricei M

norm2(M) - returneaz valoarea normei L2a matricei M

norme(M) - returneaz valoarea normeieuclidiene a matricei M.

normi(M) - returneaz valoarea normeiinfinite a matricei M.

submatrix(M, r1, r2,

c1, c2) - genereaz omatrice, submatrice a

lui M, generat dinelementele cuprinse

ntre liniile r1 i r2 icoloanele c1 i c2rows(M) - returneaznumrul de linii amatricei M

rank(M) - returneazrangul matrici M

rref(M) -returneazmatricea M redus

z 1.5 j 5

Re z( ) 1.5

Im z( ) 5

A

1 j 25

1 i

6 j 7

2 j 5

2j

8

0

3

j 9

Re A( )

1

1

6

2

0

8

0

3

0

Im A( )

25

1

7

5

2

0

0

0

9


12/27


geninv(M)returneazmatricea invers lastnga a lui M

identity(n) -genereaz a matriceidentitate de ordin n

length(v) -returneaz numarulde elemente a

vectorului v

last(v) - returneazindicele ultimului

element al vectorului

diag(v) -returneaz

o matrice diagonalavnd ca i elementeelementele vectorului

variabile indexate,

iteratii

k 0 3

xk

k3

2 xk

2

3

10

29

k

xk

44

k

xk

1.74 103

augment(M,v) -returneaz o matricea crei ultim coloanconine elementelevectorului v iar restul

elementelor formeazmatricea M

stack(M,v) - returneazo matrice a crei ultimlinie conine elementelevectorului v iar restul

elementelor formeaz

matricea Mcond1(M) furnizeazanumarul de conditionare

calculat cu norm1

n 2

identity n( )1

0

0

1

M

1

2

9

2

5

6

3

8

3

v

1

2

3

v1 vT

augment M v( )

1

2

9

2

5

6

3

8

3

1

2

3

stack M v1( )

1

2

9

1

2

5

6

2

3

8

3

3


13/27


eigenvec(M,z)furnizeaza vectorul

propriu al matricii M

pentru valoarea proprie z

precizata

eigenvals(M)furnizeaza toate valorile

proprii ale matricii M

eigenvecs(M)furnizeaza toti vectorii

proprii ai matricii M

lsolve(M,v)returneazsoluia sistemului

vXM , unde: M

matricea coeficienilornecunoscutelor,

X vectorulnecunoscutelor

i v vectorulcoeficienilor termenilorliberi

x M v

x M 1

v x

3.4

4. 8

2.4


14/27


Lucrarea nr.2

REZOLVAREA NUMERICA ECUAIILORALGEBRICE I TRANSCENDENTE PARTEA I

2.1. Aplicaie Efectul pornirii mainilor electricen instalaiile electrice prin care se alimenteaz consumatorii de energie, se acord o

importan ridicat pstrrii nivelului de tensiune ntr-un palier de 10% fa de valoareanominal. n acest context prezentm urmtoarea aplicaie practic:

Fabrica de zahr DIAMANT Oradea utilizeaz pompe antrenate de motoare de mareputere i alimentate la medie tensiune. La pornire, din cauza curenilor tranzitorii de valoriridicate, nivelul tensiunii n reeaua de alimentare scade drastic. Se impune astfel studierearegimului de pornire a motoarelor, pentru a evita unele probleme de calitatea energiei care

pot s apar. Figura de mai jos prezint o astfel de aplicaie:

Fig. 2.1. Motor asincron pentru acionarea pompelor

Se consider n acest context o ecuaie caracteristic pornirii mainilor asincrone demare putere. Necunoscuta este reprezentat de tensiunea la barele de alimentare (Ub) nmomentul iniial, al pornirii mainii electrice, n situaia n care de pe barese alimenteaz ialt sarcin:

0

12

2

12

2

02

2

2

0

0

2

0

2

2

0

2

02

sc

bf

b

fpfp

sc

b

sc

ff

sc

f

b

bsc

p

sc

bp

S

US

U

QXPRS

U

SQQ

SS

UUS

X

S

UZ

(2.1)

n aceast ecuaie, datele cunoscute sunt reactanele, rezistenele i impedana depornire ale motorului, ppp ZRX ,, , puterea de scurtcircuit a nodului din care se alimenteaz

motorul asincron,scS , tensiunea pe bare naintea pornirii,

0bU , puterile absorbite de sarcina

n funciune pe bare n regimul anterior pornirii,00

,ff

QP , respectiv n momentul pornirii,

ff QP , . ntruct puterile ff QP , depind de necunoscuta bU , gradul ecuaiei depinde de

gradul de dependen al caracteristicilor sarcinii aflat n funciune pe bara de tensiune.De regul, aceste relaii de dependen sunt expresii polinomiale, ceea ce face ca

ecuaia s fie o ecuaie transcendent.


15/27


Se generalizeaz acest exemplu pentru o ecuaie algebric sau transcendent, pentrucare s-a separat o soluie n intervalul [a,b]. Se cere s se determine soluia respectiv, cu oprecizie impus apriori.

Precum n exemplul expus, multe probleme din domeniul electric i energeticimplic ntr-o anumit etap rezolvarea unor ecuaii neliniare, algebrice sau transcendente,de formaf(x)=0, acestea constituind de fapt una dintre cele mai frecvente aplicaii de calcul

numeric din tehnic.Rezolvarea ecuaiilor neliniare prin metode directe (numite i exacte - soluiile seobin dup un numr finit de operaii), n general nu este posibil sau ia foarte mult timp.Printre alternativele de rezolvare, sunt preponderent dominante variantele iterative.

n aplicaiile de inginerie electric, n general expresia funciei f(x) este destul decomplicat i coeficienii care apar n f(x) sunt rezultatul unor msurtori experimentalesau sunt determinai pe baza unor ipoteze simplificatoare (aproximaii matematicecorespunztoare pentru simplificarea problemei practice), deci valorile lor nu suntcunoscute exact. De aici apare de fapt necesitatea utilizrii metodelor aproximative,iterative n rezolvarea lor.

2.2. Modelul matematic i metodele numerice utilizate

2.2.1.Metoda grafic de rezolvare implementat n programul MathCad

Aceast metod const n utilizarea reprezentrii grafice a funciei i citirea datelordirect de pe grafic. Cu ajutorul unui instrument numit Zoom, se mrete acea poriune dingrafic, i se citesc coordonatele punctului, n care funcia intersecteaz axa Ox.

Astfel, se determin o soluie pentru funcia reprezentat grafic. n aceast lucraresunt tratate numai noiunile de baz legate de utilizarea i citirea graficelor n softul

Mathcad, metode i instrumente de soluionare a ecuaiilor cu ajutorul programului.

2.2.2. Funciile bulit-inO alt metod este utilizarea funciilor built-in (gata construite) ale programului

Mathcad. De multe ori, software-ul poate oferi soluia unei ecuaii n mod direct prin apelulla o singur comand, sau printr-un ir de comenzi, ori instrumente.

2.3. Funcii utilizate n programul Mathcad

2.3.1. Funcia Symbolics SolveCu ajutorul instruciunii Symbolics Solvese pot determina rdcinile unei ecuaiiintroduse n Mathcad. Se arat modul de aplicare a instruciunii care este prezentat pas cu

pas:

Pasul 1.Se introduce expresia ecuaiei nMathcad, utiliznd egalul boolean; (Ctrl =).

Pasul 2.Se selecteaz variabila n funcie de care se dorete rezolvarea.

Pasul 3.Din meniul principal se selecteaz SymbolicsVariableSolve, aa cum se aratn captura din figura 2.2.Pasul 4.Funciasolvese poate aplica i n mod direct, astfel: dup introducerea ecuaiei,nainte de a iei din zona de scriere, din toolbar-ul Symbolics se selecteaz instrumentulSolve, conform figurii 2.4.

Dac toolbar-ul Symbolics nu este vizibil, din meniul principal se bifeaz View

ToolbarsSymbolics, conform figurii 2.3.


16/27


Fig. 2.2. Succesiune de comenzi aplicat pentru rezolvarea unei ecuaii

Dup ecuaie, n zona de scriere apare instrumentul solve. Dac avem o ecuaie cu osingur variabil, se iese din zona de scriere apsnd tasta Enter sau un click n afaraferestrei. Se observ c rezultatul este automat afiat pe ecran.

Dac n ecuaie apar mai multe variabile, n fereastra de comand, dup comandasolvese introduce o virguli denumirea variabilein funcie de care se dorete rezolvarea,dup cum se prezint n relaiile (2.2).

Fig. 2.3. Selecia toolbar-ului Symbolic Fig. 2.4. Instrumentulsolve

(2.2)

2.3.2. Funcia rootFuncia rootpermite determinarea unei soluii a unei ecuaii algebrice f(x)=0 n

vecintatea unui punct arbitrar fixat, considerat ca aproximaie iniial. Sintaxa funciei esteevideniat n relaia (2.3):

solutie root f x( ) x( )

root(expresia sau numele funciei, variabila n

raport cu care se rezolv ecuaia) (2.3)

Exist cazuri cnd, datorit aproximaiei iniiale impuse, funcia rootnu converge(apare mesajul de eroare cannot converge to a solution), adic n intervalul n care secaut rdcina, ecuaia nu are soluie, nu este monoton sau are discontinuiti.


17/27


Instrumentul root se poate utiliza i pentru determinarea rdcinilor ecuaiilorpolinomiale. Se tie c orice polinom de grad n, avnd rdcinile x1, x2,...xn, i coeficientullui x

neste 1, se poate scrie sub forma:

nxxxxxxxP ...)()()( 21 (2.4)Cunoscnd o soluie x1 (obinut prin aplicarea funciei root pentru o valoare

arbitrar), se poate obine o funcie )(

)(

)(1

2xx

xf

xf , la care aplicnd din nou rootse obine

a doua rdcin x2a polinomului de rezolvat. n mod analog, n continuare se vor determinai restul soluiilor.

2.3.3. Instrumentul polyrootsCu ajutorul funciei polyrootsse pot determina, ntr-un singur pas, toate rdcinile

unui polinom. Se consider polinomul de grad n:n

n xaxaxaxaaxP .. .)( 3

3

2

210 . Definim vectorul v, ca fiind vectorul

coloan al coeficienilor polinomului P(x), prezentat n relaia (2.5). Sintaxa funcieipolyroots se prezint n relaia (2.6). Rezultatul obinut este tot un vector coloan, adicvectorul soluiilor.

Vectorul v se introduce n fereastra de comand ca un vector nou, sau se poate

introduce i din meniul principal, prin succesiunea de comenzi: Symbolics PolynomialCoefficients, atunci cnd cursorul este fixat pe variabilaxn polinom.

(2.5) solutie polyroots v( ) (2.6)

2.3.4. Instruciunea condiional i fInstruciunea condiional ifevalueaz un enun sau o expresie i decide dac este

adevrat sau fals. n MathCadcu ajutorul instruciunii ifavem posibilitatea de a ataa ovaloare unei variabile, dac o condiie prestabilit este satisfcut, respectiv o alt valoare,dac aceast condiie prestabilit este fals. Sintaxa funciei este expus n relaia (2.7).

a:=if(cond1,val1,val2) (2.7)

Variabila aia valoarea val1dac condiia boolean cond1este adevrat, sau valoarea val2dac condiia cond1este fals.

2.3.5. Instruciunea repetitiv forComanda for execut un ir de operaiuni de un numr predefinit de ori. Pentru

utilizarea instruciuniifor, este necesar toolbar-ulProgramming. n cazul n care toolbar-ulProgramming nu este vizibil, din meniul principal se bifeaz View Toolbars Programming, conform figurii 2.5. Apoi, se selecteaz butonul for, conform figurii 2.6.Sintaxa funciei este prezentat n relaia (2.8).


18/27


Fig. 2.5. Selecia toolbar-uluiProgramming Fig. 2.6. Instruciunile de programare

(2.8)

n stnga operatorului se introduce variabila de iterat, iar n dreapta limiteleintervalului care trebuie parcurs (numere ntregi). n csua de de pe linia a doua seintroduce expresia de calculat, dependent de variabila iterativ. Cnd se lucreaz cuoperatori de programare, cum ar fi operatorul for, pentru atribuire se utilizeaz simbolul din toolbar-ul Programming n loc de operatorul := . Pentru a introduce o nou liniespecial de programare, se apeleaz butonul Add Line din toolbar-ul de programare. nrelaia (2.9) se indic introducerea acestor operatori:

Ai

2 i

A

i 0 7for

(2.9)

2.4. Probleme rezolvate

2.4.1. Metoda grafic de rezolvare implementat n programul MathCad

Se consider ecuaia 0164 23 xex . Se cere determinarea rdcinilor acesteiecuaii neliniare.Pasul 1.Se introduce ecuaia n Mathcad. La introducerea ecuaiilor se folosete egalul

boolean. (Ctrl =)

4x3

e2x

16 0

Pasul 2.Se definete funcia ataat ecuaiei. La definirea funciei se folosete operatorul deatribuire (:=)

f x( ) 4x3 e2x 16 (2.10)

Pasul 3.Se reprezint grafic funcia f(x) pe un interval arbitrar ales, de exemplu de la -3 pnla 3, cu un pas de 0,01. Graficul se introduce cu ajutorul toolbar-ului Graph. Dac toolbar-ul


19/27


Graphnu este vizibil, din meniul principal se bifeaz View Toolbars Graph , conformfigurii 2.7. Apoi, din toolbar-ul Graphse selecteazXY Plot(@), conform figurii 2.8.

Fig. 2.7. Selecia blocului de reprezentri grafice Fig. 2.8. Blocul Graph

Pasul 4. Apare un sistem de coordonate bidimensional xOy. Pe axa Ox se introducevariabila x, iar pe axa Oy se introduce f(x), conform figurii 2.9.x 3 2.99 3

f x( ) 4x3

e2x

16

4 2 0 2 4200

0

200

400

600

f x( )

x Fig. 2.9. Reprezentarea grafic a unei funcii pe un interval specificat

Pasul 5. Pe grafic se pot schimba limitele intervalelor de afiare schimbnd valorile aflate lastnga i la dreapta lui x, respectiv jos i sus fa de y. Se schimb limitele de afiare la -3 i 3la x, respectiv -150 i 500 la y, conform figurii 2.10.

3 2 1 0 1 2 3150

175f x( )

x Fig. 2.10. Reprezentarea funciei pe o poriune de interval


20/27


Pasul 6.Fcnd dublu-click pe grafic se pot edita proprietile de afiare. Se poate schimbaculoarea de afiare, tipul liniei, indicatoarele de punct, sau separarea pe subdomenii, princaroiaj. Se seteaz afiarea grilei (caroiajului) pe ambele axe, cu o culoare gri, bifnd csuadin stnga lui Grid lines, pe ambele axe. Facnd click pe culoare, n dreapta Grid lines, sepoate edita culoarea linilor grilei (caroiajului), precum n figura 2.11.

De asemenea, bifnd opiunea Crossed, la meniul Axis Style se vor afia axele

sistemului de coordonate xOy.

Fig. 2.11. Fereastra de selecie a opiunilor grafice

Pasul 7.De asemenea, se poate schimba grosimea de afiare a funciei pe grafic, selectndbutonul Traces trace 1(cel rou) i schimbndLine Weightla 2 sau mai mult.

Fig. 2.12. Selecia grosimii liniei de reprezentare grafic

Ca urmare, graficul va arta conform figurii 2.13:

3 2 1 0 1 2 3

200

400

f x( )

x

Fig. 2.13. Funcia ataat ecuaiei de soluionat


21/27


Pasul 8.Se caut rdcina ecuaiei adic punctul n care graficul funciei intersecteaz axaOxcu ajutorul comenziiZoom. Din toolbar-ul Graphse selecteazZoom.Pasul 9.Se selecteaz aria care se dorete a fi mrit, iar apoi se apas tasta . Se repetoperaia pn cnd se obine o anumit precizie prestabilit. Valoarea lui xse citete directde pe axa Ox, sau se utilizeaz instrumentul Trace din toolbar-ul Graph. Se selecteazpunctul dorit de pe graficul funciei, acesta citind valorile xiycorespunztoare, n modul

prezentat n figurile 2.15. i 2.16.Pasul 10.Obinem astfel rdcina ecuaiei (2.10).

1.147 1.148 1.149

0.05

f x( )

x Fig. 2.14. Citirea grafic a soluiei

Fig. 2.15. Fereastra de mrire a zonei n care funcia intersecteaz axa Ox

Fig. 2.16. Fereastra de citire i nregistrare a coordonatelor unui punct de pe grafic

Pasul 11.Valoarea obinut este x=1,15.

2.4.2. Utilizarea funciilor built-in

2.4.2.1. Funcia Symoblics Solve

Exemplul 1:Ne propunem s identificm rdcinile pentru ecuaia (2.10) utiliznd funciaSolvedin programulMathCad.

Pasul 1.Introducem ecuaia nMathCad, utiliznd egalul boolean. (Ctrl =).

Pasul 2.Selectm variabila n funcie de care dorim rezolvarea (n cazul nostrux).

Pasul 3.Din meniul principal selectm SymbolicsVariableSolve, conform 2.1.

Pasul 4. Programul afieaz ca soluie un numr, dac aceast soluie este unic, sau unvector n cazul n care exist mai multe soluii. Soluia afiat n acest caz este: 1,1483871353944900578.


22/27


Exemplul 2: S se determine rdcinile pentru ecuaia 0234 xxxx utilizndfuncia Solvedin Mathcad.

Pasul 1.Se introduce ecuaia nMathCad, utiliznd egalul boolean. (Ctrl =).

Pasul 2.Se scrie funcia ataat ecuaiei, folosind operatorul de atribuire.

f x( ) x4

x3

x2

x

Pasul 3.Cu variabilaxselectat n ecuaie, se utilizeaz SymbolicsVariableSolve.Pasul 4.Soluiile apar sub forma unui vector:

x4

x3

x2

x 0 sau x4

x3

x2

x

i

i

1

0

2.4.2.2. Funciaroot

Exemplul 1: S se rezolve ecuaia (2.10) utiliznd funcia rootdin programulMathCad.

Pasul 1.Se introduce ecuaia i funcia ataat ecuaiei.

Pasul 2.Se impune o aproximaie iniial arbitrar a soluiei. Se aplic funcia rootconformcelor prezentate la punctul 2.3.2.

4x3

e2x

16 0

f x( ) 4x3

e2x

16

x 0

solutie root f x( ) x( )

solutie 1.148

Exemplul 2: Funcia rootpermite determinarea pas cu pas a tuturor soluiilor unei ecuaii

polinomiale.Fie ecuaia polinomial 02058372 2345 xxxxx . S se determine

rdcinile ecuaiei utiliznd funcia root.

Pasul 1. Se introduce ecuaia i funcia ataat. La introducerea indicelui formal 1 a lfunciei se folosete tasta .

2x5

7x4

3x3

8x2

5x 20 0

f1 x( ) 2x5

7x4

3x3

8x2

5x 20

Pasul 2.Se determin prima soluie n modul prezentat n Exemplul 1, pentru o aproximaieiniial arbitrar fixat a soluiei.

x 6

x1 root f1 x( ) x

x1 3.415


23/27


Pasul 3.Conform celor prezentate la punctul 2.3.2.se determin a doua soluie.

Pasul 4. Restul soluiilor se determin n mod analog. Dac se caut soluii complexeaproximaia iniial introdus va fi un numr complex (partea imaginar se va introduce subforma i1 )

2.4.2.3. Funcia polyrootsPentru ecuaii polinomiale se poate folosi i funcia polyroots, pentru determinarea

ntr-un singur pas a tuturor rdcinilor polinomului, conform celor prezentate la punctul2.3.3.

Exemplul 1: S se rezolve ecuaia polinomial 010627 234 xxxx utilizndfunciapolyroots.

Pasul 1.Se introduce ecuaia nMathcad.

010627 234 xxxx (2.11)Pasul 2.Se definete vectorul coeficienilor polinomiali. Vectorul se introduce cu ajutorultoolbar-uluiMatrix. Dac toolbar-ul Matrixnu este vizibil, din meniul principal se bifeazView Toolbars Matrix , conform figurii 2.17. Apoi, din toolbar-ul Matrix se selecteaz

prima icoan,Matrix or Vector(Ctrl M), conform figurii 2.18.

Fig. 2.17. Activarea toolbaruluiMatrix Fig. 2.18. Inserarea unei matrice


24/27


Pasul 3.Apare fereastraInsert Matrix.

Fig. 2.19. Definirea dimensiunilor matricei

Pasul 4.Se creeaz un vector cu 5 linii (Rows) i 1 coloan (Columns).Pasul 5.Se introduc coeficienii ncepnd cu gradul cel mai mic conform relaiei (2.11).

v

10

6

2

7

1

Pasul 6. Se determin soluile n modul prezentat mai jos. Rezultatul obinut este tot unvector, numit vectorul soluiilor.

v

10

6

2

7

1

sol polyroots v( ) sol

1.204

0.805 0.782i

0.805 0.782i

6.594

Observaie: Vectorul v se poate obine i n mod direct, selectnd din meniul principalSymbolicsPolinomial Coefficients. n acest caz, se introduce n fereastra de comand numai

polinomul conform relaiei (2.12), i selecteaz variabila x.

10x6x2x7x 234

(2.12)

2.5. Probleme propuse

2.5.1. S se rezolve ecuaiile de maijos utiliznd metoda grafic.

2.5.2. S se rezolve ecuaiile de mai josutiliznd funcia root.

a) 011653 34 xxx a) 04572 236 xxx

b) 05687 23 xxx b) 025567 567 xxx

c) 08342 xe x c) 0482 xxex

d) 0156 338 xe x d) 08342 xe x

e)

044

sin

xx e)

01512

2cos 2

xx

f) 07tan 2 xx f) 0833

sin

xx


25/27


g) 4)32sin(2 xx g) 094

sin

xex

h) 15sin2 xex h) 256sin 2 xxex 2.5.3.S se determine toate rdcinile polinoamelor folosind funcia polyroots.

a) 8465)( 34

xxxxP b) 11634)( 24

xxxxP c) 15876)( 24 xxxxP d) 9543)( 236 xxxxP

e) 24856)( 245 xxxxP f) 15379)( 23 xxxxP

g) 2876)( 35 xxxxP h) 25543)( 567 xxxxP

i) 18467)( 25 xxxxP j) 9254213)( 234 xxxxP

k) 1163112)( 24 xxxxP l) 15182716)( 25 xxxxP

m) 5132719)( 43 xxxxP n) 2418526)( 235 xxxxP

o) 415143)( 345 xxxxP p) 228174)( 35 xxxxP


26/27


Bibliografie

A1.Ancu M., Nistor L., Tehnici numerice de optimizare n proiectarea asistat de calculator, Ed.Tehnic, Bucureti, 1996.B1.Bobbio S., Esercizi di Circuiti, CUEN, Napoli, 1997.

B2. Bratcu A., Filipescu A., Metode numerice utilizate n analiza sistemelor, Ed. Matrix RomBucureti, 2004.B3.Burden R., Faires J. D., Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, 2001.C1.Ceclan A., Munteanu C., Micu D. D., Man L., Solving an electromagnetic field problem using

Mathematica and Mathcad softwares, Acta Electrotehnica, Mediamira, vol. 47, nr.1, 2006, pag. 55-60, ISSN 1841-3323.C2. Ceclan A., Micu D. D., Micu D., Simion E., On an object identification via electric potential

measurements, EPE06, A 4-a Conferinta Internationala de Inginerie Electrica si Energetica, Iasi,Romania, 12-14 Octombrie 2006, pp. 629635, ISSN 12238139.C3.Ceclan A., Micu D. D., Micu D., Simion E., Tikhonov Regularization for Electric Field Synthesis,NUMELEC'06, 5thEuropean Conference on Numerical Methods in Electromagnetism, Lille, France,November 29-30, and December 1, pp. 175-177, 2006.C4.Cira O., Lecii de MathCAD, (ediia a doua), Ed. Microinformatica, Cluj-Napoca, 2000.

C5.Ciupa R., opa V., The theory of Electric Circuits, Ed. Casa Crii de tiin, Cluj-Napoca, 1998.C6.Coman Gh., Analiz numeric, Ed. Libris, Cluj-Napoca, 1995.C7. Comincioli V., Analisi Numerica. Mettodi, modelli, applicazioni. Mc.Grow-Hill Book Co.Milano, 1998.C8.Corduneanu A., Ecuatii diferentiale, Ed. Facla, Timisoara, 1981.C9. Coma D., Darie S., Maier V., Chindri M., Proiectarea instalaiilor electrice industriale, Bucureti, 1983.D1. Dumitrescu B., .a, Metode de calcul numeric matriceal. Algoritmi fundamentali, Ed. All,

Bucureti, 1998.E1. Epperson F. James, An Introduction to Numerical Methods and Analysis, John Wiley & Sons,Inc., New-York, 2001.F1. Fireeanu V., Popa M., Modele numerice n studiul i concepia dispozitivelor electrotehnice,

Matrix Rom Bucureti, 2004.I1.Ioan Daniel, .a. Metode numerice n ingineria electric. Ed. Matrix Rom, Bucureti, 1998.I2. Ixaru L., Metode numerice pentru ecuaii difereniale cu aplicaii, Ed. Academiei RepubliciiSocialiste Romnia, Bucureti, 1979.

J1. Jalobeanu Cireica, Raa I., MathCad. Probleme de calcul numeric i statistic, Ed.Microinformatica, Cluj-Napoca, 1995.J2.Jurcu N., .a, Didactica disciplinelor tehnice, Ed. U.T.Pres, Cluj-Napoca, 2003.K1.Kyleni ., Metode numerice algoritme, programe Turbo Pascal. Aplicaii n energetic, (ediia a

doua), Ed. Orizonturi Universitare Timioara, 2001.L1.Leonte A., Vraciu G., Elemente de calcul matricial cu aplicatii, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1975.M1.Mndru Gh., Teoria circuitelor electrice, Ed. U.T.Pres, Cluj-Napoca, 2004.M2. Micu D., opa V., Bazele electrotehnicii. Probleme de circuite electrice, Lito IPCN, Cluj-

Napoca, 1987.M3. Micu D., Micu Adriana, Elemente de sinteza cmpului electromagnetic, (ediia a doua), Ed.Dacia, Cluj-Napoca, 2005.M4.Micu D. D., Cziker A., Aplicaii ale metodelor numerice n electrotehnic, Casa Crii de tiin,Cluj-Napoca, 2002.

M5.Micu D. D., Cre Laura, te Denisa, Culegere de probleme de electrotehnic, U.T.Pres, Cluj -

Napoca, Romnia, 2005.M6.Micu D. D., Metode numerice n studiul interferenelor electromagnetice. Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2004.M7.Micu D. D., Simion Emil, Ceclan A., Micu D., Cziker A., Cret Laura, Mathematical model forelectric potential distribution inside a capacitor, International Conference on Engineering of Modern

Electric Systems EMES, Oradea, may 2004, pg. 51-54, ISSN 1223-2106.


27/27

Metode numerice. Lucrri practice

a

135

M8.Micu D. D., Ceclan A., Simion E., Cret Laura, Numerical methods applied in electrotechnical

applications, International Conference on Engineering of Modern Electric Systems EMES Oradea,26-28 May 2005, pp. 43-47, ISSN 1223-2106.M9. Micu D. D., Ceclan A., Simion E., Analytical technical curve fitting. Method andimplementation, International Power Systems Conference, PSC Timisoara, 2005, pp. 345-349, ISBN1582-7194.M10.Micu D. D., Ceclan A., Ruba M., Simion E., Micu D., Cont I.,Numerical algorithm for electric

circuit solver, International Conference on Renewable Sources and Environmental Electro-Technologies RSEE, Oradea, 8-10 June 2006.M11.Micu D. D., Simion E., Micu D., Ceclan A., Cret Laura, Stet Denisa, Numerical algorithm forthe accurate evaluation of the induced voltages in a pipeline, 6th International Conference on

Computational Electromagnetics, Aachen, Germany, April 4-6, 2006, pp. 230-232, ISBN 978-3-8007-2957-9, ISBN (COMPEL) 3-8007-2957-1.M12.Micu D., Micu D. D., Simion E., Ceclan A., Numerical Techniques for Studying the Stability ofDevices Exposed to Perturbations, EMF06, 7th International Symposium on Electric and Magnetic

Fields, Aussois, France, June 19-22, 2006, Paper no. P-81.M13.Micu D. D., Ceclan A., Micu D., Simion E., Synthesis Method of an Inductive Sensor usingTikhonov Regularization Procedure, OIPE06, 9th International Conference on Optimisation andInverse Problems in Electromagnetism, Sorrento, Italy, Sep. 13-15, 2006, IJAEM International

Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, pp. 177-182, ISBN 88 7146 733-7.M14. Micu D. D.,A. Ceclan, Metode numerice. Aplicaii n ingineria electric, Ed. Mediamira, Cluj-

Napoca, ISBN 978-973-713-140-9, 2007.M15. Munteanu C., Metode numerice n analiza cmpului electromagnetic. Metoda elementelor de

frontier, Casa Crii de tiin, 1997.O1.Oprea R., Seminar de aplicaii numerice pentru calculator, Ed. MatrixRom, Bucureti, 2004.P1.Pvloiu I., Pop N., Interpolare i aplicaii, Ed. Risoprint, Cluj-Napoca, 2005.P2.Postolache M., Metode numerice, Ed. Sirius, Bucureti, 1994. R1.Rice J. R., Numerical methods-Software and Analysis, Mc.Grow-Hill Book Co. New York, 1982.R2.Rus I., Crciun I., Modelare matematic, Casa de Editur Transilvania Press, Cluj -Napoca, 2000.S1.Salvadori M., Baron M., Metode numerice in tehnica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1972.S2.Scheiber E., Lixndroiu D., MathCAD. Prezentare i probleme rezolvate, Ed. Tehnic, Bucureti,

1994.S3.Simion E., Maghiar T., Electrotehnic, EDP Bucureti, 1981.S4.Simion E., Ceclan A., Micu D. D., Cret Laura, Stet Denisa, Man L., Analytical curve fitting ofnonlinear characteristics and hysteresis, XIX International Conference on ElectromagneticPhenomena in Nonlinear Circuits, Maribour, Slovenia, June 28-30, 2006, pp. 131-132, ISBN 83-

921340-1-X.S5. Simionescu V., Dragna M., Metode numerice n tehnic - aplicaii n Fortran, Ed. TehnicBucureti, 1995.T1. Toader Silvia, Laborator de Calcul Numeric cu Mathcad, Ed. U.T.Pres, Cluj-Napoca, 2003.X1.*** Mathcad 14, User's Guide. Mathsoft, Cambridge, Massachusetts, 2009.X2.*** Interactive Schaum's outline. Mathsoft, New-York, 1998.X3.*** Mathcad 8, User's Guide. Mathsoft, Cambridge, Massachusetts, 1997.

Metode Numerice. Lucrari Practice

Documents

Transcript of Metode Numerice. Lucrari Practice