TEMA DE PROIECTARE

UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI

FACULTATEA DE INGINERIE A INSTALATIILOR

Proiect Instalatii de Incalzire

Prima parte : Instalatii de incalziri interioare

Student: Ghi Petric An III Seral Grupa 1

Borderou de piese scrise i desenate

Piese scrise :

Tema proiectului n original

Memoriu justificativ

Breviar

Piese desenate :

Instalaia de nclzire : Plan subsol

Sc. 1:50

Is01

Instalaia de nclzire : Plan Etaj Parter Sc. 1:50

Is02

Instalaia de nclzire : Plan Etaj curentSc. 1:50

Is03

Instalaia de nclzire : Schema coloanelor Sc. %

Is04

Memoriu tehnic de instalatii termice

1.Definirea proiectului

1.1 Prescriptii generale

Denumirea documentatiei: IMOBIL DE LOCUINTE COLECTIVE S+P+6 Amplasament: TIMISOARA Proiectant de specialitate instalatii: Ghi Petric Faza de proiectare: PTH

Regim de inaltime: S+P+61.2 Generalitati

Prezenta documentatie descrie instalatiile termice pentru o cladire cu destinatia apartamente de locuit.

2.Descrierea solutiilor

Proiectul cuprinde dimensionarea elementelor interioare de nclzire pentru un imobil cu S+P+6 nivele situat n centrul oraului Timisoara aflat n stadiu de proiect. Datorit acestui fapt n cadrul proiectului s-a urmrit determinarea rezistenelor minime necesare pentru elementele ineriale, determinarea pierderilor de cldur , dimensionarea elementelor de nclzire precum i a reelelor de distribuie a agentului termic primar ctre aceste elemente. Acest ora se afl n zona climatic 2 cu temperatura exterioar te= -15 C i n zona eolian 4.

n cadrul stabilirii rezistenelor termice minime s-a urmrit ca rezistena minim necesar pentru acest imobil s fie cel puin egal cu maximul rezistenelor minime pentru asigurarea urmtoarelor condiii : de condensare, mpotriva radiaiei reci precum i cea economic. n urma acestui calcul s-a ajuns la concluzia c este necesar alegerea unui izolator termic pentru asigurarea rezistenei minime.

Determinarea pierderilor de cldur spre mediul exterior s-a fcut prin metoda STAS 1907 pentru fiecare ncpere de la parter la ultimul etaj. Casa scrii s-a considerat a fi o singur ncpere.

Numrul de elemente de nclzire pentru fiecare ncpere n parte s-a realizat n scopul acoperirii pierderilor de cldur. Tipul de radiatoare utilizate sunt cele din otel. Amplasarea acestora s-a fcut sub elementele vitrate (ferestre spre exterior) pentru nclzirea aerului ptruns prin infiltraii.

Distribuia agentului termic primar este centralizat, motiv pentru care distribuia agentului termic pe coloan este asigurat de coloanele de distribuie. Reeaua de distribuie a agentului termic primar ctre coloane este inferioar datorit existenei unui subsol circulabil.

BREVIAR

1. DATE DE PROIECT

NR. 6

z = 0

u = 62. Amplasamentul cladirii:

Localitatea: TimisoaraZona climatica: IIZona eoliana: 4

Altitudinea terenului: 91 m

Orientare: Est3. Descrierea cladiriiCaracteristicile geometrice ale cladirii: S+P+6Caracteristicile elementelor de constructie

4. Rezistena minim necesar a elementelor de construcii

Izolarea termic a elementelor de construcie trebuie s conduc la respectarea a trei condiii:

- s se evite apariia condensului la faa interioar a elementului de constructive ( RI );

- s se evite efectul radiaiei reci provenit de la elementul de anvelop termic al cladirii( RII );

- s fie indeplinite valorile minime indicate de normativul C107/97 ( RIII ). In general conditia a treia este cea mai restrictiva iar indeplinirea ei face ca si primele doua sa fie automat indeplinite

Rnec = max (RI; RII; RIII )

Rezistena termic a elementelor de construcii neomogene se calculeaz cu formula:

unde :

rezistena la transfer termic superficial la nivelul suprafeei interioare;

rezistena la permeabilitate termic a stratului omogen de grosime i conductivitate , fiind un coeficient de calitate ce ine cont de tehnologia de fabricaie a elementelor de construcie a.

rezistena la transfer termic superficial la nivelul suprafeei exterioare ;

Rezistena minim necesar rezult n mod efectiv Aceast rezisten trebuie s fie cel puin egal cu rezistena maxim rezultat din condiia urmtoare :

n care :

rezistena minim din condiia de condensare ;

rezistena minim de asigurare a confortului (la radiaie rece) ;

condiia economic (costuri minime de investiie) ;

Condiia de evitare a condensrii

n care termenii implicai reprezint :

rezistena minim din condiia de condensare;

rezistena la transfer termic superficial la nivelul suprafeei interioare;

temperatura interioar n ncperea cea mai cald;

temperatura exterioar convenional de calcul;

temperatura punctului de rou determinat n funcie de temperatura i umiditatea relativ a aerului interior;

coeficient de poziie :

-la elementele exterioare;

-la elementele interioare;

Condiia de confort

unde :

rezistena termic necesar din condiia de confort;

diferena maxim de temperatur pentru evitarea fenomenului de radiaie rece ; Condiia economic

Zona climatic

I1.6

II1.7

III1.8

IV2

Din considerente de optimizarea costurilor economice rezistena se situeaz n punctul de minim al ecuaiei

Determinarea grosimii stratului de izolaie termic

n cazul n care pentru un element de nchidere dat nu se respect relaia de verificare , se impun msuri privind mrirea rezistenei termice a elementului, fie prin mrirea grosimii unuia dintre straturile componente fie prin adugarea uni alt strat de izolaie termic.

Pentru un strat de termoizolaie a crui grosime este necunoscut, aceasta se poate determina cu formula :

astfel : ;

unde grosimea stratului de izolaie se moduleaz la un numr ntreg de grosimi STAS.

Calculul grosimii stratului de izolaie termicPerete exterior

Rnec max=(0.727, 0.527, 1.8)

Riz = Rnec-R = 1.8 0.727 = 1.0723

EMBED Equation.3

Terasa

Rnec max=(0.527, 1.458, 5)

Riz = Rnec-R = 5 0.531 = 4.469

EMBED Equation.3

Pardoseala rece peste sol

Riz = Rnec-R = 2.9 0.3089 = 2.591

EMBED Equation.3

Pardoseala calda peste sol

Rnec max=(0.527, 1.094, 2.9))

Riz = Rnec-R = 2.9 0.3882 = 2.512

EMBED Equation.3

ELEMENTE DE CONSTRUCTIIRf

Pereti exteriori (PE)1.865

Terasa (T)5.07

Pardoseala rece 3.036

Pardoseala calda3.115

Ferestre (TE)0.77

2. Verificarea coeficientului global de izolare termica a cladirii (G)

Metoda de calcul stabilita prin normativul C107/1/1997

Coeficientul G reprezinta suma pierderilor de caldura realizate prin transmisie directa prin aria anvelopei cladirii pentru o diferenta de temperatura intre interior si exterior de 1K, raportata la volumul cladirii, la care se adauga pierderile de caldura prin infiltratii si ventilare.

G GN

G-coeficientul global de izolare termica al unei cladiri (Wm-3K-1)

GN-coeficientul global normat de izolare termica al unei cladiri (Wm-3K-1)

A aria anvelopei cladiri (m2) se va face suma tututor suprafetelor (pereti, terasa, planseu)

factor de corectie al temperaturii exterioare

V volumul incalzit al cladirii (m3)

mao numarul de schimburi pe ora (h-1)

j indicele elementului de constructie

Rf rezistenta termica finala care a fost calculata

Factor de corectie al temperaturii exterioare ()

i temperatura interioara normata

e temperatura exterioara normata

p temperatura la partea exterioara a anvelopei

Factor de corectie al temperaturii exterioare pentru terasa

Factor de corectie al temperaturii exterioare pentru pereti exteriori

Factor de corectie al temperaturii exterioare pentru ferestre

Factor de corectie al temperaturii exterioare pentru pardoseala

CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE CLADIRIISuprafata subsol:

500m2

Suprafata etaj curent

500 m2Suprafata ultimul etaj

500 m2Suprafata terasa

500m2Suprafata pereti exteriori

1350m2Suprafata ferestre

453m2Suprafata pardoseala rece

140m2Suprafata pardoseala calda

360m2Inaltime curenta

3.00m

Volumul cladirii

10500m3Perimetrul etaj curent

100mElementARf

T5005,07198,61

PE13501.8651723.87

TE4500,771584.41

PDC3603,1150.285733.02

PDR1403,0360.285713.17

28002248

Din tabelul 2.4.1. alegem:

Categoria cladirii: Cladire cumai multe apartamente cu dubla expunere

Clasa de adapostire: Moderat adapostita

Clasa depermeabilitate: Medie

nao = 0.6 h-1

- din tabelul 2.4.2. interpolam si alegem GN=0.484 [W/m3K]

G < GN 0.3424 < 0.484Calculul necesarului de cldur

Instalaiile din cldiri trebuie s asigure n perioada rece a anului necesarul de cldur pentru nclzire, ventilare i preparat ap cald de consum.

Necesarul de cldur pentru nclzire

Metoda de calcul este reglementat prin STAS 1907/1-80 potrivit creia necesarul de cldur pentru nclzire se determin cu relaia:

unde termenii implicai sunt :

pierderile de cldur prin elementele de construcie ;

necesarul de cldur pentru nclzirea aerului rece infiltrat din exterior

Ao - adaosurilor de compensarea pentru orientare;

Ac - adaosurilor de compensarea pentru efectul suprafeelor reci;

Pierderile de cldur prin transmisie

Aceste pierderi au loc att prin elementele de construcie n contact cu aerul pe ambele fee ct i prin elementele de construcie n contact cu pmntul .

;

Pierderile de cldur prin elementele de cldur n contact cu aerul pe ambele fee

n care :

coeficient de masivitate termic ;

suprafaa elementului de construcie ;

diferena ntre temperatura aerului interior i a aerului din camerele nvecinate sau a aerului exterior

rezistena termic total la transferul de cldur a elementului de construcie

Coeficientul de masivitate este dependent de indicele de inerie termic al elementului de construcie, putndu-se calcula cu relaia :

;

Pentru elementele de construcie fr inerie termic (ui, ferestre), coeficientul de masivitate are valoarea cea mai mare iar pentru elemente de construcie interioare (planee, perei interiori), acesta capt valoarea . n ceea ce privete valoarea efectiv a coeficientului aceasta se poate calcula cu relaia :

unde:

rezistena termic a elementului de construcie;

coeficient de asimilare termic;

Temperatura aerului interior este stabilit n STAS pentru ncperile mai des ntlnite.

Temperatura aerului exterior convenional de calcul pentru principalele localiti este dat n funcie de zona climatic pentru fiecare localitate.

Adaosurile la pierderile de cldur

La pierderile de cldur prin transmisie, calculate pentru fiecare ncpere n parte , se adaug adaosuri procentuale pentru orientare i compensarea efectului suprafeelor reci .

Adaosul pentru orientare

Acest adaos se aplic n scopul diferenierii pierderilor de cldur ale ncperilor diferit expuse radiaiei solare, o singur dat pentru peretele cu orientarea cea mai defavorabil.

OrientareaNNEESESSVVNV

[%]+5+50-5-5-50+5

Adaosul pentru compensarea efectelor suprafeelor reci

Acest adaos se aplic pentru mbuntirea confortului termic n ncperile construciilor civile. Valorile acestui adaos se aleg din nomogram n funcie de rezistena total medie a ncperii.

unde :

suprafaa total a ncperii (perei interiori, exteriori, planeu, pardoseal)

temperatura exterioar convenional de calcul;

pierderile de cldur prin transmisie ale ncperii;

Excepii:

Adaosul de compensare nu se acord urmtoarelor ncperi :

-n care oamenii poart mbrcminte de strad;

-ncperilor nclzite prin radiaie;

-ncperilor n care oamenii desfoar o munc medie sau grea;

Adaosul de compensare se poate calcula cu relaia:

sau se poate folosii diagrama nr 3.1.3

Necesarul de cldur pentru nclzirea aerului rece ptruns n ncpere

Debitul de cldur necesar pentru nclzirea aerului exterior ptruns n ncpere rezult din nsumarea necesarului de cldur pentru nclzirea aerului nfiltrat prin neetaneitile ferestrelor i uilor i debitul de cldur necesar nclzirii aerului ptruns prin deschiderea uilor.

Debitul de cldur pentru nclzirea aerului rece infiltrat prin rosturile elementelor mobile se determin cu relaia:

n care:

factor de corecie depinde de numrul de nivele ale cldirii, tipul cldirii; pentru cldiri civile cu mai puin de 12 nivele

lungimea rosturilor elementelor deschizibile exterioare.2a+3bCazuri:

n cazul n care elementele deschizibile se afl pe acelai perete lungimea este egal cu suma lungimilor rosturilor de pe acelai perete.

Dac acestea se afl pe doi perei alturai atunci lungimea este egal cu suma lungimilor rosturilor.

Dac se afl pe trei perei exteriori atunci se ia n calcul maximul dintre suma lungimilor a dou rosturi aflate pe perei alturai.

Altfel dac se afl pe doi perei opui lungimea este egal cu maximul dintre suma lungimilor rosturilor de pe un perete.

coeficient de infiltraie depinznd de tipul cldirii precum i de materialul din care sunt confecionate uile

viteza vntului de calcul se alege n funcie de zona eolian

Zona eolianAmplasamentul cldirii

n localitaten afara localitii

vv

I8.010.0

II5.07.0

III4.56.0

IV4.04.0

Debitul de cldur pentru nclzirea aerului rece ptruns n ncpere se determin cu relaia:

nao= nr de schimburi orare [m3/s/m3]

nao= 0.00022 pt. dormitoare, living, sufragerii

nao= 0.00028 pt. bai

nao= 0.00032 pt. bucatarii

V= Volumul de aer din incapere

=Densitatea = 1,23

Cp=1006Calculul necesarului de caldura prin metoda indicilor volumici

Cu ajutorul fluxurilor de cldur calculate prin metoda exact i a volumelor ncperilor de referin se obine un indice volumic pentru fiecare tip de ncpere situate la parter, etaj curent i ultimul nivel.

qv = necME / Vref [ W/m3 ]

Cu aceti indici volumici se calculeaz fluxurile necesare pentru ncperile care au alt volum dect ncperile de referin situate la parter, etaj curent i ultimul nivel.

ind = qv * Vincapere [ W ]

Exemplu de calcul

DORMITOR CU UN PERETE EXTERIOR

a). Parter = 914,25 W pt 37,5 m3

b). Etaj curent = 871,13 W pt 37,5 m3

c). Ultimul etaj = 964,5 W pt 37,5 m3

LIVING CU DOI PERETI EXTERIORI

a). Parter = 1049 W pt 42,9 m3

b). Etaj curent = 997,4 W pt 42,9 m3

c). Ultimul etaj = 1108 W pt 42,9 m3

BUCATARIE CU UN PERETE EXTERIOR

a). Parter = 717,5 W pt 22,5 m3

b). Etaj curent = 698 W pt 22,5 m3

c). Ultimul etaj = 750 W pt 22,5 m3

BAIE FARA PERETI EXTERIORI

a). Parter = 366 W pt 15 m3

b). Etaj curent = 191,55W pt 15 m3

c). Ultimul etaj = 384 W pt 15 m3

Corpuri de nclzire

Amplasarea corpurilor de nclzire

La amplasarea corpurilor de nclzire se va urmri ca:

funcionarea lor cu eficien maxim

corelarea lor cu elementele de construcie

montarea la parapetul ferestrelor paralel cu pereii finisai

ca la casa scrii montarea elemenilor s de fac la parter

evitarea montrii elemenilor n nie din perei exteriori

mascarea corpurilor de nclzire n cazul folosirii agenilor termici cu parametri ridicai

evitarea montrii elemenilor de nclzire sub distanele minime

Racordarea corpurilor de nclzire

La racordarea corpurilor de nclzire la coloane i la racordarea consumatorilor la coloane se va urmri ca:

circulaia agentului termic primar s se realizeze de sus n jos

legturile corpului de nclzire la coloan s se fac de aceeai parte a radiatorului dar numai n cazul n care nu este necesar legarea pe pri opuse

lungimea legturilor curbate s fie astfel aleas nct s se respecte distantele minime pn la coloan

Calculul de dimensionare al corpurilor de nclzireMrimea i numrul corpurilor de nclzire montate ntr-o ncpere se determin prin calcul astfel nct cedarea de cldur a acestora s egaleze pierderile de cldur calculate n condiii normale.

Suprafaa de nclzire ce trebuie amplasat ntr-o ncpere se obine din relaia de transfer termic n regim staionar astfel:

Diferena medie de temperatur reprezint diferenele ntre temperaturile agentului termic, ca agent primar i temperatura aerului din ncpere considerat constant :

n cazul n care agentul primar are sub 115C diferenele de temperatur devin:

Coeficientul global de transfer termic este o mrime specific, pentru fiecare corp de nclzire n parte determinndu-se experimental.

Dimensionarea convectoradiatoarelor tip panou

Alegerea unui CRP se face n funcie de numrul de elemente determinate dup o relaie analoag celei de la dimensionarea radiatoarelor din font:

n care toate elementele sunt cele cunoscute cu urmtoarele precizri:

la CRP simplu utiliznd ap cald :

la CRP dublu utiliznd ap cald :

coeficientul la racordarea sus-jos i la racordarea jos-susCalculul hidraulic al conductelor

Generaliti

Calculul hidraulic al reelelor instalaiilor de nclzire are scopul de a stabili diametrele conductelor de alimentare cu cldur ale corpurilor de nclzire.

Pierderile de sarcin n conducte se compun din pierderi de sarcin liniare , distribuite n lungul traseului i pierderi de sarcin locale , produse n zonele cu neuniformitate.

Pierderile de sarcin :

Pierderea de sarcin total n cazul unei reele format din mai multe tronsoane este:

Relaia de determinare a diametrului unui tronson de conduct este de forma:

n calculele practice pot interveni dou cazuri :

1. Cunoscut fiind reeaua de conducte a instalaiei cu caracteristicile fiecrui tronson (lungime , diametru i debit ) i traseul cu rezistenele locale se poate determina pierderea de sarcin .

2. Cunoscut fiind traseul reelei de conducte i caracteristicile fiecrui tronson (lungime i debit ) i n unele cazuri presiunea disponibil se cere determinarea diametrelor conductelor ce alctuiesc tronsoanele, o problem mai dificil deoarece coeficientul lui Darcy depinde att de diametru ct i de viteza fluidului.

Calculul efectiv

Se realizeaz n dou etape :

a) Calculul preliminar n care se stabilesc diametrele preliminare ale conductelor presupunnd cunoscute fie presiunea disponibil fie viteza a fluidului

b) Calculul de verificare n care se verific pentru diametrele alese dac pierderile de sarcin la debitele nominale sunt sub presiunea disponibil n nodul de verificare

Astfel n calculul preliminar pot exista dou cazuri:

n cazul cunoaterii presiunii disponibile diametrele preliminare se stabilesc n funcie de debitele de fluid i de pierderea de sarcin unitar . Pierderea de sarcin unitar se determin din relaia care exprim legtura ntre pierderile de sarcin totale ale circuitului considerat i presiunea disponibil cunoscut a aceluiai circuit :

unde se aproximeaz c pierderile de sarcin n rezistenele locale se consum , rezultnd pentru nvingerea rezistenelor locale de unde se obine:

i n care valorile coeficientului s-au stabilit pe baze statistice pentru instalaiile de nclzire interioare .

n cazul necunoaterii presiunii disponibile diametrele preliminare ale conductelor se stabilesc n funcie de debitele de fluid i de vitezele ale fluidului n tronsoanele de conducte unde vitezele se consider n general cresctoare de la consumatori spre surs.

n ceea ce privete calculul de verificare se urmrete ca :

Calculul efectiv de stabilire a diametrelor se face pe baza ecuaiei fundamentale a pierderilor de sarcin n care s-au notat : , n care obinndu-se :

o formul greoi de aplicat n calcule practice dar care se poate desface n dou pri:

- pierderea de sarcin liniar;

- pierderea de sarcin local;

pentru care s-au ntocmit tabele de valori.

Dimensionarea conductelor la instalaii bitubulare prin pompare

Dimensionarea reelelor de conducte se face dup caz :

a) Se cunoate presiunea disponibil caz n care se va urmri consumarea acestei presiuni asigurndu-se o echilibrare hidraulic ct mai bun fr introducerea unor organe de reglare suplimentare

b) Nu se cunoate presiunea disponibil urmrindu-se realizarea unei pierderi de sarcin rezultat dintr-un calcul termic i economic. Diametrele se vor alege n funcie de debitele de cldur i de vitezele de circulaie ale apei.

Dimensionarea coloanelor

Se determin presiunea disponibil n raport cu corpul de nclzire cel mai dezavantajat :

Se stabilesc diametrele preliminare n funcie de pierderea de sarcin liniar medie:

precum i debitele de cldur pe fiecare tronson.

Se calculeaz pierderea de sarcin pe circuitul corpului de nclzire cel mai dezavantajat.

Se determin diametrele racordurilor la coloan :

Dimensionarea reelelor de distribuie arborescente

Se stabilesc debitele de cldur pe fiecare tronson n parte, innd cont de sensul de circulaie al apei n reea prin nsumarea debitelor de cldur de pe toate tronsoanele din aval de tronsonul respectiv.

Se stabilete circuitul cel mai dezavantajat ca fiind cel mai deprtat de punctul de racord la reea i cel mai ncrcat termic.

Se aleg diametrele preliminare n funcie de debitele de cldur i de vitezele cresctoare de la baza coloanei spre punctul de racord R.

Se calculeaz pierderile de sarcin liniar unitar i pierderile locale .

Se continu calculul cu dimensionarea racordurilor pn la obinerea pe oricare dou trasee n paralel a unei pierderi totale de sarcin ct mai egale n limita unei erori admise .1.1. Dimensionare reea din apartament Se va face dimensionarea pentru apartamentul nr.1 ( MTH1 ), cel care este cel mai ncrcat ca i sarcin termic.

Ca i material pentru conductele ce vor vor pleca din distribuitoare-colectoare i vor face legtura cu elementele de nclzire se va folosi Cu 15x1 preizolat.

= m*cp* t ; m = / cp* t [ kg/s ]; m = (/ cp* t)*3600 [ kg/h ]; cp = 4186J/kgK ; t = 20K ; = 7705W

m = / cp* t = (7705/4186*20)*3600 m = 331.32 kg/h

Din tabelul 4.2.7. (M.I. Instalaii de nclzire) se iau valorile pentru R,v:

R = 469.26 Pa/m ; v = 0.713 m/s (R*l + z) = (R*l + R*lech) = R(l + lech)

Din tabelul 4.2.8. (M.I. Instalaii de nclzire) se ia valoarea pentru lungimea echivalent lech a rezistenei locale unitare pentru conducta de cupru: lech = 0.54 m

Se vor calcula pierderile de sarcin pentru cel mai apropiat radiator, respectiv cel mai ncrcat. 1 = 7*2*0.7= 9.8(pentru cel mai apropiat radiator)

2 = 6*2*0.7= 8.4(pentru cel mai ncrcat radiator)

(R*l + z)1 = 469.26*(13*2+0.54*9.8) = 14684.09 Pa

(R*l + z)2 = 469.26*(19*2+0.54*8.4) = 19960.44 Pa

Hpompa = (Rl + z)MTH + HD-C +HRD+Hradiator

MTH = 3*RS+1*RECH+1*CS+1*ID+1*ED+2*RS=3*0.5+ 1+2.5+0.5+1+2*0.5=7.5 Hpompa = 7.5*0.7132/2*9.81*104 + 19960.44 + 4*0.7132/2*9.81*104 Hpompa = 22883.56 Pa = 2.3mCA2. Echilibrarea hidraulic

Egalizarea pierderilor de sarcin aferente circuitelor care converg ctre un nod se obine introducnd pe circuitul secundar o pierdere suplimentar de sarcina zR .

Echilibrarea tronsonului MTH 6.1 cu circuitul secundar MTH P.1:ZP.1 = (Rl + z)J-6.1-J 0.5**g* h

=(1048+555+433+480+470+488) 0.5 x (983.2-971.8) x 9.81 x 21

=2300 Pa

Echilibrarea tronsonului MTH 6.1 cu circuitul secundar MTH 2.1:ZP.1 = (Rl + z)E-6.1-E 0.5**g* h

=(1048+555+433+480) 0.5 x (983.2-971.8) x 9.81 x 12

=1845 Pa

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

i

s

_1423475279.unknown

_1425649630.unknown

_1425653176.unknown

_1450584121.unknown

_1450585011.unknown

_1450585289.unknown

_1450585450.unknown

_1450585583.unknown

_1450585689.unknown

_1450585523.unknown

_1450585377.unknown

_1450585130.unknown

_1450584552.unknown

_1450584901.unknown

_1450584969.unknown

_1450584536.unknown

_1425653723.unknown

_1425654411.unknown

_1425654450.unknown

_1425653737.unknown

_1425653332.unknown

_1425653671.unknown

_1425653703.unknown

_1425653354.unknown

_1425653266.unknown

_1425653187.unknown

_1425651431.unknown

_1425652022.unknown

_1425652145.unknown

_1425653162.unknown

_1425652126.unknown

_1425651873.unknown

_1425651978.unknown

_1425651535.unknown

_1425650298.unknown

_1425651309.unknown

_1425651397.unknown

_1425650486.unknown

_1425650131.unknown

_1425650189.unknown

_1425649652.unknown

_1423996802.unknown

_1424453096.unknown

_1425125524.unknown

_1425125565.unknown

_1425649610.unknown

_1425125574.unknown

_1425125541.unknown

_1424858106.unknown

_1425124288.unknown

_1425124339.unknown

_1425124356.unknown

_1425124217.unknown

_1424857835.unknown

_1424430978.unknown

_1424453037.unknown

_1423996760.unknown

_1423996790.unknown

_1423995951.unknown

_1007973426.unknown

_1008003105.unknown

_1423395529.unknown

_1423398304.unknown

_1423465485.unknown

_1423396726.unknown

_1423398073.unknown

_1009397954.unknown

_1009398032.unknown

_1423395145.unknown

_1009398022.unknown

_1009397907.unknown

_1007974186.unknown

_1007975307.unknown

_1007975746.unknown

_1007976316.unknown

_1007976454.unknown

_1007975650.unknown

_1007975185.unknown

_1007974979.unknown

_1007975141.unknown

_1007974155.unknown

_1007974170.unknown

_1007973458.unknown

_1007971713.unknown

_1007972167.unknown

_1007972342.unknown

_1007973370.unknown

_1007972244.unknown

_1007972019.unknown

_1007972085.unknown

_1007971971.unknown

_1007971436.unknown

_1007971677.unknown

_1007971686.unknown

_1007971561.unknown

_1007971070.unknown

_1007971378.unknown

_1007971002.unknown