Partea I

Se considera un esantion de volum n=20 piese si se cere:

-Sa se verifice daca datele contin valori aberante si in caz afirmativ sa se elimine din sirul de

masuratori.

-Sa se verifice daca datele daca datele au un character aleator.

-Sa se traseze histograma si poligonul frecventei absolute simple sis a se verifice daca datele

respective respecta distributia normal a lui Gauss Laplace.

N=31

Abaterea superioara =+0.06

Abatera inferioara=-0.08

Valori

Nr.crt Valori aleatorii Valori ordonate

1 30,999 30,947

2 30,975 30,954

3 30,965 30,965

4 30,980 30,975

5 30,947 30,975

6 30,995 30,979

7 31,005 30,980

8 30,954 30,980

9 31,000 30,982

10 31,016 30,985

11 30,980 30,995

12 30,979 30,995

13 31,024 30,999

14 30,985 31,000

15 30,982 31,002

16 31,002 31,005

17 31,032 31,007

18 31,007 31,016

19 30,975 31,024

20 30,995 31,032

Testul Irwin

Eliminarea valorilor aberante, n cazul n care se cunoate abaterea standard , se poate face i cu

ajutorul testului Irwin. Aplicarea acestui test se face calculnd raportul:

1

nncnxx

(1.4)

pentru valoarea maxim xn i raportul:

121xx

c

(1.5)

pentru valoarea minim 1x ;

Testul Irwin - Calculul valorilor Aberante

120

nncxx

=0,133333333

121xx

c

=0,0875

Se comparavalorile pentru c20si c1cu 1,27 (din tabel)

Daca c20

-Verificarea caracterului aleator prin metoda diferentelor

successive

Calculul Calculul s

X XX i 2

XX i 2

1

n

i

ii XX 2

1

2

1

1

n

i

i XXn

s

30,989835

-0,009165 0,000084

0,009099

0,000478892

0,0218836

-0,014835 0,000220

-0,024835 0,000617

-0,009835 0,000097

-0,042835 0,001835

0,005165 0,000027

0,015165 0,000230

-0,035835 0,001284

0,010165 0,000103

0,025865 0,000669

-0,009835 0,000097

-0,010835 0,000117

0,034165 0,001167

-0,004835 0,000023

-0,007835 0,000061

0,012165 0,000148

0,042165 0,001778

0,017165 0,000295

-0,014835 0,000220

0,005165 0,000027

Calculul 2

ii XX 1 2

1 ii XX 21

1

1

n

i

ii XX

21

1

1

2

1

1

n

i

ii XXn

-0,024 0,0005760

0,01753698

0,000922999

-0,01 0,0001000

0,015 0,0002250

-0,033 0,0010890

0,048 0,0023040

0,01 0,0001000

-0,051 0,0026010

0,046 0,0021160

0,0157 0,0002465

-0,0357 0,0012745

-0,001 0,0000010

0,045 0,0020250

-0,039 0,0015210

-0,003 0,0000090

0,02 0,0004000

0,03 0,0009000

-0,025 0,0006250

-0,032 0,0010240

0,02 0,0004000

Se determin raportul:

2

2

sMC

= 1,927364001

VLI=1.3

VLS=2.7

-Se compara Mc cu VLIsi VLS din anexa 8

-Daca VLI

Testul pentru verificarea normalitatii unei distributii,

Testul 2

-Se ordoneaz valorile dimensiunilor

Valori date Valori distincte frecventa absoluta de aparitie

a numarului

30,980 30,980 2

30,969 30,969 0

30,999 30,999 1

30,958 30,958 0

30,975 30,975 2

31,002 31,002 1

30,965 30,965 1

31,007 31,007 1

31,005 31,005 1

30,947 30,947 1

30,995 30,995 2

30,985 30,985 1

31,000 31,000 1

30,954 30,954 1

31,024 31,024 1

30,995 31,032 1

31,032 30,962 0

30,965

0

30,975

30,962

-Se determin numrul de clase k cu relaia:

65,32202164lg322,31 nk

-Se adopt 6k clase (intervale)

-Amplitudinea irului de date este:

0,0850minmax xxw

-Se determin amplitudinea unei clase:

0,0141667k

wxxx i

-Prin gruparea datelor se obine deci urmtorul tabel cuprinznd i frecvenele absolute simple

ale celor 6 clase:

De la

Pana la

Valoarea

central,xci

Frecvena

absolut simpl,

ni

30,947 30,961167 30,95408333 2

30,96116667 30,975333 30,96825 3

30,97533333 30,9895 30,98241667 5

30,9895 31,003667 30,99658333 5

31,00366667 31,017833 31,01075 3

31,01783333 31,032 31,02491667 2

Total 20

-Se determin media aritmetic a datelor:

9895.3020

11 6

11

i

iic

k

i

iicnxnx

nx

-Se determin abaterea medie ptratic corectat a valorilor dimensiunilor din eantion:

Media ptratic:

3495217.96036

11 6

1

2

1

22 i

ici

k

i

icip nxnxn

x

= 960,3491103

Dispersia corectat:

70,00043307)(1

222

xxn

ns p

Abaterea medie ptratic corectat:

2ss 0,020810514

-Se determin valorile variabilelor normale normate pentru limitele claselor distribuiei

experimentale precum i valorile funciei de repartiie teoretice normale normate pentru aceste

limite:

37-2,042236900

s

xxz 0,0197

2

10)37-2,0422369()0( ZZ FF

92-1,361491211

s

xxz 0,352

2

11)92-1,3614912()1( ZZ FF

46-0,680745622

s

xxz 0,242

2

12)46-0,6807456()2( ZZ FF

033

s

xxz 5.0

2

130)3( ZZ FF

60,6807456444

s

xxz 0,758

2

14)60,68074564()4( ZZ FF

21,3614912955

s

xxz 0,9162

2

15)21,36149129()5( ZZ FF

72,0422369366

s

xxz 0,9803

2

16)72,04223693()6( ZZ FF

-Se determin valorile frecvenelor relative teoretice (densitile de probabilitate) pentru

valorile variabilelor normale normate calculate anterior (pentru fiecare clas n parte):

0,3323011 FFf ; -0,11122 FFf

0,258233 FFf ; 0,258344 FFf ;

0,1582455 FFf 0,0641566 FFf ;

Se calculeaz statistica:

70,21244550

1

2

2

k

i i

iiC

fn

fnn

Numrul gradelor de libertate ale distribuiei este:

3126 lpk

n care:

k=6, numrul de intervale (clase) n care au fost grupate datele;

p=2, numrul de parametri calculai pentru determinarea valorii 2C ; s-au determinat doi

parametri: media aritmetic x i abaterea medie ptratic s .

l=1, numrul de relaii independente dintre frecvenele claselor;

nnk

i

i 1

; sau: 11

k

i

if .

Valoarea limit a funciei 81,72 05,0;32

; .

-Deoarece valoarea calculat 81,770,21244550 2 05,0;32

;

2 C , se afirma cu

P=95%ca seria studiata are o distributie normala

Partea II

Din esantionul aleator initial de volum n=20 se farmeaza patru esantoane a cate 5 pese

N1=N2=N3=N4=5

-Se cere sa se verifice omogenitatea mediilor cello patru esantioane ,se va verifica cu

testul Cochran, Hartiey omogenitatea dispersiilor. Media aritmetica testul Abbe.

Esantionul

aleator N1 N2 N3 N4

30,999 30,999 30,995 30,980 31,002

30,975 30,975 31,005 30,979 31,032

30,965 30,965 30,954 31,024 31,007

30,980 30,980 31,000 30,985 30,975

30,947 30,947 31,016 30,982 30,995

30,995 Media pieselor

31,005 30,9732 30,994 30,99 31,0022

30,954 959,3391 960,628 960,3801 961,1364

31,000 Patratele mediilor patratice

31,016

30,980 960,938 960,69 959,7604 961,124

30,979 959,4506 961,31 959,6984 962,98502

31,024 958,8312 958,1501 962,4886 961,43405

30,985 959,7604 961 960,0702 959,45063

30,982 957,7168 961,9923 959,8843 960,69003

31,002

31,032 959,3394 960,6285 960,3804 961,13675

31,007 22

1

1ipii XX

ns

30,975 21s

2

2s 2

3s 2

4s 30,995

0,000392 0,000598 0,000391 0,000454

Testul Cochran

Se observ c 0,0005982maxs i deci valoarea calculat a statisticii este:

0,325891........ 222

2

1

2

m ax

k

Csss

sC

Valoarea tabelat a statisticii este:

6287.005,0;14;4;; CC vk

Dispersiile sunt omogene cu o probabilitate %9595,005,011 P

Testul Hartley

Se aleg 2max is =0,000598

2min is =0,000391;

Se calculeaz statistica de decizie:

2

2

min

max

i

i

Cs

s

H =0.325891

Deoarece 2.1905,0;44 H se accept ipoteza dispersiile sunt omaogene

%9595,005,011 P .

-Se accept ipoteza 0H cu o probabilitate 1P dac

kinC HH ; ;

-Se respinge ipoteza : 0H , dac k

inC HH ; ;

Testul Abbe

Testul Abbe const n determinarea valorii statisticii:

k

i

i

k

i

ii

CA

1

2

1

1

2

1

2

1

Esanton media pieselor ii XX 1 2

1 ii XX 21

1

1

n

i

ii XX

1 30,9732 0,0004 0,00415

0,0006

2 30,994 -0,004 0,0000

3 30,99 0,0122 0,0001

4 31,0022

X XX i 2

XX i 2

1

n

i

ii XX

30,98985

-0,01665 0,00028

0.00045 0,00415 0,00002

0,00015 0,00000

0,01235 0,00015

Din anexa 11 se extrage valoarea tabelat a statisticii Abbe care are valoarea:

3902,001,0;4 A

Ac=0,6683371> 3902,001,0;4 A

Dac ;kC AA atunci se accept ipoteza 0H cu probabilitatea 1P ;

Dac ;kC AA atunci se respinge ipoteza 0H .

Partea III

Pentru verificarea unui lot de piese de volul N=100000 de piese se foloseste un plan de

control sstatistic simplu . Volumil esantionului este n=3 piese.

-Se considera ca lotul se accepta daca numarul se acceptare este A=3.

-Se cere sa se determine sis a se reprezinte graphic curba operative a planului de control

statistic.

-Se vor considera uratoarele valori tipice pentru proportia p de produse defecte din lant.

P1=0.11, P0=0.25, P2=0.85, P=0, P=1

-Se vor trasa separate curbele operative pentru numarul de piese defecte k=1, k=2, k=3.

-Se cere sa se traseze dreptele de acceptare si de respingere daca vor falosi un plan de

control secvential An, Rn se da riscul .

-Sa se determine pentru ambele cazuri si curba calitati medi dupa control precum si

numarul mediu de produse controlate pe lant n. Se va considera schema bilei revenite adica cazul

lanturilor de volum mare.

-Curbele operative ale planurilor de control Se observ c volumul eantionului este n=5 iar volumul lotului este N=100000. Raportul

1,000005,0100000

5

N

n. Acest lucru arat c este vorba de loturi de volum mare.

Probabilitile de acceptare se determin cu relaia:

knkA

k

k

N

knkA

k

k

Na ppCqpCAkPP

100

Aplicnd succesiv relaia se obine:

Pentru: ;1;0 qp

0A ; 1101 50500

0

0

qpCPk

na

1A ;

101105101

1010

5150

411

5

500

5

1

0

CCqpCP knkk

k

na

2A ;

10011010105101

101010

325150

322

5

411

5

500

5

1

0

CCCqpCP knkk

k

na

Pentru: ;89,0;11,0 qp

0A ; 0,5584189,011,0 500

0

0

5 k

a CP

1A ; 0,9034989,011,089,011,0 4115500

5 CCPa

2A ; 0,9887989,011,089,011,089,011,0 3225411

5

500

5 CCCPa

Pentru: ;75,0;25,0 qp

0A ; 0,2373075,025,0 500

0

0

5 k

a CP

1A ; 0,6328175,025,075,025,0 4115500

5 CCPa

2A ; 0,8964825,025,0

75,025,05,0725,0

322

5

411

5

500

5

C

CCPa

Pentru: ;15,0;85,0 qp

0A ; 0,0000815,085,0 500

0

0

5 k

a CP ;

1A ; 0,0022315,085,015,085,0 4115500

5 CCPa

2A 0,02661

15,085,015,085,015,085,0 3225411

5

500

5

CCCPa

Pentru: ;0;1 qp

0A ; 001101 50500

0

0 k

na CP ;

1A ; 00101 4115500

5

1

0

CCqpCP knkk

k

na

2A ; 0010101 3225411

5

500

5

1

0

CCCqpCP knkk

k

na

Sintetiznd rezultatele se obin datele din tabelul

p 0 0,11 0,25 0,85 1

Pa

A=0 1 0,55841 0,23730 0,00008 0

A=1 1 0,55841 0,55841 0,55841 0

A=2 1 0,98879 0,89648 0,02661 0

Curbe operative pentru diferiite planuri

de control statistic

-Variatia calitati medii dupa control

Procentul de piese defecte, p 0 0,11 0,25 0,85 1

Probabilitatea de acceptare P 1 0,95 0,5 0,15 0

Calitatea medie dupa

control, AOQ

aPp 0 0,1045 0,125 0,1275 0

N

nPp a 1 0 0,104495 0,124994 0,127494 0

Calitatea medie dupa

control, AOQL

Max

aPp 0,125

Max

N

nPp a 1

0,124994

Numarul mediu de piese controlate

aPnNNn 5 5005 50003 85001 100000

Puterea testului

9,01,011 0.9

AOQ=AOQL

A=0 0 0,06142 0,059326172 6,45E-05 0

A=1 0 0,09938 0,158203125 0,001893 0

A=2 0 0,10877 0,224121094 0,02262 0

-Numrul mediu de obiecte controlate din lot

aa PNPnn 1 aPnNNn

p 0 0,11 0,25 0,85 1

n A=0 5 44162 76271 99992 100000

A=1 5 9656 36722 99777 100000

A=2 5 1126 10356 97339 100000

Expresiile dreptelor de acceptare i respectiv de respingere sunt:

nshAn 1 ; nshRn 2

n care:

C

A

N

N

p

p

p

ph

2

1

1

2

1

1

1lg

1lg

; C

R

N

N

p

p

p

ph

2

1

1

2

2

1

1lg

1lg

; C

s

N

N

p

p

p

p

p

p

s

1

2

1

2

2

1

1

1lg

1

1lg

Pentru , rezult 21 hh .

-0,977721

lg

AN 1,255273

1lg

RN

0,7732991

1lg

2

1

p

pNS 1,661325

1

1lg

2

1

1

2

p

p

p

pNC

Se determin valorile:

75-0,58852031 C

A

N

Nh

90,755585152 C

R

N

Nh

70,46547108C

s

N

Ns

Deci, expresiile concrete ale celor dou drepte sunt

nshAn 1

nshRn 2

k= 0 1 2 3

An= -0,58852 -0,12305 0,342422 0,807893

Rn= 0,755585 1,221056 1,686527 2,151998

Reprezentarea grafic a celor dou drepte, de acceptare An i de respingere Rn.

-Lotul se accepta daca k An

-Lotul se respinge, daca k Rn

Partea IV

Se da sistemul ethnic format din elementele E1, E2, E3ca in figura.

Cunoscand valoarea cotelorale celor 3 elemente 1 , 2 , 3 se cere sa se determine fiabilitatea

pentru un timp de functionare t1=1000 h.

Cunoscand rata reparatiilor sistemului =0.8 se cere sa se determine mentenanta sistemului

pentru un timp t2=50h . Precum si disponibilitatea sistemului D pentru un timp t=t1+t2.

Se considera ca elementele sistemului respecta legea expanentiala de fiabilitate.

Se determin mai nti fiabilitile fiecrui element precum i a gruprilor de elemente.

e=2,71828183

92248354255200000000040,00000000111 t

eR

57000000008700000000000,00000000122 t

eR

00000000000000000000000,00000000133 t

eR

00000000000000000000000,00000000112

1

23 i

iRR

Fiabilitatea total a sistemului va fi:

04,0; 11 E

06,0; 33 E

06,0; 22 E

Schema structural a sistemului pentru aplicaia

02311 RRRt

Deoarece rata reparaiilor este 08,0 reparaii/or, mentenana pentru timpul de reparare

orett 502 va avea valoarea:

22 1t

t eM 1,0000000000000000000

Disponibilitatea sistemului la momentul 21 ttt va fi:

21121 1 tttttt MRRDD 1