Salturi si volatilitate stocastica: procesul implicit al ratei de schimb in optiunile marcii germane

O metoda eficienta este data de pretul optiunilor americane in procesul de difuzie a volatilitatii stocastice sub salturi sistemice si riscul volatilitatii. Parametrii din optiunile marcii germane ale modelului sunt exprimati in perioada 1984-1991 prin metoda negeneralizata a celor mai mici patrate si sunt testate prin coerenta cu preturile optiunilor future $/dm. Submodelul de volatilitate stocastica nu poate explica “volatilitatea zambet” evidentiata in procesul implicit, cu exceptia parametrilor neverosimili, dati de proprietatile seriei de timp a volatilitatii implicite. Temerile de salt pot explica zambetul, si sunt in concordanta cu 8% din aprecierile aberante ale marcii germane observate in perioada 1984-1991.

Pentru optiunile in valuta, dovezile acumulate in timpul analizei seriilor si a preturilor optiunilor in ceea ce priveste momentele conditionate si neconditionate ale cursului de schimb apar calitativ in acord. Este de necontestat faptul ca volatilitatea este variabila in timp, asa cum se evidentiaza in parcelele volatilitatii implicite si in literatura de specialitate extinsa la studiile modelelor ARCH SI GARCH. Studierea seriilor de timp, de asemenea indica faptul ca studierea neconditionata a distributiilor log-diferentele cursului de schimb este leptokurtic, si ca aici este o relatie inversa intre excesul kurtosis si lungimea perioadei parcelei. 2 leptokurtosis conditionata a fost de asemenea gasita in seriile de timp studiate, in timp ce volatilitatea zambet si modelul in forma de U a volatilitatii implicite dincolo de diferite preturi, indica leptokurtosis implicita diferentiata de pretul optiunilor. Dovezile privind asimetria conditionata si neconditionata sunt mult mai amestecate, cu estimarea senzitivitatii seriilor de timp a valutei si perioadei utilizate. Studii ale preturilor optiunilor au gasit dovezi de asimetrie implicit pozitiva in optiuni pe piata straina in perioada 1983-198, dar exista putine dovezi in perioade mai recente.

Acest articol prezinta un model de curs de schimb care este potential compatibil cu pretul optiunilor observate si maturitatea deviatiilor si cu proprietatile distributiei log-diferite cursuri de schimb. Extinzand motodologia Fourier de stabilire a preturilor optiunilor a lui Stein and Stein (1991) si Heston (1993), un maleabil si eficient model pentru pretul optiunilor americane pe procesul combinat de volatilitate stocastica si difuzia salturilor in prezenta volatilitati sistematice si a riscului de salt.

Acest articol dezvolta, de asemenea, metode de testare a consistentei distributiilor implicite in pretul optiunilor cu sublienierea proprietatilor seriilor de timp in cusrul de schimb si volatilitatea implicita.

Doua teste de consecventa intre preturile optiunilor si seriile de timp sunt dezvoltate. In pimul rand, este testata compatibilitatea procesului volatilitatii stocastice in pretul optiunilor cu proprietatile seriilor de timp. Compatibilitati mai largi de distributie pot fi de asemenea

examinate. O atentie distinca este acordata in testele dintre distributia preturilor opriunilor neutre la risc si distributia actual relevant pentru analiza seriilor de timp.

In al doilea rand, distributiile conditionate implicite in pretul optiunilor $/DM sunt testate cu coerenta in modificarile observate in diferentele log ale preturilor futures $/DM. Testul de prognoza a puterii volatilitatii implicite pentru volatilitatea viitoare, acorda de asemenea examinarea unor moment mai mari.

1. Propunerea unei volatilitati stocastice/ modelul difuziei salturilor

Urmatoarele afirmatii sunt mentinute de-a lungul urmatorului articol:

1. Pietele sunt fara frecare. Nu exista costuri de tranzactie sau impozite diferentiale, tranzactionarea poate avea loc continuu si nu exista restrictii cu privire la imprumut sau la vanzarea short.

2. Rata dobanzii fara risc, r, si dobanda diferentiala, b=r-r* sunt cunoscute si constant.3. Cursul de schimb, S($/DM), urmeaza o difuzie geometrica cu o varianta conditionata

instantanee, Vt, ca urmare a mediei procesului celor mai mici patrate

unde μ este rata asteptata instantanee de apreciere a valutei, λ este frecventa anuala de salturi, k este procentul aleator de salt conditionat la un salt ce are loc, si q este un contor Poisson cu o intensitate λ.

Pocesul de curs e schimb postulat ofera o structura a distributiei bogata si flexibila. Distributiile asimetrice pot aparea fie din cauza corelatiilor dintre cursurile de schimb sau socurile de volatilitate, sau in cauza mediilor sariturilor diferite de zero. In mod similar, excesul de kurtosis poate aparea fie din volatilitatea volatila sau dintr-o component substantiala a sariturii. Mai mult decat atat, cele doua explicatii alternative pentru skewness si excasul de kurtosis se pot distinge prin organisarea efectelor perioadelor. Volatilitatea stocastica implica o relatie directa intre durata perioadei de mentinere si magnitudine in timp ce salturile implica o relatie puternica inversa.

Procesul radacinii patratelor vatiantei are doua majore avantaje. In primul rand, modelul poate permite riscul sistematic al volatilitatii, in timp ce procese altenative cum ar fi Hull si White (1987) au trebuit sa impuna ipoteza riscului volatilitatii nonsystematic pentru a obtine un model

tarifar mai usor de manuit. Daca adevaratul process este dat de ecuatia (1), atunci intr-o economie cu un agent de productie reprezentativ, risul proceselor neutre utilizate in pretul optiunilor care incorporeaza comensatiilor corespunzatoare pentru riscul de salt si riscul volatilitatii sunt date de

unde b este dobanda compusa interna/externa diferentiala, si variabilele reprezinta versiunile ajustarilor la risc a adevaratelor variabile, tinand cont de pretul riscului sariturilor si a volatilitatii. In particular,

in cazul in care Jw este utilitatea marginala a puterii dolarilor in media celor mai reprezantativi investirori din intreaga lume, ΔJw/Jw este saltul procentual aleatoriu conditionat de un salt oarecare, si dJw/Jw este socul procentual in absenta sariturii. Ca de obicei, utilitatea in timp isoelastica este o ipoteza convenabila de a face acest studiu, si implica faptul ca primul risc al volatilitatii, Φv=f(V), depinde doar de V, ln(1+k*) si este normal distribuit cu aceasi varianta ᵹ2

saritura actuala, si λ* si k* sunt constant.

O constangere non-arbitraj cu privire la forma functionala a riscului de volatilitate Φv(V) este Φv(0)=0. Aceasta restrictie se opune modelului riscului de volatilitate ca proportie in ln(V) cand logaritmul volatilitatii urmeaza un process Ornstein-Uhlenbeck si are nevoie de asumarile Hull si White ale riscului volailitatii non-sistematic pentru trasabilitate analitica. In cazul procesului volatilitatii radacinilor patrate, cu toate acestea, prima de risc a volatilitatii pot fi plauzibil modelate ca proportie din variant conditionata Vt.

Rezultatul este ca procesul neutru al riscului pentru variant conditional instantanee seaman cu adevaratul poces de forma:

Retineti, totusi, ca varianta α/β* si rata medie de revenire β* inplicite din pretul optiunilor nu sunt nivelele adevarate, dar difera de la o cantitate care depinde de riscul volatilitatii.

Al doilea avantaj major al procesului radacinilor patrate pentru variant este acea ca procesul genereaza o metoda analitica maleabila a optiunilor tarifare fara a sacrifice precizia sau a solicita restrictii nedorite pentru parametrii. Optiunile europene care pot fii exercitate doar la maturitate sunt taxate ca valoare asteptata a recompenselor terminale in cadrul masurarii probabilitatii neutre la risc.

Problema evaluarii optiunilor europene este de a evalua P1 si P2 in ipotezele de distributie incorporate in masurarea probabilitatii neutre la risc. Dificultatea consta in faptul ca functia distributiei cumulative pentru majoritatea distributiilor este murdara, si, in cele mai multe cazuri, nnu avem idée despre cum arata. Chiar si modelul Black Scholes are o distributie bazata pe eroarea functiilor, care nu este neinsemnata de evaluat. Cand vine vorba de modelele volatilitatii stocastice, functia de distributie este necunoscta.

Heston(1993) a subliniat ca este mult mai usor sa rezolvi pentru moment functiile generate associate cu P1 si P2. Din moment ce este generata functia, exista numeraoase procedure numerice pentru evaluarea P1 si P2. Rezultatul generarii functiei ln(St/S0) pentru cele doua probabilitati P1 si P2 cand cursul de schimb urmeaza o conbinatie a volatilitatii stocastice sunt date de

unde

Avand in vedere cele de mai sus pentru generarea functiei, probabilitatea relevanta Pj(Φ/S0,T) = prob*(STebΔt1>X/Fj) pentru evaluarea optiunii PHLX poate fii determinate numeric prin inversarea Fourier a valorilor caracteristice functiei Fj(iΦ/S0,T)

unde x=ln(Xe-bΔt1/S0) si Δt1=5/365 este durata dintre ziua schimbului si ziua efectuarii optiunilor PHLX. Din punct de vedere al proprietatilor functiilor, probabilitatea poate fi scrisa si ca

Probabilitatea functiei densitatii ln(St/S0) sub masura probabilitatii neutre la risc are o forma similara

unde z=ln(St/So)

Integralele de mai sus pot fi evaluate eficient prin cuadratura Gaussiana. O regula Gausiana bazata pe o subrutina IMSL care a evaluat Fj(iΦ) la mai mult de 87 puncte peste trunchiul domeniul s-a dovedit a avea o precizie de 10-8 ori a ratei spot a cursului, cu exceptie de la parametrii extremi si implauzibili. De cand pretul optiunilor put si call au o maturitate comuna si variant solicita aceleasi valori pentru Fj(iΦ) cu privire la atacul preturilor/rata spot, cresterea eficientei poate fi realizata prin evaluarea unor astfel de optiuni simultan.

Procedura de mai sus da pretul unei optiuni europene ca o functie de variabile de stare si parametrii

Pentru . Cu toate acestea, deoarece optiunile PHLX pe valuta sunt americane, este important, in principiu, a se lua in considerare valoarea in plus acumulata oferita de abilitatea de a exercita optiuni inainte de maturitate. Acest studiu utilizeaza aproximarea analitica a volatilitatii constant a lui Bates (1991) pentru o difuzie salt, modificata de o diferenta de patru zile intre exercitarea inainte de scadenta a optiunii PHLX si livrarea in moneda care sta la baza:

Strict vorbind, aproximarile pentru primele optiunilor exercitate timpuriu au derivate din volatilitatea difuziei sariturilor. O comparatie cu preturile optiunilor calculate prin metode finite releva o aproximare maxima a erorilor in jurul a 0.01 $/DM pentru optiunile put in-the-money. Aproximarea erorilor este cu mult mai mica pentru optiunile put de tip short si pentru cele put cu

diferite preturi de atac. Aproximarea erorilor este neglijabila pentru optiunile call cu maturitati luate in considerare, date de rata de dobanda in US substantial mai mare decat cea din Germania.

Deoarece setul de date considerate sunt in pare parte short si out-of-money si mai putine optiuni put, in-the-money, aproximarea erorilor in exercitarea optiunilor put nu au fost considerate de interes major.

2. Estimarea

2.1. Datele

Datele tranzactionate pentru marca germana sunt obtinute in perioada ianuarie 1984-iunie 1991 din Philadelphia Stock Exchange. Inainte de 26 septembrie 1987, doar optiunile cu maturitate in martie, septembrie si decembrie erau tranzactionate. Tranzactionarea contractelor cu maturitate in celelalte luni a inceput abia din 27 septembrie 1987. Optiunile sunt americane, si pot fi exercitate in orice moment.

2.2 Metodologia estimarii parametrilor impliciti

Parametrii impliciti au fost initial estimate la setul de date al optiunilor put si call pentru toate preturilor de exercitare observate si la cel mult doua scadente trimestriale, miercuri dimineata, in perioada 4 ianuarie 1984 – 19 iunie 1991. Pretul optiunilor reziduale a fost scris ca

Pentru volatilitatea stocastica/modelul difuziei salturilor, θ a fost stabilit ca parametru pentru

volatilitatea stocastica si salturi: . Urmatoarele subcazuri ale modelului general au fost de asemenea estimate, pentru a a vedea ce proprietati ale modelului generaalizat sunt importante in explicarea deviatiei preturilor de referinta Black-Scholes.

1. Modelul Black-Scholes, versiunea optiunilor americane, cu aceasti volatilitate implicita pentru toate maturitatile inr-o zi data, parametrul estimate {Vt}.

2. Modelul de volatilitate determinist (DV), care permite o scadere de zi cu zi sau in panta ascendenta structura pe termen lung a volatilitatii implicite, parametrii estimati {Vt}, α, β*.

3. Volatilitatea determinista/modelul de salturi al difuziei (DVJD), parametrii {Vt}, λ*, k*, ᵹ, α, β*.

4. Modelul de volatilitate stocastica, permitand exces de kurtosis in directa legatura cu maturitatea optiunilor, parametrii estimati {Vt}, α, β*, σv, ρ.

5. Volatilitatea stocastica/model de salt-difuzie (SVJD), ce permite un mixt de efect de maturitate, parametrii estimati {Vt}, λ*, k*, ᵹ, α, β*, σv, ρ.

Parametrii impliciti au fost metoda celor mai mici patrate generalizata a lui Engle si Mustafa (1992) care ia in considerare heteroscedasticitatea, componentele corelatiei si propietatile seriilor correlate a optiunilor reziduale. Reziduurile au fost grupate dupa criterii call/put, maturitate, fiind grupate in 40 de grupuri

Cea mai apropiata functie a pierderii pentru parametrii impliciti ai estimarii este

unde Ωt, este covarianta matricei vectorilor reziduali et, intr-o zi data. De atunci pot exista mai multe de 40 de tranzactii intr-o miercuri dimineata, eficienta de calcul creste substantial prin folosirea unei transformari si grupari reziduale specifice

unde Nj,t este grupul de tranzactii din grupul I pe data t. Sub aceasta transformare, ecuatia poate fii scrisa ca

Parametrii au fost estimati prin maximizarea ecuatiei cu ({Vt},θ) si (Σ, {σI}, {ρI}, cu transformari ale parametrilor folosite pentru a creste eficienta sau a constrange spatiul parametrilor.

2.3 Rezultate

Mai multe caracteristici interesante ies la suprafata din estimarile volatilitatii stohastice/modelul de salt al difuziei si submodelele sortate prezentate in tabelul 2.Volatilitatea deterministica a modelului de relaxare Black-Sholes ipoteza de structura pe termen plat a volatilitatii substantiale imbunatateste ajustarea de la 0 la 3 luni langa banii optiunilor call si put,crescand cu 0,015% care stau la baza ratei de schimb la fata locului.Ajustarea pentru 3-6 luni are tendinta de agravare,crescand cu 0,005%,cat timp efectele mixte au fost observate pentru puturi de 3-6luni.Tendinta pentru care structura termen a volatilitatii implicite sa fie inclinata in sus sau in jos volatilitatea implicita pe termen scurt scazuta a fost constient calitativa cu volatilitatea potulat medie in revenire.Estimarile NL-GLS privind jumatatea vietii socurilor de volatilitate bazate initial pe panta medie a structurii termen a volatilitatii implicite au variat de la 6.4 la 10 luni,depinzand daca salturile erau sau nu incluse.

Permiterea pentru distributii asimetrice prin intermediul volatilitatii deterministe/sariturii difuziei,volatilitatea stohastica a imbunatatit abilitatea modelelor de a se ajusta la optiunea preturi.Impactul major a fost in intrarile si iesirile de bani de la 0-3 luni ale optiunilor call si put,ajustarea pentru fiecare imbunatatire crescand cu 0,015%.Usor pozitiv skewess-ul pozitiv a fost estimate pentru toate 3 modelele:corelatia pozitiva intre rata de schimb si volatilitatea socurilor si/sau media salturilor positive.Similar,parametrii estimate pentru de la toate modelele(componentele sariturii substantiale si/sau volatilitatea substantial)implica excesul implicit substantial.Bazat pe ajustarea relativa a modelelor DVDJ si SV,variatia de momente implicite mai mari in diferite scadente este mai bine caracterizata de relatia directa implicita a modelelor volatilitatii stohastice decat de puternica relatie inversa cararcteristica modelelor de salt.

Variantele conditionate instantanee estimate Vjump+Vt,au fost in general foarte apropiate

pentru toate modelele ,unde Vjump= este varianta pe an atribuita sariturilor.Totusi,circuitul probei pentru variata estimata la fata locului a modelului SVDJ,

implica o reflexive a valorii minime a valorii ,intrucat circuitul probei estimate sub modelul Sv nu se apropie de bariera care reflecta la Vt=0.Mai mult comparabil cu standardul variantei implicite Black-Sholes este asteptarea variantei medii:

pentru Varianta medie asteptata este o scadenta dependenta

de media ponderata a variatiei la fata locului Vjump+Vt si varia stare de echilibru Avand in vedere media lent estimate de revenire ,estimarea variantei medii asteptate pentru 1-6 luni,optiunile au fost aproape de variant la fata locului si in consecinta nu apar.

In ciuda imbunatatirilor ajustarii relative Blach-Sholes,conditionata erorii standard volatilitatii stohastice/saltul difuziei modelul prezentat in tabelul 3 este inca mare.Optiunea liber parametrizate de stabilire a preturilor implicand parametrii de zi cu zi produce o radacina de ansamblu substantial mai mica a erorii patrate ,in ordinea a 0,04% din pretul activului support;exemplele include slinele cubice constranse si Merton(1976) modelele saltului difuziei in Bates(1991,1994).In timp ce ad hoc,astfel de modele satisfac optiunile specifie ,nu constrangerile arbitrare si prin urmare genreaza optiuni teoretic valide in concordanta cu o anumita distributie de baza.

Implicatiile sunt ca aceasta eroare a caietului de saricini este relative mare fata de alte surse de eroare,si ca modelul postulat nu reuseste sa capteze schimbari majore in distributiile implicite de-a lungul timpului.Dovada suplimentara de instabilitate parametrica este relevat in estimarile parametrilor peste subesantioane de doi ani.Problema majora este ca modelul unifactorial postulat pentru variatii asteptate medii in ecuatia(27) nu reuseste sa surprinda evolutia in timp a structurii de termen a volatilitatii implicite peste termenenul scurt(0-3 luni),si termen mediu(3-6luni).Inrucat termenul structura a fost in esenta plat in 1984 -1985,asa cum este indicat de o lunga injumatatire la socuri de volatilitate,structure pe termen mai abrupte au fost observate in anii urmatori.Evolutii in alte momente au fost de asemenea observate,distributii implicite au fost semnificativ denaturate in mod pozitiv peste perioada 1984-1987,dar au fost in esenta simetrice peste perioada 1988-1991.Excesul implicit substantial a fost present in toate esantioanele bianuale.

Parametrul instabilitate explica puzzleul apparent in tabelul 3,ca media erorilor de stabilire a preturilor pe termen scurt in intrarile de bani calls si iesirile de bani put,are divergente de semn,in timp ce paritatea put-call,implica faptul ca erorile de stabilire a preturilor ar trebui sa fie comparabile in semn si marime.Media divergent a prejudecatii banilor pentru calls verusus puts reflecat faptul ca,callsurile erau relative puternic tranzactionate in prima jumatate a perioadei 1984-1991,in timp ce putsurile erau mai puternic tranzactionate in a 2a jumatate.Simultan rezidurile call si put sunt de obicei comparabile in semn si marime.

3.Testele de coerenta cu activul Suport Ora Serie

3.1Testele de coerenta cu proprietatile seriilor de timp ale volatilitatii implicite

Dupa cum sa mentionat de catre Cox,Ingersoll,si Ross(1985),densitatea de tranzitie a

,conditionata de Vt este noncentral , ,unde

si rata de mediu reversiune reala a procesului de volatilitate :

Unde si este functia gama.Cu toate acestea,functia de

densitate noncentral are o valoare infinta la ,cand bariera de reflexie este

realizabila producand rezultate lipsite de sens cand circuitul probei ,este printe parametrii estimate.In consecinta,cerintele de mai jos folosesc densitatea de tranzitie a

transformarii monotone care are o densitate finita peste tot:

Unde

Estimarile probabilitatii maxime ale parametrilor folosind seria de timp de

instantanee implicite a volatilitatii conditionate {Vt},se abat de la parametrii ,asa

cum ne este prezentat in Tabelul 5.In special,volatilitatea parametrului variatie implicit a preturilor optiune,este considerabil mai mare decat presupune indicele parametru estimate de pe

proprietatiile serii de timp ale {Vt}.Parametrii si care afecteaza derivarea sunt estimati cu mai putina precizie;cu toate acestea ,exista o deviere semnificativa.

Avand in vedere preturile optiune zogomoate,totusi,estimare procedura in 2 etape de

mai sus nu constituie un test formal de ipoteze identice ai parametrilor pentru preturile de optiuni si serii de timp.Sub ipotezele ca optiunile reziduale sunt modelate in mod corespunzator de catre ecuatia 23,si sunt independente de realizarile volatilitatii corespunzatoare functia pierdere pentru ipoteze de testare este :

Unde, este functia de optiune a rezidurilor de stabilire a preturilor data in

ecuatia 26,si este probalibitatea log de o

valoare estimate {Vt},calea esantion data din ecuatia 29.

Functia de probabilitate a fost din nou estimata prin maximizarea secventiala asupra procesului si

covarianta parametrilor,reitarat de convergenta.Ipoteza comuna de parametrii identici pentru optiuni si serii de timp a fost testata folosind un test de raport de probabilitate:

Estimarile parametrilor neconstransi:

optiuni, serii de timp

Estimarile parametrilor limitati:

optiuni si serii de timp

Efectele impunerii constrangerii ca estimarile variantei la fata locului sunt plauzibile sunt prezentata in Tabelul 5,modelele SVC si SVJDC.Constrangerea procesului de volatilitate a adus

volatilitatea variantei parametrului mai mult in conformitate cu comportamentul seriilor de

timp si a netezit caile esantion estimate De fapt,estimarea constransa a crescut

probabilitatea log comuna a volatilitatii stohastice/modelul saltului difuziei.Neconstrans,calea esantion estimative de optiuni fara a tine seama de plauzibilitatea seriilor de timp a fost ,de fapt,foarte putin probabil pentru valori mici de Vt,pentru care densitatile de tranzitie au fost aproape degenerate.

Cu toate acestea,atat volatilitatea stohastica si volatilitatea stohastica/modelele saltului difuziei indica incoerenta substantial intre preturile de optiuni si procesul de volatilitate implicita

a activului suport.Constrangerea de parametrii identici in optiuni si rezultand serii de date de timp pentru modelul SV este puternic respinsa,bazandandu-se pe 2 criterii:1.inrautatirea

probabilitatii comune log ,2.inconsecventa constransa a parametrilor impliciti .

Respingerile indica faptul ca modelul de volatilitate stohastica este in concordanta cu “zambetul de volatilitate “dovada de leptokurtosis implicit ,numai pentru niveluri extreme si neplauzibile a volatilitatile de variatie.Neverosimilitatea estimarii ridicate sub modelul SV este deosebit de evidenta atunci cand se compara distributia gamma neconditionata in preturile optiune{Vt} cu distributia simpla {Vt}.

O volatilitate mare de variatie implica frecvent reflectii off zero ,si gruparea substantiala de diferente implicite instantanee langa 0,contrar a ceea ce se observa.Modelul SVJDC de contras este mai compatibil cu un proces plauzibil de variatie stohastica ,si atribuie leptokurtosis

implic unei component salt de amplitudine secventiala si frecventa semestriala similara cu cea estimate pentru volatilitatea determinist/modelul volatilitatii saltului.

Studii anterioare au sustinut ca structura pe termen lung a volatilitatii implicite este incompatibila cu proprietatiile seriilor de timp ale volatilitatii implicite.O atentie deosebita a fost elaborate la discrepanta intre socurile de volatilitate implicite in termenul structurii volatilitatii implicite relative care a observant o revenire medie mai rapida in volatilitatea implicita.In acest model,structura pe termen lung a diferentelor medii asteptate pentru 0-3 luni versus 3-6 luni

depinde de parametrii si .Intrucat variatia medie asteptata este aproximativ varianta implicit pentru modelul Black Scholes,intrebarea este daca parametrii impliciti in optiunile

preturi sunt in concordanta cu parametrii estimati pentru AR(1)a modelului seriilor de timp pentru diferentele implicite.

3.2 Testele de coerenta cu proprietatiile seriilor de timp ale preturilor contractelor futures

Un test ulterior al volatilitatii stohastice si volatilitate stohastica/modelul saltului difuziei este de consecventa sau inconsecventa lor cu observatele realizari ale ratelor de schimb si preturile valutare viitoare.Pentru a examina asta, actualul proces futures a fost parametrizat dupa cum urmeaza:

Includearea diferentialelor de interes in starea instantanee inseamna 2 ipoteze

alternative:ca preturile futures urmeaza un martingal si ca ratele de

schimb punct care stau la baza urmaresc un martingal .Probabilitatea denstitate rezultat a preturilor futures conditionata de diversitatea instantanee Vt este :

Functia de probabilitate este,prin urmare:

4.Rezumat si concluzii

Acest articol a generat estimari specifice modelului a distributiilor implicite in optiunile marca germana ,si a testat compatibilitatea acelor distributii cu distributiile estimate din seriile de timp a volatilitatii implicite si preturile viitoare $/MD.A exsitat un important acord calitativ intre distributii bazate pe serii implicite si cele de timp,mai ales in ceea ce priveste volatilitate implicita ca previziuni ale volatilitatii viitoare.Dovezile volatilitatii zambet a excesului implicit ar putea fii explicate prin modelul de volatilitate stohastica doar sub parametrii care au dat proprietatile seriilor volatilitatii implicite.Prin contrast,atribuirea exceului implicit temerilor legate de salturi substantiale rare a produs parametrii impliciti care au fost in mod substantial in concordanta cu saltul de 8 % in rata de schimb $/DM in timpul saptamanii din Acordul Plaza.Avand in vedere o lipsa substantiala de putere cand testeaza salturi substantiale rare folosind ratele seriilor de timp ,cu toate acestea,ipoteza fara salturi a fost mai plauzibila decat ipoteza ca magnitudinea salturilor se potriveste cu cele implicite in optiunile preturilor.

Deficiente specifice ale volatilitatii stohastice postulat/saltul modelului difuziei au fost de aseamenea remarcate,sugerand posibile domenii de imbunatarire pentru noua generatie de modele.Problema majora este parametrul instabilitate-mai ales in ceea ce priveste structura pe termen lung a volatilitatii implicite.Modelul postulat unifactorial pentru diferentele medii asteptate face o treaba neproductiva in captarea evolutiei in timp a volatilitatii implicite din mai multe scadente de optiuni.Prin urmare,exista domeniul de aplicare substantial pentru imbunatatire de la utilizarea multifactoriala decat modelele cu un singur factor ale volatilitatii stohastice.Evolutia in asimetrie este de asemenea evidenta,de la substantial pozitiva in perioada 1984-1987 ,la 0 in perioada 1988-1991.Prin contrast,excesul implicit care sta la baza volatilitatii a fost o caracteristica persistenta in toate subesantioanele. Identificarea alternarii distributiilor fat-tailed care se potrivesc mai bine profilului de exces in diferite scadente,estede asemenea de dorit.

Extensiile propuse mai sus sunt bazate pe presupusa existenta a unui proces de generare a datelor stabil producand rate de schimb si preturi de optiune.Aceasta ipoteza de stabilitate este condusa de necesitatea econometrica decat de un rationament de prioritate;nu exista nici un motiv sa credem ca participantii pietelor ,de fapt,mentin aceleasi distributii privind viitoarele realizarii ale cursului de schimb.Dovada parametrului instabilitate sugereaza ca modelele de a evaluare a optiunilor bazate exclusive pe mai multe descrieri complicate se pot confrunta cu aceleasi limite ca si corespondentii lor omologi.

Supliment

Solutii analitice pentru functiile de moment generate

Dupa cum s-a mentionat mai sus,pretul unui apel European poate fii scris ca:

Unde este pretul la termen al activului

este 1-functia de distributie neutral la risc ;si este de asemenea o probabilitate.

Functia generatoare de moment asociata cu jurnalul pretului activului

sub riscul neutru,

Intrucat o simpla transformare a variabilelor indica ca F2 trebuie sa rezolve

Asta implica ca F2 rezolva:

Supuse momentului functiei.

O problema cu privire la preturile obligatiunilor are Solutia:

Unde:

Musat Alexandru

Stoica Florentina Loredana