proiect 2

Academia de Studii Economice

Facultatea Finante Asigurari Banci si Burse de Valori

Serii de timp stationare

-Studiu de caz-

-pe piata de capital din SUA-

PRUNDARU Mihai-Catalin,

Grupa 3, Finante Corporative, Anul 1

Bucuresti 2010

2 Econometrie – Serii stationare

Cuprins

1.Verificarea stationaritatii ......................................................................................................... 3

2. Testarea prezentei heteroscedasticitatii in date ........................................................................ 5

3. Modele ARMA ....................................................................................................................... 6

3.1. Tehnici de previziune .................................................................................................... 7

4.Studiu de caz ........................................................................................................................... 8

4.1 Actiunea APPLE ........................................................................................................... 8

4.1.1 Graficul seriei de timp .......................................................................................... 8

4.1.2 Utilizarea corelogramei – functia ACF estimata ................................................... 8

4.1.3 Teste ale radacinii unitate(Dickey – Fuller) ........................................................ 11

4.1.4 Testarea prezentei ARCH ................................................................................... 12

4.1.5 Modele ARMA .................................................................................................. 13

4.1.6 Previziune .......................................................................................................... 24

4.1 Indicele S&P ............................................................................................................... 28

4.1.1 Graficul seriei de timp ........................................................................................ 28

4.1.2 Utilizarea corelogramei – functia ACF estimata ................................................. 28

4.1.3 Teste ale radacinii unitate(Dickey – Fuller) ........................................................ 31

4.1.4 Testarea prezentei ARCH ................................................................................... 32

4.1.5 Modele ARMA .................................................................................................. 33

4.1.6 Previziune .......................................................................................................... 47


In cadrul acestei aplicatii am analizat stationaritatea pentru seria randamentelor actiunilor

APPLE, dar si pentru indicele pietei de capital din SUA – S&P. Dupa verificarea si, daca este cazul

stationarizarea seriei de timp am realizat mai multe modele ARMA alegandu- l pe cel mai bun din

punct de vedere al criteriilor informationale (AIC - Akaike information criterion si SIC - Schwarz

Information Criterion). In final am ales sa fac previziuni pentru cele doua serii de timp. Esantionul

cuprinde 702 inregistrari statistice, aferente perioadei 02.01.2008 – 14.10.2010.

1. Verificarea stationaritatii

A. Utilizarea corelogramei – functia ACF estimata

Se poate construi un interval de incredere 95% ( eroare 5%) pentru fiecare din

coeficientii de autocorelatie j de forma (−1,96 ∗1

𝑇 ; 1,96 ∗

1

𝑇), folosind expresia 𝑠𝑗 = 1

𝑇

pentru abaterea standard. Rezultatul teoretic important exprimat de propozitia anterioara ne

ajuta sa verificam daca, statistic, coeficientii de autocorelatie calculati pentru diverse lag-uri

sunt sau nu egali cu zero. Putem fundamenta testul de semnificatie cu ipotezele numa si

alternativa urmatoare :

H0 : j = 0

H1 : j 0.

Daca coeficientul de autocorelatie estimat j nu apartine intervalului (−1,96 ∗

1

𝑇 ; 1,96 ∗

1

𝑇), atunci ipoteza nula este respinsa si decidem ca seria de timp nu provine

dintr-un zgomot alb Gaussian.

In forma de mai sus, intervalele de incredere 95% nudepind de lag. Acest aspect nu

este natural, in special, pentru lag-urile apropiate de final. O corectie adecvata este obtinuta

prin inlocuierea variatei sj2 = 1

𝑇 prin valoarea sj2 =

𝑇−𝑗

𝑇(𝑇+2) in descrierea intervalelor de

incredere. De exemplu, intervalul de incredere 95% pentru coeficientul de autocorelatie j

este (−1,96 ∗ 𝑇−𝑗

𝑇(𝑡+2) ; 1,96 ∗

𝑇−𝑗

𝑇(𝑡+2) ).

Uneori este necesar sa testam ipotea conform careia mai multi coeficienti de

autocorelatie sunt concomitent nuli. Presupunem ca vom considera m asemenea coeficienti.

Avem perechea de ipoteze :

H0 : 1 = 2 = ...= m = 0 ;

H1 : j 0. Pentru un j dintre cei m;


Pentru acest test se foloseste staistica Q = 𝑇 𝑗2𝑚

𝑗=1 ce urmeaza o repartitie 2 cu m

grade de libertate.

Decizia este urmatoarea :

- Daca valoarea 𝑄 a statisticii este mai mica decat valoarea critic 2(m) nu putem

respinde ipoteza nula, prin urmare acceptam ca rezidurile provin dintr-un “zgomot

alb”

- Daca valoarea 𝑄 a statisticii este mai mare decat valoarea critic 2(m) atunci suntem

in regiunea de respingere a ipoteei nule, prin urmare despre reziduri putem afirma ca

nu provin din zgomot alb.

B. Teste ale radacinii unitate(Dickey – Fuller)

Se presupune seria de timp {yt}cu valorile ei observate la fiecare moment de timp.

Pentru a verifica daca seria este sau nu stationara folosim teste ale radacinii unitate. Putem

folosi relatiile ∆yt = – * yt-1 + a1*∆yt-1 + et care aplicate pentru valorile seriilor de timp

analizate nu reprezinta decat ecuatiile de regresie ale unui model liniar. Variabila dependenta

este data de diferentele de ordinul 1 intre valorile seriei, iar variabilele dependente sunt

diferentele de ordinul 1 intarziate cu un moment de timp si valorile intarziate ale seriei.

Ipotezele sunt :

H0 : = 0 - seria este nestationara, are o radacina unitate,

H1 : 0 seria este stationara.

Statistica folosita pentru luarea deciziei este statistica τ , repartitia ei fiind studiata de

Dickez si Fuller. Decizia in testele DF este asemanatoare celei din testul t de semnificatie

pentru un coeficient din modelul de regresie, doar ca aici statistica testului t este inlocuita cu

statistica τ, astfel:

Daca 𝜏 < 𝜏𝑐𝑟𝑡 , suntem in zona de respingere a ipotezei nule, adica seria de timp

analizata este stationara.

Daca 𝜏 > 𝜏𝑐𝑟𝑡 , suntem in zona de acceptare a ipotezei nule, adica seria de timp nu

este stationara.


O consecinta a nestationaritatii este regresia falsa, data de faptul ca seriile de timp

nestationare pot determina concluzii statistice neconforme cu realitatea. Punem in evidenta

toate regulile de validare, prezenta unei dependente liniare intre doua variabile observate prin

serii de timp, variabile care de fapt nu sunt dependente.

2. Testarea prezentei heteroscedasticitatii in date- Testul ARCH – LM (Maximum

Likelihood)

Pasul 1. Se estimeaza parametrii din modelul liniar de regresie multipla (sau unui alt

model de tip estimare a mediei):

0 1 ,1 ,... 1,2,....,t t k t k ty x x e t T

si salvam reziduurile 1 2, ,..., Tr r r .

Pasul 2. Folosim modelul de regresie

2 2 2

0 1 1 ... 1,2,....,t t q t q tr r r v t T

unde tv este termenul eroare (presupus normal de medie 0).

Pasul 3. Testam ipoteza nula:

0 1: 0H si 2 0 … si 0q

cu alternativa

1 :H macar unul dintre coeficienti este diferit de zero.


3. Modele ARMA

ARMA(p,q): 𝑦𝑡 = 𝜑1 ∗ 𝑦𝑡−1 + ⋯ + 𝜑𝑝 ∗ 𝑦𝑡−𝑝 + 𝑒𝑡 + 𝜃1 ∗ 𝑒𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑞 ∗ 𝑒𝑡−𝑞

AR(p): 𝑦𝑡 = 𝜑1 ∗ 𝑦𝑡−1 + ⋯ + 𝜑𝑝 ∗ 𝑦𝑡−𝑝

MA(q): 𝑦𝑡 = 𝜃1 ∗ 𝑒𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑞 ∗ 𝑒𝑡−𝑞

Procedura de estimare a unui model ARMA cuprinde urmatorii pasi:

1. Testarea stationaritatii seriei. Daca este stationara se trece la pasul trei, daca nu se parcurg

cerintele pasului urmator.

2. Se stationarizeaza seria de date prin diferentiere. Marea majoritate a seriilor nestationare

sunt integrate de ordinul 1, I(1), asa ca seria se stationarizeaza prin prima diferenta.

3. Pe baza coeficientilor de autocorelatie (functiei de autocorelatie) si a coeficientilor de

corelatie partiala (functiei de autocorelatie partiala) se determina modelele autoregresive de

start pentru analiza seriei de date. Astfel, daca exista o valoare a lui h egala cu q incepand

de la care valoarea functiei de autocorelatie scade brusc catre zero, atunci pentru prelucrarea

seriei se foloseste un proces MA(q) sau un proces ARMA ce cuprinde o componenta

MA(q). In cazul in care valoarea functiei de autocorelatie partiala scade instantaneu catre

zero, incepand cu o valoare a decalajului egala cu p, atunci se recomanda ca seria de timp sa

fie prelucrata prin intermediul unui proces AR(p) pur sau printr-un proces ce cuprinde si

aceasta componenta.

4. Se estimeaza parametrii modelelor ARMA.

5. Se testeaza caracteristicilor modelelor autoregresive ce au fost estimate in etapa anterioara.

Astfel se verifica daca coeficientii modelului sunt semnificativi (diferiti de zero) din punct de

vedere statistic, autocorelarea reziduurilor regresiei, proprietatea de homoscedasticitate,

stabilitatea parametrilor si caracteristicile distributiei rezidurilor.

6. Se alege cel mai potrivit model folosind diverse criterii de analiza. Astfel, se alege

modelul care are valoarea cea mai mare pentru R2 ajustat sau valoarea cea mai mica pentru

varianta sau dispersia reziduurilor. De asemenea se alege modelul care are valorile cele mai

mici pentru criteriile informationale (Akaike, Schwartz).

7. Pe baza modelului selectat se fac diverse analize si prognoze.


3.1 Tehnici de previziune

Pentru ca folosim tehnica de previzionare ex-post, am redefinit esantionul, folosind

450 de observatii, pentru a previziona restul datelor pana la 500.

Constructia previziunii : T reprezinta originea previziunii, iar T+1, T+2, .. reprezinta

pasii de previziune. Cu h notam pasul previziunii.

Indicatori ai bonitatii previziunii:

MSE (mean squares error)

𝑀𝑆𝐸 =1

𝑇 − 𝑝∗ 𝑦𝑡 − 𝑦𝑡

′ 2

𝑇

𝑡=𝑝+1

T-p reprezinta numarul valorilor previzionate

RMSE (root mean squares error)

𝑅𝑀𝑆𝐸 = 1


′ 2

𝑇

𝑡=𝑝+1

MAE (mean absolute error)

𝑀𝐴𝐸 =1


′

𝑇

𝑡=𝑝+1

MAPE (mean absolute percentage error)

𝑀𝐴𝑃𝐸 =1

𝑇 − 𝑝∗

𝑦𝑡 − 𝑦𝑡′

𝑦𝑡

𝑇

𝑡=𝑝+1


4. Studiu de caz pe piata de capital din SUA

4.1 Actiunea APPLE

4.1.1 Graficul seriei de timp AAPL

4.1.2 Utilizarea corelogramei – functia ACF estimata

-.20

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

100 200 300 400 500 600 700

AAPL


Coeficientii de autocorelatie estimati sunt, pentru primele 5 lag-uri : -0,023 ; -0,054 ;

0,029 ; 0,095 si 0,008. Se oberva faptul ca valorile coeficientilor de autocorelatie sunt mici

apropiate de zero, indicand corelatii slabe uneori aproape inexistente pentru toate intarzierile.



𝑇 ; 1,96 ∗

1


𝑇



sunt sau nu egali cu zero. Putem fundamenta testul de semnificatie cu ipotezele nula si


H0 : j = 0

H1 : j 0.


1

𝑇 ; 1,96 ∗

1

𝑇), atunci ipoteza nula este respinsa si decidem ca seria de timp nu provine dintr-

un zgomot alb Gaussian.

I = (-0,07403 ; 0,07403) este intervalul de incredere 95%

Lag 1 : -0,023 (-0,07403 ; 0,07403), ipoteza nula este acceptata , iar

coeficientul de corelatie estimate pentru lagul 1 este zero.



Lag 3 : 0,029 (-0,07403 ; 0,07403) , ipoteza nula este acceptata , iar


Lag 4 : 0,095 (-0,07403 ; 0,07403), ipoteza nula este respinsa , iar

coeficientul de corelatie estimate pentru lagul 4 nu este zero

Lag 5 : 0,008 (-0,07403 ; 0,07403), ipoteza nula este acceptata , iar


In forma de mai sus intervalele de incredere 95% nu depend de lag. Acest aspect nu

este natural, in special pentru lag-urile apropiate de momentul final T. O corectie in acest sens

este obtinuta prin inlocuierea variatei sj2 = 1


𝑇−𝑗

𝑇(𝑇+2) in descrierea


intervalelor de incredere. De exemplu, intervalul de incredere 95% pentru coeficientul de

autocorelatie j este (−1,96 ∗ 𝑇−𝑗

𝑇(𝑡+2) ; 1,96 ∗

𝑇−𝑗

𝑇(𝑡+2) ).





Lag 3 : 0,029 (-0,073764 ; 0,073764) , ipoteza nula este acceptata , iar


Lag 4 : 0,095 (-0,073712 ; 0,073712), ipoteza nula este respinsa , iar


Lag 5 : 0,008 (-0,073659 ; 0,073659), ipoteza nula este acceptata , iar


Uneori este necesar sa testam ipoteza conform careia mai multi coeficienti de

autocorlatie sunt concomitent nuli. Presupunem ca vom considera m asemenea coeficienti.


H0 : 1 = 2 = ...= m = 0 ;




grade de libertate. 2 critic pentru esantionul de 701 observatii si o probabilitate de 5% este :

763,7046.

QAAPL pentru m=36 are o valoare de 54,56. Cum valoarea 𝑄 a statisticii este mai

mica decat valoarea critica 2 nu putem respinde ipoteza nula, deci prin urmare acceptam ca

rezidurile provin dintr-un white noise.


4.1.3 Teste ale radacinii unitate(Dickey – Fuller)

In cadrul testelor radacina unitate pentru verificarea stationaritatii seriei

randamentelor actiunii AAPL perechea de ipoteze care se foloseste este urmatoarea:

H0 : seria este nestationara, are o radacina unitate,

H1 : seria este stationara.

Decizia in testul DF este la fel ca si in cazul testului t-Student de semnificatie pentru

coeficientul modlului de regresie, doar ca aici statistica folosita este statistica τ.

Null Hypothesis: AAPL has a unit root

Exogenous: Constant

Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=19)

t-Statistic

Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -

27.18184

0.0000

Test critical values: 1% level -

3.439464

5% level -

2.865452

10% level -

2.568910

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(AAPL)

Method: Least Squares

Date: 01/12/11 Time: 20:10

Sample(adjusted): 2 701

Included observations: 700 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std.

Error

t-Statistic Prob.

AAPL(-1) -1.022702 0.037624 -

27.18184

0.0000

C 0.001134 0.001028 1.102837 0.2705

R-squared 0.514216 Mean dependent var 0.000119

Adjusted R-squared 0.513520 S.D. dependent var 0.038980

S.E. of regression 0.027188 Akaike info criterion -4.369225

Sum squared resid 0.515955 Schwarz criterion -4.356222

Log likelihood 1531.229 F-statistic 738.8526

Durbin-Watson stat 2.006811 Prob(F-statistic) 0.000000


Observam valoarea 𝜏 = -27,18184, mult mai mica decat orice valoare critica, in

consecinta suntem in zona de respingere a ipotezei nule , deci seria randamentelor simple ale

actiunii AAPL este o serie stationara. Acest rezultat rezulta si din valoarea probabilitatii

asociate, p. Astfel, aceasta este mai mica decat cel mai restrictiv nivel de relevanta, de 1 la

suta si ca urmare, ipoteza nula – seria este nestationara – este respinsa.

Din outputul testului DF putem obtine si coeficienti modelului :

∆yt = 0,001134 – 1,022702* yt-1

4.1.4 Testarea prezentei ARCH – folosind testul ARCH-LM

ARCH Test:

F-statistic 31.35264 Probability 0.000000

Obs*R-squared 30.09086 Probability 0.000000

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2


Date: 01/12/11 Time: 20:31



Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.000584 7.55E-05 7.728208 0.0000

RESID^2(-1) 0.206236 0.036832 5.599343 0.0000







rt2 = 0 + 1*rt-1

2 + vt

Folosim concluziile:

fiecare coeficient din regresia auxiliara este statistic diferit de zero ( p-value

corespunzatoare mici);

testul F ne spune acelasi lucru pentru ansamblul coeficientilor. Deci, putem

respinge ipoteza nula:


0 1: 0H si 2 0

si prin asta acceptam ipoteza alternativa:


Concluzionam faptul ca avem heteroscedasticitate in date.Cea mai importanta parte a

output-ului testului este prima parte care prezinta cele doua teste statistice F-Statistic si R-

squared si probabilitatile asociate acestor teste. Ipoteza nula a celor doua teste este ca nu

exista corelatie seriala a erorilor ecuatiei de regresie pana la lag-ul k (specificat mai sus).

Daca probabilitatea asociata celor doua teste este inferioara nivelului de relevanta la care se

lucreaza, atunci ipoteza nula este respinsa, deci se respinge inexistenta corelatiei seriale. In

caz contrar ipoteza nula este acceptata, (nu exista corelatie seriala). Pentru actiunea AAPL

putem observa ca atat probabilitatea testului F-statistic, cat si probabilitatea asociata testului si

R-squared este inferioara nivelului de relevta de 5% deci putem spune ca exista termeni

ARCH in date.

4.1.5 Modele ARMA

MA(1)

Dependent Variable: AAPL


Date: 01/12/11 Time: 20:38

Sample: 1 701

Included observations: 701

Convergence achieved after 7 iterations

Backcast: 0


C 0.001004 0.001005 0.998620 0.3183

MA(1) -0.026095 0.037812 -0.690147 0.4903


Adjusted R-squared -0.000837 S.D. dependent var 0.027313





Inverted MA Roots .03

MA(1) : AAPL = 0.001003763166 + [MA(1)=-0.02609549488,BACKCAST=1]


Validitatea modelului de regresie este data de testul F-statistic. Intrucat

probabilitatea testului F-statistic este de 0,519802 si apartine intervalului (0,15; 0,85) nu

putem trage o concluzie cu privire la validitatea modelului. Probabilitatea asociata

coeficietului et-1 este de 0,4903, deci nu se poate concluziona cu privire la semnificatia

statistica a coeficientului. Probabilitatea asociata termenului liber este de 0,4033 si se afla in

intervalul de incertitudine. R2 are o valoare de 0,0593% .

Valoarea testului Durbi-Watson este de 1,98 , fiind apropiata de 2, de unde rezulta ca

nu se confirma prezenta autocorelatiei erorilor.

In ceea ce priveste ipoteza de normalitate, in exemplul de mai sus, conform

rezultatelor statistice, distributia evolutiilor zilnice ale rentabilitatii actiunii AAPL are media

apropiata de zero, iar kurtotica are o valoare de peste 7,72 ceea ce inseamna ca aceasta

distributie este leptokurtotica. Se observa de asemenea ca inversa radacinilor functiei

caracteristice este situata in cercul unitate, deci MA inversabil.

Valorile criteriului informational Akaike si Shwartz sunt -4.359197 si respectiv

-4.346208

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 2 701

Observations 700

Mean 1.88E-13

Median 0.000851

Maximum 0.139978

Minimum -0.180964

Std. Dev. 0.027169

Skewness -0.242120

Kurtosis 7.727982

Jarque-Bera 658.8256

Probability 0.000000


AR(1)



Date: 01/12/11 Time: 20:40





C 0.001109 0.001005 1.103554 0.2702

AR(1) -0.022702 0.037624 -0.603389 0.5464







Inverted AR Roots -.02

AR(1): AAPL = 0.001108862168 + [AR(1)=-0.02270218027]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-0.1 0.0 0.1

Series: Residuals

Sample 1 701

Observations 701

Mean -2.97E-06

Median 0.000968

Maximum 0.140381

Minimum -0.180939

Std. Dev. 0.027305

Skewness -0.259362

Kurtosis 7.661932




Validitatea modelului de regresie este data de testul F-statistic. . Intrucat

probabilitatea testului F-statistic este de 0,5464 si apartine intervalului (0,15; 0,85) nu putem

trage o concluzie cu privire la validitatea modelului. Probabilitatea asociata coeficietului yt-1

este de 0,5464, deci nu se poate concluziona cu privire la semnificatia statistica a

coeficientului. Probabilitatea asociata termenului liber este de 0,2702 si se afla in intervalul de

incertitudine.. R2 are o valoare de 0,052% .

Valoarea testului Durbi-Watson este de 2,009 , fiind apropiata de 2 rezulta ca nu se

confirma prezenta autocorelatiei erorilor.




distributie este leptokurtotica.

Se observa de asemenea ca inversa radacinilor functiei caracteristice este situata in

cercul unitate, deci procesul AR este stationar.

Valorile criteriului informational Akaike si Shwartz sunt -4.369225 si respectiv -

4.356222.

ARMA(1;1)



Date: 01/12/11 Time: 20:41




Backcast: 1


C 0.001154 0.000978 1.179151 0.2387

AR(1) 0.285300 0.305817 0.932912 0.3512

MA(1) -0.320720 0.304114 -1.054605 0.2920







Inverted AR Roots .29


ARMA(1;1): AAPL = 0.001153611019 + [AR(1)=0.2852997721,MA(1)=-

0.3207196918,BACKCAST=2]





este de 0,3512, deci nu putem trage o concluzie cu privire la semnificatia parametrului.

Probabilitatea asociata termenului et-1 este 0,292, si acesta aflandu-se in zona de incertutudine.

Probabilitatea asociata termenului liber este de 0,2387 si se afla in intervalul de incertitudine.

R2 are o valoare de 0,2196% o vaoare destul de mica.

Valoarea testului Durbi-Watson este de 1,98, fiind apropiata de 2 rezulta ca nu se



rezultatelor statistice, distributia evolutiilor zilnice ale rentabilitatii indicelui AAPL are media



0

20

40

60

80

100

120

140

160

-0.1 0.0 0.1

Series: Residuals

Sample 2 701

Observations 700

Mean 1.14E-06

Median 0.001068

Maximum 0.140836

Minimum -0.181119

Std. Dev. 0.027146

Skewness -0.256063

Kurtosis 7.764566





cercul unitate, deci procesul AR este stationar, iar MA inversabil.


4.348541.

ARMA(1;2)



Date: 01/12/11 Time: 20:57




Backcast: 0 1


C 0.001115 0.000953 1.169747 0.2425

AR(1) 0.002168 0.310678 0.006978 0.9944

MA(1) -0.024898 0.312186 -0.079754 0.9365

MA(2) -0.050153 0.038599 -1.299320 0.1943







Inverted AR Roots .00

Inverted MA Roots .24 -.21

ARMA(1;2): AAPL = 0.001114974533 + [AR(1)=0.00216785599,MA(1)=-

0.02489817247,MA(2)=-0.05015302639,BACKCAST=2]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 2 701

Observations 700

Mean -4.30E-06

Median 0.001013

Maximum 0.139094

Minimum -0.179819

Std. Dev. 0.027126

Skewness -0.270241

Kurtosis 7.606569







este de 0,9944, deci acest coeficient nu este semnificativ pentru model. Probabilitatea asociata

termenului et-1 este 0,9365, si acesta nefiind semnificativ din punct de vedere statistic.

Probabilitatea asociata a termenului et-2 este 0,1943 si apartine intervalului (0,15; 0,85), deci

nu putem trage o concluzie cu privire la semnificatia acestui parametru. Probabilitatea

asociata termenului liber este de 0,2435 si se afla in intervalul de incertitudine. R2

are o

valoare de 0,3641% o vaoare destul de mica.










4.340631.


ARMA (2;2)



Date: 01/12/11 Time: 20:51




Backcast: 1 2


C 0.001137 0.000966 1.177013 0.2396

AR(1) -0.316841 0.676436 -0.468398 0.6396

AR(2) 0.147924 0.301315 0.490926 0.6236

MA(1) 0.293363 0.671074 0.437155 0.6621

MA(2) -0.196727 0.300161 -0.655406 0.5124







Inverted AR Roots .26 -.57

Inverted MA Roots .32 -.61

ARMA(2;2): AAPL = 0.001137386121 + [AR(1)=0.3168414731,AR(2)=

0.1479236787, MA(1)=0.2933631086,MA(2)=-0.1967271286,BACKCAST=3]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 3 701

Observations 699

Mean 8.51E-06

Median 0.001136

Maximum 0.138289

Minimum -0.180188

Std. Dev. 0.027128

Skewness -0.268010

Kurtosis 7.636944






trage o concluzie cu privire la validitatea modelului. Probabilitatile asociate tuturor

coeficientilor modelului se afla in intervalul (0,15; 0,85), deci nu putem concluziona cu

privire la semnificatia acestora pentru modelul ARMA (2;2). R2

are o valoare de 0,4543% o

vaoare destul de mica.










4.331099.


ARMA (3;2)



Date: 01/12/11 Time: 20:47




Backcast: 2 3


C 0.001176 0.000986 1.192769 0.2334

AR(1) -0.911691 0.047444 -19.21610 0.0000

AR(2) -0.948501 0.049812 -19.04143 0.0000

AR(3) -0.054297 0.037369 -1.452986 0.1467

MA(1) 0.892308 0.036302 24.57982 0.0000

MA(2) 0.924877 0.038983 23.72483 0.0000







Inverted AR Roots -.06 -.43+.85i -.43 -.85i

Inverted MA Roots -.45 -.85i -.45+.85i

ARMA (3;2): AAPL = 0.001175867815 + [AR(1)=-0.9116911748,AR(2)=-

0.9485009084,AR(3)=0.0542970261,MA(1)=0.8923082097,MA(2)=0.9248770597,B

ACKCAST=4]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

Series: Residuals

Sample 4 701

Observations 698

Mean -2.21E-05

Median 0.000873

Maximum 0.145630

Minimum -0.177383

Std. Dev. 0.026899

Skewness -0.309115

Kurtosis 8.121396





probabilitatea testului F-statistic este de 0,015259 si apartine intervalului (0; 0,15) are o

valoare foarte mica, in concluzie facem o eroare mica prin respingerea ipotezei nule, deci

acceptam ipoteza alternativa conform careia modelul de regresie construit este valid.

Probabilitatea asociata coeficietului yt-1 este de 0,0345, deci coeficientul este

semnificativ din punct de vedere statistic. . Probabilitatile asociate tuturor coeficientilor

modelului se afla in intervalul (0; 0,15), deci coeficientii sunt semnificativi din punct de

vedere statistic pentru modelul ARMA (3;2). R2 are o valoare de 2% .










4.338619.


In urma analizarii celor sase modele ARMA, am obtinut urmatoarele rezultate

sintetizate in tabelul urmator:

Model Akaike Shwartz Prob(F-statistic)

MA(1) -4.359197 -4.346208 0.519802

AR(1) -4.369225 -4.356222 0.546446

ARMA(1;1) -4.368045 -4.348541 0.464724

ARMA(1;2) -4.366637 -4.340631 0.467982

ARMA(2;2) -4.363643 -4.331099 0.530635

ARMA(3;2) -4.377716 -4.338619 0.015259

Avand in vedere faptul ca dintre toate modelele analizate, singurul model valid din

punct de vedere econometric este ARMA(3;2), am ales sa fac previziunea pentru acest model.

4.1.6 Previziune ARMA(3;2)

Previziune statica

In urma analizei previziunii statice observam o valoare a lui „ Theil Ineyuality

Coefficient” este cuprinsa in intervalul (0,1) fiind un coeficient de apreciere a evaluarii.

Pentru ca ajunstarea sa fie buna coeficientul ar trebui sa aiba o valoarea apropiata de zero. In

cazul acestui exemplu valoarea coeficientului este destul de mare.

-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

660 670 680 690 700

AAPL_BF

Forecast: AAPL_BF

Actual: AAPL_B

Forecast sample: 651 701


Root Mean Squared Error 0.023210

Mean Absolute Error 0.018020

Mean Abs. Percent Error 108.1515

Theil Inequality Coefficient 0.926245

Bias Proportion 0.072925

Variance Proportion 0.838488

Covariance Proportion 0.088587


De asemenea observam Mean ABS. Precent Error care indica abaterile relative medii

ale valorilor previzionate de la cele observate este foarte mare.

Bias Proportion, Variance Proportion si Covariance Proportion insumate trebuie sa

dea 1 deoarece ele exprima proportional cele trei componete ale descompunerii mediei

patratelor abaterilor valorilor previzionate fata de valorile observale. O previziunea buna este

atunci cat primele doua componente sunt mici si cea de-a treia este mare fiind apropiata de 1.

In exemplu nostru Bias Proportion este 0,072925 si este mic exprimand patratul abaterii intre

valorile medii ale celor doua secvente. Variance Proportion este de 0,83 o valorea foarte mare

care indica o previziune nu tocmai buna. In final, covariance proportion care exprima cat de

legate sunt datele depinzand de coeficientul de corelatie are o valoare de 0,0885 fiind destul

de mica.

In figura de mai jos prezentam evolutia valorilor observate completate pe orizontul

de previziune cu evolutia valorilor previzionate.

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

100 200 300 400 500 600 700

AAPL_B AAPL_BF


Previziune dinamica

In urma analizei previziunii dinamice observam o valoare a lui „ Theil Ineyuality











valorile medii ale celor doua secvente. Variance Proportion este de 0,8987 o valorea foarte

mare care indica o previziune nu tocmai buna. In final, covariance proportion care exprima

cat de legate sunt datele depinzand de coeficientul de corelatie are o valoare de 0,027 fiind

destul de mica.



-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

660 670 680 690 700

AAPL_BF

Forecast: AAPL_BF

Actual: AAPL_B











-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

100 200 300 400 500 600 700

AAPL_B AAPL_BF


4.2 Indicele S&P

4.2.1 Graficul seriei de timp S&P

4.2.2 Utilizarea corelogramei – functia ACF estimata

-.12

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

100 200 300 400 500 600 700

SP


Coeficientii de autocorelatie estimati sunt, pentru primele 5 lag-uri : -0,129 ; -0,112 ;

0,092 ; -0,035 si -0,03. Se oberva faptul ca valorile coeficientilor de autocorelatie sunt mici

apropiate de zero, indicand corelatii slabe uneori aproape inexistente pentru toate intarzierile.



𝑇 ; 1,96 ∗

1


𝑇



sunt sau nu egali cu zero. Putem fundamenta testul de semnificatie cu ipotezele nula si


H0 : j = 0

H1 : j 0.


1

𝑇 ; 1,96 ∗

1

𝑇), atunci ipoteza nula este respinsa si decidem ca seria de timp nu provine dintr-

un zgomot alb Gaussian.

I = (-0,07403 ; 0,07403) este intervalul de incredere 95%

Lag 1 : -0,129 (-0,07403 ; 0,07403), ipoteza nula este respinsa , iar




Lag 3 : 0,092 (-0,07403 ; 0,07403) , ipoteza nula este respinsa , iar






In forma de mai sus intervalele de incredere 95% nu depend de lag. Acest aspect nu

este natural, in special pentru lag-urile apropiate de momentul final T. O corectie in acest sens

este obtinuta prin inlocuierea variatei sj2 = 1


𝑇−𝑗

𝑇(𝑇+2) in descrierea


intervalelor de incredere. De exemplu, intervalul de incredere 95% pentru coeficientul de

autocorelatie j este (−1,96 ∗ 𝑇−𝑗

𝑇(𝑡+2) ; 1,96 ∗

𝑇−𝑗

𝑇(𝑡+2) ).





Lag 3 : 0,092 (-0,073764 ; 0,073764) , ipoteza nula este respinsa , iar






Uneori este necesar sa testam ipoteza conform careia mai multi coeficienti de

autocorlatie sunt concomitent nuli. Presupunem ca vom considera m asemenea coeficienti.


H0 : 1 = 2 = ...= m = 0 ;




grade de libertate. 2 critic pentru esantionul de 701 observatii si o probabilitate de 5% este :

763,7046.

QAAPL pentru m=36 are o valoare de 54,56. Cum valoarea 𝑄 a statisticii este mai

mica decat valoarea critica 2 nu putem respinde ipoteza nula, deci prin urmare acceptam ca

rezidurile provin dintr-un white noise.


4.2.3 Teste ale radacinii unitate(Dickey – Fuller)

In cadrul testelor radacina unitate pentru verificarea stationaritatii seriei

randamentelor indicelui S&P perechea de ipoteze care se foloseste este urmatoarea:

H0 : seria este nestationara, are o radacina unitate,

H1 : seria este stationara.

Decizia in testul DF este la fel ca si in cazul testului t-Student de semnificatie pentru

coeficientul modlului de regresie, doar ca aici statistica folosita este statistica τ.

Null Hypothesis: SP has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=19)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -22.63575 0.0000

Test critical values: 1% level -3.439477 5% level -2.865458 10% level -2.568913

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SP) Method: Least Squares Date: 01/13/11 Time: 01:21 Sample(adjusted): 3 701 Included observations: 699 after adjusting endpoints


SP(-1) -1.277629 0.056443 -22.63575 0.0000 D(SP(-1)) 0.131408 0.037538 3.500640 0.0005

C -9.79E-05 0.000734 -0.133242 0.8940

R-squared 0.572139 Mean dependent var -9.82E-06 Adjusted R-squared 0.570910 S.D. dependent var 0.029645 S.E. of regression 0.019419 Akaike info criterion -5.040879 Sum squared resid 0.262452 Schwarz criterion -5.021352 Log likelihood 1764.787 F-statistic 465.3484 Durbin-Watson stat 1.982414 Prob(F-statistic) 0.000000

Observam valoarea 𝜏 = -22,63575, mult mai mica decat orice valoare critica, in

consecinta suntem in zona de respingere a ipotezei nule , deci seria randamentelor simple ale

indicelui S&P este o serie stationara. Acest rezultat rezulta si din valoarea probabilitatii

asociate, p. Astfel, aceasta este mai mica decat cel mai restrictiv nivel de relevanta, de 1 la

suta si ca urmare, ipoteza nula – seria este nestationara – este respinsa.


4.2.4 Testarea prezentei ARCH – folosind testul ARCH-LM

ARCH Test:

F-statistic 15.95994 Probability 0.000072 Obs*R-squared 15.64788 Probability 0.000076

Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 01/13/11 Time: 01:27 Sample(adjusted): 2 701 Included observations: 700 after adjusting endpoints


C 0.000330 4.23E-05 7.796118 0.0000 RESID^2(-1) 0.149522 0.037427 3.994990 0.0001

R-squared 0.022354 Mean dependent var 0.000388 Adjusted R-squared 0.020953 S.D. dependent var 0.001062 S.E. of regression 0.001051 Akaike info criterion -10.87489 Sum squared resid 0.000771 Schwarz criterion -10.86189 Log likelihood 3808.213 F-statistic 15.95994 Durbin-Watson stat 2.103196 Prob(F-statistic) 0.000072

rt2 = 0 + 1*rt-1

2 + vt

Folosim concluziile:

fiecare coeficient din regresia auxiliara este statistic diferit de zero ( p-value

corespunzatoare mici);

testul F ne spune acelasi lucru pentru ansamblul coeficientilor. Deci, putem

respinge ipoteza nula:

0 1: 0H si 2 0

si prin asta acceptam ipoteza alternativa:


Concluzionam faptul ca avem heteroscedasticitate in date.Cea mai importanta parte a

output-ului testului este prima parte care prezinta cele doua teste statistice F-Statistic si R-

squared si probabilitatile asociate acestor teste. Ipoteza nula a celor doua teste este ca nu

exista corelatie seriala a erorilor ecuatiei de regresie pana la lag-ul k (specificat mai sus).

Daca probabilitatea asociata celor doua teste este inferioara nivelului de relevanta la care se

lucreaza, atunci ipoteza nula este respinsa, deci se respinge inexistenta corelatiei seriale. In

caz contrar ipoteza nula este acceptata, (nu exista corelatie seriala). Pentru indicele S&P

putem observa ca atat probabilitatea testului F-statistic, cat si probabilitatea asociata testului si

R-squared este inferioara nivelului de relevta de 5% deci putem spune ca exista termeni

ARCH in date.


4.2.5 Modele ARMA

MA(1)

Dependent Variable: SP Method: Least Squares Date: 01/13/11 Time: 01:30 Sample: 1 701 Included observations: 701 Convergence achieved after 8 iterations Backcast: 0


C -9.73E-05 0.000617 -0.157739 0.8747 MA(1) -0.163575 0.037310 -4.384263 0.0000

R-squared 0.021481 Mean dependent var -0.000104 Adjusted R-squared 0.020081 S.D. dependent var 0.019720 S.E. of regression 0.019521 Akaike info criterion -5.031796 Sum squared resid 0.266369 Schwarz criterion -5.018807 Log likelihood 1765.644 F-statistic 15.34451 Durbin-Watson stat 1.967763 Prob(F-statistic) 0.000098


MA(1): SP = -9.730623437e-05 + [MA(1)=-0.1635750984,BACKCAST=1]

0

40

80

120

160

200

240

-0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 1 701

Observations 701

Mean -6.61E-06

Median 0.001379

Maximum 0.111860

Minimum -0.088114

Std. Dev. 0.019507

Skewness -0.122530

Kurtosis 8.201554






valoare foarte mica , in concluzie facem o eroare mica prin respingerea ipotezei nule, deci


Probabilitatea asociata coeficietului et-1 este de 0,000, deci coeficientul este semnificativ din

punct de vedere statistic. Probabilitatea asociata termenului liber este de 0,87, deci nu este

semnificativ din punct de vedere statistic pentru model. R2 are o valoare de 2,14% .

Valoarea testului Durbi-Watson este de 1,96 , fiind apropiata de 2, de unde rezulta ca

nu se confirma prezenta autocorelatiei erorilor.


rezultatelor statistice, distributia evolutiilor zilnice ale rentabilitatii indicelui S&P are media


distributie este leptokurtotica. Se observa de asemenea ca inversa radacinilor functiei

caracteristice este situata in cercul unitate, deci MA inversabil.

Valorile criteriului informational Akaike si Shwartz sunt -5.031796 si respectiv

-5.018807.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

MA roots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)


AR(1)

Dependent Variable: SP Method: Least Squares Date: 01/13/11 Time: 01:33 Sample(adjusted): 2 701 Included observations: 700 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations


C -7.28E-05 0.000655 -0.111164 0.9115 AR(1) -0.129227 0.037492 -3.446780 0.0006


Inverted AR Roots -.13

AR(1): SP = -7.278122777e-05 + [AR(1)=-0.1292269456]

0

40

80

120

160

200

240

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 2 701

Observations 700

Mean 9.15E-16

Median 0.001245

Maximum 0.114363

Minimum -0.090955

Std. Dev. 0.019547

Skewness -0.075125

Kurtosis 8.465931



-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots




probabilitatea testului F-statistic este de 0,0006 si apartine intervalului (0; 0,15) are o valoare

foarte mica , in concluzie facem o eroare mica prin respingerea ipotezei nule, deci acceptam

ipoteza alternativa conform careia modelul de regresie construit este valid. Probabilitatea

asociata coeficietului SPt-1 este de 0,0006, deci coeficientul este semnificativ din punct de

vedere statistic. Probabilitatea asociata termenului liber este de 0,9115, , deci nu este

semnificativ din punct de vedere statistic pentru model. R2 are o valoare de 1,673% .


confirma prezenta autocorelatiei erorilor

.In ceea ce priveste ipoteza de normalitate, in exemplul de mai sus, conform





cercul unitate, deci procesul AR este stationar.

Valorile criteriului informational Akaike si Shwartz sunt -5.027724si respectiv -

5.014721.

ARMA(1;1)

Dependent Variable: SP Method: Least Squares Date: 01/13/11 Time: 01:36 Sample(adjusted): 2 701 Included observations: 700 after adjusting endpoints Convergence achieved after 11 iterations Backcast: 1


C -6.10E-05 0.000573 -0.106410 0.9153 AR(1) 0.300175 0.195134 1.538301 0.1244 MA(1) -0.455815 0.182256 -2.500966 0.0126


Inverted AR Roots .30 Inverted MA Roots .46

ARMA(1;1): SP = -6.102402319e-05 + [AR(1)=0.3001752404,MA(1)=

0.4558153532,BACKCAST=2]



probabilitatea testului F-statistic este de 0,00011 si apartine intervalului (0; 0,15) are o valoare

foarte mica , in concluzie facem o eroare mica prin respingerea ipotezei nule, deci acceptam

ipoteza alternativa conform careia modelul de regresie construit este valid. Probabilitatea

asociata coeficietului yt-1 este de 0,1244, deci coeficientul este semnificativ din punct de

vedere statistic.. Probabilitatea asociata termenului et-1 este 0,0126, si acesta putand fi

considerat semnificativ din punct de vedere statistic. Probabilitatea asociata termenului liber

este de 0,9153, deci nu este semnificativ.. R2

are o valoare de 2,57% o vaoare destul de mica.



0

20

40

60

80

100

120

140

160

-0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 2 701

Observations 700

Mean 5.23E-06

Median 0.001666

Maximum 0.107078

Minimum -0.086467

Std. Dev. 0.019457

Skewness -0.185269

Kurtosis 7.835579



-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots MA roots










5.014561.

ARMA(2;1)

Dependent Variable: SP Method: Least Squares Date: 01/13/11 Time: 01:38 Sample(adjusted): 3 701 Included observations: 699 after adjusting endpoints Convergence achieved after 26 iterations Backcast: 2


C -7.85E-05 0.000596 -0.131698 0.8953 AR(1) -0.530618 0.214506 -2.473676 0.0136 AR(2) -0.183473 0.039934 -4.594413 0.0000 MA(1) 0.393213 0.217486 1.807994 0.0710


Inverted AR Roots -.27 -.34i -.27+.34i Inverted MA Roots -.39

ARMA(2;1): SP = -7.848667643e-05 + [AR(1)=-0.5306183261,AR(2)=-

0.1834727348,MA(1)=0.3932130916,BACKCAST=3]






Probabilitatea asociata coeficietului yt-1 este de 0,136, deci coeficientul este semnificativ din

punct de vedere statistic. Probabilitatea asociata coeficietului yt-2 este de 0,000, deci

coeficientul este semnificativ din punct de vedere statistic. Probabilitatea asociata termenului

et-1 este 0,071, si acesta putand fi considerat semnificativ din punct de vedere statistic.

Probabilitatea asociata termenului liber este de 0,8953, deci nu este semnificativ.. R2

are o


0

20

40

60

80

100

120

140

-0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 3 701

Observations 699

Mean 6.91E-06

Median 0.001552

Maximum 0.104142

Minimum -0.084831

Std. Dev. 0.019349

Skewness -0.115520

Kurtosis 7.490772



-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots MA roots












5.016325.

ARMA(2;2)

Dependent Variable: SP Method: Least Squares Date: 01/13/11 Time: 01:41 Sample(adjusted): 3 701 Included observations: 699 after adjusting endpoints Convergence achieved after 64 iterations Backcast: 1 2


C -7.92E-05 0.000612 -0.129273 0.8972 AR(1) -0.604464 0.195772 -3.087588 0.0021 AR(2) -0.296080 0.183776 -1.611091 0.1076 MA(1) 0.471963 0.202707 2.328305 0.0202 MA(2) 0.114757 0.194058 0.591356 0.5545


Inverted AR Roots -.30+.45i -.30 -.45i Inverted MA Roots -.24+.24i -.24 -.24i

ARMA(2;2): SP = -7.916815084e-05 + [AR(1)=-0.6044639328,AR(2)=-

0.2960803045,MA(1)=0.4719634871,MA(2)=0.1147571517,BACKCAST=3]






Probabilitatea asociata coeficietului yt-1 este de 0,0021, deci coeficientul este semnificativ din

punct de vedere statistic. Probabilitatea asociata coeficietului yt-2 este de 0,1076, deci

coeficientul este semnificativ din punct de vedere statistic. Probabilitatea asociata termenului

et-1 este 0,0202, si acesta putand fi considerat semnificativ din punct de vedere statistic.

Probabilitatea asociata termenului et-2 este 0,5545, deci nu putem afirma nimic in legatura cu

0

20

40

60

80

100

120

140

-0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 3 701

Observations 699

Mean 9.36E-06

Median 0.001440

Maximum 0.104982

Minimum -0.085330

Std. Dev. 0.019344

Skewness -0.089573

Kurtosis 7.537835



-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots MA roots



semnificatia statistica a acestui coeficient. Probabilitatea asociata termenului liber este de

0,8972, deci nu este semnificativ.. R2 are o valoare de 3,83% o vaoare destul de mica.










5.007402.

ARMA(3;2)



C -5.67E-05 0.000605 -0.093700 0.9254 AR(1) -1.213992 0.212312 -5.717962 0.0000 AR(2) -0.678186 0.210683 -3.218987 0.0013 AR(3) -0.126158 0.052239 -2.415015 0.0160 MA(1) 1.079324 0.210815 5.119764 0.0000 MA(2) 0.407555 0.200481 2.032887 0.0424


Inverted AR Roots -.32 -.45 -.44i -.45+.44i Inverted MA Roots -.54+.34i -.54 -.34i

ARMA (3;2): SP = -5.670755573e-05 + [AR(1)=-1.213992197,AR(2)=-

0.6781857563,AR(3)=0.1261577045,MA(1)=1.079323845,MA(2)=0.4075553095,B

ACKCAST=4]






Probabilitatile asociate tuturor coeficientilor modelului, cu exceptia termenului liber se afla in

intervalul (0;0,15), deci acestia sunt semnificativi sdin punct de vedere statistic pentru model.

Probabilitatea asociata termenului liber este de 0,9254 deci nu este semnificativ.. R2

are o


Valoarea testului Durbi-Watson este 1,99, fiind apropiata de 2 rezulta ca nu se


0

20

40

60

80

100

120

140

-0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 4 701

Observations 698

Mean 7.32E-06

Median 0.001443

Maximum 0.104142

Minimum -0.085068

Std. Dev. 0.019332

Skewness -0.094602

Kurtosis 7.428210



-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots MA roots










4.999237.

ARMA(3;3)



C -6.22E-05 0.000593 -0.104874 0.9165 AR(1) -0.855992 0.740549 -1.155888 0.2481 AR(2) -0.422721 0.490403 -0.861988 0.3890 AR(3) 0.058816 0.274929 0.213931 0.8307 MA(1) 0.721642 0.739997 0.975196 0.3298 MA(2) 0.196458 0.406239 0.483601 0.6288 MA(3) -0.126320 0.196807 -0.641846 0.5212


Inverted AR Roots .11 -.48 -.54i -.48+.54i Inverted MA Roots .27 -.50+.47i -.50 -.47i

ARMA (3;3): SP = -6.21915418e-05 + [AR(1)=-0.8559920365,AR(2)=-

0.4227212683,AR(3)=0.05881591979,MA(1)=0.7216418332,MA(2)=0.1964576439,

MA(3)=-0.1263201421,BACKCAST=4]






Probabilitatile asociate tuturor coeficientilor modelului, cu exceptia termenului liber se afla in

intervalul (0,15;0,85), deci nu se poate concluziona cu privire la semnificatia econometrica a

coeficientilor. Probabilitatea asociata termenului liber este de 0,9165 deci nu este

semnificativ.. R2 are o valoare de 4,01% o vaoare destul de mica.

0

20

40

60

80

100

120

140

-0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 4 701

Observations 698

Mean 2.21E-06

Median 0.001348

Maximum 0.102505

Minimum -0.085397

Std. Dev. 0.019328

Skewness -0.121316

Kurtosis 7.360398



-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots MA roots



Valoarea testului Durbi-Watson este 2,001, fiind apropiata de 2 rezulta ca nu se









4.990266.

In urma analizarii celor sase modele ARMA, am obtinut urmatoarele rezultate

sintetizate in tabelul urmator:

Model Akaike Shwartz Prob(F-statistic)

MA(1) -5.031796 -5.018807 0.000098

AR(1) -5.027724 -5.014721 0.000601

ARMA(1;1) -5.034065 -5.014561 0.000113

ARMA(2;1) -5.042360 -5.016325 0.000006

ARMA(2;2) -5.039946 -5.007402 0.000018

ARMA(3;2) -5.038333 -4.999237 0.000034

ARMA(3;3) -5.035879 -4.990266 0.000079

Avand in vedere faptul ca toate modelele analizate sunt valide din punct de vedere

econometric, am ales cel mai bun model prin compararea criteriilor informationale Akaike si

Shwartz. Astfel, am ales pentru realizarea previziunii modelul ARMA(2;1)


4.2.6 Previziune ARMA(2;1)

Previziune statica

In urma analizei previziunii statice observam o valoare a lui „ Theil Ineyuality














destul de mica.

-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

650 660 670 680 690 700

SP_BF

Forecast: SP_BF

Actual: SP_B













Previziune dinamica

-.12

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

100 200 300 400 500 600 700

SP_B SP_BF

-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

650 660 670 680 690 700

SP_BF

Forecast: SP_BF

Actual: SP_B











In urma analizei previziunii dinamice observam o valoare a lui „ Theil Ineyuality














destul de mica.



-.12

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

100 200 300 400 500 600 700

SP_B SP_BF

proiect 2

Documents

Transcript of proiect 2