Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] PROGRESII ARITMETICE Definitie : Sirul( )1 n na> pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al 2-lea, se obtine din precedentul prin adugarea aceluiasi numarrse numeste progresie aritmetica. Faptul ca un sir( )1 n na> este o progresie aritmetica se noteaza astfel :1 2 3, , ,..., ,...na a a a Numarulr se numeste ratie. (relatie de recurenta)Sirul( ) *n nae este progresie aritmetica de ratier , daca() 2 n >avem 1 n na a r= +(diferenta dintre oricare2termeni consecutivi este constanta) (monotonia) Sirul( ) *n nae este : strict crescator, daca0 r >strict descrescator, daca0 r Sirul( ) *n nae esteorice termen, incepand cu al doilea, este medie aritmetica a termenilor vecini lui. 1 12n nna aa ++=,() 2 n > . sau 2n k n kna aa ++= ,() 2,1 n k n > s (diferenta a2 termeni oarecare) ( )k pa a k p r = ,() , 1 k p >(termenul general na )1 n n na S S = ,() 2 n >OBSERVATII: oDaca, ,2a ca b c b+ =o, , ,2a ca b c d b+ =si2b dc+=, cu conditia caa d b c + =+ oTrei termeni numere consecutive ai uneiprogresii aritmetice se pot scrie, , a r a a r +oPatrutermeniconsecutivi ai uneiprogresii aritmetice se pot scrie2 ; ; ; a r a r a a r +PROGRESII GEOMETRICE Definitie : Sirul( )1 n nb> cu 10 b = pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al 2-lea, se obtine din precedentul prin inmultirea cu acelasi nr. 0 q =se numeste progresie geometrica. Faptul ca un sir( )1 n nb> este o progresie geometrica se noteaza astfel :..1 2 3 .., , ,..., ,...nb b b bNumarulq se numeste ratie. (relatie de recurenta)Sirul( ) *n nbe este progresie geometrica de ratieq , daca() 2 n >avem 1 n nb b q= (raportul dintre oricare2termeni consecutivi este constant) (monotonia) Sirul( ) *n nbe este : strict crescator, daca 10 si1 b q > >sau daca( )10 si0;1 b q < estrict descrescator, daca( )10 si0;1 b q > esau daca 10 si1 b q < >-in plus, spunem ca sirul este nemonoton daca 10 si0 b q = < (formula termenului general) 11nnb b q = ,() 1 n >Sirul( ) *n nbe cu termini nenuli este ....orice termen, incepand cu al doilea, este medie geometrica a termenilor vecini lui. 21 1 n n nb b b += ,() 2 n > . sau 2n n k n kb b b += ,() 2,1 n k n > s OBSERVATII: oDaca 2 ...., , a b c b ac = o 2 ...., , , a b c d b ac = si2c bd =,cu conditia caad bc = oTrei termeni consecutivi ai uneiprogresii geometrice se pot scrie ...., ,bb bqqProf. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] oPatrutermeniconsecutivi ai uneiprogresii geometrice se pot scrie 2 ....; ; ;bb bq bqq FISE DE LUCRU(progresii aritmetice) NR. 1 1)S se determine nc 2 termeni i formula termenului general, pentru urmtorul ir definit descriptiv astfel:2, 22, 222, 2222,....2)Fie irul( )1 n na> cu termenul general 22( 1)nn nan n+ =+ a)S se calculeze termenii de rang1, 2 n + . b)S se precizeze monotonia irului( )1 n na>. 3)Se d progresia aritmetic( )1 n na>, cu 13 a = i2 r = . a)S se scrie termenii 2 10, a a . b)S se calculeze 100S . 4)Progresia aritmetic( )1 n na>de raier este definit de anumite elemente date. Determinai, in fiecare din cazurile date, elementele cerute: a) 38 a =i 1022 a = . Calculai 1, a r , 10S . b) 2 6 48 7 472a a aa a a + = =. Calculai 1, a r ,10S . 5)S se rezolve ecuaiile: a)1 7 13 ... 280 x ++ + + =b)16 3;2 10; 4 x x x + +6)Cunoscnd suma primilorntermeni ai unui ir( )1 n na>, 24 3nS n n = a)S se determine formula termenului general na . b)S se arate ca irul( )1 n na>este o progresie aritmetic. 7)S se calculeze 13 1nkS k== + NR. 2 1)S se determine nc 2 termeni i formula termenului general, pentru urmtorul ir definit descriptiv astfel:1, 2, 4,8,16,....2)Fie irul( )0 n na> cu termenul general 22( 1)nnan=+ a)S se calculeze termenii de rang1, 2 n . b)S se precizeze monotonia irului( )1 n na>. 3)Se d progresia aritmetic( )1 n na>, cu 12 a = i3 r = . a)S se scrie termenii 3 8, a a . b)S se calculeze 100S . 4)Progresia aritmetic( )1 n na>de raier este definit de anumite elemente date. Determinai, in fiecare din cazurile date, elementele cerute: a) 2781 a =i 3060 a = . Calculai 1, a r , 10S . b) 1 710 34221a aa a+ = =. Calculai 1, a r ,10S . 5)S se rezolve ecuaiile: a)2 5 8 ... 155 x + + + + =b)1; 5;2 8 x x x + +6)Cunoscnd suma primilorntermeni ai unui ir( )1 n na>, 266nn nS+=a)S se determine formula termenului general na . b)S se arate ca irul( )1 n na>este o progresie aritmetic. 7)S se calculeze 12 3nkS k== + NR. 3 1)S se determine nc 2 termeni i formula termenului general, pentru urmtorul ir definit descriptiv astfel:1, 4,9,16,....2)Fie irul( )0 n na> cu termenul general 21na n = +a)S se calculeze termenii de rang4, 1 n . b)S se precizeze monotonia irului( )1 n na>. 3)Se d progresia aritmetic( )1 n na>, cu 15 a = i 12r = . a)S se scrie termenii 2 12, a a . b)S se calculeze 101S . 4)Progresia aritmetic( )1 n na>de raier este definit de anumite elemente date. Determinai, in fiecare din cazurile date, elementele cerute: Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] a) 1025 a = i 21 a = . Calculai 1, a r , 10S . b) 2 73 52 7 1503 5 94a aa a+ = + =. Calculai 1, a r ,10S . 5)S se rezolve ecuaiile: a)( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 7 ... 28 155 x x x x + + + + + + + + =b)2 1;3 2;4 3 x x x + + +6)Cunoscnd suma primilorntermeni ai unui ir( )1 n na>, 23 8nS n n = +a)S se determine formula termenului general na . b)S se arate ca irul( )1 n na>este o progresie aritmetic. 7)S se calculeze 14 1nkS k== NR. 4 1)S se determine nc 2 termeni i formula termenului general, pentru urmtorul ir definit descriptiv astfel:1, 2, 3, 4,.... 2)Fie irul( )0 n na> cu termenul general 65 1nnan= a)S se calculeze termenii de rang4, 2 n . b)S se precizeze monotonia irului( )1 n na>. 3)Se d progresia aritmetic( )1 n na>, cu 113a =i3 r = . a)S se scrie termenii 3 9, a a . b)S se calculeze 100S . 4)Progresia aritmetic( )1 n na>de raier este definit de anumite elemente date. Determinai, in fiecare din cazurile date, elementele cerute: a) 781 a =i 1060 a = . Calculai 1, a r , 10S . b) 5 2 103 52 3 42112a a aa a + = =. Calculai 1, a r ,10S . 5)S se rezolve ecuaiile: a)( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 5 2 9 ... 2 37 210 x x x x + + + + + + + + =b)11 4;7 3;2 1 x x x 6)Cunoscnd suma primilorntermeni ai unui ir( )1 n na>, 22nS n n = a)S se determine formula termenului general na . b)S se arate ca irul( )1 n na>este o progresie aritmetic. 7)S se calculeze 12nkS k== FISE DE LUCRU(progresii geometrice) NR. 1 1. Se considera sirul cu termenul general( )1 n nb>, cu 14nnb+= . Stabiliti daca acest sir este o progresie geometrica. 2.S se determine nc 2 termeni i formula termenului general, pentru urmtoarea progresie geometric definit descriptiv astfel: 2,10,50, 250,.... Precizai raia i termenul de rang3 . 3. Se d progresia geometric( )1 n nb>, cu 13 b = i2 q = . a)S se scrie termenii 2 10, b b . b)S se calculeze 7S . 4. Progresia geometric( )1 n nb>de raieq este definit de urmatoarele elemente 38 b =i 732 b = . Calculai 1, b q . 5.Artai c dac numerele, , a b c sunt n progresie geomeric atunci i numerele 2 2, ,a cbc a se afl, de asemenea n progresie geometric. 6.S se calculeze: a)4113kkS=| |= |\ . b) 3 1 23 4 5 2...nnb b b bTb b b b += + + + + , tiind c irul( )1nnb> este o progresie geometric. 7.Calculati suma compusa: 1 3 5 2 12 4 6 ... 2nnS a a a naa a a a | | | | | | | |= + + + + ||||\ . \ . \ . \ . NR. 2 1. Se considera sirul cu termenul general( )1 n nb>, cu 11 b = si 185nnbb ++= . Calculati 2 3, b b si aratati ca acest sir nu este o progresie geometrica. 2.S se determine nc 2 termeni i formula termenului general, pentru urmtoarea progresie geometric definit descriptiv astfel: 22, ,32,128,.... b Precizai raia i termenul de rang3 . Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] 3. Se d progresia geometric( )1 n nb>, cu 12 b = i3 q = . a)S se scrie termenii 2 4, b b . b)S se calculeze 7S . 4. Progresia geometric( )1 n nb>de raieq este definit de urmatoarele elemente 2 41 36020b bb b+ = + =. Calculaiq . 5.S se aflexe pentru care urmtorii termeni se afl n progresie geometric: ..1; 2 3; 2 x x + +6.S se calculeze: a) 2 3 41 1 1 113 3 3 3S = + +b) 2 3 3 4 1 1 22 3 3 4 4 5 1 2...n nn nb b b b b b b bTb b b b b b b b++ ++ + + += + + + ++ + + +, tiind c irul( )1nnb> este o progresie geometric. 7.Calculati suma compusa: ( ) ( )2 2 11 2 ... 2n nnS n n x n x x x = + + + + +NR. 3 1. Se considera sirul cu termenul general( )1 n nb>, cu 12 b = si 185nnbb ++= . Calculati 2 3, b b si aratati ca acest sir poate fi o progresie geometrica.Precizati ratia 2.S se determine nc 2 termeni i formula termenului general, pentru urmtoarea progresie geometric definit descriptiv astfel: 1,6,12, 24,.... b Precizai raia i termenul de rang3 . 3. Se d progresia geometric( )1 n nb>, cu 12 b = i3 q = . a)S se scrie termenii 2 4, b b . b)S se calculeze 6S . 4. Progresia geometric( )1 n nb>de raieq este definit de urmatoarele elemente 1 22 3812b bb b = + =. Calculaiq . 5.S se aflexe pentru care urmtorii termeni se afl n progresie geometric: .. 53; 1;3x x 6.S se calculeze: a) 2 3 4 51 1 1 1 13 3 3 3 3S = + +b) 2 2 21 21 1 1...nTb b b= + + + , tiind c irul( )1nnb> este o prog. geometric. 7.Sa se rezolve ecuatia : 5 13 21 ... 588 x + + + + = NR. 4 1. Se da sirul cu termenul general( )1 n nb>, 223nnb = . Determinati 1bsi ratia, stiind ca este o progresie geometrica. 2. Fie progresia geometric dat de 112b = si2 q = . Precizai termenii de rang 3 si3n 3. Se d progresia geometric( )1 n nb>, cu 12 b =i3 q = . a)S se scrie termenii 2 4, b b . b)S se calculeze 7S . 4. Progresia geometric( )1 n nb>de raieq este definit de urmatoarele elemente 4192 b = i 13 b = . Calculaiq . 5.S se afle, , a b ce in progresie geometrica pentru care avem7 a b c ++= si 2 2 221 a b c + + =6.S se calculeze: a) 2 3 4 51 1 1 1 112 2 2 2 2S = + + b) 1 2 2 3 3 4 1...n nT bb b b b b b b += + + + + , tiind c irul( )1nnb> este o progresie geometric. 7. Calculati suma : 1 21 1 11 1 ... 1nnSa a a | | | | | |= + + + + + + |||\ . \ . \ . NR.5 1. Se da sirul cu termenul general( )1 n nb>, 32n nb = . Determinati 1bsi ratia, stiind ca este o progresie geometrica. 2. Fie progresia geometric dat de 112b = si2 q = . Precizai termenii de rang 2 si2 1 n +3. 1)Se d progresia geometric( )1 n nb>, cu 12 b =i2 q = . Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] a)S se scrie termenii 2 6, b b . b)S se calculeze 7S . 4. Progresia geometric( )1 n nb>de raieq este definit de urmatoarele elemente 682 b = i 21 b = . Calculaiq . 5.S se afle, , a b ce in progresie geometrica pentru care avem26 a b c ++= si 1, 6, 3 a b c + + +6.S se calculeze: a) ( )1052kkS== b) 2 3 3 4 1 1 22 3 3 4 4 5 1...n nn nb b b b b b b bTb b b b b b b b+ = + + + + , tiind c irul( )1nnb> este o progresie geometric. 7.Sa se rezolve ecuatia :1 4 7 ... 117 x +++ + =NR. 6 1.Sa se arate ca urmatoarele numere nu pot fi termenii ai unei progresi geometrice 8, 6, 22.Fie progresia geometric dat de 12 b =si2 q = . Precizai termenul de rang2 si calculati1 2 3 6... P b b b b = 3. Se d progresia geometric( )1 n nb>, cu 524 b =i 696 b = . a)S se scrie 4, q b . b)S se calculeze 7S . 4. Progresia geometric( )1 n nb>de raieq este definit de urmatoarele elemente 6 45 43216b bb b = + =. Calculai 1, b q . 5.Artai c dac numerele, , a b c sunt n progresie geometric atunci i numerele ,1,a cb b se afl, de asemenea n progresie geometric. 6.S se calculeze: a)4023kkS=| |= |\ . b) 3 1 22 4 6 2...nnb b b bTb b b b= + + + + , tiind c irul( )1nnb> este o progresie geometric. 7. Sa se calculeze : ( )2 11 22 32 ... 1 2nnA n= + + NR. 7 1.Sa se arate ca urmatoarele numere pot fi termenii ai unei progresi geometrice 53, 5,3 2.Fie progresia geometric dat de 15 b =si2 q = . Precizai termenul de rang2 si calculati1 2 5... P b b b = 3. Se d progresia geometric( )1 n nb>, cu ratia pozitiva si324 b =i 596 b = . a)S se scrie 4, q b . b)S se calculeze 7S . 4. Progresia geometric( )1 n nb>de raieq este definit de urmatoarele elemente 5 14 216048b bb b = =. Calculai 1, b q . 5. Artai c dac numerele,1,a cb bsunt n progresie geometric atunci i numerele , , a b cse afl, de asemenea n progresie geometric. 6.S se calculeze: a)4032kkS=| |= |\ . b) ( )3 1 22 4 6 2... 1nnnb b b bTb b b b= + + , tiind c irul( )1nnb> este o progresie geometric. 7. Sa se calculeze : 2 11 23 33 ... 3nA n= + + + + NR. 8 1. Se considera sirul cu termenul general( )1 n nb>, cu4 1nnb = + . Stabiliti daca acest sir este o progresie geometrica. 2.S se determine nc 2 termeni i formula termenului general, pentru urmtoarea progresie geometric definit descriptiv astfel:1,3,9, 27,.... Precizai raia i termenul de rang2 . 3. Se d progresia geometric( )1 n nb>, cu 13 b = i2 q = . a)S se scrie termenii 3 9, b b . b)S se calculeze 10S . 4. Progresia geometric( )1 n nb>de raieq este definit de urmatoarele elemente 12 b =i 28 b = . Calculai 3, q b . 5.Artai c dac numerele, , a b c sunt n progresie geometric atunci i numerele , , ab ac bcse afl, de asemenea n progresie geometric. 6.S se calculeze: Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] a)6212kkS=| |= |\ . b) 3 1 22 3 4 1...nnb b b bTb b b b += + + + + , tiind c irul( )1nnb> este o progresie geometric. 7.Calculati suma compusa: ( )1 1 1 13 5 ... 2 13 6 12 32n nS a a a n a| | | | | | | |= + + + + + + + + |||| \ . \ . \ . \ . ADMITERE ASE - PROBLEME GRILA 1.Fie sirul( )1 n nx>care formeaza o progresie aritmetica cu 13 x = si ratia in *. Daca ( )1 11, , 2nnk k ka n nx x= += e > si daca 1lim5nna> , atunci 62x este:A.64 B.125C.186D.247E.A,B,C,D toate false 2.Fie sirul( )1 n na>de numere strict positive care formeaza o progresie aritmetica cu 13 a = . Daca 1 1 21nnk k k kSa a a= + += si daca 1lim60nnS> , atunci valoarea lui *nepentru care 123na = este:A.81B.25 C.40 D.21E.61 3.( ) {1 2 3, , , ,k k k kn n n nA n k C C C C+ + += esunt termenii consecutivi ai unei pregresii aritmetice }, si fiemnumarul elementelor luiA. Decideti: A.A= CB.1 m= C.2 m= D.3 m= E.4 m> 4.Fie sirul( )1 n na>de numere naturale ai carui termeni formeaza o progresie aritmetica cu 11 a = . Fie*meastfel incat 1 2 2 3 11 1 1 4...5m ma a a a a a ++ + + =+ + +. restul impartirii lui mla16 este: A.1B.7 C.5D.8 E.3 5.Fie sirul( )1 n na>care formeaza o progresie aritmetica in care11 a =si ratiar e si fie ( )1 n nb> sirul care formeaza o progresie geometrica in care11 b =si ratiaqe , cu 1 q > . Daca1nknk kabo==, aflati limnnl o=A.0 l =B. ( )( )21r qqlq+= C. ( )( )211r q qlq+ = D. ( )21r qlq= E. ( )1r qqlq=+

6.Fie( ){, , 2, M n k n n n k = e + + sunt termenii consecutivi ai unei pregresii aritmetice} si fiemnumarul elementelor luiM . Atunci:A.M = CB.1 m= C.2 m= D.3 m= E.4 m> 7.Fie sistemul ( ) ( )( ) ( )2211 1 2 ,2 2 2 1 3x y zx y zx y z + =+ + + = e+ + + =cu, , xyzsolutia sistemului pentru{ } \ 0,1 e si2 S x y z = + .Se considera tripletele 11, ,1xt x yy y| |= |\ .; 2, , 11yt x zz| |= + |+\ .;( ) 3, , t y xz yx z = ; 4, ,1x y zty z x| |= |+\ . ; 5, ,1yt y z xz| |= + |+\ .. fieTtripletul ai carui termeni sunt in progresie aritmetica. Atunci: A.5 S = B.0 S = C.1 S = D.5 S = E.25 S =A.1T t =B.2T t =C.3T t =D.4T t =E.5T t = 8.Fie sirul( )1 n na>o progresie aritmetica cu()* *0, , , ,na n p q p q > e e = astfel incat 21 221 2......pqa a ap pa a a q q+ + ++=+ + + +. Daca pqaao = , atunciA. pqo = B. 11pqo+=+C. 2 12 1pqo=D. 2211pqo+=+E. 2 12 1pqo+=+Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] 9.Fie ecuatia3 23 0 x x cx d + + + = ale carei radacini le notam1 2 3, , x x x . FieM multimea perechilor( ) , c d e cu proprietatea ca 1 2 3, , x x x sunt in progresie aritmetica , iar 1 2 31, 1, 1 x x x + + + sunt in progresie geometrica si fiek numarul elementelor lui M. Decideti: A.M = CB.1 k = C.2 k = D.3 k = E.M este infinita 10. Se considera binomul ( ) ( )lg 10 32lg3 52 2xnx (+ ( . Stiind ca al 6-lea termen al dezvoltarii binomului este egal cu21si cooeficientii termenilor de rang doi, trei si patru sunt respective primul, al 3-lea si al 5-lea termen al unei progresii aritmetice, atunci: A.{ } 1; 2 xe B.{ } 0; 2 xe C.{ } 1; 2 xe D.3 x = E.1 x =11. Suma numerelor divizibile cu12 cuprinse intre100si1000 este: A.28500B.42000C.41500D.41000E.41400 12. Fiind data o progresie aritmetica in care sunt indeplinite simultan urmatoarele conditii: a.Suma primilor 4 termeni este 40 b.Suma ultimilor 4 termeni este104; c.Suma tuturor termenilor este 216; Primul termen si ratia sunt: A. 172ar==B. 152ar==C. 173ar== D. 147ar==E. 148ar== 13. Daca 1 2 3, , ,...,pS S S S sunt sumele primilorn termeni ale unor progresii aritmetice, avand primii termeni1, 2, 3,..., p si ratiile corespunzatoare1, 3, 5,..., atunci suma1 2 3...pS S S S S = + + + +este:A.1 S n p = + + B.S np =C.( ) 12npS np = + D. 2npS =E.1 S np = + 14. Daca 1 2 3, , ,...,na a a aeste o progresie aritmetica, atunci 2 1 22 2 2 2 2 21 2 3 4...k kS a a a a a a= + + + este: A. ( )2 21 212 1kS a ak= ++ B. ( )2 21 22 1kkS a ak= C. ( )2 21 22 1kkS a ak= D.( )2 21 212kS a ak= +E.( )2 21 222 1kkS a ak= 15. Daca, , xyz au simultan proprietatile: a., 4, xy z + sunt in progresie aritmetica b., , xyz sunt in progresie geometrica c., 4, 32 xy z + + sunt in progresie geometrica, atunci: A. 6218xyz===B. 1862xyz===C. 2618xyz=== D. 29109509xyz== = E.C SauD 16. Se considera expresia( )3 24 12 11 3, S x x ax x a = + e . Ecuatia( ) 0 S x = are radacinile in progresie aritmetica pentru: A. 2 101,4a e ` ) B. 2 101,4a e ` ) C. 2 101,4a e ` ) D. 2 102,4a e ` )E. 1 102,4a e ` ) 17. Fie( )1 n nb>un sir de numere reale cu proprietatea ca pentru3 k > este satisfacuta relatia1 25 6 0k k kb b b + = . Fie nnumarul sirurilor care, pentru 10 b = dat sunt progresii geometrice, 1 2 3, , ,...,nS S S S sumele primilor 5 termeni ai acestor progresii geometrice pentru 11 b = si1niiS S== . stabiliti daca: A.1 n = B.2 n = C.3 n = D.4 n =E.n = Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] A. 120 S =B. 31 S =C. 121 S =D. 152 S =E. 169 S = 18. Fie , 3 n n e >si 1 2 3, , ,...,na a a a primiin termeni ai unei progresii geometrice, cu ()0, 1,ka k n> =. Daca1 2 1 2 31 11, , ...n nk nk k ks a s P a a a aa= == = = , atunci: A. 12sPs=B. 12 1nn nsPs s= C. 12nsPs| |= |\ . D. 12nsPs| |= |\ . E. 121nsPs| |= |\ . 19. FieS suma primilor 40 de termini ai unei progresii aritmetice( )1 n na>in care are loc relatia: 7 12 22 4140 a a a a + + + = . Atunci: A.120 S = B.315 S = C.605 S = D.400 S = E.342 S = 20. Fie ( )1 n nb> o progresie geometrica cu ratiaq si ( )*12 1,nnkkb n== e. Daca11T q b = +, atunci: A.1200 T = B.1000 T = C.1026 T = D.1256 T = E.914 T = 21. Fie( )1 n na>o progresie aritmetica, cu ratia nenula si ( )*1,pp kkS a p== e. Daca suma primilor n termeni este jumatate din suma urmatorilorn termeni si 3nnSS| =, atunci: A.6 | = B.5 | = C.2 | = D.3 | = E.4 | = 22. Fie( )1 n na>o progresie aritmetica avand 11 a = si ratia0 r > . Daca 20011 11k k kSa a= +=, atunci: A. 20012002 1Sr= B. 12002rS+= C. 20012001 1Sr=+ D. 20022002 1Sr=+ E. 20022002 1Sr= 23. Daca numerele, , o | sunt in progresie aritmetica de ratier , iar, 2, 12 o | + + sunt in progresie geometrica de ratie1 r + , atunci: A. 147o|=== B. 123252o|=== C. 345o|===D. 246o|===E. 135o|=== 24. DacaS este suma numerelor naturale impare cuprinse intre 25 6 n n + si 2n n + , unde , 4 n n e > , atunci: A. 3 23 9 15 9 S n n n = + B. 3 23 6 5 9 S n n n = + + C. 3 22 3 6 7 S n n n = + D. 3 22 3 6 7 S n n n = + + E. 3 23 2 7 8 S n n n = + 25.Fie 1 2 9, ,..., a a a primii9 termeni ai unei progresiii geometrice cu termeni pozitivi, in care3asi 5a sunt respectiv cea mai mica sic ea mai mare radacina a ecuatiei ( ) ( ) 4 411 log 3 2 log 1 10 112x x + = + ( .Daca91nkS a==, atunci: A. 242 80 33S= B. 242 80 33S+=C. 243 3 79S=D. 243 3 79S+= E. 2451 3S =+ 26. Se considera progresia aritmetica( ) * n nbeastfel incat 3 6 990 b b b + + = . Daca111kkb |==, atunci: A.90 | = B.330 | = C.225 | = D.180 | = E.495 | = 27. Fie ori4 42 422 ... 422...22nS = + + + + unde numerele sunt scrise in baza10 . Daca 2138 10 41681S = , atunci: A.11 n = B.16 n = C.20 n = D.18 n = E.14 n = Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] 28. Se considera numerele reale pozitive , 1, 9ix i =in progresie aritmetica de ratie0 r > . Daca 3 3 1 3 22 2 23 1 3 2 31 1 1, 1, 3j j j jj j jy x x x jx x x = = si( )( ) ( )( ) ( )( )1 3 2 3 1 23 1 3 2 2 1 2 3 1 2 1 3y y yy y yTy y y y y y y y y y y y= + + , atunci: A.1 T = B.3 T = C.2 T r = D.1 T r = E. 3 22 3 3 T r r r = + + + 29. Se considera( )1 n na>progreasia aritmetica de ratie4 r = si12 a =, iar( )1 n nb>progresia geometrica de ratie 2 q = si11 b =. Daca20071kk kaSb==, atunci: A. 20068034122S = B. 20058026162S = C. 20078064133S = +D.724038155S = + E. 27 S = 30. Se considera sistemul2 , ,2 2 1x y z ax y z ba bx y+ + = = e =astfel incat, , xyz sunt in progresie aritmetica (in aceasta ordine).Atunci: A.0 a b + = B.2 1 0 a b + = C.2 2 0 a b + = D.2 0 a b + = E.1 0 a b + + = 31. Se considera( )1 n na>progreasia aritmetica de ratier si12 a =, iar( )1 n nb>progresia geometrica de ratie q si11 b =. Calculati in functie de , , n rqsuma1nkk kaSb==. In particular pentru 2005; 4; 2 n r q = = = , avem: A. 20048034122S = B. 20048026162S = C. 20078064133S = +D.724038155S = +E.20048026122S = 32. Fie ( ) ( ) ( )2 20061 1 1 ... 1 S i i i = + + + + + + +. Sa se calculeze 2T S = : A. 20072 B. 2007 10042 2 C. 20072 1 + D. 2007 20042 2 E. 2007 10042 2 1 + 33. Fie *, a be astfel incat, 0 a b ab = > . Calculati valoarea expresiei ( )22221 ..., ,1 ...nnnna a ab b bEa b nb b ba a a+ + + +=+ + + +: A. ( ) , ,naEa b nb| |= |\ . B.( ) , , 1 Ea b n =C. ( ) , ,nbEa b na| |= |\ . D. ( ) , , Ea b n n = E. ( ) , ,aEa b nb= 34. Se considera progresia aritmetica( ) * n naecu 12 a = si suma primilorn termeni 2nS n bn c = + + . Dacalim2 1nnan|| |= |+\ ., atunci: A.e | =B. 3e | =C. 1e| = D. 31e| =E.e | =Raspunsuri : 1.2.3.4.5.6.7.8.9. 10.11.12.13.14.15.16.17.18.D 19.D20.C21.A22.C23.D24.A25.B26.27.C 28.A29.A30.B31.E32.E33.A34.C BACALAUREAT (M1) - 2008 1) (v 1/s I/e 1)Sa se determine numarul naturaln din egalitatea1 5 9 ... 231 n + + + + = . 2) (v 6/s I/e 1)Sa se calculeze suma tuturor numerelor de doua cifre care se divid cu 11 3) (v 11/s I/e 1)Sa se determine , a be stiind ca numerele 2, , a b sunt in progresie geometrica si 2,17, a sunt in progresie aritmetica. 4) (v 12/s I/e 1)Sa se calculeze suma primilor 20de termeni ai unei progresii aritmetice ( )1 n na>, stiind ca4 24 a a =si 1 3 5 630 a a a a + + + =5) (v 22/s I/e 1)Sa se calculeze2 101 ... i i i + + + +6) (v 32/s I/e 1) Se considera numarul real 2 20081 1 11 ...2 2 2S = + + + + . sa se Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] demonstreze ca( ) 1; 2 s e 7) (v 37/s I/e 1)Sa se calculeze suma1 4 7 ... 31 + + + +8) (v 42/s I/e 1) Sa se calculeze partea intreaga a numarului 2 31 1 113 3 3S = + 9) (v 46/s I/e 1)Fie o progresie aritmetica ( )1 n na>. Stiind ca 3 1910 a a + = , sa se calculeze 6 16a a +10)(v 60/s I/e 1) Sa se arate ca( )2 8 92 1 3 3 ... 3 3 + + + + stiind ca;6; 5 x x sunt in progresie geometrica. 13)(v 65/s I/e 1)Sa se determine primul termen al progresiei aritmetice 1 2, ,13,17,... a a14)(v 67/s I/e 1)Sa se determine primul termen al progresiei geometrice cu termini pozitivi1 3, 6, , 24,... b b15)(v 77/s I/e 1)Se considera progresia aritmetica de ratie 2 r =cu 3 48 a a + = . sa se determine 1a16)(v 90/s I/e 1)Se considera progresia aritmetica( )1 n na>de ratie 3 r =. Stiind ca suma primilor10 de termeni ai progresieii este150 , aflati 1a17)(v 90/s I/e 1)Numerele reale pozitive, , , a b c d sunt in progresie geometrica. Stiind ca7 d a = si2 c b = , sa se afle ratia progresiei. 18)(v 96/s I/e 1)Fie, , a b c numere natural nenule in progresie geometrica. Stiind ca a b c + + este un numar par, sa se arate ca numerele, , a b c sunt pare. BACALAUREAT (M2) 2008 1) S se determine valorile reale pozitive ale numruluix , tiind c 3lg , , lg2x x sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 2) S se determine alzecelea termen al irului1, 7,13,19,... . 3) S se calculeze suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice ( )1 n na>tiind c 11 a =i 23 a =4) S se demonstreze c pentru oricexenr. 13 1;3 ;53 1x x x + + sunt termeni consecutivi ntr-o progresie aritmetic. 5) S se calculeze suma1 5 9 13 ... 25 + + + + +6) S se determine al noulea termen al unei progresii geometrice, tiind c raia este egal cu 13 i primul termen este 243. 7) S se calculeze suma 2 3 41 1 1 11 .3 3 3 3+ + + +8) S se determine numrul realx , tiind c 12 1; 4 ; 2 3x x x+ + sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 9) S se determine numrul realx , tiind c3; 4; 3 x x + , 4,3 + x sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 10)S se calculeze suma1 3 5 7 ... 21 + + + + +11)Seconsiderprogresiaaritmetic( )1 n na>ncare 35 a = i 611 a = .S se calculeze 9a . 12) S se calculeze suma 2 3 71 2 2 2 .. 2 . + + + + +13)Seconsiderprogresiaaritmetic( )1 n na>ncare 11 a = i 513 a = .S se calculeze 2008a . 14)Ssedetermineraiauneiprogresiiaritmetice 1( )n na>,tiindc 10 216 a a = . 15)Seconsiderprogresiaaritmetic 1( )n na>ncare 12 a = i 24 a = .S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. 16)Se consider progresia geometic 1( )n nb> n care 12 b =i 26 b = . S se calculeze 5. b17)S se determine numrul realx ,tiind c irul 1, 2 1,9,13,... x +este progresie aritmetic. 18)Se consider progresia aritmetic 1( )n na> n care 16 a = i 25 a = . S se calculeze 7a . 19) Se consider progresia aritmetic 1( )n na> n care 25 a = i3 r = . S se calculeze 8a . 20) Se consider progresia geometric 1( )n nb> n care 11 b =i 23 b = . S se calculeze 4. b21) Se consider progresia aritmetic 1( )n na> n care 17 a =i 237 a = . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. 22) Se consider progresia aritmetic 1( )n na> n care 13 a =i 37 a = . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. 23)S se calculeze suma1 11 21 ... 111 + + + +24) S se determine numrul realx tiind c numerele 1; 2 3; 3 x x x + sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.25) S se determine numrul real pozitivxtiind c irul1; ; 2;8 xx + este progresie geometric. 26) S se determine suma primilor 6 termeni ai progresiei aritmetice 1( )n na>, n care 12 a =i 25. a =Prof. Daniel Prutescu[PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE] 27)S se determine numrul realxtiind c numerele 5 ; 7;3 11 xx x + +sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice. 28)S se arate c numerele 12 3log 2; ;5 Csunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 29)S se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, tiind c suma primilor doi termeni ai progresiei este egal cu 8, iar diferena dintre al doilea termen i primul termen este egal cu 4. 30)S se calculeze al cincilea termen al unei progresii aritmetice tiind c primul termen al progresiei este 7 i al doilea termen este 9. 31)S se determine raia progresiei geometrice 1( )n nb> tiind c 13 b =i 2 13. b b =32)S se demonstreze c irul cu termenul general2 3,na n = +verific relaia 12,n na a+ =pentru orice *ne . 33) S se arate c numerele 331;log9; 64sunt termeni consecutivi dintr-o progresie geometric. 34) S se determine numrul reala , tiind c numerele 22 ; 4 1; 2a a a++sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 35)S se determine numrul realx , tiind c numerele 1; 1; 2 1 x x x + sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 36)Se consider funcia: , f ( ) 2 3. f x x = +S se arate c numerele( ) ( ) ( ) 1 ; 0; 3 f f f sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. 37)S se calculeze suma2 5 8 ... 26 + + + +38)Se consider funcia: (0; ) , f + 2( ) log . f x x =S se arate c numerele( ) ( ) ( ) 1 ; 2; 4 f f f sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 39)S se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice n care primul termen este egal cu 16, iar raia este 12 40)S se determine termenul al patrulea al unei progresii aritmetice tiind c primul termen este 2 i raia este 3. 41)S se calculeze suma2 12 22 ... 92 + + + +42) S se calculeze suma 2 3 61 2 2 2 .. 2 . + + + + +43)S se calculeze suma1 5 9 ... 25 + + + +44)S se calculeze produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, care are primul termen2i raia egal cu2. 45)S se determine numrul realx , tiind c numerele 1; 2 2; 3 x x x + sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 46)S se determine numrul realx , tiind c numerele 1; 1; 2 5 x x x + + sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. 47)S se determine produsul primilor trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice 1( )n nb> tiind c primul termen este egal cu 1 i raia este2 q =