Eficacitatea unui program experimental (E):

E I 100 N

I numarul de informatii utile; N - numarul de experiente cuprinse in program

Daca nu se foloseste un model matematic cu un grad mai mare de

doi, eficacitatea programelor factoriale intregi scade odata cucresterea numarului de factori implicati (ex.: scadere de pana la 50%cand sunt implicati 5 factori)

Informatii obtinute din aplicarea unor programe factoriale intregi la doua nivele de variatie a factorilor de influenta: media raspunsului (b0); coeficientii variabilelor independente (bj); coeficientii interactiunilor intre

factori (bij)

Experimente care nu se pot limita doar la doua nivele de variatie ale factorilor de influenta importanta crestere a numarului de experiente de efectuat aplicarea planurilor factoriale fractionate

crestere considerabila de timp si de cost pentru efectuarea

tuturor experimentelor necesare

blocuri (fractiuni ) ale unui plan factorial intreg (plan de tipul 2k, cu N = 2k experiente) desfasurarea unei fractiuni din planul factorial intreg (ex.: , ), sacrificand unele aspecte privind eroarea experimentala sau consistenta in derularea

experimentelor

Numar mare de variabile ierarhie a semnificatiei termenilor corespunzatori interactiunilor (interactiunile de ordin mai mare tind sa

devina neglijabile , putand fi astfel eliminate din model, atunci candnumarul variabilelor creste

Ex.: Intr-o schema de experienta factoriala cu trei factori (A, B, C), efectul de interactiune de gradul cel mai mare:

ABC = - (1) + a + b ab + c ac bc + abcExperientele pot fi impartite in doua blocuri: Blocul 1: - (1) Blocul 2: a - ab b - ac c - bc abc

Introducerea de programe factoriale fractionate pentru reducerea la minim a numarului de experiente, fara a diminua cantitatea si calitatea

informatiilor utile

In practica, pentru o cercetare aprofundata a unui fenomen / proces: * Plan factorial fractionat

* Program factorial intreg

MATRICI DE EXPERIMENTARE PENTRU

EXPERIMENTE FACTORIALE FRACTIONATEA. METODA SUBSTITUTIEI

In matricea de baza, se inlocuieste interactiunea presupusa a nu influenta semnificativ procesul de studiat (pe baza analizei calitative a procesului), cu un nou factorcontraste definitorii contraste definitorii de rezolutie maxima (sunt prezenti toti factorii implicati)

In matricea de baza: numarul minim de experiente trebuie sa fie cu cel putin o unitate mai mare decat numarul factorilor implicati: N k + 1 In functie de numarul de interactiuni care se inlocuiesc in matricea de

baza replicatii fractionate la jumatate, la sfert, la optime.

REPLICATII INJUMATATITE (N = 2k-1)* Matrice de experimentare 22 (2 factori / 2 nivele de variatie) cu o singura interactiuneInteractiunea X1X2 poate fi inlocuita cu un nou factor: X1X2 = X3 (matricea de experimentare I)

- X1X2 = X3 (matricea de experimentare II)

Elementele matricei de tip I (N = 23-1) Cod in program N = 22 (1) a b ab -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 X1 (A) X2 (B) X3 = X1X2 (C) Cod in programul de baza N = 23 c a b abc

Elementele matricei de tip II (N = 23-1) Cod in program N = 22 (1) a b ab -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 X1 X2 X3 = - X1X2 Cod in programul de baza N = 23 (1) ac bc ab

(A)

(B)

(C)

replicatie injumatatita a matricei de experimentare pentru un experiment factorial intreg pentru 3 factori la 2 nivele

* Matrice de experimentare 23 cu patru interactiuni(3 factori / 2 nivele de variatie)

Oricare din cele 8 interactiuni poate fi inlocuita cu un nou factor contrastele definitorii: X4 = X1X2 X4 = X2X3 X4 = X1X3 X4 = X1X2X3 X4 = - X1X2 X4 = - X2X3 X4 = - X1X3 X4 = - X1X2X3

Selectarea uneia din cele 8 solutii posibile pe baza analizei calitative a procesului In lipsa unei restrictii de ordin calitativ, se alege contrastul definitoriu

de rezolutie maxima: X4 = X1X2X3 sau X4 = - X1X2X3

Elementele unei matrici de tip I (N = 24-1)

Cod in program N = 23

X1 (A) -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

X2 (B) -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

X3 (C) -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

X1X2

X2X3

X1X3

X4 = X1X2X3 (D) -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1

Cod in programul de baza N = 24

(1) a b ab c ac bc abc

+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

d ad bd ab cd ac bc abcd

Elementele unei matrici de tip II (N = 24-1)Cod in program N = 23

X1 (A) -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

X2 (B) -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

X3 (C) -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

X1X2

X2X3

X1X3

X4 = -X1X2X3

(1) a b ab c ac bc abc

+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

(D) -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1

Cod in programul de baza N = 24

d ad bd ab cd ac bc abcd

Ambele matrici contin doar jumatate din numarul experientelor din

programul factorial intreg 24

REPLICATII PE SFERT (N = 2k-2) Doua interactiuni din matricea de baza sunt inlocuite cu doi factori noi (X4, X5) Ex.: pentru o matrice de baza 23, pot fi alese solutiile: X4 = X1X2X3 X4 = X1X2 X4 = X2X3 X4 = X1X3 X5 = - X1X2X3 X5 = - X1X2 X5 = - X2X3 X5 = - X1X3

Fiecare interactiune dintr-un program de baza inlocuita cu cate un nou factor programe saturate, care permit evaluarea a N 1 factori independenti in N experiente

Matrice saturata obtinuta prin substitutieCod in program N = 23 (1) a b ab c ac bc abc X1 X2 X3 X4=X1X2 X5=X1X3 X6=X2X3 X7 = X1X2X3 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1

-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

B. MATRICI HADAMARD linii de generare pentru N = 8, 12, 16, 20, 24, 32 experiente pot fi utilizate ca programe factoriale saturate (N = k + 1), sau nesaturate (N > k + 1) Matrice Hadamard saturata pentru N = 8 determinari Nr. exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 X1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 X2 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 X3 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 X4 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 X5 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 X6 X7 Raspuns Yi -1 -1 Y1 +1 -1 Y2 -1 +1 Y3 +1 -1 Y4 +1 +1 Y5 +1 +1 Y6 -1 -1 Y7 -1 -1 Y8

Yi valorile experimentale obtinute pentru parametrul de optimizat

Stabilirea modelului matematic pentru un experiment factorial fractionatMetoda substitutiei Matrici obtinute prin calculul coeficientilor

modelelor matematice de tippolinomial Metoda Hadamard

Coeficientul factorului introdus in locul unei interactiuni contine atat efectul factoruluiintrodus, cat si efectul interactiunii inlocuite

determinarea modelului matematic pentru un experiment factorial

fractionat (ex.: operatia de filtrare din procesul de purificare a unei SM)

Obiectiv: stabilirea conditiilor de filtrare pentru obtinerea puritatii maxime a SM, prin intermediul unui plan experimental cu 8 experiente

Planul experimental continand factorii de influenta, valorile naturale si valorile codificate

Factori 1 Concentratia suspensiei Varsta suspensiei

UM 2 % Zile

Cod factor 3 X1 X2

Xjmin Xjmax 4 2 25 0 10

Xj 5 15 5

Xj0 6 12 5

Nivelul Inferior Superior 7 2 0 8 25 10

Concentratia solventuluiTemperatura

%C

X3X4

0 205 - 25

1010

1015

05

2025

Xj valoarea naturala a factorului j (valoarea minima si maxima a factorului j) Xj unitatea de variere (incrementul care se adauga sau se scade din valoarea nivelului de baza, Xj0) Xj0 valoarea naturala a factorului j la centru

stabilite prin experimente preliminare

Pentru determinarea influentei factorilor

replicare injumatatita

a experimentului factorial intreg 24 (k = 4 factori / 2 nivele de variatie)

N = 2k -1 matricea de baza corespunde experimentului 23

Relatia de generare: X4 = X1X2X3

Matricea de experimentareNr. exp. 1 2 3 4 5 6 7 8Cod in program N = 23

X1

X2

X3

X4 = X1X2X3 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1

X1X2

X1X3 X2X3

Yi puritate

(1) a b ab c ac bc abc

-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1

+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

70 77 85 91 69 84 83 95

Pentru stabilirea influentei cantitative a fiecarui factor in parte asupra raspunsului (puritatea produsului) si pentru stabilirea interactiunii dintre factori model matematic de tip polinomial cu 8 termeni (N = 2k 1 = 24 1 = 23 = 8)

Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4 + b12X1X2 + b13X1X3 + b23X2X3

Valoarea reala a influentei factorului X4 = X1X2X3 din replicatia injumatatita se cumuleaza cu efectul interactiunii dintre cei trei factori: 4 = b4 + b123

b0

Yi N

b0 = 81,75

1 N b j ( X jiYi ) N i 1

b1 = 5,0; b2 = 6,75; b3 = 1,0; b4 = -0,25; b12 = -0,5; b13 = 1,75; b23 = -0,5

Influenta relativa a factorilor asupra raspunsului: 2bj x 100 / b0X1 (concentratia suspensiei) 12%; X2 (varsta suspensiei) 16,5%; X3 (concentratia solventului) 2,5%; efectul cumulat al X4 (temperatura) cu X1X2X3 0,6%

Efectul interactiunilor: X1X2 = X2X3 = 1,2%; X1X3 = 4,3%

Alte programe de proiectare factoriala

* Efectul unui factor trebuie investigat la mai mult de doua nivele * Modelul matematic obtinut nu este adecvat pentru descrierea cu buna aproximatie a sistemului / procesului studiat necesitatea proiectarii unui model de ordin superior (ex.: model patratic ce contine termeni Xi2) crestere semnificativa a numarului de

experiente experimentul devine costisitor

Metoda patratelor latine* Permite planificarea experientelor in vederea evaluarii efectelor a k factori la un numar de nivele de variatie p > 2

* Ofera informatii in conditiile in care efectele interactiunilor dintre factori sunt mai mici decat efectele cauzate de factorii principali si erorile

experimentale urmeaza o distributie normala

Patrate latine: matrici patrate de un ordin oarecare, in fiecare celula aparand o litera latina, o singura data, pe linie sau pe coloana

Patrat latin 2 x 2 a b b a a b c Patrat latin 4 x 4

Patrat latin 3 x 3b c a c a b

ab c d

bc d a

cd a b

da b c

http://designtheory.org/library/e ncyc/latinsq/e/ http://www.isogenic.info/html/bl ocked_designs.html

Avantaj al metodei patratelor latine: reducerea semnificativa a numarului de experiente ce trebuie realizate (ex.: pentru un experiment factorial ce implica trei factori de influenta (A, B, C) la cate trei nivele de variatie, prin intermediul unui plan de tipul patrat latin 3 x 3, numarul experientelor din care se pot obtine informatii este de doar 9, fata de 27 conform unui plan factorial complet (33))

Exemplu de plan de experiente conform unui plan latin 3 x 3

A1 B1 B2 C1 (1) C2 (4)

A2 C2 (2) C3 (5)

A3 C3 (3) C1 (6)

B3

C3 (7)

C1 (8)

C2 (9)

Cifra din paranteze numarul experientei Linia intai a matricei factorul A la cele p niveleColoana intai a matrice factorul B la cele p nivele Factorul C scris sub forma de patrat latin

Raspunsul Y al sistemului evaluat pentru toate cele 9 experiente (efectuate in ordine aleatoare)

Planurile de experiente Taguchi abordare complementara fata de metodele clasice de proiectare experimentala

combinarea tehnicilor de inginerie cu cele de statistica se stabileste o relatie intre functia pierdere a calitatii sistemului / procesului studiat si raportul semnal / zgomot aplicatii in domeniul farmaceutic: planuri de experiente in proiectarea, formularea si optimizarea farmaceutica, optimizarea unor procese tehnologice Factori controlati (de semnal, de formulare); ex.: concentratia de substanta activa, raportul dintre diversi excipienti etc.

Metoda Taguchi factori de influentaFactori de zgomot (afecteaza procesul studiat, determinand instabilitatea acestuia)

Obiectivul metodei Taguchi: reducerea efectelor factorilor de zgomot, prin identificarea combinatiilor de parametri controlati ce micsoreaza efectele acestora

Indicatorul de performanta: raportul semnal (S) / zgomot (Z)

semnalul valoarea doritazgomotul variabilitatea nedorita a valorii S / Z mai mare performanta procesului / produsului ce trebuie a fi

optimizat mai buna

Experimente factoriale fractionatehttp://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_factorial_design http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section4/pri472.htm http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/stats/f7630.html

Matrici Hadamardhttp://designtheory.org/library/encyc/topics/had.pdf http://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_matrix

Metoda Taguchihttp://www.ee.iitb.ac.in/~apte/CV_PRA_TAGUCHI_INTRO.htm http://design.caltech.edu/Research/Publications/90f.pdf