Procesele de cavitaţie înfilmele de lubrifiant

Doctorand: ing. Mihai-Daniel GĂMANConducător: prof. dr. ing. Mircea PASCOVICI

2

CUPRINS

Cuprins ................................................................................................. 2Introducere ............................................................................................ 31. Studii experimentale .......................................................................... 5

1.1 Experimente privind determinarea tensiunii de rupere................... 51.2 Cavitaţia în lagărele încărcate staţionar ........................................ 81.3 Dovezi experimentale privind cavitaţia în lagărele încărcate

dinamic...................................................................................................... 111.4 Dovezi experimentale privind cavitaţia în amortizoarele cu

expulzare de film ....................................................................................... 151.5 Regimuri de cavitaţie dinamică în amortizoarele cu expulzare de

film............................................................................................................ 192. Studii teoretice ................................................................................ 23

2.1 Modelul de rupere a filmului (cavitaţie) Jakobsson- Floberg-Olsson (JFO).............................................................................................. 23

2.2 Un algoritm universal de cavitaţie (Elrod) ............................... 322.3 Rezultate obţinute folosind programul Fluent ............................. 36

Concluzii............................................................................................. 42Bibliografie ......................................................................................... 43Anexe.................................................................................................. 44

Anexa A Implementarea algoritmului de cavitaţie Elrod în programulMathCAD .................................................................................................. 44

3

INTRODUCERE

Lichidele omogene şi pure pot fi tensionate prin reducerea presiunilorsau prin creşterea temperaturii. În momentul în care tensiunea lichidului atingeo anumită valoare, denumită critică, lichidul se rupe sau cavitează, devenindun sistem bifazic format din lichid şi vapori. De regulă acest amestec conţineîn cantităţi reduse şi gazele dizolvate în prealabil în lichid. Reducerea încontinuare a presiunii, prin tensionare, duce la dezvoltarea şi amplificareacavităţilor ce apar în lichid, la generarea lor continuă, deci la fenomenul decavitaţie. În general, o substanţă lichidă, supratensionată sau supraîncălzită, serecunoaşte ca o fază metastabilă care oricând poate duce la cavitaţie saufierbere. Astfel, vaporizarea lichidului este de două tipuri. Primul tip este acelaal binecunoscutului proces al fierberii lichidului, la o suprafaţă plană deseparaţie a lichidului de vapori, printr-un aport de căldură. Al doilea tip esteprocesul cavitaţional în care vaporizarea apare în masa lichidului precum şi lapereţii solizi ai vasului prin tensionarea lichidului, respectiv scădereapresiunii.1

Fenomenul de cavitaţie este posibil să apară în procesele de lubrificaţiehidrodinamică şi anume în funcţionarea lagărelor cu alunecare, cu rostogolire,sau cu rulare precum şi la lagăre axiale. De asemenea, este posibilă apariţiaacestui fenomen şi în funcţionarea angrenajelor.

Cercetările experimentale au confirmat cu prisosinţă prezenţa cavitaţieiîn filmul de ulei prezent în ungerea hidrodinamică.

Rezultatele obţinute în domeniul hidrodinamicii lubrificaţiei asuprafenomenului de cavitaţie au condus la cercetări asupra acestui fenomen şi însistemele de etanşare. Nan arată că în aceste sisteme, unde este vorba decurgeri în straturi subţiri, cavitaţia este prezentă cu toate efectele sale. Deasemenea, în diferite procese industriale în care are loc depunerea unor straturi

1 D u p ă Io a n An t o n C a v i t a ţ i a , E d i t u r a Ac a d em i e i 1 9 8 4 , v o l . 1 .

4

subţiri de vopsea, acoperiri de protecţii, sau emulsii, pe ţesături de exemplu,prin trecerea acestora printr-o baie şi apoi printre doi sau mai mulţi cilindricare controlează grosimea filmului de material depus este posibil să aparăcavitaţia similar ca la ungerea hidrodinamică.1

1 D u p ă Io a n An t o n C a v i t a ţ i a , E d i t u r a Ac a d em i e i 1 9 8 4 , v o l . 2 .

5

1. STUDII EXPERIMENTALE

1.1 Experimente privind determinarea tensiunii derupere

Numeroase metode şi aparate stau la baza determinărilor experimentale atensiunii de rupere. Ele pot fi împărţite în două mari grupe:

1. Metode de tensionare statică a lichidelor şi2. Metode de tensionare dinamică (cu viteze reduse sau viteze foarte

înalte).În primul grup menţionăm metoda elaborată de Berthelot Marcellin

(1850) denumită metoda tubului, deoarece utilizează un tub cilindric dinsticlă sau din oţel umplut aproape complet cu lichid şi închis etanş. Prinîncălzire lichidul din tub se dilată până când umple complet tubul, care larândul său se dilată şi el. Prin răcire forţa de adeziune dintre pereţii tubului şilichid frânează contractarea acestuia, tensionându-l până când se rupe.Cunoscând temperaturile iniţiale şi finale precum şi volumul ∆V se poatecalcula tensiunea maximă (la rupere).

Completări utile privitor la metodă, la relaţia de calcul sau încompletarea dispozitivului de măsură făcute de Vincent şi Simmonds,Temperley, Rees şi Trevena, Levis, Chapman, Richards şi Trevena, aduc omodificare fundamentală tubului prin introducerea unui traductor de presiunece se ataşează la tub şi care permite măsurarea directă a tensiunilor. Tot încadrul tensionării statice se încadrează şi metoda centrifugării a lui Briggs.Acesta utilizează un tub în formă de Z deschis la capete şi care se roteşte înjurul unui ax central, perpendicular pe planul său, generând forţe centrifugeopuse ce tensionează lichidul. În figura 1.1 se prezintă variaţia tensiunii larupere cu temperatura în cazul apei după Briggs. În tabelul 1.1 sunt date unelerezultate ale tensiunii de rupere pentru apă.

6

Figura 1.1 Variaţia tensiunii de rupere a apei cu temperatura

Tabelul 1.1 Valori ale tensiunii de rupere pentru apă

Printre metodele dinamice de tensionare a lichidelor la viteze joasemenţionăm pe aceea elaborată de Couzens şi Trevena. Un impuls de compresiese propagă în sus, printr-o coloană de lichid şi apoi după reflexie la suprafaţaliberă a lichidului se reîntoarce, propagându-se în jos ca un impuls de tensiune.Variaţia presiunii în timp se măsoară cu ajutorul unui traductor piezoelectricmontat la peretele tubului. Pentru apă obişnuită s-a obţinut tensiunea de ruperePt = 8,5 atm., şi în cazul apei fierte deionizate Pt = 15 atm.

7

O altă metodă dinamică specifică evaluării rezistenţei la rupere alichidelor este aceea a exploziilor. O încărcătură explozivă este detonată subnivelul lichidului de lucru în timp ce mişcarea este fotografiată cu o camerăultrarapidă. Pe această cale s-au obţinut tensiuni la rupere a apei de ordinul Pt= 8,0 atm. de către Wilson, Hoyt şi Mc. Kune, în bună concordanţă curezultatele obţinute de Couzens şi Trevena.1

1 D u p ă Io a n An t o n C a v i t a ţ i a , E d i t u r a Ac a d em i e i 1 9 8 4 , v o l . 2 .

8

1.2 Cavitaţ ia în lagărele încărcate staţ ionar

Lubrifianţii şi lichidele de proces sunt folosite pe scară largă în lagăre cufilm subţire, pentru a reduce frecarea şi uzura, pentru a genera forţe portante şia amortiza vibraţiile mecanice nedorite.

Lagărele radiale şi axiale reprezintă marea majoritate a aplicaţiilor încare suprafeţele mecanice generează tensiuni tangenţiale asupra fluiduluideterminându-i curgerea şi producând efectul de pană, dând naştere astfelunor presiuni hidrodinamice care sa contrabalanseze încărcarea aplicată(Hamrock, 1994).

Figura 1.2.1 prezintă o configuraţie tipica de lagăr radial. În zona deconvergenţă a filmului presiunea hidrodinamică creşte până la un maxim şiapoi scade până la presiunea ambientului pe laterale. În zonele unde grosimeafilmului creşte, presiunea lubrifiantului poate scădea până la cea a ambientuluisau chiar mai mult, până la presiunea sa de vapori, ducând la eliberarea gazelordizolvate în lubrifiant sau la vaporizarea acestuia1. Fenomenul de rupere afilmului, caracteristic lagărelor cu o încărcare constanta în timp, este cunoscutsub numele de cavitaţia lubrifiantului, cu vapori sau gaze, iar efectele eiasupra performanţelor şi stabilităţii lagărelor încărcate staţionar sunt destul debine înţelese şi documentate în literatură (Dowson ş.a., 1974, Brewe ş.a.,1990).

1 Este bine cunoscut faptul că lichidele (în condiţii normale de operare) nu pot suporta

presiuni sub cea de vapori (Psat), deoarece se vaporizează. Pe de altă parte, la presiuni sub ceaatmosferica (~1 bar), gazele dizolvate în lubrifiant (aer, de exemplu) sunt eliberate. Fire delubrifiant coexistă cu vaporii sau gazele, generând regiunea de cavitaţie. Majoritatea uleiurilorminerale contin intre 8 şi 12 procente volumice de aer dizolvat (Pinkus, 1990).

9

Figura 1.2.1 Zona de cavitaţie a unui lagăr radial

Cavitaţia în film subţire nu este importantă numai datorită faptului căzona de iniţiere şi întinderea ei determină capacitatea portantă a unui lagăr cufilm fluid, dar şi pentru că implozia bulelor de vapori poate cauza dauneserioase materialului suprafeţelor. Mai mult, în lagărele încărcate dinamic,apariţia cavitaţiei influenţează major stabilitatea sistemului rotor-bucşă şiamplitudinea maximă a vibraţiilor (Brewe, 1986).

Dowson şi Taylor (1974) oferă principiile de bază ale fenomenelor fiziceale cavitaţiei lichidelor şi condiţiile la limită ale modelelor corespunzătoarepentru ruperea filmului, în timp ce Brewe ş.a. (1990) se concentrează pecercetările curente în domeniul cavitaţiei în filme subţiri, atât teoretic cât şiexperimental, şi subliniază importanta dinamicii bulelor asupracomportamentului dinamic al ansamblului rotor-bucşă.

Ecuaţia lui Reynolds descrie curgerea fluidului în zona cu film complet alagărului. Aceasta ecuaţie pentru calculul presiunii în condiţiile unei curgerilaminare izoterme şi pentru un fluid izovâscos este:

(1.2.1)

cu U=ΩR pentru lagărele radiale cilindrice. Ratele masice de curgere pe

unitatea de lungime sunt definite ca:

10

(1.2.2)Ecuaţia Reynolds trebuie rezolvată cu nişte condiţii la limită

corespunzătoare pentru zona de cavitaţie.

11

1.3 Dovezi experimentale privind cavita ţ ia în lagăreleîncărcate dinamic

Studiile experimentale privind lagărele încărcate staţionar au fostlimitate la observarea modelelor de cavitaţie prin pereţi transparenţi ailagărelor şi etanşărilor şi măsurarea presiunii în câteva puncte de-a lungulzonei de cavitaţie. Coles şi Hughes (1957), Floberg (1961) şi Dowson (1957)au oferit observaţii fundamentale privind forma cavităţilor gazoase şi astriaţilor filmului şi subliniază că presiunea în interiorul bulei este uniformă,deşi pentru încărcări reduse se creează o zona cu presiune mai mică decât ceaatmosferica la începutul zonei de rupere a filmului.

Etsion şi Ludwig (1982) au investigat zona de reformare a cavităţilor şiau determinat presiunea în interiorul regiunii de cavitaţie a unui lagăr radialcomplet imersat. Presiunea din regiunea cavităţilor gazoase a fost neuniformăşi contracurenţi puternici au apărut la limita de reformare a filmului complet.

Braun şi Hendricks (1984) au efectuat măsurători similare intr-un lagărradial complet imersat şi au subliniat apariţia unor presiuni mai mici decât ceaatmosferică în zona de cavitaţie formată de gazele eliberate din lubrifiant.Braun şi Hendricks au demonstrat de asemeni ca o schimbare de fază(vaporizarea uleiului) necesită o sursa de energie rar întâlnita în condiţiinormale de operare şi au ajuns la concluzia ca modelul Floberg reprezintă înmod adecvat punctul de apariţie şi întinderea cavitaţiei produsa de gaze.

Experimentele pentru observarea cavitaţiei în film subţire pentru lagăreîncărcate dinamic şi amortizoare sunt implicit mult mai dificile datorităcaracterului nestaţionar al câmpului de curgere. Măsurători ale presiunii dinfilm au fost efectuate în lagăre supuse unei mişcări ciclice datorita încărcărilorperiodice produse de dezechilibrarea rotorului sau de bucşe constrânse mecanicsă descrie orbite circulare cu amplitudinea mai mica decât interstiţiul lagărului.

Sun şi Brewe (1991, 1992, 1993) au postulat că pentru lagărele încărcatedinamic cavitaţia are încă multe probleme nerezolvate cu fenomene încăneclare de elucidat. Cele mai importante aspecte sunt legate de conţinutul buleide cavitaţie, gaz, vapori sau ambele; lipsa dovezilor pentru stabilirea punctuluide iniţiere a cavitaţiei dinamice; condiţiile de operare care determina formareaunui amestec bifazic (gaz în lubrifiant).

12

Sun şi Brewe au prezentat fotografii ale cavitaţiei lubrifiantului în lagăreîncărcate dinamic care operează la turaţii reduse (<1500 rpm). Dispozitivulexperimental era prevăzut cu un lagăr complet imersat al cărui fus putea aveaatât o mişcare de rotaţie, cât şi o vibraţie la poziţii excentrice. Experimenteleau arătat efectele pe care le are viteza de rotaţie, precum şi frecventa şiamplitudinea vibraţiilor asupra zonei de iniţiere, întinderii şi formei cavitaţiei.Jacobson şi Hamrock (1983) în experimente anterioare au observat deasemenea modelele cavitaţiei gazoase şi vaporoase şi au remarcat că bulele degaz erau transportate prin zona de presiune înaltă fără a imploda. Pe de altăparte, bulele de vapori păreau să implodeze fără rezistenţă, instantaneu. Foarteimportant este faptul ca modelele de cavitaţie gazoasă şi vaporoasă păreausimilare la o scara mare; totuşi, structura lor este diferita şi posibil dependentăde energia superficiala a materialului. Ca mod de apariţie, cavitaţia gazoasă arenevoie de mult timp (sute de revoluţii ale fusului) pentru a se dezvolta până lao formă şi extindere staţionare.

Sun şi Brewe (1991) au observat un model cu o singura cavitate atâtpentru vibraţii centrate cât şi excentrice, fără rotaţia fusului. Frecvenţele înalteşi amplitudinile mari de vibraţie ale mişcării fusului favorizează apariţiacavitaţiei lubrifiantului. De notat este totuşi că incinta de testare nu era etanşădeoarece aerul putea intra prin rulmenţii de sprijin. Incidental, experimentelefolosind un fus lung aproape cât întreaga incinta de testare au arătat un efectremarcabil al înglobării aerului care a suprimat modelul cavitaţional observatmai devreme. Sun şi Brewe n-au observat nici o diferenţă între modurile derupere a filmului pentru experimente făcute cu lubrifianţi degazificaţi şi aeraţi.Conţinutul de aer dizolvat în lubrifiant a fost necunoscut şi posibilnesemnificativ datorită procesului mecanic ineficient folosit pentru amesteculaerului în lubrifiant şi a timpului mare necesar umplerii incintei de testare.Teste pe perioade lungi (mii de revoluţii) au arătat că modelele cavitaţionale aurămas neschimbate şi nu au dus la formarea unui fluid sau amestec de douăcomponente. Această observaţie nu este surprinzătoare având în vedere faptulca lagărul funcţiona în condiţii de imersare completă.

Experimente ulterioare efectuate de Sun ş.a. (1993) au inclus măsurătoriale presiunii în acelaşi dispozitiv experimental folosit în investigaţia loranterioară. Experimentele au confirmat apariţia unui model cu o singuracavitate conţinând vapori de fluid pentru anumite condiţii de încărcare

13

dinamică. Totuşi, în alte experimente unde se preconiza apariţia cavitaţiei,măsurătorile de presiune au arătat ca filmul fluid este capabil sa suporte otensiune de întindere (maximum 1.4 bari). De notat de asemenea este faptul caapariţia sau absenta cavitaţiei ar putea sa depindă în mod crucial dedisponibilitatea nucleelor de cavitaţie în ulei şi pe suprafeţele lagărului.Autorii indică faptul ca bulele de aer remanente care nu au fost eliminate dinincinta de testare ar fi putut furniza nuclee pentru cavitaţia dinamică. Sun şiBrewe (1993) sugerează de asemenea că filme subţiri care suporta forţe mari deîntindere pentru perioade scurte de timp nu sunt un fenomen rar, dezvăluindastfel o problema majoră a modelelor de cavitaţie actuale pentru condiţii deîncărcare dinamică.

Sun şi Brewe (1992) elucidează diferenţele fizice între cavitaţiadinamică gazoasă şi vaporoasă, precum şi posibilitatea apariţiei acestora înaplicaţiile practice. Analiza arată că timpul caracteristic necesar pentruvaporizarea lichidului (sau condensarea vaporilor) este destul de mic relativ laperioada mişcării în dispozitivele rotative (>1 msec), în timp ce, pe de altăparte, timpul caracteristic necesar pentru difuzia gazelor este de câteva ordinede mărime mai mare. Autorii au concluzionat că o bula apărută în cavitaţiadinamică trebuie sa conţină vapori deoarece gazele dizolvate nu au timpulnecesar pentru a fi eliminate din soluţie intr-un ciclu tipic de încărcaredinamică. S-ar părea ca apariţia cavitaţiei dinamice este încă o problemanerezolvată din perspectiva măsurătorilor care au arătat prezenţa unor tensiunide întindere în film. De remarcat faptul că similitudinile între modelulJakobsson- Floberg-Olsson (JFO) şi valorile presiunii măsurate în condiţii deîncărcare dinamica nu au apărut încă, în ciuda aparentului succes al acestuimodel şi a modelelor numerice în predicţia cavitaţiei pentru lagărele încărcatestatic.

Experimentele relevante ale lui Sun şi Brewe nu oferă informaţii asupragenerării unui amestec fluid cu două componente datorita înglobării aeruluideoarece experimentele au fost efectuate intr-un lagăr radial complet imersat înlubrifiant. Formarea unui amestec aer-în-ulei în lagărele încărcate dinamic estedoar rezultatul înglobării aerului prin căi de curgere corespunzătoare, decifenomenul este cu siguranţă dependent de dispozitiv. De notat este faptul cămarea majoritate a aplicaţiilor lagărelor cu film fluid, incluzându-le pe cele dinindustria constructoare de maşini, operează cu capetele expuse ambientului şi

14

oferă o varietate de opţiuni pentru alimentarea cu lubrifiant. O condiţie deimersare completa este o circumstanţă excepţionala pentru aplicaţiile practice.

15

1.4 Dovezi experimentale privind cavita ţ ia înamortizoarele cu expulzare de film

Amortizoarele cu expulzare de film suportă încărcări dinamice mari,tranziente sau periodice, care determină fluidul să treacă prin schimbări bruşteale direcţiei de curgere. Presiunea din filmul fluid poate să scadă în modrepetat până la cea atmosferica sau până la cea de vapori a lubrifiantului dacălagărul este complet imersat în fluid. Totuşi, în amortizoarele deschise,lubrifiantul nu numai că îşi eliberează conţinutul de gaze, dar mişcarea fusuluiînglobează aer în film. Mişcările cu amplitudine şi frecvenţă mari ale fusuluidetermină înglobarea unei cantităţi mari de aer, având ca rezultat performanţedinamice scăzute ale lagărului. Aerul înglobat de lichid persistă în film chiar înzonele cu presiuni dinamice mari, lucru evidenţiat de uleiul sărac la ieşireaamortizorului1. Zeidan ş.a. (1996) fac un studiu exhaustiv al amortizoarelor cuexpulzare de film şi subliniază importanta fenomenului de înglobare a aeruluidin cauza faptului ca aceasta reduce drastic forţele dinamice din film şicapacitatea globală de amortizare.

În practică, amortizoarele cu expulzare de film operează cu valoriscăzute ale presurizării exterioare2, care în general nu sunt suficiente pentru apreveni vaporizarea lubrifiantului, eliberarea gazelor dizolvate sau înglobareade medii gazoase exterioare. White (1970) a publicat pentru prima oarămăsurători în amortizoarele cu mişcări orbitale ample datorate încărcăriiperiodice şi a determinat capacitatea portantă ca fiind 5 până la 25% dinvalorile estimate pe baza teoriei lubrificaţiei incompresibile. Marsh (1974) aobservat că bulele formate în amortizorul experimental al lui White nuimplodau în zona de presiune ridicată, indicând deci compresibilitatealubrifiantului ca fiind cauza capacităţii portante reduse.

Vance şi Kirton (1975) au măsurat presiunea din filmul expulzat într-unamortizor cu orbită circulară etanşat la capete şi au demonstrat efectulfavorabil al presurizării fluidului în întârzierea începerii vaporizării uleiului.

1 Agentii chimici nu ajută la reducerea înglobarii aerului în filmul fluid pentru lagărele

încarcate dinamic. Cantitatea de aer inglobată pare să fie legată de debit şi de frecvenţa oscilaţiei.2 Valorile tipice nu depăşesc 3 bari

16

Autorii au subliniat slaba corelare între presiunile dinamiceexperimentale şi cele obţinute pe baza modelului lagărului infinit de lung.Hibner şi Bansal (1979) au măsurat şi ei presiunile şi forţele într-o configuraţiesimilară de lagăr, au observat reducerea drastică a capacităţii portante şi auatribuit-o compresibilităţii lubrifiantului şi persistenţei bulelor de gaz chiar şiîn zona de presiune ridicată. Pe de altă parte, Ku şi Tichy (1990) au efectuatmăsurători ale presiuni într-un amortizor cu expulzare de film imersat, uşorîncărcat şi etanşat şi au obţinut o buna concordanta privind momentul deiniţiere şi întinderea cavitaţiei între datele experimentale şi previziunile bazatepe o formulare simplificată a modelului Jakobsson- Floberg-Olsson (JFO).

Walton s.a. (1987) şi Zeidan şi Vance (1989; 1990) au efectuatobservaţii unice atât asupra amortizoarelor cu expulzare de film deschise, cât şiasupra celor etanşate la capete şi au folosit camere ultrarapide pentru a urmărimişcarea regiunii de cavitaţie dinamică. Pentru amortizoarele cu expulzare defilm deschise operând cu mişcări orbitale ample, ambele investigaţii auobservat formarea unui amestec cu bule în interiorul amortizoarelor, în carebulele persistau chiar şi în zona de presiune ridicată generata de mişcareafusului. Experimentele au avut de asemenea ca rezultat inversări mari alecurgerii şi ruperea filmului. Exista o concordanţă ca ordin de mărime întrevalorile observate şi cele obţinute cu un model de lagăr scurt (Pan, 1980)bazat pe modelul Jakobsson- Floberg-Olsson (JFO). Totuşi, Walton ş.a. (1987)au subliniat de asemenea limitarea modelului în ceea ce priveşte reprezentareaadecvată a variaţiilor observate în zona de cavitaţie dinamică.

Cercetătorii de la Texas A&M University au efectuat măsurătoriextensive asupra câmpurilor de presiuni dinamice şi a forţelor din filmul fluidintr-un amortizor cu mişcarea constrânsa circulară a fusului. Cercetarea,analitică şi experimentală, s-a ocupat de efectele inerţiei fluidului, canalelor dealimentare şi a etanşărilor de la capete asupra performanţelor amortizoarelor cuexpulzare de film. Arauz şi San Andrés (1993, 1996) şi San Andrés (1996)arată, în amortizoare deschise şi amortizoare etanşate la capete, imersate într-obaie de ulei, iniţierea şi creşterea întinderii cavitaţiei vaporoase pentruoperarea cu frecvente joase până la moderate (~ 100 Hz). Testele au relevat că

17

implozia1 cavităţilor vaporoase este sincronă cu frecvenţa fusului şi uşordefazată fata de viteza de variaţie a grosimii filmului de fluid (dh/dt).

În 2002 şi 2003, San Andres a mai efectuat o serie de experimentefolosind un dispozitiv experimental bazat pe un amortizor cu expulzare de filmde serie la care, pentru generarea mişcării vibratorii, pe arbore s-a fixat un inelexcentric. Mişcarea de rotaţie în interiorul amortizorului este blocată, acoloexistând doar mişcare pe direcţie radială. De asemeni pe o parte acircumferinţei, inelul metalic a fost decupat şi înlocuit cu sticlă, pentru apermite vizualizarea procesului. Schiţa dispozitivului este prezentată în figura1.4.1.

Fig. 1.4.1 Schiţa dispozitivului experimental folosit de San Andres

În cursul experimentelor s-a observat că apariţia fenomenului decavitaţie afectează nu numai evoluţia în cursul procesului de desprindere, ci şiprocesul de expulzare imediat următor, deoarece înglobarea de gaze în filmmodifică reacţia acestuia la forţa de strivire. Crearea ferestrei transparente încorpul amortizorului a permis vizualizarea procesului, mai exact modul deformare şi dezvoltare a bulelor gazoase. În figura 1.4.2 se poate observadezvoltarea acestora pe parcursul primelor trei cicluri. Fiecare ciclu esteprezentat pe câte o linie de şase figuri, fiecare înregistrate la un decalaj alarborelui de 600 faţă de precedenta.

1 Acest concept poate fi eronat deoarece nu este clar dacă bula de vapori chiar implodează

sau se roteşte în jurul circumferinţei amortizorului sincron cu viteza rotorului.

18

Fig. 6.28 Evoluţia procesului de formare a bulelor.3 cicluri succesive [San Andres L., 2003]

Demn de subliniat este faptul ca în majoritatea experimentelor descriseamortizoarele cu expulzare de film au fost imersate intr-o baie de lubrifiant,izolate de mediul exterior şi fără posibilitatea înglobării aerului ambient.Totuşi, aceste condiţii experimentale nu corespund cu cele reale de operarea aamortizoarelor, deoarece acestea sunt cel mai adesea deschise către mediu.

19

1.5 Regimuri de cavitaţ ie dinamică înamortizoarele cu expulzare de film

Zeidan şi Vance (1989; 1990) şi Diaz şi San Andrés (1998-99) identificăîn funcţionarea amortizoarelor cu expulzare de film două tipuri de cavitaţie afluidului (vaporoasă şi gazoasă) şi un regim datorat înglobării aerului. Apariţiaunei anume condiţii depinde de tipul amortizorului (etanşat sau deschis cătremediu), nivelul presiunii şi debitului de alimentare, turaţie şi mărimeaîncărcării producând mişcări ale fusului în interstiţiul filmului.

Cavitaţia gazoasă care urmează mişcarea fusului apare înamortizoarele cu expulzare de film ventilate (deschise la capete) care opereazăla frecvenţe mici cu amplitudini mici până la moderate ale mişcării fusului. Obulă bine formată conţinând gazele dizolvate în lubrifiant care au fost eliberatesau aer captat de la capetele deschise urmează mişcarea de rotaţie a fusului;zona de cavitaţie este staţionară în raport cu un sistem de referinţa rotativ. Bulade gaz în mişcare nu pare sa afecteze generarea presiunilor de expulzare înzona de film complet. Coles şi Hughes (1957) au observat pentru prima oarăacest comportament în lagărele încărcate dinamic care operează la vitezereduse.

Cavitaţia vaporoasă a lubrifiantului apare în amortizoare etanşate lacapete care nu permit captarea mediilor gazoase externe şi pentru funcţionareacu presiuni de alimentare mari. În acest din urmă caz, curgerea abundenta auleiului contribuie de asemenea la prevenirea captării aerului. Mai mult,lubrifiantul trebuie sa fie relativ fără gaze dizolvate precum aerul, o condiţierar întâlnită în practică. Figura 1.5.1 prezintă variaţia în timp a presiuniidinamice din film intr-un amortizor care operează cu cavitaţie vaporoasă.Grosimea dinamica a filmului este reprezentată cu linie albastră.

20

Figura 1.5.1 Presiunile dinamice din film (bari) şi grosimea locală a filmului(mm x 10) într-un amortizor cu expulzare de film în regim de cavitaţie

vaporoasă

Experimentul ilustrează variaţia presiunii şi a grosimii filmului pentrucinci perioade ale mişcării fusului. Frecventa de rotaţie şi amplitudinea fusuluiau fost respectiv de 75 Hz şi 0.180 mm. Amortizorul este complet imersat înbaia de lubrifiant. Zona plată din presiunea dinamică corespunde unei presiuniapropiate de zero absolut1. Cavităţi vaporoase în lubrifiant apar numai în zonaciclului de mişcare al fusului în care grosimea filmului creşte. Cavitateaimplodează imediat ce presiunea locală creşte peste presiunea de vapori auleiului. De subliniat că presiuni de expulzare a filmului aproape identice suntreproduse pentru fiecare perioadă a mişcării fusului, cu excepţia cazurilor încare o bulă implodează cu creşteri bruşte de presiune. În general, corelaţia întrepresiunile măsurate şi întinderea cavitaţiei vaporoase şi predicţiile bazate pemodelul Jakobsson- Floberg-Olsson pentru încărcările dinamice variază întresatisfăcător (Ku şi Tichy, 1990) şi slab (Walton s.a., 1987; Jung şi Vance,1987).

1 Senzorii de presiune nu pot măsura presiunea exactă din lubrifiant, deci aceasta trebuie să

fie foarte aproape de zero absolut.

21

Captarea şi înglobarea aerului apar în amortizoarele ventilate careoperează la frecvente înalte şi nivele scăzute ale presurizării exterioare, adicăcu rate de curgere mici. O presiune de sucţiune trage aerul în filmul subţire înzonele unde grosimea locală a filmului creşte. Mişcarea ciclică a fluiduluiconduce la înglobarea aerului, cu bule remanente în zonele cu generare depresiune dinamică mai mare decât a ambientului. Înglobarea aerului conduce laformarea unor degete intermitente de aer înconjurate de striaţii de lichid.Aceste insule de aer se pot micşora, sparge în zone mai mici, sau să difuzezeîn lubrifiant. Figura 1.5.2 prezintă variaţia în timp tipică a presiunilor dinamicedin film într-un amortizor cu expulzare de film funcţionând cu captareaaerului. Condiţiile de funcţionare sunt identice cu cele reprezentândmăsurătorile prezentate în figura 1.5.1, cu excepţia faptului că amortizorul estedeschis către mediu, adică nu este imersat intr-o baie de ulei. Mărimea şiconcentraţia degetelor de aer depind de frecvenţa şi amplitudinea mişcăriifusului şi de debit. Totuşi, operarea la frecvenţe din ce în ce mai înalte conducela bule fine şi mai concentrate, având ca rezultat formarea unui amestecspumos.

Figura 1.5.2 Presiunile dinamice din film (bari) şi grosimea locală a filmului(mm x 10) într-un amortizor cu expulzare de film deschis

22

Presiunile dinamice pentru funcţionarea cu înglobarea aerului din figura1.5.2 arata diferenţe importante comparate cu cele pentru funcţionarea încondiţii de cavitaţie vaporoasă din figura 1.5.1. În cazul înglobării aerului,presiunile din filmul expulzat diferă semnificativ pentru fiecare perioadă amişcării fusului, iar presiunile maxime au variaţii destul de mari. Mai mult,zona de presiune constantă este aproape de presiunea ambientului. De subliniatcă se generează şi presiuni sub cea a ambientului.

Childs (1993) observă că, din cauza fenomenului de cavitaţie alubrifiantului (a înglobării aerului care nu poate fi cuantificata), corelaţiadintre teorie şi experiment este mai slabă pentru amortizoare decât pentrulagăre. Marea majoritate a amortizoarelor cu expulzare de film opereazăinevitabil cu lichide spumoase, considerând presiunea de alimentare mică(debitul mic), jocurile mari şi frecvenţele înalte de funcţionare. Desigur, înpractică pot apărea şi regimuri mixte. Amortizoarele etanşate, de exemplu, potprezenta atât cavitaţie gazoasă cât şi vaporoasă, bulele gazoase coexistând înjurul unei bule mari de vapori. De subliniat ca înglobarea aerului întârziecreşterea presiunilor din film deoarece este mai puţin lubrifiant lichid care saumple interstiţiul amortizorului. Într-un final, operarea la frecvenţe ridicateconduce la o creştere a volumului de aer înglobat, împiedicând dezvoltareacavitaţiei vaporoase şi reducând considerabil forţele portante generate deamortizoarele cu expulzare de film.

23

2. STUDII TEORETICE

2.1 Modelul de rupere a filmului (cavitaţ ie)Jakobsson- Floberg-Olsson (JFO)

Modelul acceptat de rupere a filmului, bazat pe conservarea masei prinregiunea de cavitaţie, dă naştere la condiţii la limită pentru începutul zonei decavitaţie şi graniţa de reformare a filmului complet. Figura 2.1.1 prezintă opoză a unei cavităţi gazoase într-un lagăr radial încărcat static. La începutulregiunii de cavitaţie continuitatea curgerii impune un gradient de presiune nulşi presiunea din film trebuie sa fie egală cu cea a ambientului sau cu presiuneade vapori a fluidului. Aceste condiţii sunt cunoscute ca modelul Swift-Stieberşi nu garantează satisfacerea continuităţii curgerii în toată regiunea decavitaţie, ci numai la începutul ei.

Figura 2.2.1 Vedere a regiunii de cavitaţie gazoasă într-un lagăr radialîncărcat static

24

Modelul separării consideră de asemenea mişcarea lubrifiantului pededesubtul sau pe deasupra limitei de cavitaţie şi derivă un gradient de vitezănul pentru a ţine seama de începerea unei inversări a direcţiei de curgere.Această detaşare a curgerii permite apariţia unor presiuni sub cea ambientală,aşa cum s-a observat în unele experimente.

Modelul Floberg postulează conservarea masei de lichid prin întreagaregiune de cavitaţie, dar fără transfer de masă între lubrifiantul lichid şi bula degaz sau vapori la presiune constantă (Floberg, 1961). În acest model, un lichidcu o grosime a filmului mai mică decât distanţa locală dintre suprafeţe dezvoltăstriaţii curgând paralel cu viteza tangenţială a suprafeţei până când apare dinnou un film complet. Modelul Jakobsson-Floberg ia în considerare şicapacitatea fluidului de a suporta tensiuni de întindere în cazul lagărelorîncărcate uşor (Dowson ş.a., 1974).

Modelul Jakobsson- Floberg-Olsson (JFO) se aplică pentru situaţiile deîncărcare dinamică în care suprafeţele pot avea şi mişcări de squeeze (Floberg,1974). Variaţia temporală a volumului de film rupt este inclusă în ecuaţia decontinuitate a curgerii fluidului, fără însă a considera dinamica bulelor. Formagraniţei cavitaţiei se schimbă instantaneu pe măsură ce viteza de squeeze semodifică, adică schimbarea de fază a lichidului în vapori şi invers are loc intr-odurată infinitezimală de timp1.

Figura 2.1.2 prezintă posibilele configuraţii ale curgerii fluidului prinzona de cavitaţie aşa cum au fost observate experimental. Striaţiile ataşatesuprafeţei în mişcare (fus) continuă curgerea lubrifiantului prin regiunea decavitaţie. În alte observaţii întreaga suprafaţă a fusului pare sa fie udată de unfilm de lubrifiant, cu zona (bula) de cavitaţie ataşată suprafeţei staţionare.

1 Sun şi Brewe (1992) observă că timpul caracteristic pentru vaporizarea lichidului (sau

condensarea vaporilor) este foarte mic în comparaţie cu perioada tipică de funcţionare a maşinilorrotative (> 1 ms), în timp ce, pe de altă parte, timpul caracteristic pentru difuzia gazelor este câtevaordine de mărime mai mare. Autorii au conchis deci că o bulă de cavitaţie dinamică trebuie săconţină vapori deoarece gazele dizolvate nu au sufficient timp pentru a fi eliberate din soluţie într-un ciclu tipic de încărcare dinamică. Braun şi Hendricks (1984) asu măsurat presiunea şi compoziţiachimică în zona de cavitaţie a unui lagăr radial încărcat static şi imersat. Autorii au observat totuşiapariţia unor depresiuni subambientale mari în regiunea cavitaţională formată de gazele eliberate dinlubrifiant. Autorii susţin că o schimbare de fază (vaporizarea uleiului) necesită o sursă de energie nuîntotdeauna disponibilă în condiţii reale de funcţionare.

25

Ultima figură arată un caz în care ambele suprafeţe se mişcă iar filmul delubrifiant aderă la amândouă. Mistry ş.a. (1997) au extins modelul Jakobsson-Floberg-Olsson pentru a lua în considerare şi echilibrul forţelor centrifugale şitensiunea superficială în striaţiile slab ataşate care curg pe suprafaţa fusului.

Figura 2.1.2 - Curgerea fluidului prin zona de cavitaţie

Figura 2.1.3 prezintă o vedere schematică a începutului regiuniicavitaţionale şi mărginită de un film de lubrifiant care se mişcă odată cusuprafaţa fusului. În regiunea cavitaţională presiunea este uniformă şi egală cupresiunea de cavitaţie, adică:

P(x, z, t) = Pcav (2.1.1)

Rezultă deci că nu există o curgere Poiseuille (datorată diferenţelor depresiune) în această zonă, adică:

(2.1.2)

26

Figura 2.1.3 Iniţierea cavitaţiei într-un film subţire

Linia θ(z*) cu grosimea filmului h* defineşte zona (unghiul) de

incipienţă a ruperii filmului. La poziţia circumferenţială θ<θ1 presiunea trebuie

să scadă către valoarea de cavitaţie, deci să aibă un gradient negativ. Urmeazăcă ratele de curgere axiale şi circumferenţiale sunt:

(2.1.3)

şi h<h*. În interiorul regiunii de cavitaţie presiunea este constantă şideci rata de curgere a lichidului este dată de:

(2.1.4)

unde α este cunoscut ca volum relativ al lichidului în zona de cavitaţie,

adică raportul între volumul de lichid şi volumul total (lichid plus vapori) careumple interstiţiul.

27

Nu poate să existe o discontinuitate a curgerii pe graniţa începeriicavitaţiei, deci urmează că o condiţie la limită corespunzătoare (modelulReynolds sau Swift-Stieber) la aseastă graniţă este:

(2.1.5)În zona de cavitaţie există un volum de lichid transportat în direcţie

circumferenţială:

(2.1.6)unde h* este grosimea interstiţiului la începutul zonei de cavitaţie θ1 .Modelul discutat nu indică dacă câmpul de curgere transportat este

alcătuit din striaţii de lichid ataşate fusului sau lichidul umple total sau parţialinterstiţiul. Distincţia nu este importantă decât din perspectiva transferuluitermic prin zona de cavitaţie.

Reformarea filmului are loc la graniţa superioară a zonei de cavitaţie(θt). La această graniţă, un film de lichid umple complet interstiţiul (vezi figura2.2.4). Considerând un mic element (∆s) pe linia de graniţă de reformare afilmului Γ, şi normala η la acesta, din figura 2.1.4 putem observa că:

(2.1.6)În concluzie, debitul care intră în zona de film complet pe graniţa de

reformare este:

(2.1.7) unde

(2.1.8)Pentru a satisface continuitatea masei, debitul care părăseşte zona de

cavitaţie trebuie sa fie egal cu cel care intră în zona de film complet prin liniade reformare, adică:

28

(2.1.9) şi, deci:

(2.1.10)Soluţia acestei ecuaţii determină panta liniei de reformare a filmului (Γ),

adică valoarea coordonatei (x) ca funcţie de poziţia axială z. De remarcat faptulcă la graniţa de reformare a filmului există o discontinuitate în gradientul depresiune pentru a asigura conservarea debitului.

Figure 2.1.4. Bilanţul debitelor la limita de reformare

Ecuaţiile 2.1.5, 2.1.6 şi 2.1.10 sunt cunoscute ca modelul Jakobsson-Floberg-Olsson şi oferă condiţiile la limită pentru o soluţie corectă din punctde vedere fizic a ecuaţiei Reynolds în zona de film complet. Modelul descris seaplică suprafeţelor netede şi nu ia în considerare aspectele termo-mecanice şilegate de material ale cavitaţiei lichide. De exemplu, condiţiile de suprafaţă auun rol important în nucleele de cavitaţie, în sensul că rugozitatea suprafeţei şicrăpăturile oferă nuclee pentru iniţierea şi creşterea bulelor de vapori, ceea ceconduce la formarea de puncte locale de cavitaţie a lubrifiantului.

29

Modelul Jakobsson- Floberg-Olsson descrie cu acurateţe punctul deiniţiere şi forma cavitaţiei în lagărele încărcate moderat sau puternic. Acestmodel însă nu este uşor de implementat în soluţia clasică a ecuaţiei Reynoldsdeoarece poziţia (începutul şi sfârşitul) zonei de cavitaţie nu este cunoscutăapriori.

Elrod şi Adams (1974) şi Elrod (1981) au avansat ingeniosul algoritmuniversal de cavitaţie în care modelul Jakobsson- Floberg-Olsson esteîncorporat în mod direct într-o singură ecuaţie Reynolds validă atât pentru zonade film complet cât şi pentru cea de cavitaţie. O funcţie de comutare (g=1 sau0) permite satisfacerea automată a condiţiilor la limită la interfaţa cu zona decavitaţie în timp ce comută caracterul ecuaţiei de continuitate a debitului de laeliptică la parabolică în filmul complet şi respectiv regiunile de cavitaţie.

Presiunea şi densitatea lubrifiantului sunt legate prin modulul volumetric (κ) al

fluidului, fiind ambele definite de o singură variabilă (θ), cu θ>1 pentru

regiunea de film complet şi θ<1 pentru zona de cavitaţie. Acest algoritm este

prezentat în secţiunea următoare.Dezvoltările ulterioare s-au concentrat în special pe implementarea de

metode numerice rapide şi eficiente pentru soluţionarea algoritmului Elrod cuaplicaţii la o multitudine de configuraţii de lagăre, incluzând condiţii deîncărcare dinamică. Brewe (1986), Woods şi Brewe (1989), şi Vijayaraghavanşi Keith (1989) oferă cele mai semnificative rezultate cu o rafinare continuăpână în ziua de astăzi. Totuşi, valorile prezise pentru câmpul de presiune şiîntinderea zonei de cavitaţie depind în mare măsură de modulul volumetriccare este folosit. În practică, valori micşorate artificial pentru modululvolumetric (cu câteva ordine de mărime mai mici decât valoarea tipică de 2,41Gpa pentru un ulei mineral) sunt necesare pentru o mai bună determinare asistemului de ecuaţii şi pentru evitarea erorilor de rotunjire excesive înevaluarea presiunilor din film.

În general, modelele existente pentru ruperea unui film subţire sunt bunepentru a prezice apariţia (momentul de iniţiere, întindera şi forma globală)bulelor staţionare de gaz sau vapori în lagărele încărcate static şi completimersate. Condiţia de imersare completă este cea mai importantă, deoarece înacest caz nu există ventilarea către ambient.

30

Să considerăm curgerea pentru cazul separării bruşte a două suprafeţeîntre care există un film de lubrifiant (vezi figura 2.1.5). Odată cu creştereagrosimii filmului, presiunea scade şi duce la apariţia de modele cavitaţionalegazoase sau vaporoase. Continuarea mişcării suprafeţei superioare duce laformarea de modele complexe (dendritice) pe măsură ce bulele se întind şi seunesc cu celelalte. Aer (gaz) din mediul înconjurător poate de asemeni să fieingerat în film, ducând în final la ruperea filmului subţire.

Înaintea ruperii finale a filmului, o schimbare bruscă de direcţie înmişcarea suprafeţei superioare va expulza câteva bule din film pe măsură cegrosimea filmului începe să scadă. O mişcare de squeeze ulterioară va generapresiuni hidrodinamice şi capacitatea de a suporta încărcări dinamice. Pentrumişcări periodice ale suprafeţelor cu o frecvenţă suficient de mare procesulduce la înglobarea aerului şi eventuala formare a unui amestec neomogen cubule (Diaz şi San Andrés, 1998, 1999). Acest important fenomen nu esteconsiderat în modelul Jakobsson- Floberg-Olsson descris.

31

Figura 2.1.5 Stadiile cavitaţiei dinamice în film subţire

32

2.2 Un algoritm universal de cavitaţ ie (Elrod)

Modelul Elrod de cavitaţie evită calculul dificil al limitei de cavitaţiereformulând problema în termeni de o altă variabilă (diferită de presiune) şidezvoltând o singură ecuaţie diferenţială, aplicabilă atât în filmul complet câtşi în regiunile de cavitaţie. Acest algoritm menţine conservarea masei înîntregul domeniu de curgere.

Intr-un lichid compresibil, densitatea este dependentă de presiune cu orelatie dată de:

(2.2.1)unde κ este modulul volumetric al fluidului. Valorile acestuia pentru apă

si ulei sunt de aproximativ 2,01 si 2,41 Gpa. Definim:

(2.2.2)unde ρc este densitatea fluidului la presiunea de cavitaţie Pcav. Ecuaţia

2.2.2 este rescrisă ca:

(2.2.3)unde g este cunoscută ca funcţie de comutare:

(2.2.4)Integrarea directă a ecuatiei 2.2.3 duce la:

(2.2.5)De reţinut este faptul că în zona de film complet g=1, P>Pcav în timp ce

în regiunea de cavitaţie P=Pcav deoarece g=0.Uneori diferenţele (gradienţii) de presiune sunt importante pentru

curgerile din filmele subţiri de lubrifiant. Deci, pentru P1 şi P2 mai mari decâtPcav se poate scrie:

(2.2.6)

33

Diferenţe foarte mici în densitatea relativă (α) duc la variaţii foarte mari

ale presiunii, din moment ce modulul volumetric al fluidului (κ) este de obicei

foarte mare. Aceasta poate ridica dificultăţi pentru modelul numeric.

Vijazaraghavan şi Keith (1989) subliniază faptul că variabila α , deşi

definită ca raportul densităţilor, are diferite interpretări pentru zonele de film

complet şi respectiv de cavitaţie. În cea dintâi, α>1 din moment ce ρ>ρc

datorită comprimării lubrifiantului, pe când în zona de cavitaţie α<1. În zona

de cavitaţie densitatea lubrifiantului este constantă (ρc) şi interstiţiul nu este

umplut complet cu lubrifiant datorită vaporilor (sau gazului) din interiorul

cavităţii, deci α este denumit conţinutul relativ al filmului iar 1-α reprezintă

proporţia gazoasă.Conservarea globală a masei într-un film subţire este dată de:

(2.2.7)Componentele debitului de fluid în zona de film complet sunt:

(2.2.8)

În zona de cavitaţie ∂P/∂x=∂P/∂z=0 şi debitul în această zonă este

numai:

(2.2.9)Înlocuind

în ecuaţiile debitului (2.2.8) obţinem:

(2.2.10)Subliniem faptul că aceste ecuaţii sunt valide în ambele regiuni de

curgere deoarece în zona de film complet g=1, α=ρ/ρc iar în zona de cavitaţie

g=1 iar α este conţinutul relativ al filmului.

Substituţia debitelor de mai sus în ecuaţia globală de conservare a masei(2.2.7) duce la:

34

(2.2.11)

Această ecuaţie înlocuieşte presiunea din film cu variabila α şi este

validă în întreg domeniul de curgere. De notat că în zona de film complet g=1

deoarece α>1, iar în yona de cavitaţie α<1, g=0 şi ecuaţia (2.2.11) se reduce

la:

(2.2.12)stabilind un echilibru dinamic al debitelor în zona de cavitaţie.

Vijazaraghavan ş.a. (1989) discută discretizarea ecuaţiei cu derivateparţiale (2.2.11) pentru soluţia numerică a câmpului de presiuni în lagăreradiale cilindrice. Acest model duce la o formulă eliptică în zona de filmcomplet (diferenţe finite centrate) şi la una hiperbolică în zona de cavitaţie.Introducerea algoritmului universal de cavitaţie într-un program de calculpoate duce la un succes parţial şi la o îmbunătăţire minoră faţă de tehnicile decalcul mai puţin rafinate. Rezultatele obţinute depind în mare măsură demodulul volumetric al fluidului care este folosit în analiză. De exemplu,valorile realiste ale modulului volumetric fac sistemul de ecuaţii prea slabdeterminat pentru a putea găsi soluţii precise deoarece variaţii mici aledensităţii duc la modificări foarte mari ale presiunii în zona de film complet,deci modelul este vulnerabil la erorile de rotunjire. Pentru a evita aceastăproblemă de precizie şi convergenţă, analiştii folosesc o valoare artificial

micşorată cu câteva ordine de mărime pentru modulul volumetric (κ).

Algoritmul este numeric stabil şi dă rezultate bune pentru valori ale lui κ între

1/100 şi 1/10 din mărimea fizică reală. Pentru a concluziona, rezultatele sunt înfuncţie de problemă iar literatura de specialitate nu a publicat încă un articolprivind o procedură numerică robustă pentru modelul universal de lubrificaţie.

Programul MATHCAD© din Anexa A implementează algoritmul Elrodpentru cazul unui lagăr unidimensional cu alunecare. Programul afişeazărezultatele calculelor folosind condiţia simplă a lui Reynolds şi modelulconservării masei. Acesta din urmă se bazează pe o subrelaxare punctualădeoarece o rezolvare liniară duce la instabilităţi numerice mari în nodurile încare zona de cavitaţie începe sau se sfârşeşte, deci modelul conservării masei

35

este şi mai complicat şi necesită şi o putere de calcul mai mare. Acest programpoate fi folosit pentru a estima precizia condiţiei Reynolds în comparaţie cumodelul conservării masei.

36

2.3 Rezultate obţ inute folosind programul Fluent

Datorită faptului că suntem la început atât în ceea ce priveşte studiulfenomenului de cavitaţie, cât şi în folosirea programului FLUENT, acesterezultate nu au un caracter final, ci informativ, deşi prezintă o bunăconcordanţă cu cele obţinute cu un program de diferenţe finite pentru cazurileprezentate.

Pentru a ne apropia de tema tezei de doctorat, studiul cavitaţiei în cazulsuprafeţelor texturate, vom prezenta comparativ două cazuri, o analiză într-osecţiune centrală a unei celule (2D) şi analiza unei celule (3D) cu o texturarede formă pătrată.

Cazul I 2D (secţiune)Lungimea secţiunii a fost de 200 de microni, având în centru o textură cu

o lungime de 100 de microni şi o adâncime de 3 microni. Grosimea filmuluiconsiderat a fost de 3 microni iar vâscozitatea lubrifiantului de 0,3 Poise.Viteza relativă a celor două suprafeţe a fost de 1 m/s. Geometria şidiscretizarea utilizate sunt prezentate în figura de mai jos:

Figura 2.3.1 Geometria şi discretizarea pentru cazul bidimensional

37

Pentru comparaţie, am efectuat analiza iniţială fără a include modulul decavitaţie. Distribuţia de presiuni obţinută este prezentată în figura următoare:

Figura 2.3.2 Distribuţia de presiuni pentru cazul bidimensional, fărăincluderea modulului de cavitaţie

De remarcat este simetria valorilor faţă de presiunea de referinţă, lucrucare confirmă într-o anumită măsură validitatea rezultatului.

După includerea modulului de cavitaţie, distribuţia de presiuni a fost:

Figura 2.3.3 - Distribuţia de presiuni pentru cazul bidimensional, cuincluderea modulului de cavitaţie

38

Se remarcă valoarea cvasiconstantă şi apropiată de presiunea de vapori apresiunii în zona de cavitaţie, lucru care corespunde cu datele cunoscute despreacest fenomen. Demn de subliniat este faptul că valoarea presiunii maximepentru cazul acesta este mai mare decât pentru cazul care nu includea modululde cavitaţie. Variaţia volumului relativ de vapori este prezentată mai jos:

Figura 2.3.4 Variaţia volumului relativ de vapori pe domeniul analizat

Zona de cavitaţie este destul de restrânsă şi localizată la începutul zoneidivergente a filmului.

Cazul II 3D (celulă cu textură pătrată)Pentru acest caz am considerat, pentru a păstra analogia cu cazul

prezentat mai sus, o celulă pătrată cu latura de 200 de microni care are încentru o textură pătrată cu latura de 100 de microni şi adâncimea de 3 microni.Grosimea filmului şi vâscozitatea lubrifiantului au fost aceleaşi (3 microni şi0,3 Poise).

Din nou am efectuat o analiză fără a include modulul de cavitaţie.Variaţia presiunii în lungul unei axe centrale pe direcţia mişcării a fost:

39

Figura 2.3.5 Variaţia presiunii în lungul axei centrale a celulei, pe direcţiamişcării, fără considerarea cavitaţiei

Pentru comparaţie, prezentăm graficul obţinut pentru aceeaşiconfiguraţie cu ajutorul unui program cu diferenţe finite1:

0 5 10 15 20

1 .106

5 .105

0

5 .105

1 .106

.

Figura 2.3.6 Variaţia presiunii în lungul axei centrale a celulei, pe direcţiamişcării, fără considerarea cavitaţiei, folosind metoda diferentelor finite

De remarcat este buna similitudine între valorile obţinute cu metodadiferentelor finite si cele obţinute cu ajutorul programului FLUENT.

1 Programul este realizat de ing. Victor MARIAN, în cadrul lucrării sale de doctorat

40

După includerea modulului de cavitaţie, distribuţia de presiuni rezultatăîn programul FLUENT a fost:

Figura 2.3.7 Variaţia presiunii în lungul axei centrale a celulei, pe direcţiamişcării, cu considerarea cavitaţiei

Din nou am folosit comparaţia cu programul cu diferente finite, a căruisoluţie este prezentată in graficul de mai jos:

0 5 10 15 200

5 .105

1 .106

1.5 .106

.

Figura 2.3.8 Variaţia presiunii în lungul axei centrale a celulei, pe direcţiamişcării, cu considerarea cavitaţiei, folosind metoda diferentelor finite

41

Variaţia volumului relativ de vapori obţinuta cu programul Fluent esteprezentată în figura următoare:

Figura 2.3.4 Variaţia volumului relativ de vapori intr-un plan central alcelulei, pe directia miscarii

Se remarcă similitudinea calitativă şi cantitativă între cele două metode.Valorile obtinute cu ajutorul programului FLUENT par să descrie mai binetotuşi fenomenul, deoarece reflectă localizarea cavitatiei în zona de inceput atexturii. Metoda cu diferenţe finite are însă avantajul unei procesăriincomparabil mai rapide (pentru cazul analizat metoda diferenţelor finite arenevoie de sub un minut, in timp ce programul FLUENT a necesitat mai mult de10 ore, fără ca soluţia să conveargă cu precizia pe care am impus-o!).

42

CONCLUZII

• Studiul cavitaţiei în filmele de lubrifiant este extrem de important,atât din perspectiva modificării capacităţii portante a lagărelor şiamortizoarelor cu expulzare de film cât şi datorită daunelor pecare le poate produce suprafeţelor acestora.

• S-au efectuat numeroase cercetări experimentale, mai ales îndomeniul lagărelor încărcate dinamic, dar majoritatea folosinddispozitive destul de îndepărtate de cele existente în practica,modul şi măsura în care înglobarea aerului influenţează fenomenulde cavitaţie fiind încă în mare parte necunoscute.

• Modelele existente pentru ruperea unui film subţire sunt bunepentru a prezice apariţia (momentul de iniţiere, întindera şi formaglobală) bulelor staţionare de gaz sau vapori în lagărele încărcatestatic şi complet imersate, dar nici acestea nu ţin seama defenomenul de înglobare a aerului în filmul de lubrifiant.

• Pentru cazul suprafeţelor texturate încărcate staţionar, atâtprogramul FLUENT cât şi cel cu diferenţe finite oferă rezultatepromiţătoare, ramânând însă de efectuat o validare experimentalăa acestor rezultate.

43

BIBLIOGRAFIE

• Anton, I., - Cavitaţia Editura Academiei, Bucureşti, 1984

• Berthelot, Marcelin - A Few Forced Expansion Phenomena OfLiquids - http://www.lanl.gov/THROHPUT/Berthelot/Berthelot.pdf

• Joseph D., Daniel - Cavitation and the state of stress in a flowing liquid- http://www.aem.umn.edu/people/faculty/joseph/papers/cavupdate.pdf

• San Andres, Luis - Cavitation In Liquid Film Bearings -http://www.mengr.tamu.edu:70/mechanics-systems/lsanandres/me626/notes/finalpdf/Notes06Liquidcavitationmodel.pdf

• San Andres, Luis - Dynamic Cavitation In Journal Bearings And AirEntrainment In Squeeze Film Dampers -http://www.mengr.tamu.edu:70/mechanics-systems/lsanandres/me626/notes/finalpdf/Notes06dynamiccavitation.pdf

• Smith M., Andrew - Cephalopod Sucker Design And The Physical LimitsTo Negative Pressure - http://jeb.biologists.org/cgi/reprint/199/4/949.pdf

44

ANEXE

Anexa A Implementarea algoritmului de cavitaţ ieElrod în programul MathCAD1

Lagar unidimensional - Algoritmul universal de cavitatie (Elrod)

(numarul de iteratii pentru solutionarea ecuatiei neliniare)

Coordonatele nodurilor: i 0 N..:= xi i ∆x⋅:=

Grosimea filmului pentru fiecare nod: A .80:= curbura interstitiului

hi H2 H1−( ) xi⋅ H1+ 4 A⋅ xi 1−( )⋅ xi⋅+:=

h3i hi( )3:=max h( ) 1= min h( ) 0.200082=

Conditii la limita si valori initiale: p0 pin:= pN pout:=

gi 1:= NM1 N 1−:=

pi p0 1 xi−( )⋅ pN xi⋅+:= α i 1pi pc−( )

κ+:=

parametrii de viteza ai discretizarii: Λx Λ ∆x⋅:= Λcx Λc ∆x⋅:=

PARAMETRII LAGARULUI:

Λ 10:= (Parametrul de viteza al lagarului Pref=14.7 psi) Λ6 µ⋅ U⋅ L⋅

C2 Pref⋅

κ2000014.7

:= modulul volumetric adimensional al fluidului

pin 1:= pout pin:= pc 0.:= ΛcΛκ

:= Λc 0.00735=

N 99:= Numarul de noduri din domeniul de lungime L 1:= ∆x LN

:=

H1 1:= H2 1:= (Grosimea adimensionala a filmului )

error 1. 10 8−⋅:= (eroarea de convergenta in fractia filmului)

NITER 200:=

1 Realizat pe baza unui program dezvoltat la universitate din Twente, Olanda

45

iar conditiile la limita sunt p=pin, p=pout la x=0,1

ΛcΛκ

unded g− h3⋅

dαdx

⋅ α Λc⋅ h⋅+

dx0

Ecuatia diferentiala care trebuie rezolvata devine:

In zona de cavitatie, α reprezinta fractia volumica, adica raportul dintre grosimeafilmului de lubrifiant si grosimea interstitiului.

unde g este o functie de comutare, g=1 in zona de film complet, g=0 in zona de cavitatie

κΚ

Prefp pc κ g⋅ α 1−( )⋅+In forma adimensionala:

cu (Pc,ρc) presiunea si densitatea la valoarea de cavitatie.

P Pc Κ lnρρc

⋅+unde κ este modulul volumetric al fluidelorΚ ρ dPdρ

⋅

pentru un lichid compresibil relatia dintre presiune si densitate este:

p PPref

x XL

h HC

cu

este parametrul de viteza al lagaruluiΛ6 µ⋅ U⋅ L⋅

C2 Pref⋅unde:

αρρc

fie:d mx( )

dx

d α− h3⋅ dpdx

⋅ α Λ⋅ h⋅+

ρc⋅

dx0

si in forma adimensionala:d mX( )

dX

dρ−

µH3

12⋅ dP

dX⋅ ρ H⋅ U

2⋅+

dX0

Ecuatia de conservare a masei in film este:

46

Solutie: (a) SolveNC: gaseste valorile initiale ale campului de presiuni prin rezolvarea ecuatiei Reynolds pentru un fluid incompresibil, cu presiunile mai scazute decat cea de cavitatie neglijate prin metoda substitutiei inverse, echivalenta cu impunerea conditiei Reynolds (dp/dx)=0 la zona de initiere a cavitatiei.(b) Solve: Gaseste solutia densitatii relative (α) folosind algoritmul universal de cavitatie.

SolveNC pleft pright,( )Di Λx hi hi 1−−( )⋅←

Ai h3i 1−←

Bi h3i 1− h3i+( )−←

Ci h3i←

i 1 NM1..∈for

EN 0←

FN pright←

p0 pleft←

EiAi−

Bi Ci Ei 1+⋅+( )←

FiCi− Fi 1+⋅ Di+Bi Ci Ei 1+⋅+( )←

i NM1 1..∈for

pj max Ej pj 1−⋅ Fj+ pc( )( )←

α j 1pj pc−( )

κ+←

j 1 N..∈for

α 0 1p0 pc−( )

κ+←

p α( )return

:=

47

Solve α p, g, NITER, β,( ) α L α 1 2 error⋅+( )⋅←

iter 0←

βm1 1 β−←

iter iter 1+←

α L α←

Ai h3i 1− gi 1−⋅ Λ cx hi 1−⋅+←

Bi h3i 1− gi 1−⋅ h3i gi⋅+( )− Λ cx hi⋅−←

Ci h3i gi⋅( )←

aAi α i 1−⋅ Ci α i 1+⋅+( )−

Bi←

α i a β⋅ βm1 α i⋅+←

gi 1 α i 1≥if

0 otherwise

←

dum 1←

i 1 NM1..∈for

dum 1←

max α α L−→

error≥

iter NITER<( )⋅while

pj p c gj κ⋅ α j 1−( )⋅+←

j 0 N..∈for

α p g iter α L( )

:=

Calculele care sunt efectuate in aceasta sectiune:

(a) gasirea campului de presiuni cu modelul simplu de cavitatie (folosit cvaloare de pornire mai jos)

p α( ) SolveNC pin pout,( ):=

pnc p:= max pnc( ) 6.575513=

48

0 50 1000

2

4

6

8Distributia de presiuni

pl

pncl

l

Algoritmul 1:

pc 0=Λ 10=A 0.8=N 99=l 0 N..:=

(d) Reprezentari grafice

gN 1=pN 1=

α N 1.000735=p0 1=

min p( ) 0=min α( ) 0.353819=

max p( ) 7.417402=max α( ) 1− 0.005452=

max α α old−→

0.031178=

iteratii pana la convergentaiter 600=

(c) Rezultate:

error 1 10 8−×=α p g iter α old( ) Solve α p, g, NITER, β,( ):=

NITER 600:=Numar maxim de iteratii:

β 1:=Factor de relaxare

(b) Rezolvarea folosind algoritmul universal de cavitatie

49

0 20 40 60 80 1000.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Grosimea filmului si volumul relativ

hl α l⋅

hl

α l

l

Algoritmul 2:

0 49 980

2

4

6

8Distributia de presiuni

pl

pncl

l

50

0 0.5 10

1

2Functia de comutare

G

Fortele portante: pe baza presiunii totale

f1

NM1

i

pi( )=

p0 pN+( )2

+

∆x⋅:= fnc1

NM1

i

pnci( )=

pnc0pncN

+( )2

+

∆x⋅:=

f 2.42609= fnc 2.03934=

Debitelei 0 N 1−..:=

MxiΛ hi⋅ α i⋅ h3i− pi 1+ pi−( )⋅ gi⋅ gi 1+⋅

1∆x

⋅

+:=

MnciΛ hi⋅ h3i pnci 1+

pnci−( )⋅

1∆x

⋅−:= Mx12.452814=

0 20 40 60 80 1002

3

4

5

Mxi

Mnci

i

Debitul lateral este exagerat pentru zona de cavitatie deoarece grosimea filmului este considerata egala cu cea a interstitiului.