GABRIELA PROCA

MECANICA CONSTRUCIILORPENTRU CADASTRU

2005

CUPRINS

1. MECANIC GENERAL 2. STATICA 3.APLICAII TEHNICE ALE STATICII 4. REZISTENA MATERIALELOR

2

Capitolul I. MECANIC GENERAL

1.1 Introducere Mecanica studiaz legile obiective ale deplasrii corpurilor materiale i ale schimbrii formei lor, n raport cu un corp presupus convenional, rigid i imobil, denumit reper sau sistem de referin. Deplasarea corpurilor i schimbarea formei lor reprezint micarea mecanic a materiei. Micarea mecanic are loc n spaiu i timp, acestea fiind forme obiective de existen a materiei i purtnd numele de spaiu fizic i timp fizic. Procesul de cunoatere a micrii mecanice este un proces de abstractizare prin care se stabilete corespondena biunivoc dintre proprietile obiective ale materiei, spaiului i timpului pe de o parte i pe de alta de conceptele matematice. Corespondena este justificat de corectitudinea cu care conceptele matematice pot modela fenomenul fizic al micrii mecanice. Studiul mecanicii poate abordat prin analiza a trei pri de baz i anume: cinematica, dinamica i statica. Cinematica studiaz micarea corpurilor materiale din punct de vedere geometric, independent de cauzele care o genereaz i o modific. Este analizat dependena n timp a coordonatelor punctelor unui corp, a vitezelor i acceleraiilor lor ct i problema transformrii acestor mrimi prin trecerea de la un sistem de referin la altul.3

Dinamica studiaz micrile mecanice ale corpurilor n funcie de forele care acioneaz asupra lor. Noiunile fundamentale de cinematic i dinamic sunt abordate de ctre studenii seciei de cadastru, cu precdere de cursurile universitare de fizic. Statica analizeaz un caz particular al dinamicii i anume acela al echilibrului corpurilor. Prezenta divizare a studiului mecanicii este convenional ntruct nu se poate stabili o limit clar ntre fenomenele care se refer la fiecare dintre cele trei pri. Cursul Elemente de mecanic a construciilor trateaz noiunile de baz de care studentul are strict necesitate n aprecierea general a alctuirii construciilor i a modului de lucru al elementelor structurale precum i al alctuirii i modului de lucru a unor dispozitive i construcii pe care le folosete la efectuare msurtorilor n teren. Noiunile primite permit studentului elaborarea unor programe de strict specialitate n vederea msurtorilor relative la urmrirea comportrii construciilor 1.2 Noiuni fundamentale ale mecanicii Noiunile fundamentale ale mecanicii clasice sunt spaiul, timpul i masa. Spaiul este conceput tridimensional. Este raportat n mod curent la un triedru de axe ortogonale: Ox, Oy, Oz. Timpul este conceput ca o mrime scalar t, independent, susceptibil de a lua orice valoare real i de a varia continuu, monoton, cresctor. Originea timpului poate fi aleas convenional n orice moment. Valoarea negativ poate indica un moment anterior celui de referin, iar cea pozitiv, fenomene urmtoare momentului de referin. Masa m este considerat o mrime scalar pozitiv care reflect dou dintre proprietile generale ale materiei care intervin n micarea mecanic i anume ineria i gravitaia.

4

Ineria este proprietatea general a materiei care se manifest prin acea c un corp aflat n repaus n raport cu un sistem de referin considerat fix, opune o anumit rezisten atunci cnd un factor extern tinde s-i modifice aceast stare. Gravitaia este proprietatea general a materiei, care se manifest prin existena n spaiu a unui cmp gravitaional. Un corp prezent n acest cmp sufer o aciune mecanic datorit prezenei cmpului. Se poate vorbi deci de o mas inert i de o mas gravitaional, identice valoric n urma experimentelor efectuate. n mecanica general, masa este independent de viteza corpului. Este o mrime aditiv, n sensul c prin reunirea a n corpuri de mase mi se obine un corp de mas M. Deci: M =n

mi1

1.3 Concepte matematice ale mecanicii n mecanica general se utilizeaz urmtoarele concepte matematice: a) Punctul material este un punct geometric cruia i se ataeaz o mas m. Punctul material este folosit la studiul micrii corpurilor materiale ale cror dimensiuni nu joac un rol important. Chiar i planetele pot fi considerate ntr-o prim aproximaie puncte materiale n studiul micrii acestora n jurul Soarelui. b) Sistemul de puncte materiale este format din n puncte materiale, aezate n poziiile A1, A2, , An, de mase m1, m2, , mn ntr-un sistem de referin plan sau spaial i ntre care se exercit aciuni mecanice. Sistemele de puncte materiale pot fi rigide, dac distanele AIAj rmn constante n timpul micrii i deformabile dac aceste distane variaz. c) Mediul continuu este un volum din spaiu, complet umplut cu substan. Masa unitii de volum se numete densitate i se noteaz cu . Mediul continuu

5

este omogen dac densitatea este constant n spaiu i neomogen n caz contrar. Masa total se determin cu relaia: M = dv , unde dv este un volum infinitezimal. Mediul continuu poate fi rigid sau deformabil. d) Sistemul de corpuri este generat de un numr de corpuri ntre care se exercit aciuni mecanice. Problema de baz a mecanicii generale este studiul micrii sistemelor de corpuri.

1.4 Noiuni derivate ale mecanicii a) Viteza este prima derivat n raport cu timpul a vectorului de poziie a unui punct.v=

r t

b) Acceleraia este prima derivat n raport cu timpul a vectorului de vitez a unui punct.a =v t

c) Fora este o mrime vectorial care msoar interaciunea dintre corpurile materiale. Aceast aciune reciproc dintre corpurile materiale are ca urmare modificarea strii lor de repaus sau de micare rectilinie i uniform. Se exprim cu relaia:F = ma

Fora este caracterizat prin punct de aplicaie, (A), mrime sau modul, |F|, direcie () i sens (A ctre B) (Fig.1.1)6

. () AF

B

B

Fig.1.1 Reprezentarea vectorului for Fora aplicat unui punct material este reprezentat printr-un vector legat avnd punctul de aplicaie n punctul geometric corespunztor. For aplicat unui solid rigid este reprezentat printr-un vector alunector, adic se poate considera ca punct de aplicaie oricare dintre punctele suportului invariabil legat cu rigidul. n funcie de modul n care se aplic forele asupra corpurilor materiale se deosebesc: a)fore concentrate (F, Q), considerate teoretic c se aplic i acioneaz ntr-un singur punct al corpului, cu ntreaga lor intensitate (Fig.1.2 a, b); b) fore distribuite dup o anumit lege (q, qn), considerate c se aplic i acioneaz pe o anumit distan sau suprafa; cel mai des ntlnite sunt forele uniform distribuite, dreptunghiular sau triunghiular (Fig.1.2 c, d, e, f) ca fiind

Fig.1.2 Tipuri de fore aplicate asupra corpurilor materiale

7

Not: Pentru simplificarea calculelor, forele distribuite se asimileaz cu fore concentrate egale cu aria forelor distribuite i care sunt aplicate n centrul de greutate al ariei ncrcrii distribuite dup o anumit lege de variaie. Dup poziia punctului de aplicaie al forelor exterioare n timp a forelor se deosebesc: - fore fixe, ale cror puncte de aplicaie sunt aceleai n permanen i - fore mobile, ale cror puncte de aplicaie se schimb n timp (ex: ncrcrile din poduri rulante asupra structurii de rezisten). Dup variaia intensitii forelor exterioare n timp se ntlnesc: - ncrcri statice, cu intensitatea practic constant n timp (ex: greutatea proprie a materialelor, mpingerea pmntului, a.) ; - ncrcri dinamice, la care variaia intensitii forelor este variabil n unitatea de timp (ex: aciunea vntului, seimelor, exploziilor, a.). Observaii: Greutatea este atracia pe care Pmntul o exercit asupra unui rigid. Deci, greutile sunt fore. Greutatea aceluiai corp variaz cu latitudinea i altitudinea. d) Sistemul de fore este alctuit din mai multe fore care acioneaz simultan asupra aceluiai corp. Dac un corp material acionat de un sistem de fore rmne n repaus sau n micare rectilinie i uniform, se spune c sistemul de fore este n echilibru. e) Lucrul mecanic al unei fore, al crei punct de aplicaie se deplaseaz pe arcul de curb AB, este dat de integrala curbilinie: L=AB

Fdr

f) Energia cinetic a unui punct material de mas m i de vitez v este:E = mv2

8

1.5 Uniti de msur n Romnia se folosete din 1961 Sistemul internaional de uniti de msur SI, sistem general aplicabil n toate domeniile. SI are la baz 6 uniti fundamentale i 2 uniti suplimentare definite de STAS 737/62 i anume: a) uniti fundamentale - pentru lungime (L) : metrul [m] definit ca lungimea egal cu 1650763,73 lungimi de und n vid ale radiaiei care corespunde tranziiei dintre nivelele 2p10 i 5d5 ale atomului de Kripton 86; - pentru mas (M): kilogramul [kg] care reprezint masa kilogramului prototip internaional adoptat ca unitate de mas de Conferina general de msuri i greuti din 1889; - pentru timp(T): secunda [s] definit c durata a 9192631770 perioade ale radiaiei corespunztoare tranziiei ntre cele dou nivel hiperfine ale strii fundamentale a atomului de Cesiu 133; - pentru intensitatea curentului electric: amperul [A], care reprezint intensitatea unui curent electric constant, care meninut ntre dou conductoare paralele, rectilinii, de lungime infinit i seciune circular neglijabil, aezate n vid la o distan de 1 m unul fat de altul ar produce ntre acestea, pe o lungime de 1m, o for egal cu 2 10-7 N; - pentru temperatura termodinamic: kelvinul [K] care este fraciunea de 1/273,16 din punctul triplu al apei; - pentru intensitatea luminoas: candela [cd] ce este definit ca intensitatea luminoas n direcia normalei a unei suprafee de 1/600000 m2 a unui corp negru la temperatura de solidificare a Platinei, la presiunea de 101.325 N/m2; b) uniti suplimentare: - pentru unghiul plan (): radianul [rad] definit ca unghiul plan cu vrful n centrul unui cerc care delimiteaz pe circumferina cercului un arc a crui lungime este egal cu raza cercului;9

- pentru unghiul solid (): steradianul [sr] definit ca unghiul solid cu vrful n centrul unei sfere i care delimiteaz pe suprafaa sferei o arie egal cu aria unui ptrat a crui latur este egal cu raza sferei.

Not: n mecanica tehnic a fost utilizat sistemul de uniti de msurMKfS care avea ca uniti de msur: metrul, kilogramul for (kgf), secunda. Dezavantajul sistemului este c unitatea de for este variabil cu latitudinea i altitudinea producnd confuzii ntre unitatea de mas (kg) i unitatea de for (kgf).n Tabelul 1.1 se dau principalele mrimi folosite n mecanica construciilor i unitile lor de msur. Tabel 1.1 Mrimi folosite n mecanica construciilor i unitile lor de msur. Simbol Denumire i simbol Ecuaia de Dimensiuni Unitatea de msur unitate de mrime definiie msur Lungime (l) L metru m Mas (m) M kilogram kg Timp (t) T secund s Newton For (F) F = ma N LMT-2 Greutate (G) G = mg metru pe secund l v= LT-1 Vitez (v) m/s t metru pe secund v a= m/s2 LT-2 Acceleraie (a, g) la ptrat t radian pe secund = T-1 Vitez unghiular () rad/s t rotaie pe secund n= Turaie (n) (rotaie) rot/s T-1 2 radian pe secund = Acceleraie unghiular () rad/s2 T-2 la ptrat t kilogram pe metru m = Densitate () Kg/m3 L-3M cub V Newton pe metru G = N/m3 Greutate specific () L-2MT-2 cub V Moment de inerie metru la puterea a L4 m4 geometric al suprafeei (I) I = Al2 patra Momentul unei fore (M) M = Fl L2MT-2 Newton metru Nm Newton pe metru F Presiune (p) p = N/m2 L-2MT-2 ptrat Tensiune (, ) A joule Lucru mecanic (L) L = Fl J L2MT-2 Energie (E)

10

1.6 Principiile mecanicii Principiile mecanicii enunate de Isaac Newton sunt:

Principiul ineriei (legea I): Un punct material izolat n spaiu se gsete nraport cu un sistem de referin fix, fie n stare de repaus, fie n stare de micare rectilinie i uniform.

Principiul proporionalitii forelor cu acceleraiile (Legea a II a): Dacasupra unui punct material se exercit aciunea unei fore F, impulsul mv variaz proporional cu fora, variaia fiind dirijat pe suportul forei, n sensul acesteia, dup legea: F=d (mv) . dt

Principiul aciunii i reaciunii (Legea a III a): Dac asupra unui punctmaterial se exercit aciunea unei fore F , asupra agentului motor care a provocat aceast aciune se va exercita o reaciune egal cu F . Pe baza principiului al II- lea, reaciunea este egal n modul cu ma; se numete for de inerie. 1.7 Vectori 1.7.1 Noiuni generale Mrimile fizice sunt de dou feluri: - mrimi scalare, determinate numai de valoarea lor numeric (ex.: lungime, timp, arie, volum) - mrimi vectoriale, determinate prin valoare numeric (modul), punct de aplicaie, direcie i sens (ex.: for, vitez, acceleraie, momentul forei). Vectorii se clasific n urmtoarele categorii: - vectori liberi, care pot avea punctul de aplicaie oriunde n cadrul unui sistem de referin dat, pstrnd modulul, direcia i sensul; - vectori alunectori, la care punctul de aplicaie se deplaseaz oriunde pe direcia lor;11

- vectori legai a cror origine este bine precizat, ntr-un anumit punct. Vectorii care au acelai modul, direcie sau direcii paralele se numesc

vectori echipoleni.1.7.2 Operaii cu vectori

Suma (rezultanta) a doi vectori i V2 este un vector R care reprezintdiagonala paralelogramului construit pe vectorii dai (regula paralelogramului). (Fig. 1.3a) Construcia grafic a adunrii vectoriale se poate generaliza pentru un numr oarecare de vectori construind poligonul vectorilor echipoleni cu vectorii dai. Vectorul de nchidere al poligonului reprezint chiar rezultanta vectorilor dai.(Fig.1.3b)V2

V1

V2

V1 V2V 31

V 31

1

V

V2

R

A a

V1 R

b Fig.1.3 Poligonul forelor

Scderea vectorilor. A scade un vector V2 dintr-un vector V1 nseamn agsi un vector V3 care adunat cu vectorul V2 s dea vectorul V1 . Construcia grafic este similar adunrii vectoriale. Practic se poare aduna direct vectorul (- V2 ).

nmulirea unui vector V cu un scalar k (pozitiv sau negativ), ntreg sausubunitar) conduce la obinerea unui vector de modul kV, avnd aceeai direcie cu vectorul dat i sens identic sau contrar n funcie de semnul multiplicatorului k.

12

1.7.3 Fore concurente coplanare Forele din acelai plan () se numesc fore coplanare (Fig.1.4).

F2 F1

z O x ()F3

Fig.1.4 Fore coplanare

a. Compunerea forelor coplanare.Forele care au acelai punct de aplicaie se numesc fore concurente. Operaia de nlocuire a forelor concurente printr-o for unic (rezultant) se numete reducerea sistemului de fore concurente. Rezultanta are acelai punct de aplicaie ca i forele date (Fig.1.3a).

Metoda grafic const n construcia poligonului vectorilor echipoleni cuvectorii dai, numit poligonul forelor (Fig.1.3a, b).

Metoda analitic de determinare a rezultantei unui sistem de foreFi concurente se bazeaz pe teorema proieciilor i const n proiectarea ecuaiei

vectoriale de descompunere a forelor.

Teorema proieciilor Suma proieciilor mai multor vectori coplanari pe o ax este egal cu proiecia rezultantei vectorilor dai pe aceeai ax.Deci rezultanta forelor date, ca de exemplu a celor din Fig.1.4, este:R =n

F1

i

iar proieciile pe cele dou axe de coordonate rectangulare Ox i Oz sunt: Rx = X i i R z =i =1 n

Zi =1

n

i

.

13

Modulul rezultantei este dat de relaia: R = Rx2 + Rz2 . Direcia rezultantei este determinat prin tangenta unghiului de nclinare al suportului rezultantei fat de axa Ox. tg =Rz . Rx

Dac dou fore concurente au direcii oarecare (Fig.1.5) mrimearezultantei se determin cu teorema lui Pittagora generalizat: R=F12 + F22 + 2 F1F2 cos , unde este unghiul dintre direciile forelor F1 i F2 .

Direcia rezultantei se determin cu relaia lui Stevin:F1 F R = 2 = . sin sin sin

zF1 R

unde: este unghiul dintre R i F2, este unghiul dintre R i F1,iF2

este unghiul dintre F2 i F1. x

O

Fig.1.5 Compunerea a dou fore coplanare avnd direcii diferite

Dac dou fore concurente sunt perpendiculare una pe alta mrimearezultantei este: R = F12 + F22 , iar direcia este dat de valoarea tangentei: tg =F1 . F2

Dac dou fore au aceeai direcie i sens, ecuaia de compunerevectorial se transform ntr-o sum aritmetic. Rezultanta este: R = F1 + F2.14

Generaliznd pentru n fore concurente de aceeai direcie i sens: R=

F .i =1 i

n

Forele concurente de aceeai direcie i sensuri contrare se adunalgebric. Dou fore egale i de sens contrar care acioneaz asupra unui corp l menin n echilibru. Aparatul topografic fixat de trepied (Fig.1.6) este n echilibru sub aciunea forei F , exercitate de operator care o susine la transport, i a greutii propriiG. F

G (G = F )

Fig. 1.6 Corp n echilibru sub aciunea a dou fore egale i de sens contrar

b) Descompunerea unei fore n dou componente concurente coplanareeste operaia invers compunerii a dou fore. Se dau rezultanta i cele dou direcii concurente coplanare. Se poate folosi metoda grafic sau metoda analitic. n metoda grafic se duc paralele la cele dou direcii prin extremitile forei pn n punctul de intersecie cu acestea. Practic se construiete un paralelogram ale crui laturi sunt chiar cele dou fore componente, a crei direcie se cunoate, pornind de la o diagonal (rezultanta) i sensul acesteia (Fig.1.5). Metoda analitic folosete relaia lui Stevin.

15

Aplicaie:S se determine valoarea rezultantei a trei fore concurente F1 (2N), F2 (3N) i F3 (2,5N). z

Rezolvare:R= ( X i ) 2 + ( Z i2 ) = 0,822 N tg =

F2 F1

O F3

x

Z X

i i

24

Problem propus Se dau dou fore concurente F1 (200 N) i F2 (350 N). Se cere valoarearezultantei dac unghiul fcut de suporturile forelor ia succesiv valorile: 0, 45, 60, 90, 120, 135, 180.

c. Echilibrul forelor coplanareUn sistem de fore concurente se afl n echilibru atunci cnd rezultanta forelor este nul ( R =0). Analitic, condiia de echilibru este dat de relaiile:n n

X i = 0 i1

Z1

i

= 0.

Grafic, condiia este ndeplinit la forele concurente coplanare prin nchiderea poligonului vectorilor echipoleni. 1.7.4. Fore paralele coplanare Prin fore paralele se neleg forele ale cror suporturi sunt paralele. Punctul de aplicaie al rezultantei forelor paralele se numete centrul forelor paralele (Fig.1.7)

Determinarea analitic a mrimii rezultantei unui sistem de fore paralelei a poziiei centrului forelor parale const n scrierea ecuaiilor de proiecii pe

16

direcia forelor (de unde rezult modulul rezultantei) i a ecuaiei de momente fa de un punct oarecare (rezult poziia rezultantei). z O GR

Deci: xF2

- modulul rezultantei este R=

F ,i

- coordonatele centrului forelor aF1

b

paralele (G) sunt: xC=

Fig.1.7 Centrul forelor paralele

Fx Fi

i i

, zC=

Fz Fi

i i

n cazul de fa R = F1 F2, i centrul forelor paralele este G (xG, zG), undexG = F1 a F2 b , zc = 0 datorit alegerii convenabile a sistemului de axe. F1 F2

1.7.5 Momente. Cupluri Prin definiie se numete moment al forei F n raport cu punctul O un vector legat avnd: - modulul egal cu produsul dintre valoarea numeric a forei i lungimea perpendicularei coborte din O pe direcia forei M O ( F ) = d F ; - originea n polul O; - direcia perpendicular pe planul format de fora considerat i pol [ M ( AOB) ] - sens trigonometric.M

B O dF

A Fig.1.8 Momentul unei fore n raport cu un punct

17

- Unitatea de msur a momentului n SI este [Nmm].

Proprietile momentului unei fore fa de un punct sunt:- cnd fora trece prin punctul considerat, momentul este nul; - cnd fora alunec pe suportul ei, momentul rmne constant. Pentru un sistem de fore oarecare n spaiu, momentele forelor au direcii oarecare i prin urmare se nsumeaz vectorial.

Teorema lui Varignon.Momentul rezultantei unui sistem de fore coplanare n raport cu un punct dat este egal cu suma algebric a momentelor tuturor forelor sistemului dat n raport cu acelai punct.

Cuplul de fore. Prin definiie dou fore egale, paralele ( F ), de sensuricontrare, avnd suporturi diferite formeaz un cuplu de fore (Fig. 1.9). Distana

d msurat pe perpendiculara comun celor dou fore se numete braulcuplului.M

F

d

F

Fig. 1.9 Cuplul de fore Un cuplu de fore are rezultanta R = 0, dar momentul su este diferit de zero avnd modulul egal cu produsul dintre valoarea numeric a uneia din forele cuplului i braul cuplului:M = d F.

Momentul cuplului este un vector liber care are direcia perpendicular pe planul forelor cuplului i sensul astfel nct rotaia forelor cuplului s fie de la dreapta la stnga, (sens trigonometric).

18

Cuplul de fore are urmtoarele proprieti: - Valoarea cuplului de fore nu se modific dac este mutat (deplasat, rotit), oriunde n planul su; - Un cuplu poate fi nlocuit cu un alt cuplu coplanar dac momentele cuplurilor sunt egale ca modul, direcie i sens: F d = F1 d1. - Momentul rezultant al unui sistem oarecare de cupluri coplanare este egal cu suma lor algebric. Un sistem de cupluri este n echilibru dac momentul lor rezultant este nul. Cuplul care pune n micare de rotaie un corp se numete cuplu motor, iar cel care se opune micrii se numete cuplu rezistent. Un corp aflat sub aciunea exterioar a unor cupluri motoare i a unor cupluri rezistente se afl n echilibru dac suma cuplurilor motoare este egal i de sens contrar cu suma cuplurilor rezistente.

Aplicaii:1. Pentru a deuruba o piuli este necesar un moment M = 16000 Nmm. Utiliznd o cheie de lungime 8 cm msurat de la axa piuliei, se cere s se determine valoarea forei cu care trebuie s acioneze un executant. M d

Rezolvare: F =

M 16000 = = 2000 N 80 d

2. Asupra unei axe acioneaz cuplurile de fore din figura alturat. S se determine momentul rezultant al sistemului de cupluri. Se dau: b = a forele F1 = F4 = 100 N; F2 = F5 =70 2 30 2 N, F3 = F6 = N. 2 2a 2 i 2

Suportul forelor formeaz succesiv un unghi de 60.19

Rezolvare:MR = 100a 70 2 a 2 30 2 a 2 . . = 0 (echilibru) 2 1 2 1

Problem propus:Se dau 3 cupluri coplanare ale cror fore i brae sunt: 6, 3, 2, N i respectiv 2; 1; x; m care acioneaz asupra axului motor din figur. S se determine mrimea braului x cunoscnd c sistemul acestor cupluri este n echilibru i c primul cuplu are moment pozitiv, iar celelalte cupluri au momentele negative. 6N 3N 2m 1m x 3N 6N 1.8 Caracteristici geometrice ale suprafeelor plane 1.8.1 Moment static. Centrul de greutate La determinarea tensiunilor i deformaiilor elementelor solicitate de fore exterioare, intervin mrimi dependente de forma i dimensiunile seciunii transversale, denumite caracteristici geometrice. Dintre acestea se menioneaz:20

2N

2N

aria, momentele statice, momentele de inerie, razele de inerie.

a. Momentul static.Pentru cazul general, ntr-un sistem ortogonal plan de axe Oxz pentru un sistem de puncte materiale A1, A2, , An, de mase m1, m2,, mn i de vectori de poziie r1 , r2 ,.., rn (Fig.1.10), se definete momentul static al sistemului n raport cu punctul O, vectorul SO definit de relaia:SO =

m r .i =1 i i

n

Proieciile acestui vector pe axele de coordonate Ox, Oz, sunt prin definiie momentele statice n raport cu planele de coordonate. SOz = z A1,m1, (x1, z1) ,rin n

mi xi , SOx = mi zii =1 i =1

1r1

i

Ai mi, (xi, zi) x

O

Fig.1.10 Sistemul de puncte materiale Momentul static al sistemului n raport cu un alt punct C are expresia:SC = mi ri ( mi ) , unde este vectorul OC .i =1 i =1 n n

b. Centrul de mas (centrul de greutate) este punctul n raport cu caremomentul static este nul. Deci dac SC = 0, atunci vectorul are expresia: = Pentru o plac omogen:n

m ri =1 n i

i

mi =1

.

i

21

=

dA rA

dAA

,

unde dA este elementul de arie. Pentru o bar sau un fir omogen: =

ds rS

dsS

,

unde ds este elementul de arc. Proiectnd pe axele de coordonate formulele anterioare, expresiile

coordonatelor centrelor de greutate (, ,) sunt prezentate n Tabelul 1.2.Tabelul 1.2 Proiecie pe axa Ox () Sistem de puncte Plac omogen Bar omogen Proiecie pe axa Oz ( )

m xi =1 i

n

i

m zi =1 i

n

i

mii =1

n

mi =1

n

i

x dAA

z dAA

dAA

dAA

x dss

z dss

dss

dss

Fie o suprafa plan (Fig. 1.11) i un sistem de axe rectangulare (xOz). Se alege un element de arie infinitezimal dA, al crui centru de greutate este P de coordonate (x, z).

22

z xP

dA

P

z O x Fig. 1.11 Momentul static al suprafeei plane Expresiile:S x = z dAA

S z = x dAA

se numesc momente statice fa de axa Ox, respectiv, Oz. Dintre proprietile momentului static amintim: - momentul static n raport cu ax care trece prin centrul de greutate, este nul; - unitatea de msura a momentului static este o lungime la puterea a treia, [mm3]. Aplicnd teorema lui Varignon se obin egalitile:

x dA = x dAG A A

z dA = z dAG A A

care conduc la obinerea relaiilor generale de calcul ale poziiei centrului de

greutate ale suprafeei plane oarecare:xG =

x dAA

dAA

i zG =

z dAA

dAA

.

Dac suprafaa este alctuit din mai multe suprafee simple (Fig.1.12), ale cror centre de greutate sunt cunoscute, formulele generale folosite la23

determinarea poziiei centrului de greutate devin: z xi

Ai xG = An zi x zG = G

x Ai =1 i

n

i

Ai =1

n

i

A1

i

z Ai =1 i

n

i

Ai =1

n

i

Fig.1.12 Determinarea poziiei centrului de greutate la o alctuit din mai multe suprafee simple ale cror centre de greutate sunt cunoscute

Proprietile centrului de masa) Dac o suprafa are o ax de simetrie, centrul de mas se afl pe acea ax. Exemplu: centrul de mas al suprafeei unui triunghi isoscel se gsete pe mediana corespunztoare bazei, care este ax de simetrie n triunghi. b) Dac suprafaa are dou axe de simetrie, centrul de greutate se afl la intersecia acestor axe. Exemplu: centrul de mas al ptratului, rombului, se afl la intersecia diagonalelor care sunt axe de simetrie). c) Centrul de mas n transformarea afin. Dac un sistem de puncte materiale (A) poate fi dedus dintr-un sistem de puncte materiale (A) prin transformarea afin: x = k1 x, z = k3 z (ki constante), atunci centrul de mas C al sistemului (A) este transformatul afin al centrului de mas C al sistemului (A), adic ntre coordonatele (, ) i (, ) exist relaiile: = k1 i = k3 .

Pentru cazul suprafeelor (problema plan) procedeul de calcul al centrului de greutate este:- se descompune suprafaa dat n mai multe suprafee componente ale

24

cror centre de greutate sunt cunoscute sau se pot determina uor; - se aleg axele de coordonate care conduc la calcule simple; - se aplic relaiile de calcul xG =n n

xi Aii =1

Ai =1

n

i

zG =

z Ai =1 i

i

i

Ai =1

n

pentru

i

determinarea poziiei centrului de greutate, inndu-se cont de urmtoarele precizri: - suprafeele care se scot sau se scad din componena suprafeei date se consider negative; - semnele coordonatelor centrelor de greutate ale suprafeelor componente se stabilesc n raport cu axele de coordonate alese.

Pentru suprafee simple ntlnite n practic se dau n continuare poziiilecentrelor de greutate: Triunghi Figura geometric z A h B Semicerc O z r x O Trapez M h G O b N zG x z B Notm cu M mijlocul bazei mari (B) i cu N mijlocul bazei. Alegem sistemul axe din figur. xG = 0, zG =B + 2b h 3( B + b)

Poziia centrului de greutateh 3

h/3 x C

xG = 0, zG =

xG = 0, zG =

4r 3

- La suprafee plane n form de dreptunghi, ptrat, romb, cerc i seciune

25

inelar, centrul de greutate coincide cu centrul lor de simetrie.

Aplicai:1. S se determine coordonatele centrului de greutate ale suprafeei din figura alturat. z SI :a a ; z1= ; A1= a; 2 2 3 a a3 A1x1= A1z1= ; 2 2

x1 =

a

IG(xG, zG)

II O x a a3 ; 2

SII: x2 = ; z2= ; A2= A2x2= Ai zi= 2a3 a3 A2z2= ; 6 6

a3a 2 ; 2

a 3

a 3

a2 2

Ai =i =1

2

i =1

2

Ai xi=

i =1

2

a3 2a 4a , deci: xG= = ; zG= 3 9 9

2. S se determine poziia centrului de greutate (poziia firului cu plumb) la a o nivel fixat n punctul de staie tiind c distanele dintre picioarele trepiedului, msurate la nivelul terenului sunt: 1,00 m, 1,00 m; 1,00 m. Poziia centrului de greutate se afl la intersecia bisectoarelor triunghiului median; problema poate fi rezolvat grafic sau analitic.

z C

G(0, 0,29)

zGB x

A

O

RezolvareAlegem un sistem convenabil de axe: Ox, n lungul laturii AB i Oz n lungul medianei corespunztoare bazei AB, astfel nct originea O a sistemului

26

de axe s coincid cu mijlocul bazei. Fiind vorba de un triunghi echilateral, liniile importante din triunghi se confund i sunt egale. Deci: h = 1 0,52 = 0,87m , (h = OC) Poziia centrului de greutate a suprafeei triunghiulare date se afl la o distan de 1/3 fa de baza AB i 2/3 de vrful C. Coordonatele centrului de greutate sunt: xG = 0 i zG=0,87 = 0.29m 3

1.8.2 Moment de inerie

a. Moment de inerie polar, axial, planarPentru un sistem de puncte materiale, se numete moment de inerie polar,

axial, planar al unui sistem de puncte materiale, o sum de forma:J=

m i =1 i

n

2 i

unde i este distana de la punctul material Ai de mas mi al sistemului respectiv la polul, axa sau planul n raport cu care este definit momentul de inerie (Fig.1.13). z 1 A1,m1, (x1, z1) , ii

Ai mi, (xi, zi) x

O y

Fig.1.13 Moment de inerie al unui sistem de puncte materiale Exemplu: i. distana fa de axa Ox Pentru un mediu continuu, J = suprafaa ocupat de mediul continuu.27

2

dm , integrala extinzndu-se la toat

Elementul dm poate fi nlocuit n cazul unei plci cu dA ( fiind densitatea superficial i dA elementul de arie). Astfel, pentru o plac omogen, momentul de inerie n raport cu un punct sau o ax din planul ei este: J = 2 dA = I, I = 2 dA care se numete momentul de inerie geometric al figurii plane corespunztoare. Aceste momente de inerie intervin n studiul mediilor continue deformabile.

b) Momente de inerie fa de axe i plane de coordonate. Moment centrifugalDat fiind un diedru ortogonal de referin xOz i un sistem de puncte materiale, se pot defini urmtoarele momente de inerie n raport cu originea, axele de coordonate i planele de coordonate. a) momentul de inerie polar: JO=n

m ( xi =1 i n

2 i

+ zi2 ) ;

b) momentele de inerie axiale: JX =

mi zi2 ; JZ =i =1 n

m xi =1 i

n

2 i

.

c) momentul de inerie centrifugal (moment de deviaie, produs de inerie): Jzx=

m z x .i =1 i i i

Analiznd expresiile momentelor de inerie rezult: JO=1 (Jx +JZ); 2

c) Variaia momentelor de inerie fa de axe paraleleDac JO este momentul de inerie fa de o dreapt (0) care trece prin centrul de mas, iar J este momentul de inerie fa de o dreapt (), paralel cu

28

(0) i situat la distana d de aceasta (Fig.1.14), atunci se aplic relaia lui Steiner: J = JO + M d2. zGM

(0) d ()

O

x

Fig.1.14 Variaia momentului de inerie fa de drepte paralele

Consecine:Momentul de inerie polar n raport cu centrul de mas este mai mic dect oricare alt moment de inerie polar. Momentul de inerie n raport cu o dreapt care trece prin centrul de mas este mai mic dect momentele de inerie n raport cu oricare alt dreapt paralel cu aceasta.

d) Variaia momentelor de inerie fa de axe concurenteDac o dreapt (), face cu axele Ox, Oz ale diedrului de referin unghiurile , expresia momentului de inerie fa de aceast dreapt este de forma: J= JXcos2 , + Jzcos2 + JZX cos cos

e) Elipsa de inerieFie o dreapt () care trece prin O i pe ea segmentul OP =1 . J

Locul geometric al punctului O este pentru cazul general elipsa: JXx2 + Jzz2 2 Jzxzx = 1

29

Dac punctul O este chiar n centrul de greutate al sistemului, elipsa de inerie corespunztore se numete elips central de inerie, iar axele principale respective, axe centrale de inerie. Astfel, se deosebesc pentru suprafeele plane urmtoarele momente de inerie: - momente de inerie axiale (ecuatoriale), calculate fat de o ax; - momente de inerie polare, calculate fat de un punct; - momente de inerie centrifugale, calculate fa de dou axe rectangulare. Particulariznd relaiile de calcul anterioare pentru suprafaa plan situat ntr-un sistem rectangular de referin xOz rezult: z x dA zyy z

z

x r

dA z x

x Fig.1.15 - momentele de inerie axiale: Iz = Fig.1.16

A xi =1 i

n

i

i Ix =

A zi =1 i

n

i

Observaie: Dac momentele se calculeaz fa de axe care trec prin centrul de greutate al suprafeei, se numesc momente de inerie centrale.- momentul de inerie polar al unei suprafee plane: IP =n

A ri =1 i

2

i

,

30

Unde, r2 = z2 + x2 IP = Iz +Ix [cm4] - momentul de inerie centrifugal: Izx =n

i =1

A

i

zi xi

Dac cel puin una din axe este ax de simetrie, momentul de inerie centrifugal este nul.

Observaii:Pentru calculul momentelor de inerie centrifugale ale figurilor plane simple (seciunile barelor) se utilizeaz relaiile din Tabelul 1.3. Valorile momentelor de inerie ale profilelor laminate la cald sau la rece se gsesc calculate n standardele de stat aferente fabricaiei lor. Pentru suprafee complexe, metoda de calcul a momentelor statice i de inerie const n descompunerea n suprafee simple crora li se stabilesc mai uor momentele statice i de inerie, urmat de nsumarea algebric rezultatelor obinute. Alturat sunt prezentate pentru seciunile plane uzuale momentele de inerie fa de axele ce trec prin centrul de greutate al seciunilor (Tabelul 1.3). Tabelul 1.3 Forma i dimensiunile seciunii transversale Dreptunghi z h b b x Ix Iz a

bh 3 12

b 3h 12

31

Ptrat z a a Cerc zd 4 d 464

x

a4 12

a4 12

x d Coroan circular z D x d d

64

(D4 d 4 )64

(D4 d 4 )64

1.8.3 Raza de inerie (giraie) Se numete raz de giraie mrimea i dat de expresia: i =J M

Raza de giraie i capt semnificaia unei distane fa de un plan, dreapt,ax, pol la care trebuie aezat un punct material ipotetic, avnd aceeai mas ca i corpul, pentru ca momentul su de inerie (planar, axial, polar) s fie egal cu al corpului de mas M (Fig.1.17).

Raza de inerie (i) a unei suprafee de arie A, calculat fa de o ax este:Ix = Iz =Ix , n care Ix este momentul de inerie n raport cu axa Ox, respectiv A

Iz , n care Iz este momentul de inerie n raport cu axa Oz. A

z M O i x Fig.1.17 Interpretarea semnificaiei fizice a razei de giraie

32

Aplicaii:1. S se calculeze momentul static al dreptunghiului de lime a, lungime b, fa de o dreapt () aflat la o distan d de centrul de greutate al dreptunghiului. () b G d S = A d2 = a b d 2

a 2. S se determine momentele de inerie ale suprafeei dreptunghiulare din figura alturat fa de axele O1x1z1 care sunt paralele cu axele Oxz care trec prin centrul de greutate al dreptunghiului.

Rezolvarez b/4 h z1 x1 h/4 x Se aplic formula lui Steiner Iz1= Iz + Ad2 =7bh3 bh3 h + bh( ) 2 = 12 4 48 7 hb3 hb3 h + bh( ) 2 = 12 4 48

Gb

Iy1= Iy + Ad21 = =

Aplicaie propus:Determinai momentul static fa de axele de coordonate Ox i Oz al triunghiului echilateral de latur a.

Indicaie:Pe axa Ox se aeaz baza triunghiului, iar axa Oz se consider c trece prin centrul de greutate al triunghiului. 1.8.4 Modul de rezisten Mrimea geometric Wx = axa xx.33

Ix este denumit modul de rezisten fa de zmax

zmax reprezint ordonata z a celui mai deprtat punct fa de axa xx este denumit modul de rezisten fa de axa xx (Fig.1.18). zmax este n cazul figurat egal cu h/2. Unitatea de msur folosit pentru modulul de rezisten este [L3], unde L este unitatea de lungime. z h z zi zi zmax x

b Fig.1.18 Modul de rezisten al figurii geometrice plane fa de axa xx.

Modulul de rezisten fa de un pol P, se calculeaz folosind relaia:WP = IP , Rmax

unde P este polul (centrul de greutate al seciunii), iar Rmax este distana la cel mai deprtat punct de pe conturul exterior al seciunii fa de punctul P.

Aplicaie:S se calculeze modulii de rezisten Wz i Wy pentru seciunea dreptunghiular din figura alturat.

Rezolvare z h b yIz = Iy = h bh3 bh 2 , zmax = Wz = 12 2 6 b3h b b2h ; xmax = Wy = 12 2 6

34

Capitolul II. STATICA 2.1 Statica punctului material liber Punctul material poate fi liber sau supus la legturi. Punctul material liber se poate deplasa n orice direcie fr a fi mpiedicat de ceva. n spaiu, punctul material are trei grade de libertate, iar n plan, dou grade de libertate. n plan, condiiile de echilibru sunt date de relaiile de echilibru ale forelor exterioare Fi concurente scriind ecuaiile de proiecien n

Xi =1

i

= 0 i

Zi =1

i

=0

Forele aplicate unui punct material sunt fore concurente. Pentru ca un punct material s poat rmne n repaus sub aciunea unui sistem de fore este necesar i suficient ca rezultanta sistemului s fie nul. n general problemele legate de echilibrul punctului material liber sunt static determinate (numrul de ecuaii este egal cu numrul de necunoscute). Dac numrul de necunoscute este mai mare de trei, sistemul este static nedeterminat. Punctul material supus la legturi se poate deplasa numai pe anumite direcii ca exemplu menionnd butonul unei manivele care rmne legat de un volant. 2.2 Statica punctului material supus la legturi ideale, fr frecare a. Axioma legturilor: Dac un punct material este obligat geometric s ocupe numai anumite poziii n spaiu se spune c este supus la legturi. Axioma postuleaz35

echivalena din punct de vedere mecanic dintre un punct material supus la legturi i un punct material liber asupra cruia ar aciona n afar de forele Fi i o for de legtur sau reaciune. Aplicarea axiomei legturilor transform punctul material supus la legturi, ntr-un punct material liber asupra cruia acioneaz forele date i forele de legtur. Legturile punctului material pot fi: rezemare pe o suprafa sau curb sau legtura cu fire sau bare (Fig.2.1, Fig.2.2). Legtura de rezemare pe o suprafa se poate nlocui cu o for N , normal la suprafa avnd sensul ctre sensul posibil de deplasare, dar de mrime necunoscut (Fig.2.1a). Punctul material obligat s rmn pe o suprafa are dou grade de libertate, iar punctul material obligat s rmn pe o curb are un singur grad de libertate (Fig.2.1b).

N

N

a Fig.2.2 Legturi de rezemare a) pe o suprafa. b) pe o curb

b

S

S

G

Fig.2.2 Legtur cu fire

36

Legtura cu fire (bare) se nlocuiete cu o for S avnd ca punct de aplicaie punctul de prindere al firului (barei) de punctul material, direcia firului (barei), sensul ctre exteriorul punctului material i mrimea necunoscut. Rezolvarea problemelor de echilibru ale punctului material se face astfel: - se stabilesc forele care se aplic punctului material; - se nltur legturile corpului i se nlocuiesc prin forele de legtur; - se scriu i se rezolv ecuaiile de echilibru. b. Punct material obligat s rmn pe o suprafa n cazul n care legtura ideal este o suprafa, reaciunea este normal, iar numrul de grade de libertate ale punctului este egal cu doi (coordonatele curbilinii u i v). Determinarea poziiilor de echilibru ale punctului material poate fi fcut rezolvnd sistemul de ecuaii:n n

Xi =1

i

f x

=

Zi =1

i

f z

,

unde f(x, , z) = 0 reprezint ecuaia suprafeei n coordonate carteziene. c) Dac legtura ideal este o curb, reaciunea este situat n planul normal, iar numrul de grade de libertate ale punctului material este egal cu unu (abscisa curbilinie s). Determinarea poziiilor de echilibru ale punctului material poate fi fcut cu ajutorul ecuaiei:n dx n dz ( X i ) + ( Z i ) = 0 d i =1 d i =1

unde x = x (), z = z () sunt ecuaiile parametrice ale curbei. d) Dac punctul material este obligat s ocupe o anumit poziie n spaiu,

37

reaciunea are direcie oarecare (Fig..2.3) zFi Rzi RxiRyi

Componentele reaciunii sunt:RX = X i ;i =1 n n

o

RY = Yi ;

xRi

i =1 n

y

RZ = Z ii =1

Fig.2.3 Punct material este obligat s ocupe o anumit poziie n spaiu 2.3 Statica punctului material supus la legturi cu frecare Dac legtura (suprafaa sau curba) nu sunt ideale, reaciunea are o component normal i suplimentar, una tangenial. Componenta T a reaciunii, tangent la suprafa sau curb, se numete for de frecare. Sensul ei este invers tendinei de alunecare, iar modulul ei, pentru echilibru, trebuie s rmn inferior unei valori Tmax. Aceasta se numete frecare de aderen. Dac punctul material este pus n micare, Tmax, are o alt valoare numit frecare de micare. Legile lui Coulomb 1. Frecarea de micare este proporional cu reaciunea normal (valori scalare). Tmax = N 2. Coeficientul de frecare este independent de viteza punctului material. 3. Coeficientul de frecare depinde de natura corpurilor care vin n contact. Observaii: Legile sunt aproximativ juste. Pentru valori mari ale componentei normaleN , frecarea crete mai repede dect puterea nti a lui N . Diagrama lui Galton

pune n eviden valorile experimentale ale lui . S-a dedus n condiii38

experimentale c valoarea coeficientului de frecare scade n general cu viteza v, avnd valoare maxim pentru v = 0 (0 coeficient de aderen). Se poate explica astfel frnarea roilor unui vagon pn la blocare. Coeficientul de frecare depinde nu numai de natura corpurilor, ci i de natura suprafeelor de contact. Astfel, dac suprafeele sunt unse, problema de micare devine una de micare a fluidelor vscoase. Ungerea are ca efect scderea simitoare a frecrii de alunecare. Se ntrebuineaz n acest sens: talc, spun, vaselin, uleiuri organice sau anorganice. Apa poate reprezenta unguentul n unele situaii practice (ex.: deplasarea cu vitez mare a roilor unui autoturism pe o osea n timpul ploilor abundente sau dup depunerea stratului de zpad; deplasarea cu patinele pe ghea). Tabelul 2.1 prezint cteva valori semnificative ale coeficienilor de frecare i 0. Tabel 2.1 Coeficieni de frecare i 0Nr. crt. Natura corpurilor Oel pe oel Oel pe oel Oel pe oel Oel pe oel Bronz pe bronz Bronz pe font Font pe font Oel pe ghea Corpuri de natur organic Uscate || (n lungul fibrei) 6 7 8 Stejar pe stejar Curea de piele pe font Curea de piele pe tambur de stejar Uscate (normal pe fibr) Uscate (n captul fibrei) Puin unse Cu ap uscate Puin unse Natura suprafeelor de contact Metal pe metal Unse cu seu Unse cu ulei Uscate (nedegresate) Puin unse Puin unse Puin unse Cu ap Metal pe ghea Coeficieni de frecare 0 0,07 0,15 0,220,25 0,20 0,21 0,15 0,31 0,014 0,48 0,34 0,19 0,27 0,15 0,027 0,62 0,54 0,43 0,28 0,36 0,47

1 2 3 4 5

39

Problemele de echilibru ale punctului material supus la legturi cu frecare se rezolv introducnd pe lng reaciunea normal N i o reaciune tangenialT , n sens invers tendinei de alunecare, al crei scalar trebuie s satisfac

relaia:T N .

n general, problemele de echilibru ale punctului material supus la legturi cu frecare sunt nederminate. Cazul de egalitate, n relaia precedent, se obine doar n cazul poziiilor de echilibru la limit. Aplicaie: S se analizeze echilibrul punctului material care se deplaseaz cu frecare pe planul nclinat din figura alturat. zN

x

T

O Rezolvare: a) Deplasare n sens ascendent F G sin T = 0

G

N- G cos = 0 i condiia: T N conduc la: F G (sin + cos ) b) Dac punctul material tinde s se deplaseze n sens descendent, sensul forei de frecare se schimb, i se obine ca rezultat:G (sin cos ) F G (sin + cos )

c) Dac tg ,G (sin cos ) 0 , deci punctul material poate rmne n echilibru pe

planul nclinat chiar cnd F = 0 Condiia tg poart numele de condiie de autofixare.

40

Unghi de frecare. Conuri de frecare Unghiul pe care l face reaciunea cu normala, n cazul unei legturi cu frecare este dat de relaia:tg = T . N

Unghiul nu poate depi valoarea corespunztoare cazului T = Tmax pentru care avem:tg = Tmax =. N

Unghiul se numete unghi de frecare. Dac se consider poziiile limit ale suporturilor reaciunilor se obine un con circular denumit con de frecare. Pentru o suprafa, conul de frecare are ca ax normala la suprafa, unghiul dintre o generatoare a sa i ax fiind . La echilibru, suportul rezultantei forelor propriu zise care acioneaz asupra punctului trebuie s fie interior conului de frecare (Fig.2.4a).

a.

b Fig.2.4 Conul de frecare a)n cazul unei suprafee; b) n cazul unei curbe

41

Pentru o curb (), conul de frecare are ca ax tangenta la curb, unghiul dintre o generatoare a sa i ax fiind egal cu2 .

La echilibru, suportul rezultantei forelor propriu - zise care acioneaz asupra punctului trebuie s fie exterior conului de frecare (Fig.2.4b) 2.4. Statica rigidului supus la legturi ideale, fr frecare 2.4.1 Tipuri de legturi Legturile la care poate fi supus un rigid sunt mai variate i mai complexe dect n cazul punctului material. n general, rezemrile se fac pe suprafee ale cror ntindere nu poate fi neglijat totdeauna. Pe aceste suprafee de rezemare se dezvolt reaciuni n toate punctele lor. Cele mai frecvente tipuri de reazeme sunt legturi sunt: reazemul simplu, articulaia cilindric, articulaia sferic sau spaial, ncastrarea plan i ncastrarea spaial (Fig.2.5, Fig.2.7).

Fig.2.3 Tipuri de legturi Reazemul simplu mpiedic deplasarea dup o direcie, respectiv yy. Se reprezint printr-un pendul n elevaie i printr-un ptrat cu un cercule la mijloc,42

n plan (Fig.2.5a). Din punct de vedere geometric, acest reazem micoreaz numrul de grade de liberate ale rigidului cu unu. Din punct de vedere mecanic, reazemul simplu poate fi nlocuit cu o reaciune normal pe suprafa n punctul de sprijin, echivalent cu o necunoscut scalar (modulul reaciunii). Articulaia cilindric sau reazemul dublu, mpiedic deplasrile n dou direcii. Se reprezint n elevaie prin doi penduli AA, AA i n plan printr-un cercule ntr-un ptrat avnd laturile normale pe direcia dup care deplasarea este mpiedicat (Fig.2.5b). Poate fi nlocuit cu o reaciune situat n punctul A, creia trebuie s i se determine modulul i direcia. n consecin comport dou necunoscute scalare (proieciile reaciunii pe dou axe din planul respectiv). Articulaia sferic este legtura prin care un punct al rigidului este imobilizat. Corpul poate avea doar micare de rotaie n jurul oricrei axe care trec prin articulaie. n elevaie se reprezint sub forma a trei penduli, iar n plan printr-un ptrat cu laturile haurate i un cercule central (Fig.2.5c). Din punct de vedere geometric acest tip de reazem micoreaz numrul gradelor de libertate cu trei. Din punct de vedere mecanic, reazemul poate fi nlocuit cu o for de direcie arbitrar echivalent cu trei necunoscute scalare (proieciile reaciunii pe trei axe de coordonate). ncastrarea plan mpiedic translaiile dup dou direcii i rotaiile dup normala la planul format de direciile deplasrilor mpiedicate. Din punct de vedere mecanic, reazemul poate fi nlocuit cu o for de direcie arbitrar i cu un cuplu acionnd ntr-un plan arbitrar. Determinarea acestora se face din ecuaiile de proiecii ale forei pe cele trei axe de coordonate i proieciile momentului cuplului pe aceleai axe. Reprezentarea schematic n plan a reazemului simplu, articulaiei i43

ncastrrii este artat n Fig.2.6. ncastrarea spaial imobilizeaz complet rigidul (Fig.2.7c). Poate fi nlocuit de reazeme simple, iar din punct de vedere mecanic de reaciuni i momente dup direciile celor trei axe de coordonate.

Fig.2.6. Reprezentarea legturilor n plan

Fig.2.7 Legturi spaiale, n cazul rigidului

44

2.4.2 Calculul reaciunilor Din considerente practice, ecuaiile de ecuaiile de echilibru pentru un sistem de fore trebuie scrise astfel nct necunoscutele s rezulte pe ct posibil din ecuaii independente. Bara din Fig.2.7 articulat la un capt i simplu rezemat la cellalt are denumirea general de grind simplu rezemat. Sistemul este plan i are legturile corecte. Dac direcia reazemului simplu B ar trece prin articulaia A, sistemul de legturi ar fi critic. Se aleg i se noteaz reaciunile ca n figura. 2.7. z px O HA A RA l RB Fig. 2.7 Grind simplu rezemat. Reprezentarea, notarea i calculul reaciunilor Valorile reaciunilor se determin n mod independent dintr-o ecuaie de proiecii scris pe axa Ox i dou ecuaii de moment scrise fa de punctele A i B, dup cum urmeaz:n

x

Xi =1 n i =1

i

= 0 HA ; = 0 VA = 0 VB

M

B

Mi =1

n

B

2.5 Statica rigidului supus la legturi cu frecare n cazul a dou corpuri care reazem unul pe altul exist o suprafa de

45

contact n jurul punctului teoretic de contact O, ntruct corpurile se deformeaz puin (Fig.2.8). Dac se iau n considerare reaciunile de pe aceast suprafa i se calculeaz torsorul reaciunilor fa de punctul O, se obine n cazul general o for i un cuplu. Descompunnd aceste elemente dup direcia normalei i dup acea a planului tangent la suprafa teoretic de contact se constat: Normala a) Reaciunea normal N asigur legtura.R Plan tangent

Ea mpiedic interptrunderea celor dou corpuri pe direcia normalei.

N Mr MO

TMp

b) Reaciunea tangenial T

se opune

deplasrii (alunecrii)corpului n planul tangent. T se numete for de frecare de

Fig.2.8

alunecare.

c) Cuplul de moment M r , tangent la suprafa, se opune tendinei de rotaie a corpului n jurul unei axe care trece prin planul tangent. Aceast micare de rotaie se numete rostogolire, iar M r este momentul cuplului de frecare de rostogolire. d) Cuplul de moment M P , normal pe suprafa, se opune tendinei de rotaie n jurul normalei. O astfel de rotaie se numete pivotare, iar M P este momentul cuplului de frecare de pivotare. Frecarea de alunecare. Dac se fac aceleai ipoteze ca n cazul punctului material, se observ c inegalitatea T N trebuie scris n toate punctele de rezemare ale rigidului. Tendinele de alunecare se apreciaz mai dificil. Dac se studiaz echilibrul la limit, n general, nu trebuie scrise egalitiT = N n toate punctele de sprijin, ci numai n punctele n care are loc efectiv46

lunecarea. Aplicaie: O scar de lungime l i greutate G este rezemat de perete i podea. S se stabileasc nclinarea scrii (unghiul ) fa de podea, astfel nct scara s fie n echilibru. Se dau coeficienii de frecare 1 i 2..1T1 N1

1

lGl/2

N2

2

T2 2

Rezolvare: Ecuaiile de proiecie scrise n punctele de rezemare 1 i 2 sunt:n

Zi =1 n i =1

i

= N2 T1 = 0; =T2 N1 G = 0

Z Mi =1 n

i

Ecuaia de moment fa de punctul 2:i

=

l G cos T2l cos N 2l sin = 0 2

La limit, n ambele puncte de sprijin 1 i 2, sunt satisfcute egalitile:T1 = N1 i T2 = N 2

Se rezolv sistemul de ecuaii, la limit unghiul avnd valoarea:tg 0 =1 1 2 . 2 1

Echilibrul este asigurat dac ndeplinete condiia 0 . Frecarea de rostogolire se manifest printr-un cuplu de moment M r . Experimental s-a demonstrat c pentru echilibru este necesar ca acest moment s rmn inferior unei anume valori maxime i anume: M r sN , unde s este47

coeficientul de frecare de rostogolire. Observaie: Coeficientul de frecare de alunecare este adimensional, iar s este o lungime, reprezentnd distana maxim cu care se poate deplasa suportul reaciunii normale N fa de punctul teoretic de contact. La contactul dintre cele dou corpuri pe distana AA se produce o deformare cu caracter plastic. Coeficientul de frecare de rostogolire se calculeaz cu relaia: s = kR, unde k = 0,0006, iar R este raza exprimat n cm. (ex. pentru roata vagoanelor de tren R =0,5 m; s = 0,050,045 (Grashof)

O A s Frecarea de pivotare. G

F A

Fig.2.9 Interpretarea frecrii de rostogolire

Pentru un arbore vertical, cu seciune circular de raz R (Fig.2.10), admind o presiune uniform pe suprafaa de sprijin i un coeficient de frecare de alunecare = constant, se obine pentru momentul de frecare de pivotare expresia: MP =2 PR . 3

P Fig.2.11

P Fig.2.10

2R

2R 2r

48

Pentru arborele inelar (Fig.2.11) se obine: MP = Frecarea n lagre i articulaii.

2 PR ( R 3 r 3 ) ( R 2 r 2 ) 3

Dac fusul unui arbore de raz r se rotete ntr-un lagr cu frecare uscat sau mixt, frecarea care acioneaz tangenial este egal cu N, N fiind normala ntr-un punct oarecare. Momentul tuturor forelor de frecare este dat de relaia:M f = r N i = r N i = 1 r P ,i =1 i =1 n n

unde 1 (coeficientul de frecare n lagr) este superior coeficientului ntruct

Ni =1

n

i

> P.

Coeficientul 1 este singurul accesibil msurtorii, repartiia forelor N fiind nederminat.

N

r

Fig.2.12 Lagr (articulaie)

N

2.6 Statica sistemelor de corpuri 2.6.1 Echilibrul sistemelor de corpuri a) Relaia de invariabilitate geometric Pentru legarea invariabil n plan a unui corp, pe baza de sprijinire sunt necesare trei legturi simple, care nu trebuie s fie paralele sau concurente pentru a nu se produce deplasri (Fig.2.14).

Fig.2.1449

Legarea invariabil a unui sistem de corpuri se poate face cu un numr de 6 legturi simple, 3 pentru a lega solidar ntre ele cele dou corpuri i trei pentru a lega ansamblul astfel format de baza de sprijinire (Fig.2.15).

I

II

Fig.2.15 Se observ c pentru a lega strict invariabil un sistem de corpuri sunt necesare: 1. pentru un corp minim 1 x 3 = 3 legturi simple; 2. pentru 2 corpuri minim 2 x 3 = 6 legturi simple; 3. pentru 3 corpuri minim 3 x 3 = 9 legturi simple; 4. pentru c corpuri minim 3 x c = 3c legturi simple. Notnd cu I numrul legturilor interioare (legturi ntre corpuri) i cu R numrul legturilor cu baza de sprijinire (rezemri), condiia necesar i suficient pentru a lega strict invariabil un sistem de c corpuri este: I + R = 3c. b) Relaia de determinare static Se cunoate c unei legturi simple i corespunde o singur necunoscut, i anume fora ce ia natere n aceast legtur atunci cnd sistemul de corpuri este solicitat de fore exterioare. Suprimnd toate legturile sistemului de corpuri i punnd n eviden forele de legtur respective, rezult un numr de I+R necunoscute. Pentru un corp, n plan, se pot scrie numai 3 ecuaii de echilibru static, distincte, rezultnd c pentru ntregul sistem de c corpuri exist un numr de 3c ecuaii. Pentru ca problema s fie static determinat, trebuie ca numrul necunoscutelor s fie egal cu numrul ecuaiilor de echilibru static disponibile, adic: I + R = 3c.50

Dac I + R > 3c, exist mai multe necunoscute dect ecuaii (structura are mai multe legturi dect numrul minim necesar pentru asigurarea invariabilitii geometrice), structura este static nedeterminat. Dac I + R < 3c structura are mai puine legturi dect numrul minim necesar pentru asigurarea invariabilitii geometrice, formnd un mecanism. Mecanismele sunt caracterizate prin numrul gradelor de libertate. c) Determinarea reaciunilor la structuri static determinate n vederea determinrii diagramelor de eforturi, dimensionrii corecte a dimensiunilor elementelor de construcie este necesar pentru nceput determinarea a forelor de legtur ce iau natere n reazeme, denumite n mod curent reaciuni. Aplicaii 1. S se determine reaciunile grinzii simplu rezemate din figura alturat solicitat de o for exterioar concentrat. P HA RA a b z x RB Rezolvare:Pa a+b Pb M B = 0 ; RB(a+b) Pb = 0; RA = a + b Zi = 0 ; RA+RB = P

M

A

= 0 ; Pa RB(a+b) = 0 ; RB =

X

i

= 0 ; HA = 0

2. S se determine reaciunile grinzii simplu rezemate din figura alturat acionat de o for exterioar uniform distribuite pe lungimea grinzii. p HA RA l RB Rezolvare:pl l pl RB l = 0 ; RB = 2 2 pl pl = 0; RA = 2 2 pl pl =0 2 2

M M

A

=

B

= RA l

X

i

= 0 ; HA = 0

Verificare:

Z

i

=

51

3. S se determine reaciunile grinzii Gerber din figura alturat. 1 R1 I a a a P 2 3 R3 p II 3a 4 R4 H4

- Se verific dac sistemul este static determinat folosind relaia: I + R = 3c Numrul corpurilor c = 2 (notate cu I i II). 2 x 2 + 2 x 1 3 x 2 = 0 - Grinda 2-3-4 este o grind principal, deoarece considerat independent, are suficiente legturi cu baza de susinere (rezemri), pentru a putea suporta ncrcrile care o acioneaz. - Grinda 1-2 este o grind secundar, pentru c articulaia 2 reazem pe grinda principal asupra creia i transmite efectul. Pentru rezolvare, se consider mai nti grinda secundar i, dup rezolvarea acesteia, se ncarc grinda principal att cu ncrcrile aferente ei, ct i cu efectul grinzii secundare. Reaciunea R2 a grinzii secundare se transform prin inversare (-R2) n aciune asupra grinzii principale. P 1 R1 V2 2 a 3 R3 3aa a

2 R2 p 4 R4

R1 = R2 =

P 2

M

3

= R2 a + p 3a 1,5a R4 3a = 0 Pa P + 4,5 p a 2 ) : 3a = + 1,5 pa 2 62

R4 = (

Z = R

+ R3 + R4 = 0

P P P + + 1,5 pa = R3 ; R3 = ( + 1,5 pa) 2 6 3

Verificare:

M

4

=0

52

Capitolul III APLICAII TEHNICE ALE STATICII 3.1 Grinzi cu zbrele 3.1.1 Generaliti Un sistem geometric nedeformabil, alctuit din bare articulate perfect n noduri i avnd legturi (reazeme) i aciuni aplicate numai n noduri, poart denumirea de grind cu zbrele. Grinda cu zbrele este plan cnd toate barele i reazemele sistemului sunt n acelai plan sau spaial cnd barele i rezemrile sunt dispuse pe cele trei direcii. Se regsesc n practic la lucrri de construcii civile i industriale, ci de comunicaii (poduri rutiere i de cale ferat, pasarele, estacade), construcii inginereti (turnuri TV, castele de ap), iar n geodezie la realizarea semnalelor geodezice. O grind cu zbrele uzual ntlnit este cea din Fig.3.1

Fig.3.1 Grind cu zbrele triunghiular Orice bar hj a unei grinzi cu zbrele izolat din sistem reprezint un corp solicitat la fore la capete (Fig.3.2a).53

Fig.3.2 Bare izolate aparinnd grinzilor cu zbrele Pentru echilibru trebuie ca cele dou rezultante Rh i R j s fie egale, de sens contrar, i pe suportul dreptei hj . Astfel, dac bara este dreapt, n orice seciune a ei torsorul eforturilor se reduce la o for axial N, care poate fi de ntindere (Fig.3.2b) sau de compresiune (Fig.3.2.c). Dac se secioneaz bara, eforturile corespunztoare trag de noduri la bara solicitat la ntindere (Fig.3.2b) i comprim nodurile dac bara este solicitat la compresiune (Fig.3.2c). Pentru rezemarea grinzilor cu zbrele, ntruct s-a admis c forele se aplic n noduri, trebuie folosite numai reazeme la care reaciunea are punctul de aplicaie cunoscut. Acestea sunt: reazemul simplu, articulaia plan i spaial (Fig.3.3)

A RA RB

B

Fig.3.3 Rezemarea grinzilor cu zbrele

Ne vom referi n continuare la principiile de alctuire constructiv pentru a forma un sistem geometric nedeformabil, liber sau fixat, precum i la modul de determinare a eforturilor din bare, care se noteaz cu plus cnd sunt ntinderi .

54

3.1.2 Condiii de nedeformabiltate geometric Sistemele plane sau spaiale din bare articulate se analizeaz n ipoteza c barele sunt nedeformabile (rigide). A. Cazul sistemelor plane Un triunghi alctuit din bare articulate n noduri (Fig.3.4) constituie cel mai simplu sistem plan geometric nedeformabil. Pentru fiecare alt nod 4, 5,..., n ce se ataeaz corect figurii de baz sunt necesare cte dou bare.

Fig.3.4 Sistem plan, geometric nedeformabil Dac b reprezint numrul barelor necesare pentru fixarea celor n noduri are loc relaia: b = 2 n ntruct figura de baz are trei noduri i trei bare, notnd pentru ntregul sistem, cu n = n + 3 numrul total de noduri i cu b = b + 3 numrul total de bare i folosind expresia de mai sus, se obine relaia: b +3 = 2 n care reprezint condiia de nedeformabilitate geometric a grinzilor cu zbrele plane. Sistemele care respect aceast condiie sunt denumite sisteme libere; au nevoie pentru a fi fixate de trei legturi simple care trebuie dispuse corect. n consecin, fixarea celor n noduri se realizeaz prin barele b i prin legturile cu terenul, care se echivaleaz n legturi simple al cror numr se noteaz cu r

55

(r 3). Condiia de nedeformabilitate geometric a grinzilor cu zbrele plane poate fi scris sub forma general: b + r = 2 n; r 3 Dac se secioneaz toate barele din jurul unui nod (Fig.3.4b) i se introduc eforturile corespunztoare, atunci n nod acioneaz un sistem plan de fore concurente pentru care se pot scrie dou ecuaii de echilibru i anume, proieciile pe dou direcii oarecare. Procednd similar cu toate nodurile unei grinzi cu zbrele, se constat obinerea a 2n ecuaii de echilibru din care se determin eforturile din cele b bare i r reazeme. Astfel, se deosebesc grinzi cu zbrele: - static determinate - static nedeterminate - mecanisme Observaii: O grind cu zbrele alctuit numai din triunghiuri alturate este totdeauna corect. Este necesar ca i legturile cu terenul la rndul lor s fie corect realizate. ndeplinirea condiiei de nedeformabilitate geometric de ctre o grind cu zbrele static determinat este necesar dar nu i suficient. Exist cazuri n care sistemele ndeplinesc condiia de nedeformabilitate geometric, dar n domeniul infinitezimal au deplasri i deci nu sunt strict indeformabile. Astfel de sisteme sunt denumite sisteme critice (exemplu, fig.3.5) b+r=2n b+r>2n b+r 6, grinda ridicat de pe reazeme nu mai reprezint un corp geometric nedeformabil. Condiia de nedeformabilitate geometric este necesar dar nu i suficient, aadar orice grind cu zbrele spaial trebuie analizat din punct de vedere a alctuirii pentru a nu fi critic. 3.1.3 Alctuirea grinzilor plane cu zbrele n funcie de poziia ocupat n alctuirea grinzii, barele grinzii cu zbrele au denumiri diferite. Barele de pe contur se numesc tlpi (talp superioar, talp inferioar), iar cele care leag tlpile se numesc zbrele (Fig.3.6).57

Zbrelele nclinate se numesc diagonale, iar dac cele verticale i perpendiculare pe tlpi se numesc montani (Fig.3.6). Dup forma i conturul tlpilor se deosebesc: grinzi cu tlpi poligonale (Fig.3.6.a), cu tlpi paralele (Fig.3.6.b). Dup dispoziia zbrelelor se deosebesc urmtoarele sisteme: dreptunghiulare (Fig.3.6.b), triunghiulare (Fig.3.6.c), cu diagonale n K (Fig.3.6.d).

Fig.3.6 Alctuirea grinzilor cu zbrele 3.1.4 Metode analitice de calcul pentru grinzile cu zbrele Calculul grinzilor cu zbrele are drept scop determinarea eforturilor axiale n barele acesteia, n vederea dimensionrii economice a seciunilor acestora sau dup caz, n vederea consolidrii grinzilor urmare a schimbrii condiiilor din exploatare. Metodele analitice de calcul a grinzilor cu zbrele sunt: metoda izolrii nodurilor, metoda seciunilor (Ritter) i metodele combinate. Corespunztor acestora exist i se pot folosi metodele grafice Cremona i Culman. n general, etapele de calcul ale unei grinzi cu zbrele plane sunt urmtoarele: - verificarea grinzii n ceea ce privete respectarea condiiei de

58

nedeformabilitate geometric; - determinarea forelor de legtur (reaciunilor) din nodurile de rezemare. n acest scop se nlocuiesc legturile grinzii cu baza de rezemare prin elementele mecanice corespunztoare, se scriu i se rezolv ecuaiile de echilibru static:n n

X1

i

=0

Y1

i

=0

M

0

= 0.

- determinarea eforturilor din bare prin una din metodele menionate anterior. GRINZI PLANE A. Metoda izolrii nodurilor Se parcurg urmtoarele etape de lucru: - Se secioneaz barele care concur ntr-un nod i se nlocuiesc cu fore n lungul barelor, de mrime cunoscut, avnd iniial un sens arbitrar ales ctre exteriorul nodului. Este necesar ca primul nod analizat s aib doar dou bare, deoarece nodul este considerat punct material n plan i se pot scrie doar dou ecuaii de echilibru static i anumen n

X i = 0 i1

Y1

i

= 0.

- Se scriu i se rezolv ecuaiile de echilibru static scrise pentru nodul studiat, obinndu-se mrimile forelor necunoscute din bare. Calculul poate da valori pozitive pentru forele din bare n acest caz forele marcnd ntinderea, sau valori negative, marcnd compresiunea, iar sensul real al acestora este contrar celui arbitrar ales iniial. - Se continu succesiv calculul pentru toate nodurile, avnd grij ca la nici un nod s nu se ntlneasc mai mult de dou fore necunoscute. Pe tot parcursul calculului se va ine cont c la orice bar, n lungul acesteia, fora axial este constant.

59

B. Metoda seciunilor Se respect urmtoarele indicaii pentru a putea fi aplicat: - Se secioneaz grinda cu zbrele n dou pri i se studiaz echilibrul uneia din pri prin luarea n considerare a forelor exterioare, a reaciunilor din rezemare i a forelor din bare. - Seciunea n grind se face tindu-se maximum trei bare, dintre care cel mult dou pot fi concurente. Aceast indicaie este consecina faptului c n plan se pot scrie numai trei ecuaii de echilibru static pentru o poriune izolat considerat corp rigid:n n

X1

i

= 0,

Y1

i

= 0,

M

0

= 0 i ca atare, cu ajutorul lor

se pot calcula numai trei necunoscute. - n scopul simplificrii calculelor se aplic ecuaia momentelor n raport cu punctul de ntlnire a dou bare. - Pentru determinarea forelor axiale din celelalte bare se face o nou seciune prin grind printr-un grup de maximum trei bare i se aplic metoda descris anterior. - Forele axiale din acele bare ce nu au putut fi determinate prin aplicarea metodei seciunilor, se determin din ecuaii de echilibru static scrise n nodurile n care se ntlnesc aceste bare. Note: Metoda prezint avantajul determinrii directe a unui efort axial ntr-o bar a grinzii, care prezint interes din anumite considerente constructive. Exist numeroase programe de calcul pentru determinarea eforturilor n barele grinzilor cu zbrele care depesc ns cadrul prezentei lucrri. Aplicaii 1. Utiliznd metoda izolrii nodurilor, s se determine eforturile n barele grinzii cu zbrele din figura alturat.

60

Rezolvare Sistemul este corect constituit ntruct este alctuit din triunghiuri alturate. - Verificarea condiiei de invariabilitate geometric: b+r=2n b = 13; r = 3; n = 8 (13 + 3 = 2 x 8 = 16) - Din ecuaiile de echilibru ale grinzii, avnd n vedere rezemarea acesteia se determin reaciunile H1, R1 i R2.n

X1

i

= 0 , H1 = 0 = 0 , 50 + 60 = R1 + R2. = 0 , 60 x 2,5 + 60 x 7,5 10 x R2 = 0, deci, R2 = 45 kN

Y1

n

i

M

0

rezult R1 = 75 kN Echilibrul nodului 1n

Y1

i

= 0 , deci 75 S12 sin = 0 S12 =

150 = 105,8kN (compresiune) 2

= 4561

X1

n

i

= 0 , deci S13 + S12 cos = 0; S13 = 75 kN (ntindere)

Echilibrul nodului 3

Y1

n

i

= 0 , S32 + 60 = 0 , S32 = 60 kN

X1

n

i

= 0 , S35 75 = 0 , S35 = 75kN

Echilibrul nodului 2 Datorit construciei grinzii putem alege ca ax xx axa 2-4 i ca ax yy, axa 2-5.n1

X'n i1

i

= 0 , S 24 +

90 150 60 cos = 0 ; S24= = 63,5kN 2 260 = -42,3 kN 2

Y ' = 0 , X1n

S 25 + 60 sin = 0 ; S 25 =

Echilibrul nodului 4i

= 0 , S 46 sin + = 0 , S 45

90 sin = 0; S 46 = 63,5kN 2

Y1

n

i

90 cos + S 46 cos = 0 ; S 45 = 90kN 2

Nodul 7 nu este ncrcat cu fore exterioare i are dou bare n prelungire. Bara 7-6 este bar cu efort nul ( Yi = 0 ), iar barele n prelungire au eforturi1n

egale i de acelai sens ( X i = 0 , S75 = S78 , la fel n nodul 6, unde ( X 'i = 0 ),1 1

n

n

S65= 0, ( Yi ' = 0 ), S64 = S68 = 1

n

90 = 63,5kN 2

Echilibrul nodului 5

Y1

n

i

= 0 , 60 +

60 sin S54 = 0 ; S54 = 90kN 2

62

X1

n

i

= 0 , S57 75 +

60 cos = 0; S57 = 45kN 2

Verificarea se face pentru ultimul nod (8).

X1

n

i

= 0: = 0:

90 cos 45 = 0 2 90 sin 45 = 0 2

Y1

n

i

Aplicaie propus S se determine eforturile n barele grinzii cu zbrele de la semnalul geodezic din figura alturat, prin metoda izolrii nodurilor.

Indicaii. Se caut barele cu efort nul. Se observ c nodul 6 este nod nencrcat, are dou bare n prelungire, iar a treia bar este normal pe cele dou. 2. S se determine eforturile n barele secionate ale semnalului geodezic din figura alturat. (Se va folosi metoda seciunilor). Rezolvare Seciunea 1-1 mparte grinda cu zbrele n dou pri distincte. Dac se scrie echilibrul prii inferioare este necesar s se determine reaciunile din punctele de rezemare.63

Rezolvare

X1

n

i

= 0 ; Yi = 0 ; M 0 = 0 , rezult H1 = 120 kN; R0 = -R1 = 400 kN1

n

Eforturile n barele secionate se determin scriind echilibrul prii superioare a grinzii.

M M

4

= 0 ; 120 4 + S53 3 = 0; = 0; 120 8 S 42 3 = 0 ;

S53 = 160kNS 42 = 320kN

3

M

5

= 0; 120 4 320 3 S 43 d = 0 ;n

S 43 = 200kN , unde d = 3 sin = 2,4m

Verificare

X i = 0 : 120 200 cos = 0 i1

Y1

n

i

= 0 : 320 200 0,8 160 = 0

Aplicaie propus Pentru aceeai grind s se determine eforturile din barele: 4-6, 6-5, 7-5 aplicnd metoda seciunilor. GRINZI SPAIALE Calculul i alctuirea semnalelor geodezice este asemntor celui aferent turlei clasice de foraj reprezentat de o grind cu zbrele spaial (Fig.3.7).

64

Fig.3.7 Turla clasic de foraj Se prezint n continuare, principial, modul de rezolvare. Se verific respectarea condiiei de nedeformabilitate geometric: b +r = 3n, reazemele simple, r = 12, sunt realizate prin patru articulaii sferice n nodurile 1, 1, 2 i 2. n acest fel, fiecare fa a turlei reprezint o grind cu zbrele plan, corect rezemat n planul ei. n concluzie, pentru calculul eforturilor, turla se poate descompune n grinzi cu zbrele plane. Descompunnd fora F10 n trei componente: F10 dup direcia montantului 10-2, F10 dup direcia 9-10 i F10 dup direcia 10-10, cele trei sisteme n care apar eforturi sunt construite din faa 9-10-2-1 (Fig.3.7b), sistemul I; montantul 10-2 (Fig.3.7c), sistemul II i faa 10-10-2-2 (Fig.3.7d), sistemul III. Fora F5 s-a presupus orizontal n planul 9-10-2-1.Fiecare din sistemele plane obinute pot fi rezolvate analitic sau grafic. n continuare sunt prezentate semnale i piramide geodezice alctuite n sistem grind cu zbrele.

65

Fig.3.8 Semnal geodezic provizoriu

Fig. 3.9 Semnal geodezic provizoriu Fig.3.10 Semnale geodezice la sol a. semnal de ordinul V; b. Piramid la sol de ordinul III

66

Fig.3.11 Semnal geodezic cu 3 poduri i pilastru independent c. vedere general a piramidei pilastru

Fig.3.12 Semnal geodezic cu 4 poduri i pilastru suspendat 3.2 Planul nclinat Planul nclinat este o main simpl care permite economisirea forei la ridicarea greutilor.

Fig. 3.13 Planul nclinat Considerm un corp de greutate G = R (for rezistent) pe un plan care67

face cu orizontala unghiul . Descompunem fora R dup o direcie paralel cu planul (xx) i dup o direcie perpendicular pe plan (yy) obinnd componentele R1 = R sin i R2 = R cos . Fora R2 este echilibrat de reaciunea normal N a planului, astfel c echilibrul corpului pe planul nclinat este realizat dac F = R1 = R sin . Notnd cu l lungimea planului nclinat i cu h nlimea sa, obinem formula planului nclinat:F = R h . l

Dac pentru cazul general suportul forei F face cu axa xx un unghi i exist i frecare, la echilibru este necesar ca Astfel,

X i = 0 ii =1

n

Yi =1

n

i

=0

Xi =1n

n

i

= 0 implic F cos = R sin +Ffr;

Yi =1

i

= 0 implic F sin + N = R cos

Avnd n vedere c T = Ffr = N i nlocuind n relaiile de proiecii, rezult relaia de calcul a forei F (fora activ).F = R sin + cos cos + sin

Dac fora activ se aplic n lungul planului ( = 0), relaia forei active devine: F = R (sin + cos ) Aplicaie Un dispozitiv topografic de greutate G este deplasat de un operator cu o for P de-a lungul unui plan orizontal. Cunoscnd modulul forei G , valoarea coeficientului de frecare pe plan i mrimea unghiului , s se determine valoarea forei P pentru a pune n micare dispozitivul.68

Rezolvare Se nlocuiete simpla rezemare a dispozitivului prin reaciunea normal N i introducnd fora de frecare Ff de sens contra micrii se scriu i se rezolv ecuaiile de echilibru static. yN P

F fr G

x

Deci:

X = P cos F = 0 ,precum i relaia de legtur dintre modulii Y = N G + P sin = 0i f i

forelor N i Ff , conform legii lui Coulomb: F f N , obinem:F f = P cos N = G P sin P cos (G p sin )

Rezult: P G

sin + cos

Aplicaie propus Rezolvai aceeai problem n condiiile deplasrii pe un plan nclinat de unghi . 3.3 Pana Pana este o pies de mbinare avnd forma unei prisme triunghiulare care se introduce ntre dou piese A i B (Fig.3.15). Este folosit la mbinarea elementelor grinzilor din lemn, la fixarea trepiedului topografic n condiiile unui teren dificil, etc. Fora activ F mpinge pana n locaul su acionnd astfel asupra pieselor laterale prin presiunile i forele de frecare.

69

Pana este n echilibru atunci cnd forele de frecare i reaciunile N1 i N 2 din perei vor fi echilibrate de fora F , adic: F = N1 + N 2 + F1 fr + F2 fr

Fig.3.14 Fixarea a dou piese cu ajutorul unei pene Proiectnd relaia sumei vectoriale pe direcia axului penei, rezult:F = N1 sin + N 2 sin + F1 fr cos + F2 fr cos

Pentru o pan simetric N1 = N2 = N. Dar, Ffr = N , rezult c reaciunile pe suprafaa pereilor sunt de forma:N= F . 2(sin + cos )

Fora cu care pana mpinge lateral una din piesele A sau B, este de exemplu,R1 = N cos F1 fr sin = N (cos sin )

sau,F = 2 R1

sin + cos cos sin

i analog pentru cealalt pies. La scoaterea penei, sensul forelor de frecare se schimb, relaia de mai sus fiind de forma:F = 2 R1

sin cos cos + sin

70

Pentru ca pana s rmn fixat dup batere, este necesar ca valoarea lui F s fie nul sau negativ, adic:sin cos 0 , sau tg

Aplicaie Fie o pan prismatic triunghiular (seciune transversal triunghiular i unghi = 30 ) folosit la fixarea unui trepied topografic n vederea efecturii unei ridicri topografice pe un teren argilos. Coeficientul de frecare dintre pan i piciorul trepiedului este = 0,3 . Pentru fixare se aplic lovituri cu ciocanul, intensitatea forei de batere fiind de 150 N. S se determine modulul reaciunii normale pe pereii penei aflate n contact cu trepiedul (N) i modulul forei R cu care pana mpinge piciorul trepiedului. Rezolvare Aplicm relaiile de calcul pentru i R1.N= F i nlocuim cu valorile cunoscute. 2(sin + cos )

Se obine: N =

150 150 = = 98,71N 2(sin 30 + 0,3 cos 30) 2(0,5 + 03 0,866)

R1 = N (cos sin ) = 98,71 (cos 30 0,3 sin 30) = 70,68 N

3.4 urubul urubul cu filet dreptunghiular face parte din categoria planului nclinat. urubul cu filet dreptunghiular este format dintr-un cilindru drept pe a crui suprafa lateral este spat un an elicoidal. n captul superior are un tambur de care poate fi rotit. (Fig.3.15). Se regsete la teodolit i nivel sub denumirea de urub pomp. uruburilor de calare fac parte tot din aceast categorie. Dac se noteaz cu p pasul urubului, cu r raza elicei, cu unghiul de

71

nclinare al elicei mijlocii i cu unghiul de frecare, avem: tg =

p . 2r

Fig. 3.15 Alctuirea urubului Dac Mm este cuplul motor i Fr este fora rezistent exist relaia:M m = Fr r tg ( + ).

Pentru cazul n care Mm i Fr i inverseaz rolurile (cazul deurubrii) se obine relaia:M ' m = Fr r tg ( ).

Dac urubul se autofixeaz, adic o dat strns rmne n echilibru chiar dac asupra lui nu mai acioneaz cuplul motor Mm. Dac + 90 , urubul este blocat, adic nu mai poate fi nvrtit. urubul cu filet triunghiular sau trapezoidal Pstrnd notaiile anterioare i notnd suplimentar cu 2 unghiul muchiilor filetului, pentru momentul cuplului motor rezult expresia:M m = Fr r tg ( + ' ).

unde este un unghi de frecare echivalent; expresia sa n funcie de , i este:tg ' = tg 1 + cos 2 tg 2 ,

72

4.5 Prghia ntlnit la msurarea distanelor prin metoda paralactic, mira orizontal cu fir de invar Bala (Zeiss) este de fapt o prghie realizat dintr-un tub metalic, detaabil n dou pri de cte 1 m avnd la extremiti cte un reper triunghiular i care se monteaz pe un trepied, sistemul de uruburi de calare i o nivel permind aezarea ei n poziie orizontal. Prin prghie se nelege un corp, acionat de dou fore date (fora motoare i fora rezistent) situate n acelai plan, i care are o articulaie cilindric n acest plan. Notnd cu Fm i Fr cele dou fore, cu a i b distanele de la articulaia cilindric la suporturile celor dou fore (Fig.3.16), ecuaia de momente fa de axul articulaiei n cazul n care nu se ine cont de frecri, este:Fm b Fr a = 0

Fora motoare este dat n acest caz de relaia:Fm = a Fr . b

Fig.3.16 Alctuirea unei prghii Dac se ine seama de frecarea din articulaie (coeficient de frecare 1, raza fusului axului r, unghiul dintre braele prghiei), ecuaia de momente devine:2 Fm a Fr b 12 Fm + Fr2 + 2 Fm Fr cos = 0

n cazul particular, atunci cnd suporturile forelor sunt paralele, = 0, rezult:F m= Fr b + r a r

73

Dac a r , prghia este autoblocat. Dac Fm i Fr i inverseaz rolurile, atunci:F m= b r Fr ; pentru b r , a + r

Prghia se autofixeaz, adic, dup ce Fm nceteaz s mai acioneze, prghia continu s rmn n repaus. Aplicaie O bar cotit AOB de unghi se poate roti fr frecare n jurul articulaiei O. Cunoscnd unghiul , lungimile l1 i l2 i greutatea P , s se determine modulul forei Q ca trebuie atrnat n punctul B pentru ca bara AO s fie orizontal. Rezolvare Se scrie ecuaia de echilibru de momente fa de punctul O.l1 . l2 cos

M

0

= 0 , rezult P l1 Q l2 cos = 0 i deci Q = P

Aplicaie propus La aceeai prghie, s se determine valoarea R ce trebuie adugat greutii P pentru ca braul OB s fie orizontal. Indicaie: Se scrie ecuaia de echilibru de momente fa de punctul O.

74

Capitolul IV REZISTENA MATERIALELOR 4.1 Obiectul i problemele rezistenei materialelor Construciile, mainile i utilajele sunt alctuite din elemente structurale denumite elemente de rezisten, ansamblul acestora formnd structura (scheletul) de rezisten. n calcul, elementele de rezisten considerate medii continue, deformabile se clasific n bare, plci sau blocuri (Fig. 4.1, Fig. 4.2, Fig.4.3.). Clasificarea mediului continuu, deformabil

Fig.4.1 Bare i fire Barele i firele (Fig.4.1a) au o dimensiune este preponderent fa de celelalte dou (h