8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

1/53

PROBLEME REZOLVATE CLASA 5-12Matematica

PROBLEME REZOLVATE CLASA 5-12

ALTE DOCUMENTEADUNAREA SI SCADEREA NUMERELORINTREGI

Ecuatia de !adu" i#tai$Ecuatia de !adu" d%i$

NOTIUNI &UNDAMENTALE MATEMATICA

ALGEBRA LINIARA

E"eme#te 'u#dame#ta"e a"e (t!ateieie)*e!ime#te"%! 'act%!ia"e t%ta"e +E&C,$

Rei(te de matematici (u*e!i%a!e ti*a!ite i#R%ma#ia i#t!e u"tima decada a (ec%"u"ui a" I.-"ea (i *!ima /umatate a (ec%"u"ui a" ..-"ea

GEOMETRIE ANALITICA

Nic%"ae T0e%d%!e(cu

M%de" de (uiect *e#t!u tea u#ica-c"a(a a VII-a(eme(t!u" II

M%de" de tea u#ica c"a(a a VIII-a (eme(t!u" IIa!ia#ta 2

C3uta!e

http://www.scritube.com/stiinta/matematica/ADUNAREA-SI-SCADEREA-NUMERELOR1911411921.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/ADUNAREA-SI-SCADEREA-NUMERELOR1911411921.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/NOTIUNI-FUNDAMENTALE-MATEMATIC23219151017.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/ALGEBRA-LINIARA1318111819.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Elemente-fundamentale-ale-stra163232021.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Elemente-fundamentale-ale-stra163232021.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Reviste-de-matematici-superioa113821164.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Reviste-de-matematici-superioa113821164.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Reviste-de-matematici-superioa113821164.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/GEOMETRIE-ANALITICA19211161421.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Nicolae-Theodorescu1138171422.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Model-de-teza-unica-clasa-a-VI1732110226.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Model-de-teza-unica-clasa-a-VI1732110226.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/ADUNAREA-SI-SCADEREA-NUMERELOR1911411921.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/ADUNAREA-SI-SCADEREA-NUMERELOR1911411921.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/NOTIUNI-FUNDAMENTALE-MATEMATIC23219151017.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/ALGEBRA-LINIARA1318111819.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Elemente-fundamentale-ale-stra163232021.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Elemente-fundamentale-ale-stra163232021.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Reviste-de-matematici-superioa113821164.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Reviste-de-matematici-superioa113821164.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Reviste-de-matematici-superioa113821164.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/GEOMETRIE-ANALITICA19211161421.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Nicolae-Theodorescu1138171422.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Model-de-teza-unica-clasa-a-VI1732110226.phphttp://www.scritube.com/stiinta/matematica/Model-de-teza-unica-clasa-a-VI1732110226.php

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

2/53

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

3/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Aratati ca fractia

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Sa se 919!9" afle # si $ %u&ere %aturale astfel i%cat

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

4/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Sa se 919!9" afle # si $ %u&ere %aturale astfel i%cat

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Aratati ca fractia

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Aratati ca fractia

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

5/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Aratati ca fractia

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

6/53

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

7/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Sa se 919!9" co&*are %u&erele:

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a V-a

Sa se 919!9" co&*are %u&erele:

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

8/53

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

9/53

Problema pentru clasa a V-a

Sa se 919!9" aseasca %u&erele +e for&a

Solutie:

Problema pentru clasa a V-a

Sa se 919!9" aseasca %u&erele +e for&a

Solutie:

Problema pentru clasa a V-a

Sa se 919!9" afle %u&erele %aturale % si & care (erifica co%+itiile:

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

10/53

Problema pentru clasa a VI-a,

Aflati restul i&*artirii %u&arului

Solutie:

Problema pentru clasa a VI- a,

Sa se arate ca 2, +i(i+e

SolutieSe a*lica Mica teore&a a lui .er&at:

/% ca'ul %ostru a(e& 0 0

Problema pentru clasa a V-a,

Sa se +eter&i%e &ulti&ea

Solutie1 3i% si 1 re'ulta

2 3i% 1 si 2 a(e&

Problema pentru clasa a V-a,

.ie Sa se +eter&i%e A si car+A

Solutie1

A(e& si car+A04%-1

Problem pentru clasa a V- a,

Aflati restul i&*rtirii %u&rului )0 la 1,

Solutie )u&rul 016161 0 O7ti%e& c restul i&*rtirii %u&rului ) la 1, este 16

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

11/53

Problem pentru clasa a V- a,

Aflati restul i&*rtirii %u&rului )0 *e ra%+ la 21 si ,8

Solutie )u&rul 016161 0 O7ti%e& c restul i&*rtirii %u&rului ) la 21

si ,8 este 1,

Problema pentru clasa a V-a,

.ie Sa se +eter&i%e

car+A

Solutie1

2 3eoarece

Problem pentru clasa a VI- a,

.ie %u&ere i%trei %e%ule si

S se arate c A si B au acelasi se&%

SolutieA(e& +eoarece si su%t

%u&ere *are A si B au acelasi se&%

Problem pentru clasa a VI- a,

.ie %u&rul 3eter&i%ati restul i&*rtirii lui % *ri% 5

SolutieSe calculea' ulti&a cifr a lui % A(e& c +e u%+e re'ult c restul

i&*rtirii lui % *ri% 5 este 4

Problem pentru clasa a VI- a,

S se arate c %u&erele si +au acelasi rest *ri%

i&*rtirea lor la 5

SolutieSe calculea' ulti&a cifr a celor +ou %u&ere si o7ti%e& uA0uB09

A(e& +e u%+e re'ult c restul i&*rtirii lor la 5 este 4

Problem pentru clasa a VI- a,

S se re'ol(e i% Z ecuatia

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

12/53

Solutie sau

Problema pentru clasa a VI -a

Solutie:

A

3 E

B C

Problema pentru clasa a VI -a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

13/53

A

3

)

M

B C

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VI -a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

14/53

A

E

3

B C

Problema pentru clasa a VI -a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

15/53

. A

3

E B C

Problema pentru clasa a VI -a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

16/53

A

3 .

E

B C

Problema pentru clasa a VI -a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

17/53

A

3

E

B C

P!%"ema c"a(a a VI-a

Solutie:

P!%"ema c"a(a a VI-a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

18/53

Aratati ca fractia:

Solutie:

Problema pentru clasa a VII-a si a VIII-a,

Sa se 919!9" re'ol(e i% )#) ecuatia:

Solutie:

Se o7ser(a ca: 266102664-, 266202664-2 266,02664-1 2665026641 266!026642 si

266802664,

Pri% ur&are solutia ecuatiei este :

Problema pentru clasa a VII-a si a VIII-a,

Sa se 919!9" re'ol(e i% Z#Z ecuatia:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

19/53

Solutie:

Se o7ser(a ca: 266102664-, 266202664-2 266,02664-1 2665026641 266!026642 si

266802664,

Pri% ur&are solutia ecuatiei este :

P!%"ema c"a(a a VII-a

Solutie:

O

,6 !6

A B

C

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VII-a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

20/53

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VII-a

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VII-a

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

21/53

Problema pentru clasa a VII-a,

Se co%si+era triu%;iul isoscel ABC cu si M &i"locul lui ABSa se arate ca aria

triu%;iului ABC este eala cu aria *atratului AMP

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

22/53

Se co%si+era +re*tu%;iul ABC3 i% care si Sa se arate ca aria

+re*tu%;iului ABC3 este eala cu aria *atratului 3OM)

Solutie

3 C

E

O

A B

Co%strui& si co%si+era& AE0a3eoarece i%tr-u% triu%;i +re*tu%;ic care are u% u%;i

+e i%alti&ea cores*u%'atoare u%;iului +re*t este u% sfert +i% i*ote%u'a a(e& ca /%

co%ti%uare

1 AriaABC302AriaBA30

2 Aria3OM)0 0

3i% relatiile 1 si 2 re'ulta ceea ce tre7uia +e&o%strat

Problem pentru clasa a VII- a,

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

23/53

Sa se calcule'e *eri&etrul si aria u%ui triu%;i +re*tu%;ic ale carui laturi su%t %u&ere %aturale si

(erifica relatiile: si

SolutieEcuatia este ec;i(ale%ta cu 1 3i% i*ote'a a(e&:

2

3i% 1 si 2 sau si /*ote%u'a

triu%;iului este c05 +eci *eri&etrul este 12 si aria !

Observatie.A%alo se re'ol(a si ur&atoarele *ro7le&e:

1 Sa se calcule'e laturile u%ui triu%;i +re*tu%;ic stii%+ ca su%t %u&ere %aturale si aria este eala

cu se&i*eri&etrul

2 .ie u% triu%;i +re*tu%;ic cu u%+e a si 7 su%t catete iar ; este i%alti&ea

cores*u%'atoare i*ote%u'eiSa se afle laturile acestui triu%;i stii%+ ca i% *lus su%t %u&ere %aturale

, Sa se re'ol(e i% siste&ul +e ecuatii:

Problem pentru clasa a VII- a,

Sa se arate ca +aca laturile u%ui triu%;i +re*tu%;ic su%t %u&ere %aturale atu%ci aria si

se&i*eri&etrul acestuia su%t %u&ere %aturale

Solutie /%tr-u% triu%;i +re*tu%;ic a(e& :

/%sa *ro+usul 7c este %u&ar %atural re'ulta atu%ci ca *ro+usul :

tre7uie sa fie +i(i'i7il cu 2 a+ica u%ul +i% factorii sau

tre7uie sa fie *ar .ie = u% %u&ar %atural :

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

24/53

1 Sa *resu*u%e& ca si *ri% ur&are +i%

2 Sa *resu*u%e& ca si *ri% ur&are +i%

3i% 1 si 2 re'ulta ca i% a&7ele ca'uri aria si se&i*eri&etrul su%t %u&ere %aturale

Problem pentru clasa a VII- a,

Co%si+era& *atrulaterul co%(e# ABC3 si Pri% *u%ctele A B C 3 si O

+uce& u%+e

> > > >

Sa se arate ca:

Solutie Pe%tru re'ol(area *ro7le&ei se a*lica ur&atoarea:

Lema Teore&a lui Ce(a cu *u%ct i&*ro*riu.3aca *ri% (arfurile triu%;iului ABC

+uce& u%+e atu%ci a(e&

3e&o%stratieA(e& 1 si Se o7ser(a ca relatiile 1 si 2 se *ot o7ti%e &ai usor utili'a%+ teore&a lui T;ales i%

triu%;iurile si cu *aralela

Pri% i%&ultirea relatiilor 1 si 2 se o7ti%e relatia +e +e&o%strat

Pe%tru re'ol(area *ro7le&ei *ro*use se a*lica aceasta Le&a

cu cu cu si

cu Re'ulta relatiile:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

25/53

si care

*ri% i%&ultire +e&o%strea'a relatia +i% *ro7le&a

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VIII-a

Sa se 919!9" re'ol(e i% R,ecuatia :

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VIII-a

Sa se 919!9" re'ol(e i% R2ecuatia :

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VIII-a

Sa se re'ol(e i% R2ecuatia :

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

26/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VIII-a

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VIII-a4 a .-a

Solutie

:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VIII-a4 a .-a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

27/53

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

28/53

3e&o%strati i%ealitatea :

Solutie:

Ealitatea are loc +aca a0706

P!%"ema *e#t!u c"a(a a VIII-a

Sa se 919!9" +e&o%stre'e i%ealitatea:

Solutie:

Problema pentru clasa a X-a (sau a VIII-a)

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

29/53

Problema pentru clasa a IX-a ,

Sa se arate ca 2, +i(i+e

SolutieSe a*lica Mica teore&a a lui .er&at:

/% ca'ul %ostru a(e&

0 0

Problema pentru clasa a IX-a

Sa se 919!9" re'ol(e i% R,ecuatia :

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

30/53

Problema pentru clasa a IX-a

Sa se 919!9" re'ol(e i% R2ecuatia :

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a I.-a

Sa se 919!9" re'ol(e i% R2ecuatia :

Solutie:

Problema pentru clasa a IX-a,

Sa se re'ol(e i% ) ecuatia +aca si i&*ar

SolutieEste %ecesar ca 3i% a(e&

a*oi

3eoarece este u% %u&ar *ar si a este u% %u&ar i&*ar re'ulta ca ecuatia %u are solutii

P!%"ema *e#t!u c"a(a a I.-a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

31/53

Solutie:

A(e& +oua situatii:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a I.-a4 a .-a

Se co%si+era i% *la%ul eucli+ia% *u%ctele: A16B-12 si C2-1

Sa se 919!9" scrie :

Solutie :

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

32/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a I.-a4 a .-a

Se co%si+era i% *la%ul eucli+ia% *u%ctele: A16B-12 si C2-1

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

33/53

Sa se 919!9" calcule'e ce%trul +e reutate al triu%;iului 3E.u%+e

Solutie :

3i% a7c re'ulta coor+o%atele ce%trului +e reutate su%t

P!%"ema c"a(a a I.-a

Sa se 919!9" arate ca:

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

34/53

A& utili'at for&ula cu%oscuta:

P!%"ema c"a(a a I.-a

Sa se 919!9" afle locul eo&etric al *u%ctelor M +i% s*atiu care (erifica relatia:

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a I.-a4 a .-a

Se co%si+era i% *la%ul eucli+ia% *u%ctele: A16B-12 si C2-1

Sa se arate ca &i"locul se&e%tului 3E se afla *e *ri&a 7isectoare u%+e

Solutie :

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

35/53

3i% a si 7 a(e&

P!%"ema *e#t!u c"a(a a I.-a4 a .-a

Se co%si+era i% *la%ul eucli+ia% *u%ctele: A16B-12 si C2-1

Sa se arate ca &i"locul se&e%tului 3E se afla *e *ri&a 7isectoare u%+e

Solutie :

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

36/53

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

37/53

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .-a

Sa se 919!9" arate ca i% orice triu%;i ABC are loc i%ealitatea:

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .-a

Sa se 919!9" arate ca i% orice triu%;i ABC are loc i%ealitatea:

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

38/53

P!%"ema c"a(a a .I-a

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .I-a

Sa se scrie ecuatia +re*tei *er*e%+icularei co&u%e +re*telor :

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

39/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .-a (au a .I-a

Sa se 919!9" scrie ecuatia +re*tei care trece *ri% *u%ctul A1-11 si se s*ri"i%a *e

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

40/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .-a (au a .I-a

Sa se 919!9" scrie ecuatia +re*tei + ce se s*ri"i%a *e +re*tele

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .-a (au a .I-a

Sa se 919!9" +eter&i%e ecuatia +re*tei ce trece *ri% *roiectia *u%ctului A166 *e +rea*ta

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

41/53

Proiectia *u%ctului A *e +rea*ta o afla& i%tersecta%+ +rea*ta +: cu *la%ul P:care co%ti%e *u%ctul

A si este *er*e%+icular *e +rea*ta +

Probl

ema pentru clasa a XI-a ,

Sa se arate ca ecuatia are cel &ult trei ra+aci%i reale

7 >c+

Solutie)e folosi& +e *ro*rietatea:/%tre +oua ra+aci%i ale fu%ctiei a(e& cel *uti% o ra+aci%a a

+eri(atei

.ie si *resu*u%e& *ri% re+ucere la a7sur+ ca are 4 ra+aci%i

+eci are cel *uti% 2 ra+aci%i3ar cu& 06 are o

si%ura solutie re'ulta ca f are cel &ult , ra+aci%i

Problema pentru clasa a XI-a

Sa se calcule'e:

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

42/53

? 1 % #6 %1@2 %1

f1 6--------------------------------------------------------------------

f Crescatoare +escrescatoare

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .I-a

Solutie:

Problema pentru clasa a XI-a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

43/53

Solutie:

Problema pentru clasa a XI-a

Solutie:

P!%"ema c"a(a a .I-a

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

44/53

P!%"ema c"a(a a .I-a

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

45/53

P!%"ema c"a(a a .I-a

Solutie:

Lema1

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

46/53

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

47/53

S%"utia *!%"emei

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .I-a

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .I-a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

48/53

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .II-a

.ie a*licatiile li%iare :

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

49/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .II-a

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

50/53

Solutie:

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .II-a

Solutie:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

51/53

P!%"ema *e#t!u c"a(a a .II-a

Sa se 919!9" calcule'e:

Solutie>

Problema pentru clasa a XII-a,

Sa se 919!9" calcule'e:

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

52/53

8/12/2019 Probleme Rezolvate Clasa 5-12

53/53