147091057 Probleme Rezolvate
45
PROBLEME REZOLVATE GEOMETRIE .
-
Upload
cneamtu0075281 -
Category
Documents
-
view
542 -
download
69
Transcript of 147091057 Probleme Rezolvate
PROBLEME REZOLVATE
GEOMETRIE
.
.
ASEMĂNAREA
TRIUNGHIURILOR
.
PROBLEMA 1 Fie triunghiul ABC, AB = 12cm, BC = 18cm, AC = 15cm, MN =
12cm, MN||BC, M[AB] si N[AC]. Aflati lungimile segmentelor
AM si AN.
Rezolvare: A
B C
M N
Daca MN||BC atunci AMNABC si rezulta:
BC
MN
AC
AN
AB
AM
Inlocuim in sirul de
rapoarte lungimile
segmentelor:
3
2
18
12
1512
ANAM
AM = 122:3 = 8cm
AN = 152:3 = 10cm
.
PROBLEMA 2 Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 12cm si CD = 6cm. Diagonalele
ACBD={O}; daca BD = 15cm, aflati lungimile segmentelor BO si
OD.
Rezolvare:
A B
C D
O
ODCOBA (cazul U.U.)
AB
CD
AO
OC
BO
OD
Daca notam OD = x, atunci BO = 15 –x.
Inlocuim in sirul de rapoarte
lungimile segmentelor:
2
1
12
6
15
AO
OC
x
x
2x = 15 – x 3x = 15 x = 15:3 = 5cm.
Asadar OD = 5cm si BO = 15 – 5 = 10cm.
PROBLEMA 3 Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 6cm si CD = 5cm; AD = 2cm;
BCAD={O}. Se cere sa aflati lungimea lui AO.
Rezolvare:
A B
C D
O
5
6
2
Daca DC||AB atunci ODCOAB si rezulta:
AB
DC
OB
OC
OA
OD
Daca notam OD = x, atunci OA = 2 +x
x
x+2 6
5
2
OB
OC
x
x
Inlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor:
6x = 5x + 10 x = 10
OD = 10cm si
AO = 10 + 2 = 12cm. .
PROBLEMA 4 Fie ABC cu AB = 15cm; MN||BC, M[AB], N[AC]. Aflati
lungimea segmentului AM astfel incat aria AMN sa fie 44,(4)% din
aria ABC. Rezolvare:
A
B C
M N
Daca MN||BC atunci AMNABC si rezulta:
;)1(2iA
A
ABC
AMN
unde i este raportul de asemanare;
Notam AM = x; x 15
x
AB
AMiAvem
Din relatia (1) rezulta:
22515100
)4(,44 22xx
100100
9
400225
2
x
.101002 x.
PROBLEMA 5 Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 20cm si BC = 15cm. BE este
perpendiculara pe AC, E[CD]. Aflati lungimea segmentului [CE].
Rezolvare:
A B
C D E
20
15
In conditiile in care unghiul BACunghiul CBE (sunt unghiuri cu
laturile respectiv perpendiculare, si triunghiurile ABC si BCE sunt dreptunghice
atunci avem: ABCBCE din care rezulta:
BE
AC
CE
BC
BC
AB
Inlocuim in sirul
de rapoarte egale
lungimile
segmentelor: CE
15
15
20
.25,1220
1515
CE
.
PROBLEMA 6 Fie ABC un triunghi dreptunghic in A; daca AB = 30cm,
AC = 40cm, BC = 50cm sa se afle lungimea lui AD, unde ADBC.
Rezolvare: A
B C
30 40
50 D
Daca ADBC si BAAC atunci
<BAD <BCA
ABD ABC
4050
30 AD
AC
AD
BC
AB
.2450
4030cmAD
Mai
cunoasteti
si o alta
metoda de
rezolvare?
.
PROBLEMA 7 Fie ABC dreptunghic in A, AB = 10cm, AC = 24cm si BC = 26cm.
In mijlocul O a lui BC se ridica o perpendiculara pe aceasta care taie
pe AC in N. Aflati lungimea lui ON.
Rezolvare: A
B C O
N
10 24
26
ONCABC
comununghiesteC
cedreptunghisunt
OB = OC = BC/2 = 26:2 = 13cm.
13 AC
OC
AB
ON
24
13
10
ON
12
65
24
130
24
13102(
ON
.
PROBLEMA 8 Fie triunghiul ABC dreptunghic in A cu AB = 8cm; ADBC,
D[BC]. Daca BD = 4cm sa se afle lungimile laturilor BC, AC si AC.
Rezolvare: A
B C D
4 cm
ABDBCA AC
AD
AB
BD
BC
AB
8
48
BC
.164
88
BC
16 cm
CD = 16 – 4 = 12cm.
12 cm
ADCABC AC
DC
BC
AC
AB
AD
AC
ACAD 12
168 AC2 = 192
AC = 192
AC= 83.
ABDACD AD
BD
DC
AD
AC
AB
AD
AD 4
1238
8
.343
312
3
12
38
128
AD
cm34
.
PROBLEMA 9 Avem triunghiul isoscel ABC, AB = AC, AD = 8cm si BC = 12 cm.
Aflati raza cercului circumscris triunghiului prin metoda asemanarii
triunghiurilor.
Rezolvare: A
B C
O
D
E
.
6 cm
8 c
m
ABDBDE
lareperpendicurespectivlaturilecuDBEBAD
cedreptunghisuntiletriunghiur
DE
BD
BD
AD
DE
6
6
8 .5,4
8
36cmDE
AE = AD + DE = 8 + 4,5 = 12,5
R = AE:2 = 12,5:2 = 6,25 cm.
.
RELAŢII
METRICE
PROBLEMA 1 Fie triunghiul ABC dreptunghic in A in care AB = 10cm si AD =
53cm, ADBC. Aflati lungimea lui BD, BC si AC.
Rezolvare:
A
B C D
5
3cm
1) Aplicam teorema lui Pitagora in ABD pentru a afla BD:
BD2 = AB2 – AD2 BD2 = 100 – 75 = 25 BD = 25 = 5cm.
5cm
2) Aplicam teorema catetei (pentru cateta AB) pentru a afla BC:
AB2 = BDBC 100 = 5BC BC = 100:5 = 20cm.
20cm
3) Pentru a afla lungimea lui AC aplicam
teorema lui Pitagora in ABC:
AC2 = BC2 – AB2 AC2 = 400 – 100 = 300
AC = 100 = 103cm.
Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi
dreptunghic, incercati sa rezolvati problema aplicand si teorema
inaltimii. .
Fie ABCD un patrat de latura AB = 10cm; punctul E se afla in
interiorul patratului astfel incat AEB sa fie echilateral. Aflati
lungimea lui [EC].
Rezolvare:
PROBLEMA 2
A B
C D
E
Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E.
F
G
In EGB avem: BE=10cm, BG=5cm.
10
5
GE2 = BE2 – BG2 GE2 = 100-25=75
.3575 cmGE
53
FE = GF – GE = 10 - 53cm.
In CEF: CE2 = FE2 + FC2
310020053510 22
2 CE
.32103100200 cmCE
.
Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 25cm si DE = 4cm
unde DEAB, Aflati lungimile celor doua diagonale.
Rezolvare:
PROBLEMA 3
A B
C D
E 10
4
In ADE aflam pe AE:
AE2 = AD2 – DE2 = 20 – 16 = 4.
AE = 4 = 2cm.
2
BE = AB – AE = 10 – 2 = 8cm.
8
In BDE aflam pe BD:
BD2 = BE2 + AD2 = 64 + 16 = 80.
BD = 80 = 45cm.
Coboram o perpendiculara din C pe dreapta AB:
F
BF = AE = 2cm.
2
CF = DE = 4cm.
4
In ACF avem: AC2 = AF2 + CF2 = 122 + 42 = 144+16=160.
.104160 cmAC
.
Fie triunghiul ABC isoscel, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza
cercului inscris triunghiului ABC.
Rezolvare:
PROBLEMA 4
A
B C D
O E
Construim: ADBC; OEAC, O=centrul cercului inscris
In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm.
Notam OD=OE= x;
x
x
Daca CD=6 atunci si CE=6; AE=AC-EC=4cm.
Daca AD=8 atunci AO = AD – OD = 8–x.
8-x
In AOE: AO2 = AE2 + OE2
(8 – x)2 = 42 + x2 64 – 16x + x2 = 16 + x2
16x = 64 – 16 16x = 48 x = 3cm.
Deci Rcercului inscris= 3 cm.
Gasiti si o alta metoda de rezolvare!
.
Fie triunghiul isoscel ABC, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza
cercului circumscris triunghiului ABC.
Rezolvare:
PROBLEMA 5
A
B C
O
D
Daca BC = 12cm, atunci BD = BC:2 = 6cm.
6cm
Notam AO=OB= x (raza cercului circumscris).
x
In ADC: AD2=AC2-CD2=100-
36=64; AD=64=8cm.
Rezulta ca OD=AD-AO=8-x.
8-x
Aplicam teorema lui Pitagora in
OBD: OB2 = BD2 + OD2
x2 = 62 + (8-x)2 16x = 100
cmx 25,616
100
Gasiti si o alta metoda de rezolvare!
.
Fie ABCD un trapez dreptunghic, cu bazele AB=a, CD=b, astfel incat se poate
inscrie un semicerc. Cum se poate calcula media aritmetica, media geometrica si
media armonica cu ajutorul acestei probleme, urmariti rezolvarea.
Rezolvare:
PROBLEMA 6
A B
C D
O
Pentru ca acest trapez sa fie circumscris unui semicerc trebuie
indeplinita conditia: BC=AB+CD=a+b. Urmariti figura.
N
a
b
a
b
M
1) Sa calculam linia mijlocie OM (media
aritmetica):
2) Sa calculam ON=raza semicercului (media
geometrica): AD2=BC2–(AB–CD)2=(a+b)2–(a–b)2=4ab.
.24 ababAD
22
baCDABOM
3) Sa calculam lungimea segmentului NP (media
armonica):
P
.abON
E
NPOCEB BC
NO
CE
NP
ba
ab
ab
NP
2
.22
ba
ab
ba
ababNP
.
PROBLEMA 7 Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC = 10cm si BC = 16cm. Se cere sa se
calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC.
Rezolvare: A
B C D
O
Prelungim pe AD pana taie cercul in E.
E
Unind E cu C se formeaza triunghiul ACE
dreptunghic in C.
Aplicam teorema lui Pitagora in ADC:
10
8
AD2 = AC2 – CD2 = 100 – 64 = 36
AD = 36 = 6cm. 6 Aplicam teorema catetei in ACE:
AC2 = ADAE 100 = 6AE
AE = 100:6 = 16,(6) cm.
Raza=AO=AE:2=8,(3)cm.
.
PROBLEMA 8 Fie ABCD un patrat cu latura de 12cm. Fie punctele EAB si FAD astfel incat
triunghiul CEF sa fie echilateral. Aflati lungimea lui BE.
Rezolvare:
A
.
B
C D
E
F
12cm
Notam pe BE = x.
x
Atunci AE = AF = 12 – x.
12-x
12
-x
Aplicam teorema lui Pitagora in BEC
CE2 = BC2 + BE2 = 144 + x2 Aplicam teorema lui Pitagora in AFE
FE2 = AE2 + AF2 = 2(12 – x)2
Dar FE = CE, asadar
2(12 – x)2 = 144 + x2
x2 – 48x + 144 = 0
31224 x
.
Pentru a finaliza aceasta problema este necesar a se cunoaste rezolvarea ecuatiei de gradul II.
PROBLEMA 9 Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm si
CD = 8cm. Sa se calculeze perimetrul trapezului si lungimile diagonalelor.
Rezolvare:
A B
C D
16
8
O
Daca trapezul este isoscel atunci si
triunghiurile AOB si COD sunt isoscele.
.282
16
2
ABAO
.242
8
2
CDOC
.212 OCAOACAplicam teorema lui Pitagora in BOC
28
24
BC2 = BO2 + OC2 = 128 + 32 = 160
.104160 cmBC
.1082410428162 cmBCCDABPABCD
.
.
FUNCTII
TRIGONOMETRICE
Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi a si b si masura unghiului
cuprins intre ele egala cu . Sa se afle lungimea celei de-a treia
laturi. Rezolvare:
PROBLEMA 1
a
b
Construim inaltimea pe latura de lungime b.
O notam cu h.
h
In triunghiul din stanga avem:
h= asin si x = acos
x y
c Inseamna ca y = b – x = b - acos
Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul
din dreapta: c2 = h2 + y2 = (asin)2 + (b - acos)2
c2 = a2sin2 + b2 – 2abcos + a2cos2
c2 = a2(sin2 + cos2)+b2 – 2abcos
Dar sin2 + cos2 = 1, asadar
( Teorema lui Pitagora generalizata sau teorema cosinusului ) .
c2 = a2 + b2 – 2abcos
PROBLEMA 2 Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B de 600, masura unghiului A de 750 si
AB = 8cm. Se cere sa se afle perimetrul si aria triunghiului.
Rezolvare: A
B C
600 450
m(<BAC) = 1800 – m(<B) – m(<C) = 1800 – 600 – 450 = 750.
D
In ABD: BD = ABcos60 = 80,5 = 4cm.
AD = ABsin60 = 83/2 = 43cm.
In ADC: CD = AD = 43cm. (ADC=isoscel si
dreptunghic.)
AC = CDsin45 = 432/2 = 26cm.
PABC = AB + AC + BC = =
8 + 26 + 43 + 4 = =
12 + 43 + 26cm.
.
.3382
34344
2
2cmADBC
A ABC
PROBLEMA 3 Trapezul ABCD cu baza mica CD = 3cm are AD = 4cm si masura unghiului A de
600 iar masura unghiului B de 300. Se cere sa aflati perimetrul si aria trapezului.
Rezolvare:
A B
C D 3cm
8cm
600 300
E F
AE = ADcos60 = 40,5 = 2cm.
DE = CF = ADsin60 = 43/2 = 23cm.
BC = CF:sin30 = 23/0,5 = 43cm.
BF = BCcos30=433/2=6cm.
EF = CD = 3cm.
.34182363434 cmEAFEBFCBDCADPABCD
.314
2
32311
2
2cmDECDAB
AABCD
.
PROBLEMA 4 Fie triunghiul ABC cu AB = c = 7cm, BC = a = 9cm si AC = b = 8cm. Sa se afle
sinA, sinB si sinC.
Rezolvare:
A
B C 9cm
Folosim urmatoarea formula de calcul a ariei unui triunghi:
cpbpappA Unde p = semiperimetrul triunghiului.
p = (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12
51291281271212 A
Folosim alta formula de
calcul a ariei unui triunghi:
2
sin AACABA
7
53
87
51222sin
ACAB
AA
Analog vom calcula la fel si
sin B sau sin C.
Se poate aplica in continuare si
teorema sinusului: C
c
B
b
A
a
sinsinsin
.
PROBLEMA 5 Printr-un anume procedeu calculati tg150
Rezolvare: Luam un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300 si construim
bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui
BC = 2 si apoi urmariti pasii de rezolvare: A
B C
300
D
bisectoarea
150
Daca BC =2, atunci: AC = 2BC = 4.
AB = ACcos300 = 43/2 = 23.
Aplicam teorema bisectoarei:
232
432
DCBD
ACAB
DC
AC
BD
AB
63432
32
32
ABBD
.
3232
634150
AB
BDtg
Calculati singuri si sin150 si sin750.
PROBLEMA 6 Fara a utiliza tabele trigonometrice, calculati sin750.
Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 750, 450 si 600.
A
B C
7 50
450 600
D
Notam BD = 1
1
Rezulta: AB = 2; AD = 3; CD = 3; AC = 6.
2 3
3
6 Aria triunghiului ABC:
2
33
2
331
2
ADBCAABC
Dar aria ABC cu formula sinusului este:
2
75sin62
2
75sin 00
ACABAABC
Asadar avem:
2
33
2
75sin62 0
4
26
12
2363
62
1863
62
3375sin 0
.
PROBLEMA 7 Deduceti urmatoarea formula in trigonometrie: sin2 + cos2 = 1. Rezolvare:
A
B C
Scriem teorema lui Pitagora:
AB2 + AC2 = BC2
Impartim relatia de mai sus
prin BC2 si obtinem:
.1
22
BC
AC
BC
AB
.cossin BC
ACsi
BC
ABDar Atunci rezulta:
.1cossin 22
.
CERCUL SI
POLIGOANE
REGULATE
.
PROBLEMA 1 Fie un cerc de raza 6cm. Aflati lungimea cercului, aria cercului,
lungimea arcului de cerc si aria sectorului de cerc de = 600. Rezolvare:
.
O
A
Lungimea cercului:
L = 2R = 26 = 12 cm.
Aria cercului:
A = R2 = 62 = 36 cm2.
Lungimea arcului de cerc:
600
.2180
606
180 0
0
0cm
RLAB
B
Aria
sectorului de
cerc: .6
360
6036
360
2
0
0
0
2
cmR
Asc
PROBLEMA 2 Intr-un cerc este inscris triunghiul MNP cu m(<MPN)=450si MN =
82 cm. Se cere sa se afle raza cercului. Rezolvare:
.
M
N
P 450 O
Fie O centrul cercului; daca m(<MPN) =
450, atunci m(<MON) = 900. Deci MON
este dreptunghic isoscel.
.82
28
2cm
MNOM
Explicatii: <P = 450 rezulta ca arcul MN are
masura de doua ori mai mare decat masura
unghiului P, adica egala cu 900; unghiul MON,
inscris in cerc cu varful in centrul cercului va
avea masura egala cu masura arcului MN,
adica 900.
PROBLEMA 3 Perimetrul unui triunghi ABC este de 60 cm, iar latura [BC] are lungimea de 20
cm. Sa se calculeze lungimea segmentului AM, unde M este punctul de tangenta al
laturii [AB] cu cercul inscris in triunghi.
Rezolvare:
.
A
B C
M
N
P
Daca cercul este inscris in triunghiul ABC atunci avem:
AM = AP = x; BM = BN = y; CN= CP = z.
x x
y
y z
z
Perimetrul = x+y+y+z+z+x=2(x+y+z)=60
Rezulta ca x+y+z = 30
Dar y+z = BC = 20 cm.
Rezulta ca x = AM = 10 cm.
R E Ţ I N E Ţ I ! Pentru triunghiul echilateral este
specific numarul: 3
R
l
3Rl
Pentru un patrat este specific
numarul: 2
R
l
2Rl
Pentru hexagonul regulat este
specific numarul: 11
R
l
.1 RRl
.
PROBLEMA 4 Sa se afle latura, apotema si aria unui triunghi echilateral daca raza
cercului circumscris triunghiului este de 6 cm. Rezolvare:
.
A
B C
O
D
R
R a
l
AO = OB = R (raza cercului)
AC = l = latura triunghiului
OD = a = apotema triunghiului
.363 cmRl
.32
6
2cm
Ra
22
3274
3363
4
33cm
RA
22
3274
3108
4
3cm
lA sau
PROBLEMA 5 Sa se afle apotema, aria triunghiului si raza cercului circumscris
acestuia daca latura triunghiului este de 6 cm. Rezolvare:
.
A
B C
O
D
R
R a
l
AO = OB = R (raza cercului)
AC = l = latura triunghiului
OD = a = apotema triunghiului
.36
36
6
3cm
la
22
394
336
4
3cm
lA
.323
36
3
6
3cm
lR
PROBLEMA 6 Daca raza cercului circumscris unui patrat este de 8 cm, aflati
latura, apotema si aria patratului.
Rezolvare:
.
O
A B
C D E
l
R a
l = R2 = 82 cm.
.242
28
2
8
2cm
Ra
.128642822 222 cmRA
PROBLEMA 7 Daca latura unui patrat este de 8 cm aflati apotema, aria patratului
si raza cercului circumscris acestuia.
Rezolvare:
.
O
A B
C D E
l
R a
a = l/2 = 8/2 = 4 cm.
A = l2 = 82 = 64 cm2.
.242
28
2
8
2cm
lR
PROBLEMA 8 Daca raza cercului circumscris unui hexagon regulat este de 4 cm,
aflati latura, apotema si aria hexagonului regulat.
Rezolvare:
.
A B
C
D E
F O
R
a l
l = R = 4 cm.
.322
34
2
3cm
Ra
.3242
348
2
343
2
33 222
cmR
A
PROBLEMA 9 Daca latura unui hexagon regulat este de 6 cm, aflati apotema si aria
hexagonului si raza cercului circumscris acestuia.
Rezolvare:
.
A B
C
D E
F O
R
a l
.332
36
2
3cm
la
.3542
3108
2
363
2
33 222
cml
A
R = l = 6 cm.
CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI
ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC
.
O
1. Construim un cerc;
2. Construim diametrul AP;
A
P
3. Construim o coarda
perpendiculara pe mijlocul razei
OP;
M B C
4. Unim punctele A cu B si A cu
C;
5. Daca nu avem nevoie de
diametrul AP si de punctul M, le
stergem.
CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI
ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC
.
O
1. Construim un cerc;
2. Luam un punct pe cerc;
3. Cu varful compasului in
punctul A, trasam un arc de cerc
(de aceeasi raza cu a cercului)
obtinand punctul B;
A
B
4. Acelasi lucru continuam din B
s.a.m.d., obtinand punctele C, D,
E, F. C
D
E
F
5. Unim punctele A, C si E.
6. Daca nu avem nevoie de
constructiile ajutatoare, le
stergem.
.
CUM CONSTRUIM UN PATRAT INSCRIS
INTR-UN CERC
1. Construim un cerc;
O
2. Construim un diametru;
3. Construim un alt diametru
perpendicular pe primul;
A C
B
D
4. Unim consecutiv
punctele A, B, C, D.
.
CUM CONSTRUIM UN HEXAGON
REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC
.
O
1. Construim un cerc;
2. Construim diametrul AP;
A
P
3. Construim o coarda
perpendiculara pe mijlocul razei
OP;
M B C
4. Construim o coarda
perpendiculara pe mijlocul razei
OA;
N D E
5. Unim consecutiv punctele A, E,
C, P, B, D;
6. Daca nu avem nevoie de
constructiile ajutatoare, le
stergem.
CUM CONSTRUIM UN HEXAGON
REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC
.
O
1. Construim un cerc;
2. Luam un punct pe cerc;
3. Cu varful compasului in
punctul A, trasam un arc de cerc
(de aceeasi raza cu a cercului)
obtinand punctul B;
A
B
4. Acelasi lucru continuam din B
s.a.m.d., obtinand punctele C, D,
E, F. C
D
E
F
5. Unim consecutiv punctele A, B,
C, D, E, F, A.
6. Daca nu avem nevoie de
constructiile ajutatoare, le
stergem.
