Probleme pregatitoare ETAPA LOCAL A OLIMPIADEI DE MATEMATICA februarie 2011 Clasa a VI-a Enun Problema nr.1 Se consider un unghi alungit AOB i, n acelai semiplan determinat de dreapta AB se consider (n-1) semidrepte distincte care mpart AOB n n unghiuri, nN, n 2. Aceste n unghiuri formate au msurile (n grade sexagesimale) exprimate prin numere naturale diferite. a) S se gseasc valoarea maxim a numrului natural n; b) Pentru valoarea lui n gsit la punctul a), dai un exemplu n care s precizai msurile celor n unghiuri care se formeaz; c) S se determine numrul maxim de unghiuri care se pot forma (n condiiile precizate n enun) dac unul dintre unghiuri este drept. Barem de corectare problema nr. 1 a) Pentru ca n (numrul de unghiuri) s fie maxim, trebuia ca msurile acestor unghiuri s fie ct mai mici. Deoarece masurile acestor unghiuri sunt exprimate prin numere naturale diferite, cele mai mici valori pot fi: 1 0, 20, , n0. Dar suma msurilor celor n unghiuri este 1800. nseamn c 10+20+ +n0 1800 maxim a lui n este 18. b) Un exemplu ar putea fi 10, 20, 30, , 160, 170, 270. c) Dac unul dintre unghiuri este drept, revenim n cazul a) dar cu n-1 unghiuri a cror sum a msurilor este de 900. 10+20+ +(n-1)0 900 Enun Problema nr.2 Demonstrai c

n( n + 1) 180 n( n + 1) 360 i cum n este numr natural, n 18. Valoarea 2

n( n 1) 90 n( n 1) 180 n 13. Valoarea maxim a lui n n acest caz este 13. 2

Barem de corectare problema nr. 2

3302 + 4m + 2 7 401 + n , pentru orice numere naturale m i n. > 5 201 + m + 1 3802 + 2n

3302 + 4m + 2 32 3300 + 4m + 2 9 27100 + 4m + 2 = = >1 5 201 + m + 1 5 5 200 + m + 1 5 25100 + m + 1 7 401 + n 7 401 + n = 401