Probleme in Medii Continue

7/25/2019 Probleme in Medii Continue

1/14

CUPRINS:

1. Abstract2. Introducere3.

Metoda combinatelement finit-element discret4. Evaluarea interaciunii la contact5. Bibliografie

1. ABSTRACT

1


2/14

2. INTRODUCERE

2.1. Formularea generala problemelor n medii continue

n practica inginereasc, datoritvolumului mare de materiale utilizat la realizareaconstruciilor, se neglijeazmicrostructura materialelor care este discontinu. Astfel,materialele pot fi descrise prin valori medii ale proprietailor , care sunt considerate continue .O proprietate care poate fi definitastfel este masa, care este o funcie continude voluminmulita cu valoarea densitii( ), conform relaiei:

Prin aceasta un material discontinuu microscopic se echivaleaza cu un materialcontinuu de densitate .

Ipoteza de continuitate a materialelor permite definirea proprietilor fizice alematerialelor ca funcii continue de volum. Combinarea proprietilor fizice( numite si legiconstitutive ) cu ecuaii de echilibru ( principii fizice care descriu materialele, cu un volumsuficient pentru a putea fi neglijate microstructura discontinu) oferun set de de ecuaiigenerale. Acest set de ecuaii cuplat cu aciuni externe ,exprimate sub forma condiiiloriniiale si de contur conduce la o problemde stabilire a valorilor iniiale sau pe contur.Rezolvarea ecuaiilor de pe contur se poate face prin formanalitic, dar cel mai adesea seutilizeazse utilizeazmetode numerice aproximative (metoda diferenelor finite, metodavolumului finit, metoda elementelor finite,etc.).

Cea mai avansati utilizatmetodeste ceea a elementului finit, care constndiscretizarea domeniului studiat n subdomenii , numite si elemente finite. Ecuaiile deechilibru se impun sub formmedie, i conduc la ecuaii algebrice(de exemplu pentruechilibrul forelor nodale) care nlocuiesc ecuaiile de guvernare cu derivare pariale cu unsistem de ecuaii algebrice . Soluia acestui sistem oferrezultate la nodurile elementelorfinite (de exemplu deplasri).

2.2.Formularea generala problemelor n medii discontinue

Considernd ca distana dintre molecule (pentru cele mai multe materiale) este foartemicraportatla lungimea caracteristica problemei studiate , se poate concluziona camajoritate materialelor sunt bine reprezentate printrun model ipotetic continuu. Aceastconcluzie se poate uor infirma prin analiza urmtoarei probleme:

Un container transparent cu baza patrateste umplut cu particule cu formsidimensiuni variabile( conform figurii 1). Particulele sunt lsate scadde la o anumitnlime. n timpul cderii sub aciunea gravitaiei , particulele interacioneazntre ele si cu

pereii containerului. Prin acest proces se disipenergie, i n final toate particulele ajung nstare de repaus. ntrebarea este : care este volumul total ocupat de particule dupce toate

particulele au ajuns n stare de repaus.

2


3/14

Figura 1 Particule de diferite dimensiuni si forme lsate scadliber n interiorulunui container transparent

Aceastproblemenunatpoartnumele de problema containerului .Este evident ca definiia densitii enunate mai sus i definiia masei datde relaia:

nu sunt valabile pentru problema containerului.

Masa totala sistemului va fi n schimb datde relaia:

,unde N este numrul total de particule din container si mi este masa fiecreiparticule i . Particulele se depun n container, i masa particulelor din container este ofuncie de dimensiunea containerului, forma fiecrei particule, dimensiunea fiecrei particule,metoda de depunere, secvena de depunere,etc.

Descrierea matematica problemei trebuie sa ia n considerare forma, dimensiunea imasa fiecrei particule , precum i interaciunea dintre fiecare particuli pereii vasului.Modelul matematic pentru descrierea problemei trebuie sconino lege de interaciune ntreperechile de particule care interacioneaz, lege care pentru fiecare particulse combincu orelaie de echilibru de moment i rezultun set de ecuaii de stare. Soluia acestui sistem oferstarea de repaus pentru fiecare particul. Problema devine mai complexodatcu cretereanumrului de particule ,numrul ecuaiilor cu derivate pariale de stare este proporional cunumtul total de particule.

Formularea matematicpentru probleme de medii continue presupune definirea legilorconstitutive, stabilirea ecuaiilor de echilibru i a condiiilor iniiale si pe contur, pe cnd n

3


4/14

cazul problemelor n medii discontinue( problema containerului enunatmai sus) estenecesari definirea unei legi de interaciune. Soluiile analitice pentru probleme de mediidiscontinue sunt dificil de formulat , fiiind de preferat soluii numerice aproximative.

Metode numerice aproximative pentru modelarea interaciunii unui numr mare departicule de forme neregulate sunt Analiza Deformaiilor Discontinue (DDA) i Metode cu

Elemente Discrete(DEM).

2.3. Probleme de medii combinate

Un caz mai complex al problemei containerului enunatmai sus , pstrnd toateipotezele formulate pentru aceasta , n plus considernd particulele si pereii containeruluideformabile poartnumele de problema containerului deformabil. n acest cazdeformabilitatea containerului i particulelor influeneazmodul de deplasare al particulelor imasa totala particulelor depuse n container.

Prin interaciune particulelor ntre ele si cu pereii containerului acestea i modificforma i dimensiunile (se deformeaz) , deformare care este o problemde deformaii elasticefinite. Astfel deformabilitatea particulelor poate fi reprezentatprintr-un model ipoteticcontinuu, iar interaciunea dintre particule i container poate fi reprezentatprintr-un modeldiscontinuu, problema containerului deformabil fiind astfel o problemde medii combinate.

Setul de ecuaii care caracterizeazmodelul va ine cont de interaciune dintreparticule i pereii containerului , precum i de deformabilitatea particulelor si containerului.Numrul de ecuaii este funcie de numrul de particule din container, care face ca soluiileanalitice sfie greu de obinut , fiind de preferat soluii numerice aproximative, cum ar fiDDA si DEM formulate sincont i de caracteristica de deformabilitate.

Abordarea cea mai avansatpentru determinarea soluiei sistemului de ecuaii este amodela deformabilitatea prin metoda elementelor finite (FEM) i interaciunea si deplasareaparticulelor prin metoda elementelor discrete(DEM) , rezultnd o metodmixt,numitmetoda elementului finit-discret (FEM/DEM).

3. METODA ELEMENT FINIT - ELEMENT DISCRET

Metoda presupune reprezentarea fiecrui corp(particul) printr-un singur elementdiscret care interacioneazcu elementele discrete din jurul lui, i fiecare element discret este

mprit ntr-o reea de elemente finite. Aceastreprezentare cu elemente finite a elementelordiscrete are rolul de a surprinde caracteristica de deformabilitate a fiecrui element.

4


5/14

Figura 2 Principiul metodei combinateelement finit-element discret: douelemente discretemprite n elemente finite

n interaciunea dintre particule,pe lngproprietatea de deformabilitate se poate considera siruperea sau fragmentarea particulelor, care suntprocese de tranziie de la medii continue la medii

discontinue.n domeniul ingineriei sunt multe situaiile n care acest proces de tranziie are un rol

major, n urma lui rezultnd fisuri,pnla ruperi. Exemple:- Dinamitarea masivelor de roc, prin introducerea unei ncrcri explozive ntr-un

foraj- Concasarea rocilor pentru a obine agregate cu o anumitdistribuie de dimensiuni;- Fisurarea,fragmentare si cedare pot fi observate si n procesul de demolare

structuralprin plasarea judicioasde ncrcri explosive, pentru a obine uncolaps controlat;

- Colapsul structurilor datoritncrcrilor excepionale cum ar fi: impact ,cutremur, explozii,etc.

Metoda combinatelement finit-element discret permite studierea sistemelor cu otranziie dinamic,ce sunt compuse dintr-un numr mare de corpuri ce interacioneaz,i nacest proces se pot fisura sau rupe.

Exemple de simulri cu metoda combinat:

1. o grindsimplu rezemat, la care se scoate reazemul din drepta ,lucru carepermite rotirea n jurul reazemului articulat din dreapta. Aceasta conduce n final lacedarea grinzii la momentul maxim datorat combinrii greutii proprii cu fora deinerie, rezultnd la cderea libera celor doubuci rezultate.

5


6/14

Figura 3 Cedarea (a) i micarea celor doucorpuri dupcedare (b i c ).

2. Secvena de prbuire a unui pod cauzatde impactul cu un vehicul greu

Figura 4 Aplicarea metodei pentru simulareasecvenei de prbuire a unui pod n urma impactuluicu un vehicul greu.

3. Cedarea unui zid de sprijin , datoritpresiunii apei care satureazargila din spatelezidului.Etapele prbuirii zidului de sprijin:-dezintegrarea bazei-cedarea datoratforelor de inerie-fragmentarea finaldatoratprbuirii pe pmnt

6


7/14

Figura 5 Starea iniial, cedarea si colapsul zidului de sprijin.

4. Demolarea prin detonare a unui code fum. Dupexplozia bazei, simularea bazat

pe elemente discrete si elemente finite poate modela nclinarea coului, cedarea lamijloc datoritgreutii proprii i forelor de inerie , i cderea liberpe teren.

Figura 6 Demolarea prin detonare a unui code fum- secvena de colaps siprbuirea pe pmnt

Modelarea prin metoda combinatfolositpentru simulrii surprinde n modcorect toate etapele pnla colaps.

n toate modele de mai sus sunt luate n considerare : deformarea fiecrui elementdiscret, interaciunea dintre elementele discrete la fiecare pas de timp, tranziia de la continuula discontinuu, fisurarea si fragmentarea.

n prezent se pot face simulri 3D , putnd modela o multitudine de aspecte alefenomenului fizic real. De exemplu , n cazul fragmentrii produse de o explozie , unde gazulrezultat n urma expoziei exercito presiune asupra unui zid modelat cu elemente discrete,accentund fisurarea si fragmentarea, sau crete energia cinetica a sistemului, crescand viteza

fiecarui element discret.

7


8/14

Mecanisme de disipare a energiei , cum ar fi histereza elastica, deformatia plasticaa materialului, ruperea materialului si frecarea dintrele elementele discrete, conduc in final lastarea de repaus , cand toate elementele discrete au energie cinetica zero.

Luarea in considerare a unui numar mare de aspecte, conduce la necesitatea dealgoritmi eficienti pentru furnizarea solutiei, cum ar fi algoritmi pentru:

- interactiunea la contact- pentru detectarea contactului- deformatii finite elasto-plastice- discretizare si integrare in timp- tranzitia de la medii continue la medii discontinue- probleme cuplate: interactiune gaz solid- vizualizarea,diagnosticarea modelului.

4. EVALUAREA INTERACIUNII LA CONTACT

Un model cu elemente finite si discrete poate contine de la cateva mii la cateva

milioane de solide ce interactioneaza, fiecarea avand o discretizare proprie. Acest lucru punein evidenta ca o problema in dezvolatea metodei combinate este modul de tratare a contactuluidintre obiecte.

Sunt doua aspecte de tratat din punct de vedere al algortmului in cadrul metodeicombinate:

- detectarea zonei de contact dintre corpuri- interactiunea pe aceasta zona de contact

Scopul detectiei zone de contact este de a determina perechile de elemente discrete

apropriate , putand interactiona, si de a elimina perechile de elemente aflate la distante mariunul fata de celelalt si nu pot fi in contact. Acest algoritm este necesar pentru a eliminaevaluarea interactiunii la contact pentru elementele care nu sunt in contact. Astfel se va generaun algoritm de evaluarea a fortelor de contact doar pentru perechile de elemente discrete careau fost gasite ca sunt in contact.

Modelele teoretice si micro-mecanice pentru reprezentarea contactului iau inconsiderare fenomenul complex de interactiune a elementelor discrete invecinate prinsuprafete solide, care sunt neregulate. Presiunea de contact dintre cele doua solide se transferade fapt prin cateva puncte in care suprafetele sunt in contact. Pentru presiuni mici cele douacorpuri sunt in contact in cateva puncte, dar odata cu cresterea presiunii are loc deformareaelastica si plastica a asperitatilor suprafetelor, rezultand o crestere a zonei de contact.

In literatura de specialitate se folosesc ipoteze simplificatoare ( referitoate la forma,distributia si deformabilitatea fiecarei suprafete de pe zona de contact) folosind formulari

8


9/14

variationale ale contactului impreuna cu legi simplificate ce definesc presinea de contact ca ofunctie de distanta intre elemente, cu efortul tangential considerat ca functie de presiunenormala si/sau conditii de lunecare. Aceste simplificari se obtin prin formularea variationala aproblemei.

Formularea variationala a problemelor de contact include o functie aditionala de

contact, pentru care nu se impun conditii de penetrare intre corpuri. Printre abordarile clasicese enumara:

1. Metoda celor mai mici patrate: pentru stabilirea de conditii pe conturul seconsidera integrala:

Aceasta este intotdeauna pozitiva, cu exceptia cazului in care conditiile pe contur suntindeplinite exact. Minimizarea acestei functii conduce la:

2. Metoda multiplicatorului Lagrangian : pentru a stabili conditii pe contur seconsidera urmatoarea functie

,care se adauga la functia initiala

,unde este un set de functii independente pe domeniul . Aceste functii senumesc multiplicatori Lagrangieni. Un punct fix se gaseste folosind urmatoareaformulare:

, care este egala cu zero cu conditia ca:

rezultand

9


10/14

In metoda elementului finit , multiplicatori Lagrange sunt aproximati pornind de lafunctia de baza. Lucru ce conduce la variabile suplimentare, necunoscute ,interpretarea lor fizica este forta de contact. Astfel in metoda multiplicatorilorLagrange, contactul se caracterizeaza prin cresterea numarului total denecunoscute.

3. Metoda functiei de penalizare: se foloseste pentru a elimina dezavantajele metodeicu multiplicatori Lagrange. Pentru a impune conditii pe conturul , functiaaditionala:

,se adauga functiei initiale :

,unde este parametrul de penalizare

, daca este un minim al solutiei , atunci p trebuie sa fie un numar pozitiv. Solutia

obtinuta prin minimizarea functiei obtinute satisface aproximativ conditiile pe zona decontact. Cu cat functia de penalizare este mai mare, cu atat conditiile sunt mai bineaproximate, iar aceste sunt exact satisfacute pentru o functie de penalizare ce tinde la infinit.

Metoda se foloseste pentru impunerea unei conditii de impenetrabilitate intr-o manieraiterativa, sau nerespectarea acestei conditii astfel incat sa se obtina raspunsul corect alsistemului fizic, lucru ce se obtine pentru un termen de penalizare cu o valoare suficient demare.

In implementarea oricarei metode de mai sus trebuie acordat o importanta deosebita incontrolul contactului cinematic dintre corpuri. In metoda elementului finit cinematicacontactului se are in vedere printr-un algoritm care considera o suprafata principala(tinta) in

timp ce cealalta este suprafata secundara(contactor). In primii algoritmi dezvoltatidiscretizarea celor suprafete era adesea realizata in asa fel incat fiecare nod al suprafeteisecundare avea un nod corespondent al suprafetei principale, astfel doar contactul nod-nod eratratat.

10


11/14

Figura 7 Contact nod-nod si contact margine-margine

Pentru aplicatiile 3D cinematica pentru zona de contact devine extrem de dificila ,aproape imposibil de rezolvat datorita lipsei de suprafete perpendiculare la anumite puncte decolt, lucru ce conduce la o tratare inconsistenta a cinematicii pe zona de contact ce produce

dezechilibru energiei.

[1] Figura 8 Nodul A patrunde prin punctul B si iese prin punctul C, creand energie

Acest dezechilibru se poate pune in evidenta prin exemplul prezentat in figura de maisus (fig. 8) : energia potentiala este proportionala cu 2 ,unde este penetrarea, iar cantitateade energie cinetica transformata in energie potentiala este proportionala cu B2, in timp cecantitatea de energie cinetica recuperata dupa terminarea contactului este proportionala cuC

2.Se poate observa ca :

,ceea ce presupune ca energia totala finala sa fie mai mare ca energia totala initiala.

[1] Figura 8.1 Conditia de impenetrabilitate impusa prin dispunerea de bile(pinballs) pe conturul elementelor discrete

Pentru simplificarea cinematicii contactului s-au utilizat algoritmi ce considera o liniede alunecare intre corpuri. (slideline). Cel mai simplu dintre algoritmi , care considera o linie

11


12/14

de bile dispusa dupa conturul elementelor discrete, prin aceasta impunand de impenetrabilitatedoar pentru aceste bile. Dificultatile pentru acest algoritm apar prin necesitatea unui numarmare de bile pentru discretizarea suprafetei (fig 8.1), sau datorita naturii bilelor sa rezulte odistributie nerealista a fortelor de contact.

Sistemul modelat cu bile pe contur are o comportare nerealista, alunecarea dintre

supratele de contact este dificila, chiar si pentru suprafete netede sau in absenta frecarii. (fig.9)

[1] Figura 9 Alunecare intre suprafete. O suprafata neteda impune o discretizarefoarte nedeta , considerand bile pe contur.

Ultima generatie de algoritmi pentru descrierea interactiunii la contactul dintreelemente foloseste impartirea elementelor discrete in elemente finite, si combina aceastametoda cu conceptul fortei potentiale de contact. Prin aceasta impartire a elementelor discretese obtine o distributie realista a fortelor de contact pe zone finite de contact rezultate in urmasuprapunerii elementelor discrete ce sunt in contact. Prin asta distorsiunile numerice acampului local de deformatii aproape de contur se reduc semnificativ, un aspect importantatunci cand se studiaza de exemplu ruperea unui material fragil.

12


13/14

5. BIBLIOGRAFIE:

[1] The combined finite-discrete Element Method Ante Munjiza[2] Finite Element Method-Boundary Element Method- Peter Hunter[3]Finite Element Method-The Basis-O.C. Zienkiewics & R.L. Taylor[4]The Practical Modelling of Discontinuous Rock Masses with Finite Element

Analysis- R.E. Hammah, T. Yacoub and B. Corkum

13


14/14

14

Probleme in Medii Continue

Documents

Transcript of Probleme in Medii Continue