Probleme de Concurs Cl11 M2-Prof Pantin Delia
4
Colegiul Tehnic „ Regele Ferdinand I ” Prof. PANTIN DELIA CENTRUL DE EXCELENŢĂ–DISCIPLINA MATEMATICĂ LICEU AN ŞCOLAR 2012-2013 LICEUL “GRIGORE MOISIL ” TIMIȘ Ș ȘOARA PROBLEME RECAPITULATIVE DE CONCURS MATRICE . DETERMINANŢI. CLASA a XI-a 1. Fie matricea − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A . a) Demonstraţi că 3 3 2 2 O I A A = − + . b) Demonstraţi că A este inversabilă şi determinaţi 1 − A . c) Rezolvaţi în ) ( 3 R M , ecuaţia 3 2 I A AX − = . Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici” Etapa judeţeană , profil servicii – 2012 2. O piesă a unui angrenaj are forma unui patrulater ale cărei vărfuri într-un reper cartezian ortogonal sunt punctele ) 6 , 14 ( ; ) 1 , 9 ( ; ) 2 , 2 ( C B A şi ) 5 , 1 ( D , iar unitatea de lungime în reper este 1 cm . Se cere : a) Determinati coordonatele mijlocului M al diagonalei BD . b) Demonstraţi că M este chiar intersecţia diagonalelor patrulaterului ( A , M , C - coliniare) c) Determinaţi aria patrulaterului . d) Dacă două dintre vârfurile patrulaterului sunt vârfurile unui paralelogram interior plăcii , aflaţi aria acestui paralelogram . Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici” Etapa judeţeană , profil servicii – 2011 3. Se dau matricele ) ( 0 0 0 0 3 N M ∈ = e d c b a A . Câte astfel de matrice au proprietatea ca atât suma elementelor de pe diagonala principală , cât şi suma elementelor de pe diagonala secundară sunt egale cu 7 ? Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici” Etapa judeţeană , profil stiinţe ale naturii – 2011 4. Se consideră matricele − − = 1 1 1 1 A ; = 1 1 1 1 B şi 0 , 2 1 2 > ⋅ + ⋅ = t B t A t M t . a) Calculaţi 2 A , 2 B , B A ⋅ , A B ⋅ . b) Verificaţi identitatea v t v t M M M ⋅ = ⋅ , ( ) 0 , > ∀ v t . c) Arătaţi că ( ) 0 > ∀ t matricea t M este inversabilă . Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici” Etapa judeteană , profil tehnic – 2011
-
Upload
marcel-popescu -
Category
Documents
-
view
8 -
download
3
Transcript of Probleme de Concurs Cl11 M2-Prof Pantin Delia
Colegiul Tehnic „ Regele Ferdinand I ”
Prof. PANTIN DELIA
CENTRUL DE EXCELENŢĂ–DISCIPLINA MATEMATICĂ LICEU
AN ŞCOLAR 2012-2013 LICEUL “GRIGORE MOISIL ” TIMIȘȘȘȘOARA
PROBLEME RECAPITULATIVE DE CONCURS
MATRICE . DETERMINANŢI. CLASA a XI-a
1. Fie matricea
−
−
−
=
111
111
111
A .
a) Demonstraţi că 332 2 OIAA =−+ .
b) Demonstraţi că A este inversabilă şi determinaţi 1−A . c) Rezolvaţi în )(3 RM , ecuaţia 3
2 IAAX −= .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeţeană , profil servicii – 2012
2. O piesă a unui angrenaj are forma unui patrulater ale cărei vărfuri într-un reper cartezian ortogonal sunt punctele )6,14(;)1,9(;)2,2( CBA şi )5,1(D , iar unitatea de lungime în reper este 1 cm . Se cere :
a) Determinati coordonatele mijlocului M al diagonalei BD . b) Demonstraţi că M este chiar intersecţia diagonalelor patrulaterului ( A , M , C - coliniare) c) Determinaţi aria patrulaterului . d) Dacă două dintre vârfurile patrulaterului sunt vârfurile unui paralelogram interior plăcii , aflaţi
aria acestui paralelogram . Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeţeană , profil servicii – 2011
3. Se dau matricele )(
0
00
0
3 NM∈
=
ed
c
ba
A . Câte astfel de matrice au proprietatea ca atât suma
elementelor de pe diagonala principală , cât şi suma elementelor de pe diagonala secundară sunt egale cu 7 ? Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeţeană , profil stiinţe ale naturii – 2011
4. Se consideră matricele
−
−=
11
11A ;
=
11
11B şi 0,
2
1
2>⋅+⋅= tB
tA
tM t .
a) Calculaţi 2A , 2B , BA ⋅ , AB ⋅ . b) Verificaţi identitatea vtvt MMM ⋅=⋅ , ( ) 0, >∀ vt .
c) Arătaţi că ( ) 0>∀ t matricea tM este inversabilă .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil tehnic – 2011
5. O matrice )(2 RM∈A verifică condiţiile 4)3det( 2 =⋅− IA şi 9)2det( 2 =⋅+ IA .
Demonstraţi că 22 2 IAA −⋅= .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil servicii – 2010
6. În planul , raportat la sistemul ortogonal de axe de coordonate se consideră punctele ∗∈+++ NnnnnAn ,)42,1( 2 .
a) Calculaţi aria triunghiului 321 AAA .
b) Arătaţi că aria triunghiului 11 +− nnn AAA este independentă de n .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil tehnic – 2010
7. a) Demonstraţi că ecuaţia
=
21
222X nu are soluţie în )(2 ZM .
b) Arătaţi că ecuaţia 22 IX = are o infinitate de soluţie în )(2 ZM .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil stiinţe ale naturii – 2009
8. Spunem că două matrice )(, 2 RM∈BA au proprietatea )(∗ dacă BABA ⋅=+ .
a) Justificaţi că matricele
−
−=
62
174A şi
−−
−−=
42
176B au proprietatea )(∗ .
b) Să se arate că dacă matricele )(, 2 RM∈YX au proprietatea )(∗ atunci XYYX ⋅=⋅ . Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil tehnic - 2009
9. Fie
=∈=
z
y
x
AAM
00
00
00
)(3 RM şi matricele
=
300
020
001
B ,
−
=
2700
080
001
C
a) Să se arate că ( ) MAMAn ∈∀∈ , şi ( ) 1≥∀ n .
b) Să se arate că dacă )(3 RM∈X şi XBBX ⋅=⋅ atunci MX ∈ .
c) Să se rezolve ecuaţia CX =3 . Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană, profil tehnic – 2009
10. Fie
=
000
100
110
A şi
∈
= Ccba
a
ba
cba
M ,,
00
0 .
a) Calculaţi 3A b) Dacă )(, 3 CM∈⋅=⋅ XAXXA demonstraţi că MX ∈
c) Demonstraţi că AX =2 nu are soluţii în )(3 CM Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeţeană , profil servicii – 2009
11. Pe suprafaţa plană , raportată la reperul ortogonal )(xOy , trei persoane se aşează în trei puncte necoliniare A , B , C astfel încât coordonatele acestor puncte să fie numere întregi . Demonstraţi că : a) Q∈S , unde S este aria triunghi ABC . b) Cele trei persoane nu se pot aşeza în vârfurile unui triunghi echilateral .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , , profil servicii – 2009
12. Se consideră matricele
=
000
310
211
A ;
=
0
1
2007
B şi
=
z
y
x
X cu R∈zyx ,, .
Să se rezolve ecuaţia BXA =⋅2008 . Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil stiinţe ale naturii - 2008
13. În reperul ortogonal )(xOy considerăm punctele N∈nnnAn ,),( 2 .
a) Arătaţi că oricare trei dintre aceste puncte sunt necoliniare . b) Arătaţi că oricare triunghi determinat de trei astfel de puncte are aria egală cu un număr natural .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil servicii – 2008
14. Se consideră matricea
=
003
020
100
A şi { }AXXAXAC ⋅=⋅∈= )()( 3 CM .
a) Să se arate că matricea )(
103
010
101
ACB ∈
= .
b) Dacă matricea )(ACX ∈ atunci X este de forma
ac
b
ca
03
00
0
.
c) Dacă matricea )(ACY ∈ şi 32
O=Y atunci 3O=Y Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil tehnic – 2008
15. Într-un sistem de axe de coordonate se consideră punctele R∈− ccCBA ;)0,(;)2,5(;)2,1( . a) Să se determine ecuaţia dreptei AB .
b) Să se găsească poziţia punctului C astfel încât =+ BCAB minimă . c) Dacă D este simetricul punctului C găsit anterior faţă de originea sistemului de axe , să se afle aria triunghiului DAB.
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil tehnic – 2008
16. Cătălin şi Simona îşi trimit mesaje codificate procedând astfel ; - atribuie literelor alfabetului , excluzând diacriticele , numere consecutive repetând şi alternând semnele + , - astfel
13131212
......
998
......
32211 −
↓↓
−
↓↓
−
↓↓
−
↓↓
−
↓↓
−
↓↓
ZYXWRQPEDCBA
- transformă mesajul într-un şir de numere ( în care zero semnifică spaţiul liber dintre două cuvinte ) şi aranjează şirul de numere într-o matrice )(3 ZM∈T citite pe linii , începând cu prima
linie , în ordinea trimiterii .
- foloseşte matricea
−
−
=
101
011
111
C pe post de „ cheie ” de decodificare şi obţine
matricea XCT ⋅= . Într-o zi Simona i-a trimis lui Cătălin mesajul KIIAC GOM . Decodificaţi acest mesaj , citit din matricea X .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeteană , profil stiinţe ale naturii – 2011
17. Fie matricea
=
012
001
000
A şi { }AXXAXAC ⋅=⋅∈= )()( 3 CM .
a) Calculaţi 2A şi 3A .
b) Arătaţi că matricele din )(AC sunt de forma
=
abc
ab
a
X 0
00
.
c) Arătaţi că ecuaţia 33 OX = are o infinitate de soluţii în )(3 CM .
d) Arătaţi că ecuaţia AX =3 nu are soluţii în )(3 CM .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeţeană , profil servicii – 2011
18. Fie matricea )(
00
100
010
)( 3 RM∈
=
x
xA .
a) Calculaţi )(2 xA şi )(3 xA .
b) Deduceţi că 33 )( IxxA nn = , )()(13 xAxxA nn =+ , )()( 223 xAxxA nn =+ .
c) Dacă )()()( 201220112010 xAxAxAB ++= , determinaţi valorile lui x pentru care matricea este inversabilă.
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa judeţeană , profil tehnic – 2012
19. Se consideră determinantul
ac2ac1
cb2cb1
ba2ba1
)c;b;a(
−+
−+
−+
=∆ unde a,b,c R∈ .
a) Calculaţi )2012;1;1(∆ . b) Arătaţi că 0)c;a;a( ≤∆ . c) Demonstraţi că dacă 0)c;b;a( =∆ atunci cba == .
Concursul Naţional de Matematică Aplicată “A.Haimovici”
Etapa locală , profil tehnic – 2012
