Badin Carpusca Ciurea Serban Algebra Liniara Culegere de Probleme 1999

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCURE~TI

Asist.drd. LUIZABADIN

Lect.drd. Asist.drd. MIHAELA CARPU$CA GRIGORE CIUREA

Coordonator: RADU $ERBAN

ALGEBRA LINIARA

CUlEGERE DE 'ROBLEME

EdituraASE BUCURE$TI

1999

Contributia autorilor:

Asist.drd. LUIZA BADIN: Capitolul1 ~i 4 Lect.drd. MIHAELA CARPU$CA: Capitolul 3 Asist.drd. GRIGORE CIUREA: Capitolul 2

COORDONATOR: PROF.DR. RADU $ERBAN

ISBN 973 - 9462 - 54 - 5

CUPRINS

Pag. INTRODUCERE......................................................... 5

Capitolul 1 SPATII VECTORIALE............. ............ ...... 7 1.1. Notiuni teoretice.... ............ ................ 7 1.2. Probleme rezolvate............................ 12 1.3. Probleme propuse............................. 77

Capitolul2 SPATII LlNIARE EUCLIDIENE................... 88 2.1. Notiuni teoretice.............. .................. 88 2.2. Probleme rezolvate............................ 92 2.3. Probleme propuse............................. 103

Capitolul 3 OPERATORI LlNIARI.. ...... ................. ...... 111 3.1. Notiuni teoretice................................ 111 3.2. Probleme rezolvate...................... ...... 120 3.3. Probleme propuse............................. 198

Capitolul 4 PRINCIPIUL CONTRACTIEI........ ........ ...... 226 4.1. Notiuni teoretice................................ 226 4.2. Probleme rezolvate............................ 226 4.3. Probleme propuse............................. 239

Bibliografie ......................................................... 241

3

INTRODUCERE

Prezenta culegere de probleme de algebra liniara umple un gol in posibilitati/e de instruire a studenti/or de la facultatile economice.

Culegerea are patru capitole: Spatii vectoriale, Spatii euclidiene, Opera tori liniari §i Principiul contractiei.

in cadrul fiecarui capitol sunt prezentate pe scurf notiunile teoretice apoi sunt complet rezolvate un numar semnificativ de probleme. Fiecare capitol se incheie cu numeroase probleme propuse, insotite de indicat;; §i raspunsuri.

Culegerea se adreseaz8, in primul rand, studenti/or Facultatii de Cibemetica, Statistica §i Informatica Economica fiind, in acela§i timp, uti/a studentilor tuturor celorlalle facullati cu profiJ economic.

Autorii

5

Spatii vectoriale Capitolul1

SPATII VECTORIALE l 1.1. Notiuni teoretice

Fie V * 0 ~i K un corp. Se definesc doua operatii: 1. operatia interna II + II : V x V ~ V (x, y) ~ x + y 2. opera1ia externa II • \I : K x V ~ V (a, x) ~ a·x , a E K.

(V, K) se nume$te spatiu vectorial (liniar) peste corpul K daca ve rifica urmatoarele axiome:

1. (V, +) este grup abelian 'In care elementul neutru este v ectorul nul Ov.

2.1. (a + ~) . x = ax + ~x (\7') a , P E K, (\7')a E V 2.2. u(x + y) = a·X +u·y (\7') a E K, (\7') x, Y E V 2.3. a(px) = (a.p)x (\7') Ct , !3 E K, (\7') x E V 2.4. (3) 1 E K astfel'lncat 1· x = x (\7') x E V

Combina1ie liniara Fie V un spatiu vectorial peste corpul K ~i S cV 0 submul

time nevida. Vectorul v E V scris sub forma

v = I;u.,vp V i ES, Ct.; EK, i= 1,X se nume~te combinatie Iiniara 1",,1

finita de vectori din S.

Sistem liniar independent In spatiul vectorial (V, K), S = {VI, V2, ... , Vn} C V

se nume~te sistem liniar independent daca ~i numai daca: 7

Spati i vectoriale Capitolul1

n

'LaiVi = Oy :::> a! = a 2 = ... = an = ° unde aiE K (\7') i = 1,n i=!

(orice combinatie Iiniara nula de vectori din S se face numai cu scalarii toti nul i).

o familie de vectori (Vi)iEI c V este liniar independenta In spatiul vectorial (V, K) daca orice sistem finit de vectori ai famili ei este liniar independent.

Sistem liniar dependent Sistemul de vectori {VI. V2, ... , vn}c V

este liniar dependent in spatiul vectorial (V, K) daca (3) 0,1,0,2, ... an E K, nu toti nUIi, astfelincat sa avem:

n

'LajVi =Oy i=!

(exista 0 combinatie liniara nula a vectorilor sistemului cu nu toti scalarii nuli).

o familie (Vi)iel C V de vectori din V este liniar dependenta daca nu este liniar independenta, adica daca contine un sistem finit de vectori liniar dependenti.

Sistem de generatori Un sistem G c V de vectori constituie un sistem de

generatori pentru spatiul vectorial (V, K) daca orice vector din V este combinatie liniara finita de vectori din G, adica:

(\7') v E V, (3) ai, a2, ... , an E K astfel incat v = t a lgi unde {g1, g2, I~I

Baza o multime 8 c V se nume~te baza a spatiului vectorial:

(V, K) daca: 1. 8 este sistem liniar independent; 2. 8 este sistem de generatori.

8


8 baza ~ 8 sistem liniar independent maximal ((V) 8'c V sistem liniar independent, 8' :::) 8 :::> 8' = 8) ~ 8 sistem de generatori minimal «'\!) 8'c V sistem de generatori, 8'cB:::>8' = 8).

. Dimensiune Cardinalul unei baze B a spatiului vectorial (V, K) se

nume~te dimensiunea spatiului (V, K) ~i se noteaza dim(Vj K) sau, simplu, dimV. (V,K) este finit dimensional daca dimV este finita.

Teorema bazei pentru spatii vectoriale finit dimensionale intr-un spatiu vectorial finit dimensional nenul (V, K), orice

vector se exprima in mod unic ca 0 combinatie liniara a vectorilor unei baze B = {b1, b2, ... , bn} a spatiului vectorial.

n

(\7') x E V (3)! 0,1, 0,2, ... , an E K, astfel incat v = 'Lajbj . i =!

ai, i = 1, n se numesc coordon;:ltele lui v in baza B. Se noteaza: VB = (ai, 0,2, ... , an)t Coordonatele unui vector in bazi noui Fie (V, K) spatiu vectorial cu dimV = n ~i B = {b1, b2, ... , bn}

baza In V . Fie x E V ~i XB = (ai, 0,2, ... , an)t. Fie noua baza, 8' = {b'i, b'2, ... , b'n}, b1B = (C1i, C2i, .. . , Cni)\ b2b = (Ci2, C22, ... , Cn2)t, ... , bnB = (Cin, C2n,···, cnn) C = (Cij) 1 :.:::: i, j :.:::: ,n se nume~te matrice de trecere de la baza B la baza B'. Atunci XB' = C-i . XB.

Lema substitutiei Fie (V,K) un spatiu vectorial de dimensiune finita n. Fie E =

{ei,e2, ... , en} 0 baza a lui V. Fie UEV, u = A1e1+"'+ Ai-iei-1 +Aiei+Ai+1 ei+i + ... +Anen.

Atunci: 1) multimea E* = {e1, ... ,ei-i, u, ei+1, ... , en} formeaza o baza a lui V daca ~i numai daca Ai * O.

2) Daca XE V are in baza E coordonatele XE = (0,1, ... , ai-1. ai, ai+i, .. . , an) T atunci in baza E*, vectorul x are coordonatele:

9


X ( . . •• . ) d • a .. E* = a 1 , ••• , a i-I ,ai' a i+1 , ••• , a n un e: a 1 = -t l?1

I

• a .A i - A.a . . 1 . . a j = J J I, pentru J = I." I n; J*'

Ai

Izomorfism de spatii vectoriale Fie (X, K), (Y, K) spatii vectoriale finit dimensionale. f: X ~ Y se numel?te izomorfism de spatii vectoriale daca:

1) f este morfism: a) f(x + y) = f(x) + fey) (\if) x, y E X (f este ad it iva)

2) f este bijectiva.

b) f(ax) = af(x) (\if) aE K, (\if) x E X (f este omogena)

Teorema de izomorfism Orice doua spatii vectoriale finit dimensionale, peste acelal?i

corp K l?i avand aceeal?i dimensiune, sunt izomorfe. Observatie: dimV = n => V - Kn.

Subspatii vectoriale Fie (V, K) un spa\iu vectoriall?i W 0 submul\ime nevida a lui

V. W se nume§te subspatiu vectorial al lui V daca: 1) x + YEW (\if) x, YEW 2) ax E W (\if) a E K, (\if) x E W.

sau echivalent, ax + py E W (\1') a,p E K, (\if) x, YEW.

Subspatiu generat de 0 submultime Fie (V, K) spatiu vectoriall?i A c V, A * 0. Se numel?te subspaliu generat de A sau acoperire liniara a

lui A l?i se noteaza Sp(A) sau L(A) , multimea tuturor combinaliilor liniare finite de vectori din A.

10


Sp(A) = L(A) = {v E V ! (3) a1, a2, ... , an E K, (3) V1, V2, . .. , n

vn E A astfel Tncat v == Lajv j }

Sp(A) este subspaliu vectorial al lui V. Daca . W 1 §i W 2 sunt subspalii ale spa\iului vectorial V

atune;: 1. W 1 + W2 = {V1 + V2 I V1 E W 1, V2 E W 2 } este subspa\iu

vectorial al lui V 2. W 1 n W 2 este subspa\iu vectorial allui V 3. W 1 U W2 nu este neaparat subspatiu vectorial, dar

Sp(W1 u W2) = W 1 + W 2

Teorema dimensiunii sumei de subspatii vectoriale Fie (V, K) un spa\iu vectorial de dimensiune finita §i V 1, V2

C V subspatii vectoriale ale lui V. Atunci: dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2 - dim(V1 n V2) Suma directa Fie (V, K) spatiu vectorial de dimensiune finita ~i W, Wi, W 2,

..., Wn C V subspa\ii vectoriale. W este suma directa a subspa\iilor W1, W 2, ... , Wn daca (\if)

__ n

WE W (3) Wi E Wi i == l , n, unici astfellncat W = LWi •

11

Se scrie W = W 1 EE> W 2 EE> ... EE> Wn = EB Wi j=l

Daca W = W 1 EE> W 2 atunci W 1 l?i W2 se numesc subspatii suplimentare.

Teorema. Urmatoarele afirma\ii sunt echivalente:

1) W=EBW le i 1

11


n n

3) W= Iw; ~idimW= IdimWj

i=l i=l

1.2. Probleme rezolvate

1.2.1. Spatii vectoriale

1. Fie V = ~ : = {XE ~lx>O} . Aratati ca V este spatiu

vectorial peste corpul lR\ 'In raport cu legile de compozitie:

1.:VxV~V

0: ~xV~V

Solutie:

x .1 Y = xy (Iegea interna)

a 0 x = xa (Iegea externa)

Aratam mai 'Intai ca (V, .1) este grup abelian ~i apoi ca

legea de compozitie 0 : ~ x V ~ V, a 0 x = xa. , verifica axiomele:

1. (a + ~) 0 x = (ao x) 1. (~o x);

2. a 0 (x.1 y) = (ao x) 1. (ao V); (V) a,~ E lR\, (V) x, Y E V 3. a 0 (~o x) = (a~)o x;

12


4. :3 1 E ~ a.l. (V) x E V, 1 0 x = x. • (V) x, Y E V = lR\:=> x > 0 , y> 0 => xy >0 => x.1 y E~: = V,

deci legea ".1" este interna;

• (V) x, Y E V =~: (x .1 y) 1. z = xy .1 z = (xy)z = x(yz) = x

.1 (yz) = x .1 (y .1 Z), deci legea ".1" este asociativa;

• :3 1 E V =~: I (V) x E V =lR\: 1 .1 x = 1·x = x = x·1 = x .11, deci

1 este elementul pentru legea ".1";

• (V) x E V=~· :3! E R*=Vastfel'lncatx.1 !=x.! =1 = + I + X X X

=!.x = !.1 x, deci ! este simetricullui x fata de legea "1."; x x x

• (V) x, Y E V =lR\: x 1. Y = xy = yx = Y .1 x, deci legea este ~i comutativa.

Rezulta deci ca (V, .1) este grup abelian.

Totodata, (V) x E V =lR\: (V) a E ~ a 0 x = XU E ~: = V Sa verificam acum axiomele 1 - 4.

1: (V) a, ~ E~, (V) X E V, (a + ~) 0 x = xa.+~ = xo. . x~ = xo. .1 x~ ==

= (ao x) 1. (~o x)

2: (V) a E lR\, ('if) x, y E V, a 0 (x 1. y) == a 0 (xy) = (xyr'" ::: xayu = = (ao x) 1. (ao y)

3: (V) a,~ E ~, (V) X E V, a 0 (~o x) == a 0 (xP) = (xPt == == xup (a~)ox

4: :3 1 E ~, (V) X E V, 1 0 x = x1 == X.

2. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K §i <p : V ~ V o bijec1ie a lui V. Sa se arate ca legile:

ffi: V x V ~ V x ffi Y = cp(cp-1 (x) + cp-1 (y» *: KxV ~ V a * x = cp(acp-1 (x» definesc pe V 0 structura de spa1iu vectorial peste corpul K.

13


Solutie: Verificam axiomele grupului pentru (V, ffi).

• (\I) x, Y E V ~ q>-1 (x), q>-1 (y) E V => q>-1 (x) + q>-1 (y) E V => q>(q>-1 (x) + q>-1 (y» E v => x ffi Y EV.

• (\I) x, y, Z E V, (x ffi y) ffi z = q>(<p-1 (x) + q>-1 (y» ffi z = = <p[<p-1(<p(<p-1 (x) + <p-1 (y») + <p-1(Z)] = <p(<p-1 (x) + q>-1 (y) + + <p-\z» = <p[q>-1(X) + <p-1(<p(<p-1 (y) + q>-1(Z»)]= <p(<p-1 (x) + + <p-1(y EB z» = x ffi (y EB z) deci legea EB e asociativa.

• j e E V a.i x ffi e = e EB x = x (V) X E V x EB e = <p(<p-1 (x) + <p-1 (e» = q>(<p-1 (e) + <p-1 (x» = e Ef) x x EB e = x<=> <p(<p-1 (x) + <p-1 (e» = x<=> <p-1 (x) + <p-1 (e) = <p-1 (x) <=> <p-1 (e) = Ov <=> e = q>(Ov) E V este elementul neutru.

• (V) x E V, j x' EVa. i. x EB x' = x' ffi x = e x EB x' = q>(<p-1 (x) + <p-1 (x'» = <p(<p-1 (x') + <p-1 (x» = x' EB x x EB x' = e <=> <p(<p-1 (x) + <p-1 (x'» = e <=> <p-1 (x) + <p-1 (x') = = <p-1(e). Dar <p-1 (e) = Ov => <p-1 (x') = _<p-1 (x) => x' = -x E V (din proprietatile spatiului vectorial. Deci x' = -x este simetricullui x fata de legea €f).

• (\I) x, Y E V, x ffi Y = <p (<p-1 (x) + <p-1 (y» = <p(<p-1 (y) + <p-1 (x» = = y Ef) x adica legea ffi este comutativa. Rezulta ca \V, EB) este grup abelian. Avem: (\I) x E V, (\I) a E K, <p-1 (x) E V «p bijectie) => a<p-1 (x) E V «V, K) spatiu vectorial) => <p(a<p-1 (x» E V. Verificam cele 4 axiome:

1. (a + ~) * x = (a* x) Ef) (~ * x); 2. a * (x ffi y) = (a* x) ffi (a* y); (\I) a,~ E K, (\I) x, Y E V 3. a * (~* x) = (a~)*x; 4. j 1 E K a.i. (\I) x E V, 1 *x = x. Avem: 1: (a + ~) * X = q>«a + ~) <p-1(X» = <p(a<p-\x) + ~<p-\x» =

= <p(<p-1(a* x) + <p-1(~* x» = (a* x) ffi (~* x), (\I) a,~ E K, (\I) x E V

2: a*(x ffi y)= a * <p(<p-1(X) + <p-1(y» = <p[a<p-1 (<p(<p-1 (x) + <p-\y»)] = 14


= r[a(q>-1(x) + <p-1(y))] = <p(a<p-1(x) + a<p-\Y» = <p(<p"1(a~ . x) + <p- (a* y» = (a* x) ffi (a* x) (\I) a E K, (\I) X,YE V

3: a * (~* x) = <p(a<p-1W*x» = <p[a(q>-1<p(~<p-1(x»)] = <p(a~<p-1(x» = (a~)* x (\f) a,~ E K, (V) X E V

4: j 1E K a.i. (\I) x E V, 1*x = <p(1.<p-1(X» = <p(q>-1(X» = x

3. Sa se arate ca multimea K[x] a polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in corpul K este spatiu vectorial peste corpul K in raport cu adunarea polinoamelor ~i inmultirea polinoamelor cu un scalar din K. '

Indicatie: Se considera polinoamele f, g, h E K[x] f = ao + a1X + ... + anXn, an *- 0 9 = bo + b1X + ... + bmXm, bm *- 0 h = Co + C1 X + ... + cpXP, cp:;t 0

~i fara a scadea generalitatea se poate presupune m s; n s; p. Se arata Tntai ca impreuna cu adunarea polinoamelor, K[x] formeaza grup abelian, apoi se verifica 1 - 4 aplicand proprietatile adunarii ~i Tnmultirii din K ~i definitia adunarii polinoamelor ~i' a Tnmultirii dintre un scalar din K ~i un polinom. '

4. Fie (V, ~) un spatiu vectorial real ~i fie Cv = V x V. Definim operatiile: .

+ : Cv x Cv ~ Cv (X1, Y1) + (X2, Y2) = (X1 + X2, Y1 + Y2)

• : <C x Cv ~ Cv a(x, y) = (ax - by, by + ay)

unde a E <C, a = a + bj, a, b E ~.

Sa se arate ca (cV, <C) este spatiu vectorial (se nume~te complexificatul spatiului vectorial V).

Solutie: Arata'm ca (cV, +) este grup abelian. (\I) (X1, Y1) E CV, (X2, Y2) E Cv => X1, X2, Y1, Y2 E V => X1+ X2 ,Y1 + Y2 E V=> (X1 + X2, Y1 + Y2) E Cv

• (\I) (X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y3) E Cv

15

Spa1i i vectoriale Capitolul1

[(X1, Y1) + (X2, Y2)] + (X3, Y3) = (X1, Y1) + [ (X2, Y2) + (X3, Y3)] din asociativitatea adunarii in V.

• 3(Ov, Ov) E Cv a. i. ('vi) (x, y) E Cv (x, y) + (Ov, Ov) = (Ov, Ov) + (x, y) :::: (x, y)

• ('vi) (x, y) E CV, 3 (-x, -y) E Cv a. i. (x, y) + (-x, -y) = (-x, -y) + (x, y) :::: (Ov, Ov)

• ('vi) (X1, Y1) E CV, (X2, Y2) E Cv (X1, Y1) + (X2, Y2) :::: (X2, Y2) + (X1, Y1) din comutativitatea adunarii in V. Evident, (ax - by, by + ay) E cV. Verificam in continuare axiomele 1 - 4.

1. (a + B)(x, y) = a(x, y) + B(x,y); ('vi) a,B E (, ('vi) (x, y) E Cv

2. a[(x1, Y1) + (X2, Y2)] = a(x1, Y1) + a(x2, Y2), ('vi) a E (, §i ('vi) (X1, Y1), (X2, Y2) E Cv

3. a·(B(x, y» = (a·B)(x, y); ('vi) a,B E (, ('vi) (x, y) E Cv

4. 3 1 E C 1·(x, y) :::: (x, y), ('vi) (x, y) E Cv

Fie a:::: a1 + b1i, B :::: a2 + b2i a1, a2, b1, b2 E ~ 1: (a + B)(x, y) = [a1 + a2 + (b1 + b2)i](x, y) ::::

= [(a1 + a2)x - (b1 + b2)y, (b1 + b2)x + (a1 + a2)y] :::: = [(a1x - b1Y) + (a2x - b2Y), (b1X + a1Y) + (b2X + a2Y)] ::::

:::: (a1x - b1y), (b1X + a1Y) + (a2x - bzY), (b2X + azY) :::: = a(x,y) + B(x,y)

2: a[(x1, Y1) + (X2, Y2)] = a(x1 + X2, Y1 + Y2) :::: (a1(x1 + X2) - b1(Y1 + Y2), b1(X1+ X2) + a1(Y1 + Y2) :::: «a1x1 - b1Y1) + (a1x2 - b1yz), (b1X1 + a1Y1) + (b1x2 + a1Y2» = (a1 x1 - b1Y1, b1X1 + a1Y1) + + (~1XZ - b1Y2, (b1x2 + a1Y2) :::: a(x1, Y1) + a(x2, Y2)

3: a[B(x,Y)1 :::: a(a2x -b2Y, b2x + a2Y) :::: ::::(a1(aZx -b2y) - b1(b2x + azY), b1(aZx -b2Y) + a1(b2x + a2Y»:::: = [(a1a2 - b1b2)X - (a1b2 + b1a2)Y, (a1b2 + b1a2)X + (a1 a2 -b1b2)Y] = (ax - by, ax + by) :::: (aB).(x, y) unde am notat: a :::: a1a2 - b1b2

16


b:::: a1b2 + b1a2 §i am aplicat aB = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + + b1 a2)i

4: 1 = 1 + O·i ~ 1·(x, y) = (1 ·x- O·y, O·x + 1·y):::: (x, y) ~

~ (cV, C) spatiu vectorial.

5. Fie V = {A E rfb.(C)/A(u, v) :::: (_Uv

~), U :::: a + bi E C,

v:::: C + di E C, a, b, c, d, E ~} Definim legea interna:

+: V x V ~ V (u~ :1) + ( U..: -VI u l -v2

§i legea externa: e: R x V ~ V a·A(u,v) = A (au, av) Sa se arate ca multimea V inzestrata cu legile introduse

formeaza spatiu vectorial peste corpul ~. Solu1ie: (V, +) formeaza grup abelian. Intr-adevar, ('vi) A(U1, V1), A(U2, V2) E V cu: U1 = a1 + b1i V1 :::: C1 + d1i U2 = a2 + b2i Vz:::: C2 + d2i

rezulta u§or A(U1, V1) + A(U2, V2) :::: A(U1 + U2, V1 + V2) E V Se verifica imediat asociativitatea, existenta elementului

neutru 0 = A(O, 0), se determina simetricul oricarui element A(u ,v) ca fiind A(-u, -v) §i se arata comutativitatea. De asemenea, ('vi)

aE~ §i ('vi) A(u,v) EVavem aA(u,v) = A(au, av) EV. Sa verificam acum axiomele opera1iei externe:

1. (a + B)A = aA + BA ('vi) a , p E ~, ('vi) A E V; 2. a(A(u1, V1) + A (U2, V2» :::: aA(U1, V1) + a A (U2, V2),

('vi) a E ~, ('vi) A E V;

17


3. a(pA) ;:: (a~)A (V) a, ~ E I}.t , (V) A E V;

4. :3 1 E IR, 1·A;:: A (V) A E V; 1: (a + ~)A(u, v) ;:: A «a + ~)u, (a + ~)v) ;:: A (au + ~u, av + ~v)

;:: A (au, av) + A (~u, ~v) ;:: a A(u, v) + ~A(u, v) 2: a(A(ul, V1) + A (U2, V2» ;:: etA(Ul + U2, Vl + V2) ;:: A (aul + aU2,

aV1 + aV2) ;:: A (aul, aVl) + A(au2, aV2) ::: etA(Ul, Vl) + + etA (uz, vz)

3: a(p A(u, v» ::: aA (pu, ~v) ::: A (a~u, a~v) ::: (ap) A(u, v)

4: :3 1 E I}.t a.i. 1·A(u, v) ::: A(1·u, 1·v) ::: A(u,v)

6. Fie V ;I; 0 un spatiu vectorial cu un numar finit de vectori peste un corp K. Sa se arate ca exista un numar prim p > 0, unic determinat, astfel incat px ;:: 0, pa ::: 0 (V) X E V ~i (V) a E K.

Solutie: Fie v E V, V;l; O. Definim aplicatie f: K ~ V, f(a) = av (V) al, a2 E K, f(al) ::: f(a2) => alV = a2V, v * 0 => al = a2

=> f este aplicatie injectiva. Atunci, din V finit rezulta K - corp finit ~i fie p caracteristica

corpului K (cel mai mic numar intreg pozitiv, astfel incat P·1K = 0). Avem p . a::: 0 (V) a E K ~i (V) x E V: px;:: x+x+ ... +x ::: 1·x + 1·x + ... + 1·x = (1+ 1+ ... +I)x = ~ ~

~poo ~p~

= (p·1)·x = Ox::: O.

1.2.2. Sistem liniar independent, sistem de generatori, baza, dimensiune, spatii vectoriale finit-dimensionale

7. Sa se studieze natura urmatoarelor sisteme de vectori

din (IRZn, IRZ) ~i in caz de liniar dependenta sa se determine 0

combinatie liniara nula a lor cu nu toti scalarii nuli. 18

Spatii vectoriale

a) n ::: 3, b) n ::: 3, c) n ::: 4,

d) n ::: 4,

Solutie:

Capitolul1

e1 = (1,1,2)\ e2 = (1, 2,1)\ e3 = (2,1, 1)t e1 = (1,1,2)\ e2::: (1, 2, 1)t e1 ::: (1,0, -1 , 2)\ e2::: (1,3, -1, -1)\ e3::: (-1, -2,1, O)t e1 ::: (1,3, -1, -it e2;:: (-1, -2,1,0)\ e3;:: (1, 0, -1,2) ,e4 ;:: (1, 1, 0, O)t

a) Consideram 0 combinatie liniara nula a celor 3 vectori:

alel + a2e2 + a3e3 ::: 0R3 cu a1, a2, a3 E I}.t

(IJ (IJ (2J (OJ {al + a2

+ 2a3

= ° ¢:> at 1 + a2 2 + a3 1 = ° ¢:> al + 2a2 + a3 = °

2 1 1 ° 2a1 + a 2 + a 3 = ° Am obtinut un sistem omogen de trei ecuatii cu ·trei

necunoscute, totdeauna compatibil (admite solutia banala, 0.1 = <X2

::: a3::: 0). Fie 6 determinantul sistemului.

1 1 2

/). = 1 2 1 =-4*0

2 1 1

=> Sistemul admite solutie unica, solutie banala, deci: alel + a2e2 + a3e3 = 0R3 ¢:> al ;:: a2 ;:: a3 = 0).

adica: {el, e2, e3} este sistem de vectori liniar independenti. Altfel : Se considera matricea A formata cu componentele

vectorilor ~i se calculeaza rangul matricei. Daca rangA ::: numarul vectorilor, atunci vectorii sunt liniar independenti, iar daca rang A < numarul vectorilor atunci vectorii sunt liniar dependenti.

b) Formam matricea cu componentele vectorilor:

19


\~ ~\ = 1 7: 0 ~ rang A = 2 :.: numfuul vectorilor ~

{e1, e2} iiniar independent. . c) Fie A matricea formata cu componentele vectonlor:

1 1 -1

o 3 -2 A == -1 -1 1 , 1 ~ rangA ~ 3

2 -1 0

1112 == 1 1 == 3 -:f. O. Bordand acest minor de ordin 2 nenul o 3

obtinem determinantii: . . 1 1 -1 1 1 -1

/l{3 = 0 3 -2 =0 /).23 = 0 3 -2 =0

-1 -1 1 2 -1 0

=> rangA = 2 < 3 = numarul vectorilor => vectorii e1, e2, e3 sunt liniar dependenti. .

Pentru a determina 0 combinatie liniara nula a lor cu nu totl scalarii nUli, scriem combinatia liniara:

a,1 e1 + a,2e2 + a,3e3 = 0R4 a,1 E /R{, i = 1,3

1 " r 1 --121 = ro~ at + a2

- a3

== 0 o J 3 3a2 - 2a3 = 0

<=> a 1 _ 1 + a 2l' -1 + a3 <=> - a1

- a2

+ a3

== 0

2 - 1 0 ~ 0 2a1 - a2 == 0

. Sistemul obtinut este compatibil nedeterminat, deoarece

1 1 1 0 . rangA = 2, determinantul principal fiind /).2 = 0 3 = 3 * O. eCI a,1,

20


a,2 vor fi necunoscutele principale ~i primele doua ecuatii, ecuatii principale:

Solutiile sistemului sunt (ex, 2a" 3a,), a, E /R{. Inlocuind In combinatia liniara, obtinem pentru a, = 1 relatia:

e1 + 2e2 + 3e3 = OR' care reprezinta dependenta liniara a

vectorilor e1, e2, e3 . d) Observam ca vectorii e1, e2, e3 sunt vectorii de la punctul

c) scri~i In alta ardine, deci avem: 81 + 2e2 + 3e3 = OR. Putem forma deci combinatia liniara

nula:e1+2e2+3e3+0·e4 = O~4 cu nu toti scalarii nuli, adica vectorii e1, e2, e3, e4 sunt liniar dependenti.

8. Fie vectorii Vi, V2, V3 liniar independenti In spatiul vectorial V peste corpul K. Sa se studieze natura urmatoarelor sisteme de vectori:

a) {Vi + 2V2, V2 + 2V3, V3 + 2V1} b) {2V1- V2 - V3, 2V2 - V3 - Vi, 2V3 - Vi - V2} Solutie: a) Formam 0 combinatie liniara nula a vectorilor cu scalarii

a,1, a,2, a,3 E K: a,1(V1 + 2V2) + a,2(V2 + 2V3) + a,3(V3 + 2V1) = Ov Punem apoi membrul stang sub forma unei combinatii

liniare de Vi, V2, V3 despre care ~tim ca sunt liniar independenti, deci avem:

{a,1 + 2a,3)V1 + (a,2 + 2(1)V2 + (a,3 + 2a,2)V3 = Ov

21


ra1+ 2a3 ==O

<=> i 2a1 + a 2 = 0

l 2a2 + a3 = 0 Am obtinut un sistem omogen cu determinantul

1 2

t. == 2 1 1 = 4 =f; 0 deci compatibiJ determinat, solutia unica fiind

1 2 I! solutia banala a1 ::: az ::: a3 ::: O.

Avem deci: U1(V1 + 2V2) + a2(v2 + 2V3) + a3(v3 + 2V1) ::: Ov <=> a1 ::: a2 ::: a3 ::: 0 adica { V1 + 2V2, V2 + 2V3, V3 + 2V1} este

sistem de vectori liniar independenti. b) Printr-un procedeu analog celui de la punctul a) obtinem

sistemul: f 20.) - 0. 2 - <Xl = 0

1-0.) +20.1-0.) = 0

-<X ) - 0. 2 +20.) = 0

2 -1 -1

al carui determinant este t. == - 1 2 -1::::: 0, adica sistemul este

-1 -1 2

compatibil nedeterminat, deci admite ~i alte solutii in afara solutiei banale ~i rezuita ca vectorii 2V1 - V2 - v3,2v2 -V3-V1, 2V3 - V1 - V2 sunt liniar dependenti.

2 -11 == 3 =f; 0 => putem alege a1, a2 - necunoscute -1 2

I

principale ~i primele doua ecuatii - ecuatii principale.

. . { 2a1 - a 2 = a 3 Obtlnem. _ -I- _ => a1 == a 3 , a 2 = a 3 a 1 • 2a2 - a 3

Solutiile acestui sistem sunt tripletele (a,a,a), cu a E K. Pentru a ::: 1 obtinem combinatia liniara: . . (2V1 - Vz - V3) + (2V2 - V3 - V1) + (2V3 - V1 - V2) ::: Ov.

22


9. In spatiul vectorial (1F?3, IF?) se considera vectorii V1 ::: (1, a,

-a)\ V2 ::: (a, 1 +a, 0)\ V3 ::: (0, a, 1 )t. Sa se determine a E IR<. pentru care vectorii V1, V2, V3 sunt liniar dependenti.

Solutie: Fie a1, a2, U3 E IR<. astfelincat a1Vl + a2V2 + a3V3::: 0 3 •

R

Vectori; V1, V2, V3 sunt liniar dependenti pentru acele valori ale lui a pentru care sistemul:

(a +aa =0

~ a~) + (12+ a)a2 + aa) = 0

l-- a.a) + a) == 0

admite ~i solutii nebanale, deci pentru care determinantul sistemului este nul.

I a 0 t.= a l+a a :::::1+a-a3 _a2 =(1+a)2(1-a)

-a 0 1

t. = 0 <=> (1 + a)2(1- a) = 0 => a E {-I,I}

10. Sa se arate ca urmatoarele sisteme de vectori sunt

liniar independente in spatiul (IR<. , 0.). a) {I,J2} b) {1,V2,\f4} Solu\ie: a) Consideram 0 combinatie liniara nula a vectorilor 1, J2. a . 1 + P . J2 = 0 cu a, p E 0.

Daca p =f; 0 atunci Ji::: - ; E 0. - fals, deoarece Ji ~ Q.

Oed r~ ::: 0. => a ·1 = 0 => a = O.

Rezulta deci ca 1 l?i J2 sunt liniar independenti Tn (IR? , Q) .

23


b) Formam combinatia liniara nula a·1 + pVi + yV4 = 0 (1)

cu a , f), y E Q. c ~ri 3{;; 0 (2) inmultind cu ?.;2 obtinem: 2y + p~4 + av 2 = . .. Inmultind acum (1) cu f) §i (2) cu y §i scazand apol ecuatlile

astfel obtinute, rezulta:

(o.~ - 21) + (p2 -o.y)V2 = a <=> {ap - 2y2 = 0 deoarece 1 !}i

p2 -ay = 0

Vi sunt liniar independenti in (~,Q) (se de~~mstre.aza i~ la punctul a». Din prima ecuatie obtinem o.

2p2 = 4y . InlocUind P - ay

bt' 3 - 4y4 Daca y -:f:- a atunci V4 = a E Q, fals. Deci y = O. o ,mem a y - . y

Rezulta atunci ~ = a §i din (1) a = a. Deci 1, ifi, if4 sunt liniar

independenti in (~, Q).

11. Determinati valorile parametrului A E ~ pentru care 'in

spatiul vectorial (V, ~) au loc implicatiile: , a) {V11 V2} liniar independent => {AV1 + V2. V1+AV2} liniar

independent. b) {V11 V2 •. ,. I vn} liniar independent => {V1. + V2. V2 + V3, ... .

Vn-1 + vn, Vn + AV1} Iiniar independent. Solutie: . . , v • •

a) Formam 0 combinatle hmara nula a vectonlor AV1 + V2 ~I

V1 + AV2, cu scalari din ~: a1(AV1 + V2) + a2(V1 + AV2) = ° 0.1, a1 E ~ <=> (a1A + (2)V1 + (0.1 + a2A)V2 = Ov Presupunem {V11 V2} liniar independent. v • •

Atunci , din egalitatea preeedenta, rezulta slstemul omogen.

{a1A+a2 = 0

a1 + a2 A = 0 . v A r

Pentru ea veetorii AV1 + V2 ~I V1. + AV2 sa fie la r~ndul I.o~ liniar independenti trebuie ca aeest slstem omogen sa admlta

24


numai solutia banala, 0.1 = 0.2 = 0. Acest lucru se realizeaza daca determinantul sistemului este nenuJ.

Pentru A E ~ \ {± 1} are loc implicatia de la punctul a}. b) Formam 0 eombinatie liniara nula a vectorilor V1 + V2, V2

+ V3, ... , Vn-1 + vn, Vn + AV1 cu sealarii a1, 0.2, ... , an E ~: a1(V1 + V2) + a2(V2 + V3) + ... + an-1(Vn-1 + Vn) + an(vn + AV1) = Ov

¢:> (0.1 + Aan)V1 + (a1 + (2)V2 + (a2 + (3)V3 + .. . + (an-1 + an)V" = av. Daca V1, V2, ... , Vn sunt liniar independenti, atunei relatia

precedenta are loe numai eu scalarii toti nUIi, adica:

0. 1 + A.a. =0

0. 1 +0. 2 =0

0. 2 +0. 3 =0

<X.: •. \ +0.. =0 Am obtinut un sistem omogen care admite solutie unica -

')olutia banala - daca determinantul sistemului este nenul.

1 0 0 ... 0 A.

1 1 0 ... 0 0 o 1 I ... 0 0

L\ = = 1 + ( _1) '+n . A. daca dezvoltam dupa

.. .1 0

o 0 0 .. .1 1 prima linie.

il-:f:-O<=>A-:f:-(-1)",nE ~

12. Fie (V, ~) spatiul vectorial al functiilor reale §i continue. se arate ca urmatoarele sisteme de functii sunt liniar

hldependente pe orice interval real I c ~. a) {sin x, cos x}

25


b) {1, sin X, cos x} c) {sin x, sin 2x, ... , sin nx} d) {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... , cos nx, sin nx}

{1 ' . 2 . n } e) ,Sin X, Sin X, ... , sin X

Solutie: a) Consideram 0 combinatie liniara nula a vectorilor sin X ~i

cos X pe un interval oarecare I c IW.. asin X + \3cox x = Ov (V) X E I Prin derivare In raport cu x, obtinem: aCOS X - \3sin X = Ov

{asinx+(3cOSx=ov

Rezulta sistemul : A • 0 In a,\3 E IW. (lCosx-..,smx= v

smx cosx J}.= =-sin2 x-cos2 x=-I;t;.O

cosx -sinx Deci sistemul admite solutie unica, solutia banala: a = \3 = 0,

adica sistemul de vectori {sin x, cos x} este liniar independent. b) Fie combinatia liniara nulit a.1 + \3 sin X + Y cos X = Ov (V) X E 1 c IW. ' . Derivand aceasta relatie de doua ori In raport cu x, obtlnem

Inca doua egalitati similare cu care formam sistemul:

{

a. 1 + flsin x + r cos x = Ov

flcosx - r sin x = Ov

- fl sin x - r cos x = 0 v

1 sinx cosx . I cosx /). = 0 cosx -smx = .

-smx o -sinx -cosx

-SinXI = -cos2 x-sin 2 X = -1 '* 0 -cosx

=> solutia unica este a = \3 = y = 0 => Sistemul {1, sin x, cos x} este liniar independent. . .

. c) Se verifica mai Intai ca sistemul {sin x, sin 2x} este hmar independent dupa modelul de la subpunctele precedente.

26


Aplicam inductia matematica: presupunem ca sistemul: {sin x, sin 2x, ... , sin(n-1)x} este liniar independent ~i consideram combinatia liniara nula:

a1sin X + a2sin 2x + ... + an_1sin(n-1) X + ansin nx = OVI

('if) X E I c IW.. Derivam de doua ori relatia precedenta ~i obtinem: -a1sin X - 22a2sin 2x - ... - an-1sin (n-1) x + ansin nx = Ov. o combinatie liniara Intre cele doua relatii ne permite sa

eliminam sin nx, obtinand: (n2_1) a, sin X + (n2_22) a2sin 2x + ... +[n2_(n_1)2] an-1sin (n-1)x = Ov.

Conform presupunerii facute, sistemul: {sin x, sin 2x, ... I sin(n~ 1) x} ('if) X E I este liniar independent deci combinatia Iiniara nula de mai sus nu poate avea loc decat cu scalarii toti nuli. Rezulta:

(n2 -1)a.1 =0

(n2 -22)<12 = 0

(n2 -(n -IY )<10_1 = 0

(X'1=a2= ... =an-1=0 => ansin nx = Ov => an =0 (V) X E I Rezulta deci ca ~i sistemul {sin x, sin 2x, ... , sin nx} este

liniar independent. d) Procedam ca la subpunctul precedent. Sistemul {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, '''1 cos (n-1)x, sin

(n-1)x} este liniar independent ~i consideram combinatia liniara Ilula: .

aO+a1cos X + \31sin X + a2COS 2x + \32sin 2x + ... + anCOS nx + Ilnsin nx = Ov ('if) X E I

Derivam de doua ori ~i obtmem: , -a1COS X - !31sin X - 2a2cos 2x - 2P2sin 2x -... -nancos nx-

1\lIsin nx = Ov. Eliminam sin nx Intre cele doua relatii ~i obtinem:

27


ao+(n-1)(a1cos x + ~1sin x) + (n-2)(a2coS 2x + ~2sin 2x) + ... + an_1COS (n-1)x + ~n-1sin (n-1)x = Ov .

$i din independenta liniara a sistemului {1, cos X, Sin X, ... ,

cos (n-1)x, sin (n-1)x} rezulta scalarii toti nuli, adica:

0. 0 =0

(n-l)al =(n-l)Pl =0 (n - 2)0.

2 == (n - 2)P2 = 0 <=> 0. 0 = 0, 0.1 = PI = 0, ... , 0..,1 = P.-l = 0

20.._2 = 2P._2 = 0 0.._1 = P.-l = 0

=> ancOS nx + ~nsin nx = Ov ("if) x E I Derivand !?i aceasta ultima relatie, obtinem: -nansin nx+n~ncos nx = Ov (\I) XE k::> -ansin nX+~ncos x= Ov Deci avem sistemul:

{an cosnx + Pn sin nx = Oy

- an sin nx + Pn cosnx = Ov

cos nx sin nx 2 • 2 0 11 = = cos nx + sm nx = 1:F- .

- sin nx cos nx 80lutia unica a sistemului este deci solutia banala. an=~n= O. Ave~ deci, 0.0 = a1=~1= ... = an=~n= 0, adica sistemul: ..

{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... , cos nx, sin nx} este IJmar independent.

e) Consideram combinatia liniara nula: 0.0.1 +0.1 sin x + a2sin2x"!" ... + ansinnx = Ov (\I) x E I Derivand,obtinem: a1cos x+2a2~in x cos x+ ... + nansinn-1x cos x = Ov ("if) x E I

. . ~1 0 ¢::> a1+2a2SIn x+ ... + nansln x = v

8e arata imediat ca {1, sin x} este sistem Iiniar independent !?i, presupunand sistemul {1, sin X, ... , sinn-1x} liniar independent, rezulta din ultima relatie:

0.1 = 0.2 = ... =an = 0 l}i rezulta apoi 0.0.1 = Ov.deci 0.0 = o ... Deci l}i sistemul {1, sin x, sin2x, ... , Slnnx} este IJmar

independent. \

28

patii vectoriale Capitolul1

Observatie: Pe parcursul solutiei, am utilizat derivabilitatea pentru a

• rata ca 0 relatie de independenta a func1iilor f1, f2, ... , fn-1 are <irept consecin1a independenta functiilor f1, f2, ... , fn.

Aceasta revine la plasarea pe spatiul functiilor de clasa c2, • subspatiului functiilor continue, tinand cont ca independenta intr-un ubspatiu necesita independenta In spa1iullnsu!?i.

13. Fie spatiul vectorial (V,K). 8a se arate ca: a) Orice suprasistem 8' al unui sistem liniar dependent 8 c

V este liniar dependent «\1)8' c V, 8 c 8', 8 liniar dependent => 8' liniar dependent).

b) Orice sUbsistem S' al unui sistem Iiniar independent S c V este liniar independent. «\1)8' c V, 8' c S, S liniar independent => S' liniar independent) .

Solutie: a) 8 fiind liniar dependent, exista 0 combinatie liniara nula a

VI ctorilor sistemului cu nu toti scalarii nuli. Considerand pentru toti VI ctorii din S' \ 8 scalari nUIi, obtinem 0 combinatie liniara nula cu 1111 toti scalarii nuli, a vectorilor din S'. Rezulta ca 8' este liniar lit pendent.

b) Presupunem ca S' este liniar dependent. Cum 8' c 8, II l ulta ca 8 este suprasistem allui S' care este liniar dependent. (onform punctului a) rezulta ca l}i 8 este liniar dependent. ( ,()lltradictie.

Presupunerea facuta este deci falsa !?i rezulta S' liniar It Id pendent.

Observatie: Sistemul de vectori de la problema 6b) este un subsistem al

rnului de la6a), iar sistemul de vectori de la 6d) este un lilli ' sistem al sistemului de la punctul 6c). De asemenea,

It rnul de la punctul c) al problemei precedente poate fi privit ca

29


un subsistem al sistemului de la punctul d), rezultand ~i in alt mod (indirect) independenta sa liniara.

14. Sa se arate ca: ... a) Oaca la un sistem de generatori al unUi spat1u. vectorial

se adau9a un vector, se obtine tot un slstem de

generatori; .. . b) Oaca dintr-un sistem de generaton al unUi spat1u

vectorial se exclude un vector liniar dependent de ceilalti se obtine tot un sistem de generatori. .' .

Solutie: . II . Fie spatiul vectorial (V, K) ~i G un ~istem de ge~era~orl. a. UI

V. Atunci orice vector din V se poate sene ca 0 combJnatle hmara fin ita de vectori din G, cu scalari din K.

~ ('vi) v E V, (3) 91, 92, ... , 9n E G ~i (3) a1, a2, ... , an E K n

astfel incat v = L ajg j . j ~l

Fie 9 E V. Avem: v = a191+a292+··· +an9n+0.~ adica v este combinatie liniara de vectorii sistemului G '-! {9}, de~1 G v {9} este sistem de generatori. Procedeul poate ~o~tJnua.' declyutem afirm~ ca orice suprasistem (in sensul relat1el de Jnclu:,une) al unUi sistem de generatori este tot un sistem de gen~raton ..

b) Fie G sistem de generatori al spatiulUi. vectonal (V, K). Atunci ('vi) v E V, (3) 91, 92, ... , 9n E G~' (3) a1, a2, ... , an E

n

K astfel incat v = L ajg j •

j=l

Presupunem ca 9n este liniar dependent de 91, 92,···, 9n-1 ~ (3) 131, 132, ... , !3n-1 E K astfel incat 9n = 13191 + 13292 + ... + !3n-19n-1 :;_ v = U191+a292+ ... Un-19n-1+an(!3191 + 13292 + ... + !3n-19n-1) ~ -(a1+Un!31)91+(a2+an!32)92+ ... +(an-1 + un!3n-1)9n-1.

30


n-l

Oed (3) Yi = Ui + un!3i E K, i = 1, n -1 astfel incat v = L Yjgj

adica G \ {9n} este sistem de generatori.

15. Fie G= {91, 92, 93, 94, 95} un sistem de generatori pentru spatiul vectorial (V, K) de dimensiune n. Ce valori poate lua n daca 91 = 292 ~i 92 = 93+94+95?

Solutie: Mai intai, n ::; 5. 91 = 292+0.93+0.94+0.95 Cum 91 este liniar dependent de ceilalti vectori ai sistemului

I zulta (punctul b) problema anterioara) ca, eliminandu-I, obtinem tot un sistem de generatori. Oeci G' = {92, 93, 94, 95} este sistem d generatori. Procedam la fel cu vectorul 92 = 93+94+95 ~i

btinem sistemul de generatori Gil = {93, 94, 95}, care poate constitui 0 baza daca 93, 94, 95 sunt liniar independenti. Altfel, se (.( ntinua procedeul pana cand se obtine un sistem de generatori hlllar independent.

Concluzia este n ::; 3.

16. Fie G c ~.s, G = {91=(1,0,a)t. 92=(-1,1,0)\ 93=(0,1+a, 0)\ <14 (0,1 ,ail. Sa se determine valorile lui a pentru care G este

',I~t m de generatori al spatiului «(R?3, IR?) ~i pentru 0 astfel de v t\oare a parametrului a sa se extra9a 0 baza din G.

Solutie:

G este sistem de generatori pentru «(R?3, IR?) daca ('vi) x E (R?3,

X (X1,X2,X3)t, (3) U1, a2, a3, U4 E IR? astfel incat x = a191 + a292 + It Iq ·~ I- a494, adica sistemul:

{

a 1 -0.2 =x,

a2 +(1+a)a

3 +a. = X

2 este compatibil ('vi) X1,X2,X3 E (R?

aa t + aa •. = X;

31


Observam ca ~ = I~ . -:1 = 1 *- 0, deci 2 ~ rang A ~ 3.

Pe de alta parte, (3) X1, X2, X3 E R astfel incat rang A = 3 (de exemplu: X1= 0, X2= 0, X3 = 1, adica x = (0, 0, 1)t E R3 ). Deci pentru ca rangA = rang A (V) x E R3 trebuie ca rangA = 3.

Sa notam ~ijk minori de ordinul 3 formati cu coloanele i, j, k ale matricei sistemului (1 ~ i < j < k ~ 4).

1 -1 0 1 -1 0

~123 = 0 1 l+a = -a(l+a); ~12+ = 0 1 1 = 0;

a 0 0 a 0 a

1 0 0 -1 0 0

~Jl4 = 0 l+a 1 = a(l + a); ~234 = 0 l+a 1 = - a(l+a)

a 0 al 0 0 a

Pentru ca cel putin un ~ijk *- 0 trebuie ca a E ~ \ {-1, O}.

Deci G e sistem de generatori pentru (R3, R) daca a E ~ \ {-1, O}. Pentru a extrage 0 baza din G, e suficient sa alegem un a E

~ \ {-1, O} ~i orice 3 vectori gi, gj, gk pentru care ~ijk:l: O.

17. Sa se arate ca B = {(O, 1, 1)\ (1, 0, 1)\ (1, 1, O)t} est

baza in spatiul (~3, ~) ~i sa se determine coordonatele vectorulu v = (2, 6, 4)t in aceasta baza.

32

, pati i vectoriale CapitoluJ 1

Solutie: Tntr-un spatiu de dimensiune n, orice n vectori Iiniar

Ildep:nd~nti forn:eaza baza. Cum din (~3, ~) = 3 = card(B) I zulta ca e suficlent sa demonstram ca vectorii multimii B sunt IIniar independenti. .

Fie A matricea formata cu componentele vectoriJor. o 1 1 0 1 1

A = 1 0 1 det( A) = 1 0 1 = 2 :;t: 0

1 1 0 1 1 0

. rang(A) = 3 = numarul vectorilor => B sistem de vectori liniar ndependenti => B baza in (~3, ~).

Fie 0,1,0,2,0,3 coordo'natele vectorului v = (2,6, 4)t in baza B Avem:

an +a,[~)+a,[lJ ~m <:::> {a l a2++a~3=: 2

<:::> [~ ~ ~J[::) = [~J a , +a2 = 4 1 lOa 4

3 '---v----'............. '-.-'

A vB Vc:aOOJUC

18.!n spatiul (~3,~) ~onsideram baza B = {V1 = (1,1,1)\ V2 . ( : 1, 1~:V3=(-!, 1,2)}~lvectoriivs~t(2, 1,O)\ws=(O, 1,-1)t.

venflce daca vectorul x = (7, -1, 2) este combinatie liniara a v (IO~iJor. v §i w §i, in caz afirmativ, sa se determine aceasta I C Illlblnatle.

33


Solutie: Aflam coordonatele vectorilor v §i win baza canonica:

v ~2Vl +v, ~2m +[ ~I) {) w ~ v, - v, ~ [ ~ IJ -( -J ~ [ ~ ~J Cercetam daca v, w §i x sunt liniar dependenti.

rang[; _32 ~lJ = 2 < 3 = numarul vectorilor ~ vecto

3 -1 2

sunt liniar dependenti, deci x este combinatie liniara de v §i w.

{

4a+3P= 7 {4a+3f3 = 7 {a = 1 av + f3w = x <;::} a - 2f3 = -1 <;::} a _ 2f3 = -1 <;::} f3 = 1

• 3a - f3 = 2

Deci x = v + w.

19. in spatiul vectorial (m(~),~) se considera matricele:

E. =(~ ~), E2 =G ~). E3 =G ~), E4 =(~ ~) a) Sa se arate ca B = {E1, E 2, E 3, E 4} este baza in

(m (~),~)

b) Sa se reprezinte A = (-2 3) in baza B. 4 -2

Solutie: a) Trebuie sa ar~tam ca Beste sistem de generatori lini

independent pentru spatiul vectorial ( m (~), IR() ,

34


Deci:

i) u1E1 + u2E2 + U3E3 + U4E4 = 0 <;::} U1 = <X2 = <X3 = U4 = 0 unde 0 E m (~) e matricea nula.

ii) (\7') M = (: ~) E rib. (~) , j A1, A2, A3, A4 E ~ astfel

incat A1 E1 + A2E2 + A3E3 + A4 E 4 =M

i) alG~) + a,G ~) + a,G :J + a4(~ ~) ~ (~ ~) a l +a2 +a3 +a4 =0

a 2 +a3 +a4 = 0

a 2 +a3 = 0

a l +a3 = 0

Determinantul sistemului este L1 =

1 1

0 1

0 1

1 0

1 1

1 1

1 0 =1:;t:O

1 0 istemul admite solutia unica U1 = U2 = U3 = U4 = 0 ~

{E 1, E2, E3, E4} liniar independent. ii) Se obtine sistemul: ~ + A2 + ~ + A4 = a

~ +~ +A4 = b :;:; ell L1 = 1 :;t: 0 ~ "2 +'''3 = e

~ +~ =d

Sistemul este compatibil determinat, solutiile 1\ 1\', j = 1,4 conform regulii lui Cramer.

Beste §i sistem de generatori. Din i) §i ii) rezulta ca Beste baza a spatiului (rib. (R), R). b) Se rezolva sistemul:

35

Spatii vectoriale

A, + ~ + ~ + A,4 = -2

~ +~ +A,4 = 3

~+~ =4

+~ =-2

Capitolul1

20. Se considera spatiul vectorial (V, C) definit In problema 4. Sa se arate ca daca 8 = {e1, e2, .. . , en} este baza In (V, R), atunci 8' = {(e1, e1), (e2, e2), ... , (en, en)} este baza In ('V, C).

Solutie: i) Aratam ca 8' este sistem de generatori pentru (V, C),

adica: (V) (x, Y) E CV = V x V, (3) Uj E C, Uj = aj, + ibj, j = 1, n astfel n

Incat (x, Y) = Laj(ej,ej) j=1

n n .

~ (x, Y) = L(ajej - bjej, ajej + bjej) = L«aj - b)ej, (aj + b)e j=l j=l

~ (t (aj - b;lej, t (aj + b;lejJ

D

~x= L(aj-b)ej

n

Y = L(aj + b)e j j=l

Dar 8 este baza In (V, ~), deci vectorii x, Y E V se scriu In mod unic In aceasta baza:

36

'Pi til Vt ( lor ale Capitolul1

II

I {

Xj+Y· I b=x a= J

I ) _ j (''<i)j=l,n~ J 2 111, ' b., - Y x - y .

J b. = J J

J 2

(\i)j=l,n

' J +Y x-y. - 2-

J + J 2 J. j=~=>B'

I I III dl II' neratori.

II) AI t< m. ca !3' ~~te Ji sistem de vectori liniar independenti. I "" II III II I mnblnatle "mara nula: .

( .1 - b.)e=O I J J V {a. -b = 0 I I J j -

", ~ j=l,n ( I , + b .)e . = 0 a j + b j = 0

J J V

I, h , = O~uj=O (\i)j=I:n~B'

V (Iori liniar independenti.

II, ) I Ii) rezulta 8' baza a spatiului (cV, C), deci: II 111(' V, I() dim(V, ~). .

I I I I (~n[X],~) spat~u.' ve~torial al polinoamelor de grad ::; II I IIlIinata X cu coeflclentl reali. Sa se arate ca:

37


a) 1, X, X2, ... , Xn forrneaza baza in (~n[x], ~), deci din

(~n[x], ~) - n+1. b) 1, X-a, (X-a)2, .. . , (X-a)n formeaza baza in (~n[x], ~) §i

sa se determine coordonatele unui vector f E ~n[x] in aceasta baza, a fiind un numar real fixat.

Solu~ie: a) Rezulta imediat ca {1, X, X2, ... , Xn} este sistem de

generatori, deoarece (\7') f E ~n[x], f = ao, a1X + a2X2 + ... + anXn cu ao, a1, .. . I an scalari reali.

Totodata, (lo1 + (l1X + (l2X2 + ... + UnXn = 0Rn[X) (polinomul

nUl) ¢:::> ao = a1 = a2 = ... = an = 0 prin identificarea coeficientilor. Deci {1, X, X2, ... , X"} este baza in spatiul polinoamelor de

grad cel mult n §i se nume§te baza conica, iar din (~n[x], ~) = n+1. b) Fie B' = {1 , x-a, (x-a)2, ... , (x-a)"}. Conform cu punctul a)

1, X, X2, ... , X" formeaza baza in (~n[x], ~) adica sistem de generatori minimal in raport cu s;;. Deci orice sistem de generatori

de cardinal n+1 constituie 0 baza a spatiului (~n[x], ~). inseamna ca este suficient sa aratam ca 1, X-a, (X_a)2, "'1 (X-a)" este sistem de generatori.

(\7') f E (~n[xl, ~), f = ao, a1X + a2X2

+ .,. + anXn

(3) bo, b1, ... , bn E ~ astfel incat f = bo + b1(x-a) + b2(x-a)2 + ... + bn(x-a)n. Avem deci f = ao, a1X + a2X2 + ... + anXn = bo + b1(x-a) +

b2(x-a)2 + .. , + bn(x-a)". Derivand relatia precedenta de n ori §i dand succesiv lui X

valoarea a obtinem: _ _ _ ffl(a) _ f(n)(a) I

bo - f(a), b1 - f(a), b2 - --, ... , bn - => Beste 2! n!

sistemul de generatori => B' este baza in (~n[x], ~).

38


Coordonatele polinomului f E ~n[x] in aceasta baza sunt bo,

b1, ... I bn E ~, deci f se scrie:

f = f(a) + f'ea) (x-a)+ f"(a) (x-a)2+ ... + f(n\a) (x-at l! 2! n!

22. Fie V4 spatiul vectorial real al polinoamelor in cos x de grad cel m~lt 3. S~ se scrie matricea de trecere de la baza B = {1, cos~ x, .co~ x, cos x} la baza B' = {1, cos x, cos 2x, cos 3x} §i legatunle Intre coordonatele unui vector in cele doua baze.

Solutie: Matricea de trecere de la B la B' se obtine din relatiile' 1 = 1·1 + O·cos x + 0·cos2x + 0·cos3x ' , . cos x = 0·1 + 1·cos x + 0·cos2x + 0·cos3x cos 2x = -1 ·1 + O·cos x + 2 ·cos2x + 0·cos3x cos 3x = 0·1 - 3·cos x + 0·cos2x + 4·cos3x

d· ~ [~~ - ~ - ~l a Ica A = o 0 2 0 000 4

Daca ao, U1, a2, U3 §i Po, P1, P2, P3 sunt coordonatele unui vector din V4 in bazele B, respectiv B', atunci:

ao = Po - P2 a1 = P1 - 3P3 a2 = 2P2 a3 = 4P3

23. Sa se stabileasca formulele de transformare a coordonatelor unui vector x E V cand se trece de la baza E la

baza E' in spatiul vectorial (V. ~), adica:

a) V = ~3, E = {(O, 1,1)\ (1, 0,1)\ (1,1, O)t}, E' = {(1,1,1)\ (0,1,1)\ (O.0,1)t}

39

SpatH vectoriale Capitolul 1 --------------------------~-----

b) V = ~4, :: {(1i2,-1,O)\ (1,-1,1,1)\ (-1,2,1,1)\ ~-1,-1,O,1)t}

E' = ((2,1,O,1) , (0,1,2,2)\ (-2,1,1,2)\ (1,3,1,2)} c) V =~2[X), :: {1, 1 +x, 1 +X2}, E' = {1, 1 +X, t_X+X2} Solutie: a) Fie A ~i B matricele, formate cu componentele vectorilor

bazei E respectiv E' ~i x :: (0.1, 0.2, 0.3)\ XE' :: (0.'1, 0.'2, 0.'3)\

A (~ ;) :]. B r: ~ ~I l J I 0 l1 1 ~J

Xcanonlc:: AXE::: BXE' ~ XE' = B-1 AxE

B 'A [0 I J la;j [0 1 1 )[aIJ [a2

+ a3J I - 1 0 ~ a~ = 1 -1 0 a2 = a l - a 2

o 1 - 1 a3

0 1 - 1 a 3 a 2 - a 3

Pentru calculul matricei B-1A putem aplica metoda Gauss-Jordan:

B A

r-- s A

~ 0 0 0 1 1 1 0 1 o 1

1 1 1 1 1 0 100 0 1 1

o ~ 0 1 -1 0 o 1 1 o -1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 -1 0 0 0 1 0 1 -1

40


1 1 -1 -1

b) XE' = S-1A ' XE unde A = 2 -1 2 -1

§i -1 1 1 0

0 1 1 1

2 0 -2 1

1 1 1 3 B=

0 2 1 1

1 2 2 2

Aplicam metoda Gauss-Jordan pentru calculul matricei B-1A.

2 0 -2 1 1 1 -1 -1 1 G) 1 3 2 -1 2 -1 0 2 1 1 -1 1 1 0 1 2 2 2 0 1 1 1 2 0 -2 1 1 1 -1 -1 1 1 1 3 2 -1 2 -1

-2 o @ -5 -5 3 -3 2 -1 0 0 -4 -4 3 -3 3 6 0 0 11 11 -5 5 -5 -1 1 0 -2 -3 2 -1 1 2 0 1~ 5 -3 3 -2

-1 0 o - -4 3 -3 3 S 0 0 0 0 1314 -1314 1314

-214 1 0 0 -1 214 214 -214

% 0 1 0 0% -314 714

~ 0 0 1 1 -314 % -314

1 0 0 0 o 1 -1 1 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 -1 1 -1

41

Spatll v ctorlal Capitolul1

I

(11 (1, ,

f't ) • B 1/\ (11

(1\ (1,

c) FI P

24. Fie B = {e" e2, e3, e4} 0 baza a spatiului (~4, ~) ~i x = e,

+ e + eSse determine coordonatele vectorulul x In baza + e2 3 4· f - + + formata cu vectorii : f1 = e2 + 63 + e4, f2 = e1 + e3 + e4, 3 -e1 e2

e4, f4 = e, + e2 + e3 . Solut1e: . .. Aplicam tema substltu\lel:

BazA f2 f3 f4 nouA

f1 fz h f4 X f1 X BazA veche

1 e1 0 1 1 1 1 e1 0 1 1 1 011 1

~ 0 1 1 1 f1 1 e2 18)0 0 e3 1 0 1 1 ~ e3 0

1 ' 1 1 0 1 e4 0 1 0 -1 0 e4

42


~

~

f1 f2 f3 f4 e1 020 1 f1 1 1 0 1 h o -1 1 0 e4 0 1 00

f1 f2 h f4 f2 0 1 0 0 f1 1 o 0 0 f3 0 o 1 0 f4 0 o 0 1

x 1 1 0 0

X

1/3 1/3 1/3 1/3

e1 0 3 0 0 f1 1 2 0 0 f3 0 -1 1 0 f4 0 -1 0 1

25. Tn spatiul (K3, K) unde K = 71.5, consideram vectorii: ,.. A.'" l ,... '" ,.. t ,.. A" t. A. ,... A

VI = (2,3,1) ,V2 =(1,2,4) ,V3 =(0,1,1) ,~I v=(4,2,1)

x 1 1 o o

Sa se arate ca V1, V2, V3 formeaza 0 baza a lui K3 §i sa se afle coordonatele vectorului v in aceasta baza.

Solutie: Vom aplica tema substitutiei pentru a demonstra ca V1, V2,

V3 formeaza baza, calculand in acela§i timp, coordonatele vectorului v in aceasta baza.

i :3 2 f .4

"-

I "-

I

i 6 .4 6 i 2 6 6 Q)

v .4 2 "-

I

i "-

2 2

43

f :3 6 6 (3) i

"- "-

I I

" 1 6 0

"-

I

2 f .4

"-

I

:3


O . { V2, V3} este baza a spatiului (K3, K) !?i eCI, V1,

v=4v1 +1v2 +3v3

26. Sa se determine dimensiunea !?i 0 baza pentru

urmatoarele spatii vectoriale: a) (~,~); b) (c, ~); c) (C,C); d)

(mnxn(~),IR?). v ~ a) (V) x E ~ X = 1.x!?i a.1 = 0 <=> a = 0 => {1} este baza In

(~,IR?) !?i din (IR?,~) = 1.

b) ('if) x E C, X = a.1 + b.i cu a,b E ~ => {~,i}.siste~ ?e generatori a,p E R, a.1 + P.i = Oc <=> a = p = 0 => {1,1} slstem hmar independent.

Deci {1,i} baza a spatiului (C, ~) !?i dim (C, IR?) = 2.

c) ('if) z E C, Z = 1. z, 1 = 1.1+ O.i E C => {1} generator allui

(C,C) a.1 = Oc <=> (a+bi).1 = Oc <=> a + bi = Oc <=> a = b, = 0 ~ ~ = 0 => {1} liniar independent In (C,C) => {1} baza in (C,C) deci dlm(C,

C) = 1.

Se arata ca matricele Ejj =j

J 000

o 1 o '. o o o

1~ i ~ m, 1 ~ j ~ n

formeaza 0 baza in spatiul ( 111nxn(lW.), lW.), deci dim( nt,xn(lW.), lW.) = m·n.

27. Fie V !?i V' doua spatii vectoriale de aceea!?i ~ime~~iune peste un corp K !?i f: V ~ V' un morfism. Urmatoarele aflrmatll sunt echivalente: . .

i) f este injectiv; ii) f este surjectiv; iii) f este Izomorflsm. Solutfe: .

44

SpatH vectoriale Capitolul1

f: V ~ V' morfism daca:

1) (\I) x, Y E V avem f(x + y) = f(x) + fey) 2) ('if) a E K, (\I) x E V avem f( ax) = af(x) Daca, In plus, f este bijectiv atunci se nume!?te izomorfism i

=> ii. Daca {e1, e2, ... , en} este 0 baza a lui V atunci a1e1+a2e2+ ... + anen = Ov <=> a1 = a2 = '" = an = 0

f(a1 e1+a2e2+ ... + anen) = f(Ov) = OV' <=> a1 = a2 = ... = an = 0 Deci a1 f(e1)+ a2 f(e2)+ .. . + anf(en) = Ov<=> a1 = U2 = ... = an =

0, adica {f(e1), f(e2) , ... , f(en)} liniar independent In V' !?i cum dim V = dimV' = n rezulta {f(e1), f(e2), ... , f(en)} baza In V'.

=> (\I) Y E V', (3) a1 = a2 = '" = an E K a stfe I lncat

y = Ial(e) <=> z = If(aje) <=> y = f Iajej n n ( n )

J=I J=I j=1

n

Deci, (3) x = I aje j E V astfel lncat y = f(x) , adica f este j=1

surjectiv.

ii => iii Sa aratam ca ('if) X1, X2 E V, f(x) = f(X2) => X1 = X2 f surjectiv => (\I) Y E V', 3 x E V astfellncat f(x) = y.

n X E V=>3 a1, ... , an E K astfellncat x = " ae

~ J J j=1

n

y E V' => 3 131, ... , 13n E K astfeJ lncat y = I~f(e) H

y = I(x) ¢> t,Af(ej) = r(t,ajej) = t,f(ajej

) = t,al(e,) {f(e1), f(e2) , .. . , f(en)} baza => aj = 13j ('if) j = 1, n

Deci Y1 = Y2 E V' => (3) X1, X2, E V astfel lncat Y1 = f(X1) = f(X2) = Y2 => X1 = X2 , adica f injectiv => f izomorfism

iii => j . Evident.

45


28. Fie V §i V' doua spatii vectoriale peste acela§i corp K §i f: V ~ V' un morfism. Sa se arate ca f(Ov) = OV', Ov §i Ov' fiind vectorii nuli ai spatiilor V, respectiv V'.

Solutie: ('v') x, y E V f(x+y) = f(x) + fey) Fie x = v = Ov ~ f(Ov+Ov')~ f(Ov) + f(Ov) . . => I f(Oy) = 2f(Oy) ~ => f(O ) = 0 ,

!f(Oy)EV' J y y

29. Fie X, V, W spatii vectoriale peste acela§i corp de scalari K §i f: X ~ V, g: V ~ W doua morfisme astfel incat 9 0 f = o (morfismul nUl). Sa se arate ca:

a) f surjectiv ~ 9 = 0 b) 9 injectiv ~ f = 0 Solutie: a) f surjectiv ~ ('v') Y E V (:3) x E X astfel incat y = f(x).

Aplicand 9 rezulta g(y) = g(f(x» = (g 0 f)(x) = Ow Deci ('d) y E V ~ g(y) = Ow, adica 9 = 0

b) ('v') x E X (g 0 f)(x) = g(f(x)) = Ow =g(Ov)

g(~(~))~g(OY)}=>f(X)=Oy ('d)x EX =>f=O g llljectIv

30. a)Sa se determine 0 baza §i dimensiunea pentru spatiul vectorial (V, R) definit in problema 5.

b) Fie (H, R) spatiul vectorial al cuaternionilor peste corpul numerelor reale:

H = {a + bi+ ci + dk la, b, c, d E IR{} unde i, j, k satisfac relatiile: i2 = ? = k2 = -1, ij = -ji = k; jk = -kj = i, ki = -ik = j, iar operatiile sunt adunarea §i inmultirea obijnuite.

Sa se arate ca V este izomorf cu H §i sa se indice corespondenta intre bazele celor doua spatii vectoriale.

46


Solutie:

a) ('v') A(u,v) E V. daca u = a+bi §i v = c+di atunci:

A = ( a + hi. C + di) = ( a + hi C + di) = " -- C + dl a + hI \ - C + di a - hi

={~ ~)+b(~ _O;)+tl ~)+d(~~) Dec; (~ ~), (~ ~ J, L~ ~), (~ ~) cons!itu;e sistem

?e generatori pentru V. Sa aratam ca formeaza §i sistem Iiniar Independent. Deoarece:

aG ~) + ~~ ~;) + r(~l ~) +{~ ~) = 0v ¢>

Ca/:: ~~:) =(~ ~) ¢>a = P=r=o=o

=> B = {e, = (~ ~), e, =G ~J eJ =(~l ~), e, =(~ ~)} este 0 baza a spatiului vectorial (V, IR{). Rezulta dimV = 4

b) Definim~: V ~ ~ prin f (A(a+bi, c+di» = a+bi+cj+dk. _ 1. f(A(a1+b1I, ?1+d11) + A(a2+b2i, c2+d2i» = - ~A(a1~a2+(b1~b2)1, C1+C2+ (d1+?2)i» = a1+a2+(b1+b2)i, C1+C2+ (d1 d2)K -:- (a1+b!l, c1+d1k) + (a2+b21, c2+d2k) = f(A(a1+b1i, c1+d i» + f(A(a2+b21, c2+d21». 1

2 .. f (A~(Aa+Abi, AC+Adi» = f (A(Aa+Abi, AC+Adi» = =Aa+Ab!+ACJ+~dk = A(a:bi:cj+dk) = At (A(a+bi, c+di»

DIn 1) ~I 2) rezul!a ca f este mOrfism de spatii vectoriale. in p'us, s~ arata u~or ca f este bijectiva, deci rezulta ca f este Izomorflsm.

v Corespondenta intre doua baze ale celor doua spatii este urmatoarea: .

e1 = A(1 ,0) ~ (1, 0, 0, 0) = 1

47


e2 = A(i, 0) B

e3 = A(O, j) B

e4 = A(O, k) B

(G, 1, 0, 0) = i (0, 0, 1, 0) = j

(0, 0, 0, 1) = k

unde {1,i,j,k} baza

in (H, ~).

1.2.3. Subspa,ii vectoriale. Subspatii vectoriale generate de 0 submul,ime

31. Stabiliti care dintre urmatoarele submultimi ale lui R3 sunt subspatii vectoriale §i determinati dimensiunea fiecaruia:

a) V1 = {(X1, X2, X3)t E ~31 X1-X2+X3 = O}

b) V2 = {(X1, X2, X3)t E ~31 x~ + x; + x; = 25}

c) V3 = {(a, 0, O)t I aE ~}

d) V4 , = {(a, b, a +b)t I a, b E ~}

e) Vs = {(a, b, 1)t I a, b E ~} Solutie: W c V, w *" 0 este subspatiul vectorial allui (V, K) daca: 1. (V) x, YEW => X + YEW 2. (V) X E W, (V) a E K => ax E W a) Fie

x = (Xp X2,X3)' EVI}

y = (y l' Y 2' Y 3)' E VI => X + Y = (Xl + Y l' X2 + Y 2' X3 + Y 3 ) t

aER

ax. = (axp ax2 , ax3 )'

x E VI => XI - X2 + X3 = O} _ _ => (XI + yJ-(X 2 + yJ+(X3 + yJ =

YEVj=>YI Y2 +Y3- 0

=O=>X+YEVI a E R => a( XI - X2 + Xl ) = 0 => ax\ - aX2 + aXl = 0 =>

=> ax EV1 => V 1 subspatiu vectorial.

48


V l se mai poate scrie V1 = {(a, b, b-a)t I a,b ER}

~entru at 1, f3 = ° obtinem e1 = (1,0, _1)1 iar pentru a = 0, f3 = 1 e2 - (0,1,1). B = {e1, e2} este baza in V1 deci dim(V1 R) = 2

b) Nu este subspatiu. ' c) V~ este subspatiu al lui (R3, R), dim(V3) = 1 d) Fie x,Y E V4 X = (a1, b2, a1+bd §i a,f3 E R

Y = (a2, 02, a2+b2)t ax + f3y = (aa1, ab~, aa1+abd + (f3a2, f3b2, f3a2+f3b2)1 =

= (aa1 +f3a2, ab1 +f3b2, aa1+ab1+pa2+Pb2)l E V4 => . => V4 subspatiu al spatiului vectorial (R3 R) §i

dlmV4 = 2 (0 baza este B = {(1 ,0,1)\ (0,1,1 )t}). ' e) Vs nu este subspatiu vectorial.

32. Stabiliti care dintre urmatoarele multimi de vectori din

spatiul vectorial (Rn, ~), ~orAmeaza subspatiiale lui (~n, ~) §i pentru acestea, determrnatr cate 0 baza §i dimensiunea:

a) V1 = {(X1, X2, ... , xn)1 I Xi E R (V) i = 1, n, X1 =xn}

b) V2 = {(X1,0,X3,0, ... ,)t I Xi E R (V) i = 1,3, ... }

c) V3 = {( X1, X2, ... , Xn)t I Xi E R (V) i = I,n, X2 =X4= ... } d) V4 = {(a,p,a,p, ... i I a,p E R}

e) VS ={(1,X2,X3, ... ,Xn)ll xi E R(V) i=2,n}

f) V6 ={(O, X2, X3,· .. , Xn)t I Xi E R (V) i = 2,n}

g) V7 = {(Xl, X2, ... , Xn)t I Xi E R (V) i = I,n, X1Xn=0}

h) Va = {(Xl, X2, ... , Xn)t I Xi E R (V) i = 1ll X1 +X2+ +X =O} Solutie: ' , ... n

a) (V) x, Y E V 1 ,

X = (Xl, X2, ... , Xn)t, Xl = Xn Y = (Yl, Y2, ... , Yn)! , Yl = Yn

=>X +Y = (X1+Y1, X2+Y2, ... , Xn+Yn), Xt+Yl+ Xn+Yn => X +Y E V1 (V) a E R, ax = (aXl, aX2, ... , aXn)! , aX1 = aXn deci ax E V

=> V1 este subspatiu al spatiului (Rn, R). ' 1,

49


V1 = {(A, X2, X3, ... , xn-1,A)1 I Xi E R ('\7') i = 2,n-1, A E R} o baza se obtine astfel:

• 1 1.=1, X2 = X3 = ... = Xn-1 = ° => e1 = (1, 0, ... ,0,1) x2=1, 1.= X3 = ... = Xn-1 = ° => e2 = (0,1, ... ,0,0)1 x3=1, 1.= X2 = ... = Xn-1 = ° => e3 = (0,0,1, ... ,0,)1

xn-1=1, 1.= X2 = ... = Xn-2 = ° => en-1 = (0, 0, ... , 1, O)t Se poate verifica u~or ca e1, e2, ... , en-1 este sistem liniar

independent ~i ca reprezinta un sistem de generatori pentru V1, deci ca B = {e1, e2, ... , en-1} constituie 0 baza a lui V1 .

=> dimV1 = n-1. b) ('\7') X = (X1,O,X3, ... ,)1 EV2 =>

x+y = (X1+Y1,0,X3+Y3,0, ... )I=>X+YEV2 ('\7') Y = (Y1,0,Y3, ... ,)1 EV2

('\7') aEIR{ avem (ax1, 0, aX3, 0, ... )1 EV2 . Rezulta ca V2 este subspatiu allui (IR{n, IR{). .

" Sa determinam 0 baza a acestui subsPrtlu. x1=1, X3 =X5 ... = ° => e1 = (1,0,1, ... ,0) EV2 x3=1, X1 =X5 ... = ° => e2 = (0, 0, 1, ... , 0)1 EV2

Daca n = 2k atunci ultimul vectoreste ek = (0,0, ... ,1,0)1 EV2

pentru X2k-1 = 1, X1 = X3 = ... = X2k-3 = 0, iar daca n = 2k+1 atunci ultimul vector al bazei este ek+1 = (0,0, ... , 0,1)! EV2 ~i se obtine pentru X2k+1 = 1, X1 = X3 =.:.= X2k-1 = 0. Se verifica imediat ca vectorii astfel construiti formeaza 0 baza a spatiului V21n ambele cazuri.

{k, pentru n = 2k d' [n + 11 dimV = ¢:> un V2 = --

2 k + 1, pentru n = 2k + 1 2 _

c) ('\7') x = (x1,a,x3, a ... ,)1 EV3, aE IR{

('\7') Y = (Y1,P,Y3, p ... ,)1 EV3, PE IR{ ~i x +Y = (X1+Y1, a+p, X3+Y3, a+p, ... ) EV3

AX = (t:.X1, Aa, AX3, Aa, ... ) EV3 ('\7') A E IR{.

50


=> V3 est~ subspatiu al spatiului vectorial (~n, ~). Pentru construirea unei baze, dam valoarea 1, pe rand,

compone.ntelor distincte ale vectorului, iar pe restul Ie luam egale cu 0. Obtlnem astfel vectorii:

e1 = (1,0,0,0, ... , O)! EV3 e2 = (0, 0, 0,1, ... , O)! EV3

------------------_ .. _----------La fel ca la puncttul. precedent, obtinem pentru n = 2k

vectorul ek ~ (q, 0, ... ,1, 0) ~I pentru n = 2k+1 vectorul ek+1 = (1, 0, 0, O,.! .. , 0,1) . ~n plus fata de punctul b) apare vectorul e = (0,1, 0, 1, ... ) EV3 obtlnem pentru X2 =1=)4= ... ~i restul componentelor egale cu 0. Se verifica u~or faptuJ ca {e1, e2, ... , ek, e} (pentru n=2k), respectiv {e1, e2, ... , ek, e} (pentru n=2k+1 constituie 0 baza pentru V3.

=> dimV3=[n;1]+1, pentrun>l

d) (\1') x = (a1,{31 , ad31 ... ,)t EV4, a1,P1 EIR{

('\7') Y = (a2,fh, a2,P2 ... ,)t EV4 , a2,P2 EIR{ => x+Y = (a1+a2, P1 +P2, a1+a2, P1 +P2, ... )1 => x+Y EV4 AX = (Aa1, AJ31, Aa1, AJ31 ... ,)' EV4 => V4 subspatiu aJ spatiului

vectorial (IR{n, ~).

o baza se obtine pentru a=O, J3=1 ~i a=1, J3=0, daca 8 = {(1,0, 1,0, ... )\ (0,1, O,1, ... )I} ~i dimV4 = 2 (pentru n> 1). e) F' x = (l,x2 ,xJ ... ,x )' EV,}

Ie. Y = (l'YPYJ''''Y.): EV, x + Y = (2, x2 + Y2 ,· .. , xn + yJ' flV,

~V5 nu este subspatiu. f) ('\7') X,Y E Vs x=(O,xp ... ,x )'}

= (0 ")' => x+ Y = (0,x2 + yp .. ·, xn + Yn)' EV6 Y 'Y2""'Yn

(\1') a E R ax = (0, aX2, ... , aXn)t E Vs

~ Vs este subspatiu al spatiului vectorial (IR{n, /R?). 51


o baza este B = {(O, 1,0, ... , O)t, (0,0,1, ... ,0)\ ... ,(0, 0, ... ,1i} ~i dimVs = n-1.

g) Fie x = (X1, X2, .,., Xn)t E V7 => X1 X2 = ° Y = (Y1, Y2, ... , Yn)t E V, => Y1'/2:: °

X + Y = (X1+Y1, X2+Y2, ... , Xn+Yn)t X + Y E V7 <=? (X1+Y1)( X2+Y2) = ° Dar (X1+Y1)( X2+Y2) = X1 X2 + X1Y2 + X2Y1 + Y1Y2 = X1Y2+ X2Yi,

care nu este lntotdeauna 0. (x = (1, 0,0, ... , 0)\ Y = (0, 1,0: ... : O)t)

=> V7 nu este subspa,iu. h) (V) x,Y E Va x = (X1, X2, ... , Xn)t, X1+X2 + ... +Xn= ° Y = (Y1, Y2, .. " Yn)t ,Y1+Y2 + ... +Yn= °

=> X + Y = (X1+Y1, X2+Y2, ... , Xn+Yn)t EVa deoarece: (X1+Y1), (X2+Y2), ... , (xn+Yn) = (X1, X2, .. " xn) + (Y1, Y2, ... , Yn) = °

('it) a E~, aX = (ax1, aX2, ... , aXn)t EVa deoarece aX1+ aX2+ ... ,+ aXn = a(x1+x2+ ... +xn) = 0. => Va este subspatiu al

spa,iului vectorial (~n, ~). Vs = {( X1, X2, ... , Xn)t I Xj E ~ (\1') i = l,n, X1+X2 + ... +Xn= O}=

t . -= {-a2-a3-... -an, a2, a3, ... ,an) I aj E ~ ('it) 1 = 2, n}

'b baza este B = {(-1, 1,0, ... ,0)\ (-1, O,1, ... ,O}\ ... , (-1, 0,O, ... ,1)t} ~i dimVs = n -1.

33. Se considera urmatoarele submultimi ale spatiului vectorial (Rn[x], R) al polihoamelor de grad cel mult n, In nedeterminata X, cu coeficienti reali:

a) V1 = {P E ~n[x] I P (-x) = P (x)}

b) V2 = {P E ~n[xll P (-x) = -P (x)}

c) V3 = {P E ~n[x] I P (a) = 0, a E ~}

d) V4 = {P E ~n[x] I P (a) = 0, a E C\~}

e) V5 = {P E ~n[x] I P (a) = 0, P'(a) ;to, a E ~}

f) V6 ~ {P E ~n[x] I P (a) = P(P)=O, a,l3 E ~, a;tl3} 52


g) V7 = {P _E ~n[x] I P (a1) = P(U2) = ... =P{an) =0, cq E ~

('it) i = 1, n, ks;n, aj ;t aj (V) i;tj, i, j = 1, k} Sa se precizeze care dintre aceste submultimi constituie

'. . subspatii ale lui (~n[x], ~), sa se indice 0 baza a fiecarui subspatiu ~i dimensiunea. . .

Solutie: a} (\1') P, Q, E V1

{ P(x) = P( -x)

~ Q(x) = Q( -x) ~ (P + Q)(x) = P(x)+ Q(x)::: P( -x)+ Q( -x) =

= (P + Q)( -x)

~P+QE~ } (aP)(x)=aP(-x)=(aP)(-x)~aP EV, ~ VI subspatiu

Sa determinam 0 baza pentru V 1. Fie P E V1 P(x) = aO+a1X+a2X+ ... +anX

n

P(x)=P(-x) <=? aO+a1X+a2X+ ... +anxn = = aO-a1x+a2x2+ ... +(-1)nanxn <=? (aD-aD) + (a1+a1)X +

+ (a2-a2)x2+ ... +( an +(-1 )nanxn = 0Rn[X] =>ak + (-1 )kak=O (\1') k = 0, n

=> P(x) =aO+a2x2+ ... +a2kx2k unde k = [~ J. Se poate arata u~or ca

o baza este B1 = {1, X2, ... , X2k} ~i dimV1 = k = [~l b) Se procedeaza ca la punctul a). Rezulta V2 subspatiu ~i

(\1') P E V2 , P(x) = a1 +a3x3+ ... +a2k+1~k+1 unde k = [ n ; 1]-Deci B2 = {x, X3, ... , ~k+1} este baza pentru V2 ~i dim V2 =

=[n~IJ . c) ('it) P, Q E V 3

53


pea) = O} => (P + Q)(a) = pea) + Q(a) = 0 => P + Q EV3 Q(a) = 0 .

('d) A- E R (A-P)(a) = A-P(a) = 0 => f ,P E V3 => V3 este subspatiu allu: (Rn[x], R). .

Sa determinam 0 baza a lUi V3 .

(\1) P E V3 => pea) = 0 => P(X) '= (X-a)O(~), O(X) E ~n-~[X] .. Polinomul O(X) se exprima In mod UniC ca 0 combl~~tle

Iiniara de vectorii 1, X, X2, ... , Xn-1 care formeaza baza canonlca a

spatiului (~n-1[X], ~). => O(X) = aO+a1X+ ... +an-1Xn-\X-a), aO+a1X+ ... +an-1 ERn 1 v

Sa aratam ca 8 3 = {X-a, X(X-a) , ... , X - (X-a)} este baza a luiV3 . ,

1. Independenta liniara. . ., Fie 0 combinatie liniara nula a vectorilor multlmll 83 A-1 (X-a)+A-2X(X-a)+ ... + A-nX

n-1 (X-a)= 0Rn[X]

~ - A-1a+(A-1- A-2a)X+(A-2 -A-3a)X2+ ... + (A-n-1- A-na)Xn-1 + A-nXn = OR,.[x]

-a~ =0

A,-a~ =0 ~ -a~ =0

A -aA = 0 n-I n

A =0 t" 'fi Ll Consideramn sistemul omogen format cu ultimele n ecua.1I ~I Ie

determinantul sistemului.

1 -a

1 o

0 ...

-a ... I

... 0

... 0

... 0 = 1 * 0 => Sistemul

=0 =0

A -aX =0 n-I n

'0' '0' 0... . . .1 . _ An ~ 0 I v

este compatibil determinat, avand drept so!u)~ ~mca solutla. bana a A1=A2 = ... = An = 0 => 83 este sistem de vector! hmar Independentl.

54


2. Sistem de generatori. Aratam ca (\I) P E V3, (3) ao, a1 , ... , an-1 astfelrncat: P = ao(x-a) + a1x(x-a) + ... + an_1 Xn-1(x-a)

Fie P E V3 , P = bo+b1X+ ... +bnXn => P(a) = 0, deci P(X) = (X -a)Q(X) = (X -a)(ao+ a1X+ ... +an_1Xn-1) = ao(X -a)+

a1X(X -a)+ ... + an_1Xn-1 (X -a) unde ao: a1, ... , an-1 E R.

=> 2o(X -a)+ a1X(X -a)+ ... + an_1Xn-1(X -a) = bo+h1X+ ... +bnXn . Identificand coeficien1ii puterilor asemenea din ce: doi membrl,

obtine:m urmatorul sistem.

pentru a*O

.......................... ..... a = - bo + bla+ ... +bn_lan-1 = b

n-J n n a

Deci pentru a * 0, (V) P E V3 , (3) ao, ai, .. . , an-1 E ~ (deoarece pea) = 0) astfel incat P = ao(X -a)+ a1X(X -a)+ ... + +an_1 Xn-

1(X -a) adica 83 este sistem de generatori.

Pentru a = 0, 83 = {X, X2, ... , Xn} ~i ('d) P E V3, PCO) = ° => bo =0, b1 =ao, b2=a1, ... , bn=an-1, adica 83 este sistem de generatori ~i Tn acest caz.

Din 1 ~i 2 rezulta ca 83 este baza in V3 ~i dimV3 = n.

d) V4 = {(X-a)(X- a ) O(X) I O(X) E !R?n-2[xl, a E ([\~} Se verifica u~or ca V4 este subspatiu ~i se arata ca:

84 = {(X-a)(X-a), (X-a)(X-a )X, ... , (X-a)(X-a )Xn-1} este baza in V4 dimV4 = n-1

e) V6 nu este subspatiu. Luam, de exemplu: P = (X-a)(X-3a) a = (X-a)(X +a)

P+Q = (X-a)(X- 3a +X+a) = 2(X-a)2 => (P+Q)(a) =0, (P+Q)'(a) =0 => P+Q ~ V6.

55


f) Ca ~i la punctul d) rezulta ca V7 este sl.i~~pa~iu. ~i 0 ~aza este B7 = {(X-a)(X-13), (X-a)(X-13)X, ... , (X-a)(X-13)X } ~I dlmV7 -

= n-1. g) Va este subspatiu allui (~r'-1[X], ~) ~ ~ l'

Dupg modelul de la punctul c) ,se arata ca mUltlm~a n-k

Ba = {(X-a1) .. ' (X-ak)' (X-a1) ... (X-ak)X, ... , (X-a 1) ... ,X-ak)X } constituie 0 baza a subspatiului Va. => dimVa = n-k+1

34. Se considera spatiul vectorial al matricelor patratice de

diemnsiune n, (m (~),~) cu elemente din R ~i urmatoarele

submultimi ale acestuia:

~) V1 = {A E m (~) I A = At}

b) V2 = {A E m (~) I A= - At}

c) V3 = {A E m (~) I detA * O}

d) V4 = {A E m (~) I detA=O} n

e) V5 = {A E m (IR{) I TrA= Laii = O} j=!

f) V6 {A E m (~) I AB =BA (\7') B E m (IR{)}

Solutie: a) (\7') A,B E V1 ~i ("if) a,13 E ~ (aA + 13B)t = (aA)t. +(13B)t =

aAt +13Bt = aA +13B => aA +13B E V1 => V1 subspatiu vectona~ Consideram matricile (Eij), ::;; i, j ::;; n, care formeaza baza

canonica a spatiului vectorial (m (~),~), adica:

56


0 ... J 0

0 ... 1 E .. =

1J

"'~l ... 0 (matricea Eij are un element 1 Tn pozitia

U ... 0 "~J (i, j) ~i in rest z8ro).

Definim Sij = Eij + Eji 1::;; i::=;;j::;; n

S~ = (Eij + Eji)t = E:j + E~j = Eji + Eij = Eij + Eji = Sij => Sij E V1

(\7') i, j 1::;; i ::;; j ::=;; n Se arata u~or ca 8 1 = { Sij = Eij + Eji I 1::;; i ::;; j ::;; n} este 0

baza a spatiului V 1. Rezulta ca dimV1 = n(n2+1) (dimensiunea

este data practic de numarul elementelor aflate pe diagonala principala ~i deasupra ei).

b) (\7') A, B E V2 ~i (V) a, 13 E IR{ (aA+138)t = (aA)t + (13B)t = aAt + 13Bt = -aA -13B = -(aA + 13B) => aA + 13B E V2 este subspatiu

al spatiului vectorial ( m (~), ~) Definim Aij = Eij - Eji 1::;; i < j ::;; n At. = (E .. - E .. )' = Et. - Et. = -E .. + E .. = -(E .. - E .. ) = -A .. =>

IJ ') )1 IJ )1 1))1 1))1 1J

=> Aij E V2 (V) i,j, 1::;; i <j::;; n Se arata ca B2 = {Aij = Eij - Eji 11::;; i < j ::;; n} este baza in V2

~i rezulta dimV2 = n(n + 1) (numarul elementelor aflate deasupra 2

diagonalei principale). c) , d) V3 ~i V4 nu sunt subspatii vectoriale (exista matrici nesingulare a caror suma e 0 matrice

singulara ~i exista matrici singulare a caror suma este 0 matrice nesingulara).

57


e) (\I) A, 8 E V5 ~i (\I) a, (3 E R Tr(aA + (38) = Tr(aA) + Tr«(38) = aTr(A) + (3Tr(8) = 0 ~ aA + (38 E V5 este subspatiu vectorial.

Pentru a determina 0 baza a acestui subspatiu, pornim de

la baza canonic3 a spatiului vectorial (m (~),~) din care pastram numai matricele cu ~rma nula adica de fapt, matricile Eij cu i ;f;: j. Obtinem astfel un sistem Iiniar independent ~i 'in V5, pe care it completam pana !a 0 baza In V5 cu matricile:

Tij = E11 - Eii 1 < i :s:; n

Obtinem 85 = {Eij I (\I) i,j ) I,n, i;f;: j} U {E11 - Eii 11 <i i:s:; n} DimV5 = (n2 - n) + (n -1) = n2-1

f) Nu este subspatiu vectorial, produsul matricilor nefiind comutativ.

35. Se considera n E N ~i se define~te multimea F a n

functiilor f: IRI. ~ IRI., f(t) = ao + I(ak coskt + bk sin kt) ~nde ao, a1, k=1

... an, b1, ... , bn E ~. Sa se arate ca F este un subspatiu vectorial

al spatiului aplicatiilor lui IRI. In ~ ~i sa se determine 0 baza a subspatiului F.

Solutie: . f(t)=ao + I(akcoskt+bksinkt)

(\I) f, 9 E F k: l

get) = Co + I·(ck coskt+dk sinkt)

~i (\7') a, (3 E R avem: (af + (3g)(t) = (af)(t) + «(3g)(t) = af(t) + (3g(t) =

= a[ao+ ~(akcoskt+bksinkt)]+b[Co+ ~(ckCOSkt+dksinkt)]=

= aao + (3Co + ~](aak + !3ck)coskt+ (abk +rxtk)sinkt] EF k· l

~ af + (3g E F..~ F este subspatiu.

58


. Am demons~rat in problema 12 d) ca sistemul {1,sin t, cos t sin 2t, cos 2t, ... , Sl~ nt, cos nt} este liniar independent. '

. Ac~st~ functn ~unt generatorii multimii F, prin definitia lui F, deci constltule 0 baza a lui F ~i dimF = 2n +1. .

36. ~ratati ca mliltimea s?lutiilor unui sistem liniar omogen de m eCllatll cu il necunoscute ~I cu coeficienti reali este subspatiu

al spatiului t~n, IRI.) ~i determinati dimensiunea sa. . Solutie: Fie sistemul omogen:

0'. a21 x 2 + a22 x 2 + ... +a2n Xn = 0 (\I) i = I m

1 allxI + a12x2+···+alnXn = 0

...J; a .. ER ' IJ -..................................... (\I) j = I,n

am1 X 2 + am2 X 2 + ... +amnxn = 0

. Notam cu mrS) = {(X1, X2, ... , Xn) 1 X1, X2, ... Xn verifica slstemul S} ,

n

m(S)= {(X1, X2, ... , Xn) 1 Iajjxj

= 0 (\I) i = I,m} j=l

(\I) X, Y E m(S). x = (X1, X2, ... , xn), y = (Y1, Y2, ... , Yn) n

Lajjxj = ° (\I) i = I,m . 1 n

~ J: _ => Lajj(xj + Yj) = 0 (\I) i = I,m LaijYj = 0 (\I) i = I,m j=l j=J

Deci m(S) este subspatiu al spatiului vectorial (IRI.n, IRI.). Observatie:

O ~A ()l:S:;i:s:;m aca = aij <. ~i x, Y E m,rS)atunci Ax = OR"' . I-J:s:;m

59


Ay = OR" ~i adunand avem A(x+y) = OR" => x+y E 'WI((S) Sa determinam dimensiunea acestui subspatiu. Fie A = (aij) I<i<m ~i rang(A) = r ~ min(m, n) ~i fie

lSjsm

allal2 ... alr I 11 = a21 >1 22 ", a 2e

arl ae7 ... are I Fara a restrange generalitatea, putem presupune 11 :f.; 0,

adica primele r ecuatii sunt ecuatii principale ~i p'rimele r necunoscute sunt necunoscute principale.

Sistemul devine:

1 allxl + a12x 2 + ... +aleXr= -alr+IXr+I-···-alnXn

~~: ~:.~ .~.2.2.~~~: ::~~~~~~ .~. ~~~~~~~~~: .~"""~~2nXn arlx1 + ar2x 2 + ... +areXr = -are+IXr+I-···-arnxo ,

deci sistem compatibil determinat (de tip Cramer) cu solutiile 112 Ilr

X 2 = -, ... , Xr =-11 11

unde

- a1r+IXr+I-···-alnXn - a2r+2xr+I-···-a2n xn

III = :

+ 1l1n x n

Analog, 112 = 1l2r+1Xr+1 + 1l2r+2Xr+2 + ... + 1l2nxn

60


Ilr = Ilrr+1Xr+1 + Ilrr+2Xr+1 + ... + Ilrnxn 11 11 11 11

X =_1 =~x +~x +.,.+..-l!!..x I 11 11 r+1 A r+2 11 n

x = Il~.= 1l21r+1 X + 1l2r+~_x + ... + 1l2n X 2 11 11 r+1 /). r+2 11 n

=>

Pentru a obtine 0 baza in (m(S), IR{) e suficient sa consideram pentru (Xr+1, Xr+2, .. " xn) succesiv valorile (1, 0, ... , 0), (0,1, , .. ,0), ... , (0,0, .. " 1) ~i sa definim:

e1 = ( IlZI , Il~+l '"'' IlZI ,1,0, ... ,0)

e2 = ( 1l~+2 , 1l~+2 , .. " 1l~+2 ,0,1, .. , ,0)

e = (Illn , 1l2n , .. " 11m ,0,0, .. ,,1) o- r 11 11 11

E = {e1, e2, .. " en-r} baza in (m(S), ~). Verificam: 1) E sistem de generatori ('vi) x E m(3), x = (X1, X2, .. " xn) = Xr+1e1 + Xr+2e2 + .. , + Xnen 2) E sistem de vectori liniar independenti A1e1 + A2e2 + .. ,+ An-ren-r = OR" Ai E R, 1 sis n-r

Identificam ultimele n-r componente ale vectorilor din cei doi

membri ~i obtinem 1..1 = A,2 = ... = An-r = 0 => E baza pentru (m(S), IR{)

~i dim( mrS), IR{) = n~r

61


37. Fie me \W.S multimea vectorilor x = (X1. X2, X3, )4, X5) ale caror componente verifica sistemul:

Xl - 2Xl + X3 + X. - X5 =: 0

2Xl + L"2 - X3 - x. - Xs = 0

Xl + 7Xl - SX3 - Sx. + Sx; = I) 3xl -- Xz - 2X3 + X. - X5 :.:..: 0

Sr"% se arate ca 1i1este subspatiu allui ~S. sa se determine dimensiunea §i 0 baza a acestui subspatiu.

Solu1ie: ,

m este subspatiu al lui !R S conform problemei anterioare 1 -2 1 1 -1 .

FieA=

1

2

2

1

3

1

7

-1

-2

1

-1 -1 1 matrieea sistemului

-5 -55 -2 1 -1

1 1

-1 -1 ~1234 = 1 7 -5 -5

* 0 deei Xs neeunoscuta secundara

3 -1 -2 1

:::::} rang(A) = r = 4, n = dim(~s, ~) = 5 :::::} dim (m, \W.) = n-r = 1 Notam Xs, = a E R §i rezolvam sistemul:

Xl - 2X2 + X) + x. = a.

2x, + Xl - X, - X. =-a.

X, + 7X2 - 5x) - 5x. = -5a.

3x1 - X2 - 2x) + X. = a.

Obtinem X1 = X2 = X3 = 0, )4 = Xs = a, deci subspatiul

solutiilor sistemului este m = {(O, 0, 0, a, a) I a E ~}. 0 baza se obtine pentru 0.=1 §i este B = {(O, 0, 0,1, 1)}.

62

Spatii vectoriale Capitolul1 .

38 . Fie veetorii V1 = (1, 1, 1)\ V2 = (1, -2, 7)\ V3 = (3, 6, 3)t ,

V4 = (2, -1, 2)t din Q3.

a) Sa se arate ca X = {(a1, (12, 0.3, (4)t E 0 4 la1v1 + a2v2 +

a3v3 + Gi.4V4= O} este un subspatiu al lui Q4. b) Sa se determine dimensiunea §i 0 baza a lui X.

c) Sa se rezolve punetul b) luand in loeul eorpului Q,

corpul 71.2.

Solu1ie:

{

a, + 0.2 + 3u3 + 2u4 = 0

a) a1V1 + a2V2 + a3V3 + a4V4= ° ¢::> 0.1 - 20. 2 + 60. 3 - 0.4 =.0

0.]+70. 2 +30.3 +20. 4 =0

X este spatiul solutiilor acestui sistem liniar omogen de 3 ecuatii cu 4 necunoscute, deci conform problemei 36 este

subspatiu al lui Q4.

b) Fie A = (~ _12 ~ ~lJ matrieea sistemului §i

1 7 3 2

r = rang(A)

Se constata ea rang(A) = 3 §i cum dim(Q4) = 4 rezulta ea dim(X) = n-r = 4-3 = 1.

Reolvand sistemul, obtinem X = {(-50., 0, 0.,0.) I a E O} §i pentru 0.=1 obtinem 0 baza a lui X, B = {(-5, 0, 1, 1)}.

A {a] + 0.2 + 0.3 = 0 c) In 71.2 sistemul devine:

0.1 + 0. 4 = 0

63


A == (1 1 1 0, ~ rangA = 2 \J 0 0 1)

Fie a3 = a E 7L2, a = ~ E 7L2. Rezolvand sistemul, ob\inem

X = {(-~, ~-a, a, ~) 1 a, ~ E 7L2} . ~ A •

Pentru a = 0, ~ = 1 ~i a = 1, ~ = 0 ob\lnem 0 baza In X ~! anume 8 = {(1,1,0,1), (0,1,1,O)}, deci dimX = 2.

39. Fie (s, R) spa\iul vectorial al ~!rurilor de n.umere re.ale,. definit In problema 9. Demonstra\i ca SJ e~te ~ubspa\l~ a,l spa\lulu~ (~ R), calcula\i dimensiunea ~i determlna\1 0 baza a acestul

subspa\iu: a) SJ = {(an)n E N* E SI an = 5an-1 - 6an-2 (\7') n > 2} b) SJ = {(an)n E N* E SI an = 4an-1 - 4an-2 (\7') n > 2} Solutie: a) S~ verifica imediat ca SJ este subSP~'i~ ~I s,?,a,iului (~ IR?) .

Determinam SJ . ~irul an verifica 0 recuren\a hmara d: ~r~l~ul 2 omogena. Ecuatia caracteristica este ~ -5r + 6 = ° cu radaclmle r1 = 3, r2 = 2, deci an = Art + Br; = A . 3

n +8 . 2

n unde A ~i 8 se

... {al ==3A+2B determina din condltllle: a

2 == 9A + 4B

~ A == a2 - 2a1 , B = 3a1 - a2 ~ an = (a2 -2a1)3n-1+(3a1-a2) . 2n-1

= 3 2

= (3 . 2n-1 _ 2 . 3n-1)a1 + (3n-1 ~2n-1)~2 . .... . . ~ Orice ~ir an E SJ este deflnlt de pnmll dOl termem SJ = {(an)n E N* E SI an = (3 . 2n-1 - 2 . 3n-

1)a1 + (3

n-1

_2n-1)a2}

Pentru a1 = 1, a2 = ° ob\inem: e1 = (1, 0, 3.22 - 2.32, ... ,3· 2n-1 - 2· 3

n-1, ... )

iar pentru a1 = 0, a2 = 1 ~ e2 = (0, 1, 32 - 22, 33 - 23, ... , 3n-1 - 2n-\ ... ) ~i rezulta u~or

ca 8 = {e1, e~} este baza pentru (SJ, IR?) deci dim(SJ, ~) = 2.

64


b) Se procedeaza analog ~i, tinand cont ca r = 2 e radacina dubla a ecuatiei caracteristice, rezulta an = Ar" + nBrn,

A - 4a1 - a2 B - a2 - 2a1 _ 4al - a2 2n a2 - 2al 2n - - ~a -' . +n' .

4' 4 n 4 4 <=> an = (2n - n·2n-1)a1 + (n-1).2n-2·a2 .

o baza este 8 = {e1, e2} unde e - (1 ° 23 3,..2 24 4 23 2n 2n-1 ) 1 - , , -'L, -. , . .. , -no , ... e2 = (0, 1,2.21,3.22, ... , (n_1)2n-2, ... )

~i dim(SJ, IR?) = 2.

40. Fie V = ~n[x], n ;::: 2 §i a, ~ E ~ , a ;f: ~. Definim: Wi = {PE V 1 P(a) = O} W2 = {PE V 1 P(a) = P(~) = O} Sa se arate ca Wi §i W2 sunt subspa\iile lui V ~i ca

multimile {x-a, x(x-a), ... , xn-1 (x-a)} §i {(x-a)(x-~) . Xk, 0 ::;; k ::;;n-2} constituie baze pentru Wi respectiv W2.

Solutie:

Faptul ca Wi §i W2 sunt subspatii ale spatiului (~n[x], IR?) rezulta imediat.

Vom arata ca B1 = {x-a, x(x-a), ... , xn-1 (x-a)} este baza

pentru Wi . Fie 0 combinatie liniara nula a vectorilor multimii 8 1:

a1(x-a) + a2x(x-a)+ '" + anXn-1(x-a) = 0Rn[x]

(x-a)(al+a2x+ ... anxn-l(x-a)==oRn[X]1 ___ _ <=> 2 1 I => a1 - a2 -00' - an - 0

1, x, X , ..• , X n- liniar independenti )

=> x-a, x(x-a), ... , xn-1 (x-a) liniar independenti. Fie acum P = bo + b1x + ... +bnxn , PE Wi. Rezulta P(a) = °

deci P = (x-a)(aO+a1x+ ... +an_1Xn-1) = ao(x-a) + a1x(x-a) + ... +

+an_1Xn-1(x-a) unde ao, ai, ... , an-1 E ~. Rezulta ao(x-a) + a1x(x-a) + .. . + an_1Xn-\x-a) = bo + b1x +

. .. +bnxn ~i identificand coeficientii puterilor asemenea din cei doi membri obtinem:

65

Spatii vectoriale Capitolu11

bo ao =--a

bo + bla a -- .-1 - a2

<=> j bo + bja + b:p2 a2 = - 3

a

\·············~·:·;b~~·; ..... ~bn_lan-l = b lan-l = - an n

Deci (\7') PEW 1. (3) ao. a1 •.... an-1 E IR? astfel incat P = ao(x-a) + a1 x(x-a) + ... + an_1Xn-1(X-a) adica B1 este ~i

sistem de generatori.

Rezulta ca B1 este baza ~i dim(W1. IR?) = n. Pentru a arata ca B2 = {(x-a)(x-p)xk

• 0 s k s n-2} este baza

in W2. se procedeaza analog; deci dim(W2. IR?) = n-1.

41. Fie spatiul vectorial 01. K) ~i W e V subspatiu allui V. Atunci: 1) dimW s dimV

2) dimW = dimV <=> W = V. Solutie: 1) Fi~ B' 0 baza in W => B' este liniar independent in W e

V => B' liniar independent in V. Fie B 0 baza in V => B sistem de generatori pentru V =>

card(B') s card(B) => dim(W. K) s dim(V. K). 2) "¢=" Evident.

"=>" Fie dim(W, K) = dim0l, K) = n ~i 8' baza in W => B' liniar independenta in W e V card(8') = n = dim(V. R) => B' baza in V. => W = Sp(8') :: V.

66

Spatii vectoriale Capitolu11

42. Fie 01. K) un spatiu vectoriai §i V1• V2 e V subspatii. Aratati ca V1 + V2 = n w unde V = NV e V I W subspatiu, V1 u V2

WeV

e "V}. Solutie: Demonstram egalitatea V1 + V2 = n w prin dubla incluziune.

WeV

"e" Fie v E V1 + V2 => (3) V1 E V 1 , (3) V2 E V2 astfel incat v = V1 + V2 .

FieW E V V1 U V2 e W => V1. V2 E W. W subspatiu => incat v = V1 + V2

E W (\7') W E V => V E n w weV

"~" Fie v E nw. Rezulta ca v E W (\7') WE V. Dar V1 + V2 weV

este subspatiu allui V. V1 + V2 E V. Deci v E V1 + V2 .

43. Fie V1. V2, V3 E lJ(\4. Sa se determine dimensiunea ~i 0

baza a subspatiului generat de ace~ti vectori. notat Sp({V1. V2. V3}). a) v1=(1, O. -1. 1t V2= (3,1. -1. 0)\ V3= (1.1. -1. 2)t b) v1=(3, 1.2.1). V2= (1.-1. 2. 0)\ V3= (3.5. -2. -2i Solutie: a) Fie 8 e {V1. V2. V3} baza => Sp({V1, V2. V3}) = Sp(8). Calculam rangul matricei formate cu componentele

vectorilor:

1 3 1

A= 0 1 1 • rang A = 3 -1 -1 -1

1 0 2

67

Spatii vectoriale

1 3

-1 5 , rang A = 2. 2 -2

o 2

Capitolul1

o baza este 8 = {V1, V2} , dim(Sp({v1, V2}» = card B = 2.

44. Sa se determine subspatiu! generat de mu1timea:

{i, ..Ji}, 0 baza ~i dimensiunea acestuia In: a) (~, Q); b) (~,~). Solutie:

a) in (~,Q), Sp({1, ..fi}) = {a + bJ2 / a, b E Q}

Fie x, y E Sp({1, ..Ji}) x = a1 + b1..Ji, Y = a2 + b2.fi ~i fie combinatia liniara nula ax + l3y = 0.

<=> a( a1 + b1 .fi) + 13( a2 + b2 J2) = ° <=> (aa1 + l3a2)+ (ab1 + I3b2) J2 = ° Cum 1, ..Ji sunt liniar independenti In (~,Q), obtinem

{aa +l3a = 0

sistemul: ] 2

ab] + I3b2 = 0

al a2 ~ Fie ~ = = a1b2 - a2b1. Alegem x,y E Sp({1, -v2})

bl b2

astfel Incat a1b2 - a2b1 *- 0. Rezulta a = 13 = 0, deci x,y liniar independenti.

Sa aratam ca {x,y} este ~i sistem de generatori; adica:

(\I) v E Sp({i, J2 }), (3) a,13 EQ astfellncat aX + l3y = v

Fie v = a + b J2 = a( a1 + b1 J2) + 13( a2 + b2 J2) cu a,b E Q

Rezulta (aa1 + l3a2-a)+ (ab1 + I3b2-b)..Ji=0 ~i cum 1, J2 liniar independenti in (~, Q)

=> {aal + l3a2 = a ab I + I3b2 = b

68


al~"~~~ I: ::1 GQ

b ~ /a l a21 ,hi b,

la l al 13=~= Ihl h EQ

~ la l a21 hi h2

=> B = {x,y} = {a1 + b1 J2, a2 + b2 ..fi / a1b2 - a2b1 *- 0, aj,bj E Q, i=1,2 } = { 1+J2, 1- J2}

Deci dim Sp({1, ..Ji}, Q) = card(B) = 2.

b) Sp{1, .J2} = {a + b.J2 / a, b E ~} C [R{.

Pe de alta parte, (\I) x E R, X = i·x + O·..fi E Sp{1, ..fi} =>

[R{ c Sp{1, ..fi} => Sp{1, ..Ji} = R => dim (Sp{1, ..fi}, ~) = dim (~, [R{) = 1

o baza este B = {1}.

45. Fie V1 = Sp ({a1, a2}) ~i V2 = ({a3, a4}) unde: a1 = (1, 2,0,1)t, a2 = (1,1,1,0)\ a3 = (1,0,1,0)\ a4 = (1, 3,0,1)t. Sa se determine dim(V1 () V2).

Solutie: V1 () V2 = {v = aa1 + l3a2 = ya3 + 8~ / a, 13, y, 8 E R}

a2:13+-13Y_~!: ~ [~~ - ~ =~J aa 1 + l3a2 = ya3 + 8a4 <=> rang 3

13-y =0 0 1 -1 0 =

-0=0 1 0 0-1

=> Spatiul solutiiJor sistemului este de dimensiune 4 - 3 = 1. 69


Obtinem a = J3 = y = 0 = a E R V1 (1 V2 = {a(a1 + a2) / a E R} = {(2a, 3a, a, a) / a E R} => dim(V1 (\ V2) = 1

Observatie. Problema se mai poate rezolva folosind teorema

dimensiunii sumei de subspatii: dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2 - dim(V1 (1 V2) Avem dimV1 = dimV2 = 2 §i dim(V1 + V2) = rangA = 3 deci

dim(V1 (1 V2) = 4 - 3 = 1.

46. Fie subspatii1e V1 = Sp ({V1, V2}) , V2 = Sp ({V3: V4}) din

~4 unde V1 = (1,2,0,1)1, V2 = (0,1,-1,3)1, V3 = (1,3,-1,4)\ V4 = (2,-1,1,2)t

a) Sa se calculeze dimV1, dimV2, dim (V1+V2) b) Sa se verifice daca suma subspatiilor este directa. Solutie: a) dimV1 = 2, dim V2 = 2, dim (V1+V2) = 3. b) V1 = Sp ({V1, V2}) = {av1 + J3V2/ a,J3 E R},

V2 = Sp ({V3, V4}) = {"{V3 + OV4 / y,o E R} V1 (1 V2 = {v = aV1 + J3V2 = yV3 + OV4 / a,J3,y,oE R} Observam ca V1 + V2 + V3 = ° => V1 (1 V2 * {OR4 } => suma nu

este directa. (Acest lucru rezulta §i din punctul a) aplicand teorema

dimensiunii).

47. Sa se determine dimensiunea §i cate 0 baza in subspatiile V, W, V + W §i V (1 W, unde V =Sp ({V1, V2, ... , vm}) iar W = Sp ({W1, ~2' ... , Wnl) , p:ntru: t. _ t_

a) V1 - (1,2,1,0), V2 - (-1,1,1,1), W1 - (2, -1,0,1), W2-= (1, -1 ,3,7)t.

b) V1 = (1,2,-1,-2)\ V2 = (3,1,1,1)\ V3 = (-1,0,1,-1)t; W1 = (2,5,-6,-5)\ W2 = (-1,2,-7,-3t

Raspuns:

70

Spatii vectoriale

a) Bv = {V1, V2}, dimV = 2 Bw = {W1, W2}, dimW = 2 Bv+w = {V1, W1, W2}, dim(V + W) = 3 Bv" w = {3W1- W2}, dim(V (1 W) = 1 b) Bv = {V1, V2, V3}, dimV = 3 Bw = {W1, W2}, dimW = 2 Bv+w = {V1, V2, V3}, dim(V + W) = 3 Bv" w = {W1, V3}, dim(V (1 W) = 2

48. Sa se demonstreze egalitatile: a) V1 n [(V1 n V2) + V3] = (V1 (1 V2) + (V1 (1 V3) b) (V1 + V2) (1 (V1 (1 V3) = V1 + [(V1 + V2) (1 V3] oricare ar fi subspatiile V1, V2, V3 e V. Solutie:

Capitolul1

a) "e" Fie x E V1 (1 [(V1 (1 V2) + V3]. Deci x E V1 §i X E(V1 (1 V2) + V3

=>XEVj } x=y+z

x = y + z, y E VI (1 V2 ~ i Z E V3 => Y E VI (1 V2

, Z E V3

=> X = y+z eu y E VI (1 V 2 ~i z E VI n V 3 => => X E (VI n V2) + (VI (1 V3)

"-;;;t." Fie x E (VI (1 V2) + (VI (1 V3). Deci x = y+z eu y E V J n V 2 ~i z E V I (1 V 3

y, Z E VI => X = Y + Z E VI } Y EVI (1 V2}

Z EV3

=> X = y+ Z E(VI (1 V2 )+ V3 =>

=>x E V1 + [(V1 + V2) (1 V3] b) Se arata prin dubla incluziune, analog cu a).

49. Fie subspatiile vectoriale V §i W generate de vectorii V1 = (1,1,1)\ V2 =(0,3,1 )t, V3 =(2,-1,1)t §i respectiv W1 =(1 ,-2,4)t, W2 = (-2,4,-8)t. a) Sa se verifice ca V §i W sunt subspatii suplimentare.

71


b) sa se determine descompunerea vectorullii v = (5,-7, 13)t pe aceste subspatii. .

Solutie: a) A.atam ca V n W = {OR3 } ~i V + W = ~.?

V n W = {v = a1V1 + a2V2 + a3V3 = P1W1 +P2W2 j ai,pj E ~, i = 1,3, j = 1,2 }

Obtinem:

{

0.1 + 20. 3 = PI - 2P2 {' 0.1 + 20.3 - PI + 2P2 = 0 0.1 +30. 2 -0.3 =-2PI +4P2 ~ 0.1 +30. 2 -0.3 +2PI -.4P2 =0

0. 1 +0.2 +0. 3 =4PI -8P2 0. 1 +0.2 +0.3 -4Pl +8P2 =0 Fie

[

1 2 0 -1 2 J rangA = r = 2 } A = 1. 3 -1 2 - 4 n = numarul necunoscutelor = 5 =>

1 1 1 -4 8 Spatiul solutiilor sistemului este de dimensiune 5 - 2 =' 3 ..

Solutiile sistemului sunt: at = 7a - 14b-2c

a 2 =-3a+6b+c a 3 =c

~l =a ~2 = b

a,b,cE IR

deci spatiul solutiilor sistemului este:

{(7a-14b-2c, -3a+6b+c, c, a, b)t I a,b,c E ~} => Vn W = {(7a-14b-2c)V1 + (-3a+6b+c)V2 + CV3 = aW1 + bW2 I

a,b,cE~} = {(7a-14b, -2a+4b, 4a-Sb)t = (a-2b, -2a+4b, 4a-Sb)t1 a,b E ~}

= {(7a-14b, -2a+4b, 4a-Sb)t 17a-14b = a-2b, 4a-Sb)t I a,b E ~} = {(7a-14b, -2a+4b, 4a-Sb)t I a=2b, a,b E R} = {(O,O,O)} = 0R3

Sa aratam acum ca V + W = 1R3.

72


1) V+Wc~3 2) R3~V+W

Fie x E 1R3 Trebuie sa aratam ca (3) v E V ~i (3) W E W astfel incat x = v+w = v = a1V1 + a2V2 + a3V3 = P1W1 +P2W2

Aceasta reiatie este echivalenta cu sistemul:

fal + 2u3 + PI - 2P2 = XI

a l +30.2 -0.3 -2P1 +4P2 = X2

lal +0.2 +0. 3 +4P I -8P2 =X3 care este compatibil nedeterminat. A~adar, V+W = R3

. VnW=O 3} Avem decl: ~ => V E9 W = R3

V+W=R

b) Inlocuind x = (X1, X2, X3)t cu (5,+7, 13)t in sistemul de mai sus,obtinem:

{

al+2a3+PJ-2P2=5

0. 1 +30. 2 - 0.3 -2PI +4P2 =-7

0. 1 +0.2 +0.3 +4P1 -8P2 =13

sistem a carui solutie este (-2a, a, 1+a, 3+2b, b), a,b E R => x = [(-2a)v1 + aV2 +(1+a)v3] + [(3+2b)W1 +bW2] = = (2,-1,1)+(3,-6,12).

50. Fie (V, K) un spatiu vectorial, V1 ~i V2 doua subspatii ale lui V astfel incat V1 Ef> V2. Sa se arate ca orice doi vectori n~nuli unul din V1 ~i celalalt din V2 sunt liniar independenti. '

Solutie: .

Fie V1 E V1 ~i V2 E V2 nenuli ~i consideram 0 combinatie liniara nula a lor: a1V1 + a2V2 = Ov .

V = V1 E9 V2 => V1 n V2 = {Ov } Presupunem 0.1 ::;t. O.

R It ~ 0.2 . ezu a VJ = -;-v2 = aV2 EV2 (V2 subspatlu)

1

73


51. Sa se arate ca Rn = Xi $ X2 unde:

Xi ::: {(Xi, ... , Xn) I Xi E R ('if) i =' 1, n, Xi + ... +Xn =O}

X2 = {(Xi, ... , Xn) I Xi E R ('if) i = 1, n, Xi = ... =Xn } Solutie: 1) Aratam ca X1 (l X2 = {Ov} Fie X E Xi (l X2 , X = (Xi, ... , Xn)

=> n => nx = 0 => X = 0 = X = ... = X => X = 0 {X EXI => XI +X2+"'+X = O}

X ---... x - - - 1 I 2 n RII X E 2 -T ,- Xl - .•. - x.

2) Aratam ca Xi + X2 = ~n

Xi ~i X2 sunt subspatii ale lui ~n deci Xi + X2 C ~n

Oemonstram ca ~n C Xi + X2 , adica ('if) X E ~n , (3) U E Xi ~i (3) v E X2 astfellncat X = U+V.

U E Xi ==> U = (U1, U2, ... ,Un), Ui E ~, i = 1,n, Ui+U2+ ... +Un =0

V E X2 ==> V:;:: (a,a, ... ,a), a E ~

U+v=X ¢:>

ul+a=x, u2 +a=x1

<::::> •••••••••••••••• Un +a = x.

U, +U1+",+U n =0

XI +X2 +···+X =>a = • n

Oeci:

=> UI + ti2 + ... +U. + na = XI + X2 + ... +x. => '----v-----'

=0

74


_ _ (n-l)xl -x2 -",-xn u l - Xl - a - -----'--.!..--"--~

n - Xl - (n -1)x2 - ... -xn

U 2 = x 2 - a = -":-~--'--='----~ n

....................................................... ~ .............. .. .................... ..

, - Xl - x 2 --••• - (n - l)x

lu = X -a == n I . n

n

x:: '-l+v, U E Xi, V E X2 => X E Xi + X2 => ~nc Xi + X2 Din dubla incluziune, rezulta ~n :;:: Xi + X2 Din 1) ~i 2) obtinem ~n = Xi $ X2

52. Sa se demonstreze ca spatiul (IRn[X], IR) este suma directa a subspatiilor:

Vi = {P E ~n[x] I P(X) = P(-X)} §i

V2 = {P E ~n[X] I P(X) = -P(-X)} Solutie: 1) Verificam intai ca Vi (l V2 = {OR.[XI}

('if)P E Vi (l V2 => {P(X) == pC -X) => 2P(X) = {o } P(X)=-P(-X) Rn[x] =>

=> P(X) = {ORn[X]} => Vi (l V2 = {ORII[XI}

2) Sa aratam acum ca ('if)P E ~n[X], (3) Pi EVi §i (3)P2E V2 astfel incat P = Pi + P2

Fie P E ~n[x], P(X) = ao +aiX+a2X2 + ... +anXn. Daca n = 2k, atunci p~X{ = (ao +a2X2 + ... +a2kX2k) + (aiX+a3X3 + ... +a2k_iX

2 - ) = Pi (X)+P2(X) unde Pi (X)= ao +a2X2 + ... +a2kX2k = - P2(-X) E V2. Analog pentru n = 2k+1. => V = Vi +V2 .

Din 1) §i 2) rezulta ca V = Vi $V2

75

Spa1i i vectoriale Capitolul1

53. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K de caracteristica diferita de 2 !?i f: V ~ V un morfism cu proprietatea f 0 f = 1 v .

Sa se arate ca V1 == {x + f(x) ! x EV} !?i V2 = {x - f(x) I x EV} sunt subspatii vectoriale ale lui V §i ca V = V1ffiV2.

Solutie: . ('If) x: Y E V=> x+f(x) E V1, y+f(y) E V 1.===

(x+f(x») + (y+f(y}} = (x+y) + (f(x) + f(y» f aditiva (x+y) +f(x+y) Cum x+y E V=> (x+y) +f(x+y) E V1 ('If) x E V, x+f(x) E V1 !?i ('If) AEK

A(x+f(x» = AX +Af(x) f omogena AX +Af(x)

Cum AX E V => AX +Af(x) E V1 Rezulta deci ca V1 este subspatiu al spatiului vectorial (V,K) Analog se arata ca V2 este subspatiu. Sa aratam ca V = V1tBV2. 1) ('If) x E Vavem:

x = (iX+~f(X») + (~X-~fCX») = (~x+f(iX») +(iX-fCiX»)

2 2 =>XEV+V ~x+f(~x) EVI} , 1 1 I 2 -x-fe-x) EV 2 2 1

V S V, + V1. } => V = V + V V, + V

2 S V(evident) 1 2

2) Fie acum y E V1 n V2 . Rezulta y E V1 !?i Y E V2. Y E V1 => Y = x+f(x), x E V=> fey) == f(x + f(x» ==

== f(x) + (f 0 f)(x) == f(x) + x = y Y E V2 => Y = X - f(x), x E V=> fey) = f(x - f(x» =

== f(x) - (f 0 f)(x) = f(x) - x = -y Deci fey) = y = -y => x = Ov Din 1)!?i 2) obtinem V = V1 ffi V2.

76

Spati i vectoriale Capitolul 1 .

1.3. PROBLEME PROPUSE

1. Sa se decida care dintre urmatoarele perechi de operatii

define:sc pe iR{2 0 struc~ura de spatiu vectorial:

a) +: iR{2xiR{2 ~ ~2 (X1,Y1) + (X2,Y2) = (X1+X2, Y1,Y2)

.: iR{xiR{2 ~ 1R2 a(x,y) = (O,ay), aE ~ b) +: ~?xIR{2 -~ 1R{2 (X1,Y1) + (X2,Y2) = (X1+X2, 0)

.: iR{xiR{2 ~ ~2 a(x,y) = (ax,ay), aE ~ c) +: ~2xiR{2 ~ y2 (X1,Y1) + (X2,Y2) = (X1+X2, Y2)

.: iR{xiR{2 ~ ~2 a(x,y) = (ax,ay), aE ~ Solutie: Nici una: a) nu e verificata axioma 4 a operatiei externe

1·v = v b) operatia interna nu admite element neutru; c) operatia interna nu e comutativa.

2. Fie (K[X], K) spatiul vectorial al polinoamelor in nedeterminata X, cu coeficienti in corpul K, peste corpul K. Decideti care dintre urmatoarele multimi formeaza spatiu vectorial peste K in raport cu adunarea polinoamelor !?i cu inmultirea polinoamelor cu scalari din K.

a) Kn[X] = {PE K[X] I grad P ~ n} b) V[X] == {PE K[X] I grad P ~ n} c) W[X] == {PE K[Xll grad P == n} Solutie: a) (Kn[Xl,K) este spatiu vectorial; b) I c) Nu sunt spatii vectoriale, nefiind stabile in raport cu

adunarea polinoamelor.

3. Sa se arate ca multimea Mmxn(K) a matricelor de tipul mxn cu elemente din K este spatiu vectorial peste corpul K in

77


raport cu adunarea matricelor ~i inmultirea dintre un scalar din K l?i o matrice din Mmxn(K').

4. Fie y multimea tuturor l?irurilor de numere reale. Daca

f = (aO,a1, ... , an, ... ) EY, 9 = (bo,b j , ... , bn .... ) EY l?i aE~ ciefinim: +: yxy-~y f+g = (ao+bo, a1+b1, ... , anbn,; .. )

.: ~xy~y af = (aaQ,aa1, ... , aan, ... )

Sa se arate ca (y,~) este spatiu vectorial.

5. Sa se arate ca urmatoarete muttimi sunt sp~tii ve~toriale reate in raport cu adunarea functiilor ~i cu inmultlrea dlntre 0

functie ~i un scalar real.

a) {flf: [a,b] ~ ~,

b) {tit: [a,b] ~ ~,

c) {tit: [a,b] ~ !R{,

f continua pe [a,b]}

f admite primitive pe [a,b]}

t integrabila pe [a,b]}

6. Fie K un corp oarecare l?i M 0 multime. ~evida. Sa s: arate ca multimea functiilor definite pe M cu valorl In K formeaza un spatiu ve~torial V(M,K) peste corpul ~, operatiile ~ind. adunarea a doua functii din V(M,K) l?i inmultirea dlntre 0 functle l?1 un scalar din K.

7. Fie V = ~: x~: = {(X,Y)E ~21 x>O, y>O}. Sa se studieze daca V dotat cu operatiile:

+: VxV ~V x+Y = (X1,Y1, X2Y2) , x = (X1,X2)EV; Y = (Y1,Y2)EV .: IRxV ~V AX = (x~ ,x~), A EIR

constituie un spatiu vectorial peste corpul numerelor reale. Solutie: Oa.

78


8. Raspundeti la urmatoarele intrebari: a) Este posibil ca un spatiu vectorial sa fie format dintr-un

singur vector? Dar din doi vectori distincti? bi Multimea de vectori obtinuta prin exc:ud~rea unui vector

v dintr-un spatiu vectorial poate forma un spatiu vectorial? . .

c) Mu/timea obtinuta prin exc!uderea unei infinitati de vectori dintr-un spatiu vectorial poate constitui s'patiu vectorial? .

Solutie:

a) Numai daca este vectorul nul. Nu; ar trebui sa contina l?i vectori de tipul AX +JlY. .

b) Nu, deoarece multimea obtinuta contine vectori de suma:

(v;u + v;u =v) c) Da.

9. Demonstrati ca orice sistem de vectori ce contine vectorul nul este liniar dependent.

10. Fie spatiul vectorial (~2fX], ~) a/ polinoamelor de grad cel mult 2 cu coeficienti reali. Aratati ca vectorii P1 = 1 +2X+3x2, P2 = 2+3X+4X

2, P2 = 3+5X+7X2

, sunt liniar dependenti.

11. Fie spatiul vectorial (V, IR), definit in problema 7. a) S!a?ili~i ~onditia ca vectorii X = (X1,X2)EV l?i Y = (Y1,Y2)EV

sa fIe hnlar dependenti.

b) Aratati ca e1 = (1,10) l?i e2 = (10,1) formeaza 0 baza a

~patiului ~V, !R{) l?i atlati coordonatele vectorului v = (2,3) In aceasta batao

Solutie:

a) IgX1 ·lgY2 = IgX2 . IgY1; b) (/g3,lg2)

79


12. Fie (V, ~) spatiu! vectorial real al functiilor reale §i continue. Sa se arate ca urmatoarele sisteme de functii sunt liniar

independente pe orice interval real, Ic~. a) { 1, GOSX, cos2x, ... , cosnx}

1 2 n } b) { ,cosx, cos X, ... , cos x c) {ea,X,ea2x, ... ,e·nX} a1,a2, ... ,an numere reale

distincte.

13. Sa se arate ca urmatoarele sisteme de vectori sunt

liniar independente in (/R{, Q).

a) {~,~,v's}

b) {1,~,~,J6} Indicatie: Analog cu problema rezolvata 10.

14. Fie a,p,y trei constante reale distincte. Sa se precizeze daca functiile sin(x+a), sin(x+p) §i sin(x+y) sunt liniar dependente sau independente. Sa se indice, eventual, relatia de dependenta.

Solutie: sin(y-'p)sin(x+a) + sin(a-y)sin(x+p) + sin(p-a)sin(x+y) = ° 15. in spatiul vectorial (V, K) se considera vectorii

a1,a2,a3,a4,a5 liniar independenti. Sa se stabileasca natura sistemului {b1,b2,b3}.

a) b1 = 3a1+2a2+a3+a4 b2 = 2a1+5a2+3a3+2a4 b3 = 3a1 +4a2+2a3+3a4

b) b1 = 3a1 +4a2-5a3-2a4+4a5 b2 = 8a1+7a2-2a3+5a4-1 Oa5 b3 = 2a1-a2+8a3-a4+2a5

Solutie: a) li~i~r independent; b) liniar dependent.

80


16. in spatiul vectorial (V,K) se considera sistemul de vectori liniar independenti {a1,a2, .. , an}. Sa se stabileasca natura urmatoarelor sisteme de vectori:

a) b1=al, b2::;. a1+a2, ... , bn= a1+a2, ... ,an; b) b1=a1, b2= a1+2a2, ... , bn= a1+2a2+ ... +nan; c) b1=a1+ti2, b2= a2+a3, ... , bn-1= an-1+an, ... ,an, bn =an+a1; d) b1=a1-a2, b2= a2-a3, ... , bn-1= an.1 ··~n, ... ,an, bn =a.,-a1; Solutie: a) liniar independent; b) liniar independent; c) liniar

dependent pentru n par §i liniar independent pentru n impar; d) liniar dependent.

17. Tn spatiul vectorial (R5,R) se considera vectorii: a1 = (0,1,0,2,0)\ a2 = (7,4,1,8,3)\ a3 = (0,3,0,4,0)\

a4 = (1,9,5,7,1)\ a5 = (O,1,O,5,0)t.

Exista coeficientii G;j (i,j = 1,5) astfel incat vectorii: 5

b; = I C1Ja j , i = 1,5 sa fie liniar independenti? Jo l

Solutie: Nu.

18. Se considera vectorii e1 ,e2, ... , en §i x dati prin coordonatele lor intr-o baza oarecare:

a) e1 = (2,1,-3)\ e2 = (3,2,-5)\ e3 = (1,-1,1)\ x = ~6,2,-7)t b) e1 = (1,2,-1,-2)\ e2 = (2,3,0,-1)\ e3 = (1,2,1,4),

e4 = (1,3, -1, 0)\ x = (7,14,-1,2)t. Sa se arate ca {e1,e2, ... , en} formeaza 0 baza a spatiului

(/R{n, /R{) §i sa se determine coordonatele vectorului x in aceasta baza.

Solutie: a) (1,'1 J 1 )t; b) (0,2,1,2)t

81


19. Sa se arate ca urmatoarele sisteme de vectori sunt baze in spatiul (Rn,R) ~i sa se determine legaturile intre coordonatele aceluia~i vector in cele doua baze:

a) 8 = {(1 ,2,1)\ (2,3,3)\ (3,8,2l} 8' = {(3,5,8)\ (5,14,13)\ (1,9,2)t}

b) 8 = {(1, 1,1,1)\ (1,2.1,1)\ (1,.1,2, 1)t, (1,3,2,3)t} 8' = {(1,0,3,3)t, (-2,-3,-5,-4)\ (2,2,5,4)\ (-2,-3,-4,-4)t

Solutie: a) x = -27x' -71x' -43x' . x = 9x' +20x +9x ' . 1 t 2 3' 2 I 2 3'

X = 4x' +12x' + 8x' 3 t 2 3

b) x = 2x' +X' -x' . x = -3x' +X' -2x' + x' . 1 t 3 .' 2 t 2 3 4 '

X = x' -2x' +2x' - x' . 3 I 2 3 • I

20. Sa se determine valorile parametrului aE~ pentru care

sistemul de vectori Gc~3 este sistem de generatori pentru spatiul

(~3, lRS.) ~i pentru 0 astfel de valoare a lui a sa se extraga 0 baza din G,

a) G = {g1 = (0,1,-1)\ g2 = (1,-1,1)\ g3 = (O,a,-2)\ g4 = (O,O,a)t}

b) G = {g1 = (0,1,-1)\ g2 = (1,-1,1)\ g3 = (0,a,-2)\ g4 = (a,O,O)t}

Solutie: a) a~R, 8={(0,1,-1)\ (1,-1,1)\ (0,0,-2)t} b) aER\{2}, 8={(O,1,-1)\ (1,-1,1)\ (O,O,-2)t}

21. Fie 8={e1,e2, ... , en} 0 baza a spatiului (~n, ~), n impar ~i x = 2(e1+e2+ ... +en). Sa se determine coordonatele vectorului n in baza formata cu vectorii f1 = e1+e2, f2 = e2+e3, ... fn-1 = en-1+en, fn = en+e1

Solutie: XF = (1,1, ... , 1)t unde F = {f1.f2, ... ,fn}

82


22. Fie E = {e1,e2,e3,e4,e5} 0 baza a spatiului (~s, lRS.) ~i e' =ae2; e' =A.e3; e' = ye4; e' = cres; e' = Ee1 cu a,B;y,a,B "* 0. Sa se

I 2 tJ 3 4 5

arate ca E' = {e;, e~ ,e~ ,e~ ,eJ este baza in (~s, ~) ~i sa se determine legatura intre cocrdonatele unui vector xER5 in cele doua baze.

Solutie: X1 = BX ~, X1= ax;, X3 = Bx~, X4 = yx~, Xs = ax~

23. Stabiliti daca urmatoarele relatii de trecere de la baza . . E ={e1,e2, ... , en} la baza F = {f1,f2, ... ,fn} sunt posibile: a) n = 4 f1 = e1-e2, f2 = e2-e3. f3 = e3-e4, f4 = e4-e1, b) n = 5 f1 = e1+e2, f2 = e2+e3, f3 = e3+e4, f4 = e4+e5,

fs = eS+e1 c) n = 6 f1 = e1+e2, f2 = e2+e3, f3 = e3+e4, f4 = e4+eS,

fs = eS+e6, f6 = e6+e1 Solu1ie: a) Nu; b) Da; c) Nu.

24. Cum se modifica matricea de trecere de la 0 baza la

alta in spatiul vectorial (~n, ~), daca: a) se interschimba doi vectori ai primei baze; b) se interschimba doi vectori ai celei de-a doua baze; c) se scriu vectorii ambelor baze in ordine inversa. Solutie: a) se interschimba doua linii ale matricei de trecere; b) se interschimba doua coloane ale matricei de trecere; c) se interschimba elementele simetrice in raport cu centrul

matricei.

25. Care este matricea de trecere de la baza 8 la baza 8' in

spatiul vectorial (~n[X], ~) al polinoamelor de grad eel mult n, in nedeterminata X, cu coeficienti reali, daca:

83


a) 8= {1,X,X2, ... , Xn}, 8' = {1,X-a,(X-a)2, ... , (X-a)n}, aE~

b) 8= {1,X,X2, ... , X"}, 8' = {1,X+a,(X+a)2, ... , (X+a)"}, aE~ Solulie:

/1 - a a2 ... -, a ( ,)n II

O I - 2a / 1)"-1 n-l .. . 1.- ·ua a) A= . 0 0 0 ... (_l)n-z .n(n-l)an- z ; ·

lo ·· o · · O ··· ~ ~I ·· ···· ·2 ... .. .

1 a aZ

o I 2a b) A = o 0 1

... a n

... na n

n(n -1) ... a

(fo·· O::.i .... 2 ....

26. Sa se arate ca urmatoarele multimi constituie subspatii

vectoriale ale spatiilor (V, ~) specificate ~i sa se determine pentru fiecare 0 baza ~i dimensiunea:

a) V1 = {(O,X2,X3,X.d/X2,3,4 E~}, V=~4 V2 = {(X1, O,X3,X4)t/X1,3,4 E~}, V=~4

V3 = V1nV2 , V=~4

V4 = V1+V2 , V=~4 V5 = {(X1,X2,X3,X4)t/ X1+X2-X3+X4=O, X1-X2+X3-X4 =0,

3X1+X2-X3+X4 =0, 3X1-X2+X3-X4 =0, X1,2,3,4 e~}, V=~4

b) W1 = {PEVI P(2) = O}, V = ~5[X]

W2 = {PeVI P(1) = P(2) = O}, V = ~4[Xl

c) w={(~ a~c cb)a,b,cER}'V=M2'3(~) d) Y1 = {(an)nEN* cYI an = 3an-1-2an-2, n > 2}

V = Y = {(an)nE~*1 anE~ (\7'), nE~*}

84

Spatii vectoriale Capitolul 1 .

Sofutie: a) • 8 1 = {(O, 1,0,0)\ (0,0,1 ,O)t, (0,0,0.1 )t}. dimV1 = 3;

82 = {(1.0.0.0)\ (0.0.1,0)\ (0.0,0.1)t}. dimV2 = 3; 83 = {(0.0,1,O)\ (O,O,O,1)t}. dimV2 = 2; 84 = {(1 ,0,0,0)\ (0,1,0,0)\ (0,0,2,0)\ (O,O,O,2)t },

dimV4 = 4 014 = ~\ V5 = {(O,a.,-{3,a..{3)tl a.,{3e~}, 85 = {(0,1,1,O)\

(O,-1,O,1)t}, dimV5 = 2 b) 81 = {x-2, x(x-2), x2(x-2), x3(x-2), x4(x-2)}, dim W1 = 5;

82 = {(x-1)(x-2), x(x-1)(x-2), x2(x-1)(x-2)}. dimW2 = 3

c) 8 = {(O 1 01 (0 1 01 (0 0 II} dimW = 3' 1 0 0)' 0 0 1)' 0 0 0) • •

d) 8 = {(1,0.-2,-6 •... , _2n-1 +2, ... ), (0,1,3.7 •...• 2n-1_1 •... )}, dimY1 = 2

27. Sa se arate ca multimile:

V={AEM3x3(~) I A = (~ ~ a~bJ, a,b,ce~} c b 0

W = {AeM3x3(~) I A = (~ 2a

C

~:J, a.b.ce~} c b a

Sunt subspatii ale spatiului vectorial (M3x3(~),~) ~i sa se determine cate 0 baza.

Solulie: Se verifica imediat definitia subspatiului pentru amandoua

multimile . .

o baza In V effie {(~ ~ m~ ~ m; ~ m, 85


{(I 0 OJ (0 0 2J (0 2 OJ} Jar In W: 0 1 0, 1 0 0, 0 0 2 00 .1010100

28. Fie 0/, ~) un spatiu vectorial de dimensiune nz2. Sa se

arate ca daca V1 ~i V2 sunt subspatii distincte ale lui V ~i dim0/d~.)

= dim0/2, ~) = n-1; atune; dim(V1r1V2) = n-2.

29. Sa se arate ca spatiul (Mn(~),~) al matricelor patratice

de ordin n cu elemente din ~ este suma directa dintre subspatiul matricelor simetrice ~i subspatiul matriceJor antisimetrice. Dar

daca In loc de ~ consideram corpul 7l..2? Solutie: Se folose~te problema 34 de la probleme rezolv~te.

Pentru 7l..2 in loc de ~ se observa ca orice matrice simetrica este ~i antisimetrica, iar multimea matricelor simetrice este strict inclusa in multimea tuturor matricelor.

30. Sa se determine dimensiunea ~i cate 0 baza pentru subspatiile:

V1=Sp({V1,V2}), V2 =Sp({W1,W2P, V1+V2 ~i V1r1V2 unde V1= (1,1,0,0)\ V2= (1,0,1,1)\ W1= (0,0,1,1) , W2= (0,1, 1,O)t. Ce se poate spune despre V1+V2? .

Solu1ie: {V1,V2}, {W2,W2}, {V1,V2,W1,W2}, dim0/1r1V2) = 0.

31. Sa se determine dimensiunea §i 0 baza a subspatiului Sp( {V1,V2,V3}), daca:

a) V2= (1,-1,2,4)\ V2= (1,-2,-4,7)\ V3= (O,1,6,-3)t b) V2= (1 ,-1,3,-2)\ V2= (2,-2,6,-4)\ V3= (-3,3,-9,6)t

86

Spatii,vectoriale Capitolul 1·

Solu1ie: a) dimSp({v1,V2,V3}) = 2, B = {V1,V3}, V2=V1-V3. b) dimSp({v1,V2,V3}) = 1, B = {V1}, v2=2v1 : v3.=-3v1

32. Sa se arate ca V1 = {f:[-a,a]~!P? i f(x) = f(-x)

(\I) XE[-.~,a]} ~i V2 = {f:[-a,a]-~ ~ I f(x) = -f(-x) (\I) xE[-a,a]} sunt subspatll suphmentare In spatiul vectorial V al tuturor functiilor reale definite pe (-a,a]. '

Solutie: Se arata ca orice functie este suma dintre 0 functie para §i

. ~ f() 1 1 una Impara: x = 2' [f(x)+f( -x)] + 2' (f(x)-f( -x)], iar intersectia

subspatiilor este functia nula.

87

Spatii liniare euclidiene Capitolul2

SPATII LINIARE EUCLIDIENE

2.1. No1iuni teoretice

1. Functionale liniare, reprezentarea lntr-o baza data, dualul algebric al unui spatiu liniar

Fie X un spatiu liniar peste corpul de scalari K. Oefinitie: 0 aplicatie f: X ~ K se numel?te functionala. Oefinitie: 0 functionala f: X ~ K se numel?te functionala

Iiniara daca este aditiva l?i omogena: i) V x, Y E K, f(x+y) = f(x) + fey) ii) V x E K, VUE K, f(ux) = uf(x) Fie X un spatiu liniar de dimensiune finita, anume dimX = n.

Daca E = {e1, e2, ... , en} este 0 baz8 a lui X, notand cu aj = f(ei),

i = 1, n , matricea:

A ~ [~:J se nume~te matricea funC\ionalei liniare f

corespunzatoare fazei E, iar f(x) = A'x unde X = !x1el .

1=1

Oefinitie: Multimea X* = {f: X ~ KIf functionala Iiniara} se numel?te spatiul dual al lui X.

88


Propozitie: X*, spatiul dual allui X, este un spatiu liniar de aceeal?i dimensiune ca l?i X.

2, Functionale biliniare. Matrice asociata. Trecerea de la 0 baza la alta

Fie X, Y doua spatii liniaic peste acelal?i corp de scalari K. Oefinitie: 0 aplicatie f: X x Y ~ K se numel?te functionala

biliniara daca este liniara in fiecare argument, adica: 1) V X1, X2 E X, U1, U2 E K, Y E Yare loc: f( U1 X1 + U2X2, y) = U1 (f(X1, y) + U2f(X2, y) 2) V X1 E X, U1, U2 E K, Y1, Y2 E Yare loc: f(X1 U1Y1 + (l2Y2) = u1f(X1,Y1) + U2f(X1,Y2). Daca dimX = m, dimY = n l?i E = {e1 ... em} baza din X, G = {g1... gn} baza din Y, atunci V x E X,

X= ~>Iel' Vy EY, y= IdJg j , notand cu ajj = f(ej, gj), I- I J-'

i=l,m, j = l,n putemscrief(x,y)=XtAYunde A=(a .. ).-. 1J 1=I,m

j=\,n

Matricea A = (ajj)j=i,m poarta numele de matricea j=i,n

functionalei biliniare corespunzatoare bazelor E l?i G. Daca din spatiulliniar X trecem de la E la F prin intermediul

matricei C, iar din spa\iul Y trecem de la baza G la baza H prin intermediul matricei 0, atunci matricea functionalei biliniare corespunzatoare bazelor F l?i H este 8 = CAD T, •

3. Produs scalar. Produs scalar complex

Consideram spatiul liniar X peste corpul de scalari K, unde K este R sau C.

Oefinitie: Se nume§te produs scalar aplicatia:

89


< , >: X x X -) K, care satisface urmatoarele axiome:

i). < x,Y > = < y, x>, V x,y E X

ii). < ax,y > = a< x,y >, V x,y E X, V a E K iii). < X1 + X2, y> = < X1, y :> + < X2, y >, V X1,X2 E X, V Y EX iv). < x,y > > 0, V X:j; 0 ~i < x,x > :: 0 ~ X = 0 Oefinitie: Un spatiu liniar X pe care s-a definlt un produs

scalar se nume~te spatiu euclidian. Propozi\ie: Daca X este un spatiu euclidian, atunci:

I I

\<x,Y>\:S;«X,X» 2«y,y» 2, Vx,y EX.

4. Notiunea de norma. Notiunea de distanta. Spa\ii Iiniare normate

Sa consideram un spatiu liniar X peste corpul de scalari K. Oefinitie: Aplicatia II . II : X -) [0, (0) se nume~te norma

daca: i). /Ix/I> 0, V x :j; 0 ~i /Ix/I = 0 ~ x = Ox ii). /lax/I = Ia.! . /Ix/I, V a E K ~i x E X iii). /lx+y/l :s; /Ix/I + /ly/l, V x,y E X Oefinitie: Spatiul liniar pe care s-a definit 0 norma se

nume~te spatiu liniar normat. Oefinitie: Fie X un spatiu liniar peste corpul K. Aplicatia

d: X x X -) [0, (0) se nume~te distanta pe X daca: i). d(x,y) ~ 0, V x,Y E X; d(x,y) = 0 ~ x = Y ii). d(x,Y) = d(y,x), V x,Y E X iii). d(x,z) :s; d(x,y) + d(y,z), V x,y,z E X Propozitie: Daca X este un spatiu euclidian, aplicatia:

/I . /I : X -) [0, (0) astfel ca: /Ix/I = ~< x, x> , V X E X este 0 norma

peX.

90


5. Baze ortogonale. Pfocedeu de ortogonalizare

Fie X un spatiu euclid ian oarecare. Definitia: Elementele x, Y E X se numesc ortogonale daca

< x,y > = O~! notam x 1.. y. Oefinitie: Spunem ca elementul Xo E X este ortogonal pe

mu1timea A ~i scriem Xo 1.. A, daca: < Xo, a > = 0, V a E A. Oefinitie: Se nume~te compiementul ortogonal al multimii

A, multimea A1- = {XE A; x JA} Propozitie: A1- este un subspatiu liniar allui X. Propozitie: Daca elementele X1, X2, ... , Xn ale spatiului

euclid ian X sunt ortogonale doua cate doua atunci ele sunt liniar independente.

Oefinitie: Se nume~te determinant Gram sau al vectorilor e1, e2, ... , ep determinantul:

< cl'e, > < eL,e2 > ... < el'ep > < e2 ,el > < e2 ,e2 > ... < e2 ,ep >

8p= .

< ep,el > < ep,e2 > ... < ep,ep >

Propozitie: Elementele vectorilor e1, e2, ... , ep sunt liniar dependente daca ~i numai daca 8 p = O.

Oefinitie: Fie X un spatiu liniar. 0 multime B c X se nume~te baza ortogonala daca:

i) Beste baza pentru spatiul liniar. ii) oricare ar fi doua elemente disjuncte din B ele sunt

ortogonale. Oefinitie: 0 baza ortogonala formata din elemente cu

norma egala cu unitatea se nume~te baza ortonormala. Propozitie: Orice spatiu euclid ian de dimensiune finita

contine 0 baza ortogonala.

91

Spatii Iiniare euclidiene Capitolul 2

6. Proiectia unui vector pe un subspatiu

Propozitie: Fie Xo un subspatiu al spatiului euclidian X ~i Bo 0 baza a lui 1.0 . Atunci a 1.. Xo ~ a J. Bo. .

Propozitie: Sa consideram un spatiu euclid ian X fimt dimfmsional, Xo Ull subspatiu al lui X ~i a E X. Atunci a se descompune in mod unic sub forma:

a = ao + b, cu ao E Xo, b E:: X~ iar IIbll este distanta de la a

la Xo. (d(a, Xo) = inf d(a,x».

xeXo ao se nume~te proiectia lui a pe subspatiu! Xo.


1. Tn spatiul numeric ~3 se define~te functia f(x) = X1 + X2, unde x = (X1, X2,' X3t Sa se arate ca f(x) este 0 functionala liniara.

Solutie:

Fie y = (Y1, Y2, yd ~i a E ~. Atunci f(x+y) = (X1+Y1) + (X2+Y2) = (X1+X2) + (Y1+Y2) = f(x) +

fey); f(ax) = a X1+aX2 = a(x1+x2) = af(x).

2. Tn spatiul liniar al functiilor integrabile pe [a,b] se define~te functia:

b

f(x) = f x(t)dt a

Sa se arate ca f(x) este 0 forma liniara. Solutie: Fie x: [a,b] ~ ~, y: [a,b] doua functii integrabile definite pe

[a,b]. Atunci aX + f3y este 0 functie integrabila pe [a,b] ~i

92


b b b

f[ax(t) + f3y(t)]dt = a f x(t)dt + f3 f y(t)dt, deci f este 0 forma a a a

liniara.

3. Tn spa~iul liniar al functiilor integrabile pe (a,b] se define~te functia:

b

f(x) = f x(t)2dt a

Este f(x) 0 forma liniara? Solutie:

Fie x,y: [a,b] ~ ~ aplicatii integrabile. Atunci:

b b b b

f(x+y) = f[x(t) + z(t)ydt = fX 2 (t)dt+ fi(t)dt + 2 fX(t)z(t)dt;c a II: a a

;f. f(x) + fey) in general (de exemplu x = y == 1 pe [a,b]. Oeci f nu este 0 forma liniara.

4. Oaca f(x) este 0 forma liniara pe spatiul liniar X, atunci multimea vectorilor x E X pentru care f(x) = 0 formeaza un subspatiu liniar. Care este dimensiunea acestui subspatiu?

Solutie: Sa notam pentru inceput ca subspatiul mentionat se

noteaza cu Kerf ~i se nume~te nucleul lui f. Fie acum x, y E X astfel incat f(x) = fey) = O. Atunci V a, f3 E K avem f(ax+f3y) = af(x) + Pf(y) = 0, deci f(ax+py) = 0 ~ ax+py E Kerf, V a,p E K ~i x,y E

Kerf. Prin urmare Kerf este un subspatiu \iniar. Fie acum e1, e2, ... , en 0 baza in X ~i x E X astfel incat

f(x) = O. Oaca x = a1e1 + a2X2 + ... + anen obtinem a1f(e1) + a2f(e2) + ... + + anf(xn} = O. Oaca \;j i = 1, n avem f(ei) = 0 atunci f este

identic nula, iar X = Kerf. Tn caz contrar (3) i = 1, n astfel incat

93


f(ei) *- O. Fara a restrange generalitatea putem presupune f(en) *- O. Atunci Kerf este constituit din multimea tuturor vectorilor de forma:

( 1 n-l) . --

al'a2' ... ,an-l'----~:::aif(eJ undeaj E K, l=l,n-l. teen) i=l

Atunci vectorii:

(1,0,0, ... ,0,- f(el)"j\

f(e n )

(1,0,0, ... ,0,- fce2») f(en )

( f(en-I») 1,0,0, ... ,0,-~:.:....!..:... f(e n )

in numar de (n-1) constituie In mod evident un sistem de generatori ~i in plus sunt liniar independenti.

Deci dimensiunea cautata este (n-1).

5. Sa se determine 0 forma liniara neidentic nula In 1R3 astfel ca: f(X1) = f(X2) = 0, unde X1 = (0,1,1)\ X2 = (-1,1,1)\

Solutie:

Fie e1, e2, e3 0 baza in ~? Atunci: f(x) = f(a1e1 + a2e2 + a3e3) :-= a1f(e1) + a2f(e2) + a3f(e3). Din f(X1) = f(X2) = ° obtinem: f(e2) + f(e3) = ° ; -f(e1) + f(e2) + f(e3) = 0 Atunci f(e1) = ° iar f(e2) = -f(e3). Alg f(e2) = -f(e3) = -1 ~i obtin

f(x) = -a2 + a3, V x = (a1, a2, a3t

6. Se da functionala f: l3 ~ ~, f(x) = X1 + 2X2 + 3X3 unde x = (X1, X2, X3)t. Sa se determine coeficientii functionalei In baza: E = {e1 = (1,1,0)\ e2 = (1,0',1)\ e3'= (0,1,1)t}.

94


Solutie:

Se ~tie eli f(x) = A 'x unde A = (::]. a, = f(e,) , i = 1,3.

Obtinem a1 = 3, a2 = 4, a3 = 5 coeficientii functionali in baza E.

7. Tn spatiul numeric ~4 se considera forma biliniara A(x,Y) = 2X1Y1 + X2Y1 + X2Y2 + 3X3Y3 + X4Y1 + X4Y4. Sa se regaseasca matricea corespunzatoare formei biliniare A(x,Y) in baza: X1 = (1,1,1,1)\ X2 = (0,1,2,1)\ X3 = (0,1,1,0)\ X4 = (1,0,0,2t Solutie: Matricea ata~ata lui A in baza canonica este:

2 ° 0 0 1 1 0 0

M = iar matricea de trecere de la baza 003 0

100 1

canonica la baza mentionata este:

1 0 ° 1 1 1 1 0 c=

210

1 1 0 2

Atunci matricea ata~ata lui A este CMCt.

8. Fiind data 0 matrice simetrica A = lIai/f, i,j = 1, n avand

all a 2 proprietatile: a11 > 0, 1 > 0, .. . detllaijll>O, sa se arate ca

a2l a22

ann> 0.

95

Spatii Iiniare euclidiene Capitolul2

Solutie: $tim ca daca A este 0 matrice simetrica care indepline~te

conditiile mentionate, atunci: . . n n

8(X,X) = L L hij v l V j unde bij = an-i+1, n-j+ 1, Vi = Xn-i, Vj =Xn-j ~l i=1 j=1

din faptul ca este pozitiv definita ::::::> b11 > 0 ded ann> O.

9. Sa se gaseasca cosinusul ur.ghiului pe care il fac vectorii: x = (-1, 0,1,1), Y = (2,0,0,-1).

Solutie: . ,

<xy> (3 . (x,y) = Ixilyl = -VS unde prln <x,y> am notat produsul

scalar al vectorilor x ~i y, iar prin Ixi am notat norma lui x.

deci:

10. Se dau vectorii V1 = (1,1,0), V2 = (1,0,-1), V3 = (0,1,2).

Sa se construiasca 0 baza ortonormala in [R?3. ,

Solutie:

Luam e, = v, = (1,1,0), y, = (~, ~ ,0) ~ 1::1;

Calculam e2 = Vz - < el , V 2 > e1, <e1,v2> =1 deci < e"e] >

ez = (.!. -.!. -1) <e2 e2> = i. Obtinem 2' 2' , ' . 2 .

_ e2 (1 1 2 ) Y2- ~= J6'- J6'- J6

Sa calculam pe e3 = V3 - < ep V3 > e1 _ < el , V3 > e2; < epel > < e2 ,e2 >

<e1,v3> = 1, <e2,v3> = - ~, e3 = (~,-~,~), <e3,e3> = ~

96


_ e3 (1 1 1) Y3 - ~= /'3,- /'3'-J3

Atunci Y1, Y2, y~ formeaza 0 baza ortonormala in [R?3.

11. Sa se demonstreze inegalitatea lui Cauchy: ! n 2 n n

\t;a;b; ~ t;laJblhil2 . Solutie: Fie x = a1e1 + a2e2 + ... + anen

Y = b1e1 + b2ez + .. . + bnen

unde {e1, e2, .. " en} este 0 baza ortonormala in en. n

Atunci (x,Y) = L a j bi este un produs scalar pe (n. i=l

Din inegalitatea lui Cauchy pentru produsele scalare obtinem afirmatia.

12. Sa se demonstreze inegalitatea lui Schwarz:

lff(t)g(t)dt), s Of2 (t)dt) (fg2 (t)dt)

unde f ~i 9 sunt functii continue in intervalul [a,b]. Solutie:

b

Folosind produsul scalar (f(t),g(t» = J g(t)f(t)dt ~i a

inegalitatea Cauchy, obtinem automat afirmatia.

13. Daca {f1, f2, ... , fn} este 0 baza oarecare in X ~i {e1, e2, ... , en} este baza obtinuta prin proeedeul de ortogonalizare, atunei:

o < led ~ Ifil, V i = 1, n

97


Solutie: Tn adevar ~tim ca:

I-I <e f> i-I <e .,fj > ej = f j - L J' I e J ded f j - ej = L J e j .

j~1 < ej,eJ

> j~1 < ej,ej >

Notand cu v = fi - ei avem <ei,v> = O. Din teorema lui

Pitagora => le;12 + Ivl2 = lei + vl2

= Ifil2 deci 0 < led ~ !fil·

14. Fie: (fl,f\) (fpf2)'" (fl,fn) (f2,fl ) (f2,f2) '" (f2,fn)

r= . (fn,fl) (fn,f2)'" (fn,fn)

determinantul Gram al unei baze oarecare din X. Atunci 0 < r ~ (k f1)(f2, f2)'" (fn, fn). Solutie: in adevar, cum produsul scalar a doi vectori din X este

independent de baza aleasa, r este 0 functie de vectori f1, ... , fn . Vom nota pentru simplitate cu:

[r:} f" f, ... f,) matricea determ inantulu; r.

n

Folosind 0 schimbare de baze fi = I cije j avem: j~1

98

Spatii liniare euclidiene

(ep el ) (e1, e2)... (ep en)

r = (detA)2 ~e2,el) (e2 ,e2) .. · (e2,en )

(en,e l ) (en ,e2 )··· (en,en)1

Capitolul2

Cum in X exista baze ortonormate {e1, e2, ... , en} rezulta: r = (det A)2 ~i cum det A * 0 => r > o. Tn particular, daca se

va lua baza ortogonala ~i anume baza determinata prin formulele: 1:-'; < e,r >

fi = ej + I J 1 e j atunci det A = 1, deoarece A este 0 j=l < ej , ej >

matrice triunghiulara care are pe diagonala principala toate elementele egale cu 1 ~i deci:

r = (e1, e1)(e2, e2} ... (en, en) ~ (k f1) ... (fn, fn) conform cu exercitiul 13.

15. Sa se demonstreze teorema generala a ortogonalizarii Fie X1, X2, ... , Xk, ... un ~ir de vectori ai unui spatiu euclid ian

(finit sau infinit). Notam prin cfic. = J{X1, X2, ... , Xk) acoperirea liniara a primilor vectori ai acestui sistem. Atunci exista un ~ir de vectori Y1, Y2, ... , Yk, .. . avand urmatoarele proprietati:

1. Pentru orice k natural acoperirea liniara ofk a vectorilor Y1, Y2, ... , Yk coincide cu cfic..

2. Pentru orice k natural vectorul Yk+1 este ortogonallui 4... Solutie: Punem Y1 = X1. Evident of; = oL1 . Vom demonstra teorema

prin inductie. Presupunem ca vectorii Y1, Y2, ... , Yk sunt deja construiti ~i satisfac conditiile cerute ~i vom construi pe Yk+1 a stfe I incat el sa satisfaca de asemenea proprietatile cerute.

Spatiul cfic. fiind finit dimensional, are loc descompunerea: Xk+1 = gk + hk (1)

unde gk E 4.. iar hk este perpendicular pe 4... lar Yk+1 = hk. Verificam ca Yk+1 este vectorul cautat.

Subspatiul cfic. contine Y1, Y2, ... , Yk conform ipotezei de inductie ~i cfic.+1 contine ace~ti vectori (4.. c cfic.+1)'

99


Din (1) obtinem ca oLk+1 contine hk = Yk+1 deci oLk+1 contine Y1, ... , Yk, Yk+1 deci intreaga acoperire liniara .,Ik+1 . Dar ~i invers .,Ik+1 contine X1, ... , Xk iar din (1) contine ~i Xk+1, deci .,Ik+1 contine

II <4>.+1·

A§adar .4+1 = .,Ik+1 ~i prima parte a teoremei de ortogonalitate este fndeplinita. indepl!nirea celei de-a doua este evidenta conform constructiei lui Yk+1 = hk. Inductia este realizata ~i teorema este demonstrata.

16. Orice sistem de vectori Z1, Z2, .. . , Zk, ... indeplinind conditiile teoremei precedente coincide pana la factori multiplicativi cu sistemul Y1, Y2, ... , Yk, ... construit anterior.

Solutie: Tn adevar Zk+1 trebuie sa apartina lui oLk+1 ~i sa fie

perpendicular pe .4 . Prima din aceste conditii conduce la existenta unei descompuneri:

Zk+1 = C1Y1 + C2Y2 + ... + CkYk + Ck+1Yk+1 = )\ + Ck+1Yk+1, unde

Yk E oLk , iar Ck+1Yk+1 perpendicular pe oLk . Atunci (Zk+1, Yk) = 0 deci Yk := 0 de unde Zk+1 = Ck+1Yk+1 ~i

afirmatia e demonstrata.

17. Sa se gaseasca distanta punctului (4,5,9) la planul definit de vectorii V1 = (1,1,0), V2 == (0,-1,1).

Solutie: Determinam 0 baza ortonormala: V1 ==e1 =(1,1,0)

e2 == V2 - <e)v2 > VI = (!,=-!,1) deci (21, -21 ,0) ~i < el' el > 2 2 ')

(~, ~ ,m formeaza 0 baza ortonormala. Punimd:

Vo =a,(~, ~,o)+a,(~, ~,m 100


Obtinem:

( 1 1 ~ 9

a1 = < (4,5,9), .fi'.fi ,0) > .fi

(1 1 f2I 17

a2 = < (4,5,9), J6' J6'V3) > J6

A (46 5 17~ . d' t t d t vem Vo = -,-,-) ~I IS an,a es e: 3 3 :1

1

[( 46)2 ( 5)2 ( 17)2]2 d= 4- 3 + 5-3 + 9-3 18. Sa se gaseasca proiectia ortogonala a lui (1,1,1) pe

subspa\iullui 1W.3 generat de (1,-1,1). Solu1ie:

d (1 1 1) . Vo == a1e1 un e e1 = - - - - ~I

J3' J3'J3 a1 == <V1 e1> unde v = (1,1,1); a1 = 1.. deci

3

Vo = (! -1.. 1..). 3' 3' 3

19. Sa se determine in ~5 subspatiul E" ortogonaJ pe subspatiul E' dat de ecuatiile:

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 0; X1 - X2 - X3 - X4 + X5 = o. Sa se arate ca 1W.5 = E' E9 E" Sa se scrie matricea operatorului liniar A care face sa

corespunda lui x E ~5 vectorul x" E E", unde x = x' + x" (x' E E', x" E E"), deci Ax:= x".

Solutie: Avem X1 + X3 + X5 = 0 ~i X2 + X4 = 0 deci:

101


E' = {(a,b,c,-b,-a,-c) I a,b,c E ~}. 0 baza in E' ar putea fi formata din vectorii:

e1 = (1,0,0,0,-1); e2 = (0,1,0,-1,0); 63 = (0,0,1,0,-1) Fie acum x = Y1, Y2, Y3. Y4, Y5) perpendicular pe e1, e2, e3. Atunci Y1 - Y5 = °

Y2 -Y4 = 0 Y3 -Y5:::: 0

Oed Y1 = Y3 = Y5, Y2 = Y4 ~i ded

E" = {(a,b,a,b,a) I a,b E ~}. Fie acum x = (X1 + X2 + X3 + X4 + X5). Atunci x = x' +. x" unde

x' = a,~,y, -~, -a, -y) cu a,~,y E ~ x" = (a,b,a,b,a) ~i intrucat sistemul: a+a = XI

b+~ = X 2

a+y = X3

b - ~ = X 4

a-a-y = Xs

are solutie nula Xl + X3 + X5 b x 2 + X4 2Xl - X3 - Xs a - - a - -----':_....:f--~ - 3 ,- 2 ,- 3

(.t _ x 2 - X4 _ 2X3 - XI - X5 p- 2 ,y- 3

rezulta ca ~5 = E' EB E".· Avem Ax = x" deci:

Ax = (Xl + X3 + X5 X2 + X4 Xl + X3 + Xs X2 + X4 Xl + X3 + Xs) iar 3 '2' 3' 2' 3 '

matricea ata~ata lui a este:

102


113 0 113 0 1/5 0 112 0 112 0

M= 113 0 113 0 115 0 112 0 112 0

\113 0 113 0 115

20. Fie (X,K) un spatiu euclidian. Sa se arate ca: a) singurul vector perpendicular pe orice vector din X este

vectorul nul. b) daca < a,x > = < b,x >, V x E X, atunci a = b. Solutie: a) Din < a,x > = 0, V X EX=> < x,a > = 0, deci a = 0. b) < a,x > = < b,x >, V X EX=> < a-b, x> = 0, V X E X, deci

conform cu a) => a-b = ° sau a = b.

2.3. Probleme propuse

1. In spatiul numeric R3 se define~te functia f(x) = X3 + 3. Este f(x) 0 forma liniara? R. Nu.

2. In spatiul liniar al functiilor derivabile pe R. Se define~te

functia f(x) = dx( t) . dt

Este f(x) 0 forma liniara? R. Da.

3. Sa se arate ca daca x = a1e1 + a2e2 + ... + anen, unde {e1, e2, ... , en} este 0 baza in spatiul liniar, atunci f(x) = a1 + a2 + ... + an, este 0 forma liniara.

103


4. Tntr-un spatiu liniar cu n dimensiuni exista un vector x, x:t: 0, astfel ca:

fi(X) ::: 0, Vi::: 1, m

unde fi ' i ::: i, m sunt forme liniare ~i m < n.

I

5. Sa se arate ca f: P2[x] ~ ~, f(P)::: J P(x)dx este 0 functie o

liniara ~i sa se afle coeficientii ei in baza {1, x-1, (x _ 1)2}

R. (l-! ~) , 2'3

6. Sa se precizeze daca urmatorul sistem de functionale liniare este liniar dependent:

a) f1(x) ::: 2X1 - 4X2 + X3 f2(x) ::: X1 - 13x2 + 3X3 f3(X) ::: 3X1 + 5X2 - X3

fi : ~ 3 ~ ~, i ::: 1,3 x ::: (X1, X2, X3)t R. a) da; b) nu.

b) f1(X) ::: X1 + X2 - X3 + )4

f2(x) ::: X1 - X2 - X3 ,+ )4

h(x)::: 5X1 -X2 - X3 +)4

fi : ~4 ~ ~, i ::: 1,4 x ::: (X1, X2, X3, )4)t

7. Pentru 0 forma liniara data f(x) nenula In spatiul Kn (K ::: R sau C) sa se indice 0 baza 91, 92, ... , 9n astlel incat pentru orice

n .

vector: x = I axgk sa avem f(x) ::: a1. K=I

8. Tn spatiul numeric ~n se define~te functia: n

A(x,y)::: Iajb j , unde x::: (a1 ... ani; y::: (b1 ... bnt i=l

Sa se arate ca A(x,Y) este 0 forma biliniara.

104

SpatH Iiniare euclidiene Capitolul2

9. Tn spatiul liniar al functiilor continue in intervalul [a,b] se define~te functia:

b b

A(x,Y) ~ J J x(t)y(s)dtds a a

Sa se arate ca A(x,y) este 0 forma biliniara.

10. Daca A(x,Y) este 0 forma biliniara definita pe spatiile X ~i Y, atunci A(O,Y) ::: 0, V Y E Y ~i A(x,O} ::: 0, V X E X.

11. Fiind data 0 matrice simetrica A ::: lIaijIJ avand a a

proprietatile a11 > 0, 11 12 > 0, ... det lIai/l > O. a21 a22

sa se arate ca ann> O. n n

Indica1ie: 8(x,x) ::: I I aijXi X j este pozitiv definita. i=1 j=l

12. Consideram 0 forma biliniara in ~n, f(x,Y) ::: xtAy, cu ran9A ::: 1. Atunci f se poate scrie ca produsul a doua forme liniare.

Indicatie: 0 matrice de rang1 are liniile proportionale intre ele.

13. Sa se arate ca f:P3[X]XP3[x] ~ ~, I

f(P,Q)::: Jp(x)Q(x)dx este 0 functionala bilinara, simetrica, - I

pozitiv definita ~i sa se scrie matricea ei in baza {1,X,X2,X3}.

105


2 0 2/3 0

R. 0 2/3 0 2/5

2/3 0 2/5 0

0 2/5 0 2/7

14. Sa se arate ca f: ~3 X~3 ~ ~, f(x,Y) = a1Y2 - X2Y3 + X3Y1, unde x = (X1, X2, X3)t, Y = (Y1, Y2, Y3)t este 0 fu~ctionala bi!iniara. Sa se scrie matricea functionalei biliniare In baza comuna §i In baza G = {91,g2,g3}, unde g1 = (1,2,3)\ 92 = (1,2,0)\ g3 = (1 ,o,ot

15. Fie X un spatiu vectorial complex. Atunci:

4 < x, Y >= Ix + YI2 -Ix - YI2 + ilx + iyI2 - ilx _ iyI2

1

unde < x,Y > este un produs scalar pe X iar Ixi = < X,X > 2' , V X E X.

16. Sa se arate ca in spatiul polinoamelor de grad ~ n, se poate introduce produsul scalar prin:

1

< P(t), Q(t) > = fp(t)Q(t)dt. -1

17. Sa se gaseasca produsul scalar al vectorilor: x = (1,0,2,3), Y = (2,2,1,4) R. 16.

18. Sa se gaseasca lungimea vectorului x = (1,5,1,0). R. 3Jj.

19. Daca A = (aij) , i,j = 1, n este 0 matrice simetrica, pozitiv definita, atunci:

106


(~aijXiyjr ~(~aijXiXj)(~aijYiyj)' unde X1 ... Xn, Y1 ... Yn sunt

numere reale.

Indica1ie: In ~n, < x,Y > = xtAx, x = (X1 ... Xn)\ Y = (Y1 ... Yn)t este un produs scalar. Se aplica inegalitatea Cauchy.

20. Daca matricea A = (ajj) satisface conditiile din exercitiul

precedent, atunci aij2 ~ aiiajj, V i,j = 1, n .

Indica1ie: Fie e1 ... en baza comuna din ~n.

Atunci < ei, ej > = aij, V i,j = 1, n §i aplicam In egalitatea anterioara.

21. In spatiul liniar al polinoamelor de grad ~ n sa se • 2

ortonormeze baza 1,t,t , ... , tn. Daca se define§te produsul scalar prin

1

< P(t), Q(t) > = fp(t)Q(t)dt. -1

se ajunge la polinoamele lui Legendre:

1 dk

[(e l)k] 2k K! de

Indicatie: Se considera sistemul de functii: xo(t) =' 1, X1(t) = t, X2(t) = t2, ... Xk(t) ~ tk, ... §i aplicam

teorema de ortogonalizare. Atunci oL{1,t,e, ... tk) coincide cu mu1timea polinoamelor de grad ~ k. Fie Yo(t) , Y1(t), Y2(t) ... polinoamele obtinute prin ortogonalizare. Din constructie Yk(t)

polinom de grad kin t. Polinoamele Pn(t) = :t: [(e -1)"], n ~ ° Indeplinesc conditiile din teorema generala de ortogonalizare. Atunci §tim ca exista Cn E R a.l.

Pn(t) = CnYn(t), V n ~ 0, iar apoi facem norma egala cu 1. 22. (Inegalitatea Hadmand). Pentru orice determinant cu

elemente din corpul real, 107


22. (Inegalitatea Hadmand). Pentru orice determinant cu elemente din corpul real,

.~\3 ... all1 I a22 "'23' .. azo '

n n

Se verifica inegalitatea: OS/),,2 s n L (a:)2 . I ~. j~1

Solu1ie: Daca /)" = ° afirmatia e verificata. Pp. /)" =f. 0, /),,2 > 0. in R

n cu produsul scalar obi~nuit luand vectorii fi = (ai1, ai2, ... ,ain) ~i

aplicand exerciliul14 de la probleme prop use oblinem afirmatia.

23. Sa se determine 0 baza ortonormata in spatiul generat de vectorii:

e1 = (2,3,-4,-6) , e2 = (1,8,-2,-16) e3 = (12,5,-14,5), e4 = (3,11,4,-7) in ~4.

Indicatie: e1, e2, e3, e4 liniar dependenti, dar e1, e2, e3 sunt liniar independenti ~i vor forma 0 baza a spatiului considerat.

24. Sa se determine 0 baza in X.L unde: X = of{(1 ,0,2,1), (2,1,2,3), (O,1,-2,1)} in R4.

25. Sa se determine X.L unde X este subspatiul lui ~4, format din vectorii (X1, X2, X3, ~) ale caror componente verifica sistemul:

2X1 + X2 + 3X3 -~ = ° 3X1 + 2X2-~ = ° 3X1 + X2 + 9X3 -~ = ° R. X.L = {(a,b,6a, -9b, -b) I a,b E ~}.

26. Sa se arate ca daca X1, X2 sunt doua subspatii ale spatiului euclid ian real n dimensional X, atunci:

108

Spatii liniare euclidiene Capito luI 2'

a) (X1.L).L = X1

b) (X1 + X2).L = X/ n xl.

27. Sa se arate ca f: IW.n ~ ~ este 0 functionala liniara. Sa se determine dimKerf precum ~i coeficientii functionalei in baza E:

a) f{x) = X1 + X2, n = 4, E = ((1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)}

b) f(x) = X1 - X2 - 2X3, n=3, E = {(1, 1,0), (1,0,1), (0,1,1)}. R. a) 3; (1,2,2,2)

b) 2; (0,-1,-3)

28. Fie {e1, e2, ... ,en} 0 baza ortonormata a spatiului

euclid ian (X, ~); sa se determine expresia produsului scalar a doi vectori arbitrari x ~i yin functie de coordonatele ~ in baza:

a) a1e1, a2e2, .. . , anen, ai E R, ai =f. 0, i = I,n b) e1 + e2, e2, e3, ... , en

29. Sa se arate ca functionala f: Pn[x] --? R, f(P) = P(a), a numar real fixat, este 0 functionala liniara. Sa se determine coeficientii ei in baza:

• 2 n}'A b . E = {1, x, x , ... ,X ~I In aza.

{ (x-ai (x-at}

F = 1, x - a, I ' .. , , I 2. n.

R. 1) ao = 1, a1 = a, a2 = a2, ... , an = an 2) bo = 1, b1 = b2 = ... = bn = 0.

30. in spatiul ~n sa se descompuna un vector f in suma a doi vectori, unul situat in acoperirea liniara a vectorilor bi, iar celalalt ortogonal acestui subspatiu.

a) f = (5,2,-2,-2), b1 = (2,1,1,-1), b2 = (1,1,3,0) b) f = (-3,5,9,3), b1 = (1,1,1,1), b2 = (2,-1,1,1), b3 = (2,-7,-1,-1).

109


31 . Sa sa determine subspatiul ortogonal pe subspatiul lui

~4 generat de vectorii x = (1,0,0,1) §i Y = (2,2,1,1).

110

Operatori liniari Capitolul3

OPERATORI LINIARI

3.1. Notiuni teoretice

Fie X,Y doua spatii liniare peste corpul de scalari K. Oefinitie: U: X ~ Y este operator liniar daca satisface

conditiile: a) U(x+y) = U(x) + U(y), (\7') x,y E X (U este aditiv); b) U(ax) = aU(x), (\1') x E X, a E K (U este omogen)

sau daca U(ax + f3y) = aU(x) + f3U(y), (\1') x,y E X, (\7') a,f3 E K. Propozitia 1: U(X) = {y E Y I (3) x E X astfel ca U(x) = y}

este subspatiu liniar al lui Y ~i se nume~te imaginea lui X, prin operatorul U.

Propozitia 2: Mu1timea KerU = {~ E X I U(x) = O} se nume~te nucleul operatorului liniar U ~i este subspatiu liniar al lui X.

Matricea operatorului

Fie X ~i Y finit dimensionali, dimX = m ~i dimY = n ~i fie E = {e1, e2, ... , em} 0 baza Tn X iar G = {g1, g2, ... , gn} 0

baza In Y, atunei: U(x) = AT XE , unde: A = (a ij )lsism se nume~te

matrieea operatorului U relativa la bazele E ~i G iar aij = coeficientul j allui U(ei) in baza G, adiea

III

Operatori liniari

n

U(eJ =: L,aijg j = (aipai2,.··,ain)G' i = 1,2, ... n. j=)

Schimbarea bazei

Capitolul3

Fie F = {f1, ... , fm} 0 alta baza In X ~i H = {h1, ... , hn} 0 alta baza In Y, fie C = (Cij) i=l,m matricea de trecere de la baza E la baza

j=l,m

F, (f1, f2, ... , fm) = C( e1, e2, ... , em), 0 = (dij)1si,jsn matricea de trecere de la baza G la baza H, (h1, ... , hn) = 0(91, 92, ... ,' 9n) ~i fie B matricea operatorului U relativa la bazele F ~i H, atunci avem:

C-1BO = A sau B = CAO-1. Oaca X = Y atunci E = G ~i F = H, deci C = 0 ~i avem: B = CAC-1.

Vectori ~i valori proprii

Fie U: X -)- X un operator liniar. Oefinitia 2: Vectorii x -:I:- 0 solutii ale ecuatiei U(x) = AX se

numesc vectori proprii ai operatorului U, iar scalarii A E K pentru care ecuatia are solutii nenule se numesc valori proprii ale operatorului U.

Propozitia 3. Oaca Ao este 0 valoare proprie a lui U atunci: XA.o = {x E X I U(x) = AOX} eX

este subspatiu al lui X §i se nume§te subspatiu propriu al operatorului U asociat valorii proprii AO.

Propozitia 4. Oaca A1, A2, ... , Ar sunt valori proprii ale lui U,

distincte, atunci vectorii X1, X2, ... , Xr ; Xk E XA.k' k = G ; sunt liniar

independenti. Valorile proprii se determina din ecuatia caracteristica

det(AT- AI) = 0, iar ele sunt invariante la schimbar~a bazei.

112


Vectorii proprii se determina din ecuatia (AT_ AI) x = 0, cu A valoare proprie.

Propozitia 5. Matricea operatorului liniar U: X -)- X, (dimX = n), In baza G = {91, 92, ... , 9n} cu 9k E Xk = {x EX I U(x) = Ak' x}, Ak, k = I,n valori proprii distincte ale lui U, este 0 matrice

dia90nala B = (bijhs i,i s n' bij = 0, i -:I:- j, bii = Ai. i = 1, u

Jordanizarea unei matrici

Fie U: ~n -)- !Rn, U(x) = ATX, A E m(!R) , operator Iiniar §i fie A.1, A2, ... , Ak valorile proprii ale lui U de ordine de multiplicitate m1, . .. , mk·

Pentru fiecare valoare proprie A. de ordin de multiplicitate m avem un bloc Jordan In forma Jordan asociata lui A,

J1 0

J= , Ji = .. , blocuri Jordan, i = 1, k .

o J k

Pentru A, m calculam numarul de celule Jordan 1= dimKer(U-A.I); 0 celula Jordan de dimensiune s fiind 0 matrice

patrati

C

[: ~ x : Ide lOon: 1] sau [1 A 1 A 0 1 o A 0 1 A

Oeterminam §irul de subspatii: 0 c Ker(U-AI) c Ker(U-AI)2 c. .. c Ker(U-AI)P cu dim(Ker(U-AI)P) = m.

Oeterminarea bazei Jordan §i a dimensiunilor celulelor se face astfel: <

113


- se compieteaza subspa\iul Ker(U-AI)P-1 la Ker(U-AI)P cu W1 din rela\ia W1 Efl Ker(U-AI)P = Ker(U-AI)P ~i se ia 0

baza in W1 = {e1, ... , e r}, r s m - se completeaza subspa\iul Ker(U-AI)P-2 la Ker(U-AI)P- ~ cu

W2 din relatia W2 Efl Ker(U-AI)P = Ker(U-AI)P-1 ~i 5e ia 0

baza in W2 ={(U-AI)(e1), .,,; (U-AI)(er), er+1, ... , es}, S:$ m - -se-completeaz~-O--la--Ker(U=~I)-cu-VV~-;--Ker(D=H)-cu

baza ca mai sus. Avem: W1 : e1, ... , er

W2: (U-AI)( e1), ... , (U-AI)(er), er+1, ... , es

Wp: f1, f2, ... , f, Dimensiunea fiecarei celule Jordan este inal\imea (pe

coloana) a vectorilor din bazele scrise mai sus.

Oefinitia 3. Fie (X, ~) spa\iu euclid ian de dimensiune n ~i U: X ~ X un operator liniar, U se nume~te operator ortogonal daca < U(x), U(y) > = < x,Y >, (\7') x,Y E X.

Proprietati. U: X ~ X operator ortogonal, A = matricea lui U in baza normala E = {e1, ... , en} atunci:

a) ATA=AAT=I; b) A-1 = AT;

c) II U(x) II = IIxll. (\7') x E X; d) d(U(x), U(y» = d(x,Y), (\7') x,Y E X; e) conserva unghiul a doi vectori; f) A H AT = H, cu :

[

<epe l > 0 ... 0 J H = 0 < e2 , e2 > ... 0 .

, .... ............ . .. . o 0 < en,en >

114


g) Daca X este spa\iu euclid ian complex cu dimX = n. atunci proprietatea a) devine A*A = M* = I, A* = e jih,;j,js;n,

• -T a ij = aij •

D9finitia 4. Fie X un spatiu euclidian, dlrr:X = n, U: X ~ X operator liniar, U se nume~te operator autoadjunct daca < U(x); y > = < x, U(y) >, (\7') x,Y E X.

Proprietiti U: X ~ X operator autoadjunct. Atunci: a) < U(x), x > ·E R, (\7') x E X; b) Valorile proprii ale lui U sunt reale; c) Daca A1 '# A2 sunt valori proprii ale lui U atunci

subspatiile proprii X"l ~i X"2 sunt ortogonale;

d) X spa\iu euclidian complex, dimX = n, A matricea intr-o baza ortonormala E atune; A = A *;

e) X spatiu euclid ian real atunci A* = AT ~i deci A = AT.

Functionale liniare, biliniare, pitratice

Fie (X, K) spa\iu liniar. Oefinitia 1. f:X ~ X se nume~te functionala. Ea este liniara

daca f(ax + py) = o'f(x) + Pf(x) , (\7') x,Y E X, a,p E K. Matricea (coeficientii) functionalei liniare Fie dimX = n ~i E = {e1, e2, ... , en} 0 baza in X, atunci

n n

f(x) = Lx;f(e)=Lxjaj , unde x = (X1, ... , xn) E X ~i aj = ;=1 ;=1

f(ej) , i= 1,2, ... ,n. Matricea esteA = (a1, a2, ... , an). Daca se schimba baza de la E la F = {f1, ... , fn} cu matricea

de trecere C atunci matricea lui fin noua baza este B = CA. Oefinitia 2. f: X x Y ~ K, (X, K), (Y, K) spatii vectoriale, se

nume~te functionala. Daca: a) f(0'1X1 + 0'2X2, y) = a1f(x1, y) + a2f(x2, y), (\7') a1, a2 E K,

(\7')X1,X2 E X, (\7') Y E Y

115


b) f(x. ~1Y1 + ~2Y2) = ~1f(x.Y1) + ~2f(x.Y2). (\7') ~1.~2 E K. ('d) x E X. ('d) Y1,2 E Y

atunci functionala f este biliniara (Iiniara in fiecare argument).

Matricea functionalei biliniare

Fie rlimX = m ~i E = {e1. e2 ..... em} 0 baza in X. Fie dimY = n ~i G = {g1.g2 ..... gn} 0 baza in Y. fie x E X CU

m n

X E = Lx;e j • Y E Y cu Yo = Lyjg j ~i atunci avem: f(x.y) = ~ ~

~ ~ x.y.f(e . e .) = x TAy ell A = (a;;) . aU = f(e1. ej). A fiind ~~ 1 J I , J "]:S; .:S; ;=] j=] 1 m

]:S; j :S;n

matricea functionalei biliniare f corespunzatoare bazelor E in X ~i Gin Y.

Oaca se schimba bazele E in F = {f1 • .... fm} prin matricea de trecere C iar G in H = {h1 . ... . hn} prin matricea de trecere O. iar Beste matricea lui fin bazele noi, F ~i H. atunci avem:

A = C·1B(OTr1 sau B = CAOT. Oefinitia 3. Functionala biliniara f: X x X ~ K este simetrica . .

daca avem satisfacuta relatia f(x.y) = f(y.x). ('d) x.y E X. Oefini1ia 4. Func1ionala biliniara f: X x X ~ K este pozitiv

definita daca f(x.x) > 0 (\7') x E X \ {O}.

Oefinitia 5. Fie f: X x X ~ ~ 0 functionala biliniara simetrica. dimX = n. diag X x X = {(x.y) I x E X} diagonala lui X x X

~i Vex) :: f(x.x). V: X ~ ~. (X. ~) spatiu vectorial. atunci V se nume~te functionala patratica.

Avem Vex) :: X T Ax. A fiind matricea lui fin baza E = {e1 I . ...

en}. Oaca se schimba baza lui X. din E in F = {f1 ..... fn} prin matricea de trecere C. atunci matricea lui V in noua baza este B = CACT

.

Oefinitia 6. Fie V: X ~ ~ 0 functionala patratica. Ea este:

Il6


a) pozitiv definita. daca Vex) > O. (\7') x E X \ {OJ; b) pozitiv semidefinita, daca Vex) ~ O. (\7') x E X \ {O}; c) negativ definita, daca Vex) < 0, (V) X E X \ {OJ; d) nBgativ semidefinita, daca Vex) ~ O. (\7') x F X \ {OJ; e) nedefinita, daca pp.ntru x *' 0, X E X, Vex) poate fi cand

pozitiva, cand negativa. Se pLAne problema aducerii lui V la forma canonica, adica

scrierea lui V, intr-o baza G eX ce trebuie determinata, de forma n

Vex) = LAJ3; . ;=1

Metoda de aducere la forma canonica

1. Metoda Jacobi Se poate aplica daca functionala patratica Vex) :: xTAx intr-o

baza E are proprietatea ca toti minorii principali ai matricei A sunt nenuli.

Notam: all a l k

~2 = all a l 2

~k = a2L a 2k

~o = 1, ~l =a1P , ... , , ... , a 2l a 22

a k l akk

L1n:: detA. n ~

Atunci: Vex) = L ~~ . k=) ~k

Oeterminarea bazei pentru forma canonica de mai sus se face in felul urmator:

- se construie~te 0 baza G = {g1, ... , gn}

19) = allel

~~ . • ~.~.~: ~.I.~. ~.~~ e,

gn = anle) + a n2e2 + ... +annen

117


coeficientii a,j . . se determina din i = 1, n, j = I,n conditiile:

{f(gk,ei~=O i:I,~-l f(gk,ek) = 0 k -I,n

unde f este functionala biliniara asociata lui V.

2. Metoda Gauss (elementara) Admltem ca cel putin un coeficient de pe diagonala iui A, aii

(fie acesta a11), este nenul !}i grupam termenii lui V astfel: n n

V(x) = xTAx = I IaijXiXj =a11X~ + 2a12X1X2 + ... + 2ainX1Xn + a22 X; + i=l j=l

2 1 2 2a23x2x3 + .. + 2a2nX2Xn + ... + ann Xn = - (a11 X1 + a12X2 + ... + a1n xJ +

all

( a22 - aI2a21 )x; +2(a23 - al,2a31)X2X3+ ... +2(a2n - al2anl)X2Xn + all all all

( atnanl) 2 + ... + ann --- Xn

all

Notand:

jallXl + a12x2+···+alnXn ~ ~l

X 2 +············- ~2 .......................

Xn = ~11 obtinem:

V( ) - 1 [.l2 (1)[.l2 (l)n. n. 2 (l)[.l n. (1)[.l2 __ 1 [.l2 V ( ) x - -1-') + a22 1-'2 + a23 1-'21-'3+"'+ a2n l-'21-'n + ... +annl-'n - 1-') + ) x

all all

cu a~;) coeficientii obtinuti dupa transformarea coordonatelor

(X1, ... ,xn) in (~1, ... , ~n). Procedand analog cu V1(x) !}.a.m.d. se obtine:

118


Observa~ie:

Oaca toti aii = 0, i = 1, n se face mai intai transformarea: Xi = ~i - ~j, Xj = ~i + ~j, x~ = ~k, k i= i,j !}i se obtine aji i= O.

TeCirema inertiei pentru functionale patratice

Numarul coeficientilor pozitivi !}i numarul coeficientilor negativi in forma canonica a unei functionale patratice (deci numarul coeficientilor diferiti de zero) f(x,x) = V(x) nu depind de alegerea bazei in care se scrie forma canonica.

Teorema Pentru ca 0 matrice simetrica A = (ajjh; i,j s n sa determine 0

functionala patratica pozitiv definita f(x,x) = V(x) este necesar !}i suficient ca toti minorii diagonali :

all a1k

all al2 a2l.. a2k , ... det A sa fie pozitivi. all' , ... , a21 a22

akl akk

Metoda transformarilor ortogonale

Fie X spatiu euclid ian real, dimX = n, V: X ~ X, V(x) = xT Ax, E = {e1, e2, ... , en} !}i fie U: X ~ X, U(x) = ATX = Ax operator autoadjunct. U are valorile proprii reale iar subspatiile proprii sunt ortogonale!}i atunci G = {g1, g2, ... , gn}, gi E XI-' i=l,n, este ,

baza ortogonala iar H = {h1, h2, ... , hn}, hk = ~,k=l,n, este Ilgkll

baza ortonormata In care V are forma canonica, V(x) = xTOx =

119

Operatori Iiniari Capitolul3

n

= LAifJ;, dij = 0, i:;t: j, dii = Aj , i = l,n. i=l


1. Sa se stabi!easca daca operatorul U: !R?.3 ~ !R?.3 este sau nu \iniar, iar in caz de iiniaritate sa se scrie matricea operatorului in baza canonica.

a) U(x) = (2X2 + X3, 2X1 - X3, X1 - X2 + X3) b) U(x) = (X1 - 1, X2 + 1, X3) c) U(x) = (X1, X2, x;) d) U(x) = (X1 + X2 + X3, X1 - X2 - X3, -X1 + X2 + X3) e) U(x) =(X1 + X2 + X3, X1X2 + X1X3 + X2X3, X1X2X3) Rezolvare:

a) Fie x,Y E !R?.3 ~i a, P E ~. Va trebui sa aratam ca U(ax + py) = aU(x) + PU(y).

Avem x = (X1,X2,X3), y = (Y1,Y2,Y3), ax + ~y =(ax1+PY1, aX2+PY2, aX3+PY3) iar U(ax + py) = (2(ax2+PY2) + (ax3+PY3), 2(ax1+PY1) - (ax3+~Y3), (ax1+~Y1) - (ax2+~Y2) + (ax3+~Y3» = (a(2x2 + X3) + ~(2Y2 + Y3), a(2x1 - X3) + P(2Yl-Y3), a(x1-x2+X3) + ~(YlY2+Y3» = (a(2x2 + X3), a(2x1 - X3), a(x1-x2+X3» + (P(2Y2 + Y3), ~(2Y1-Y3), P(Y1-Y2+Y3» = a(2x2 + X3, 2X1 - X3, X1-X2+X3) + P(2Y2 + Y3, 2Y1-Y3, Y1-Y2+Y3) = aU(x) + ~U(y)

Am aratat ca U(ax + ~y) =' aU(x) + ~U(y), pentru oricare a,p

E !R?., x,Y E !R?.3 deci operatorul U este liniar.

$tim c(~ U(~)E =tJTXE' E fiind baz(~ ca~oni~aJ' ~i avem:

AT = 2 0 -1 de unde A = 2 0 -1

1 -1 1 1 -1 1

120


b) Fie )t = (X1,X2,X3) E !R?.3 ~i a E !R?. arbitrar ale~i. Pentru ca U sa fie liniar ar trebui ca U(ax) = aU(x).

U(ax) = U«ax1, aX2. aX3)) = (ax1-1, aX2+1, aX3) :;t: (axl-a, aX2+a, 2ax3) = aU("~) pentru a :;t: 1 deci U nu este operator \iniar.

c) Fie x E II~?, a E !R?. oarecare. U(ax) = (ax1. aX2, a2x~):;t: \ax1. aX2. axi) = aU(x) pentru a

:;t: 0; 1. De unde rezulta ca U nu este operator liniar. d) U(ax + ~y) = (ax1+~Y1) + (ax2+PY2) + (ax3+~Y3). (ax1+PY1)

·1 _ (ax2+~Y2) - (ax3+PY3), - (axl+PY1) + (ax2+~Y2) + (ax3+~Y3» = a(x1+x2+X3. X1-X2-X3. -X1-X2+X3) + P(Y1-Y2+Y3, Y1-Y2-Y3, -Y1-Y2+Y3) = aU(x) + PU(y), pentru x,Y E R3, a,p E R arbitrar ale~i. Deci U este operator liniar cu matricea:

AT=(~ ~l ~IJ~ A=(~ ~1 ~IJ. -1 1 1 -1 1 1

d) Fie a E R. x E R3. U(ax) = (ax1, aX2, aX3, a2x1x2+a2x1x3 +a2x2x3. a3xlx2x3) :;t: (ax1+ax2+ax3. aX1x2+ax1x3+ax2X3, aX1x2x3) = aU(x) pentru a:;t: 0;1. ~ U nu este operator liniar.

e)

2. Fie !R?.n[X] spatiul vectorial al polinoamelor de grad eel

mult n peste !R?.. Sa se arate ca urmatoarele aplicatii sunt operatori liniari ~i sa Ii se calculeze matricea in baza canonica E = {e1 = 1, e2 = X, ... , en+1 = Xn}:

a) U1: !R?.n[X] ~ !R?.n[X], U1(P(X» = P(-X);

b) U2: !R?.n[X] ~ !R?.n-1[X], U2(P(X» = P'(X)'.

121


Rezolvare:

a) Fie a,~ E 0«., P1, P2 E lItn[X] oarecare, U(aP1 + PP2) = (aP1 + ~P2)(-X) = aP1(-X) + PP2(-X) = aU(P1) + ~U(P2) => U este operator liniar.

U(e1) = U(1) = 1 = e1, U(e2~= U(X) = -X, U(e3) = U(X2) = = (_X)2 = X = e3, .. . , U(ek) = U(X -1) = (_X)k-,= (_1)k-{Xk-1 = (-1)k-1ek,

(1 0 0... 0

l' 0 - ) 0... 0

k ~ 0, n => A ~ ~ ~ ;~: . ( _:)"

b) Fie a,~ E 0«., P,Q E O«.n[X] oarecare, U«aP + ~Q)(X» = (aP + ~Q)'(X) = aP'(X) + PQ'(X) = aU(P(X)) + ~U(Q(X» => U este operator liniar.

U(ek) = U(Xk-1) = (Xk-1) =: (k_1)Xk-2 =: (k-1)ek_1, k=2,n+l,

U(e1) = U(1) = (1)' = 0 => ' o 0 0... 0 0

1 0 0... 0 0 A = 0 2 0... 0 0

o 0 0 n 0

3. Sa se scrie matricea urmatorilor operatori ·In baza canonica In cazulln care ace~tia sunt liniari.

a) U1: 0«.2 ~ 0«.4, U1(X1, X2) = (X1, X1+X2, X2, X1-X2)

b) U2: 0«.4 ~ ~?, U2(X1,X2,X3,~) = (X1+X2, X1+X3, X1+~). Rezolvare:

a) Fie a,~ E 0«., x = (X1, X2), Y = (Y1,Y2) E 0«.2 arbitrar ale~i. U(ax + Py) = U« ax1+PY1, aX2+PY2» = (ax1+PY1,

aX1+pY1+ax2+~Y2, aX2+(3Y2, aX1+J3Y1-ax2-PY2) = a(x1, X1+X2, X2, X1-

122


-X2) + P(Y1, Y1+Y2, Y2, Y1-Y2) = aU(x) + PU(y) => U este operator liniar => U(X)F = AT XE =>

1 0

1 1 (1 1 0 1) . A

T

= 0 1 => A= 0 1 1 1

1 1

b) Fie a,J3 ~ ~, x = (X1, X2,X3,X4), Y = (Y1,Y2,Y3,Y4) 03rer:are, U(ax + py) = U«ax1+pY1, aX2+PY2, aX3+(3EY3, <lX4+(3Y4» = (ax1+PY1+ax2+(3Y2. aX1+pY1+ax3+PY3, aX1+pY1+a~+pY4) = a(x1+x2, X1+X3, x1+X4) + J3(Y1+Y2, Y1+Y3, Y1+Y4) = aU(x) + PU(y) => U este operator liniar => U(X)F = AT XE =>

A = (~ ~ ~ ~I => A = ~ ~ ~ , unde E este baza ] 0 0 1) 0 1 0 .

o 0 1

canonica In R4 (domeniul lui U), iar F este baza canonica in R3 (codomeniullui U).

4.Fie X, Y spatii vectoriale peste corpul de scalari K ~i 5 U: X ~Y un operator liniar, e1, e2, ... ,en E X. Sa se gaseasca conditia pentru care este adevarata afirmatia: e1, e2,··· ,en sunt vectori liniari independenti daca ~i numai daca U(e1), U(e2), ... , U(en) sunt liniar independenti. Analog pentru finiar dependenta.

Rezolvare: a) u=>" Fie e1, e2, ... ,en liniar independenti ~i fie 0 combinatie

liniara nula de vectorii U(e1), U(e2), ... , U(en): a1U(e1) + a2U(e2)+ ... +anU(en) = 0 cu a1,a2, ... , an E K. Din liniaritatea lui U avem U(a1e1 + a2e2 + ... + anen) = 0, de unde, folosind proprietatile operatorilor liniari, a1e1 + a2e2 + ... + anen = 0 pentru U injectiv. Dar vectorii e1, e2, ... ,en sunt liniar independenti, deci a1 = a2= .. · =an = O.

123


Rezolvare:

a) Fie a,p E ~, P1, P2 E ~n[X] oarecare, U(aP1 + PP2) = (aP1 + P~2~(-X) = aP1(-X) + PP2(-X) = aU(P1) + PU(P2) => U este operator !lmar.

U(e1} = U(1) = 1 = e1, U(e2, = U(,'I() = -X, U(e3) = U(X2) = = (_X)2 = X = e3, ... , U(ek) = U(X -1) = (_X)ko,= (_1)k-1Xk-1 = (-1)k-1ek,

(I 0 0... 0

l' 0 -] 0. .. 0

k ~ 0, n ~ A ~ ~ ~ :~: . ( _:)"

b) Fie a,p E ~, P,Q E ~n[X] oarecare, U«aP + PQ)(X» = (aP + PQ~,<?<) = aP'(X) + PQ'(X) = aU(P(X» + PU(Q(X» => U este operator !lmar.

U(ek) = U(Xk-1) = (Xk-1) = (k-1)Xk-2 = (k-1)ek_1, k=2,o+l,

U(e1) = U(1) = (1)' = 0 => . o 0 0... 0 0

1 0 0... 0 0 A = 0 2 0... 0 0

o 0 0 0 0

.3~ ~Sa se ~scrie matricea urmatorilor operatori ·in baza canomca In cazul In care ace§tia sunt liniari.

a) U1: ~2 ~ ~4, U1(X1, X2) = (X1, X1+X2, X2, X1-X2)

b) U2: ~4 ~ ~3, U2(X1,X2,X3,X4) = (X1+X2, X1+X3, X1+X4). Rezolvare:

a) Fie a,p E ~,x = (X1, X2), Y = (Y1,Y2) E ~2 arbitrar ale§i. U(ax + Py) = U«ax1+PY1, aX2+PY2» = (ax1+PY1,

aX1+pY1+ax2+~Y2, aX2+PY2, aX1+pY1-ax2-PY2) = a(x1, X1+X2, X2, X1-

122


-X2) + P(Y1, Y1 +Y2, Y2, Y1-Y2) = aU(x) + PU(y) =.> U este operator liniar => U(X)F = AT XE =>

1 0

1 1 (1 1 0 1). A

T

= 0 1 => A= 0 1 1 1

1 1

b) Fie a,p :::: ~. , X = (X1, X2,X3,X4), Y = (Y1,Y2,Y3,Y4) oarec:are, U(ax + Py) = U«ax1+PY1, aX2+PY2, aX3+peY3, aX4+PY4» = (ax1+PY1+ax2+PY2. aX1+PY1+ax3+PY3, aX1+pY1+aX4+PY4) = a(x1+x2, X1+X3, X1+X4) + P(Y1+Y2, Y1+Y3, Y1+Y4) = aU(x) + PU(y) => U este operator liniar => U(X)F = ATxE =>

[

1 1 0 0] 1 1 1 A = 1 0 1 0 => A = 1 0 0 , unde E este baza

1001 010 . o 0 1

canonica in R4 (domeniul lui U), iar F este baza canonica in R3 (codomeniullui U).

4.Fie X, Y spatii vectoriale peste corpul de scalari K §i S

U: X ~Y un operator liniar, e1, e2, ... ,en e X. Sa se gaseasca condi\ia pentru care este adevarata afirma\ia: e1, e2, ... ,en sunt vectori liniari independenti daca §i numai daca U(e1), U(e2), ... , U(en) sunt liniar independenti. Analog pentru liniar dependenta.

Rezolvare: a) "=>" Fie e1, e2, ... ,en liniar independenti §i fie 0 combina\ie

liniara nula de vectorii U(e1), U(e2), ... , U(en): a1U(e1) + a2U(e2)+ ... +anU(en) = 0 cu a1,a2,"" an E K. Din liniaritatea lui U avem U(a1e1 + a2e2 + ... + anen) = 0, de unde, folosind proprieta\ile operatorilor liniari, a1e1 + a2e2 + ... + anen = 0 pentru U injectiv. Dar vectorii e1, e2, ... ,en sunt liniar independen\i, deci a1= a2= ... =an = o.

123


Am aratat astfel ca U(e1), U(e2), ... , U(en) sunt vectori liniari independenti in spatiul vectorial Y.

u=>" Invers, fie U(e1), U(e2), .. . , U(en) liniar independenti ~i fie ale1 + a2e2 + ... + anen = 0 cu a1,3z, .. . ,l:ln E K. Aplicand pe U vectorului nul, avem:

0= U(O) = U(a1e1 + a2e2 + ... + anen) = a1U(e1)+ a2U(e2)+ ... + ::3nU(en) => a1= a2=· .. =an = 0 = e1, e2, .. . ,e~ sunt liniar independenti. . b) Fie e1, e2, ... ,en vectori liniar dependenti <=> exista 0

combinatie liniara a1e1 + a2e2 + ... + an en = 0 cu a1,a2, ... ,an nu loti nuli <=> 0 = U(O) = U(a1e1 + a2e2 + ... + anen) <=> a1U(e1)+ aZU(e2)+ .. . + anU(en) cu a1,a2, ... ,an nu toti nuli ¢::> U(e1), U(e2)' ... ' U( en) vectori liniar dependenti. Echivalenta este valabila pentru orice operator liniar U.

5. Fie (X, K) un spatiu vectorial. a) Fie X1, X2 subspatii vectoriale astfel incat X = X1 ED X2,

atunci operatorii Uk: X ~ Xk, Uk(x) = Xk, k = 1,2, x E X, :x = X1+X2 cu X1 EX1, X2E X2, sunt liniari. Ei se numesc operatorii proiectie pe subspatiile X1 respectiv X2.

b) Fie X1, X2, .. . , Xp subspatii vectoriale astfel Incat X = X1+X2+ ... + Xp, pEN, P ~ 2, x E X se scrie in mod unic x = X1 +X2+· .. +xp CU X1 E X1, X2 E X2, ... , xp E Xp, atunci operatorii Uk: X . ~ Xk, Uk(x) = Xk !=;unt liniari (proiectia k).

Rezolvare: a) Fie X,Y EX=> X = X"1+X2, Y = Y1+Y2 CU X1,Y1 E )(1, X2Y2 E

X2 unici. Uk(x+y) = U«X1+Y1)+(X2+Y2» = Xk+Yk E Xk => Uk(X+Y) = Xk+Yk

= Uk(X) + Uk(Y), k=1,2.

Fie a E ~, X EX=> X = X1+X2, X1EX1, X2E X2 => aX = aX1 + aX2, aX1 EX1, aX2E X2 => Uk(ax) = aXk = a Uk(X), k = 1,2.

Am folosit faptul ca Xk este subspatiu al lui X ~i atunci daca Xk, Yk EXk, a E K avem Xk+Yk E Xk ~i aXk EXk.

Am aratat astfel ca Uk este operator liniar, k = 1,2.

124


b) Analog ca la punctul a).

6. Fie operatorii liniari U1, U2, U3: ~3 ~ ~3, U1(X) = (X1+X2, X2-X3, 2X2+X3), U2(x) = (X3, -X2,X1), U4(x) ::: (-X;+X2+X3, 2X1+3x2-X3). Sa S9 calculeze U4 = U1+U2 , Us:: U1U2 , U6 = U~l , u 4 , Us, U6: ~3 ~ ~3.

Rezolvare: a) U4= (U1+U2)(X) = U1(X)+U2(x) = (X1+2x2+X3, -X3, X1+X2+X3). Observam ca /J.-4 = A1+A'L.,

A4 =[~ ~ ~J, Al =(~ ~ ~J , A 2 =(~ ~1 ~J 1 -1 1 0 -1 1 1 0 0

b) Us(x) = (U1U2)(X) = U1(U2(X)) = U1(X3, -X2, X1) = (X3 -2X2, -X2-X1, -2X2+X1).

(

0 -1 IJ Matricea asociata lui Us este A = - 2 - 1 - 2 ~i

100

observam ca A ; = Ai . A~ ceea ce era de Inteles din:

Us(x) = (U1U2)(X) = U1(A~ (x) = AT (A~ (x) = (Ai A~)x = T A5 X => As = A2A1 .

c) Pentru ca sa existe U6 = U~J trebuie ca nucleul lui U3 sa contina doar vectorul nul.

{O} = KerU3 = {x EIJ~? I U3(x) = O} = {x E~3 I A; x = O} ¢::>

solutia sistemului omogen A; x = 0 sa fie doar cea banala ¢::> det T

A3 "* 0 <=> det A3 "* O.

A, =(:1 ~1 ~J => -1

este inversabil.

-1

detA3 = 1

1

125

o -1

1

2


Fie U6. [R?3 ~ [R?3 , U6 = U~l, U6(Y1,Y2,Y3) = (X1 ,X2,X3)

necunoscut. Avem U3 (U~l (y» = Y (V) Y E [R?3 ~ U3(U6(Y» = Y (V) Y E [R?3

~ rezo!vam ecuatia in X1,X2,X3: U3(X1,X2,X3)(: ~1.Y~'Y3) 2CJU (Y1,Y2,Y3) E [R?3

cuncscut:=;,x:::(Arr1y~Ar =(A;r1:::! 2 -1 1 ~U6(Y)= A~y. 6 2 5 1

{

-Xl +X2 +X3 = Yl

-X2 +X3 = Y2 ~

2Xl + 3x2 - X3 = Y 3

7. Fie U: [R?4 ~ [R?4 un operator liniar ~i matricea lui in baza

canonica E = {e1,e2,e3,e4} este AE =

1 -1 1 1

o -1

-1

1

1

o

-1

o 1

-1

-1

. Sa se

calculeze matricea operatorului U in baza F, AF, F = {f1 = e2, h = e3, h ::: e4, f4 ::: e1}.

Rezolvare: . $tim ea AF ::: CAEC-1 unde C este matricea de trecere de la

baza E la baza F (F ::: CE, E ::: (e1,e2,e3,e4)T Avem:

126


cJ~ 1 0 0

deci C-' ~ r~ 0 0 1

0 1 0 0 0 0 ~

l~ 0 0 1 1 0 0

0 0 0 \0 0 1 0

-1 0 1 -1

1 -1 1 1 AF=

0 1 -1 1

-1 1 0 -1

8. Fie operatorul liniar U: [R?4 ~ [R?3, U(x) = (X1+X2-X3, X3-)4, ~-X1). Sa se determine matrieea operatorului U in bazele E = {e1=

(1,1,0,0), e2::: (1,0,0,1), e3 = (1,0,1,0), e4::: (1,1,1,1)} c [R?4l?i F = {f1 = (1,1,0), f2 ::: (1,0,1), h = (0,1,1,)} C [R?3.

Rezolvare:

1 0 -1

Notam cu B matricea eautata ~i cu A ::: 1 0 0 -1 1 0

0 -1 1 matricea operatorului in bazele eanoniee.

Metoda 1: 1 1 0 0

1 0 0 1 Oaca C = este matricea de trecere de la baza

1 0 1 0

1 1 1

canonica la baza E din !R?4 iar D = (~ ~ ~J este matricea de

o 1 1

treeere de la baza canonica la baza F din [R?3 atunei B = CAO-1.

127


1

1 0 ~l 0

-~l : 1 -11 B=! 1 o 0 1 1 0

-1 1 = ,.., 1 o 1 0 -1 1

1 ) L-

1 1) ,- 0 -1 1 j , -1 1 1 ,

L

[

2 0 - 1 \J' ( 1 1 - 1] ' [ 3

I - 3] 1 1 -1 0 1 0 2 - 2 - 1 -1 1 ~B= -2 0 1 -1 2 2 -2 0

o 0 0 - 1 1 1 1 1 -1

Metoda 2:

CalcuJam vectorii U(e;), i = 1,4, U(e1) = (2,0,-1); U(e2) = (1,-1,0); U(e3) = (0,1,-1); U(e4) =

(1,0,0). Calculam coordonatele vectorilor U(e;), i = 1,4 in baza F

adica produsul U(e;)T. (OTr1 ,

_\ ~l] =! ~ ~ 1 1 2 2 - 2

-3

- 2 o

1 1 1

:} 9. In spatiul (~3, fR() se considera bazele E = {e1,eZ,e3} §i F = {f1.f2.f3} unde e1 = (2,3,5), e2 = (0,1,2), e3 = (1,0,0), f1 = (1,1,1),

f2 = (1,1,-1), h = (2,1,2), Sa se determine operatorulliniar U: ~3 ~ !lt3

astfel incat U(ei) = fi' i = 1,2,3. Rezolvare:

Matricea operatorului U in bazele E §i F va fi A = (~ ~ ~J ' 0 0 1

iar matricea operatorufui in baza canonica va fi B = CAD = CbD =

128


CD, unde C este matricea de trecere de fa baza E fa bazel canonica iar 0 matricea de trecere de la baza F la baza canonica.

C = (~ ~ ~r = ( ~ _05 _14J ~ i D = l( ~ ~ -\'J 1 0 0) - 1 3 2 2 1 2

1 1J r 2 1 1 -1 =1-11 -7

1 2 l 6 4 ( 0 0 1 J(1 B= 2 -5 -4 1 -1 3 2 2

10. Tn spatiul (~4, ~) se considera bazele E = {e1,e2,e3,e4} §i F = {kf2,h,f4 } unde e1 = (1, -1,0,0), e2 = (0,1,-1,2), e3 = (0,0,1,-1), e4 = (0,0,0,1) ~i f1 = (0,0,0,1), fz = (0,0,1,-1), f3 = (0,1,-1,2), f4 =

(1,-1,0,0). Sa se determine operatorul liniar U: ~4 ~ ~4 astfel incat U(e1) = f4, U(e2) = h U(e3) = f2 ~i U(e4) = k

Rezolvare:

Sa verificam intai ca E ~i F sunt baze in ~4. 1 - 1 0 0

detC-1 = 0 1 -1 2

= 1 '* 0 ~ E este baza in ~4 0 0 1 - 1

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 -1 = 1 '* 0 ~ F este baza in ~4 detD=

0 1 -1 2

1 -1 0 0

129

Operatori Iiniari Capitolul ~

Matricea operatorului in bazele E ~i F va fi

A ~ I~ ~ ~ ~I iar matricea in bazele canonice va fi B = CA~, 10 1 0 ~ I II 0 0 0)

/1 -1 0 o -I 1 -1 1 -I, 0 1 -1 2 0 1 -1

~lJ c= = 0 0 1 -1 0 ° 1

0 0 0 1 0 ° ° B~CAD~[l

- 1

~r 0 0

m 0 0

i} -1 0 1 0

0 1 -1 0 1 0 1 -1

0 0 1 1 0 0 -1 0

=[~ -2 2

-441 1 -2

0 1 - 2

0 0 1

in loc de baza F am fi putut lua baza F' == {f4.f:d2,f1} §i atunci A' == 14 ~i AD == A'D' == D'

11. Sa se arate ca in spatiul cJ{~2, Il~?) al tuturor operatorilor

liniari de la [R?2 la 1R/.3 operatorii U1(x) == (X1,O,0), U2(X) == (0,X1,O), U3(x) == (O,O,Xl), U4(X) == (X2,0,0), U5(x) == (O,X2,0), U6(x) == (0,0,X2) formeaza 0 baza.

Rezolvare: Metoda 1:

130


in baza canonica, operatorii liniari U1,U2,U3,U4,U5,U6 au matricile:

A,=e 0 ~), A2 =(~ 1 ~), A3 =(~ 0 ~), A4 = (~ 0 ~), 0 0 0 0 ,0

As ~ (~ 0 ~), A6 = (~ 0 ~) 1 0

Aceste matrici formeaza baza in sp?tiu! matl",cilor M2x3(~)

iar spatiile oL{~2, ~3) §i M2x3([R?) sunt izomorfe deci ~i

U1,U2,U3,U4,U5,U6 formeaza baza in ,J(1R?.2, 1R/.3). Metoda 2: Aratam ca operatorii dati sunt liniar independenti.

Fie a1,a2,a3,a4,a5,a6 E ~ ~j a1U1,a2U2,a3U3,a4U4,a5U5,a6U6 == 6

a =:> 'LakUk(X) = 0 =>(a1x1+a4x2, a2x1+a5x2, a3x1+aSx2) == (0,0,0) k=1

pentru orice x == (X1,X2) E a~? Luam x = (1 ,0) ~i rezulta a1 = a2 = a3 = 0, apoi x = (0,1) §i

rezulta a4 == a5 == as = ° => operatorii sunt liniar independenti. Aratam acum ca operatorii Ul , ... , U6 formeaza sistem de

generatori in spatiul oL{lRs?, ~3}. Fie U E oL{ll~?, \re.?) atunci U(x) = ATX

pentru orice x E 1R/.2.

(all a2I J(X) (a1lX

1 + a

21X

2]

U(x) = a l2 a22 x: = a12xI + a22x2 = a11 U1(x) + a12U2(x)

a l3 a23 a I3x\ + a23x2 + a13U3(x) + a21 U4(x) + a22U5(x) + a23US(x) => U = a11U1 + a12U2 + a13U3 + a21 U4 + a22U5 + a23U6, U arbitrar ales.

12. Fie (X, K) un spatiu vectorial ~i U: X ~ X un operator liniar cu proprietatea U2 = E. Sa se arate ca X == Xl ffi X2 unde X1 ==

{x E X I U(x) = x} ~i X2 == {x E X I U(x) == -x}.

131


Rezolvare: a E X1 ~i a E X2 => X1 :f. cI> ~i X2 :f. <l>. Se verifica u~or ca X1 ~i

X2 sunt subspa\ii ale lui X utilizand proprietatile de liniaritate ale operatorului U.

Demonstram ca Xi + X2 ::: X. Fie x E X ~i notam X1 ;:

~ (x + U(x»), X2 ;: ±(x - U(x»). Avem X1 + X2 ::: x, U(x~) =

~(VCx) + U2 (x») = ±(U(X)+ x) = XI $i U(xJ = }(U(X)- U2 (x») =

= !(U(X) - x) = -x2 2

deci X1 E X1 ~i X2 E X2. Am aratat astfel ca X c X1 + X2 ~i cum X1 + X2 eX rezulta ca X = X1 + X2 .

Aratam acum ca X1 + X2 este suma directa sau ca scrierea lui x E X ca x = X1+X2, X1EX1, X2EX2 este unica. Fie x E X1 n X2 => U(x) = x ~i U(x) = -x => x = -x => x = a => X1 n X2 = {a} => suma X1 + X2 este suma directa.

13. Fie (X, K) un spatiu vectorial !}i U: X -7 X un operator liniar cu proprietatea ca U2 = U. Sa se arate ca X = X1 ffi X2 unde X1 = {x E X I U(x) = x} ~i X2 = {x E X I U(x) = O} ::: Ker U.

Rezolvare: ° E X1 ~i 0 E X2 => X1 :f. <1> ~i X2 :f. <1>. Evident X1 ~i X2 sunt subspatii ale lui X.

Pentru x E X notam X1 ::: U(x) ~i X2 ::: x-U(x); X1+X2 ::: x. U(X1) ::: U2(x) ::: U(x) = X1 => X1 EX1 U(X2) ::: U(x) - U2(x) ::: U(x) - U(x) ::: 0 => X2 EX2 A~adar X1 + X2 ::::) X ~i cum X1 + X2 eX=> X1 + X2 ::: X. Aratam ca X1 n X2 ::: {a}. Fie x E X1 n X2 => U(x) ::: X ~i U(x)

::: 0 => x::: 0 => X1 + X2 este suma directa.

14. Fie U: 1R{3 -7 1R{3 operator liniar; sa se determine nucleul, imaginea ~i dimensiunile lor cand:

132


a) U(x) = (X1, X2+X3, X1+X2+X3) b) U(x)::: (X3, X1 ,X2) c) U(x) = (2X1-X2+X3, X1+X2-2x3,O)

cu x::: (X1,X2,X3) G ~3. Rezolvare:

a) Ker U ::: {x E ~3 I U(x) = O} ::: { X E ~3 I (.(1, X2+X3, X1+X2+X3) ::: (O,O,O)}

~ X 2 + X 3 = 0 => X 2 = a , a E R =>

(Xl = 0 {Xl = 0

l XI + x2 + X3 = 0 X3 = -a

=> Ker U = {(O,a,-a) I aE~} ::: {a(O,1,-1) I aEIR{} Vectorul v = (O,1,-1)T este baza in Ker U deci dimKer U ::: 1.

Imaginea lui U este: U(~3) = {U(x) I XE~3} = { (X1, (X2+X3) ,

X1+(X2+X3) ! XE~3} = {(a ,b,a+b) ! a,bEIR{} = {a(1,0,1) + b(O,1,1) I a,b EIR{ }.

Vectorii care formeaza 0 baza in U(~3) sunt V1= (1,0,1)T ~i V2 ::: (0,1 ,1) T !ii deci dimensiunea imaginii operatorului Iiniar U este 2.

b) Ker U ::: {XE ~3! U(x) = O} = {XE 1R{3! (X3,X1,X2) ::: (O,O,O)} ::: {(O,O,O)} = {a} iar dimKer U ::: 0.

Rezulta de aici ca U(U~?) ::: 1R{3 ~i dim U(~3) = 3.

c) Ker U::: {xEll~? I U(x)::: O} ::: {XE~31 (2X1-X2+X3, X1+X2-2x3, 0) = =(O,O,O)} .

{2X - x + x = 0 {x = x = a I 2 J =:> I 3 lID

2 ' aE~ XI + X 2 - X 3 = 0 X 2 = 3a

Ker U = {(a,3a,a) I aE~} = {a(1,3,1)! aE~}. Baza este {v::: (1,3,1)} ~j dim Ker U::: 1.

U(II~?) = {YE ~3 I U(x) = Y} = {YE ~3!(2x1-X2+X3, X1+X2-2x3,0)= = (a,b,c)}. Rezolvam sistemul urmator in necunoscutele Y1,Y2,Y3.

133


{

2XI -X2 +X3 = a

Xl + X2 - 2X3 = b =.> sistemul trebuie sa fie compatibil.

o =c

rang [~ -~i -:2) = 2 deoarece I~ ~ I = 3 '" 0 ~ punem condi!ia:

rang [~~l 1 aJ 2 - 2 b = 2 ~ ~car = 1

o c 0

-1 a

1 b = 0 ~ 3c ::: ° => C ::: ° => o c

U(~3) = {(a,b,O) I a,b E~}

U(~3) = {a(1,0,O) + b(0,1,0) I a,b E~} cu baza {(1,O,O),

(0,1 ,D)} §i dim U(~3) = 2. Observam ca in toate cazurile se verifica teorema conform

careia dimKer U + dim 1m U = dimX pentru U: X -7 Y §i dimX ::: = n < 00.

15. Sa se determine vectorii, valorile proprii ale operatorului liniar U: X -7 X §i dimensiunile subspatiilor proprii:

a) U(x)::: (X1+X2, X1+X3, X3+X2), U: ~3 -7 ~3

b) U(x) = (2X1+X2, 5x1-2x2), U: ~2 -7 ~2

c) U(x) = (2X3, X1-X3, X1), U: ~3 -7 ~3 Rezolvare: a) Ecuatia caracteristica este:

I-A 1 0

det (A-Ab) = ° ¢:> 1 - A 1 = (A-1)( A+1)(- A+2) = 0.

o 1 1- A

de unde valorile proprii A1 = 1, A2 = -1, A3 = 2 care sunt reale §i distincte.

134


Pentru a determina vactorii proprii vom rezolva sistemele care rezulta din relatiile U(X)E = AT XE ::: AjXE, i = 1,2,3.

Pentru A1 ::: 1 obtinem:

(AT_A 1 b)XE = ° ¢:> (AT-b)XE = ° ¢:> 1 -1 1 xE = ° ¢:> [

0 1 OJ

010

{

X2 = 0

Xl - x2 + X3 = 0 => X2 = 0, X1 ::: -X3 = ° => x = (a,O,-a), aE ~* => x 2 = 0

VAl = {a(1,O,-1) I aE~*} este subspatiul vectorilor proprii asociati

valorii proprii A1 ::: 1. EI are ca baza pe (1,0,-1) §i dimensiunea egala cu 1.

Pentru valoarea proprie A2 = 1 avem:

(AT

-A.213)XE = 0 ¢> (AT+13)XE = 0 ¢> [~

{

2XJ + x2 = °

Xl + x 2 + X3 = 0 => X1 = X3 = a, X2 = -2a, aER* => x ::: (a,-2a, a),

x2 + 2X3 = ° aE~.

Subspatiul vectorilor proprii asociati valorii proprii A2 = -1 este vA2 ::: {a(1,-2,1) I aE~*} cu baza (1,-2,1) §i dimensiunea egala cu 1.

Tn sfar§it, pentru A3 = 2 ob1inem:

135


1

-2

1

{

'- Xl + X2 = 0

=> Xl - 2X2 + X3 = 0 => X1 = X2 = ~3 = a, aE IW.* =>

X 2 - X3 = 0

aER*} cu baza:; (1,1,1) ~i dim V,) = 1.

b) Matricea operatorului liniar este: A = (~ caracteristica are urmatoarele solutii:

5) iar ecuatia -2 '

2-A 5 2 det (A - Ab) = 0 ~ = 0 ~ A -9 = 0 => A1 = 3,

1 -2-A

A2 = -3. Oeci valorile proprii asociate operatorului U sunt ± 3. Pentru A1 = 3 determinam vectorii proprii:

(A - A1b)XE = 0 <=> = 0 => =>X1 = (-1 1 )(Xl) {-Xl +X2 = 0 S - 5 x2 SXI - 5x2 = 0

X2 = a => x = (a,a), aE~* => VA, = {a(1,1) I aEIW.*}, baza lui v A, este

vectorul (1,1) ~i dimv). = 1. , Pentru A2 = -3 avem:

(A - A2b)XE = 0 <=> (~ = 0 => => X2 = -5X1 l)(XI) {SX I + x2 = 0 1 x2 5xI + x2 = 0

=> x = (a,-5a), aEIW.* =>v" = {a(1,-5) I aE~*} cu baza (1,-5) ~i dim

V = 1. "

c) Matricea operatorului este A = [~ 1 1) o O.

-1 0

136

Operatori liniari

-A Ecuatia caracteristica este IA - Abl = 0 <=> 0

2

Capitolul3

1 1

-A 0 =

-1 -A

-A 3 + 2A = A(2-A2) = 0 => A1 = 0, ~J2 = Ji, )-3 = -.J2 sunt va~orile pmprii ale lui U.

V = {XE[~? \ [O} I U(x) = A1X} = {XE ~3 \ {O} I ATX = A1X} = '., = {XE R3 \ {O} I (AT_ AI3}X = O} =>

[

0 0 2 J[XIJ {2X3 = 0 => 1 0 -1 x2 =o=> Xl -X3 =0 =o=> X1 = X3 = 0, X2 = aER

1 0 0 X3 Xl = 0

=> x = (O,a,O), aEIW.* => V~, = {a(O,1,O) I aEIW.*}.

Pentru A2 = -fi avem : (AT -A2b)x = 0 <=> (AT -.J2 b)x = 0 =>

(

- ..fi 0 2 ](X'J {- ..fix I + 2x) = 0 => 1 - ..fi - 1 Xl = 0 => x, - ..fiX2 = x, = 0 =>

1 0 -..fi x) Xl - ..fix) - 0

{

-l+..fi x 2 = 2 Xl -1 + ..fi 1

=> 1 => X = ( a, 2 a, ..fi a), x) = ..fi XI

aEIW.*=>v = a 1, ,- I a ER cu Imv = . { ( -1 + -J2 1) .} d· 1

'., 2 2 "

Pentru A3 = - -J2 obtinem: (AT + -J2 b)x = 0 =>

137


r X 2 = - -fi + 1 XI (.J2 + 1 1) . => I X = _ix => Ji. = \. a'--2a,- -fi a , a ER ==>

l) .J2 I

=> V" ~H\'- v'22+1a.-~a) ~ ER'} cu dim v = 1.

" ( - 1 + .J2 1 J -Astfel, In baza F = {f1 = (a,1 ,0), h = 1, 2 '.J2' h-

(1- .J2 + 1 __ l-J} matricea operatorului U este , 2 ' .J2

B = (I-~ ~2 ~ J = (~~ ~ \. o 0 1-3 0 0 - .J2j

16. Fie {e1,e2,e3} 0 baza a spatiului vectorial ([~?, [R<.).

Operatorulliniar U: ~3 ~ tw,.3 duce vectorii: :1=(0,0,1) In 91=(3,~,-2), h = (0,1,1) in 92 = (0,1,0), h = (1,1,1) In 93 = (-.1,~,1)·A Sa se 9aseasca matricea acestui operator In baza canomca ~I In baza

{f1,h.f3}. Rezolvare: T _

Avem sistemul {U(f1) = 91, U(fz) = 92, U(h) = 93 => A f1 - 91, ATf2 = 92, ATh = 93, CU A matricea lui U in baza canonica.

Avem: f1 = e3, f2 = e2 + e3, f3 = e1 + e2 + e3 91 = 3e1+ 5e2 -2e3, 92 = e2, 93 = -e1 +e3·

Tnlocuind In sistem, obtinem: 138


{

U(e)=3el +Se2 -2e) {u(eJ =3el +Se2 -2e3

U(e2 +e,)=e2 => U(e2)+ U(e3 )=e2 =>

U(e, +e2 +eJ=-el +e3 U(eJ+U(e2 )+U(e))=-el +e3

{

u(eJ =-e 1 -e2 +e3 (-1 -33\

=> U(e2):-3e, -4e2 +2e)=>A= -1 -4 sJ! U(e,) - 3e, +Se2 -2e, 1 2 -2

Tn baza {fd2,f3} vectorii 9 se scriu: 91 = 3e1+5e2 - 2e3 = 3(e1+e2+e3) + 2(e2+e3) - 7e3 = 3h +2f2-7f1 92 = e2 = (e2 +e3) ~3 = fz -f1 93 = -e1 + e3 = -(e1+eZ+e3) + (ez +e3) +e3 = -h + fz +k de unde

matricea lui U in baza F = {f1.f2.f3} este:

A f = (-27

-/ ~ J . 3 0 -J

17. Fie operatorulliniar U: [R<.4 ~ [R<.4 cu: 0(,

1 2 3 2

-1 0 3 1 AE = 2 1 5 -1 matricea in baza canonica E =

1 1 2 2

{e1,eZ,e3,e4} . Sa se scrie matricea lui U in bazele: a) F = {f1 = e1, fz = e3, f2 = e2, f4 = e4} b) G = {91 = e1, 92 = e1+e2, 93 = e1-eZ+e3, 94 = e1+e2-e3-e4} Rezolvare: a) AF = C·1AEC, C = matricea de trecere de la baza E la

baza F.

139

Operatori liniari

Cum C::

1

3 AF = 2

2

1

0

0

0

2

5

1

-1

0

0

1

0

-1

3

0

1

Capitolul3

0 0

1 0 ~i C-1 :: C obtinem:

0 0

0 1

1

2

1

2

b) AG :: C-1AEC, C :: matricea de trecere de la baza E la baza G.

1 1 1 1 0 2 -8 1

0 1 -1 1 => AG = C-lAEC =

1 2 8 -6 C=

0 0 1 -1 1 1 4 1

0 0 0 -1 -1 -2 -2 2

18. Oefinitie: Spunem ca doua matrici A ~i B sunt asemenea daca ele reprezinta acela~i operator liniar In doua baze diferite. Avem A - B ¢::> (3)S nesingulara astfel ca B :: S-1AS.

Sa se arate ca:

a) S·'(t,Ak)S~ t,(S:IA,S);

b) S-1(OA k)S=O(S-IA kS); c) S-1f(A)S:: f(S-1AS), f:: polinom. Rezolvare:

a) Nolam B = S·'(t,A,)S=> SB = (t,A,)S=> SB =

140


n n n

LCAkS) => B :: S-1 LCAkS) => B :: LS-lCAkS)=> B :: ~ ~ ~

t, (S -I A,S) => S -( t. A, ) S = t, (S -I A,S). Am ulilizal proprieta!ile

inelului matricilor (1rJ, +, .).

b) B = S-{UA,)S=>SB = (A,A2 ... A,,)S = A,A2 ... A,S

=> B :: S-\A1A2 ... AnS) :: S-1A1A2 ... AnS :: S-1A1(SS-1) A2(SS-1) ...

(SS-1)AnS:: (S-1A1S) (S-1A2S) ... (S-1AnS) :: TI (S-IAkS). k=1

c) Fie f(x):: anxn + an_1Xn-1 + ... + a1X + ao, n E N*, un

polin om S-1f(x)S :: S-\anAn + an_1An-1 + ... + a1A +aol)S a)

S-1(anAn)s/ ... + S-1(a1A) S + S-1(aol)S :: an(S-1AnS) + an_1(S-1An-1S)

+ ... + a1(S- AS) + ao. Cum (S-1AS/ = S-1AkS (se arata u~or prin inductie) rezulta

ca S-1f(A)S = f(S-1AS). .

19. Fie matricile asemenea A ~i B = S-1As. Sa se arate ca: a) Orice matrice S se obtine Inmultind una din matricile

permutabile cu A printr-o matrice So pentru care avem B = S~I ASo (matricea S n.u este unic determinata ~i are forma S = CSa);

b) Pollnoamele caracteristice ale matricilor A ~i B sunt egale.

Rezolvare:

a) B = S~l ASo = ' S~1 (C-1C)ASo ; AC = CA (C este

matrice permutabila cu A) => B = S~l C-1(CA)So = S~l C-1(AC)So = (S~l C-1)A(CSo ) :: S-1AS.

Pe de alta parte avem: S-1AS = (CSar1A(CSa) :: S~l C-1ACSo :: S~l C-1CASo ::

S~lASo:: B.

141


b) Deoarece AE = A(S-1S)E = S-1(AE)S putem scrie det (BAE) = det(S~1 AS - S-\AE)S)= det (S-1(A -AE)S) = det S-1 . det(A

AE) . det S. Dar det S-1 . det S = 1 ~i deci det (B-AE) = det (A-A.E), unde

E este matricea identitate.

20. Fie doua matrici patrate de acela~i ordin A §i B. ~tiind ea una din ele este nesingulara, sa se arate ca matricile AB §i BA sunt asemenea ~i deci au acela§i polinom caracteristic.

Rezolvare: Presupunem matricea A nesingulara ~i avem: S-\BA)S = S-1A1ABAS = (ASr AB(AS) §i conform

exercitiului anterior rezulta ca AB §i BA sunt asemenea. Din exemplul anterior, punctul b, rezulta §i ca AB §i BA au

acela§i poiinom caracteristic.

S . 21. Fie 1...1, 1...2, ... , Am valorile proprii ale matricii A, L1, cS, ... , &n vectorii proprii corespunzatori §i f(~) = aO(~-~1)(~- ~l2) ... (~-~I) un polinom de gradul I in ~. Sa se arate ca:

a) matricea An, nEN* admite valorile proprii A';, A:~, ... , A':n

avand aceia§i vectori proprii L1, cS, ... , ~ ; b) valorile proprii ale matricii f(A) sunt f(A1), f(A2) , ... ,f(Am). Rezolvare: a) Din definitia vectorilor proprii avem: A C = Ai C, C"* 0,

i = 1, m . De aici obtinem:

A2 q-= (AA) C= A~ C; A3 C= A~A C= A~ C, ... §i daca A este inversabila,

A1 C = ~. C; A-2 C = ~. A1 C = ~2 C; A-

3 C = ~2 A 3 C -= I III

~A1C=-\-C, ... A A. , ,

142


b) Avem: f(A) = aO(A-~1E)(A-~2E) ... (A-~IEJ §i det f(A) = a~ det (A-~IE) det(A-~2E) ... (A-~IE) (1)

Po!inomul caracteristic al matricii A este: F(A) = det (A-AE) = (-1)m(A - Ai)( A-A2) ... ( A-Am) (2j Din relatiile (1) §i (2) obtinem:

Det f(A) = (-1 )ml a~ IJ (~i - A) = f(A1), f(A2),." .f(Am). j,"hL j - I ,m

Tn relatia de mai sus punem f - I. in locullui f §i obtinem det(f(A)- AE) -= (f(A1) -A)(f(A2) -A) ... (f(Am) -A) = (-1 )m(A - f(A1» (A _ f(A2»'" (A - f(Am» de unde rezulta ca valorile proprii ale matricii f(A) sunt f(A1), f(l"2), ... ,f(Am).

22. Fie operatorul liniar U: 1R{4 ~ ~4 care are matricea in baza canonica :

6 -9 5 4

7 - 13 8 7 A = 8 _ 17 11 8 . Sa se determine valorile proprii §i

- 2 1 3

vectorii proprii corespunzatori §i apoi subspatiile invariante nebanale in raport cu A ale lui R4. Sa se decida daca A poate fi diagonalizata.

Rezolvare: Ecuatia caracteristica este:

6- A -9 5

7 -13-A 8 det(A - AE) =

8 -17 11- /..,

I 1 -2 1

=> /"'1,2,3 -= 2, /"'4 -= 1.

143

4

7 8 =(A-2YCA-l)=O=>

3 - /..,


Pentru A = 1 avem AC= AC~ AC= C, C= (X1,X2,X3,><4) ER4

~ C= a(3,6,7,1), a ER ~ VA.=1 = {a(3,6,7,1) I aE~*} cu dim VA.=1 = 1 ~i 0 baza B, = { C1= (3,6,7,1)}. .

Subspatiul VA.=1 este invariant deCiarece Ux = x pentru once x E VA.=1.

Pentru A,2 avem AC= 2C~

~ \ 2 l 4::.:::> 2

{4X -9x =-5x -4x x "-=u

7x\ -15x2 = -8xl - 7x. Xl = a ,a,b ElRS.

X. = b

~ VJ...=2 = {a(1,1,1,O) + b(-1,fJ,O,1) I a,b ElRS., a2+b2:;t: O}.

Cum dim V'A.=2 = 2 :;t: 3 = ordinul de multiplicitate al valorii proprii A = 2 rezulta ca A nu este diagonalizabila.

23. a) Sa se gaseasca baza ortonormata a spatiului lRS.3 in

mport : :a[r: prT] ~:::::d~:~:n:la 311

b) Sa se gaseasca transformarea ortogonala definita prin matricea S astfel ca matricea A sa aiba forma diagonala B=S-1AS.

3 2 2 -2

A= 2 3 -2 2

2

-2

-2 2

3

2

2

3

a) Sii se reducii mairicea ortogonalii A = ~(~1 -~1 ~lJ la forma canonica B.

144


d) Matricea A = ls [~ -1 _2:1J este ortogonala. 18 0 -4 J2

Transformand-o pri.,tr-o matrice ortogonala S, sa se obtina forma sa canonica B.

Rezolvare: a) Valorile proprii ale matricii A sunt A1 = -2, A2 =3, A3 = 6

reale ~i distincte deci vectorii proprii corespunzatori sunt ortogonali.

Consideram vectorii proprii L1 = (1,0,-1), L2 = (1,-1,1), G3 = (1,2,1). Normandu-i la 1, rezulta vectorii ortonormati (produsul scalar euclidian): .

e1 = (~,O,- ~).e2 =(~,-~ , ~).e3 =(~, ~, ~) Forma diagonah3 este:

[-2 0 OJ

B= 0 3 0 =

o 0 6

S-1AS cu S matrice =

ortogonala. Transformarea (operatorul) ortogonala este Uy = Sy = x, x,y

b) det (A - AE) = ° ~ (A -5)3(A +3) = ° ~ A1,2,3 = 5, A4 = -3. Valori proprii reale implica vectori proprii ortogonali. Pentru A = -3 avem vectorii proprii C= a(1,-1,-1,1), aER*;

din II CII = 1 rezulta 4a2 = 1 a = ..!.. ~ e4 = (..!.. -..!.. -..!.. ..!..) . '2 2' 2' 2'2

Pentru A = 5 avem vectorii proprii C = (a+b-c, a,b,c), a,b,cER, a2+b2+c2

:;t: ° ~ VA = 5 = {a(1,1,0,0) +b(1,0,1,0) +c(-1,0,0,1) I a,b,c ER, a2+b2+c2

:;t: a}. Luam vectorii proprii L1 = (1,1,1,1) E V'A. = 5

145


~i L2 1.. L1 => [2 = (~ , -1 ,1 , -1) E VA. cu < L1, L2> = 0 ~i & 1.. L1, L2 => &= (1,1,-1,-1) EV>-.. CU < q, G;> = < q, 6> = o.

A. ~ . . _ (1 lIn _ (II! 1 ~ II normam ~I obtlnem e2 - -,--,-,-:;-), L1 - -2 ' 2 ' 2 ' -;::;j ,

2 2 2 k ' ~

1]3 = (! ! -~ _!" . . 2' 2 > 2' 2)

5 0 0 0 1 1

o 5 0 0 . 1 1 -1 B = 0 0 5 0 ~I S = "2 1 1

1 1

1 -1 cu 8 = S-1AS. -1 -1

o 0 0 -3 1 -1 -1 1

c) Valorile proprii ale lui A sunt A 3 = 1, radacinile cubice ale unitatii.

= 1 . .J3 n .. n - + 1 - = COS - + 1 sm - eli 2 2 3 3

vector propriu;

A2 = ! - i.J3 = cos 'It _ i sin 'It eli L2 = (1 _.!. + i.J3 -!. - i.J3J 22 3 3 ' 22 ' 22

A3 = 1 cu L3 = (1 ,1 ,1). in locul vectorilor proprii complec~i consideram vectorii

proprii cu valori rea Ie:

e = £1 -£2 =(0 _ .J3 .J3) 1 2i ' 2' 2

e = I'>} + 1'>2 = (1-! -!) pe care ii normam: 2 2 ' 2' 2

e3 = S3 = (1,1,1)

f1 = (0,- ~, ~) , f2 = (~,- ~,- ~) , f3 = (~,- ~,- ~) .

146


1 .Jj 0

2 2

B= .J3 1 0

2 2 0 0 1

,

reos ;

l" n == Si: i

n -8m-

3 'It

eos--3

0

o ,..

o ~i S = (f1If2If3) cu

1

B= S-1AS.

b) Ecuatia caracteristica det (A - AE) = 0 are solutiile:

"I - 1 'I - 4+J2 . ~18- 8$. "I _ 4+$ . ~18-8J2 11-1 - - , 11-2 - + 1 11-3 - - 1 CU

6 6' 6 6 ' vectori proprii:

ci = (2-.J2,-Ji,-I)

c2 = (- 6 + i(6 + 3Ji)J18 - 8Ji,6 + 6Ji + i· 3F2~18 - 8.J2,-24)

c3 = (- 6 - i(6 + 3.J2 )J18 - 8Ji,6 + 6Ji - i· 3""2)18 - S.j2 ,-24)

Consideram vectorii cu componente reate:

e, = (2 -.Ji,-.Ji,-l),

e2 = £ 2 ~ c) == (( 6+3J2)J18 - 8J2,3hJ18 - 8J2,0)

e3 = e2 ;e3 == (-6,6+ 6J2,-24) pe care ii normam:

f = e1 f = e2 f _ e3

1 J9 _ 2Ji' 2 ~720 + 72J2' 3 - ~720 + 72""2 .

147


-1 0 0

B= 0 4+.J2 ~lS - 8-J2' §i B = S-1AS cu S = (f1\hlf3).

6 6

0 ~lS -s.J2 4+.fi

G 6

~?r 24. Sa se determine 0 baza Tn care operatorul U: ~4 -) ~4, U(x) = (X1 ,0,X1 ,X4), are matricea diagonala.

Rezolvare: Oeterminam vectorii proprii §i subspatiile lor. Din ecuatia caracteristica IA- A,14\ = ° obtinem valorile

proprii. 1 0 A, 0 1- A, 0 1 0

0 0 0 0 0 -A, 0 0 = ° => A?(1-A,)2= A= =>

0 0 0 0 0 0 -A, 0

0 0 0 1 0 0 0 1- A,

° => A,1 = A,2 = ° §i A,3 = A,4 = 1. Pentru A,1,2 = ° calculam vectorii proprii din sistemul:

rX, = 0

i Xl = 0 =>x = (O,a,b,O), a,bE~*=>

lX4 = 0 => VI.I = {a(0,1,0,0) + b(O,0,1,0) \ a,bE~*}=>

=> dim VI. = 2 cu baza {f1 = (0,1,0,0), f2 = (0,0,1,0)}. 1.2

Pentru A, = 1 calculam vectorii proprii din sistemul:

{

-X2 = 0

XI -X3 = 0 => x = (a,O,a,b), a,b E ~* =>

=> VI. = {a(1 ,0,1,0) + b(O,0,0,1) I a,b E~*} => 3, 4

148

Operatori liniari · Capitolul3

=> dim V"-3.4 = 2 cu baza {h = (1,0,1,0), f4 = (0,0,0,1)}.

Tn baza F = {fd2,h,f4} matricea lui U este diagonala:

(A,I 0 0 0l (0 0 0 0l o A,2 0 0 0 0 0 0

B = l 0 0 A,3 0) = lo 0 1 0 .

o 0 0 A4 0 0 0 1)

25. Fie operatorul liniar U: ~3 -) ~3 Tn baza E = {e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)} §i matricea lui Tn aceasta baza

A. Sa se arate[c~ ~ nU_P2o

J

ate fi adU[S~ I~ fo~mJ a diagonala, pentru: '

a) A = 0 2 -1 ; b) A = 2 0 0 .

o 0 0 3 4 1

Rezolvare: a) Calculam Tntai valorile proprii.

-A 3 -2

IA - Abl = ° <=> 0 o

2 - A - 1 = A, 2(2-A) = ° => A1,2 = 0, A3 = 2.

o -A Vectorii proprii pentru A1,2 = ° sunt:

[0 0 0J[X1J T 3x + 2x = 0

(A - Ob)x = ° => 3 2 0 x 2 = 0 => {_ 1 _ 2 _ => 2 -lOx 2x) x2 - 0

3

X1 = X2 = ° => x = (O,O,a), aE~* => Vo = {a(0,0,1) I aE~*}. o baza Tn subspatiul vectorial Vo este formata din vectorul

(0,0,1), de unde rezulta ca dim Vo = 1. Cum dim Vo = 1 7: 2 = ordinul de multiplicitate al valorii

proprii A = 0 rezulta ca matricea A nu poate fi diagonalizata. b) Valorile proprii sunt:

149

-"


I-A. 0 0

IA - AI31 = ° <=> 2 -A 0 = -A(1-A)2 = ° => A1 = 0, A2,3 = 1.

3 4 I-A

Vectoni proprii pentru A;!,3 = 1 sunt:

(AT - 013)X = 0 => l(~ ~ !IJ(=:J ~ 0 ~ {2X~:,3:30~ 0 0.; X2 ~ X3 ~ a o 0 0 X3

=> x = (a,O,O), a E~* => V1 = {a(1,0,0) I aE~*} cu baza formata din vectorul (1,0,0) => dim V1 = 1 "* 2 = ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare A = 1 => A nu este diagonalizabila.

26. Sa se determine 0 matrice C a stfe I incat matricea B = CAc-1 sa fie diagonala, unde:

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

a) A= 0 0 1 0 0 ; b) A= 0 1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0

Rezolvare: a) Se utilizeaza formula de calcul a matricei unui operator

cand se schimba baza. Datorita izomorfismului dintre spatiile

vectoriale reale mn,n(~) ~i ci(~-m, ~n) fiecarei matrice A E m"n(~) i

se poate asocia in mod unic un operator liniar U: IR?.m ~ IR?.", U(x) =

ATX in baza canonica. La noi A E m,5 (~) => U: ~5 ~ ~5, U(x) = ATX.

Vom ajunge la baza in care operatorul liniar U are forma diagonala.

Calculam intai vectorii proprii ai lui U.

150


-A 0 0 0- 1

1

0 -A 0 1 0 IA - Aisl = O=> 0 0 1- A 0 0 =0 => (1-A)3(A+1)2 =0

0 1 0 -A 0

1 0 0 0 0

valorile proprii 91e lui U sunt A1 ,2,3 = a ~i A4,S = -1. Pentru A = 1 obtinem:

{

- Xl + X6 = 0

O => x = (a,b,c,b,a), a,b,c E~, a2+b2+c2"* a =>

- x 2 + X 4 =

=>

V1 = {a(1 ,0,0,0, 1) + b(O,1 ,0,1,0) + e(O,0,1 ,0,0) I abc E ~ 2 2 2 . . ' , ,

a +b +c "* o} => dIm V1 = 3 = ordlnul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare, A = 1.

p{:::::: i~O:!::~b'O'_b,_a), a,b E ~,a2+b2 * a ~ 2X3 = 0

V-1 == {a(0,1,0,-1,0) + b(1,0,0,0,-1) I a,b E~, a2+b2 "* O} cu dim V-1 = 2 = ordinul de multiplicitate at valorii proprii A = -1.

Vectorii e1 = (1,0,0,0,1), e2 = (0,1,0,1,0), e3 = (0,0,1,0,0),

e4= (0,1,0,-1,0) ~i e5 = (1,0,0,0,-1) formeaza 0 baza ~s, in care matricea lui U este:

1 0 0 0 0

o 1 0 0 0

B= 0 0 1 0 0 o 0 0 -1 0

o 0 0 0 -1

Matricea Beste B = CAC-1 unde C este matricea de trecere de la baza canonica la baza E,

131


1 0 0 0 1

0 1 0 1 0

c= 0 0 1 0 1 0 1 0 -1 0

1 0 0 0 -1

b) Asociem lui A oper3torul U: ~4 ~ ~4, U(x) = ATX. Valorile proprii ale lui U sunt:

= 1, A3,4 = -1 .

-A 0 0

-A 1

1

-A

1

o = (A_1)2(A+1)2 = '0 => A1,2 o

1 0 0 - A

Vectorii proprii pentru A = 1:

(AT_14) X = 0 => 1 => X = (a,b,b,a), a,b EIJ1&., a +b * {

X := X 4 2 2 0

X 2 = X3

=> V1 = {a(1,O,O,-1) + b(O,1,1,O) I a,bE~, a2+b2 * O} cu baza {e1 =

(1,0,0,1), e2 = (O,1,1,O)} ~i dim V1 = 2. Vectorii proprii pentru A= -1:

(AT + 14)x = 0 => {XI = -x. :::::> x = (a,b,-b,-a), a,bElRZ => V-1 = X z = -x)

{a(1,O,O,-1) + b(O,1,-1,O) I a,bE~, a2+b27:- O} cu baza {e3 = (1,0,0,-

1), e4 = (O,1,-1,O)} ~i dimV_1 =.2. Tn baza {e1,e2,e3,e4} operatorul U are matricea S = CAC-

1

unde:

r1 0 0 0

o 1 0 0 B-loo -1 0

o 0 0 -1

~j C:::

1 0 0

o 1 1

1

o o 0 0 -1

o 1 -1 0

152

cu det C = - 4 7:- O.


27. Sa se calculeze A", neW, unde A = (~ ~ iJ Rezolvat'e:

Matricei A Ii asociem un operator liniar U: !l!3 ~ !l!3, U(x) =

Gasim valorile proprii ale lui A. -A 0 1

IA-AI31=0=> 0 I-A 0 =(A-1)2(-A-1)=0=>A1,2=1,

1 0 - A

A3 = -1. Pentru A1,2 = 1 obtinem vectorii proprii:

(AT - 13)x = 0 ~ (~1 ~ ~J[:} 0 ~ x, = X3 ~ X =

(a,b,a), a,b E ~, a2 + b2 7:- 0 => V1 = {a(1,O, 1) + b(O, 1,0) I a,b E!l!,

a2 + b2 7:- O} cu dim V1 = 2 ~i {e1 = (1,0,1), e2 = (O,1,O)} baza In V1.

Pentru A = -1 obtinem:

(AT -13)X = 0 => ['~ ~ ~J(:~J = b t~ = :~' ~ 1 0 1 X3 2

X = (a,O,-a), aEIRI.* => V-1 = {a(1,O,-1) I aelRZ*} cu dim V-1 = 1 ~i baza {e3 = (1,O,-1)}.

Tn baza {e1,e2,e3} operatorul U are matricea S = CAC-1,

B = [~ ~ ~], c = [~ ~ ~] . o 0 -1 1 0 -1

De aic; rezulta ca Sn = CAnC-1 ~i C-1SnC = An.

153


~ ~I ~i Sn = l~ ~ ~ I de unde

o ;j 0 0 (-It j

/0 0

n = par ~i An = lo 1

o 0

o 1 + (-1 t+1J (1 0

2 0 ::::> An = 0 1

o 1 + (_1)1l+1 10

~) pentru n = impar.

~) pentru

28. Fie U: ~4 ----+ ~4 cu matricea In baza canonica

1 1 1 0

-1 A=

-1

o

3 0 1

o -1 1

-1 -1 1

sa se aduca matricea A la forma

Jordan ~i sa se determine baza In care A se scrie astfel. Rezolvare: Calculam valorile proprii ale matricii A, din ecua1ia

caracteristica: I-A 1 1 0

-1 3-A 0 1 = (A-1)4 = ° ::::> A1 = det(A - AI4) = -1 0 -I-A 1

0 -1 -1 I-A

A2 = A3 = A4 = 1. Calculam dimensiunea subspa1iului propriu asociat valorii

proprii A = 1. Fie V = U -A·1 4 = U - 1 4 care are ca matrice pe S = A -14.

R R

Calculam subspatiile Ker V c Ker V2 c ... c ~4 154

Operatori Iiniari

KerV = {XE~41 V(x) = O} = { XEIR?4 18x = O} o 1 1 0

-1 2 0 1 B=

-1 0 -2 l'

o -1 -1 0

Sk = 0, ('1) k ~ 3.

r x2 + X3 = 0

B2 =

( -2 I -'2

.., .:..

2

2

-2

-2

-2 -2 2

2

Capitolul3

2

-2

Sx = ° ~ ::::> x = (a,b,-b,a-2b), a,b E~ ::::>

\

- Xl + 2X2 + X4 = 0

- Xl - 2X3 + X4 == 0

- X2 - X3 = 0

KerV = {a(1,0,0,1) + b(0,1,-1,-2) I a,bEIR?} ~ dim KerV = 2

Ker V2 = {XE ~4 I V2(X) = O} = {XE 1R?41 S2X = O}

S2X = ° ::::> x = (a,p,y,a-p+y), a,p,y E !R{

~ KerV2 == {a(1,O,O,1) + P(O,1,O,-1) + y(O,O,1,1) I a,p,y E~}

S2X = ° => X E !R{4 => Ker V3 = !R{4. Avem ~irul de subspatii:

{a(1,0,0,1) + b(O,1,-1,-2) I a,b E !R{} c {a(1,O,O,1) + P(0,1,O,-1) +

y(0,0,1,1) I a,p,y ER} c!R{4 de dimensiuni d1 = 2 < d2 = 3 < d3 = 4.

Cum k1 == d3 - d2 = 1 alegem un vector V1 E ~4 \ Ker V2

astfel ca Ker V2 Ef) .J(V1) = ~4, altfel spus completam subspatiul

KerV2 pana la spatiul ~4 cu subspatiulliniar generat de vectorul V1. Luam V1 = (1,0,0,0). V(V1) = (0,-1,-1,0) E KerV2. V2(V1) = (-2,-2,2,2) E Ker V. k2= d2 - d1 = 1 ~i alegem un vector V2 E Ker V astfel ca

{V2(V1), V2} sa fie baza In Ker V => luam V2 = (1,0,0,1).

Avem !R{4 = Ker V3 :::> Ker V2 :::> Ker V -1- -1- -1-

155


V1 V(V1) V2(V1), V2 ~i atunci B = {e1 = V2(V1), e2 = V(V1), e3 = V1, e4 = V2}.

Numarul de celule Jordan este 2 = dim Ker V. Matricea de trecere de la baza cc:monica la baza 8 este:

- 2 0 1 1 rl 1 0 0 - 2 - 1 0 0 _/ 0 1 1 0

C = :-:> J = C AC = forma Jordan. 2

2

-1 0 0

o 0 1 l~ ~ ~ ~

29. Fie matricea A ~ ( -:3 -1 -IJ -4 -3 7 6

E mx3 (~). Sa se

jordanizeze ~i sa se gaseasca baza Jordan. Rezolvare: Valorile proprii ale matricii sunt solutiile ecuatiei

caracteristice: det (A - "-13) = 0 => - (-"- -1)("- - 2)2 = 0 Pentru "- = -1 avem subspatiul vectorilor proprii

corespunzator V1 = {x E ~3 I (A - ,,-b)x = O} = {a(1 ,2,+1) I a E ~} ~i luam 81 = {e1 = (1,2,1)}.

Pentru' "- = 2 ordinul de multiplicitate este m2 = 2 ~i consideram matricea 82 = A - 2b.

B2 = (= ~ = ~ = ~J ~i operatorul liniar corespunzator

474 V(x)=8x.

Ker V = {x I V(x) = O} = {x I 82X = O} = {a(1,0,-1) I a dE ~*}

c KerV2 = {x I V2(X) = O} = {x I B~X = O} = {a(1,0,-1) + P(0,1,-2)}

c ~3. d1 = dim KerV = 1 ~i d2 = dim KerV2 = 2.

156


Luam V1 E Ker V2 \ Ker V, V1 :.: (-2,1,0) ~i observam ca V(V1) E KerV2 => 82 = {e2 = V(V1), e3 = V1}.

Baza Jordan e~te 8 = 8 1 U 82 => C = 2 0 1 ~ [1 1 -2)

J = C-1AC

(

-1 0

J = 0 2

o 0

1 -1 0

rJ Cil douii blocuri Jordan.

Pentru valoarea proprie "- = 2 am avut dim Ker V = 1 deci 0

singura celula Jordan pentru ea, de dimensiune egala cu ordinul de multiplicitate a lui 2.

30. Sa se Jordanizeze urmatoarele matrici gaseasca baza in care ele sunt scrise sub forma Jordan:

2 0 0 0

1 3 2 1 a) A=

0 -1 0 - 1 '

-1 0 0 2

Rezolvare: a) Valorile proprii sunt:

2-"- 0 0

1 3-A- 2 det (A- "-14) = o -1-A

3 -4 0

4 -5 -2 b) B=

0 0 3

0 0 2

o 3-"-

1 -1 =(2-A-)-1

-1 0 0 2-"-o

2

4

-2

-1

2

-A

o

~i sa se

1

-1 = 2-A

_ . 2 3 -A- 2 3 - (2-"-) -1 _"- =0=>-(2-"-) (A-1)=0=::>A1,2,3=2,A4=1.

Pentru A- = 1 avem vectorii proprii (A - I)x = O=>x = (O,a,-a,O)

~ VA = 1 = {a(O,1,-1,O), a E !R{*} =>:84 = {V4 = (0,1,-1,0) }.

157


Pentru ').. = 2 avem vectorii proprii (A - 2 I)x = ° =>

=> x = (O,a,b,-a-2b), a,b E ~,a2 +b2 :f:. ° =>

Ker (A - 2 1)={a(O,1,O,-1) + b(0,O,1,-2) I a2 +b2:;t 0, a,b E ~}

(0 0 0 0

(A - 21)2 = ~i o 1 2 i . lo -1 -2 -1

o 0 0 0

Ker (A - 2 1)2 = {a,b,c,-a-2c) I a,b,c E!R{, a2 +b2 + c2 :f:. O}

(A - 2 1)3 = (A - 2 1)2 . . Avem: OcKer (A - 2 I) c Ker (A - 2 1)2; dim Ker (A - 2 I) =

2 => exista doua celule Jordan, una de dimensiune 1, cealalta de dimensiune 2.

Fie V1 E Ker (A - 2 1)2 \ Ker (A - 2 I.), V1 = (1,0,0,0); V2 = (A-2 I)V1 = (0,1,0,-1) E Ker (A - 2 I).

Pe V2 iI completez la 0 baza In Ker (A - 2 I) cu V3=(0,0, 1,-2). Avem: V1 E Ker (A - 2 1)2; V2 = B(V1), V3 E Ker (A - 2 I) =>

prima celuta are dimensiune 2 ~i a doua are dimensiune 1. 2 1 0 0

o 2 0 0 J == 0 0 2 0 cu baza 8 = {V1,V2,V3,V4}

000 1

1 0 0 0

o 1 0 1 Matricea de trecere este S = ~i J = S-1AS. o 0 1 -1

o -1 -2 0

b) det (8 - AI) = (').._1)2(')..+1)2 = 0 => A1,2 = 1, A3,4= -1.

{

2Xl - 4X2 + 2X4 = 0 {X3 = X4 = a Pentru ').. = 1 => 4Xl - 6x2 - :X3 + 4X4 = 0 => XI = -X3 =>

2X3 - 2X4 X2 = 0 158


x = (a,O,-a,-a) => Ker (8 - I) = {(a,O,-a,-a) i aE ~*} dim Ker(B-I) = 1 => 0 singura celula Jordan

2 =! ~ ! =:1 (8 - I) = 4 => Ker (8 - 1)2 = {a(1 ° 1 0) + o 0 0 0 ' , ,

o 0 0 0)

b(O,1,-8,-5) I a2 + b2 :f:. OJ

').. = -1 => Ker (B+I) = {(b,b,O,O) I bER*} => 0 singura celula Jordan

Ker (8+1)2 = {a(1 ,0,0,0) + b(0,1 ,0,0) I a,b E R, a2 + b2 :f:. O}

1 1 0 0

o 1 0 0 J= o 0 -1 1

o 0 0 -1

V3 = (1,0,0,0) E Ker(8+1)2 \ Ker (8+1) V4 = (8+I)V3 = (2,2,0,0) E Ker (8+1) => B2 = {V3, V4} 8 = {V1,V2,V3,V4}

2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0

0 31. Fie maticea J = 0 0 2 0 0

0 0 0 1 0 0 . Sa se calculeze J2

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

J100, eJt

.

Rezolvare: Matricea J are 3 blocuri Jordan: J1, J2, J3 =>

J=[JJ J 2 °J=>Jn=(J~ J~ OJ. o J 3 0 J~

Se demonstreaza prin inductie ca: 159

Operatori liniari

[2 0 1 [2' 0

n~"l J~ == 0 2 1 == 0 2"

o 0 2 0 0 2"

r = ~

4 0

(0 ~r =(~ ~) , n ~ 2 => J2 = 0 Tn

J 3 = 0 0 0

0 OiOIO 4 4 0

01 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2100 0 0 0 0 oj 0 2100 100.299 0 0

0 fOO == 0 0 2 100 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

JOt" to eJt = L-= I+tJ + 'L_fl ==

n~O n! n?;2 n!

1 +2t 0 0 0 0 0 0 1 +2t t 0 0

0 0 0 1+ 2t 0 0 = 0 0 0 1+t 0 0 + 0 0 0 0 1 t

0 0 0 0 0 1

160

Capitolul3

(1 )n = (1 ),

0 0

0 o ' 0

0


r 2"t"

:1 ~7 0 0 0 0

2" t" 20-

1 to 'L- ~(O-l)!

,..

1° 0 • • 2 o! 0

0 2 n t" 0 Oi 0 I- =

l1 ~i 01 t"

0 0 0 I- 0 0 ,,~2 o!

0 0 \) 0 0 0

0 0 0 0 0 0

e2' 0 0 0 o 0

=

0 e2' e 2t + t-l o 0

e 2'

0 0 0 o 0 0 0 0 e' o 0 0 0 0 0 1 t

0 0 0 0 0 J

32. Sa se gaseasca operatorii liniari adjuncti pentru urmatorii operatori liniari:

a) U: [R{n ---+ [R{n, U(x) = (X1 + X2, X2 + X3,.·., Xn-1 + xn, Xn + X1),

x = (X1, ... , xn) E~n;

b) U: ~2 ~~2, U(x) = (2X1 - X2, X1 + 3X2), x = (X1, X2) E~2; c) U: en ~ <en, U(x) = ix. Rezolvare: a) U*(x) = A*x, A * = AT In spatiul euclidian real.

161


1 0 0 OOll 1 1 0 ... 0 0

1 1 0 ···0 rezulta AT =

0 1 1... 0 0 CumA= 0 1 1 ···0 -- _ .. -- -- ._ .. - -.. -- - -- _. _ .. - §i

0 0 0 ... 1 1

0 0 0 ., .1) 1 0 0 ... 0 1

U*(x) = (X1 + xn, X1 + X2, ... , Xn-1 + Xn), X = (X1, ... , Xn) E~n. . b) U*(x) = A*x = ATX = (2x, + X2, -X1 + 3X2)

e) U* se determina din relatia < T(x) , y> = < x, T*y>, (V)

x,y ECn.

< T(x) , y > = < x, T*(y) > ¢:> < ix, y > = < x, T*(y) > ¢:> < x,

iy> = < x, T*(y) > ¢:> < x, -iy = (x, T*y » ¢:> < x, T*(y) + iy > = 0

(V)x E Cn => T*(y) + iy = 0 (V)y E Cn => T*(y) = -iy (V)y E Cn.

33. Sa se arate ea urmatorii operatori Iiniari sunt ortogonali:

a) U: ~3 ~ ~3, U(X1,X2,X3) = (

2 2 1 2 1 2 1 2 2). = 3 x, +"3X2 -3X3'3x, -3X2 +"3x3'-3x! +3"X2 +3 X3 ,

b) U: ~3 ~ ~3, U(X1,X2,X3) =

= (~X'+~X2- ~X3'~X'+~X2+ ~X3'~X'- ~X2) Rezolvare: . . ~ T _ T _

~tim ea un operator hmar este ortogonal daea AA - A ·A - I. 2 2 1 - -3 3 3

=lP 2 -I]

a) A = 2 1 2 -1 ~ =AT; - -3 3 3 3 -1 1 2 2 2

3 3 3 AAT = AT·A = A2 = I.

162


b)A=~( ~ -J2

1

1

J2

34. a) Sa se determine operatorii ortogonali el! proprietatea

U(x)U(y) = xy, (V) x,y E ~2, de forma U(X1,X2) = (ax1 + !X2. - !X1 2 2

+ aX2).

b) Sa se gaseasca operatorii ortogonali U: ~3 -) ~3, U(X1,X2,X3) = (a(x1+x2+X3), aX1+a22x2+a32x3, a31x1+a32x2+a33x3), eu

proprietatea U(x)U(y) = xv, (V) x,y E ~3. Rezolvare:

a) Punand conditia U(x)U(y) = xy obtinem a2 + : = 1=>

J3 a= ±-.

2

b) Punand eonditia U(x)U(y) = xy (V) x,y E ~3 rezulta sistemul:

3a2 = 1

a(a3 ! + a32 + a33) = 0 a21 + a22 + a23 = 0 1 2 2 3+ a2! +a31 =1 .

122 - + a22 + a 32 = 1 3 2 2 2 1 a21 + a22 + a 23 = 2 2 2 1 a31 + a32 + a33 =

163


.J3 (2 (2 . Obtinem a = ±3,a21 = ~3cost, a31 = e1V3 smt, a22 =

~ cos t' , a:'!2 = e2 ~ sin t' , t, t' E rO, n]. inlocuind, obtlnem cos2

t +

2 3 . ·2 .2 t, . t . t' 3 cos t' + cos t cos t' = "4 l?' sin t + Sin + e1e2 Sin Sin ="4'

1 Daca e1 = e2 = 1, pri:1 adunare, rezulta cos (t' - t) = - 2" l?i

deci l' = t + 2n . Mai avem: 3

a23 = - ~(cost+cos(t+ 2;)) = -~cos(t+ 2;) l?i

a33 = -el ~(Sint+Sin(t+ 2;)) =-el~Sin(t+ 2;). Deci avem:

+.J3 - 3

A = #cost

(2. c~3 smt

35. Fie U: ~n ~ ~n un operator ortogonal Tn spatiul

euclid ian ~n, astfel Tncat Tn raport cu baza· ortonormata din ~ n

matricea sa sa fie triunghiulara~ Sa se arate ca Tn mod necesar aceasta matrice este diagonala.

Rezolvare: Fie matricea lui U intr-o baza ortonormata E = {e1,e2, ... , en}

164


A = r:::a:"::::~l \an ! a"z'" ... ann

Baza E fiind ortonormata, tnatricea A trebuie sa fie ortogonala. Rezulta, din AAT = ATA = I, ca a11 = ±1 l?i apoi ca a21 = 0, ... , an1 = O. Apoi obtinem a22 = ±1 ~i a32 = ... = an2 = 0, l?a.m.d., ann = ±1.

36. a) Fie (~n, < . , . » spatiul euclid ian reall?i fie U:~n~ ~n un operator ortogonal astfel Incat matricea lui U sa fie diagonalizabila. Sa se arate ca exista 0 baza ortonormata in

spatiul euclid ian ~ n Tn raport cu care matricea lui U este diagonala.

b) Sa se arate ca exista 0 baza ortonormata in spatiul

euclid ian canonic ~3 In raport cu care matricea operatorului

U:~3~ ~3,

U(X1 X2 X3) = (~x +~x _!x 2 x - ~x +~x -~x +~x +~x) " 3 I 3 2 3 3' 3 I 3 2 3 3' 3 I 3 2 3 3

sa fie diagonala. Rezolvare: a) Daca A este diagonalizabila rezulta ca valorile proprii ale

lui U sunt reale. Cum acestea sunt de modul 1 rezulta ca ele sunt +1 sau -1. Daca Ai l?i Aj sunt doua valori proprii distincte l?i Vi este vector propriu corespunzator lui Ai iar Vj lui Aj avem:

< U(Vi), U(Vj) > = < Vi, Vj > => AiAj < Vi, Vj> = < Vi, Vj >. Cum AiAj = -1 rezulta < Vi, Vj > = 0 => subspatiile VA. l?i VA.

, J

sunt ortogonale l?i atunci consideram 0 baza ortonormata B1 Tn V 1

~i 0 alta B2 Tn V-1 iar baza cautata este B = B1 U 82.

b) Avem valorile proprii A1 = A2 = 1 l?i A3 = -1 pentru operatorul U.

165


Cum Ker (A - 1v1 I) = Ker (A- I) are dimensiunea 2 inseamna ca sunt doua celule Jordan pentru valoarea proprie Iv = 1 ~i deci:

B = (~ ~ ~ IJ, este forma diagon:;la In baza Jordan.

lo 0 -1

B = ((2,1,0)" (-1,0,1)" (1,-2,1)'). Ortonormand aceasta baza, prin procedeul Gram

Schmidt, obtinem:

B'~{(Js' Js,o) ~ b,,( - k, ~, k) ~ b,-<b"b> b"

(~,-~, ,a) ~b,-<b"b, >b;-<b"b>b;}

37. Fie E = (~1[X], < . ; > spatiul euclid ian cu produsul scalar 1

< P, Q > = Jp(t)Q(t)dt. Sa se arate ca U: ~1[X] ~ ~1[X] este 0

-I

transformare ortogonala, unde U(ao + a1X) = .J3( i -aox) . Rezolvare: Este u~or de aratat ca U este operator liniar.

122

Fie P(x) = ao + a1X ~"P 112 = Hp(t)fdt = 2a~ +~ ~i -1 3

II T(P) 112 = .J3(~ -aox) = 2 a~ + 2 . 3a~ deci II T(P) 112 = IIPII2

3 3 3

cu P oarecare din R1[x].

166


38. Fie (n.M~), < .,. » spatiu euclid ian cu produsul scalar < A,8 > = Tr(AB) (urma matricii, adica suma elemente!or de p

diagonala principala) ~i se define~te aplicatia U: m(~) ~ m(!R{) ,

. . (ann an-I,n . .. . .. OlIn J U(A) = U«aij) :,J) = 'lan,n-I a,,_!,n_I'" '" al,n_1 .

ani an_I,I'" ... a! 1

Sa se arate ca U este operator ortogonal simetric. Rezolvare: Avem U(A) = A' cu a;j = an-j+1,n-i+1.

n n

II A 112 = Tr(A2) = ~::<aij/ =L(an-j+1,n-i+l/ =IIA'112 = IIU(A)112

: i,H i,j=1

Deci U este operator ortogonal.

Fie 8 = (bij) i,j E m(!R{), avem: n n

< U(A), B > = Tr(U(A)8) = "a'.b. = "a . 1 . 1 • b · L.J 'J Jl L.J n-J+ ,n-I+ Jl i,j=1 i,j=1

Schimbam indicii de sumare n-i+1 = i', n-j+1 = j' ~i obtine n

< U(A), 8> = Lai.j,bn-j'+I,n-i'+1 = < A, T(8) > ~ T = simetrica. i',j'=1

Tn cazul n = 3 avem matricea lui U: 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 cu detA = 1. A= 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

,-.,

39. Fie (C3, < ., . » spatiul euclid ian canonic ~i fie v1=(1 ,i,-i)

V2 = (i,1 ,i), V3 = (1-i,a,b) E ([3. Sa se determine a,b astfel ca s

xiste un operator liniar autoadjunct U: ([3 ~ ([3 cu U(V1) = 2V1 j

167


U(V2) = 2V2, U(V3) = -V3. sa sa gaseasca 0 baza ortonormata in raport cu care U are matrice diagonala.

Rezolvare: Din conditjjle puse rezulta ca vectorii V1, V2 sunt vectori

proprii pentru valoarea proprie A1 = A2 = 2 iar V3 pentru A3 = -i. Deci < V3, V1 > = < V2, V1 > = 0, de unde:

=> a = 1- = 21. i( 1 - i - ai + bi = 0 . 1 b .

- (1- i)i + a - bi = 0 '

Se observa ca V1,V2,V3 sunt independenti iar 2v1,2v2,-v3 sunt ~i ei liniar independenti astfel ca avem U(x) = AT X = Ax,

A == (~ ~ ~ J in baza ortogonala {V1,V2,v3} care devine

o 0 -1

baza ortonormata:

{(~,~,- ~)t1'2~)JG1'~1'Jz)} Tn baza canonica matricea lui U este B = SAS-1 cu:

s=[~. : ~=:J. -1 21

Avem < U(Vi), Vj > = < Vi, U(Vj) >, i,j = 1,2,3 deci U este autoadjunct.

40. Fie spatiul euclid ian On(c), < " . » cu < A,B > = n

Lajjbjj , atunci:

a) Daca U: m(C) ~ m(e) cu U(A) = AoA, Ao E m(e) fixata sa se gaseasca adjunctul U*;

b) Daca Ao este matrice autoadjuncta atunci U este autoadjunct.

168


Rezolvare: a) < A,B > = Tr(AT B) = Tr(AB*) => < U(A), B > = Tr (U(A)

B*) = Tr (AoAB*) = Tr(A(B*Ao» ~i < A,U*(B) > = Tr (A(U*(8)*) => (U*(B»* = 8*Ao => U*(8) = A~ 8.

b) Ao = autoadjuncta => A~ = Ao => U*(8) = Ao8 = U(8) => U* = U.

41. a) Fie (1R{.3, < . , » spatiul euclidian canonic ~i U1,U2:!I~,?~II~? operatori liniari simetrici cu matricile in baza canonica:

A, ~(~ ° ~J ~i A, ~ (~ ° ~J . Sii se arate cii U, ~i U, 1 3

0 0

comuta Intre ei (U1 0 U2 = U2 0 U1) ~i sa se construiasca 0 baza ortonormata formata din vectori proprii comuni.

b) Acela~i lucru pentru U1, U2 cu:

AI = (_8:6 = ~~ = ~!J ~i A2 == (_1~2 ~;: ~:J. -18 -54 71 36 24 75

Rezolvare: a) Cum A1A2 = A2A1 rezulta ca U2 0 U1 = U1 0 U2. Valorile proprii ale lui U1 sunt A1 = /....2 = 1, /....3 = -1 iar ale lui

U2 sunt J.l1 = J.l2 = 3, J.l3 = -1. Subspatiile proprii sunt: VAl = VA2 == {(a, b,a)}, VAl == {(a,O,-a)}

V~I == V~2 == {(a, b,a)}, Vlll == {(a,O,-a)}

o baza ortonogonala este B = {(1,O,1), (0,1,0), (1,0,-1)} ~i

ortonormatii este S' ~ {(~,o, ~),(O'l'O),(~,o,- ~)}. 169

I.


b) A1 = A2 = 98, A3 = -49,

V" ~ V" ~ {( -3a - ~ b,~ b)}, V" ~ H~ ,2,1)} /11 ~ P2 = 147, /13 = 49,

V =:V =: r(_2 a +2b,a,b')'}',v" ={a(-!,-~,l)~ III ~'l 3 ,-3 2 3 j

V" r. V" .~ {( - 2a, a, - % a)} cu bazii ortonormaiii

B' = {(_~ l_ 2)} 7' 7' 7

V (l V = V eu baza ortonormata B" = {(_l_ 2 _ 6)} A.l 113 ~l3 . 7' 7' 7

V (l V = V eu B'" = {(2 6 3)} A.3 ~, A. ] 7 ' 7 ' 7

VA.3 (l V I13 = {O}.

Baza eautata este B = B' u B" u B'''.

42. Fie {e1, ... , en} 0 baza ortonormata a spatiului euclid ian

E ~i fie f E oL{E, E) astfel ineat f(ej) = mjej, mjE IRL Sa se arate ea < f(V1), V1 > = < V1, f(V2) > pentru oriee V1V2 E E.

Rezolvare: . n n

Fie VI = L xje j , V 2 = LYiej ~i atunei avem: i=! i=l

< f(V1),V2 > = d«( ~ xiei), ~ Yiei > =

== tmi < xjepy;e; >= !m;xiYi < epej > ij=l i.j=1

170


<v"f(v2 »=/!x;ei'i tyjej])= !mjx;xj <epej >. \ ,~ I 1 ( )=1 ' , )- 1

Se observa ea eele doua sume sunt egale.

43. Fie I un operator au~oadjunet pe spatiul euclidian E. a) Sa se arate ca exista e E E astfelfncat lIell :: 1 ~i < x, Tx>

~ < e, Te > pentru orice x E E cu Ilxll = 1. b) Veetorul El gasit anterior este vector propriu pentru T ~i

valoarea proprie eorespunzatoare este < e, Te >. Rezolvare:

a) Fie multimea S = {xEE II/xII = 1} ~i fie f: S ~ IR{, f(x) = < x, Tx >. Functia f fiind continua pe multimea inchisa ~i marginita S, exista eES astfel incat f(e) =s; f(x) pentru toti XES.

b) Fie g: E -+ IR{, g(x) = < x, T~ > ~g(ax) = g(x) pentru orice Ilxll

aEIR{. Rezulta ea g(x) ~ g(e) pentru oriee xEE.

Fie YEE ~i sa eonsideram h: IR{ ~ IR{, h(t) = g(e+ty). Conform

relatiilor anterioare rezulta ea h(o) = g(e) :::; g(e+ty) = h(t), (\I) tEIR{, deei h(o) este valoare minima ~i atunei h'(o) = o.

0= h'(o) = 2< Te,y > -2< e,Te><e,Y> ~ <Te,y> = < e,Te> <e,y> pentru orice YEE rezulta ca Te = < e,Te>e ~ < e,Te> este valoarea proprie pentru vectorul propriu e.

44. Fie T: 1R{2 ~ 1R(2 0 transformare ortogonala ~i fie A matrieea lui T in raport cu baza {(1 ,0), (0,1)}. Sa se arate ea

(

COS t -sin t) exista tE(-n,n) astfel incat A = . .

sm t cost

Rezolvare: Matrieea A fiind ortogonala, rezulta ca A . AT = 12.

171


Fie A = (aC

b), atunci (a2

+ b2

ac + bdJ = (1 01)

d ac + bd c2 + d 2 0

~ ~ luand a = cos t, b = sin t cu {a2 + b2 = C

2 + d2 = 1

ac+bd=O

tE(-n,n), atunci luam c = -sin t, d = cos t §i acestea verifica sistemul anterior de ecuatii.

45. Fie H cu spatiu euclid ian unitar de dimensiune 2 §! fie E spatiu vectorial real al operatorilor autoadjuncti pe H care' au urma

n

nula (TrT = :l:aii = 0). i.",.t

a) Oaca fEE fie If I = ~ldet(f)l. Sa se arate ca (E, I . D este

spatiu euclid an de dimensiune' 3. b) Fie f,gEE atunci <f,g> = 0 ~ fg + gf = O. c) Sa se determine 0 baza ortonormala a spatiului E. Rezolvare: a) Tn raport cu 0 baza ortonormala a lui H matricea fEE

este de forma M f = (a b J, a ER, bEC. b -a

(1 0 ) (0 1) (0 - 1) ~Mf = + Re(b) +iIm(b) = o -1 1 0 1 0

+

Re(b)T2 + ilm(b)T3. Matricile T1,T2,T3 sunt independente §i deci dimRE = 3.

1 b) Pe E se define§te produsul scalar <f,g> = - Tr(f . g)

2 1 1 1 2.u 2

~ <f,g> = 2" Tr(fg) = '4 Tr(fg + gf) = '4 Tr[(f+g) -I - 9 ].

Cum fare 0 singura valoare proprie §i anume Ifl2 atunci toate patratele operatorilor din E sunt scalari, deci fg + gf este scalar §i atunci Tr(fg+gf) = fg + gf.

172


c) 0 baza {e1,e2,e3}a lui E este ortonormala daca §i liumai d v2 2 2' 0 t" aca e1 = e2 = e3 §I ejej + ejej = pen ru 1,* J.

Matricile T1,T2,T3 verifica aceste conditii §ideci { T1,T2,T3} este baza In E.

46., Se da functionala f: ~3 -+ ~, f(x) = 3X1 + 2X2 +X3, unde x

= (X1,X2,X3) E ~3. a) Sa se arate ca f este 0 funct;onala Iiniara; b) Sa se determine Ker f §i dim Ker f; c) Sa se determine coeficientii functionalei In baza E = {e1

= (1,1,0), e2 = (1,0,1), e3 = (0,1,1)}. Rezolvare:

a) Fie x,Y E ~3 §i a,l3 E ~ §i calculam f(ax + l3y). f(ax + l3y) = 3(ax1 + I3Y1) + 2(ax2 + I3Y2) + (ax3 + ~Y3) = a(3x1

+ 2X2 + X3) + 13(3Y1 + 2Y2 + Y3) = af(x) + I3f(y). Cum x,y,a,~ sunt arbitrar ale§i rezulta ca f este functionala

liniara.

b) Ker f def {XE~3 I f(x) = O} = {x = (X1,X2,X3) E~31 3X1 + 2X2

+ X3 = O}

Notam X1 = a, X2 = b, a,bE ~ §i avem X3 = -3a-2b, de unde

Ker f = {(a,b, -3a-2b) I a,bE~} = {a(1,O,-3) + b(0,1,-2) I

a,bE~}.

Vectorii (1,0,-3) §i (0,1,-2) formeaza baza in Ker f §i deci dim Ker f = 2.

c) Metoda 1. Se §tie ca f(x) = xEB unde XE este vectorul linie al coordonatelor lui x In baza E, iar Beste matricea lui f In baza E §i anume:

[bl) [f(el)] (5) (5)

B = b2 = f(e2) = 4 ~ f(x) = (X1,X2,X3) 4 = 5X1 + 4X2 +

b3 f(e 3 ) 3 3

3X3 CU XE = (X1,X2,X3). 173


Metoda 2. Se poate utiliza formula de schimbare a matricei functionalei cand se modifica baza B = CA unde C este matricea de trecere de la baza veche la baza noua iar A este matricea functionalei In baza veche .

. in acest caz avem:

B = CA = l i ~ :Jl ~J ~ m 47. Sa se arate ca f: ~n ~ Ire.. este 0 functionala liniara; sa i

se determine dim Ker f ~i sa i se scrie matricea in baza E: a) f(x) = X3 + X4, n = 4, E :: {(O,O,O, 1), (0,0,1,1), (0,1,1,1),

(1,1,1,1)}; b) f(x) ::: X1 - 2X2 + 3X3 - 4X4, n ::: 3, E ::: {(1,1,1), (4,1,3),

(15,11,1)} . Rezolvare:

a) Fie a,~ E ~ ~i x,y E ~4 oarecare. f(ax + ~y) ::: (ax3 + ~Y3) + (ax4 + ~Y4) = a(x3 +X4) + ~(Y3 + Y4)

= af(x) + ~f(y)

Ker f::: {XE ~4 I f(x) ::: O} = { XE ~4 I X3 + X4 = O} = { XE ~4 I X3

::: -X4}::: {(a,b,c,-c) I a,b,c E ~} = {a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,-1)

I a,b,c E ~} o baza In Ker f este {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,O,1,-1)} ~i

dimkerf::: 3. Matricea sau coeficentii functionalei in baza E este:

bl f(el) 1

b2 f(e2) 2 B= = =

b3 f(e 3 ) 2

2

174

Operatori liniari Capitolul 3

Sau B = C . A = [! ~ ~ I~l r~l unde C este matricea \

de trecere de la baza canonica la E iar A este matricea functionala in baza canonba.

b) Fie a E ~ ~i x E ~3 oarecare, avem: f(ax) = aX1 - 2ax2 +3ax3 - 4 :j:; aX1 - 2ax2+ 3ax3 - 4a pentru

a :j:; 1 deci f(ax) :j:; af(x) de unde rezulta ca f nu este functionala liniara.

I

48. Sa se arate ca f: ~2[X] ~ ~, f(P) ::: fp(x)dx este 0

o

functionala liniara ~i sa se afle coeficentii ei In baza {1, x-1, (x-1 )2} :::E.

Rezolvare: Din proprietatile integralei definite avem:

I I I

f(aP + ~Q) = f(aP(x)+~Q(x)dx=a fp(x)dx+~ fQ(x)dx= o 0 0

::: af(P) + Pf(Q) pentru orice P,Q E ~2[X] ~i orice a,~ E ~ .

=> f este functionala liniara. Coeficientii ei In baza E sunt:

1 1

2 1 -3

I I (1 2

f(1) = fldX= xl~ = 1; f(x-1) = fCX-l)dx= x; ) I~= ~l o 0

175


f«x-1)2) = f(X-IYdX== (X;lY I ~ =~ o

Altfel, P E !l~h[XJ ::::> P(X) = ax2 + bx +c, a,b,c E ~ =>

I . (X3 X2 J I a b ::::> f(P):::; fcax1 + bx + c)dx = a- + b-+ cx 10 = -+- +- c

3 2 3 2 o

~tim ca (lRb[X], ~) !}i (~3, ~) sunt spatH vectoriale izomorfe, deci lui P i se asociaza (a,b,c) carui9 i se asociaza prin f,

~ + b + c. rezu Itand matricea lui fin baza canonica A = (1,1., l) T

3 2 2 3 Matricea de trecere de la baza canonica la baza E fHnd C, rezulta:

1 1 '

2 1

3

49. Fie vectorii e1 = (1,0,0), e2 = (1,1,0), e3 = (1,1,1) E ~3; Sa se arate ca exista 0 singura functionala liniara f: ~3 ~ ~ astfel ca f(e1) = 0, f(e2) = f(e3) = 6 !}i sa determine coeficientii acestei functionale In baza canonica.

Rezolvare:

Vectorii e1,e2,e3 sunt liniar independenti in \W.3 deoarece:

1 ° ° 1 1 0=1*0.

1 1 1

Atunci ei formeaza baza in ~3 !}i orice x E ~3 se scrie ca

conbinatie liniara de e1,e2,e3 , adica exista a1,a2,a3 E~ astfel ca . '

x = a1e1 + a2e2 + a3e3.

176


Cum f este liniara rezulta: f(x) = f(a1e1 + a2e2 + a3e3) = a1f(e1) + a2f(e2) + a3f(e3) = 6a2

+ 6a3 => A = (0,6,6) T. .

Fie F = {f1 = (1,0,0), f2 = (0,1,0), f3 = (0.0,1)} baza canonica

din ~3, matricea lui fin baza F este:

B = l'::IJ ~ CA = r: ~ ~J-I[~J = r ~ 1 ~ ~J[~I = r~'J => b3 II 1 1 6 ~ ° 1 1 6) \ °

f(x) = 6X2 pentru x = (X1,X2,X3) E ~; C ;:: matricea de trecere de la baza E la baza F.

50. Fie {e1 ,e2, ... , en} = E 0 baza a spatiului vectorial (X, K) !?i aij, 1 ~ j ~ n, coeficientii functionalei liniare fi : X ~ K, 1 ~ i ~ rn, in baza considerata. Sa se arate ca 0 conditie necesara !}i suficienta pentru ca functionalele f1, ... , fm sa fie liniar independente este ca rang A = m unde A = (aij) lsism .

Rezolvare: Fie 0 combinatie liniara nula de functionalele fd2, .. . , fm: c1f1 + czh + ... + cmfm = 0, C1,CZ"",Cm E K => C1f1(X) + C2f2(X) + ... + cmfm(x) = ° (\7') x EX=> C1 (a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn) + C2(a11X1 + a22X2 + ... + a2nXn)

+ ... + Cm(am1X1 + am2X2 + ... + amnXn) = ° => X1(C1 a11 + C2aZ1 + ... + Cmam1) + X2(C1a12 + CZa22 + ... + cmamZ) +

... + Xn(C1a1n + C2a2n + .. . + Cmamn) = ° (\7') x = (X1,X2, .. . ,Xn) EX=>

{

a[[CI + a 21 c2 + ... +amICm = ° a l2c1 + a 22c2 + ... +am2Cm = ° (*)

~~~~+·~~:·~;·+.~.+·~::~·~-~-o .' fd2, ... , fm liniar independent <=> C1 = C2 = .. , = Cm = ° <=>

solutia siste.~~lu~ liniar ~mogen \) s~a !ie doar cea banala <=> rangul matnclI slstemulUi M = A sa fie egal cu numarul de necunoscute <=> rangul matricii A sa fie egal cu m.

177

I·


51. Sa se arate ca daca f este 0 functionala liniara f: X -) K ~i daca f este nenula atunci f este surjectiva.

R~zolvare:

Functionala f este nenula, rezulta ca (3) Xo E X astfel ca . .

f(xo) :: a "* 0, a E K. Notam Yo :: .!. Xo ~i avem ca f(yo) :: .!. f(xo) :: 1. a a

Fie k E K, atunci kyo E X ~i f(kyo) :: k, deci pentru orice k E K gasesc x :: kyo E X astfel ca f(x) :: k ceea ce inseamna ca f este surjectiva.

52. Sa se arate ca nucleul unei functionale liniare pe un spatiu finit dimensional, f: X -) K, este un subspatiu maximal in raport cu incluziunea al lui X, adica pentru orice X1 c X subspatiu cu Ker f c X1 rezulta X1 :: X.

"* Rezolvare: Se cunoa§te relatia: dim X :: dim ker f + dim Imf §i cum dim

K :: 1 ~i Imf c K avem dim Imf ::;; 1 de unde rezulta dim Ker f ~ n-1. Daca X1 ::;; X subspatiu avem dim X1 ::;; dim X :: n §i daca Kef

f C X1 avem dim Ker f < dim X1. '#

Rezulta n-1 ::;; dim Ker f < dim X1 ::;; dim X :: n ~i deci dim X1 :: n de unde X1 :: X ~i astfel Ker f este subspatiu maximal al lui X fata de incluziune.

53. Sa se determine 0 functionala liniara neidentic nula Tn spatiul numeric R3 astfel ca:

a) f(O,1, 1) :: 0, f(-1, 1,1) :: 0; b) f(1,-1,1):: -1, f(-1,1,1):: 0, f(0,1,1):: 1. Rezolvare:

178


a) Fie x:: (X1,X2,X3) E !l~?, f(X1,X2,X3) :: a1X1 + a2X2 + a3X3. Avem: f(O,1,1):: a2 + a3:: 0

f( -1,1,1) :::.: -a1 + a2+a3 :: 0

Rel~Jlta ca a1 :: 0 ~i az :: -a3 :: a, a E ~ ~i f(X1,X2,X3) :: aX2 -aX3, a E R;

b) f(X1,X2,X3) :: a1X1 + a2X2 + a3X3. Rezolvam sistemulliniar' r [(1,-1,1) = -1 {a -b + c = -1 .

I f( -1,1,1) = ° => - a + b + c = ° => a = -b = 1; c == 2 => !

l f(0,1,1)=1 b+c=1

f(X1,X2,X3) :: X1-X2+2x3.

54. Sa se arate ca functionala f: ~n x ~n -) ~, f(x,y) :: n

LXjYi este biliniara ~i sa i se scrie matricea in baza canonica. i=!

Rezolvare:

f(x,y) :: f(y,x) pentru orice x,y E ~n => f este simetrica. => este suficient sa demonstram liniaritatea intr-un argument.

Fie x, x' E ~n, a,~ E ~ oarecare: n n n

f(ax + ~x', y):: ~)axi +~X;)Yi = LaxiYi + LPX;Yi = i=1 i; I i =]

n n

= a L XiYi + ~I X;Yi :: af(x,y) + Pf(x',y). i=1 i=1

Sa gasim acum matricea lui fin baza canonica.

Observam ca f(ek,ek) :: 1 pentru orice k :: I,n ~i ca f(ek,ej) ::

0, k =# j, k,j :: I,n, de unde rezulta:

A ~ l!-!:-<!J = 10

.

179


4 55. Sa se arate ca f: \R?n x \R?n ~ \R? este 0 functionala biliniara l?i sa se scrie rnatricea ei In baza canonica l?i In baza G:

a) f: ~2 x \R?2 ~ R, f(x,Y) = X1Y1 + 2X1Y2 +3X2Y1 + 4X2Y2, G = {(1,1), (1,2)}

b) f: lP{3 x iJ{I.3 ~ ~, f(x,Y) = (X1+X2)(Y2-Y3) + (Y2+X3)Y1, G = {(1,1,1), (1,2,3), (0,1,-1)}.

Re:lo!vsre:

a) Fie x' = (x; , x~), Y' = (y~ , y~) ~i a E \R?, calcularn:

f(x + x', y) = (Xi + x~ )Y1 + 2(X1 + x~ )Y2 + 3(X2 + x~ )Y1 + 4(X2

+ x~ )Y2 = (X1Y1 + 2X1Y2 + 3X2Y1 + 4X2Y2) + (x~ Y1 + 2 x~ Y2 + 3 x~ Y1 +

4 X'2 Y2) = f(x, y) + f(x', y) .

f(x,Y + V') = X1(Y1+Y~) + 2X1(Y2+ y~) + 3X2(Y1+Y~) + 4X2(Y2+

y'2) = X1Y1 +2X1Y2 + 3X2Y1 + 4X2Y2) + (Xi Y; + 2X1 Y~ + 3X2Y; +4X2 Y~) = f(x,Y) + f(x,y').

f(ax,y) = (ax1)Y1 + 2(ax1)Y2 + 3(ax2)Y1 + 4(ax2)Y2 = af(x,Y) f(x,ay) = x1(aY1) + 2x1(aY2) + 3x2(aY1) + 4x2(aY2) = af(x,y) l?i

deci functionala f este biliniara. Matricea functionala biliniara In baza canonica este

A=(a;jh;;,j5n, unde aij = f(e;,ej), 1 s i,j s 2 a11 = f(e1,e1) = f«1,O), (1,0» = 1 a12 = f(e1,e2) = f«1,0), (0,1» = 2 a21 = f(e2,e1) = 3 a22 = f(e2,e2) = 4

Deci A = G ~), rnatrice care se rnai poate scrie l?i direct

din relatia f(x,Y) = xEATYE. Matricea B a functionalei In baza G se poate calcula prin

doua rnetode. Metoda 1. bij = f(g;, gj), 1 s i,j s 2. b1i = f(gl, gl) = f«1,1), (1,1» = 10

180

Operatori liniari

b12 = f(g1, g2) = f«1,1), (1,2» = 16 b21 = f(g2, g1) = f«1,2), (1,1» = 17 b22 = f(g2, g2) = f«1 ,2), (1,2» = 27

B = (10 16) 17 27

Capitolul3

Metoda 2. Matricea B = CAC T unde C este rnatric6a de trecere de la baza canonica la baza G, adica:

C = G ~} B~G ~)(~ !)G ~) ~G~ ~~) b) f(x,y) = X1Y2 + X2Y2 - X1Y3 - X2Y3 + X2Y1 + X3Y1. Este ul?or de aratat ca f este functionala biJiniara. Matricea in baza canonica este:

A = (~ ~ = ~J ' matricea de trecere de la baza canonica Ja 1 1 0

baza G este: C =(: ~ ~ 1 ell c" ~(~ ~ ~J l?i

o 1 -L 1 3 -1

B = CACT = (~ ~ :J .

o -1 2

I 56. Sa se arate ca f: \R?2[X] x ~4[X] ~ \R?, f(P ,Q) =

Jp(x)Q(x)dxeste 0 functionala biliniara l?i sa i se scrie matricea in . o

bazele E = {1 ,x,x2} l?i F = {1 ,x,x2,X3,X4 }.

Rezolvare: Liniaritatea lui f se obtine ul?or din liniaritatea integralei

definite, pentru fiecare argument In parte.

181


Matricea functionalei este A = (aij) Isis3' aij = f(ei,fj). IsjS5

1 X i+j - 1 1 . a .. = f(Xi-1 Xi-i) = JX i+j

-2dx = . 11 = 1 ~ i ~ 3, 1 ~ J ~ 5

I) , 0 i+j-10 i+j-l'

1

A= 1 "I .<.-

1 -3

1 1 1 1

2 2 4 5 1 ~

3 I 4

1 1 1

4 S 6 I I 1

5 6 7

57. Sa se arate ca f : ~3[X] x ~3[X] -+ ~, f(P;Q) = 1

Jp(x)Q(x)dx este 0 functionala biliniara simetrica pozitiv definita

-1

~i sa i se scrie matricea Tn baza G = {1 ,x,0 ,x3}.

Rezolvare: Liniaritate lui f Tn ambele argumente este u~or de aratat. Simetria:

I I

f(P,Q) = Jp(x)Q(x)dx = JQ(x)P(x)dx = f(Q,P) este - 1 - 1

adevarata. Pozitiv definirea: f(P,P) > 0 (\1) P :¢:. O.

1

f(P,P) = Hp(x)f dx > 0 (\1) P:¢:. O. -1

Matricea B Tn baza G este B = (bij)1~i,j~4 cu bij = f(gj,gj)' 1 i+j-2

b .. = f(Xi-i xi-i) = JX i+j--

2dx = x 11 unde: I)' . . 1-1'

-1 1 + J-

182


(2 0 2

0 -I 3

2 2 r

0 0 B= 3 5

2 0

2 0

3 5

~J 0 2

0 5

58. Sa se arate ca functionala biliniara f: ~4 x ~4 -+ ~, f(x,Y) = XiY1 + X1Y2 + X1Y4 + X2Y1 + 2X2Y2 + 2X2Y4 - X3Y4 + 3X3Y3

+ X4Y1 - X4Y3 + 4X4Y4 + 2X4Y2; x = (Xi,X2,X3,X4), Y1 = (Y1,Y2,Y3,Y4)i este simetrica ~i pozitiv definita.

Rezolvare: E u~or de aratat simetria lui f.

f(x,x) = xt + 2X1X2 + 2X1X4+ 2 x; + 4X2X4+ 3 xi -2X3X4+ 4 x~ = (Xi+X2+X4)2 + x; + 4X2X4 +3 x; -2X3X4 + 3 x~ = (Xi+X2+X4)2 + (X2 +

2X4)2 + 3 x; -2X3X4 - x~ = = (Xi +X2+X4)2 + (X2 + 2X4)2 + (X4 - X3 + 2 x 2 = y2 + y2 + y2 + y2 > 0

3 1 2 3 4

cu Y1 = Xi+X2+X4, Y2 = X2+2X4, Y3 = X3 - X4, Y4 =.J2 X3·

59. Sa se demonstreze ca functionala biliniara f:~nx~n -+ ~ este degenerata daca ~i numai daca exista x :¢:. 0 a stfe I Tncat

f(x,Y)= 0 pentru orice vector Y E ~n. (f este degenerata daca matricea ei Tntr-o baza este singulara).

Rezolvare:

Fie A = (aii)1~i,i ~ n matricea lui fin baza E din ~n ~i Xi" i=l,n,

coordonatele lui x Tn E iar Yi, i = I,n, coordonatele lui Y Tn baza E. n

Avem f(x,Y) = :2>ijxi Yj .

i.j=l

183


n

Daca det A = 0 atunci sistemul omogen l:ajjx j :; 0, 1 ~ j ~ n i;\

este nedeterminat §i fie (X01, X02, .. . , XOn) = Xo 0 solutie nenula a lui.

Avem: f(xo,Y) = taijXOiYj = t( taijXOi)Yj = to. Yj = 0 l , j ; [ j = l 1;[ j ; l

pentru orice y E [R\ n.

Reciproc, sa presupu!1em ca exista vectorul nenul Xo astfel

ca f(xo,Y) = 0 pentru orice y E ~n . Avem Tn particular pentru orice n

ej, 1 ~ j ~ n din E relatia f(xo,Y) = 0 adica "L>'jxQ, = ° (*) pentru toti i .... l

j= 1,2,. ,. ,n. Asta implica faptul ca sistemul omogen (*) are §i 0 solutie

nenula X01, X02, .. . , XOn §i deci det A = O. Observatie: 1) Afirmatia din enunt ramane adevarata daca schimbam

pe x cu y. 2) Functionalele biliniare pozitiv definite au matricea

nesingulara.

60. Sa se reduca la forma canonica functionala patratica

urmatoare, V: ~ 3 --t ~, determinandu-se !,?i baza Tn care este

scrisa forma canonica.

a)V(x) = x~ + x~ + x; + X1X2+ X2X3 + X1X3, X = (X1,X2,X3) E Il~? b) Vex) = x~ + x;+ 2X1X3 +2X2X3, X = (X1,X2,X3) E~? Rezolvare: a) Metoda lui Gauss. Grupam termenii.

Vex) = (x~ + X1X2 + X1X3) + x; + x; + X2X3 =

( )2 ()2 _ 1 1 3 2 3 2 1 1 1 - Xl +-X2 +-X3 +-X2 +-X3 +-X2X3 = Xl +-X2 +-X3 +

22 442 22

184


1 1 Y 1 = Xl +"2 X 2 +"2 X3

Y2 = ~ (X2 +~X3) (*)

-J6 Y3 =3X3

!,?i obtinem forma canonica V(y) = Y; + Y; + Y; unde Y1,Y2,Y3 sunt coordonatele lui x Tn baza G Tn care V are forma canonica. $tim ca XG = (CTr1XE ~ y = (CTr1XE, unde E este baza canonica iar C este matricea de trecere de la baza canonica la baza G.

Conform relatiilor (*) avem:

1 1 1 Jj -J6 2 2 3 6

(CTr1 = 0 Jj -fj

=>CT = 0 2Jj 16

=> 2 6 3 6

0 0 -J6

0 0 J6 3 2

1 0 0

C= Jj 2-fj

0 !,?i baza G este formata din vectorii: 2 3

J6 J6 J6 662

91 = (1,0,0), 92 = (- -fj, 2-fj ,0\ = -fj (-1,2,0); 93 = J6 (-1,-1,3). 3 3 ') 3 6

185


Metoda Jacobi. Calculam minorii principali ai matricei functionalei patratice

(111 ! 2 2

A =l~ 1 ~. l l 1 2 2

L10 = 1 (prin definitie) L11 = 11 1 = 1

1 1 2 3

L12 = 1 =-1 4

2

L13 = det A = l. 2

Observam ca L1k "* 0, k = 1,3 ~i astfel putem aplica metoda Jacobi.

_ ~ • .2 L11 • .2 ~ 4 . .2 3 . .2 V(y) - -Yl +-Y2 +-Yi =Yt +- Yz +- Y3.

L11 ~ ~ 3 2 Baza in ca V are aceasta forma dia90nala 0 cautam de

forma: 91 = a11 e 1

92 = a21 e 1 + a22e 2

93 = a31e1 + a32e2 + a33e3 , unde constantele aij se determina din conditiile:

f(9k, ek) = 1, k = 1,3 --

f(9k, ej) = 0, j = 1, k -1, k = 1,3, unde E este baza canonica iar f este functionala biliniara simetrica asociata lui V ~i a carei

3

matrice in baza E este A, f(x,y) = 'L>uXiYj. i ,j=i

186


Obtinem sistemul: f(91 ,e1) = a11al1 = an = 1

1 1 f(93,e1) = a31 a 11 + a32a 12 + ((33a13 == a31 + 2 a32 + 2 <X33 = 0

1 1 f(93,e2) = <X31 a12 + <X32a22 + <X33a33 = - <X31 + <X32 + - <X33 = °

2 2 1 1

f(93,e3) = <X31 a13 + a32a 23 + <X33a33 = -<X31 + - a32 + <X33 = 1 2 2

2 4 1 3 de unde <X11 = 1, a21 = -3' <X22 = 3' a31 = <X32 = -2' a33 = 2 iar

baza cautata este:

91 = (1,0,0); 92 = ~ (-1 ,2,0); 93 = 1.. (-1,-1,3). 3 2

Metoda transformarilor orto90nale. Determinam valorile proprii ale operatorului U care are in

baza canonica matricea A:

Det (A - lob) = ° =>

1- A.

1

2 1

2

1- A.

2 2

1

2 113 2 = - (-410 + 12A. -910 + 2 4

1- A.

2) = 1.. (2-10)(210 _1)2 = ° ~i deci 101 = 2, 1023 = 1.. . 4 ' 2

Determinam acum vectorii proprii asociati fiecarei valori proprii, din ecuatia (A - A.kb) x = 0, k = 1,2.

Pentru 101 = 2 avem:

187


1 1 1 1 -1 -x +-x +-x =0

2 2

(:;) = O~ 1 2 2 2 3

1 1 1 1 -1 -x -x +-X =0 =>

2 2 2 1 2 2 3

1 1 1 1 1 -1 -x +-x -x =0

2 2 2,1 2 2 3

X 1 = X2 = X3 = a E ~ \ { O} ~ x = a (1,1 , 1 ), a E IW. \ { O} ~ 9 1 = (1,1,1) . 1 1

-;:==== h3 (1,1,1) . ..)12 +12 +12 V.j

1 Pentru /..2 = /..3 = - avem:

2 1 1 1 1 1 1

- - Xl + - X2 + - X3 = 0 2 2 2

(:}o~ 2 2 2

1 1 1 1 1 1 - Xl +-x2 +-x3 =0~X1+X2+ X3 = °

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

-XI +-X2 +-x3 = 0 2 2 2 2 2 2

~ X1 = -a-b, X2 = a, X3 = b, a,b,E ~ \ {O} ~ x = (-a-b,a,b),

a,b E~\{O} ~ x = a(-1,1,O) + b(-1,O,1), a,bE~\{O} ~ 1 1

92 = -(-1,1,0),93 = (-1,0,1) -. 2 2

Functionala patratica are forma canonica V(y) = /..1 y~ +

/..2 y; + /..3 y;. V(y) = 2y~ + .!.. y; + .!.. y; in baza G = {91 = ~ (1,1,1),92 =

2 2 v3 1 1

.j2(-1,1,O), 93 = • .j2(-1,0,1)}, unde y = (Y1,Y2,Y3) sunt

coordonatele vectorului x in baza G. b) Metoda lui Gauss. Grupam termenii:

188


VeX) = (x: + 2X1X3) + x; + 2X2X3 = (X1 + X3)2 + x; + 2X2X3 -

x; = (X1 + X3)2 + (x; + 2X2X3) - x; = (X1 + X3)2 + (X2 + X3}2 - 2 x; . Notand: Y1 = X1 + )(3

Y2 = X2 ..; . X3 (*)

Y3 = ..fi X3 obtinem forma canonica V(y) = y~ + y; + y; unde Y1,Y2,Y3 sunt coordonatele lui x in baza G in care V are forma canonica. $tim ca XG = (CTr1xE ~ Y = (CTr1xE , E fiind baza canonica iar C matricea de trecere de la E la G.

Conform relatiilor (*) avem:

0 1

-.,fi

~c{~ 1] (C'Y = [~ 0

~J~C'= 0

- 1 0 1 1

1 -h 0

1

0 0 1 -Ji

"fi iar baza G este formata din vectorii 91 = (1,0,0), 92 = (0,1,0), 93 =

1 ..fi (-1,-1,1).

Metoda Jacobi. Calculam minorii principali ai matricei functionalei patratice:

A =(~ ~ ~J 1 1 0

~o = 1 (prin definitie) ~1=111=1:j:O

~3 = det A = -2 :j: ° ~ ~l L\ 1

V(y) = ~~ + A y; +~Yi =~ +y; -2Yi, Y1,Y2,Y3 1 ~ 3

coordonatele vectorului x, XE = (X1,X2,X3), in baza G.

189

fiind

Operatori liniari

Baza G 0 cautam de forma:

91 = U11e1 Q2 = U21e1 + U22e2

Capitolul3

93 = U31e1 + U32e2 + U33e3 unde u:j, i,j = 1,3 se determina din

conditiile:

f(Qk,ek) = " k::; 1,3

f(9k,ej) = 0, j = 1, k -I, k = 1,3, 3

f(x,Y) = LajjXiYj = X1Y1 + X2Y2 + X2Y3 + X3Y1 + X3Y2 i,j=l

f(Q1,e1) = f«U11,O,O), (1,0,0» = U11 = 1 f(92,e1) = f«U21,U22,O), (1,0,0» = U21 = 0 f(Q2,e2) = f«U21,U22,O), (0,1,0» = U22 = 1 f(93,e3) = f«U31 ,U32,U33) , (0,0,1» = U31 + U32 = 1 f(93,e2) = f«U31 ,U32,U33) , (0,1,0» = U32 + U32 = 0 f(93,e1) = f«U31,U32,U33), (1,0,0» = U31 + U33 = 0 Din sistemul de mai sus rezulta U11 = 1, U21 = 0, U22 = 1;

1 1 . b ~ t t~ t· U31 = U32 = 2 ' U33 = - 2 ,Iar aza cau a a es e.

1 G = {91 = (1,0,0), 92 = (0,1,0), 93 = 2(1,1,-1).

Metoda transformarilor orto90nale. Determinam valorile proprii ale operatorului U care are In

baza canonica matricea A: 1- A 0 1

o 1- A 1 = -(A 2 -1 ) (A-2) ~ A1 = 1, A2 = -1, A3 = 2

1 1 -A

~i apoi calculam vectorii proprii asociati fiecarei valori proprii.

Pentru A = 1 avem de rezolvat sistemul:

190


{:: : ~ _ => x = (a,-a,O) = a(1 ,-1,0), aE II!. \ {O} =>

XI +X? -X3 - 0

1 1 91 = (1,-1,0) = h (1,-1,0).

~12+(_1)2 "/2

Pentru A = -1 avem sistemul:

{

2XI + X3 = 0

2X2 +X3 = 0 ~ x = (a,a,-2a) = a(1,1,-2), aE~\{O} ~

Xl + X2 + X3 = 0

1 1 92= ~ (1,1,-2)= (7(1,1,-2).

12+12+(_2)2 "/6

Pentru A = 2 avem:

{

-XI + X3 = 0

-X2 +X3 =O ~ x=(a,a,a)=a(1,1,1),aE~\{O} ~

Xl + X2 - 2X3 = 0

1 1 93 = .J (1,1,1) = ~ (1,1,1).

12 + e + 12 "/3

in baza G = {Q1,92,Q3} functionala patratica va ave a forma V(y) = A1 y~ + A2 y; + A3 y; = y~ - y; + 2 y;, unde Y = XG,

Y1,Y2,y3 sunt coordonatele lui x In baza G, XE = (X1,X2,X3).

61. Sa se reduca la forma canonica V: ~n -) ~, n n

Vex) = LX; +2aLx i x j , a> 0, x = (X1,X2, ... , xn) E~n. i=l i,j=l

i<j

Rezolvare: Vom folosi metoda Jacobi. Matricea functionalei este:

191


A.

1 a a ... ... a

a 1 a ... ... a A=

a a 1... ... a

a a a ... .. .1

Calculam determinantul ~k, minorul principal de ordin k al lui

1 a .... .. a (. J ~k = lCi .. . l..:: . :::a are k linii l?i k coloane, k = 2, n . a a... . . .1

Adunand toate liniile la prima, obtinem: 1 + (k -l)a 1 + (k -l)a.. . . . .1 + (k -l)a

~k = a 1... ... a

a a... . . .1

Scoatem factor comun de pe prima linie: 1 1... . . .1

~k = (1 + (k -l)a)a 1... . .. a l?i scadem linia 1 Tnmultita cu

a a.. . . .1

a din celelalte.

1

1 1 1 .. .1 o I-a 0 ... 0

~k = (1 + (k -l)a) = (1 + (k -l)a)(1- a)k-J

I~ ~.. ~- a ---:'::~~a Pentru a :j: 1 avem: ~o = 1 (prin definitie) ~1 = 111 = 1 ~k = (1+(k-1)a)(1-a)k-1, k = 2,n l?i:

V( ) = ~ ~k-I 2 _ 2 1 2 1 + (k -l)a 2

Y tt ~k Yk - Yl + (1+a)(1-a)Y2+"'+ (1+ka)(1-alk+1 +

192


1 + (n - 2)a 2 _ _ •• + ... + Yn unde y - (Y1,Y2, ... , Yn) - XG, G fllnd baza

(1 + (n -l)a)(l- a) Tn care V are forma canonica de mai sus.

Pentru a = 1 avem: ~o = 1 ~1 = 111 = 1

~k =0, k = 2, n l?i nu putem aplica metoda Jacobi.

Dar avem V(x) = t,xi + 2if:xixj = (t,x.)' = y; cu natalia

i,j=l,n

62. Sa se reduca la forma canonica Vex) = 2 L xixj ~

V: ~n~~. Rezolvare:

i,j=l,n i<j

Metoda Gauss pare destul de dificil de aplicat aici. Sa Tncercam metoda Jacobi. Matricea lui V Tn baza

canonica este: o 1 1... ...1

1 0 1... ...1 A=

. .. ... . .. . . . .... . . .. . .

1 1 1... ...0

~o = 1 (prin definitie) ~1 = /0/ = O.

cu:

Cum ~1 = 0 nu putem aplica metoda Jacobi. Sa aplicam atunci metoda transformarilor ortogonale.

Valorile proprii ale operatorului U: ~n ~ ~n care are ca matrice in baza canonica pe A, se obtin din ecuatia caracteristica:

193

Operatori liniari

-A 1 1... . . .1

1 det (A- Aln) = 0 ~

1

\1

- A 1... . . .1 =0.

1 -A ... 1

1 1... -A

Capitolul3

Adunam toate liniile ia prima linie, dam facor comun, scadem prima linie din celelalte ~i obtinem:

II 1 . 1... . . .1 1 1 1... .. .1

1 -'A 1... . . .1 0 -A-1 (n-1-A)1 1 _'l =(n-1-A)

/\' .. .1 00

0 ... ... 0 =

-A-1 .:.0 ...... . . . .....

1 1 1... -A o o 0 ... -A-1

(n-1-A)(-A-1)n-l = (_1}n-1(n_1_A)(1+A)n-l = ° ~ Al = n-1, A2,3, ... ,n = -1. Pentru A = -1 avem vectorii proprii x = (Xl ,X2, ... , xn) care

verifica sistemul (A+ln)x = ° <=> Xl+X2+ ... +Xn= ° ~ Xn= -Xl-X2-··.-Xn-l = -a1-a2-... -an-1 ~ x = (a1 ,a2,· .. , an-l, -al-a2-... -an-1)=al(1 ,0, .. . ,0,-1) + a2(0,1,O, .. . 0,-1) + ... + an_1(0,0, ... ,0,1,-1).

Luam sistemul de vectori proprii: V1 = (1,0, ... ,0,-1) V2 = (0,1, ... ,0,-1)

Vn-1 = (0,0, .. . ,1,-1) ~i obtinem din el un alt sistem de vectori n

ortogonali pentru produsul scalar euclidan <x,y> = I XiYi '

X=(X1,X2, ... ,Xn) E~n, y = (Yl,Y2, .. ,Yn) E~n. Obtinem vectorii ortogonali doi cate doi:

1 g1 = (1,-1,0,0, ... ,0,0) J2

1 g2 = (1,1,-2,0, ... ,0,0) .J6

1 g3 = (1,1,1,-3, ... ,0,0) r;;:;

-v12

194


1 gn-1 = (1,1,1,1, ... ,1 ,-n+1) .J care sunt vectori proprii

n(n -1)

corespunzatori valorii proprii A = -1. Per.tru A = n-1 avem sistemui: (A- (n-1)ln)x== 0. r(1-n)xl +x2+",+xn =0

~ Xl + (1- n)x2+"'+Xn = 0

l~I+~2+ .. -+(1~~)~~ ;;';0 ~C = (_1)"nn-l * ° ~ sistem compatibil simplu nedeterminat,

1 Xn = aE~ ~ x = (a,a, ... ,a) = a(1,1, ... ,1), aE~ ~ gn = (1,1, ... ,1) ~

Forma functionalei patratice In baza G este: .

V(y) = -Y~ - Y;- "'-Y~_I +(n-1)y~ cu y = (Y1,Y2, ... , Yn) = XG.

63. Conditia necesara ~i suficienta ca 0 functionala patratica sa fie negativ definita este ca ~1 < 0, ~k . ~k+l < 0, k =

1, n - 1, unde ~k este minorul principal de ordin k al matricii functionalei Intr-o baza oarecare. /

Rezolvare: Metoda 1. Functionala V este negativ definita daca ~i numai daca

functionala W = -Veste pozitiv definita iar W este pozitiv definita

daca ~i numai daca Sk > 0, k = 1, n, unde ~'k este minorul principal de ordin k pentru W.

~'k se obtine din ~k prin Inmultirea fiecarei linii cu -1 ~i deci ~k = (_1)k ~'k .

Cum ~\ > ° (\I) k = l,n rezulta ca ~k < ° pentru k = impar ~i ~k> ° pentru k = par, de unde ~1 = -Sl < 0, ~k~k+1 = (_1)2k+1Sk ~'k+1 < 0, k = 1, n-1.

Astfel avem echivalenta:

195


Presupunem ca .1.1 < 0, .1.k.1.k+1 <0, k = I,n -I §i folosim metoda Jacobi de reducere la forma canonica:

n-l .1. n-I .1. V = L _k . Y~+I = -L _k_ Y~+I < 0 => V este negativ definita.

k=O .1.k+1 k=O .1.k+1 Invers, sa presupunem ca V este negativ defirlita §i sa

aratam ca .1.1 < 0, ~k~+1 <0, k = I, n-1. Fie A matricea ei in baza E = {e1 ,e2, ... , en} §i f functionala

n

biliniara simetrica din care provine V, f(x,Y) = LaijxiYj . i=l

Sa presupunem, prin absurd ca exista k = 1, n astfel ca ~k=O, adica:

all aI2 · ..... alk f(el ,el ) f(ep e2 ) • • • f(el,ek)

a21 a22 .. · ... a2k = f(e2,el ) f(e2,e2) ... f(e2,ek) = 0

akl ak2 · ..... akk f(ek,e l ) f(ek ,e2 ) ... f(ek,ek )

=> liniile lui Llk sunt liniar dependente §i deci exista ai,

i = 1, k nu toti nuli astfel incat:

a1f(e1,ei) + a2f(e2,ei) + : .. + akf(ek,ei) = 0, i = 2,k. Tinand cont de liniaritatea lui f in primul argument, ultimele

relatii devin:

f(a1e1 + a2e2 + ... + akek, ei) = 0, i = I,k Tnmultind relatia numarul i cu ai §iadunandu-Ie, ob1inem: f(a1e1 + a2e2 + ... + akek, a1e1 + a2e2 + ... + akek) = ° => V(a1e1

+ a2e2 + ... + akek, ei) = ° ceea ce este absurd pentru ca a1e1 + a2e2 + ... + akek, ei * ° §i V este negativ definita.

=> ~k * 0 ('if) k = I,n => Llk> 0 sau ~k < 0, k = 1,2, ... ,n.

196


Cum Vex) < ° => folosind Jacobi ca ~ < 0 ('if) k = 0, n - 1 ~k+1

1 Lli .1.k ~n-I --=> -,-, ... , , ... ,-- < 0 =..; AI < 0, .1./{.1.I<+1 < 0 ('if) k = I,n -1.

LlI.1.2 ~k+l .1.n

64. Care dintre urmatoarele functionale sunt SHU nu pozitiv definite?

a) t : ~4 x ~4 ~ ~,f(x,y) = xTATy, 1 P - 2 1

A = 0 Y - 2f3 P o 1 _ 1 0' a , P, y E R .

a -2 1 1

b) b[) f; ~31x ~~J~~' f(x,Y) = xTATy,

A = 1 4 2

-1 2 3

: =c[) ~ 1~3_;4 ~3~7J~' f(x,Y) = xTATy,

1 -1 -3

Rezolvare: a) Ll1 = 1 > °

1 P Ll2 = = y > 0 o Y

1 P -2

Ll3 = 0 Y 2P = -y - 2P > 0 => -2P > Y => P < 0

o 1 -1

At = det A = (1-a)(-y-2P) > ° => 1-a > ° => a < 1. 197

\ \

\ \


Pentru a < 1, P < 0, y > 0 ~i -2P >y functionala este pozitiv definita.

Negativ definita nu ar putea fi deoarece ~1 = 1 ::f; O. A~adar pentru a ~ 1 sau p ~ 0 sau y ~ 0 sau y + 2P ~ 0

functionala nu este nici pozitiv nici negativ definita. b) ~1 = 7> 0

7 11 ~2 = = 27 > 0 1 4

~3 = det A = 45 > 0 ~ f este pozitiv definita. c) ~1 = -1 < 0 ~2 = 2> 0 ~3=-4<0

~ f este negativ definita. Am utilizat rezultatul exercitiului anterior.


1. Sa se stabileasca daca operatorul U este sau nu Iiniar ~i in caz afirmativ sa i se scrie matricea in baza canonica.

a) U: ~3 ~ !l~?, U(x) = (-2X1 + X2 + X3, X1 -2X2 + X3, X1 + X3)

b) U: ~4 ~ ~3, U(x) = (X1 + X2 + X3, X4, ~l +X4) 2

c) U: ~2 ~ ~4, U(x) = (X11 1, X2, 2)

d) U: ~4 ~ ~4, U(x) = (X1 + X3 -X4, X;,~X1X3 )

e) U: ~4 ~ ~4, U(x) = (X1 + X4, -X2-X3)

f) U: ~3 ~ ~3, U(x) = (X11 x;,x~) R: a) b) e) Da; c) d) f) Nu. Matricile:

198


2. Sa se arate ca in spatiul J(~2, ~2) al tuturor operatorilor

Iiniari de la ~~ in ~2, operatorii U1(x) = (X110), 'U2(x) = (OIX1) , U3(x) =

(x21 0), U4(x) = (OIX2), x = (X1,X2) E~2, formeaza 0 baza.

R: Se folose~te izomorfismul dintre spatiile vectoriale J(~2,

[R2) ~i M2,2(~) '

3. Sa se arate ca operatorul U este Iiniar ~i sa i se scrie

matricea in baza canonica E = {1IX, "'1 Xn}, nEN*.

a) U: {PE~n[X] I P(X) = O} ~ ~n[X], U(P(X» = P(X) 1 X

E = {1IX, "'1 xn}, nEN*.

b) U: ~n[X] ~ ~n[X], U(P(X» = P(X+1) - P(X)

c) U: ~n[X] ~ ~n+1[X], U(P(X» = XP(X) o 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 0

1 0 0 ... 0 0 1 0 0 ... 0 0 R: a) A = b)A= E

0 1 0 ... 0 0 0 2 0 ... 0 0 ......... .............. . .. . . . . . . . . . .

0 0 0 .... 1 0 1 C1 n C2

n Cn-1

.... n 0

EMn+1,n+1(~). 0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0 c)A=

0 0 0 ... 0 E Mn+1.n+1(~).

0 0 0 .... 1

199


4. Sa se arate ca daca A ~i B sunt matricile asociate unor

operatori liniari definiti pe ~n cu valori Tn ~n astfel Tncat (AB-BA)A = A(AB-BA) atunci are loc rela;ia:

AmB-BAm .;;: mAm-1(AB-BA), mE~* R: Demonstratia se face pri., inductie.

5. Fie Uj : ~3 ~ ~3, i = 1,3, pentru x = (X1,X2,X3) E~3. U1 (X) = (2X1 + X2, X1-X3, -X2-2x3), U2(x) = (X2, X1, -X3, 'X2), U3(x) = (2X+X2+X3, 2X2+X3, x2+2x3+ 2X1). Sa se calculeze: U4 = U1 + U2, Us = U2 . U1, U6 = U;' ~i matricile

corespunzatoare. R: ~ = A1 + Az, As = A1A2, As = A;l (exista pentru ca Ker

U3 = to}).

6. Se dau operatorii Uj : ~3 ~ ~?, i = 1,2,3, U1(x) = (X1+X2, X1+X3, X3), U2(x) = (-X2, -X3, 0), U3(x) = (x1+2xz, 3X3, X1). Sa se calculeze operatorii U4 = U1 +U2, Us = U1 U3.

R: ~ = A1 + A2, As = A3A1.

7. Fie (X, ~) un spatiu vectorial ~i cf(~,X) spatiul vectorial

al operatorilor liniari U: ~~X. Sa se arate ca functia <p: oL(~,X)~X,

<p(U) = U(1) este un izomorfism Tntre cele doua spatii vectoriale.

8. Se dau operatorii liniari Uj : jR?2 ~ (J~.z, i = 1,4, U1(x) = (2X1 + X2, X1), U2(X) = (-X1, 0), U3(X)=(X1+X2, X1-2x2), U4(x) = (4X1+3x2,

3X1 - 2X2) , x = (X1, X2) EII~,? Sa se stabileasca natura sistemului de operatori {U1,U2,U3,U4}.

R: Iiniar de dependenti U4 = 2U1+U2+U3.

9. Pentru urmatorii operatori liniari sa se determine Ker U, ImU, dim KerU, dim ImU:

200


a) U: ~3 ~ ~3, U(x) = (X1, X1+X2, X1+X2+X3), X E jR?3;

b) U: ~3 ~ jR?2, U(x) = (X1,X3), x = (X1,X2,X3) E jR?3;

c) U: ~4 ~ jR?4, U(x) = (X4, X2, Ai, 0), X = (X1,X2,X3,X4) E ~4;

d) U: ~2 ~ Il~?, U(x) = (X1, X1+X2, X2), X = (X1,X2) E jR?2. R:a)0;3;b) 1;2;c) 1;3;d)O;2.

10. Fie U:X-)X un operator liniar pe spatiul vectorial (X,K). Sa se arate ca relatia KerU n ImU = {O} are loc daca ~i numai daca KerU = KerU2 ..

11. Fie X = ~n[X] spatiul vectorial al polinoamelor cu coeficienti reali de grad s n, n?:2 ~i a,b doua numere reale distincte fixate ~i )(1 subspatiul polinoamelor din X avand pe a ca radacina ~i X2 subspatiul polinoamelor din X avand pe a ~i b radacini. Sa se

arate ca x-a, x(x-a), ... , xn-1(x_a) formeaza 0 baza Tn X1= {PEjR?n[X]1

pea) = o} ~i (x-a) (x-b ), x(x-a)(x-b), ... , xn-2(x-a)(x-b) formeaza 0

baza a lui X2 ={PE~[X]I pea) = PCb) = O}. Sa se arate apoi ca functia U:X~X, U(P(X» = XP(a) + PCb) este operator Iiniar ~i sa se determine KerU.

R: KerU ::: X2

12. Fie e1,e2,e3 baza canonlca In ~2 ~i U: jR?3~jR?3 un operator Iiniar astfel Tncat U(e1) = 2e2 + 3e3, U(e2) = 2e1 -5e2-8e3, U(e3) = -e1+4e2+6e3 . sa se determine X1 = Ker(U-I), X2=Ker(U2+1),

dim X1, dimX2 unde I: jR?3~~3, I(x) = x.

R: X1 = {a(1,1,1)laE~}, dimX1 = 1,

X2 = {a(1,0,-1) + b(O,1,1) la,bEIR?}, dimX2 = 2.

13. Fie U: IR?n -+lRin un operator liniar ~i X un subspatiu allui

~ n. Sa se arate cit

201


a) dimX - dimKerU s dimU(X) s dimlmU; b) dimKerU;; dimU-1(X) s dimKerU + dimX.

14. Fie (X,K) un spatiu vectoriai n dimensional §i U:X ~ X un operator !iniar. Sa se arate ca exista n natural astfelTncat Un(X) = Un+1(X).

R: Se tine cont de relatia: X:::JU(X) :::J U2(X) :::J .. . ;oi de dimensiunea fin ita a spatiului vectorial X.

15. Sa se determine operatorul U-1 unde: ,

a) U: ~3 ~~3, U(x) = (X1-X2, X2, 0), x= (X1,X2,X3)E ~3;

b) U: 1P?3 ~1P?3, U(x) = (X1, X2, X1+X2), x = (X1,X2) E1P?3;

c) U: ~3 -*1P?3, U(x) = (X1,X2,X1+X2), x= (X1,X2)E ~3.

R: a) KerU :;t:{0} ~ nu exista U-1;, b) U-1: 1P?3 -*~3, U-\x) =

(X1, -X1+X2, -X2+X3); c) U-1:X-*/J~.z, X = {(a,b,a+b)la,bE~}, U-\x) = (X1,X2).

16. Sa se arate ca daca U este un operator liniar cu proprietatea ca exista pEN* astfel ca UP=O atunci (I-Ur1= =1+U+U2+ ... + Up-1.

este:

a) A = [~ ~ ~ ~]. b) A= [~ 1 ~ 1

~ ~ 1] o -1 3 1 ' 0 1 -1 1

1 2 1 3 -) 0 1 -1

Sa se calculeze matricea lui U in baza F={f1=e1, f2=e3, f3 =e2, f4 =e4}.

202


R: Matricea de trecere de la baza E la baza F este

C=[~ ~ ~ ~l. o 1 0 OJ o 0 0 1

[

1 J 2

a) B = 0 - ) 3 20:5

1 2 )

:] . b) B = (l ~ ~ 1

~ 1

2 ' -1 1 0

3 -1 0 1

18. Sa se gaseasca matricea operatorului U: ~3~1l~? cu proprietatea U(ei) = fi, i = 1,2,3 Tn baza canonica, unde e1 =(2,0,3); e2 = (4,1,5); e3= (3,1,2); f1= (1,2,-1); f2 =(4,5,-2); h = (1,-1,1).

(

- 6 - 12 6 J R:B=~ 11 13 - 5.

5 10 - 5

19. Fie U: ~4-*~3, U(x) = (X1+X2-X3+2X4, X1-X4, 0). Sa se determine matricea operatorului U In bazele: E = {e1 =(1,1,0,0), e2=(4,1,5), e3 = (1,0,0,1), e4 = (1,1,1,1) §i F = {f1 = (1,1,0), f2=(1,O,1), f3 = (0,1,1)}.

3 1 - 1

R:B=.!..l - 11 2 3 3 -3

3 3 -3

20. Fie (X, IP?) un spatiu vectorial §i e1,e2, ... , en 0 baza a sa. Sa se demonstreze ca vectorii V1, ... , vp, p s n sunt liniar

203


independenti daca ~i numai daca exista un opeiator liniar U: X~ X

astfel incat U(Vk) = ek, k = 1, p .

[

2 1 2]

21. Fie matricea A = 1 0 2J', a E~. Sa se indice

3 a 4

operatorul U:' 1R{3 ~ 1re 3 a carui matrice in baza canonica sa fie A. Sa se determine a astfelincat U sa fie un izomorfism.

R: a:f:.1.

22. Fiind data matricea operatorului U in baza E, sa se determine matricea in baza F.

1 3 2 1

2 0 5 2 a) A = , E = {e1,e2,e3,e4}, F = {f1 = e1, f2 = o -1 3 1

1 2 1 4

e, + e2, f3 = e1+e2+e3, f4 = e1+e2+e3+e4}

b) A = (~:1 _2~2 _87J, E = { e1,e2,e3}, F = {f1 = 2e1 +

5 8 6

3e2 + e3, f2 = 3e1+4e2+e3, f3 = e1+2e2+2e3}.

c) A = (-~l -~2 -\J, E = {e1=(O,-6,7), e2= (-16,7,-13),

15 20 22 e3=(9,-3,7)}, F = {f1=(1 ,-2,1), f2=(3,-1 ,2), h = (2,1 ,2)}.

204

Operatori liniari

( -2 R: a) B = \ ~

~ 0

~ ~]'b)BJ~ ~ ~\C)BJ~ 6 4 lo o;J l2

-7 4 7;

1

-4

-8

Capitolul3

3 2J -1 -3

-2 1

23. Sa se determine matricea operatorului U:Pn[X] ~ Pn[Xj, U(P(X» = P'(X), in baza formata din vectorii:

1 x a (x-a)2 (x-a)3 (x-a)n nE~* a E~. , -, 2' ' 3' , ... , " , . . n.

o 0 0 ... 0 0

1 0 0 ... 0 0 R: B=

0 1 0 ... 0 0 ... , .. .... . .... .. . -

0 0 0 .... 1 0

24, Sa se calculeze valorile proprii ~i vectorii proprii pentru

operat[~UI ~~ar ~2re are (~ m~r~ce ~~raza E[ 1 a)A = 1 4 1; b)A = - 3 - 6 - 4 ; c)A = - 3

o 0 2 3 13 8 4

d)A ~[-~2 10

-29

10

(1 0 1 0

o 000

g)A =lo 0 0 0

000 1

12 J [4 1

-24 ;e)A = -5 -4

13 7 9

R: a) 1,.1,2,3 = 2, (a,2a,b), a2+b2:f:. 0

205

-4J ~ ;f)A =

4 6

71.

-7 -7 )'

8

1 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 o ' 0 0 0 1


b) 11.1 ,2,3 = 1, (3a,a,a), a c) "'1 = 3, (a,2a,2a), a * 0; /"2,3 = -1, (a,2a,a), a * 0; d) "'1,2 = 1, (2a+b,a, -b), a2+b2 * 0, /"3 = -1, (3a,5a,6a),a * 0; e) "'1 = 1, (a,2a,a), a * 0, "'2,3 = 2 ± 3i, a(3 ±3i, 5±3i, 4), a*O;

.• 2 2 . f) "'1,2 = 1, (O,O,O,a), a * 0; "'3,4 = 0, ~O,a,b,O), a +b * 0, g) "'1,2 = 0, (O,a,b,O), a*- 0; "'3,4 = 1, (a,O,a,b), a

2+b

2 * 0.

25. Acelea~i cerinte ca la problema anterioara pentru operatorii liniari:

a) U: ~3 ~ ~3, U(x) = (X2, X2+2x3, -X3) , x =(X1,X2,X3) E ~3; b) U: X ~ X, U(x) =(3X1+2x2 -4X3, -3X1 -3X2 +2X3, 2X1+X2-

3X3); c) U: X ~ X, U(x) = (-X2, X1).

R: a) "'1 = 0, (a,O,O), a * 0; "'2 = 1, (a,a,O), a * 0; "'3 = -1,(a,a,a), a * 0;

b) "'1,2,3 = -1, (2a,-2a,a), a * ° c) "'1 = i, (a,ai), a * 0; "'2 = -i, (ai,a), a * O.

26. Fiind data matricea operatorului U: !R{3 ~ ~3 In baza E={e1,e2.e3}, sa se stabileasca daca aceasta matrice poate fi adusa sau nu Ja forma diagonaJa, iar In caz afirmativ sa se scrie aceasta matrice ~i baza in care matricea operatorului are aceasta forma:

[

- 1 - 3 - 3J [ 6 3 2 J a)A = 3 5 3; b)A = - 5 - 2 - 2 .

-1 -1 1 -3 -2 0

R: a) F = {f1 = e1+e2+e3, f2 = e1-3e3, h = e2+3e3},

B =[~ ~ ~J; 002

206


b) "'1,2 = 1 ~i dim VA = 1 * 2 = ordinul de multiplicitate al 1.2

valorii proprii '" = 1 ~ nu se poate diagonaliza.

27. FHnd dat ope ratvru I liniar inversabil U, sa se exprime valo;-ile proprii ale lui U-1 ~i U2 in functie de valorile proprii '" ale lui U . A..

28. Sa se stabileasca daca matricea A a operatoruJui liniar U in baza E poate fi redusa sau nu la forma diagonala, iar in caz afirmativ sa se scrie aceasta matrice ~i sa se determine 0 baza F In care operatorul U are matricea diagonala:

a)A =

c)A =

1 1 1 -1 4 5 6 1

1 1 -1 -1 - 3 - 8 -12 - 3

1 -1 1

1 -1 -1

100 1

o 0 0 0

000 1

o 0 0 0

;b)A = -] 1 5 8 2

1 2 4 5 2

R: a) f1 = e1+e2, fz = e1+e3, f3 = e1+e4, f4 = e1-e2-e3-e4, 2 0 0 0

o 2 0 0 B= 0 0 2 0

o 0 0 -2

b) nu; c) nu este diagonalizabila pentru ca dim V-A.=o = 2 * 3 = ordinul de multiplicitate a lui 'A = 0.

207

Operatori liniari

29. Sa se determine 0 matrice C astfel

B=CAC-1

sa fie diagonala, unde A = l~ I ~} R: c =l~ ~ ~ \

1 0 -t) 30. Sa se calculeze An unde:

(

1 0

a)A = ( -21 ~} b)A = - 1 2

-1 -1

R:

" (-1)" a A -) - 1- (-1)"

0); b)A" = (1_1211 1 1- 2"

CAn=(1 2- C-IY'). ) 0 (-1)"

o

Capitolul3

incat matricea

31. Sa se Jordanizeze ~i sa se scrie baza Jordan pentru:

a)A=[~ ! ; ~];b)B=[~4 ~: ~ ~];. o 0 0 1 17 6 -1 0

208


r~ 0

o OJ [3 1 0

~l 1 000 2 1 ·d D-c)C ~ - ,

2 1 0' ) - 0 0 2 1 .

l~ 0 2 1 -1 -1 -1 1

e)E=[20: : -i ;]. -1 2 1

R: a) B = {e1 = (B,O,O,O), e2 = (12,4,0,0), e3 ::: (4,3,2,0), e4=(0,0,0,1)}.

1 1 0 0

o 1 1 0 J = , un singur bloc Jordan; o 0 1 1

0 0 0 1

b) B = {e1 ::: (2,-4,7,17), e2 = (1,0,0,0), e3 = (1,-2,1,-6), e4 = (0,1,0,O)}.

1 1 0 0

0 1 1 0 , un bloc Jordan, doua celule; J=

0 0 1 1

0 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0 c) J =

0 0 1 ' un sin~ur bloc Jordan cu 0 singura

0 0 0 1

celula;

209

Operatori l.iniari Capitolul3

J ~r~ 1 0 0

2 1 0 d)

0 2 1 ' un singur bloc Jordan cu 0 singura

!O

(0 0 0 2

celula; 1 1 0 0

'0 1 1 0 e) J =

0 0 1 1 ' un bloc jordan cu doua celule,

0 0 0 1

B= {e1 = (-2,2,1,2), e2 = (0,0,1,1), e3 = (1,2,1,-1), e4=(1,1,0,0)}.

32. Fie U:!R?2 ~ !R?, U(X1,X2) = (ax1 ' + PX2, yX1 + crX2), a,p,y,cr E R. Sa se arate ca U este operator liniar ~i ca U este inversabil daca ~i numai daca acr *- py.

33. Fie P multimea poliniamelor de orice grad cu coeficienti reali ~i fie U, V, W:P ~ P, U(P(t» = a1+2a2t + nantn-1,

V(P(t» = aot + ~e+ ... +~tD+I, W(P(t» = tP(t), 2 n+l

pet) = ao + alt + ... + antn EP. Sa se arate cit

a) U,V,W sunt operatori liniari peste (P, !R?); b) UW-WU =V.

34. Sa se arate ca operatorii liniari urmatori sunt ortogonaJi:

. 3 3 _ -J2 -J2 J2 2J2 a) U. ~ ~ ~ , U(X1,X2,X3) - (-XI --X3,-X1 +--x2 +

-J2 2 1 2 +-x -x --x +-x ) 6 3' 3 I 3 2 3 3

2 2 6 3

210

Operatori Iiniari Capito!ul3

35. Sa se arate ca urmatorii operatori sunt unitari (binari,

ortogonali, det A = 1); U:C3 ~ C3:

a) U(X1,X2,X3) =

(~XI +(~i - ~)X2 _(~i + ~)X3,(~i - ~)XI +(±-~)X3,_(~i +~)XI +

4 (. 4) 9X2 - i-9 x 3)

b) U(X1,X2,X3) =

(1 1 iJ2 1 1 iJ2 iJ2 iJ2) 2 XI -2'x 2 +TX3'-2'X j +2'x2 +TX3'Txl +T X 2 ;

c) U(X1,X2,X3)= (~Xl+ ~X2'~Xl+ ~X2'(:+~)X3).

36. Fie (Cn, < ., . » spatiu vectorial unitar ~i U un operator unitar (liniar, ortogonal, det A = 1) astfel incat U este

diagonalizabil. Sa se arate ca exista 0 baza ortonormata Tn Cn in raport cu care matricea A este diagonala.

R: Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte sunt ortogonali.

211


37. Sa se arateca operatorul de la a) este diagonalizabi~ ~i sa se determine 0 baza ortonormata corespunzatoare.

R: Valori proprii distincte. Baza canonica a lui (?

38. Sa SP. arate ca urmatorii operatori Iiniari sunt Rimetrici ~i sa se determine baze ortonormate in care matricile lor sa fie diagonale:

A=AT.

a) U:~3 ~ ~3, U(X1,X2,X3) =: (11x1 -r 2X2 - 8X3, 2X1 + 2X2+10X3, -8X1+10X2+5x3);

b) U: ~3 ~ ~3, U(X1,X2,X3) = (17x1-8x2+4x3, -8X1+17xz-4x3, 4X1-4xz+11 X3).

R: Se verifica < U(x), V > = < x, U(V) > (\7') x,V E!J~? sau

a) A1 = 9, A,z = 18, A,3::: -9,

B; {(~,~ ,~),( ~~+ ~),(~ ,~H)} b) A,1 = A,2 ::: 9, A,3 = 27,

B; {(,k ,o,~ Js).c~, /Fs' 33s),(~ '~ ~ ,~} 39. a) Sa se arate ca urmatorul operator este autoadjunct:

U(X1 ,X2,X3) = (3X1-ix2, iX1 + 3X2, 4X3)' U: ([3 ~ ([3 .

b) Sa se determine 0 baza ortonormata in raport cu care matricea lui U este diagonala.

R: a) Se verifica < U(x), V> = < x, U(V) >, (\7') x,V E ([3.

b) A,1 ::: A2 ::: 4, A,3 = 2,

B; {( ~ ~, JI,o),(O,O'l)'(~' JI,o)}

212


40. Fie Ao E Mn(nt) fixata ~i U:Mn(nt) ~ Mn(nt), U(A) = AoAAo, sa se arate ca U este operator simetric.

R: < U(A), B > = Tr (U(A) B) = Tr «AoAAo) B) = Tr(Ao(AAo B» ::: Tr (AoA BAo) = Tr (A(Ao BAo» ::: Tr (A . U(B» ::: < A, U(B) >.

41. Fie (4-1 ,11, < ., . » spatiu euclidian cu < f,g > = 1

J f(t)g(t)dt ~i U: 4-1,1) ~ 4-1,1], U(f(t» = f(-t), sa se arate ca U este -1

operator simetric. I 1

R: < U(f), 9 > = J f(t)g(t)dt = t J f(t)g( -t)dt = < f, U(g) >. - 1 - 1

42. Sa se arate ca f: IRl. n ~ IRl. este 0 functionala liniara; sa se determine dim Ker f ~i coeficientii functionalei in baza E:

a) f(x) ::: X1+X2, n:::4, E = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)};

b) f(x) = X1+X2+X3+1, n = 3, E::: {(1,1,1), (1,2,4), (1,4,16)}; c) f(x)::: X 1 - Xz - X3, n = 3, E ::: {( 1 ,1 , 0), (1, 0, 1 ), (0, 1 ,1 ) } . R: a) 3; (1,2,2,2); b) nu este liniara; c) 2; (0,-1,-3).

43. Sa se arate ca functionala f: ~n[X] ~ ~, f(P) ::: pea) unde a este un numar real fixat, este 0 functionala liniara. Sa se determine coeficientii acestei functionale in baza E = {1 ,x, ... , xn}

.~ b F- f 1 (x-a)2 (x-a)D} §I In aza - l , x-a, , ... , .

2t n! R: AE ::: (1 ,a,a2

, . .. , an)T; AF ::: (1,0,0, .. . ,O)T.

44. Fie functia f: IRl. [X] ~ ~, unde IRl.[X] este spatiul vectorial al tuturor polinoamelor cu coeficienti reali ~i sa se arate ca f este functionala liniara:

213

Operatori liniari

I

a) f(P) = J P(x)dx; o 1

b) f(P)::: J xP(x)dx; o 1

c) f(P) = fP(x 2)dx. o

Capitolul3

45. Sa se stabileasca natura urmatoareJor sisteme de

functionaJe liniare fi: ~3 ~ ~, i= 1,2,3, X=(X1,X2,X3) E ~3. a) f1(x) == X1 - X2 + 2X3 f2(x) = X1+X2+4X3 f3(X) = X1-X2+8x3

b) f1(x) = X1- X2 - X3 hex) = X1+X2+2x3

f3(x) = x1-5x2 -7X3 R: a) liniar independente; b) liniar dependente.

46. Sa se precizeze daca urmatorul sistem de functionale liniare este liniar dependent sau nu:

a) f1(X) = 2X1 - 4X2 + X3 fz(x) == x1-13x2+3x3 hex) == 3X1+5x2-X3

f1.fZ,f3: tw.3~ tw., x== (X1,XZ,X3) E tw.3;

b) f1(x) = X1 + X2 - X3+X1 f2(x) == X1-X2-X3+X4 f3(X) == 5X1-XZ-X3+X1

f1,f2,f3 : ~4 ~ ~, X = (X1,X2,X3,X1) E ~4. R: a) Oa; b) Nu.

214


47. Care dintre urmatoarelefunctionale sunt liniare §i care nu sunt:

a) f: ~3 ---) ~, f(X1,X2,X3) == X1 + X2 b) f: ~ 3 ---) \R{, f(X1,X2,X3) == X; + 3

c) f: ~ n ---) ~, f(X1 ,X2, ... ,Xn) = X: + X2+. " +xn

d) f: ~11 ~ ~, f(X1,X2, ... ,Xn) = U1X1 + U;ZX2+ ... +UnXn; Uk E~, k::::l,n

e) f: ~n ---) ~, f(X1,X2,X3,X1) = X1 - X2

f) f: ~2 ---) ~, f(X1,X2) == X1 + 1

g) f: ~3 ~ IR{, f(X1,X2,X3) = X1 -2X2+3x3. Pentru functionale care sunt liniare sa se scrie matricea

coeficientilor. R: a) c) d) e) g) Oa; b) f) Nu.

48. Fie spatiul vectorial real al functiilor continue pe

intervalul [a,b], (4a,b], ~) §i sa se arate ca In acest spatiu b

functionala f: 4a,b]~ ~, f(h) = fh(t)dt, h E 4a,b1 este liniara. a

b

Sa se vada daca functionala f1: 4a,bJ~ ~, f(h) = fh 2(t)dt a

este sau nu liniara.

49. Fie (40,1], ~) spatiu vectorial §i fk : 40,11~ ~, k = 1,3, cu: b

a) f1(h) = ffh(t)dt a

b

b) f2(h)::: fh(t 2 )dt a

c) f3(h) = h"(1).

215


Sa se decida care dintre functionalele de mai sus sunt liniare ~i care nu sunt liniare.

50. Fie spatiul vectorial (2(IR?), IR?), unde 2(1R?) este multimea

functiilor derivabile pe IR? 2(1R?) = {h: IR? ~ IR? I h derivabila pe IR?}, ~i

fie f: 2(IR?) ~ IR?, f(h(t» = h'(t). Sa se arate ca f este liniara.

51. Care dintre urmatoarele functii: a) f(P,Q) = P(1) + Q(1) b) f(P,Q) = P(1)Q(1) c) f(P,Q) = P(1) Q'(1)

sunt functionale biliniare in spatiul vectorial al polinoamelor de orice grad?

R: a) nu; b) Oa; c) Oa.

52. Tn spatiul vectorial (1R?4, IR?), in baza E = {e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,0), e3 = (0,0,1,0), e4 = (0,0,0,1)}, forma biliniara f(x,y) are expresia f(x,y) = 2X1Y1 +X2Y1+X2Y2+3x3Y3+X4Y4+X4Y4.

a) Sa se gaseasca matricea corespunuzatoare functionalei in baza aleasa.

b) Sa se gaseasca matricea corespunzatoare functionalei biliniare in baza:

F = {f1 = (1,1,1,1), h = (0,1,2,1), f3 = (0,1,1,0), f4 = (1,0,0,2)} c) Sa se gaseasca v = {xER4 I f(x,y) = O,Y} ~i sa se arate

ca este subspatiu allui R4. d) Sa se aduca la forma canonica functionala patratica

asociata.

53. Aceea~i problema ca la 21 a,c,d) pentru functionalele biliniare:

a) f: 1R?3 x 1R?2 ~IR?, f(x,Y) = 2X1Y1 + X2Y1 -X2Y2 + X3Y2.

216


b) : 1R?3 x 1R?2 ~IR?, f(x,y) = 2X1Y1 + X1Y2 + X2Y1 + 3X2Y2 + 4X3Y3 + 3X3Y1

(2 1 0 1 ~

R: a) A = 0 -1 1); V = {xER3 I f(x,Y) = ° V Y E~L} =

{a(1,-2,-2) I a f'1R?}; nu ex:sta functionala patratica asociata.

b) A = 1 ~ 3 ; V = {xER3 , f(x,y) == ° v Y E1R{2} ={O}; [2 ' OJ

304

V(x) = 2x~ + 2X1X2+3x1X3+3x2X3+4x;;

_12212 _ 3 V(y) - -YI - 2Y2 + - Y3 , X - (X1,X2,X3) E IR? ,

2 4

Y = (Y1,Y2,Y3) E IR?.

54. Se da matricea: 1 2 -1 1

-2 3 0 -3 A=

-1 0 0 1

1 3 1 0

a) Sa se scrie functionaJa patratica corespunzatoare; b) Sa se aduca la forma canonica atat prin metoda Gauss

cat ~i prin metoda Jacobi functionaJa patratica. R: a) V(x) = x; +3x; - 2X1X3+2x1X4+2x3X4,

x = (X1,X2,X3,X4)E 1R?4. b) Metoda Jacobi nu se poate apJica, ~ = 0. Prin metoda

Gauss obtinem V(y) = y~ + y~ -y;, Y = (Y1,Y2,Y3,Y4) E1R?4.

55. Fie functionalele patratice:

a) V: 1R?4 xlR?4 ~ IR?, V(x) = x~ +3x; - 3x~ - 4X1X2+2x1X2 -

2X1 X3-2X1 x4-6x2X3-2x3X4.

217


b) V: ~4 X~4 ~ ~, V(X) = 4X1X2 + X2X3 + X3X1. Pentru aceste functionale sa se 9aseasca 0 baza in care

ele au forma canonica. R: a) V(y) = yi - y~ +y;- y!, y = XG;

b) V(y) = = y~ - y; -y;; y = YG.

56. S~ se studieze in ce conditii functionalele patratice urmatoare sunt pozitiv definite:

a) V(x) = axi + 2PX2X1 + yx;, a,p,y ER, V: ~2 ~ ~.

b) V(x) = 5xi - 4X1X2+3x; - 2X2X3 +x;, V: ~3 ~ ~. Discutie. R: a) ~,y > 0 ~i a,y >p2 b) ~o = 1, ~1 = 5, ~2 = 19, ~3 = 8. Toti determinanti pozitivi

implica pozitiv definirea.

57. Fie (X, ~) un spatiu vectorial de dimensiune n ~i fie

fi :X~~, i = 1, m, functionale lihiare pentru care exista XEX, x -:f:. 0

astfel ca fi (x) = 0 ('if) i = 1, m. Sa se arate ca f1 ,f2, ... , fm sunt functionale liniar dependente. De aici, sa se arate ca daca

fi:~n~~, i = I,n, sunt functionale liniare cu proprietatea ca este

XE~n \ {O}, astfel ca fi(x) = 0 ('if) i = I,n atunci f1,f2, ... , fn sunt liniar dependente.

58. Sa se arate ca f : ~n ~ ~n este 0 functionala biliniara ~i sa se scrie matricea ei in baza canonica ~i in baza G;

a) n = 3, f(x,y) = X1Y1 + X1Y2 + X1Y3, G = {(1,O,O), (0,1,1), (0,1,2)}

b) n = 3, f(x,y) = X1Y2 - X2Y3 + X3Y1, G = {91 = (1,2,3), 92 = (1,2,0), 93 = (1,O,0)}

218


R a) A~(~ 1 l~ r1 "

~J L-

o 0 B= 0 0

o 0)' \0 0

0 1 0 J (-1 5

~J I

b) A= 0 o -1, B ~ l-24 2

U o 0 2

1

59. Sa se arate ca f:~5[X]X~5[X]~~, f(P,Q) = Jp(X)Q(X)dx -1

este 0 functionala biliniara simetrica pozitiv definita ~i sa se scrie matricea ei in baza G = {1,X,X2,X3,X4,X5}.

2 0 2

0 2

0 -3 5

2 2 2

0 0 - 0 7 3 5

2 0 2

0 2

0 - -

R: B = 3 5 7

2 0

2 0

2 0

-- 9 5 7

2 0

2 0

2 0 -

5 7 9

0 2

0 2

0 2

-7 9 11

60. Sa se arate ca functionala biliniara f: ~3 x ~3 ~ ~, f(x,Y) = 3X1Y1 + 5X2Y2 + 9X3Y3 - X1Y2 - X2Y1 - 3X1Y2 - 3X3Y1 -3X2Y3 - 3X3Y2;

x = (X1,X2,X3), Y = (Y1,Y2,Y3), este simetrica ~i pozitiv definita.

61. Sa se reduca la forma canonica urmatoarele functionale patratice:

219

Operatori liniari

a) V: !R?3-)!R?.., V(X) = x~+4x;+x;+4x1X2+2x1X3,

X = (X1,X2,X3)E !R?..

Capitolul3

b) V:!R?.4 -) !R?., V(X1,X2.X3,X4) = x~+x;+x~-2x~ - 2X1X2 +2X1X3 - X1X4+2x2X3 - 4X2X4

c) V: ~4 -) ~, V(X1,XZ,X3,X4) = X;+X1X2+X3X4

d) V: ~3-)!R?., V(X1,X2,X3) = 2 x;+x;+X;+3X1XZ+4x1 X3

e) V: ~3 -)~, V(X1,X2,X3) = X;+2X1X3

f) V:!R?.3 -) !R?., V(X1,X2,X3) = 2 X~+18x;+8x;-12x1XZ+8x1X3-27x2X3 .

R: a) V(Y1,Y2,Y3) = Y~-Y;+Y;

b) V(Y1,YZ,Y3) = Y;-Y;-Y;

c) V(Y1,Y2,Y3,Y4) = y~-y;+y;-y~

d) V(Y1,Y2,Y3) = Y~-Y;+Y;

e) V(Y1,Y2,Y3) = y;+y;-y;

f) V(Y1,Y2,Y3) = Y~-Y;+Y;

62. Sa se reduca la forma canonica urmatoarele functionale patratice, specificandu-se transformarile care realizeaza reducerea.

a) V: [R{3 -)[R{, V(X1,X2,X3) = x ~ +5x; -4x ~ + 2X1X2 -4X1 X3

b) V: !R?3-)!R?.., V(X1,X2,X3) = 4x~+x;+xi - 4X1X2 +4X1X3- 3X2X3

c) V: !R?4-)!R?.., V(X1,XZ,X3,~) = X1X2 + X2X3 + X3X4 + X4X1 R: a) V(Y1,Yz,Y3) = Y~+Y;-Y~,

- 6YI- 3Y2+ SY3 3Y2-Y3 Y3 X1 - X = X =-2 '2 6'3 3 b) V(Y1,yZ,Y3) = Yi+Y;-Y;,

YI + 2Y2 XI = 2 ' X2 = Y2 +Y3, X3 = -Y2+Y3

220


c) V(Y1,YZ,Y3,Y4) = y~-y;+y~, X1 = Y1 - Yz - Y3, Xz = Y1+YZ-Y4. X3 = Y3, X4 = Y4·

63. Sa se reduca urmEitoarele functionale patratice la forma canonica, specificandu-se ~i baZ8 in care este scrisa forma canonica:

a) V: !R?.3 -) ~, V(X1,XZ,X3) = xi-x;- 2X1XZ+X2X3

b) V: !R?.3 -) ~, V(X1,X2,X3) = x~ +2x; +5x; +2X1A2+"'-X2XJ

c) V: !R?.3 -) !R?., V(X1,X2,X3) = X1X2+X2X3+ X3X1 R: a) V(Y1,Y2,Y3) = yi-y;-y;,

Jj B={(1,0,0), (1,1,0), - -(1,1,2)},

3

b) V(Y1,YZ,Y3) = Y~-Y;+Y;, B={(1,0,0), (-1,1,0), (2,-2,1)}, c) V(Y1,Y2,Y3) = Y~-Y ; -Y ~, B={(1,1,0), (-1,1,0), (-1,-1,1)}.

64. Sa se determine valorile reale ale parametrului real a

pentru care functionala patratica V: !R?.3 -) [R{ este pozitiv definita. a) Vex) = 2x;+x;+3x;+2aX1X2 + 2X1X3;

b) Vex) = x~ +x; +5x i +2aX1X2 - 2X1X3 + 4X2X3;

c) Vex) = xi+4x;+x;+2ax1x2 + 10X1X3 + 6X2X3;

d) Vex) = 2xi+2x;+x;+2ax1x2 + 6X1X3 + 2X2X3;

R:a)aE (- '7,'7}b)aE (-*,o);C)aE<l);d)aE<l)

65. Sa se reduca la forma canonica urmatoarele functionale

patratice prin metoda transformarilor ortogonale, V: !R?.3 -) !R?.. a) V(X1,X2,X3) = 4x;+4x~+4x; - 4X1X2;

221

Operatori Jiniari Capitolul3

66. Sa se reduca la forma canonica urmatoarele functionale patratice prin metoda transformarilor orto90nale §i sa se determine baza corespuilz8~oare:

a) V: ~3 ~~, V(X1,X2,X3) = 6x i +5x; + 7x; -4X1X2+4x1X3,

b) V: ~3 ~~, V(X1,X2,X3) = x~+x;+x; +4X1X2 +4X2X3+4x1X3

c) V: ~4 ~~, V(X1,XZ,X3,'4) = 2X1X2 - 6X1X3 - 6X2'4+2x3X4

d) V: ~4 ~~, V(X1,X2,X3,X4) = 2X1X2+2x1X3 + 2X1X4 + 2X2X3 +2X2X4 + 2X3X4. R: a) V(Y1,Y2,Y3) = 3y~+6y;+9y;, 111

B = {-(2,2,-1), -(-1,2,2), -(2,-1,2)} 333

b) V(Y1,Yz,Y3) = -y~-y;+5y;, 1 1 1

B = {-Ii (1,0,-1), J6 (-1,2,-1), Jj (1,1,1)},

C)V(Y1,Y2,Y3,Y4) = -2yi +2y;+4y;-4y;, 1 1 1 1

B= {-(1,1,1,1), -(1,-1,-1,1), -(-1,-1,1,1), -(-1,1,-1,1)}. 222 2

d)V(Y1,Y2,Y3) = 3y~-y;-y;-y;, 1 1 1 1

8 = {- (1,1,1,1), r;:; (1,0,0,-1), ~ (-1,2,0,-1), r;; (-1,-1,3,-1)}. 2 -v2 -v6 2-v3

67. Sa se aduca la forma canonica folosind metoda Jacobi §i sa se scrie baza corespunzatoare formei canonice pentru urmatoarele functionale patratice:

a) Vex) = x;+4x;+5x; + 4X1X3 - 4X1~ + 8X2~ -2X3~,

222


V: ~4~ ~

b) Vex) = 2X1X2 + 3X1X3 + XzX3, V: ~3 ~ ~ 1 1 R a) V(y) = y 2 +_y 2 +y 2 __ y.2

. I 4 2 3 17 4'

1 1 G = {g1 = e1, 92 = 4 ez, 93 = -2e1 + e3, 94 = 17(-8e1+ez+3e3-

e4)}, unde E = {e1,e2,e3,e4} este baza canonica iar y = XG; b) Pentru a putea aplica metoda Jacobi se face schimbarea

de variabile: X1 = X'1 + X'2, X2 = X'1 - X'2, X3 = X'3, Vex) = 2x':-2x'; + 4X'1X'3

121222 G { 1 + 2X'2X'3, V(y) = 2 YI- 2 Y2 -3Y3' cu Y = XG, = 91 = 2 e1,

1 2 e2 2e3 92= -2"e2 , 93 = 3e1-3-3'

68. Sa se aduca la forma canonica, prin transformari orto90nale, urmatoarele functionale patratice:

a) Vex) = 5x~- 4x1 x3+6x ;+4x;, V: ~3 ~ ~;

b) Vex) = x;-x;+3x;-3x;+8x3X4, V: ~4 ~ ~. R: a) A1 = 2, Az = 5, A3 = 8, V(y) = 2y:+5y; +8y;, pozitiv

definita, transformarea orto90nala are matricea:

C =j(~ ~ -:J; 2 -2 1

b) A1 = 1, A2 = -1, A3 = 5, A4 = -5, V(y) = y~-y; +5y;-5y~. 69. Sa se aduca urmatoarele matrici la forma canonica §i sa

se scrie matricea transformarii:

223

Operatori liniari Capitolul3 Operatori liniari Capitolul3

e) B = C-1AC = 1 0 -1 1 1 2 -5 1 112 0 0

~ I r~ 2 0 2 -2

0 2 -1 3 2 -2 2 2 0 -115 0 0 -5 3 0 a)A= ; b)A= = 0 -5 2 2 -5'

I .. .. J

-1 -1 3 0 0 -5 0 j' 0 0 -115 - 2 i 1 3 0 3 1 2 -5 1 0 0 0 1 I 18) 0 0 0 18

2\

d)A ~ l: ~} e)A~ 2 0 2 -2

[11 -6 1

-41; 0 -5 -3 0

c)A = -26 10 1 2 -3 0 -4

-4 6) 3 -2 0 -4 0

R: a) B = C-1AC = 1 0 0 0 1 0 -1 1

0 112 0 0 0 2 -1 3 = c=

0 0 2/3 0 ,

0 0 3/2 5/2

0 0 0 -3 /20 0 0 0 - 201 3

1 0 0 0 1 2 -5 1

b) B = C-1AC = 0 -116 0 0 0 -6 12 0 c= 0 0 0 o ' 0 0 1 0

0 0 o 0 0 0 0 1

B ~ C-1AC = (~

0 ~) C' ~ ~r~ 2

-:2) c) 6 1 , 3l 0 18 2 -2

d) B = C-'AC = (~ 0

OJ r- Ji -~/2J 2 o ,C-l = _1 1 - -.fi I 2

0 -2 -f3 1 -.fi12 --f312

225 224

Principiul contractiei Capitolul4

Principiul contractiei

4.1. Notiuni teoretice

Definitie: Fie (X, d) un spatiu metric. 0 aplicatie' T:X ~ X cu

proprietatea ca exista un numar real 'A E 10,1) astfel Tncat d(Tx, Ty) ~ 'Ad(x,Y), (\I) x,y E X, se numel?te contractie. Numarul real 'A se numel?te coeficient de contractie.

Teorema de punct fix (Principiul contractiei) Pentru orice contractie TX ~ X exista un unic punct Xo EX

astfel ca Txo = Xo· Punctul Xo din teorema anterioara se numel?te punct fix al

aplica1iei T.


1. Fie f:[a,b] ~ [a,b] monoton crescatoare. Atunci f admite eel putin un punct fix.

Solutie: Fie A = {x E[a,b] I x ~ f(x)}. Evident a ~ f(a) deci a EA, A*-<D. Fie c = sup A. Cum c ~ x (\I) x EA l?i f este crescatoare,

rezulta f(c) ~ f(x) ~ x. (\I) x E A, deci f(c) este un majorant al mul1imii A.

226


Dar c = sup A deci c ~ fCc), adica c EA. Sa aratam l?i inegalitatea inversa, c ~ f(c).

Capitolul4

Deoarece f este crescatoare, rezulta f(c) ~ f(f(c», adica f(c) EA l?i deci f(c) ~ ~up A = c.

Al?adar f(c) = c l?i deci fare cel pu1in un punct fix.

2. Fie G c {f: ~ ~~ i f(x) = ax+b, a,b E~, a*-O }. Presupunem ca:

1) (\I) f,g E G ~ fog c G; 2) (\I) f E G ~ f1 E G;

3) (\I) f E G ~ C:3)Xt E ~ astfel Tncat f(xt) = Xt·

Atunci exista Xo E ~ astfel Tncat f(xo) = Xo (\I) fEG. Solutie: Fie f ~G. Din 2) rezulta f1EG, iar din 1) f 0 f1EG deci 1REG.

(:3) a,b ER, a*-O astfel Tncat f(x) = ax+b, XE~. i) a = 1 ~ b = 0, deci f = 1 R

b ii) a*-1 ~ Xt = --.

I-a

Fie acum f,g EG \ {' ~}. Atunci (:3) a,b,c,d E~, a,c *- 1 astfel Tncat f(x) = ax+b l?i g(x) = cx+d, deci:

f1 (y) = Y - b , g-\y) = y - d (\I) Y E ~ a c

Notam h = f1 0 g-10 fog Avem hex) = (f1 0 g-10 f)(cx +d) = (f1 0 g-1)(a(cx+d)+b) =

= r l (acx + ad + b - d) = ~ (acx + ad + b - d _ b) = x + ad - cd + b - d c a c ac

Din 2) l?i 3) rezulta ca hEG l?i deoarece coeficientul lui x

1 d· .) b' ad - cd + b - d 0 b d este , In I 0 tlnem = <=> -- = - . . ac I-a I-c

227

Principiul contractiei Capitolul 4

f(Xf) = xf <=> x f = _b_} Dar 1- a --..... x = x d -; f g '

g( x ) = x <=> x =-g g g l-c

Deci g(xo) = Xo (V) gEG unde Xo = xf!?i fEG \ {1~}, fixata. Folosind principiul Gontractiei, sa se afle radacinile raale ale

ecuatiilor urmatoare: . a) x3 +12)( -1 = 0, cu 0 eroare mai mica decat 10-4

b) x3

+4x -1 = 0, cu 0 eroare mai mica decat 10-5

Solutie:

a) Fie g:~~~, g(x) = x3 +12x -1 => g(O) = -I} => g(l)=12

g(0)·g(1)<0 => (3) aE(0,1) astfel incat g(a) = O. Cum g'(x) = 3x2

+12> 0 (V) XE~, rezulta ca aE(0,1) este solutie unica a ecuatiei g(x) = O.

=> 0.3

+120. -1 = ° <=> 0.(0.2 +12) = 1 <=> a = 1 0.2 + 12

Fie f:[O,11 ~ [0,1], f(x) = 2 1 x +12

f(a) = a => a punct fix allui f. Sa aratam ca f este contractie pe [0,11.

1f'(x)I=I(x2-:;2)2 1~1~ 2 =.;2=k . (V) xE[O,1] => f este

lipschitziana cu k = 1~ E (0, 1), pe [0,11 => f contractie pe [0,1].

Aplicam principiul contractiei: 3! x* = a punct fix astfel incat: a = lim xn cu Xo = 0 !?i Xn+1 = f(xn).

n~""

Eroarea fa pasul n satisface inegalitatea: k n

IIxn - 0.1/ ~ 1 _ k IIxo - xIII

228

Principiuf contractiei Capitolul4

X1 == f(xo) = f(O) = ~ iar k = _1 12 ' 72

:::::>\\x _a\\~_I_. IIXIII =_1_._1 __ <10-4 :::::> n > 1,5758 . n 72n 1 72n-1 71.12

1- -72

=>n=2!?i\\x _a.,,~ __ 1 _= 1 =0,1630151.10-4<10-4 n 71.]2 61344

1 144 :::::> a =X2 = f(x1) = 1 J. = 3 == 0,0832851.

- +12 1+12 122

b) Fie g: ~ ~ ~, g(x) = x3 + 4x -1.

g(O) = -I} => g(O) . g(1) < 0 => (3) aE(O,1) astfel incat gel) = 4

g(a) = O.

g'(x) = 3~ + 4 > 0 (\I) XE ~ => aE(O,1) este solutie unica pentru ecuatia g(x) = O.

1 a? + 40. -1 = 0 <=> 0.(0.2+4) = 1 <=> 0.= 2 • a +4

Fie f:[0,1] ~ [0,1], f(x) = 21 x +4

f(a) = a :::::> a punct fix allui f

\f'(x)\ = 2x < ~ =! = k (V) xE[0,1] (X2 +4)2 - 16 8

:::::> f este lipschitziana cu k = .!.. E(0,1) pe [0,1] => f este 8

contractie pe [0,1]. Aplicam principiul contractiei: 3! x* = a punct fix astfel incat

a = lim xn cu Xo fixat §i Xn+1 = f(xn). n~oo

1 Pentru Xo = 0 avem X1 = f(xo) = f(O) = 4 = 0,25 .

229


II II k n II II - 1 1 1 1 -s x -a ~-- x -x - _. __ ._= <10 n 1- k 0 I Sn 1 4 so-I. 7.4

lOS In-

~ n > 28 + 1 = 4 93409 InS '

1--8

~ n = 5 §i IIxs -all~ 41') =0,87193.10-5 < 10-5

8 ·kS ~a=x5

X1 = 0,25 ~ X2 = f(X1) = 0,246153 => X3 = f(X2) = 0,246269 X4 = f(X3) = 0,246266 ~ X5 = f(X4) = 0,246266. Se poate afirrna deci, ca singura radacina reala a ecuatiei

X3 + 4x -1 = Oeste 0,246266, cu 0 eraoare < 10-5.

4. Sa se afle valoarea lui V2 cu §ase zecirnale exacte. Solutie: 4

Fie a = V2 ~ a? = 2 ~ a = 2 ~ 30. = 20. + ~ => 0.2 0. 2

~ a=![2a+~J 3 0.2

Fie f: [V2,00) ~ [V2,00), f(x) = k[ 2x + :2 ] f(a) = ~[2a + :2 ] = a ~ a este punct fix allui f.

f '(x) = 2 _ ~ = 3.(1-2) ~ 2 == k 3 3x3 3 x3 3

~ f lipschitziana cu k = % E(O, 1) ~f contractie pe [V2, 00).

Aplicand principiul contractiei, rezulta ca 3! x* = a punct fix

astfeli'ncat a = lim xn ' Xo E [V2,00) §i Xn+1 = f(xn). n-+oo

230


Alegand Xo = 1,2 obtinem X1 = f(xo) = ![2 4 +~] = 3 ' 122 ,

1,262962. X2 = f(X1) = 1,259928, X3 = 1,259921 = X4.

5. Sa se afle valoarea lui Va, a > 0, p ;::: 2, p E ~* CU 0

eroare rnai mica decat EO.

Solutie:

Fie a = PJa => aP = a ~ a = -~ ~ po. = (p -1)0. + _a_ a P- 1 a P- 1

~ a = ![(p-1)a+~J p apt

Fief:[~,oo) ~ [Va,oo),f(x)= ~[(P~1)X+ X=-I)'

Deci f(a) = a, adica a este punct fix pentru f.

Sa aratam ca f este contractie pe [PJa, 00) .

, _ p-1 a p-l P-1[ a] p-1 f (x) - P - p. ~ = -p- 1- xp ~ -p- = k

=> f este lipschitziana cu k = P -1 E (0,1) ~ f este p

contractie pe [PJa, 00) .

Aplicand principiul contractiei, rezulta ca 3! x* = a punct fix astfeli'ncat a = lim xn ' Xo = a §i Xn+1 = f(xn).

o-+co

Punem conditia ca eroarea la pasul n sa fie majorata de EO.

IIXn

- all ~ ~ IIxo - XI II ~ (p - 1) n . IIa ~ xIII < EO. 1-k p_

p

Din conditia precedenta se determina n, iar a == xn, care se determina prin iteratii tinand cont ca Xo = a §i Xn+1 = f(xn).

231


6. Utilizand principiul contractiei, determinati radacina ecuatiei 2- Ig x - x = 0 cu trei zecimale exacte.

Solu~ie:

Fie g: (0, oo) ~ ~, g(x) = 2- !g x - x

. ~ g(1) . g(2) < 0 ~ (:3) aE (1,2) a stfe 1 incat gel) = I } g(2) = -lg2

g(o,) = o. g'(x) = __ l_.l_l< 0 (V) x > 0 ~ aE(1,2) este solutie

19lO x unica pentru ecuatia g'(x) = o.

2 -Ig a - a = 0 <=? a = 2 - Ig a. Fie f: [1 ,2] ~ [1,2], f(x) = 2 - Ig x f(a) = a ~ a este punct fix pentru f.

rex) = I-_I-.ll ~ _1_ <! = k ~ f este lipschitziana cu Inl0 x inlO 2

k = ~ E (0,1) pe [1 ,2] ~ f este contractie pe [1,2].

Aplicand principiul contractiei, rezulta ca 3! x* = a punct fix allui f astfel incat a = lim xn cu Xo E [1 ,2] ~i Xn+1 = f(xn).

n~",

Pentru Xo = 1 obtinem f(xo) = X1 = 2-lg 1 = 2. X2 = 2 - Ig X1 = 2 - Ig 2 = 1,6990 X3 = 2 - Ig X2 = 1,7698 X4 = 2 -Ig X3 = 1,7520 X5 = 2 - Ig X4 = 1,7565 X6 = 2 -Ig X5 = 1,7554 X7 = 2 - Ig X6 = 1,7556 Astfel, radacina cautata este x == 1,755

7. Sa se determine cu 4 zecimale exacte radacina ecuatiei: x3 + x = 1000 '

232


Solu~ie:

Fie g: ~ ~ W?, g(x) = x3 + X - 1000

g(9) = -262} _ ~ g(9) . g(10) < 0 ~ (:3) aE(9,1 0) astfei incat g(10) =:0

g(a) = O.

g'(x) = 3x2 +1 > 0, (V) X Eli«.=> Ecuatia g(x) = 0 admite solu\ia unica a~(9,10) .

Avem deci 0.3 + a - 1000 = 0, ecuatie care poate fi pusa sub diverse forme, de exemplu:

0.= 1000 - 0.3 (1)

sau a = \1'1000 - a (2) 1000 1

sau 0.= ---- (3) 0. 2 a

Cea mai convenabila forma este (2) deoarece putem defini

f: [9,10] ~ [9,10], f(x) = VlOOO-a pentru care:

f '(x) = - ~ < _1_ = k (V) xE[9,1 0] 33 9902 290

~ f este lipschitziana cu k = _1_ E (0,1) pe [9,10] ~ f este 290

contractie pe [9,10]. Rezulta conform principiului contractiei ca :3! x* = a punct fix

astfel incat a = lim xn cu Xo = 10 !?i Xn+1 = f(xn). n~oo

Xo = 10 => X1 = f(xo) = V990 = 9,96655 => X2 = f(X1) = 9,96666 ~ X3 = f(X2) = 9,9666 => a == X3 = 9,9666 cu 4 zecimale exacte.

8. Sa se arate ca aplicatia T: ~2~1R?2, T(X1,X2) =

-_ (1 + Xl - X2 Xl + X2) t t t· . . V. d t . 3 '3 es e 0 con rac,le ~I apol sa I se e ermine

punctul fix. 233

Principiul co::n~tr.:::a::ct~ie::.:.i _____________ C_a-,p-,i_to_lu_I_4

Solutie:

~2 te spatiu metric complet cu distanta d«X1,X2), (Y1,Y2» = ~(XI x2)} I (X2 -Y2)2

Tete contractie daca :3 k E (0,1) asual incat (V) x = (X1,X2),

'! = (Y 'I,Y~) I ~2 CU X =1= Y sa avem d(Tx, Ty) ~ k d(x,Y). Av m:

Tx - (1+ Xl -X2 Xl +X2) ~i Ty = (1+ Yl -Y2, Yl +Y2). 3 ' 3 \ 3 3

d(Tx, Ty)

J(I ,XI ;X2 -1- YI ;Y2)' +(XI ~X2 -1- YI ~Y2r =

= 1 J[(XI -YI)-(X2 -Y2)Y +[(XI -YI)+(X2 -yJf == , = J

l J(X 1 -YI)2+(X2 -Y2)2 == ~d(X,y)~

k = J2 E (0,1) ~i se obtine d(Tx, Ty) = kd(x,Y) de unde 3

r zult~ d(l x, Ty) ~ kd(x,Y) ~i deci Teste contractie. . Cum Teste contractie rezulta ca T are un punct fix UniC Xo

adic Txo Xo, Xo E jffi2. Determinarea acestui punct se face printr-o metoda interativa ~i in final Xo = lim Tn(x) E [lt2.

n .... c:o

Txo = Xo cu Xo = (X01, X02)

{

XX 3 I I 01 ...QL == X 01 3 + x2 == 6x2 => x2 == -5 _ (6 3)

1 ~xo- --. -, 6 5'5 XOI '() - X ~ X == 2x ~ X ==-3 - 02 I 2 I 5

234


9. a) Sa se arate ca aplicatia T: ~ ~ ~ definita prin

3x 1 t' T(x) = - + -- este 0 contrac,le. 4 3+X2

b) Sa se gaseasca !)unctul fix al lui T. Solutie: Pe R avem distanta d(x,y) = Ix-YI.

3x 1 3y 1 I d(T(x), T(y» = IT(x), T(y)\ = 4+ 3+X2 -4- 3+y2-1=

_ ~ _ _ (x - y)( X + y) = Ix _ I ~ _ x + Y - 4 (x y) 9 + 3x2 + 3y2 + x 2y2 Y 4 9 + 3x2 + 3y2 + x 2y2

> ~_ x+y <~ Pentru x,y - 0 => 4 (3 + x 2 )(3 + y2) - 4

x+y Fie f(x,y) = - 2 2 ,avem

(3 + x )(3 + y )

I~ + f(x, y)1 ~ I~ + Max f(x, y)1 = ! + IMax f(x, Y)I, x,y E [It.

Daca 2+ /Max f(x y)1 = k ~i k < 1 atunci f este contractie. 4 '

Determinam extremele lui f, rezolvand sistemul:

jar _ _ x

2+2xy-3 =0

ax(x,y)-O (3+X2)(3+y2) {X2+2XY=3~ ::Ie ~ 2 ~ 2

_Vi (x, y) = 0 y + 2xy - 3 = 0 y + 2xy = 3 Oy (3+X2)(3+y2)

~x=±y

Pentru x = y ~ 3x2 = 3 ~ x = y = ± 1. Pentru x = -y ~ _x2 = 3 (Imposibil)

2 1 13 1 2/

3 1 5 f( 1 ,1) = - 16 = -"8 => "4 + f( x, y) ~ "4 -"8 ="8 < 1

235


2 1 13 1 21 3 11 7 f( -1 ,-1) = 16 = "8 => 4 + f( x, y) ~ 4 + 81 = 8 < 1

La frontiera domeniului lui f, Il~?, avem: lim f(x,y) = 0 = lim f(x,Y) . X~-OO X--j-+CC

y-+-«> y->+co

in CO:1cluzle, maximul global al functiei f(x,y) este valoarea

~ => max f(x,y) = i luand deci k = i < 1 rezulta ca d(T(x), T(y» ~ d(x,y), deci Teste contractie ~i atunci are un unic punct fix Xo cu T(xo)::: Xo.

T( ) 3xo 1 3 2

Xo = Xo => - + --2 = Xo => x 0 + 3x -4 = 0 => (xo-1 )(x 0 4 3+xo

+ Xo +4) = 0 => Xo = 1 EIR? (celelalte doua radacini sunt complexe) . A~adar punctul fix al lui Teste Xo = 1.

10. Folosind principiul contractiei, sa se arate ca sistemul de mai jos are solutie unica:

[ u='!'u-'!'v+'!'w-l

342 1 1 1

lv = - '2 u + '5 v + '2 W + 2

111 w=-u--v+-w-2

532 Solutie: Fie aplicatia T, definita ca T: ~3 -)0 ~3 ~i pentru x =( U,V,W}E~3

(1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) T(x) = -u--v+-w-l--u+-v+-w+2 -u--v+-w-2 3 4 2 '2 5 2 ' 5 3 2

Daca aratam ca Teste contractie atunci T are un punct fix unic Xo = (uo, Vo, wo) astfel ca T(uo, vo, wo) ::: (uo, Vo, wo) ~i deci sistemul din enunt are solutia unica (uo, vo, wo).

ft 3 . In IR? avem dlstanta d(x,y) = d(u, V, w), (U1, V1, W1) =

236


::: ~(U-Ul)2 +(V-V1)2 +(w-w1i.

Sistemul dat este echivalent cu:

Capitolul4

r 1 1 11

( ~J ~ _3~ -{ H ~j\i + r ~IJ sau x::: Ax+b cu

w l! _! .!.j\W l-2 . 5 3 2

IIAII = /L a~ = ~ ~~~~ < 1 => putem aplica metoda

aproximatiilor succesive ~i ajunge la solutie.

11. Sa se determine radacina reala a ecuatiilor cu 0 eroare s::: 10.3 •

a) x3 + 15x -2 ::: 0 pe intervalul [0,2] ~i pe intervalul [0,1]; b) x5 + 10x -1 = 0 pe intervalul [0,1]. Solutie: a) Fie f:[O,2] ~ ~, f(x) ::: x3 + 15x -2, f'(x) = 3x2 + 15 > 0 =>

conform ~irului lui Rolle, ecuatia f(x) = 0 are 0 singura radacina reala. Cum f(0)f(1) = -28 < 0, rezulta ca aceasta radacina a E [0,1] c [0,2].

x3 + 15x -2 = 0 => x = 2 . x2 + 15

Notam T(x)::: 2 2 , T: ~ ~ IR?, ecuatia devenind T(x) ::: x. x +15

Avem: ""2 = sup IT (x)1 = sup 2 4x 2' OSxs2 OSxs2 (x + 15)

Notam g(x) = 2 4x 2'

(x + 15)

237


g'(x) = 4(X2 - 2x + 15) > ° (\7') XE IRS. => g(X) este 0 aplicat,ie (X2 +15)2

crescatoare => A.2 = ~. 361

A.1 = sup IT (x)f= 1T'(1)1 = _1 . ()Sx~i 64

Pentru · a afla pasul n la care ne oprim in procesul de aproximatie punem conditia:

d( Xo , XI) '\ n < II- _ S

I-A.

Luam Xo = 0, X1 = T(xo):: 2 => d(xo X1) = I Xo+X11 =2. 15 ' . 15

A. = A.2 = ~ => 2._8_.( ~)~ < 10-3 => (002216)" . 361 15 361 361 "

0,0073338 => n > In(0,0073338) = 1,29 => a :::: X2 = T2(XO) = T2(0) :: In( 0,02216) -

2 4 + 153

.

0,0073828 => n >

2 4 + 153 •

1 21(ln 3 n -=> - - -) < 10- => 0015625 < 64 15 64 64 '

In(0,007382) => n > 1 ~ - 2 -In(0,01564) ,18 => a = X2 - T (0) -

b) Fie f: IRS. ~ IRS., f(x) = x5 +10x -1. Cum f '(x) = 5(X4 +2) > 0 rezulta ca ecuatia f(x) = 0 are 0 singura radacina reala a. Cum f(0)f(1) = - 10 < 0 rezulta ca a E(0,1).

x5 +10x-1 =O¢::> 2 . X4 + 10

238


2 Notand T(x) = ecuatia devine T(x) = x, deci a este

X4 +10

punct fix pentru aplicatia T: IRS.-t ~.

x3

A. = suplT (x)1 = 4 sup -;--4 --2 . OSxsl OSxsl ~x + 10)

X3 x 2 (30 _ x 4)

Notez g(x} = 4 2 ' g'(x) = 4 2 = ° => x = ±VJo (x 710) (x +10)

=> g'(x) ~ 0 pentru x E [0,1] => 9 este crescatoare pe [0,1] => 1 4

sup g(x) = g(1) = - => A.:: _. Osxsl 121 121

Pasul n se afla din conditia d( xo, Xl ) An < 10-3. , 1- A.

~ 1 1 121 ( 4 )n 1 Luand Xo = 0, X1 :: T(xo) = - => - . - - < -- => 10 10 117 121 1000

(0,0330578)n < 0,009669421 => n > 1,36 => n ~ 2 => a == X2 :: T(X1)

= T (_1 ) = 1 == 9 99 x 10-5. 10 10010 '


1. Folosind principiul contractiei, sa se determine cate un l}ir de iterare pentru determinarea radacinilor reale ale ecuatiilor:

a) sin x + cos x - 4x = 0

b) x - sin x = .!.. 4

c) x5 - 3 = 0

d) x3 -x-1=0 e) sinx=10x-1

239


Indicatie:

a) f(x) = ! (sin x + cos x) este contn3ctie, Xo arbitrar §i 4

Xn+1 =f(xn);

b) f(x) = ! + sin x este contractie. Pentru Xo = 1,2 obtinem

X5 = 1,172. cu 3 zecimale exacte; 1 3 ~r:;

c) f(x) = - (4x + -4)' Xo ~ ?v3 , Xn+1 = f(xn); 5 x

d) f(x) = V x3 + 1 ;

e) f(x) = -~ (1 + sin x), Xo E~, Xn+1 = f(xn). 10

2. Sa se determine radacinile reale ale ecuatiilor urmatoare: Utilizand principiul contractiei,

3 • a) x -12x-5=0 b) x3 -2x2 -4x-7=O c) 2x - cos x = 0 Raspuns: a) 0,42

b) 3,62 c) 0,450

cu doua zecimale exacte cu doua zecimale exacte cu trei zecimale exacte

24.0

1. COLECTIV-CATEDRA DE MATEMATICA

2. CREANGA, I., REI SCHER, C.

3. GALBURA, GH. ,

4. LEFORT, G.

5. MIHALY, M., MOSCOVICI, E., VARBAN,L.

6. POPESCU, I., $TEFANESCU, D., BLIDEANU, D.

7. PROSCURIAKOV, IV

8. RADU, C.1.

9. REZA, F.

10. $ERBAN,R.

11. UDRI$TE, C., RADU; C., DICU,C., MALANCIOIU, O.

BIBLIOGRAFIE

Culegere de probleme, BUGurel?ti, Lito ASE, 1986

Algebra liniara, Bucure!}ti, Editura Didactica ~i

Pedagogica, 1970

Introducere In algebra, BUGure!}ti, Editura Tehnica, 1969

Exercises d'algebre et analyse, Paris, Dunod, 1968

Culegere de probleme de matematica, Bucurel?ti , Lito ASE, 1981

Probleme de algebra liniara, Bucure~ti, Editura T ehnica, 1986

Sbornic zadaci po lineinoi alghebre, Moscova, Editura Mir, 1970

Algebra liniara, geometrie analitica §i diferentia/a, Bucure!?ti, Editura ALL, 1996

SpatH lin iare , Bucure!}ti, Editura Didactica !}i Pedagogica, 1973

Algebra liniara, Bucure!}ti, Editura UNEX, 1998

Probleme de algebra, geometrie §i ecuatii diferentiale, Bucure!}ti, Editura Didactica l?i Pedagogica, 1981

241

Badin Carpusca Ciurea Serban Algebra Liniara Culegere de Probleme 1999

Documents

Transcript of Badin Carpusca Ciurea Serban Algebra Liniara Culegere de Probleme 1999