MIHAEI;\ BERINDEANU

MIHAI MICULITA

Probleme alese de matematic[pentru pregitirea Olimpiadei Nafionale

lista scurti 2002-2019

clasa a VIII-a

- edi{ia a II-a -

Editura GIL

https://www.libris.ro/probleme-alese-de-matematica-pentru-pregatirea-GIL978-606-500-104-6--p13193656.html

i:",

:.

ll,.

,ir'1..

w,r..

$;

Fj.

;*;

k:ffi,:,,

k,:

:W

:.

Cuprins

1 Enunfuri - clasa a VIII-a1.1 Enunluri 20021.2 Enunluri 20031.3 Enunfuri 2004'1..4 Enunluri 20051.5 Enunfuri 20061,.6 Enunluri 20071.7 Enunfuri 20081.8 Enunfuri 20091,.9 Enunluri 20101.10 Enunluti2}Ll1.11 Enunpri2Dl21.12 Enunturi2DlS1.13 Enunfu;izot+1.14 Enunfuri 2015L.L5 Enunfuri201.6

1.16 Enun!uti20171.17 Enunluri20L8L.18 Enunluil}L9

7

7

8

10

12

15

18

19

21,

22

22

23

24

25

26

27

28

28

29

31,

31

36

38

M55

62

65

70

72

74

75

76

83

91,

Solufii-clasaaVIII-a2.L Solulii 2002 .2.2 Solu{ii 2003 .2.3 Solulii 2004 .2.4 Solulii 2005 .2.5 Solulii 2006 .2.6 Solufii 2007 .2.7 Solufii 2008 .2.8 Solulii 2009 .2.9 Solulii 2010 .2.10 Solulii 2011 .2.11 Solu(ii 2012 .2.12 Solufii 2013 .2.13 Solufii 20L4 .2.L4 Solulii 2015 .

5

2.15

2.16

2.17

2.18

Solulii 2016 98105

1.1.L

tI6

Solulii 2017 .Solulii 201.8 .Solulii 2019 .

Bibliografie

9B

105

Lll116

L33

1,. Enunfuri - dasa a VIII-a1..1 Enunfuri 20021. Sd se arate cd numerele 55* + f $ bsPo* + 26 sunt prime intre ele.

Daniel Stre[cu, Turnu Severin

2' a)Fieo,b e JR, a

8

8.

Enunfuri-clasaaVIII-ase dd un poligon convex cu n laturi qi fie a e N*. Determinafi poligonul qtiindcd numdrul diagonalelor sale este egal cu raportul dintre n qi a.

Valer Pop, $an!, Bistrila Ndsdud

se considerd un paralelipiped dreptunghic cu diagonala egald cu 1 qi M unpunct arbitrar interior paralelipipedului. Se noteazd cu s(M) suma pdtratelordistanlelor dela M la cele opt varfuri ale sale. sd se afle cea mai micd qi ceamai mare valoare a sumei S(M).

VaI entin Matro s enco, Bucureqti

Pe planul triunghiului ABC in punctele A qi B se ridicd de o parte qi de alta alui perpendicularele AD qi B E , astfel ca m(6dE) : 90o. Demonstrali cd:

Aria(ABq :;

Fie rn,r, numereircdt:

9.

10.

13.

AC2 .BC2 _ AD2 . FE2.

12.

Gheorghe Molea, Curtea de Argeq

11. in tetraedrul ABCD punctele E qi F sunt mijloacele medianelor AM qi,4,n/ale triunghiurilor ABC respectiv ACD. Dacd CE n AB : {p}, CF o AD :{Q}, DF a AC : {.,?}, demonstrali cd:a) 9 Aria(P Q R) : Aria(B C D) ;b) t2(PQ + EF + MN) : rJBD.

Vir ginia qi Vasile Ticd, Cdmpultng

naturale. Sd se arate cd existd numerele naturale o gi b astfel

(^n - m2 + r)(na - n2 + 7) : a2 + b2.Bogdan Enescu, Buzdu

1..2 Enunfuri 2003

Demonstrali inegalitatea (o + b)3

+ (b + c)3 (c + o)3

oticeo, b,c>g. c Q 28(a2+b2+c2)pentru

N icolae P apacu, Slobozia

sd searatecdnumdrul 77 +27 + 37 +... + 10007 estedivizibilprin500500.Simona Stoicoiu qi Costin Zdlog, Tg. Jiu

1,4.

Enunfuri - clasa aVIII-a,N*. Determinali poligonul gtiindrortul dintre n qi a.

Valer Pop, $anf Bistrila Ndsdud

crr rliagonala egald cu 1 qi M untmfrnrtcu ^9(M) suma pdtratelorfle- Sd se afle cea mai micd qi cea

Valentin Matr o s en co, Bucure gti

B se ridicd de o parte qi de alta aICE) : 90". Demonstrali cd:

P-A-Dz.882.

Gtwrglrc Molea, Cur te a de Arge q

q@ele medianelor AM qi ANtCEnAB:{p},CFnAD:

llDsdrdc $ Vasile Ticd, C6mpulung

lilnmercle naturale a gi b astfel

l'l:o2 +b2-Bogitnn Enescu,Buzdu

:

t. (c

:c)s 2 8@2 + b2 + cz)pentru$ci:: D

' NialaePapacu, Slobozia

* divizibil prin 500500.

@:r

w Ei Costin Zdlog, Tg, Jiu

17.

Enun{uri - clasa a VIII-a 915. Dacd p este un numdr primfr@,dsrezolve ecuafia p{r) : r + lr].

D ani el C oj o c ar u, Slatina

L5. a) Sd se demonstreze cd pentm rumue strict pozitiv e a,b, c avem

3xo* , *(zrrooo)2.

b) Determinafi cel mai mic numir nerrul k astfel ca pentru orice numere strictpozitive o, b, c sX avem

kZo'*'2 "u"(Zorzs)16.

Doina gi Aurelian lonescu,Topli{a

Pe planul rombului (ABCD) se ridicd, de aceeaqi parte, perpendicularele AAI

qiCCt astfelincAt AAt : CC'> *O" Ardtaficddacdmdsuraunghiuluiformat de planele (At BD) qi (ctBD) este egald cu mdsura unghiului forrnatde planele (At BCt) qi (AtDCt), afunci ABCD este pdhat.

Marius Ghergu, Slatina

in sistemul de axe oitogonale rOy seconsiderd punctele A(a,b) qi B(c, d) undea * b # c * d * a. Care este condifia necesard gi suficientd ca

ff$o{u d + M B) :

ft5;(l'ra + r'/B)?

C ecilia D enconu, Piteqti

19. in hiunghiul ABC se considerd punctele M e (AC),D e BM\(BM) astfeLincdt BM : 2MD qi CD ll AB.Punctul ty' este mijlocul lui (AB) qi6MN :AB . inexteriorul planului ABC seconsiderd punctul z cu proprietatea v A :V B : V E ; unde {E} : AD n B C . Dacd distan(ele de la V Ia AD respectiv BCsunt egale, demonstrafi cd:

a)VE L AB;

b) o(LvND)2 + o(tvNC), + o(LCDN)2 : o(LVCD)2.N icol ae Vizui oiu, Pite gti

18.

10

20.

21.

22.

23.

Enunfuri - clasa a VIII-a1.3 Enunfuri 2004

FieX omullime cun) 2 elemente. Cdteperechi(A,B) cu-4 c B c. X sepotforma?

Valentin Vornicu

vdrfurile unui cub se coloreazd in roqu, galben sau albastru. putem procedain aqa fel fircat fiecare mullime formatd din patru vdrfuri coplanare sd conlindtoate cele trei culori?

Gabriel Popa

un cub de laturd 3 se imparte in2T de cubulele congruente eliminandu-se unastfel de cubule! care nu este col! al cubului mare.

se poate umple exact corpul obfinut astfel cu paralelipipede dreptunghice 2 x1x1?

Se consider d,n,p eN* qi /(n,p, : [t']a) Sd se arate cd f (r,3) + f (n + 1,3) + f (n + 2,9) estepdtratperfectpentruoricare n numdr natural nenul.

b) Sd se arate cd pentru oricare n numdr natural nenul numdrul f (") : f (n,2)+f (n + 7,2) nu este pdtrat perfect.

c) Sd se arate cd dacdt f (n) : f (r, p) + f (n + \, p) + f (n + 2, p) este pdtrat perfectpentru oricare n numdr natural nenul, atunci p : J.

Marius Burtea

24. seqtie cd numerele reale pozitive a, b, c au proprietatea cd a + b + c : abc I 2.Demonstrafi cd max{a, b,c} } I.

ValentinVornicu

25. Determinali funcliile / : IR * lR, pentru care

f(2" -5) < 2r - 3 ( /(2r) - 5,pentru orice r real.

Liliana Antonescu

26. SA se determine numerele naturale n care auinZ cel pulin n divizoridistincfi.

Roman[a qi loan Ghi[d

Enunfuri - clasa aVIII-a

rechi (A, B) cu A c. B c. X se pot

Valentin Vornicu

)€n sau aibastru. Putem procedaratru r'6rfuri coplanare sd confind

Gabriel Popa

ele congruente eliminAndu-se unnare.

paralelipipede dreptunghice 2 x

- 2 3) este pdtrat perfect pentru

a1nenulnumdrul/(n) : f (n,2)+

p' ' I (n a 2, p) este pdtrat perfectp:3.

Marius Burtea

roprietatea cd a * b + c : abc + 2.

ValentinVornicu

-'lr -o.

Liliana Antonescu

:l :i cel puFr n divizori distincfi.

punctele Mt, Nt, Pt, Qrastfel ca MMr : tUAA, XU,1

Ai Qh : ;OA.Sd se arate cd dacd punctele Mr, Nt,atunci patrulaterul M1N1\Q1 este inscriptibil.

Enun[uri - clasa a VIII-a 1127. intetraedrul ABC D punctele E, M,l/ sunt mijloacele segmentelor [c D], lAEl

respectiv IBM).Dacd AC n Dtr[ : {F'}, Et/ n AB : {p}, At/ o BE: {A}AiCQ o BD : {L), demonstrali cd P, L,.8, F suntcoplanare.

Virginia qiVasile Ticd

28. Se considerd prisma patrulaterd regulatd ABCDA|B|C,D| cu AC n BD :{OL}, A'C o CtOl : {Oz} qi 03 este centrul cercului inscris in AACC|. $tiindcd AB : 4 qi AA' : 314,, aflali mdsura unghiului format de planele (OrBt B)qi (O2O3B|).

Marius Nicoard

29. Fie VABCD o piramidd patrulaterd regulatd qi fie o centrul bazei. Consi-derdmpunctele P e (VC), M e (AB) gi,n/ e (VM) astfelincdtOp LVC,iar M qi l/ sunt mijloacele segmentelor (AB) respectiv (v M), iar /? e r/o ast-fel ?ncat M R L l/o. Pe paralela pnn v la AB se ia un punct t/ astfel incat2UV : AB qi U se afld fir semispa{iul determinat de planui (V MO) gi punctulB. Demonstrafi cd dreptele DP, AR, uc sunt concurente pe sfera de centruO qirazd. AO.

Claudiu-gtefan Popa

30. Fie ABC D un tetraedru, qi fie Go, Gb, G. Gacentrele de greutate ale fe{elorBCD,CDA, DAB qi respectiv ABC.

a) Sd se arate cd dreptele AGo, BG6, CG", DGa sunt concurente intr-un punctG.

b) Dacd M este un punct interior tetraedrului ABCD Qi Mo, M6, Ms, M4sunt intersecfiile dreptelor AM, BM, CM, DM ca fe{ele opuse vArfurilorA, B, C. D respectiv, atunci *+ : lY : :Y : DMmaidacd *=*.--'"/*rurrLr

MM"- M]l'Ib- MW- MMdctacaqlnu-

ValentinVornicu

31. Se considerd patrulaterul inscriptibil ABC D. in punctele M, N, p, e, mijloa-cele laturilor AB, BC, CD, respectiv DA, se ridicd perpendiculare pe planul(ABC). Pe aceste perpendiculare, de aceeagi parte a planului (ABC) se iau

11: ,BC, Ph: iCD

Pt, Qr sunt coplanare,

Constantin ApostolRoman[a qiloan Ghifd

12

32. Sd se arate cd intr-un tetraedru echifacial, centrulcoincide cu centrul de greutate al tetraedrului.

Enunluri - clasa a VIII-asferei ir:rscrise in tetraedru

33.

Valentin Vornicu

'1..4 Enunfuri 2005

Fie triunghiul ABC echilateral. Pe perpendicularele in.4 gi c de aceeaqi partea planului ABC ludm respectiv punctele M qi N astfel incdt AM : AB : a EiMN : BN. Se se determine:(a) distanfa de la punctul A la planul M N B;

(b) sinusul unghiului dintre M N qi BC.

Gianina Busuioc, Niculai Solomon

Fie ABC D un tetraedru regulat de muchie o. $tiind cd o qi M sunt proiecliilelui D pe (ABC), respectivpe BC,iar ly' este simetricul Iui M falddeCO, aflali:

(a) cosinusul unghiului dintre DM qi AB;

(b) tangenta unghiului dintre planele (DMIr) qi (ABC);

(c) distanla de la b la planul (DMN).

[on TrandaJir

35. Fie funclia / : IR - lR. astfel ca

f (2" - 1) - 5 < 4r * 8

Enunfufi-clasaaVIII-a:entrul sferei irscrise in tetraedrud.

Valentin Vornicu

cularele nr A qi C de aceeagi parteqi -\ astfel incdl AM : AB: a Qi

Ginina Busuioc, N iculai S olomon

r. $tiind cd O gi M sttntproiecliile;imetricul lui M fald de C O, aflali:

; t ai (ABC);

Ion Trandafir

:-2)-14 Vze IR.

r - 1))2 +(f (: + r))2+t 6r; ardtalirtect.

C fu nina B u suio c, N iculai S olomon

'sunt situate respectiv pe muchi-dreapta CDl intersecteazd, planul

d -C51, atunci unghiul pe care il: rnai mare decAt unghiul dintre

Enun(ufi-clasaaVIII-a37. Fie ABCDAtBtctDt un paralelipiped cubaza ABCD romb, in care AB

AA' :10 cm, AC : 7G cm gi fie O interseclia diagonalelor AC qi BD.Se gtie cd AtO L (ABC D). Sd se afle:

(a) distanla de la punctul D la planul (ABB|);

(b) tangenta unghiului diedru determinat de planele (ABC) qi (ABB\);(c) distanfa dintre dreptele AC qi BCt.

Msriana Coadi

38. Fiea.,b,ce (0,11 qin,A,z) lastfelincAt

\E-a'z+Ji}+\/E-c'z:(a) Demonstrafi cd r -f g * z 4 6.(b) in ce caz avem egalitate la punctul (aX

Cecilia Diaconescu

Sd se arate cd pentru fiecare numdr natural n 2 2 ectalia

1111.* -+"'+ ,":,

are o infinitate de solu{ii fr1.,fi2,...,frn,y in mullimea numerelor naturale.

TraianTdmdian

Pe muchiile AB, BC, CD, DA ale unui tetraedru regulat ABCD se iau punc-tele M,,^y', P, respectiv Q astfel incAt AM : BIV : CP : DQ. Fte O mijloculsegmentului [lfQ]. Sd se arate cd (MOP)Il/8.

EmiliaLungu

41. in prisma triunghiulafi ABCATB'}. oarecare, punctul M este mijlocul mu-chieiAtBt. FiePe (MC). Ardta{icddacd AtPnBtC: {r}qi BtpaA,C:{E}, atunci dreptele AE, BD qi CCt sunt concurente.

Virginia qiVasileTicd

42. Pe muchia AD a piramidei AB c D se ia un punct oarecare M . Fie M N llAC, N eD C Ei N P llB C, P e D B, iar X, Y,respectiv Z mljloacele segmentelor l,AN], lC pl,respectiv IBM|(a) Demonstra{i cd planele (M N P) , (xY z) qi (ABC) sunt paralele gi echidis-tante.

:

I tr u z\z (,; + r,*;)

39.

40.

Dorina Zaharia

1,4 Enunfuri - clasa a VIII-a(b) Determinali raportul ffi O"n ruca in ipoteza cd ABCeste triunghi echila-teral, mdsura unghiului clintie dreptele BC qi Xy sdfie de 45'.

Petre Simion

43. Fie A : {I,2,3, ...,2005}. Se considerd funcliile f ,9 i A- N date de

f (")g (r)

(a) Determinali cardinalul mullimii

(b) Demonstrali cd

11

--L-I

f (r)' f (2)'"'

cel mai mic numdr de forma 2k cel pulin egal cu r,cel mai mare numdr de forma 2k cel mult egal cu r.

{reAlf@):s@)}.

t* / (zoos)

e (6' 25;6' 5) '

Petre Simion

44. Se considerd"untetraedru OABC fircare OALOBLOCLOA. Ardtaficd:

1 1 7 , (l 1 1\oA+ oB + oc u- u'\* * ac * *)

Ceznr Lupu

Ardtali cd existd un numdr a natural nenul, par, astfel inc6t pentru o infinitatede numere intregi pare b, expresia a + b + ob sd fie pdtrat perfect.

Gheorghe Gherasim

in cubul ABCDATB'C'D' cu latura de lungime 3 cm se consid.erd mijloaceleA",8",C", D" ale segmentelor [AAl] ,lBB'),lCC'f, respectiv [DDl]. Sd secalculeze volumul poliedrului convex determinat de vArfurile A, A" , B', 8",C, C" , D' , D" .CAte fele are acest poliedru?

A. M.Ionescu

45.

46.

47 . Fie o, b e JR *. Sd se determine funclia / : lR. - lR. pentru care

r (" _I) *r" "t*'*'* =, (" *I) -r",pentruoricerElR.

iI

I{i-_

Dorin Mdrghidanu