Problema 2. ABCDA BC D AB BC AA MA MB MC MD M ABC D · Problema 2. Se consider a paralelipipedul...

1
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Problema 1. Ar˘ atat ¸ic˘adac˘a a, b, c ∈ 1 6 , ∞ , atunci a 2 + b 2 6b - 1 + b 2 +2c 2 6c - 1 + c 2 +3a 2 6a - 1 ≥ 1. Andrei Eckstein Problema 2. Se consider˘ a paralelipipedul dreptunghic ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 ˆ ın care AB = 12, BC =9¸ si AA 0 = 4. Determinat ¸i minimul sumei MA+MB +MC +MD, unde M este un punct variabil pe fat ¸a A 0 B 0 C 0 D 0 . Cosmin Nit ¸u, Olimpiada de matematic˘ a 2013, Bucure¸ sti, etapa pe sector Problema 3. Determinat ¸i num˘arul minim n pentru care, oricum am colora ˆ ın ro¸ su n dintre vˆ arfurile unui cub, exist˘ a un triunghi echilateral cu vˆ arfurile ro¸ sii. Dan Schwarz, baraj de juniori, 2015 Problema 4. Fie x un num˘ ar real pozitiv cu proprietatea c˘a x 5 - x 3 + x ≥ 3. Demonstrat ¸i c˘ a x 6 > 5. ***

Transcript of Problema 2. ABCDA BC D AB BC AA MA MB MC MD M ABC D · Problema 2. Se consider a paralelipipedul...

Page 1: Problema 2. ABCDA BC D AB BC AA MA MB MC MD M ABC D · Problema 2. Se consider a paralelipipedul dreptunghic ABCDA0B0C0D0 ^ n care AB = 12, BC = 9 ˘si AA0 = 4. Determinat˘i minimul

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Problema 1. Aratati ca daca a, b, c ∈(

1

6, ∞

), atunci

a2 + b2

6b− 1+

b2 + 2c2

6c− 1+

c2 + 3a2

6a− 1≥ 1.

Andrei Eckstein

Problema 2. Se considera paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C ′D′ ın careAB = 12, BC = 9 si AA′ = 4. Determinati minimul sumei MA+MB+MC+MD,unde M este un punct variabil pe fata A′B′C ′D′.

Cosmin Nitu, Olimpiada de matematica 2013, Bucuresti, etapa pe sector

Problema 3. Determinati numarul minim n pentru care, oricum am colora ınrosu n dintre varfurile unui cub, exista un triunghi echilateral cu varfurile rosii.

Dan Schwarz, baraj de juniori, 2015

Problema 4. Fie x un numar real pozitiv cu proprietatea ca x5 − x3 + x ≥ 3.Demonstrati ca x6 > 5.

∗ ∗ ∗

Fie D BC A D E BD - viitoriolimpici.ro · Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Problema 3 Fie D un punct in planul triunghiului

Fie D BC A D E BD - viitoriolimpici.ro · Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Problema 3 Fie D un punct in planul triunghiului

Prezentare ab 2010

Prezentare ab 2010

Curs Bac Sociologie AB

Curs Bac Sociologie AB

Full page fax print - colmil_sm.forter.ro · 10. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA 'B 'C 'D' are lungimile muchiilor AB, BC si AA' proportionale respectiv cu numerele 1,5; 2 si 6.

Full page fax print - colmil_sm.forter.ro · 10. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA 'B 'C 'D' are lungimile muchiilor AB, BC si AA' proportionale respectiv cu numerele 1,5; 2 si 6.

Analiza serviciilor și produselor bancare a BC “MOLDINDCONBANK” și BC “MOLDOVA AGROINDBANK”

Analiza serviciilor și produselor bancare a BC “MOLDINDCONBANK” și BC “MOLDOVA AGROINDBANK”

ÎNVÀTÀTUR1LE ATRI BIUTE LUI NEAGOE BASAR AB …ÎNVÀTÀTUR1LE ATRI BIUTE LUI NEAGOE BASAR AB O BECONSIDEBABE P. P. PANAITESCU Nevoia unei reconsideràri. Problema autenticitâ^ii

ÎNVÀTÀTUR1LE ATRI BIUTE LUI NEAGOE BASAR AB …ÎNVÀTÀTUR1LE ATRI BIUTE LUI NEAGOE BASAR AB O BECONSIDEBABE P. P. PANAITESCU Nevoia unei reconsideràri. Problema autenticitâ^ii

Cele mai... (ab)

Cele mai... (ab)

 · Beispiel 5 A Dur Penta ab f# Beispiel 6 A Dur Penta ab f# Skalen-Workout Pentatonic #2 C Dur Penta ab a C Dur Penta ab a Gb Dur Penta ab eb Gb Dur Penta ab eb

 · Beispiel 5 A Dur Penta ab f# Beispiel 6 A Dur Penta ab f# Skalen-Workout Pentatonic #2 C Dur Penta ab a C Dur Penta ab a Gb Dur Penta ab eb Gb Dur Penta ab eb

Bc Svb800x3

Bc Svb800x3

Curs-clase Ab

Curs-clase Ab

matestn.romatestn.ro/mate/PhotoMate/TeoremeDeGeometrie/TeoremeDeGeometri… · laturile (AB), (BC), (AC) ale triunghiului ABC în punctele Al, Bl ... care contin laturile triunghiului

matestn.romatestn.ro/mate/PhotoMate/TeoremeDeGeometrie/TeoremeDeGeometri… · laturile (AB), (BC), (AC) ale triunghiului ABC în punctele Al, Bl ... care contin laturile triunghiului

AB - Mobile & Fax

AB - Mobile & Fax

Ab Rds Favorit

Ab Rds Favorit

PROIECT DIDACTIC - Digitaliada...CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR Definiție: Se numește triunghi figura geometrică obținută prin reuniunea a trei segmente [AB], [BC], [CA], unde A,

PROIECT DIDACTIC - Digitaliada...CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR Definiție: Se numește triunghi figura geometrică obținută prin reuniunea a trei segmente [AB], [BC], [CA], unde A,

Ab. Practice

Ab. Practice

Femei soldati (ab)

Femei soldati (ab)

Teorema lui Ceva ^ n spat˘iu - viitoriolimpici.ro · Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Problema 3. a) Fie P AB, P BC,

Teorema lui Ceva ^ n spat˘iu - viitoriolimpici.ro · Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Problema 3. a) Fie P AB, P BC,

Problema 3. C AA CC A BC C AB H A C M AC B fIg MC AB ... Fie M a, M b ˘si M c proiect˘iile punctului M pe dreptele BC, CA, respectiv AB. S˘tim c a aceste puncte sunt coliniare (dreapta

Problema 3. C AA CC A BC C AB H A C M AC B fIg MC AB ... Fie M a, M b ˘si M c proiect˘iile punctului M pe dreptele BC, CA, respectiv AB. S˘tim c a aceste puncte sunt coliniare (dreapta

CLASIFICAREA REACŢIILOR ORGANICE. REACŢII DE ADIŢIE ŞI ... · CLASIFICAREA REACŢIILOR ORGANICE. AB + CB + BC Substrat Reagent Starea de tranziţie Produs de substanţa include

CLASIFICAREA REACŢIILOR ORGANICE. REACŢII DE ADIŢIE ŞI ... · CLASIFICAREA REACŢIILOR ORGANICE. AB + CB + BC Substrat Reagent Starea de tranziţie Produs de substanţa include

concursuripcvaslui.files.wordpress.com · 15. a) Desenaţi un paralelipiped dreptunghic. Paralelipipedul dreptunghicABCDABCD′′′′are AA′=35cm, AB = 6 cm şi BC = 3 cm.

concursuripcvaslui.files.wordpress.com · 15. a) Desenaţi un paralelipiped dreptunghic. Paralelipipedul dreptunghicABCDABCD′′′′are AA′=35cm, AB = 6 cm şi BC = 3 cm.