1

15

De la fizica elementar spre Fizica modern (LXX)

Lucrare publicat n revista Evrika, vol. 21, no. 242, pag. 3-8, Octombrie 2010

ELEMENTE DE TEORIA CLASIC A ELECTROMAGNETISMULUI (C)

Prof. dr. fiz. Dan-Alexandru Iordache

Catedra de Fizic II, Universitatea Politehnica din Bucureti

Cap. 2. STRUCTURA I STRILE DE POLARIZARE ALE UNDELOR ELECTROMAGNETICE2.1. Cazul mediilor izotrope n raport cu oglindirile

n absena distribuiilor de sarcini i cureni electrici, ecuaiile cu derivate pariale (1.3.18) ale potenialelor electromagnetice devin:

si: .

(2.1.1)

Este bine-cunoscut (vezi problema 1.4.1) c undele armonice:

,

(2.1..2)

satisfac ecuaiile (1.4.1). Pentru a deduce relaiile ntre amplitudinea cmpului i, respectiv, inducia electric i magnetic corespunznd undelor electromagnetice, considerm propagarea undei electrice:

(2.1.3)

ntr-un mediu Maxwell (care satisface ecuaiile lui Maxwell). Introducnd expresia (2.1.3) (unde reprezint amplitudinea cmpului electric) n ecuaia Maxwell-Faraday i folosind relaia (vezi problema 2.1.2):

,

(2.1.4)

se obine:

. (2.1.5)Deoarece (vezi problema 2.1.1):

,

(2.1.6)

relaia (2.1.5) devine:

,

(2.1.7)

de unde:

.(2.1.8)

Relaia (2.1.8) demonstreaz c propagarea unei unde electrice determin propagarea unei unde magnetice avnd: (i) aceeai frecven i faz ca unda electric; (ii) amplitudinea:

,

(2.1.9)

proporional cu cea a cmpului electric. Pentru aceste motive, rezult c propagarea cmpului electric i, respectiv, magnetic nu pot fi separate, de fapt, existnd propagarea unei singure unde (electromagnetic).

Oglindirea n planul bisector a unghiului diedru format de planele xOz i yOz determin permutarea coordonatelor i a componentelor x i y, deci, n medii izotrope prin raport cu oglindirile avem:

i, n final: ; pentru c aceast relaie este satisfcut, de asemenea, pentru componentele x i y, rezult c n aceste medii:

, deci relaia (2.1.9) devine:

.

(2.1.10)

innd cont de coincidena factorilor de faz: , se poate scrie de asemenea relaia (2.1.10) astfel:

.

(2.1.11)

n absena distribuiilor de sarcin i cureni electrici, ecuaia Maxwell-Bios-Savart-Ampere primete forma

(2.1.12)

similar ecuaiei Maxwell-Faraday. n consecin, relaia de structur dintre mrimile fizice vectoriale i va fi analog relaiei (1.4.1):

.

(2.1.13)

Problema 2.1.1: Verificai c undele armonice: satisfac ecuaia cu derivate pariale: .

Soluie: Plecnd de la expresiile:

, de unde:

i:

, se obine:

.

Problema 2.1.2: Deducei relaia: , unde f(r,t) i g(r,t) sunt funcii continue.

Soluie: Plecnd de la expresia componentei z a rotorului:

i, respectiv, a produsului vectorial:

,

se obine: i, n final: .

2.2. Structura undelor electromagnetice

a) Cazul dielectricilor izotropi prin raport cu oglindirile

Se definesc dielectricii (izolani electrici) prin relaia: . Rezult c relaiile de structur ale undelor electromagnetice n dielectrici izotropi n raport cu oglindirile sunt:

i:

.

(2.2.1)

Plecnd de la relaiile de structur (2.1.14), se constat c intensitatea cmpului magnetic este perpendicular pe mrimile fizice vectoriale i, desigur, pe vectorul Poynting: .

figura 2.2.1

innd cont c n dielectricii anizotropi (prin raport cu rotaiile): , deci mrimile fizice vectoriale i nu mai sunt paralele, rezult c structura undelor electromagnetice n aceste medii este cea reprezentat n figura 2.2.1. Se constat c aceast structur este caracterizat prin planuri numite:

(i) frontul de und format de direciile cmpului magnetic () i, respectiv, de inducia electric ;

(ii) planul oscilaiilor, ce conine mrimile fizice vectoriale i, de asemenea, direciile de propagare a fazei i, respectiv, energiei electromagnetice (date de vectorii i );

(iii) planul de polarizare, format de direciile cmpului magnetic () i, respectiv, de vectorul de und .

c) Cazul mediilor ideale

n medii ideale: i: , deci relaiile de structur (2.1.11) i (2.1.13) devin:

unde:

(2.2.2)

i, respectiv: , deci:

,

(2.2.3)

unde:

(2.2.4)

este impedana electromagnetic a mediului ideal considerat.

figura 2.2.2

Relaiile (2.2.2) i (2.2.3) demonstreaz c mrimile fizice vectoriale i formeaz un triedru triortogonal drept (vezi figura 2.2.2). Pentru c oscilaiile cmpului electric i, respectiv, magnetic se produc n direcii perpendiculare pe direcia a propagrii, undele electromagnetice sunt (numite) transversale.

Rezult c densitatea de flux a energiei electromagnetice (vectorul Poynting) este dat de expresiile echivalente:

.(2.2.5)

Pentru o und electromagnetic armonic:

,

(2.2.6)

deci media temporal a vectorului Poynting este:

.

(2.2.7)

figura 2.2.3

Se definete intensitatea undei electromagnetice ca fiind modulul mediei temporale a vectorului Poynting:

.

(2.2.8)

Se constat c intensitatea undei electromagnetice armonice care se propag ntr-un mediu ideal este dat prin expresiile echivalente:

.

(2.2.9)

unde este energia electromagnetic incident pe durata pe suprafaa de arie . Deoarece , unde reprezint aria proieciei suprafeei pe planul perpendicular pe direcia a undei incidente (vezi figura 2.2.3) i este vectorul unitar al normalei la suprafaa , expresia precedent a iluminrii energetice devine:

.

(2.2.10)

Problema 2.2.1: Plecnd de la valoarea intensitii undei electromagnetice incidente normal de la Soare pe suprafaa Pmntului: , evaluai amplitudinea intensitii cmpului electric i, respectiv, magnetic corespunznd acestei unde. Permitivitatea aerului este i viteza undelor electromagnetice n aer este .

Soluie: Impedana electromagnetic a aerului este:

.

Rezult c amplitudinea intensitii cmpului electric al undei electromagnetice este:

,

n timp ce amplitudinea corespondent intensitii cmpului magnetic este:

.

2.3. Stri de polarizare ale undelor electromagnetice

a) Stri de polarizare total

(i) Undele electromagnetice polarizate eliptic

figura 2.3.1

Fie Oz direcia de propagare a undei electromagnetice (vectorul de und ) i Ox, Oy dou direcii ortogonale n planul perpendicular pe Oz (fig. 2.3.1). Datorit transversalitii undelor electromagnetice, intensitatea cmpului electric al undei este situat n planul xOy. Fie i componentele intensitii momentane a cmpului electric. Cel mai general caz de polarizare total a undelor electromagnetice armonice corespunde unei diferene de faz constant ntre componentele i :

,

(2.3.1)

unde sunt amplitudini constante ale oscilaiilor componentelor cmpului electric. Prin adugarea i, respectiv, prin scderea componentelor reduse ale cmpului electric se obine:

,

(2.3.2)

i:

.

(2.3.3)

Plecnd de la relaiile (2.3.2) i (2.3.3), se obine:

,

de unde:

.

(2.3.4)

Ecuaia (2.3.4) reprezint traiectoria eliptic parcurs n timp de vectorul cmp electric al unei unde electromagnetice polarizate total eliptic.

Pentru a determina sensul parcurs de elips, se observ c la momentul , valoarea componentei este maxim, n timp ce: . Se constat c:

1) cnd este pozitiv, elipsa este descris n sensul acelor de ceasornic (und de elicitate negativ sau und polarizat eliptic dreapta; vezi figura 1.5.1);

2) cnd este negativ, elipsa este descris n sens trigonometric (und de elicitate pozitiv sau und polarizat eliptic stnga).

(ii) Unde polarizate circular. Reprezentarea lui Fresnel.

Cnd i , unde n este un numr ntreg, ecuaia (2.3.4) devine:

,

(2.3.5)

corespunznd astfel unei unde polarizate circular.

Conform metodei fazorilor lui Fresnel, fiecare stare de oscilaie este descris prin numrul complex (fazorul) definit prin relaia:

.

(2.3.6)

Pentru o und polarizat circular: (unde m este un numr ntreg), astfel c: , deci:

.(2.3.7)

Se constat c, pentru , unda electromagnetic este polarizat circular:

figura 2.3.2

1) dreapta, dac ;

2) stnga, dac (vezi figura 2.3.2).

Evident, undele polarizate circular reprezint un caz particular al undelor polarizate eliptic.

(iii) Undele polarizate rectiliniu

Undele electromagnetice pentru care oscilaiile cmpului electric i, respectiv, magnetic se produc n permanen n anumite planuri (de oscilaie i, respectiv, de polarizare) sunt polarizate rectiliniu. Se poate considera uor c undele polarizate rectiliniu reprezint un caz particular al undelor polarizate eliptic. ntr-adevr, ecuaia (2.3.4) traiectoriei descrise prin vectorul cmp electric a unei unde polarizate eliptic primete - pentru un defazaj de multiplu ntreg de radiani: - expresia:

, unde:

,

(2.3.8)

care corespunde unei unde polarizate rectiliniu.

Fazorul corespunztor undei polarizate rectiliniu (2.3.8) este dat de expresia:

,

(2.3.9)

unde este amplitudinea cmpului electric i este unghiul format de direcia de oscilaie a cmpului electric cu axa Ox.

Problema 2.3.1: Demonstrai c se poate descompune o oscilaie oarecare, polarizat rectiliniu, n dou oscilaii polarizate circular, din care una este polarizat circular stnga i alta este polarizat circular dreapta.

Soluie: Plecnd de la relaia lui Euler: , se poate scrie fazorul corespondent unei oscilaii polarizate rectiliniu (vezi relaia (2.3.9)) ca:

.

(2.3.10)

figura 2.3.3

Deoarece fazorii i corespund oscilaiilor polarizate circular stnga i, respectiv, dreapta, se constat (vezi figura 2.3.3) c oscilaia polarizat rectiliniu de amplitudine se poate descompune n dou oscilaii polarizate circular (fiecare de amplitudine ), de sensuri opuse.

b) Stri de polarizare parial

(i) Caracteristicile principale ale emisiei microscopice de fotoni

innd cont c - n domeniul radiaiilor electromagnetice vizibile (380..760nm) - perioada T a oscilaiilor este de ordinul de mrime , rezult pentru cmpul electric i magnetic oscilaii n timpul duratei de emisie a unui foton, oscilaii ce formeaz un ir de unde asociate unui foton. n timp ce faza i unghiul formate de planele de oscilaie i, respectiv, polarizare cu planele de referin (xOz i yOz) au valori comune pentru toate oscilaiile unui foton, aceste mrimi fizice prezint distribuii aleatoare.

Pentru aceste motive i pentru c o raz electromagnetic normal este format dintr-un numr mare de fotoni, rezult c amplitudinile i fazele iniiale , i, prin urmare, componentele cmpului electric al unei unde electromagnetice depind aleatoriu de timp:

,

(2.3.11)

(ii) Parametrii lui Stokes

Se poate generaliza uor expresia (2.2.9) a intensitii unei unde electromagnetice, pentru unde non-armonice, prin intermediul mediei temporale a ptratului amplitudinilor intensitilor cmpului electric al undei, astfel:

.

(2.3.12)

innd cont de aceast expresie, ca i de caracteristica undelor polarizate rectiliniu () i - respectiv - polarizate circular (, ), G.G. Stokes a introdus n 1852 (vezi, de exemplu, J. Ph. Perez Optica geometric, ondulatorie i polarizare, Masson, Paris, 1991, p.216-217) parametrii urmtori:

,

(2.3..13)

i:

,(2.3..14)

unde este defazajul ntre oscilaia corespunznd componentei y i, respectiv, x a intensitii cmpului electric.

(iii) Grade de polarizare

Pentru c parametrul lui Stokes este proporional cu intensitatea energetic a undei, n timp ce parametrul lui Stokes msoar asimetria contribuiilor componentelor i la energia undei, se introduce gradul de polarizare prin relaia:

.

(2.3.15)

Se constat cu uurin c:

1) gradul de polarizare energetic are valori cuprinse n intervalul [-1,+1];

2) valorile +1 i -1 ale gradului de polarizare energetic corespund unei polarizri rectilinii totale a undei, avnd oscilaiile cmpului electric situate n planul xOz, respectiv n planul yOz, unde Oz este direcia de propagare a undei;

3) valoarea 0 grade de polarizare energetic corespunde att undelor nepolarizate, ct i undelor polarizate simetric n raport cu direcia de propagare a undei (n particular, undele polarizate circular);

4) valorile i, respectiv, corespund undelor polarizate parial, cu o orientare preferenial a oscilaiilor de cmp electric ctre planul xOz, respectiv, ctre planul yOz.

Pentru undele polarizate rectiliniu () se definete gradul de polarizare rectiliniu prin expresia:

.

(2.3.16)

Se constat c:

1) gradul de polarizare rectilinie are valori cuprinse n intervalul [0,1];

2) valoarea corespunde unei unde (total) polarizate rectiliniu, n timp ce valoarea corespunde absenei totale de polarizare rectilinie (pentru unde nepolarizate sau unde polarizate circular);

n continuare, se definete gradul de polarizare circular prin relaia:

.

(2.3.17)

Se poate observa:

1) gradul de polarizare circular are valori cuprinse n intervalul [-1,+1];

2) valorile +1 i -1 ale gradului de polarizare circular corespund unor unde polarizate circular dreapta i, respectiv, stnga;

3) valoarea corespunde absenei totale a polarizrii circulare, deci unei unde nepolarizate sau polarizate rectiliniu;

4) valorile i corespund unor unde polarizate eliptic dreapta i, respectiv, stnga, unde undele conin componente asemntoare.

n final, se definete gradul de polarizare eliptic prin expresii echivalente:

.

(2.3.18)

Similar cu gradul de polarizare rectiliniu , valorile gradului de polarizare eliptic sunt cuprinse n intervalul [0,1]. Evident, valoarea corespunde undelor polarizate (total) eliptic (se poate stabili sensul: dreapta sau, respectiv, stnga al polarizrii eliptice plecnd de la semnul polarizrii circulare), n timp ce valoarea corespunde, de aceasta dat, absenei totale a oricrui tip de polarizare (deci corespund numai undelor nepolarizate).

BIBLIOGRAFIE

1. I. Agrbiceanu Lumina polarizat i aplicaiile ei n tiin i tehnic, Editura tehnic, Bucureti, 1956.

2. Born M., Wolf E. Principles of Optics, 4th edition, Pergamon, New York, 1970.

3. D. Brc-Gleanu, R. ieica, M. Naumescu, R. eptilici Fizica, vol. II, Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 19714. Iova Iancu Elemente de optic aplicat, Editura tiinific i enciclopedic, Bucureti, 1977, Biblioteca Facultii de Fizic Universitatea din Bucureti II-18770.

5. I. M. Popescu Teoria electromagnetic macroscopic a luminii, Editura tiinific i enciclopedic, Bucureti, 1986.

6. P. Sterian Fizica, vol. 1, Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1996, cap. 7 Cmpuri i unde electromagnetice, cap. 8 Teoria electromagnetic a luminii.

7. E. Bodegom, D. Iordache Physics for Engineering Students, Politehnica Press, Bucureti, 2008.

_949061200.dwg

_949061308.dwg

_949061373.dwg

_949061247.dwg

_949061069.dwg

_949061125.dwg