pregatirematematicaolimpiadejuniori.files.wordpress.com… · Web viewTriunghiul ABC este...
2
A 61 –a OLIMPIADĂ DE MATEMATICĂ A REPUBLICII MOLDOVA Chișinău, 6 martie 2017 Probă de evaluare pentru Olimpiada Balcanică de Matematică pentru Juniori 2017 BJ1. Determinați toate perechile (x, y) de numere naturale care satisfac ecuația x 5 =y 5 +10 y 2 + 20y +1 BJ2. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi. Demonstrați inegalitățile 2< √ b c+a + √ a b+c + √ c b+a < √ 6 BJ3. Triunghiul ABC este înscris într-un semicerc de diametru BC astfel încît tangentele duse la semicerc în punctele A și B se intersectează în punctul D. Demonstrați că dreapta DC înjumătățește înălțimea dusă din vîrful A la latura BC. BJ4. Aflați cel mai mare număr natural k astfel încît există k numere întregi pozitive diferite care nu depășesc numărul 2017 și care au proprietatea: oricare număr ales dintre cele k numere nu este o putere a oricărui număr dintre cele k-1 numere rămase. BJ5. Șirul numeric crescător ( a ¿¿ n) n≥ 1 ¿ este alcătuit din numere naturale consecutive scrise doar cu cifre impare, primul termen fiind a 1 =1. Aflați valoarea numerică termenului a 2017 . BJ6. Numerele reale a, b, c satisfac relația | a +b | + |b+c| + | a+ c | =8. Determinați cea mai mică valoare numerică posibilă și cea mai mare valoare numerică posibilă a expresiei E=a 2 +b 2 +c 2 . BJ7. În triunghiul ascuțitunghic ABC punctul M este mijlocul laturii (BC), iar punctul H , situat pe latura (AC), este piciorul înălțimiidin vîrful B. Dreapta, care trece prin A și este perpendiculară la dreapta AM, intersectează dreapta BH în puncul E. Punctul F este simetricul lui E în raport cu punctul A. Demonstrați că dreptele CF și AB sunt perpendiculare. BJ8. Linia de jos a unui dreptunghi de dimensiuni 2x13 este umplută cu 13 jetoane, marcate cu numerele 1, 2,..., 13 și situate în această ordine. O operație este o mișcare a unui jeton din celula sa într-o celulă adiacentă liberă (două celule se numesc adiacente dacă ele au o
Transcript of pregatirematematicaolimpiadejuniori.files.wordpress.com… · Web viewTriunghiul ABC este...
A 61 –a OLIMPIADĂ DE MATEMATICĂ A REPUBLICII MOLDOVA
Chișinău, 6 martie 2017
Probă de evaluare pentru Olimpiada Balcanică de Matematică pentru Juniori 2017
BJ1. Determinați toate perechile (x, y) de numere naturale care satisfac ecuația x5= y5+10 y2+20 y+1
BJ2. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi. Demonstrați inegalitățile
2<√ bc+a
+√ ab+c
+√ cb+a
<√6
BJ3. Triunghiul ABC este înscris într-un semicerc de diametru BC astfel încît tangentele duse la semicerc în punctele A și B se intersectează în punctul D. Demonstrați că dreapta DC înjumătățește înălțimea dusă din vîrful A la latura BC.
BJ4. Aflați cel mai mare număr natural k astfel încît există k numere întregi pozitive diferite care nu depășesc numărul 2017 și care au proprietatea: oricare număr ales dintre cele k numere nu este o putere a oricărui număr dintre cele k-1 numere rămase.
BJ5. Șirul numeric crescător (a¿¿n)n≥ 1¿ este alcătuit din numere naturale consecutive scrise doar cu cifre impare, primul termen fiind a1=1. Aflați valoarea numerică termenului a2017.
BJ6. Numerele reale a, b, c satisfac relația |a+b|+|b+c|+|a+c|=8. Determinați cea mai mică valoare numerică posibilă și cea mai mare valoare numerică posibilă a expresiei E=a2+b2+c2.
BJ7. În triunghiul ascuțitunghic ABC punctul M este mijlocul laturii (BC), iar punctul H , situat pe latura (AC), este piciorul înălțimiidin vîrful B. Dreapta, care trece prin A și este perpendiculară la dreapta AM, intersectează dreapta BH în puncul E. Punctul F este simetricul lui E în raport cu punctul A. Demonstrați că dreptele CF și AB sunt perpendiculare.
BJ8. Linia de jos a unui dreptunghi de dimensiuni 2x13 este umplută cu 13 jetoane, marcate cu numerele 1, 2,..., 13 și situate în această ordine. O operație este o mișcare a unui jeton din celula sa într-o celulă adiacentă liberă (două celule se numesc adiacente dacă ele au o latură comună). Care este numărul minim de operații efectuate pentru a rearanja jetoanele în ordine inversă în linia de jos a dreptunghiului? Argumentați răspunsul.
MULT SUCCES!
