Problema saptamanii 7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil ın care bisectoarele unghiurilor A si D se intersecteaza pe latura (BC). Aratati ca BC=AB+CD.

Solutie : Mai intai voi demonstra urmatoarea lema (Incenter-Excenter Lemma):Lema : Fie ABC un triunghi si I centrul cercului inscris, I A centrul cercului exinscris corespunzator unghiului A. Daca D este intersectia bisectoarea din A cu arcul B̂C,

atunci D este centrul cercului care trece prin B , I ,C , I A.

Demonstratie :

Deoarece AD este bisectoare, evident DB=DC.Cum I se afla pe AD putem scrie

∢ IBD=∢ IBC+∢CBD=∢ IBC+∢DAC=∢ABC2

+∢BAC2

=∢BID(unghi exterior in

△ ABI ).Rezulta △DBI este isoscel si DB=DI=DC . In concluzie D este centrul cercului circumscris △BIC.Acum, perpendicularele in B si C pe BI respectiv CI se intersecteaza in I A. Cum patrulaterul BIC I A este inscriptibil rezulta ca I A apartine cercului de centru D si raza r=DI=DB=DC si D I A=r. QEDRevenim la problema si notam cu F intersectia dreptelor AB si CD si cu O1 intersectia cercului circumscris triunghiului FAD cu dreapta FE .CAZUL 1 : Punctul F si dreapta AD sunt de aceeasi parte fata de BC.

Cum AE si DE sunt bisectoare exterioare in △FAD rezulta ca FE este bisectoarea interioara a unghiului ∢BFC si E este centrul cercului exinscris in △FAD corespunzator ∢F.Conform lemei de mai sus O1 este centrul cercului ce trece prin A , D ,E si O1 A=O1D=O1E . (1)

Girban Alexandru

Din (1) obtinem △O1 AD isoscel si ∢O1 AD=∢O1DA . Cum AO1DF este inscriptibil ∢O1 AD=∢O1DA=∢O1FA=∢O1FD (2)Patrulaterul ABCD este inscriptibil si atunci ∢FAD=∢FCB(3)Folosind (2) si (3) putem scrie :∢FAO1=∢FAD+∢DAO1=∢BCF+∢EFC=∢BEF. De aici rezulta ca ABEO1 este inscriptibil si folosind (1) : ∢ ABO1=∢O1BE. Asadar BO1 este bisectoarea unghiului ∢ ABC si atunci O1 este centrul cercului inscris in △FBC . Fie H ,G, I punctele de tangenta ale acestui cerc cu laturile triunghiului △FBC . Atunci O1G=O1H si cum O1 A=O1D rezulta ca △O1HA≡O1GD (I.C.) si atunci DG=AH.(4)Dar BC=BI+ IC=BH +CG=AB+AH +DC−DG=AB+DC+(AH−DG). (5)Din (4) si (5) rezulta BC=AB+DC . QEDCAZUL 2 : Punctul F si dreapta AD nu sunt de aceeasi parte fata de BC.

Atunci punctul E va fi centrul cercului inscris in triunghiul △FAD si conform lemei O1 este centrul cercului ce trece prin A , E si D ceea ce inseamna ca triunghiurile △O1 AE si △O1 ED sunt isoscele (6).Din inscriptibilitatea lui ABCD si AFDO1 este inscriptibil :

∢BAD=∢BCF si ∢O1 AD=∢O1FD si prin adunare se obtine ∢BAD+∢O1 AD=∢BCF+∢O1FD , adica ∢O1 AB=∢BCF+∢O1FD=∢BEF (unghi ext. In △EFC ).

In concluzie EBAO1 este inscriptibil si ∢O1BE=∢O1 AE=∢O1EA=∢O1BA - am folosit si (6).BO1 este asadar bisectoarea unghiului ∢CBA exterior △FBC , ceea ce inseamna ca O1 este si centrul cercul exinscris al △FBC corespunzator lui F. Acum fie I ,G , H perpendicularele din O1 pe BC ,FC ,FB .Cum O1H=O1G tinand cont si de (6) rezulta △O1HA≡O1GD si atunci DG=AH Prin urmare BC=BI+ IC=BH +CG=AB+AH +DC−DG=AB+DC+( AH−DG )=AB+DC

QED

Girban Alexandru