Modelarea deciziilor nanciar-monetareTitular seminar: Virgil Damian

Capitolul 4: Teoria portofoliului

Remarca preliminara: Orice vector este considerat vector coloana.

4.1 Generalitati

4.1.1 Denitia portofoliului

Portofoliul P va considerat vectorul coloana xP = (x1; x2; :::; xn)>, unde xi, pentru i 2 f1; :::; ngnoteaza ponderea investitiei n activul i. Evident, componentele xi respecta conditia de pondere:

nXi=1

xi = 1: (1)

Daca xi < 0 vom considera pozitie short pe activul i (en. short selling). Notatie: e = (1; 1; 1; :::; 1)>. Atunci relatia (1) poate scrisa vectorial sub forma1

x>P e = (x1; x2; :::; xn)>

0BBB@11...1

1CCCA =nXi=1

xi = 1: (2)

Observatie: x> e> = e> x = 1, unde am folosit faptul ca dacaM;N 2Mn (R), atunci (M N)> =N> M>.

4.1.2 Rentabilitatea asteptata a activului i

Rentabilitatea unui activ (notat generic i) se calculeaza dupa formula

R(1)i =

P(1)i P (0)i +D(1)i

P(0)i

; (3)

unde P (0)i si P(1)i noteaza pretul prezent (la momentul 0), respectiv viitor (la momentul 1) al activului i, iar

D(1)i dividentul platit n viitor. Deoarece P

(1)i si D

(1)i sunt valori asteptate (medii ale unor valori viitoare),

R(1)i este variabila aleatoare. Formula de calcul a renatbilitatii astepate a activului i se calculeaza la

momentul initial din relatia (3):

E(0)hR(1)i

i=E(0)

hP(1)i

i P (0)i + E(0)

hD(1)i

iP(0)i

; (4)

unde E(0) [] noteaza media unei variabile aleatoare (sperata sa matematica) calculata la momentul de timpinitial (notat 0).

Notatie: = (1; 2; :::; n)> va desemna vectorul rentabilitatilor asteptate, unde i = E(0)hR(1)i

inoteaza rentabilitatea asteptata a activului i.

1Utiliznd regula de nmultire a vectorilor data de produsul scalar canonic pe Rn: daca x = (x1; x2; :::; xn)> si y =(y1; y2; :::; yn)

> sunt doi vectori ai spatiului euclidian Rn, atunci produsul lor scalar (canonic) va

x> y =nXi=1

xiyi:

1

4.1.3 Varianta rentabilitatii activului i

Varianta rentabilitatii activului i se calculeaza cu formula

2inot:= E(0)

hR(1)i E(0)

hR(1)i

ii2;

iar riscul asociat acestuia va i =p2i .

4.1.4 Rentabilitatea asteptata a portofoliului P

Rentabilitatea portofoliului P format din cele n active considerate (ca variabila aleatoare) este

R(1)P = x1 R(1)1 + x2 R(1)2 + :::+ xn R(1)n ;

iar rentabilitatea asteptata a acestuia se va calcula la momentul initial dupa formula

Pnot:= E(0)

hR(1)P

i= x1 E(0)

hR(1)1

i+ x2 E(0)

hR(1)2

i+ :::+ xn E(0)

hR(1)n

i=

nXi=1

xi i: (5)

Am obtinut, prin urmare,P = x

>P = > xP : (6)

Formula (6) reprezinta forma vectoriala a formulei (5).

4.1.5 Varianta rentabilitatii portofoliului P

Varianta rentabilitatii portofoliului P se calculeaza uzual, folosind denitia studiata la cursul de probabilitati:

2Pnot:= VAR

hR(1)P

i= VAR

hx1 R(1)1 + x2 R(1)2 + :::+ xn R(1)n

i=

nXi=1

x2i2i + 2

nXi;j=1i) si 1 este simetrica. Notatie: i;j va nota coecientul de corelatie dintre rentabilitatea activului i si cea a activului j,

i;jnot:= CORR

hR(1)i ; R

(1)j

i=

COVhR(1)i ; R

(1)j

in

VARhR(1)i

iVAR

hR(1)j

io 12

=i;jq2i 2j

=i;ji j 2 [1; 1] :

De remarcat cai;j = i;j i j : (8)

Observatie: Din formula (8) rezulta ca matricea poate descompusa sub forma

=

0BBBBB@1 0 0 00 2 0 00 0 3 0...

......

. . ....

0 0 0 n

1CCCCCA| {z }

not:= S

0BBBBB@1 1;2 1;3 1;n2;1 1 2;3 2;n3;1 3;2 1 3;n...

......

. . ....

n;1 n;2 n;3 1

1CCCCCA| {z }

not:= M

0BBBBB@1 0 0 00 2 0 00 0 3 0...

......

. . ....

0 0 0 n

1CCCCCA| {z }

not:= S

;

deci = S M S.

2

n raport cu matricea varianta-covarianta, varianta rentabilitatii asteptate a protofoliului P va

2P = x>P xP : (9)

Formula (9) reprezinta forma vectoriala a formulei (7).

Mai mult, covarianta dintre rentabilitatea portofoliului P si rentabilitatea unui alt porto-foliu Q se calculeaza cu formula

P;Qnot:= COV

hR(1)P ; R

(1)Q

i= x>P xQ; (10)

unde portofoliul Q este denit n mod similar cu P .

4.2 Frontiera Markowitz

Se doreste rezolvarea urmatoarei probleme de optim cu doua restrictii:8>:minxP

12

2P ; unde

2P = f (xP ) = x

>P xP ;

x>P = x>P = P ; unde P este xat (dat),x>P e = e x>P = 1:

(11)

Rezolvarea problemei (11) se bazeaza pe metoda multiplicatorilor a lui Lagrange. Solutia problemei vagenera structura investitiei optime n cele n active:

xP =1

D

(AP B) 1+ (C BP ) 1e

2Mn;1 (R) ; (12)unde scalarii A;B;C si D sunt deniti prin8>>>>>:

Anot:= e> 1 e 2 R;

Bnot:= e> 1 = > 1 e 2 R;

Cnot:= > 1 2 R;

Dnot:= A C B2 2 R:

(13)

Valoarea de optim a functiei obiectiv,2P

= f (xP ), va 2P not:

=conventie

2P =1

D

A2P 2BP + C

= ' (P ) : (14)

Evident, riscul portofoliului P va P =p2P . Reprezentarea graca a functiei ' (P ), atunci cnd P

variaza, este o hiperbola:

3

FrontieraMarkowitz

CML

V

M

W

Rf

Riscul asociat

Rentabilitateasteptata

Fig. 1: Frontiera portofoliilor realizabile

Orice portofoliu situat pe reprezentarea graca a curbei ' va caracterizat de indicatorii structura,rentabilitate asteptata, risc:

[P ] :

8>>>:structura: xP =

1

D

(AP B) 1+ (C BP ) 1e

;

rentabilitate asteptata: P data (xata, tintita),varianta: 2P =

1

D

A2P 2BP + C

;

(15)

cu A, B, C si D dati prin relatiile (13). Dintre toate portofoliile posibile, doar cele situate pe ramurasuperioara a hiperbolei vor luate n considerare si considerate eciente. Aceasta ramura se numeste nliteratura de specialitate frontiera Markowitz.

n general, pentru doua portofolii, E si F , situate pe ramura superioara a hiperbolei care descriefrontiera Markowitz (vezi gura 1),

COVhR(1)E ; R

(1)F

i=

1

A+A

D [E V ] [F V ] > 0: (16)

Formula (16) reprezinta explicitarea formulei (10), atunci cnd P (notat n (16) cu E) si Q (notat n(16) cu F ) sunt eciente.

Portofoliul Z, numit conjugat al lui P , este acel portofoliu pentru care COVhR(1)P ; R

(1)Z

i= 0. Rentabil-

itatea acestuia este

Z = E(0)hR(1)Z

i=BP CAP B

= VP WP V

: (17)

4.2.1 Portofolii fundamentale pe frontiera Markowitz

Portofoliul de risc minim global este notat uzual cu V (sau PVMIN ) si este caracterizat de:

[V ] :

8>>>>>>>:structura: xV =

1

A

1e;

rentabilitate asteptata: Vnot:= E(0)

hR(1)V

i=B

A,

varianta: 2V =1

A:

(18)

4

Daca se traseaza tangenta la frontiera Markowitz, ce trece prin originea planului nanciar risc-rentabilitate,punctul de tangenta se noteaza uzual cu W si constituie un portofoliu ecient. Portofoliul W este acelportofoliu (ecient) care asigura cea mai mare rentabilitate daca pe piata nu exista posibilitatea de a efectuaoperatiuni de short-selling. Acesta este caracterizat de:

[W ] :

8>>>>>>>:structura: xW =

1

B

1;

rentabilitate asteptata: Wnot:= E(0)

hR(1)W

i=C

B,

varianta: 2W =C

B2:

(19)

Observatie: Ne propunem sa evaluam V;W . Cu formula (10), obtinem succesiv:

V;W = x>V xW =

1

A

1e

>

1

B

1

=

1

A

1

B|{z}scalari

e> 1 | {z }In

1 = 1A

1

Be> 1 | {z }

=B

=1

A:

Am obtinut, n nal,

V;W =1

A: (20)

Mai mult, se poate demonstra ca

V;P =1

A; (21)

unde P este orice portofoliu (ecient).

Se observa ca daca n formula (16) se considera E = V , atunci sunt recuperate formulele (20).si (21),deci (16) reprezinta o generalizare a acestora.

4.2.2 Teorema lui Tobin (1958)

Enuntul teoremei: Structura oricarui portofoliu (ecient) se poate determina cu ajutorul combinatieiliniare convexe a structurilor celor doua portofolii fundamentale, V si W :

exista P 2 [0; 1] astfel nct xP = P xV + (1 P ) xW : (22)

Observatie: Relatia (22) ramne valabila inclusiv la nivelul rentabilitatilor asteptate corespunzatoarecelor trei portofolii:

exista P 2 [0; 1] astfel nct P = P V + (1 P ) W ; (23)de unde rezulta

P =W PW V

=P WV W

: (24)

Observatie importanta: n aplicatii, teorema lui Tobin reprezinta alternativa n calculul structuriiunui portofoliu (ecient), atunci cnd matricea nu este data.

Putem, acum, demonstra usor, relatia (21):

V;P = x>V xP =

1

A

1e

> [P xV + (1 P ) xW ]

=1

A2 P e> 1 e+ 1

AB e> (1 P ) 1

= P 1A

+1

ABB 1

AB P B = 1

A:

Asadar, covarianta oricarui portofoliu (ecient) cu portofoliul de varianta minima absolutaare valoarea invarianta, 1A .

5

4.2.3 Cazul unei economii n care exista activul fara risc

Sa presupunem ca un investitor doreste sa si investeasca capitalul n cele n active cu risc si ntr-un activ fararisc existent (tranzactionat) pe piata, notat cu f , a carui rentabilitate este notata Rf . Binenteles, punctulde coordonate (0; Rf ) se va aa sub nivelul V (gura 1).

Sa notam cu S portofoliul format din activele cu risc,S

: xS = (x1; x2; :::; xn) (25)

si cu x0 ponderea investita n activul fara risc. Sa consideram S portofoliul format din activul fara risc sicele n active riscante,

[S] : xS = (x0; x1; x2; :::; xn) = (x0; xS) :

Prin urmare, conditia de portofoliu se transforma n:

x0 +

nXi=1

xi = 1() x0 + x>S e = x>S e = 1: (26)

Rentabilitatea asteptata a investitiei va :

Snot:= E(0)

hR(1)S

i= x0 Rf + x1 E(0)

hR(1)1

i+ x2 E(0)

hR(1)2

i+ :::+ xn E(0)

hR(1)n

i(27a)

= x0 Rf +nXi=1

xi i = x0 Rf + x>S not:= x>S f ; (27b)

unde f = (Rf ; 1; 2; :::; n)> 2Mn+1;1 (R). Am obtinut:

S = x>S f = >f xS ; (28)

echivalentul relatiei (6). Evident, riscul investitiei nu se modica prin adaugarea unui activ fara risc,

2S = x>S xS = 2P ; (29)

unde P este un portofoliu (ecient) format numai din active riscante.Noua problema de optimizare va :8>:

minxS

12

2S ; unde

2S = f (xS) = x

>S xS = 2P ;

x>S f = >f xS = S ; unde S este xat (dat),x>S e = e x>S = 1;

(30)

echivalentul problemei de optimizare (11).

4.2.3.1 Portofoliul pietei

Din optimizare rezulta o noua frontiera de portofolii eciente, frontiera CML (en. Capital Market Line).Aceasta va dreapta tangenta din Rf la frontiera Markowitz (vezi gura 1). Frontiera CML si frontieraMarkowitz au un singur punct n comun, acel portofoliu ecient de pe CML format doar din active cu risc,x0 = 0. Acest punct se numeste portofoliul pietei si se noteaza uzual cu M . Andu-se (si) pe frontieraMarkowitz, acestuia i pot aplicate formulele specice. Se obtine, astfel:

[M ] :

8>>>>>>>>>>>:

structura: xM =1

B ARf

1 [Rf e] 2Mn;1 (R) ;

rentabilitate asteptata: M = E(0)hR(1)M

i=C BRfB ARf ;

varianta: 2M =AR2f 2BRf + C

(B ARf )2:

(31)

Desigur, portofoliului M i poate aplicata teorema lui Tobin. Rezulta:

[M ] : xM = M xV + (1 M ) xW , unde M = W MW V

: (32)

Formula (32) este utila n aplicatiile ce nu dau matricea .

6

Observatie importanta: Spre deosebire de portofoliile situate pe frontiera Markowitz, celor de pefrontiera CML nu li se poate aplica teorema lui Tobin n forma enuntata anterior (deoarece portofoliileV si W nu apartin frontierei CML) Aceasta se adapteaza tinnd cont de puncte ce apartin drepteiCML, e.g. (0; Rf ) si (M ; M ):

Mn+1;1 (R) 3 xS = S (x0;0n;1) + (1 S) (0; xM ) , pentru S 2 CML si S 2 [0; 1] ; (33)

unde x0 se calculeaza conform formulei (35), iar (x0;0n;1) ; (0; xM ) 2 Mn+1;1 (R), cu 0n;1 vectorulcoloana nul al spatiului Rn. Formula (33) poate trecuta la nivelul rentabilitatilor:

S = S Rf + (1 S) M : (34)

4.2.3.2 Portofolii pe frontiera CML

Structura unui portofoliu situat pe frontiera CML va :

[S] :

8Q xM

2M2 R; (39)

daca se cunoaste matricea sau folosind modelul CAPM.Daca i > 1 (sau Q > 1), activul i (sau portofoliul Q) este mai agresiv dect piata sau reactioneaza

mai puternic dect piata - adica, la o modicare a rentabilitatii pietei cu o unitate, rentabilitatea activuluii (sau a portofoliului Q) se modica cu mai mult de o unitate.Daca i < 1 (sau Q < 1), activul i (sau portofoliul) este mai putin agresiv dect piata sau reactioneaza

mai slab dect piata - adica, la o modicare a rentabilitatii pietei cu o unitate, rentabilitatea activului i (saua portofoliului Q) se modica cu mai putin de o unitate.

2Masura a riscului sistematic

7

Coecientul de corelatie al activului i cu portofoliul pietei este:

i;M = i Mi

; (40)

iar al portofoliului Q cu portofoliul pietei:

Q;M = Q MQ

: (41)

4.2.4 Modelul CAPM

CAPM (en. Capital Assets Pricing Model) este un model de evaluare a activelor tranzactionate pe o piata(si a portofoliilor de active) care leaga excesul de rentabilitate al portofoliului pietei peste rentabilitatea fararisc (M Rf ) si volatilitatea activului (sau al portofoliului) i de excesul de rentabilitate al activului (sauportofoliului) peste rentabiliatea fara risc (i Rf ):

i = E(0)hR(1)i

i= Rf + i [M Rf ] : (42)

Tinnd cont de relatia (38), modelul CAPM (42) se scrie

i = Rf + i i;M ;unde

not:=

M RfM

reprezinta prima de risc.3

4.3 Aplicatii

Exercitiul I Presupunem o piata de capital pe care sunt tranzactionate trei active cu risc (i 2 f1; 2; 3g).Matricea de varianta-covarianta a activelor,respectiv inversa acestei matrice se prezinta astfel:

=

0@ 0; 0400 0; 0066 0; 02080; 0484 0; 00570; 0676

1A , respectiv, 1 =0@ 30; 2013 3; 0506 9; 034621; 1780 0; 8533

17; 6450

1A :Vectorul rentabilitatilor asteptate n cazul celor trei active este:

=

0@ 0; 15000; 18000; 2300

1A :Presupunem un investitor rational care urmareste obtinerea unei rentabilitati cu risc minim. Pornindde la aceasta ipoteza sa se determine:

(a) structura si riscul portofoliului ecient (optim Pareto) P , care asigura o rentabilitate , cu riscminim;

(b) riscul portofoliilor pentru care investitorul rational xeaza rentabilitatile astfel: 1 = 0; 10, 2 =0; 15, 3 = 0; 20, 4 = 0; 25. Sa se reprezinte grac punctele n planul nanciar si sa se comentezerezultatele obtinute.

(c) structura portofoliului cu risc minim global, V ;

(d) riscul si rentabilitatea portofoliului pentru care tangenta dusa la frontiera Markowitz trece prinoriginea axelor;

(e) Presupunem ca pe piata de capital exista un portofoliu Z, numit conjugat al unui portofoliului P ,situat pe frontiera Markowitz cu rentabilitatea 20%. Sa se determine rentabilitatea, riscul si structuraacestui portofoliu (Z).

3Prin urmare, pentru ecare activ, prima de risc este proportionala cu i i;M i si nu cu ntregul risc, i, al activului.

8

Exercitiul II Un investitor rational poate sa formeze un portofoliu ecient P , utiliznd fondurile mutualeV si W caracterizate prin

[V ] :

8;

rentabilitate asteptata: V = 17; 57%;risc: V = 13; 05%;

respectiv,

[W ] :

8;

rentabilitate asteptata: W = 18; 51%;risc: W = 13; 39%:

(a) Sa se determine ponderea investitiei n V si W astfel nct investitorul sa obtina o rentabilitateegala cu 20%.

(b) Sa se calculeze covarianta dintre V si W , respectiv dintre V si P , portofoliul de la punctul (a).

Exercitiul III Pe o piata coteaza un numar de patru active nanciare. Se cunosc urmatoarele informatii:

=

0; 1700 0; 2200 0; 1500 0; 1300>, 1 = 0; 2832, 2 = 0; 3445, 3 = 0; 2455, 4 = 0; 1825;

A = 103; 88791 B = 15; 02409 C = 2; 23887

xV =

0; 37501 0; 02693 0; 10209 0; 54983 > ; xW = 0; 33255 0; 03573 0; 12504 0; 50668 > :Se cer:

(a) riscurile V , W si rentabilitatile V si W ;

(b) riscul si rentabilitatea portofoliului P situat pe frontiera Markowitz stiind ca rentabilitatea asteptataeste P = 22%;

(c) structura si rentabilitatea portofoliului Q situat pe frontiera Markowitz stiind ca riscul asumat deinvestitor este Q = 34; 45%;

(d) stiind ca Rf = 8%, sa se calculeze rentabilitatea, riscul si structura portofoliului pietei M ;

(e) sa se calculeze rentabilitatea si structura portofoliului S, situat pe CML stiind ca S = 34; 45%;

(f) sa se calculeze coecientii de volatilitate 1, 2, 3, 4 si coecientii de corelatie 1;M , 2;M , 3;M ,4;M .

(g) sa se calculeze indicatorul de senzitivitate

@M@Rf

;

unde M = M (Rf ).

Exercitiul IV Pe o piata coteaza 2014 de active nanciare cu risc si un activ fara risc. Se estimeaza caecuatia frontierei Markowitz este:

2P = 66; 2392P 15; 529p + 0; 928:

Rentabilitatea activului fara risc este Rf = 9%.

(a) Sa se deteremine rentabilitatea asteptata si riscul portofoliului V .

(b) Sa se determine riscul si structura pe cele doua fonduri mutuale V si W pentru un portofoliu de pefrontiera Markowitz care are rentabilitatea asteptata P = 12%.

(c) Cum se modica structura (pe cele 2014 active cu risc) portofoliului de la punctul (b) daca riscuriletuturor activelor cresc cu 10%?

(d) Sa se determine riscul si structura pe cele doua fonduri mutuale Rf si M pentru un portofoliu depe CML care are rentabilitatea asteptata S = 12%.

9

(e) Un investitor are functia de utilitate

u; 2

=

22;

unde parametrul cuantica aversiunea la risc a investitorului. Sa se determine rentabilitatea asteptataa portofoliului de pe frontiera Markowitz care va ales de catre investitor. Ce se ntampla daca !1? Explicatie.

Exercitiul V Pe o piata coteaza trei active. Se cunosc:

xV =

0; 2664 0; 2281 0; 5055>; xW =

0; 2870 0; 2949 0; 4180

>;

2V = 0; 0069; =

0; 1700 0; 1400 0; 1000>:

(a) Sa se calculeze A, B, C si D.

(b) Sa se calculeze xP si P ale unui portofoliu situat pe frontiera Markowitz stiind ca P = 17%.Stiind ca 1 = 27%, sa se calculeze P1 si sa se faca un scurt comentariu nanciar.

(c) Stiind ca M = 13; 88%, sa se calculeze M , xM si Rf .

(d) Sa se calculeze xP1 si P1 ale unui portofoliu situat pe CML, stiind ca P1 = 17%. Sa se compareP , P1 si 1. Scurt comentariu.

Exercitiul VI Pe o piata coteaza un numar de trei active. Se cunosc:

xV =

0; 2871 0; 0585 0; 6545>; xW =

0; 2771 0; 1029 0; 6199

>;

W = 17; 035%, V = 16; 67% si Rf = 10%.

Se cer:

(a) structura si riscul portofoliului pietei M ;

(b) stiind ca M = 18; 38%, sa se calculeze structura portofoliului P situat pe CML cu P = 22; 98%.

Exercitiul VII Pe o piata coteaza patru active cu risc. Pentru frontiera Markowitz se cunosc urmatoareleelemente:

xV =

0; 2191 0; 3695 0; 3028 0; 1086>; xW =

0; 2328 0; 3515 0; 2968 0; 1185

>;

V = 13; 46% W = 13; 59% V;W = 0; 0014:

(a) Sa se determine structura si riscul portofoliului P cu rentabilitatea 15%.

(b) Sa se determine senzitivitatea riscului portofoliului P n raport cu rentabilitatea sa.

(c) Sa se determine n ce interval trebuie sa se situeze rentabilitatea lui P astfel nct portofoliul saaiba o componenta, respectiv doua negative. Exista valori pentru care P are trei componente negative?

(d) Sa se determine riscul, rentabilitatea si structura lui M daca Rf = 7%.

(e) Sa se precizeze n ce interval trebuie sa se situeze Rf astfel nctM sa aiba o componenta sau douanegative.

Exercitiul VIII Se considera o piata pe care coteaza trei active. Matricea de varianta-covarianta si inversasa sunt:

=

0@ 0; 0802 0; 0683 0; 02090; 1187 ?0; 0603

1A , respectiv, 1 =0@ 25; 7969 14; 1377 4; 959616; 5251 ?

18; 8368

1A :n plus, se stie ca

Rf = 8% V = 15; 48% =

0; 1700 0; 2200 0; 1400>:

10

(a) Sa se calculeze carcateristicile portofoliului de pe frontiera Markowitz care asigura o rentabilitatede 18; 5%.

(b) Sa se determine structura, rentabilitatea si volatilitatea unui portofoliu de pe CML cu riscul Q =8; 2%.

(c) Ca urmare a cresterii pietei, toate rentabilitatile activelor cresc cu 10%. Sa se determine modul ncare se modica rentabilitatea, riscul si structura portofoliilor V si M .

Exercitiul IX Pe o piata coteaza trei active. Se cunosc:

=

0@ 0; 1123 0; 0840 0; 02290; 1657 0; 01600; 0615

1A , respectiv, 1 =0@ 15; 1367 7; 3123 3; 732216; 5251 0; 1926

17; 5984

1A ;1 = 0; 1700, 2 = 0; 2200, 3 = 0; 1400, Rf = 8%:

(a) Sa se calculeze xV , V , V , xW , W , W , xM , M , M .

(b) Sa se calculeze indicatorii de la punctul (a) pentru cazul n care 1, 2, 3 si Rf cresc cu 20%.

(c) Sa se calculeze indicatorii de la punctul (a) pentru cazul n care 1, 2, 3 cresc cu 20%.

(d) Pe baza datelor initiale, sa se calculeze xP , P si P stiind ca P = 25%, iar P este situat pe:

(d1) frontiera Markowitz,

(d2) frontiera CML.

11