1. CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial i geometrieanalitic1.1. Vectori n plan1.1.1. e!ini"iiOmrime este#calardac pentru determiarea ei este suficientindicarea unui singur numr.Omrime estevectorialdac este determinat de urmtoarele treielemente: mrime, direc"ie i #en#Se numete direc"iea drepteidmulimea format din dreapta d i toatedreptele paralele cu ea.Se numete direcia segmentului [ ] $ A % A$ , direcia dreptei A$.Fie dreaptadpecare sefixeazdou puncte( ) $ A $ % A .Puncteledrepteidpot fi parcurse de la Aspre $(un sens de parcurgere) sau de la $spre A(al doilea sens de parcurgere). Prin aceast metod sau definit dousensuri pe dreapta d, numite #en#urile dreptei.Parcurgerea unui segment [ ] $ A % A$ se poate face de la A spre $ saude la $ spre A. !stfel pe segmentul [ ] A$ sunt definite dou sensuri (opuse).O perec"e( ) P $ % A se numete #egment orientatsau vector legatise noteaz A$, unde A este originea, iar $ este e&tremitatea. #ac$ A dreaptadeterminatdepuncteleAi$senumetedreapt#uport.$ectorul AA se numete vector nul.#oi %ectori legai nenuli A$ i C au aceeai direcie dac dreptelelor suport sunt paralele sau coincid.#acP% C % $ % A sunt patrupunctenecoliniare, %ectoriiA$iC au acelai sens dac au aceeai direcie i punctele $ isunt &n acelaisemiplan determinat de dreapta AC.Se numete lungimea sau norma %ectorului A$ numrul real i poziti%care reprezint distana d'A%$(&ntre punctele Ai$i se sim'olizeaz prinA$.#oi %ectori legaiA$iCsunt egali daci numai dacA)Ci$).#oi %ectori legai se numesc ec*ipolen"ii se noteaz A$( Cdacau aceeai direcie, acelai sens i acelai modul.Se numetevector li+er PVmulimea tuturor %ectorilor legaiec"ipoleni cu un %ector legat dat a. PV a. ()u alte cu%inte, un %ector esteli'er dac originea sa poate fi aleas &n mod ar'itrar &n plan).Se spune c %ectorul li'er A$ este determinat de %ectorul legat A$ sauc%ectorullegatA$este unreprezentantal %ectoruluili'erA$iacestlucru se reprezint prin A$ A$. #ac A)$, atunci %ectorul li'er AA se numete vector nul, notat ,, demodul ,, direcie i sens ar'itrar.#oi %ectori li'eri sunt egali dac au: aceeai direcie(adicpot fi situai peaceeai dreaptsuport saupedrepte suport paralele), acelai sens, acelai modul.$ectorul li'er u de norm 1 se numete ver#or.Se consider o dreapt & - &pe care se fixeaz punctul O(originea). *norigine ca punct de aplicaie, se consider un %ersor situat pe dreapt, notat cu1 i % OA i , reprezent+nd%ersorul dreptei. Prinfixarea %ersorului pedreapt, aceastade%inea&.!stfel peaceastdreaptexistoorigine, unsens de parcurgere i o unitate de msur a lungimilor.#oi %ectori se numesc ortogonali dac direciile lor sunt perpendiculare.#oi %ectori care au aceeai direcie i acelai modul, dar sensuri opuse senumesc vectori opui. #ac + % a sunt %ectori opui, atunci se scrie a + .Pentru A$ i $A a%em A$ $A Proprietate. Fiind dat un punct O &n plan, PV a exist un unic punct/ &n plan, astfel &nc+t a O/ . 1.1.0. Opera"ii elementare cu vectori li+eri1.1.0.1. Adunarea a doi vectoriSuma a doi sau mai muli %ectori este tot un %ector, care se poate o'inecu a,utorul unei construcii geometrice efectuate asupra acestora.a( Adunarea a doi vectori dup regula paralelogramuluiFiedoi %ectori li'eriPV + % ai+ O$ % a OA . Seconstruieteparalelogramul de laturi OA i O$: O$CA (Fig.-). a+CBOAa+cFig. 1$ectorulc, dereprezentantOC, (carepornetedinorigineacomun)reprezint prin definiie #uma %ectorilor a i + i se noteaz prin + a c + .!ceast regul prin care sa o'inut %ectorul sum se numeteregulaparalelogramului.+( Adunarea a doi vectori dup regula triung*iului.Se poate a,unge la acelai rezultat cua,utorul unei alte construcii,ec"i%alente din punct de %edere geometric.Fie aceiai %ectori li'eriPV + % a(Fig..). Se consider+ AC % a OA reprezentani ai %ectorilor a i, respecti% +. a+COAa+cFig. 2!tunci %ectorul sum a %ectorilor+ % aeste %ectorulcde reprezentantOC.!ceast regul de adunare a doi %ectori se numete regula triung*iului./ste uor de %zut c %ectorul sum ceste %ectorul care 0&nc"ide1 conturulformat de %ectoriiai+, a%+nd originea &n originea unuia dintre %ectori iextremitatea &n extremitatea celuilalt %ector. /ste e%ident c triung"iulconstruit prinregulatriung"iului este,umtateaparalelogramului construitprin regula paralelogramului.O+#erva"ie: #ac, c + a + +, atunci cu%ectoriic % + % ase poateforma un triung"i.c( /etoda pentru adunarea a n vectori 'regula poligonului(.#actre'uieadunai trei (saumai muli) %ectori li'eri % c % + % aseaplic succesi% regula triung"iului.#in extremitatea lui a se duce un %ector egal cu +, iar din extremitateaacestui al doilea %ector se duce un %ector egal cu c (Fig.2). !stfel sa formatuncontur poligonal din%ectori. $ectorul#care0&nc"ide1conturul (adicuneteorigineaprimului %ectorcuextremitateaultimului %ector)reprezintsuma %ectorilor dai: c + a # + + .3egula de o'inere a sumei mai multor %ectori se numeteregulapoligonului.Fig. 3a+ca+c#O+#erva"ie. *n cazul &n care conturul de %ectori se &nc"ide, astfel &nc+textremitatea unuia s coincid cu originea urmtorului %ector, suma %ectorilorreprezint %ectorul nul.1.1.0.0. Propriet"i ale adunrii vectorilor li+eri n plan. A1. Adunarea vectorilor e#te a#ociativ '1ig.2(% adic: ( ) ( ) V + + + + c % + % a % c + a c + a.Fig. 4+ a +a+c( ) ( ) c + a c + a + + + +c + +A0. Adunarea vectorilor e#te comutativ '1ig. 3(%+ a +a + +aa++Fig.5adic: V + + + % a % a + + a.A4. Vectorul nul , e#te elementul neutru pentru adunare '1ig. 5(%a,a , a +Fig. 6adic: V + + a % a a , , aA2.Pentru orice %ectorV a, exist( ) V a, pentru care( ) ( ) , a a a a + + (Fig. 4)a,a Fig. 7( ) a se numete opusul %ectorului a.1.1.0.4 6cderea vectorilor3ezultatul scderii a doi %ectori este tot un %ector, care se poate o'ine prinuna din metodele urmtoare:a( /etoda nt7i.Fie V + % ai+ O$ % a OA . !tunci diferena loreste %ectorul&definit prin:+ a & . #e aici rezult ca + & +(deci%ectorul & adunat cu %ectorul + are ca rezultat %ectorul a). BAOa+&Fig.8$ectorul diferen & se construiete unind extremitatea %ectorului scztorcuextremitatea%ectorului desczut (areoriginea&nextremitatea%ectoruluiscztor i extremitatea &n extremitatea %ectorului desczut. Fig. 5).$ectorul legat$Ase poate exprima &n funcie de %ectorii legaiO$iOA ai originii i extremitii %ectorului $A astfel: O$ OA $A .+(/etodaadoua.#iferena%ectorilor,+ a , sepoatetransforma&nsum scriindosu' forma( ) + a +, caz &n care se poate aplica regulaparalelogramului. (Fig. 6)CC BABO++ + a a+ a + a +Fig.9*n paralelogramul O!)7, diagonala OC este %ectorul + a +, iar cealaltdiagonal($A)este%ectorul diferen+ a (OCA$esteparalelogram,C O8$A).1.1.0.2 9nmul"irea unui vector cu un #calare!ini"ie.Fie, a % a % , V. Produsul dintrenumrul real:i%ectorul li'er a este %ectorul notat a a%+nd: aceeai direc"ie cu a8 aceeai acelai #en# cu a, dac , > 8 #en# contrar lui a, dac , < 8 modulul egal cu produsul dintre i modulul %ectorului a, adic:a a .#ac , #au , a atunci , a .Propriet"i ale nmul"irii unui vector cu un #calarI1. ( ) V + + + % a % % + a + a.(*nmulirea cu scalari este distri'uti% fa de adunarea %ectorilor).I0. ( ) V + + a % % % a a a.(*nmulirea cu scalari este distri'uti% fa de adunarea scalarilor).I4. ( ) ( ) V a % % % a a.(!sociati%itatea scalarilor).I2. V a % a a 1.(9umrul - este element neutru pentru &nmulirea cu scalari).1.1.0.3 Coliniaritatea a doi vectorie!ini"ie.#oi %ectori li'eri nenuli se numesc coliniaridac au aceeaidirecie.*n caz contrar se numesc necoliniari.Se admite c %ectorul nul este coliniar cu orice %ector.Teoremdecoliniaritate.#oi %ectori nenuliV + % asunt coliniaridac i numai dac exist ; astfel &nc+t + a .O+#erva"ii.-) #ac A,$i C sunt trei puncte, atunci ele sunt coliniare dac i numai dac%ectoriiA$iACsunt coliniari, adicdacexist; pentrucareAC A$ ..) #ac%ectoriiA$iCsunt coliniari, atunci drepteleA$iCsuntparalele sau coincid (i reciproc).2) $ectorii nenuli + % a sunt coliniari dac i numai dac exist %, nenulesimultan, astfel &nc+t, + a + . #ac+ % asunt necoliniari, atunci, , + a + .1.1.4. o +a=.FieV + % adoi %ectori necoliniari fixai, iarV uun%ectorar'itrar(Fig. -:).a+ua+ uBAOM M2M1Fig.10#ac+ % asunt necoliniari, atunci celedoudireciipecareledefinescsunt distincte. Se consider reprezentaniia OA ,+ O$iu O/ .Prinpunctul ;, extremitatea %ectoruluiO/%se duc paralele laO$i,respecti% OA care intersecteaz pe OA &n /1 i pe O$ &n /0. )onformregulii paralelogramului0 1O/ O/ O/ + . )um%ectoriiOA % O/1 i respecti% O$ % O/0 sunt coliniari, exist constantele reale x,y astfel &nc+t O$ ? O/ % OA & O/0 1 . adunarea este comutati%80( ( ) ( ) c + a c + a + + + + > adunarea este asociati%84( a a , , a + +

, este element neutru fa de adunare82( ( ) ( ) , a a a a + + > a este simetricul lui a83( ( ) ( ) a a G5( ( ) + a + a + + &nmulirea cu scalari este distri'uti% fa deadunarea %ectorilor8H( ( ) a a a + + &nmulirea cu scalari este distri'uti% fa deadunarea scalarilor85) a a 1 1.0.0.3. /odulului unui vectorli+ern#pa"iu. Ver#orii a&elordecoordonateFie%ectorul li'er( )4 0 1a % a % a a. ;odulul (lungimea)luiaestedatdeformula:a a a040001a + + .e!ini"ie: $ectorii li'eri( ) , % , % 1 i,( ) , % 1 % , A,( ) 1 % , % , Dse numescver#oriai axelor de coordonate. *n Fig. -6 sunt desenai reprezentanii%ectorilor i, A, D care au originea &n O.#eoarece 1 D A i , %ectorii li'eri i, A, D sunt unitari.zxyOFig. 19DAi1.0.0.5. $a=a canonica #pa"iului vectorialalvectorilor li+erdin#pa"iu i planSenoteazcu4Vmulimea%ectorilor li'eri dinspaiu, &mpreuncuoperaiile de adunare i &nmulire cu scalari definite anterior:( ) + a + % a % V V V4 4 4+ ,( ) a a % % V V4 4 .Teorem : !u loc urmtoarele afirmaii: 1(( ) + % % V4este un #pa"iu vectorialreal izomorf cu ( ) + % %4. *nconsecin 4 V dim4 .0({ } D % A % iformeazo'azcanonic&n 4V, numit+a=acanonicaacestui spaiu %ectorial.#ac ( )4 0 1a % a % a a, atunci are loc descompunerea:D a A a i a a4 0 1+ + Se noteaz cu0Vmulimea %ectorilor li'eri dinplan, &mpreun cuoperaiile de adunare i &nmulire cu scalari definite anterior:( ) + a + % a % V V V0 0 0+ ,( ) a a % % V V0 0 .Teorem : !u loc urmtoarele afirmaii: 1(( ) + % % V0este un #pa"iu vectorialreal izomorf cu ( ) + % %0. *nconsecin 0 V dim0 .0( { } A % i formeaz o 'az canonic &n0V, numit +a=a canonic a acestuispaiu %ectorial.2) 0V este un su'spaiu %ectorial al lui 4V.#ac ( )0 1a % a a, atunci are loc descompunerea: A a i a a0 1+ .1.0.0.H. Produ#ul #calar a doi vectori li+eri. Propriet"ile produ#ului#calar.e!ini"ie: Fiind dai doi %ectori li'eri &n spaiu nenuli 4V + % a , ung"iuldeterminat de aceti %ectori este ung"iul format de direciile lor, in&nd seamade sensul lor. (Fig. .:) a+a+Fig. 20Se %a folosi notaia ( ) + % a i con%enia c ( ) [ ] % , + % ae!ini"ie: Fie 4V + % a i ung"iul dintre acetia. Se numete produsscalar al lui a i + numrul real dat de:' , + #au , a pentru % ,, + % , a pentru % co# + a+ a.Pentru ( )4 0 1a % a % a a,( )4 0 1+ % + % + +%aloarea produsului scalar %a fi datde relaia: 4 4 0 0 1 1+ a + a + a + a + + .