PNS_-_Curs_2p1v2007-v2014

Prelucrarea numeric a semnalelor, Capitolul 2 Silviu Ciochina

1

2. SITEZA FILTRELOR UMERICE Proiectarea unui filtru numeric presupune parcurgerea urmtoarelor etape :

- Sinteza funciei de transfer ( )zH ce satisface condiiile impuse; - Alegerea unei structuri care realizeaz aceast funcie de transfer. Realizarea sa va

presupune cuantizarea coeficienilor la un numr finit de bii si efectuarea operaiilor aritmetice cu o precizie finit;

- Evaluarea efectelor generate de formatele finite de reprezentare a semnalelor si coeficienilor ( posibilitatea depirii capacitii registrelor, eliminarea prin scalare a acestei posibiliti, stabilirea definitiv a formatelor de reprezentare, zgomotul de cuantizare datorat operaiilor aritmetice, oscilaii datorate formatelor finite de reprezentare) .

2.1 Sinteza funciei de transfer pentru filtre RFI

2.1.1 Proprieti generale ale filtrelor RFI

Sunt caracterizate printr-o ecuaie cu diferene finite de forma :

=

=1

0

)()(

kk knxany (2.1)

Rezult o funcie de pondere

=

=1

0

)()(

kk knanh (2.2)

deci

=restin,0

1,0,)(

nanh n (2.3)

Funcia de transfer este prin urmare

{ }

=

==1

0

)(Z)(

k

kk zanhzH (2.4)

Filtrele RFI se caracterizeaz deci printr-o funcie de transfer polinomial, n

1z . Se spune c filtrul este de lungime (lungimea suportului funciei pondere) sau de ordin -1. Ne vom referi n cele ce urmeaz la cazul frecvent ntlnit cnd { } Rna (coeficienii filtrului sunt reali). n acest caz, zerourile funciei ( )zH vor fi reale, sau perechi complexe conjugate. Exist un singur pol, de ordinul -1, n origine, efectul sau


2

aprnd numai n ntrzierea introdus de filtru. O consecin imediat este c un filtru RFI este stabil, oricare ar fi coeficienii na . S vedem ce efect are un nul al funciei de transfer asupra caracteristicilor de frecven.

Vom considera o funcie de transfer cu un singur nul; 0,e j0 >= rrz ;

z

zzzzzH 0101)(

== (2.5)

n domeniul frecven

( ) )(1)()( == jjjj reeeHeH (2.6)

)cos(21)( 2 +== rrreeeH jjj (2.7)

( )( ))cos(1

)sin(tg

=

r

r (2.8)

Valorile extreme ale modulului sunt :

reH j += 1)(max

reH j = 1)(min

(2.9)

Se constat existena unui minim, pentru o frecven normat = . Acest minim este chiar zero, daca nulul se afl pe cercul unitar ( )1=r . Interpretarea geometric a acestei observaii rezulta din Fig.1.

r 1

Fig.1 n general, minimul va fi cu att mai pronunat cu ct nulul se afl mai aproape de cercul de raz unitate. Existena mai multor zerouri face ca efectele acestora s interacioneze. Ca urmare, este posibil ca unele zerouri, situate mai aproape de centrul cercului unitar, s nu mai genereze minime, iar minimele s apar la frecvene diferite de argumentele nulurilor.

ej- z0

Re z

Im z

ej

0z


3

Se poate simplu arta c efectul unui nul jer

z1'

0 = are asupra caracteristicii

amplitudine frecven, acelai efect c i nulul jrez =0 , cu excepia unui factor de scar

r

1. ntr-adevr,

r

rre

re jj

)cos(211 2 += (2.10)

O funcie de transfer de tip RFI avnd toate zerourile n interiorul cercului de raz unitate se numete funcie de faza minim. Pentru a justifica aceast denumire, putem lua ca exemplu

11)( += rzzH

sinjcos1)( j rreH += (2.11) Argumentul (faza) funciei de mai sus rezult din relaiile :

cos21

sin)(sin

2 rr

r

++

=

cos21

cos1)(cos

2 rr

r

++

+= (2.12)

Se observ ca

>

r (nul n afara cercului unitar) dect in cazul 1


4

O funcie de transfer cu toate zerourile in afara cercului de raz unitate se va numi de faza maxim.

O proprietate remarcabil a filtrelor RFI, nentlnit in cazul filtrelor analogice cu constante concentrate, const in posibilitatea realizrii unor filtre cu faz absolut liniar. Dat fiind importana acestui tip de filtre, ne vom concentra atenia asupra lor.

2.1.2. Filtre cu faz liniar

Funcia de transfer poate fi scris sub forma

)()()( jjj eeHeH = (2.14)

Trecerile prin zero ale funciei de transfer conduc la salturi de faz de , aa nct ( ) are discontinuiti in aceste puncte. Din acest motiv vom prefera o alta form:

)(0)( )()()( jjjj eHeeHeH == (2.15)

n care ( )0H este o funcie real, pozitiv sau negativ, numit funcie de faza nul, iar ( ) este o funcie continu.

Dorim sa realizm un filtru avnd un timp de ntrziere de grup constant n toat banda de frecvene [ ] , . Sunt posibile dou variante : A. Caracteristica de faza este liniara, cu trecere prin origine, =)( (2.16) aa nct timpul de ntrziere de grup normat este

==d

dtg

)()( (2.17)

Aceasta conduce la

j

n

jnj eHenheH

=

== )()()( 01

0

(2.18)

Vom egala prile reale i imaginare :

( )

=

=1

00 sin)(sin

n

nnhH

( )

=

=1

00 cos)(cos

n

nnhH (2.19)

aa nct


5

( )

=

=

=

=

+==

1

1

1

11

0

1

0

cos)(0

sin)(

cos)(

sin)(

tg

n

n

n

n

nnhh

nnh

nnh

nnh

(2.20)

Dac am impune ca faza s fie nul, 0= , ar rezulta

[ ]

=

=1

1

,pentru,0sin)(

n

nnh (2.21)

ceea ce conduce la

1,...,1,0)( == nnh (2.22)

i funcia de transfer s-ar reduce la constanta )0()( hzH = . Excludem deci aceast situaie si rmne :

=

=

=1

0

1

0

cossin)(sincos)(

n

n

nnhnnh (2.23)

sau

=

=1

0

0)sin()(

n

nnh (2.24)

Se poate uor verifica faptul ca relaia de mai sus este ndeplinit dac :

2

1=

(2.25)

i

1,...,1,0,)1()( == nnhnh (2.26) ntr-adevr, izolnd orice pereche de termeni ai sumei (2.24) simetrici n raport cu

centrul sumei, obinem

( ) ( ) 012

1sin1

2

1sin =

++

+

n

nhn

nh

Dac N este impar, mai rmne un termen central,

02

1sin

2

1=

h

Prima din cele dou condiii, 2.25, arat c pentru un dat, valoarea timpului de ntrziere de grup pentru un asemenea filtru este bine determinat. Ea este egal cu un numr ntreg de perioade de eantionare pentru filtre de lungimi impare, i un numr ntreg de semiperioade, pentru lungimi pare.


6

A doua condiie, 2.26, impune o simetrie a coeficienilor in raport cu centrul secvenei. n figurile 3 i 4 sunt date exemple pentru impar i par.

1

B. Caracteristica de faz este o dreapt care nu mai trece prin origine:

=)( (2.27)

aa nct i n acest caz timpul de ntrziere de grup normat este constant

=)(gt (2.28)

n mod asemntor ca in cazul A, se poate arta c aceasta implic :

2

1,

2

==

)1()( nhnh = (2.29)

Constatm c de aceast dat funcia pondere trebuie s fie antisimetric. Dou asemenea exemple sunt date n figurile 5 i 6.

Fig. 4

Fig.5 Fig.6

Fig. 3

=7

0 1 2 3 4 5 6 7

axa de simetrie ( )nh

n 0 1 2 3 4 5 6 7

=6

0 1 2 3 4 5 6 7

axa de simetrie

n

( )nh

=7

0 1 2 3 4 5 6 7


n 0 1 2 3 4 5 6 7

=6

0 1 2 3 4 5 6 7


n


7

n consecin, filtrele RFI cu faza liniar se pot clasifica n 4 categorii, dup cum urmeaz:

1. Funcie de pondere simetric , )1()( nhnh = , lungime impara, 12 += P ; 2. Funcie de pondere simetric, )1()( nhnh = , lungime par, P 2= ; 3. Funcie de pondere antisimetric, )1()( nhnh = , lungime impar,

12 += P ; 4. Funcie de pondere antisimetric, )1()( nhnh = , lungime par, P 2= .

Fiecare din aceste 4 tipuri de filtre are caracteristici specifice, care l recomand sau nu pentru o anumit aplicaie. Este, in consecin, util s analizm separat funciile de transfer corespunztoare.

Filtre RFI cu faz liniar de tipul 1

n acest caz, 12 += P , deci timpul de ntrziere de grup normat este P= i are loc relaia: PnnPhnh ,...,0),2()( == (2.30) Funcia de transfer se scrie :

= +=

=

++==P

n

P

Pn

jnjPP

n

jnjnj enhePhenhenheH2

0

2

1

1

0

)()()()()( (2.31)

n ultima sum, pe care o vom nota cu S, facem o schimbare a indicelui de nsumare care s permit valorificarea relaiei de simetrie : nPm = 2

Se obine :

=

=

==1

0

)2(1

0

)2( )()2(P

n

nPjP

m

mPj enhemPhS (2.32)

nlocuind i scond in factor termenul de faz liniar ,

++=

=

=

1

0

)(1

0

)( )()()()(P

n

nPjP

n

nPjjPjenhPhenheeH

(2.33)

Se grupeaz cele dou sume i se obine

+=

=

)()cos()(2)(1

0

PhnPnheeHP

n

jPj (2.34)

n aceast relaie se face schimbarea indicelui de nsumare, nPm = i rmne :

+=

=

)(cos)(2)(1

PhmmPheeHP

m

jPj (2.35)

Cantitatea din parantez reprezint evident funcia de faz nul, care poate fi scris mai compact :

=

=P

n

nnaH0

0 cos)(')( (2.36)

unde coeficienii )(' na sunt dai de relaia :


8

=

==

0,)(

,...,1,)(2)('

nPh

PnnPhna (2.37)

Funcia de transfer n ansamblu este )()( 0

HeeH jPj = (2.38) Filtre RFI cu faz liniar de tipul 2

Deoarece n acest caz P 2= , relaia de simetrie devine )12()( nPhnh = ,

iar timpul de ntrziere de grup normat este 2

1= P

Funcia de transfer este:

=

=

=

+==1

0

1212

0

)()()()(P

n

P

Pn

jnjnP

n

jnj enhenhenheH (2.39)

n ultima sum, pe care o vom nota cu S vom face o schimbare de indice de nsumare care s permit utilizarea relaiei de simetrie, nPm = 12

=

=

==1

0

)12(1

0

)12( )()12(P

n

nPjP

m

mPj enhemPhS (2.40)

nlocuind in expresia funciei de transfer se obin succesiv:

=+=

=

= )12(

1

0

1

0

)()()( nPjP

n

jnP

n

j enhenheH

=

+=

=

=

++ 1

0

1

0

)2

1()

2

1()

2

1(

)()(P

n

P

n

PnjPnjPj

enhenhe

=

=

1

0

)2

1(

)2

1cos()(2

P

n

P

nPnhe

(2.41)

Evident, suma reprezint funcia de faz nul si vom mai efectua nc o schimbare de indice de nsumare, nPm = dup care rezult

=

=P

m

mmPhH1

0 )2

1cos()(2)( (2.42)

sau

=

=P

n

nnbH1

0 )2

1cos()(')( (2.43)

unde PnnPhnb ,...,1),(2)(' == (2.44) i n final

)()( 0)

2

1(

HeeH

Pjj

= (2.45)

Filtre RFI cu faz liniar de tipul 3


9

n acest caz, 12 += P , ).2()(si nPhnhP == Procednd asemntor ca in cazurile precedente, se gsete

=

=P

n

nncH1

0 sin)(')( (2.46)

unde PnnPhnc ,...,1),(2)(' == (2.47) i

)()()( 002

HjeeHeeeH jPjj

jPj == (2.48) Filtre RFI cu faz liniar de tipul 4 De aceast dat, P 2= , aa nct )12()( nPhnh = . Se gsete

=

=P

n

nndH1

0 )2

1sin()(')( (2.49)

unde PnnPhnd ,...,1),(2)(' == (2.50) i

)()()( 0)

2

1(

02

)2

1(

HjeeHeeeH

Pjj

jPjj

== (2.51)

Observaii

Restricii privind poziiile zerourilor Pentru oricare din cele 4 tipuri de filtre putem scrie :

)1()2()3(21 )1()2()3(...)2()1()0()( ++++++= zhzhzhzhzhhzH sau innd seama de condiia de simetrie/antisimetrie

)1()2()3(21 )0()1()2(...)2()1()0()( +++= zhzhzhzhzhhzH Pe de alt parte, evalund expresia

)0()1()2(...)2()1()0()( 12)3()2()1(1)1( hzhzhzhzhzhzHz +++= constatm c

)()( 1)1( = zHzzH (2.52)

Concluzia imediat este c dac iz este un nul al funciei de transfer, 1

iz va fi de asemenea nul. O consecin imediat o constituie faptul ca filtrele cu faza liniar nu pot fi n acelai timp filtre de faz minim sau de faz maxim.

n cazul frecvent ntlnit al filtrelor cu coeficieni reali, daca ijii erz= este un

nul, vor mai fi de asemenea nuluri i :

ijii erz

=* ; iji

i er

z =

11 ; ij

i

i er

z1)*( 1 =

(vezi Fig.7).


10

Existena unui asemenea nul conduce deci la un factor de ordinul 4 n funcia de transfer, de forma

( )( )

iiii j

i

j

i

j

i

j

i er

zer

zerzerz 11

1111 1111 (2.53)

Fig. 7

Apar urmtoarele situaii particulare:

1. Dac ,0,1 = iir , nulul se afl pe cercul unitar, ij

i ez= . n acest caz va mai

apare un zero, iji ez=* . Celelalte dou zerouri, obinute prin inversarea primelor dou,

se confund cu acestea : ( ) iiiiji zzzez === *1*1 , (Fig. 8). n consecin, rmn doar dou nuluri, care genereaz un factor de gradul doi in funcia de transfer :

( )( ) jj ezez 11 11 (2.54)

Fig. 8

2. Dac 0=i , deci exist un zero real, ii rz = , va mai exista implicit i ( )i

ir

z11 = .

Acetia genereaz de asemenea un factor de ordinul doi in funcia de transfer (Fig. 9).

iz

1iz

( ) 1iz iz

zRe

zIm

-1 1

( )( )ijij ezez 11 11 1* = ii zz

( )*1= ii zz


11

3. n fine, n cazul 1deci,sau0si1 ==== iiii zr , zeroul este egal i cu inversul i cu complex conjugatul su. El genereaz un factor de ordinul unu (Fig.10, 11)

Restricii in comportarea in domeniul frecven.

In cazul 1 expresia gsit pentru ( )0H nu presupune restricii speciale privind comportarea in domeniul frecven, aa nct poate fi utilizat pentru realizarea filtrelor trece jos (FTJ), trece sus (FTS), trece band (FTB), oprete band (FOB). Se remarc n plus c ( )0H este funcie par.

In cazul 2, se observ imediat ca ( ) 0=jeH , deci funcia de transfer are un nul la 1== jez . Aceasta nseamn un nul la frecvente nalte, aa nct acest tip de filtru nu

iz1

iz ( )

ii

rzrz

111 11

Fig. 9

Fig. 10

( ) 11 1

==

===

ii

ii

zz

zz

( )11 z

Fig. 11

( ) 11 1

==

==

ii

ii

zz

zz

( )11 + z


12

poate fi folosit pentru realizarea FTS, FOB, dar poate fi folosit pentru FTJ si FTB. i n acest caz ( )0H este funcie par.

In cazul 3, se constat c

( ) 00 =jeH i ( ) 0=jeH , ceea ce implic zerouri ale lui H(z) pentru 1=z . Caracteristica de frecven prezint zerouri att la frecvente joase ( 0= ) ct si nalte ( = ), deci nu poate fi utilizat pentru FTJ, FTS, FOB. Poate fi utilizat pentru FTB. Se constat de asemenea c ( )0H este funcie impar de Funciile de tipul 4 au evident ( ) 00 =jeH , deci 1=z este un nul al funciei ( )zH . Frecvenele joase sunt rejectate, deci acest tip nu poate fi folosit pentru realizarea de FTJ, FOB. El poate fi utilizat pentru a realiza FTS sau FTB. Si in acest caz, ( )0H este funcie impar de .

Paritatea funciei ( )0H trebuie avut n vedere in realizarea unor categorii de filtre. De exemplu difereniatorul ideal si transformatorul Hilbert necesit o funcie

( )0H impar, ceea ce presupune utilizarea tipurilor 3 sau 4.

Tipul 1: H0 funcie par i simetric fa de

- 0 2 3

( )0H

Tipul 3: H0 funcie impar i antisimetric fa de

- 0 2 3

( )0H

Tipul 2: H0 funcie par i antisimetric fa de

- 0 2 3

( )0H

Tipul 4: H0 funcie impar i simetric fa de

- 0 2 3

( )0H

Tabelul 1. Simetria funciei de faz nul H0 pentru cele 4 tipuri de filtre

T

ip

Lun

gim

e S

ecve

na

h(n

) 0(

)H

)(

Zer

ouri

obl

igat

orii

0(

)0

H

=,

()

0H

z=

Se

pot

pro

iect

a N

u se

pot

pr

oiec

ta

0=

1

z=

=

1

z=

1 N

impa

r si

met

ric

)1

()

(n

h

nh

=

()

=21 0co

s

n

nn

a

2

1

f

r c

on-

str

nger

i f

r c

on-

str

nger

i

FT

J FT

S

FT

B

FO

B

tr. H

ilbe

rt

dife

ren

iato

r

2 N

par

si

met

ric

)1

()

(n

h

nh

=

=

2

121

cos

n

nn

b

2

1

f

r c

on-

str

nger

i 0

FT

J F

TB

FTS,

FO

B

tr. H

ilbe

rt

dife

ren

iato

r

3 N

impa

r

anti

sim

etri

c

)1

()

(n

h

nh

=

02

1=

h

()

=21 1si

n

n

nn

c

2

1

2

0 0

FT

B

tr. H

ilbe

rt

dife

ren

iato

r

FTJ

FT

S

FO

B

4 N

par

an

tisi

met

ric

)1

()

(n

h

nh

=

=

2

121

sin

n

nn

d

2

1

2

0 f

r c

on-

str

nger

i

FTS

F

TB

tr

. Hil

bert

di

fere

nia

tor

FTJ

FO

B

T

abel

ul 2

. Car

acte

rist

ici s

peci

fice

pen

tru

cele

pat

ru ti

puri

de

filt

re c

u fa

z li

niar


14

Aplicaia 1. Calculai funcia de transfer a unui filtru RFI cu coeficienireali, cu faz liniar, avnd rejecii la frecvenele F1=1KHz, F2=2KHz i la frecvene nalte. Filtrul are timp de ntrziere de grup minim, iar la frecvene joase, are ctigul de 0 dB i lucreaz la frecvena de eantionare FS=8KHz. Ce tip de fltru este?

Frecvenele normate ale rejeciilor vor fi

4

2,8

111

11

==== f

F

Ff

S

, care va impune zerourile

441 1

1 implicit si

jjjezeez ===

2

2,4

122

22

==== f

F

Ff

S

, care va impune zerourile

jezjeezjj

j ===== 22

2 22 implicit si

Rejecia frecvenelor nalte nseamn n cazul unui filtru discret n timp rejecia

frecvenei 2SF , deci ==== 333 2,2

12 fF

F

fS

S

, rezultnd zeroul

12 ==jez .

Deoarece se impune ca timpul de ntrziere de grup s fie minim (deci minim) i alte restricii nu mai sunt, acestea vor fi singurele zerouri, iar funcia de transfer va fi de forma ( ) ( )( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )( )1221

13

22

21

2222

11

1

13

112

111

1121

111

11111

1

21

+++=

=++++=

==

zzzzk

zzzzzzzzzzzzk

zzzzzzzzzzkzH

Constanta k a fost introdus pentru a permite realizarea ctigului de 0 dB la

fecvene joase. Aceasta impune ca ( ) 0lg20 0 =jeH , deci ( ) 11 =H , de unde ( )2241

=k .

Ordinul filtrului este -1=5, deci =6 i desfcnd parantezele se constat simetria funciei, deci filtrul este de tipul 2, cu un timp de ntrziere de grup de 2,5TS=312,5 ms.

Exerciiu Matlab. Reprezentai ( )jeH n scar liniar i logaritmic, cu scara de frecvene etalonat n Hz.


15

2.1.3. Metode de sinteza a funciilor de transfer pentru filtre RFI

Vom prezenta in continuare 4 metode de sintez a funciilor de transfer. 1. Metoda ferestrelor. 2. Metoda eantionrii in domeniul frecven. 3. Metod bazat pe minimizarea erorii maxime. 4. Metod bazat pe minimizarea erorii ptratice (n sensul celor mai mici

ptrate).

2.1.3.1. Metoda ferestrelor

Fie funcia de transfer dorit )( jd eH . Evident, aceasta trebuie s fie o funcie

periodic in cu perioada 2 i se poate dezvolta intr-o serie Fourier :

jn

nd

jd enheH

== )()(

unde

deeHnh jnjdd )(2

1)(

= (2.55)

Pe de alt parte, filtrul numeric RFI are o funcie de transfer de forma

jn

n

j enheH

== )()(

1

0

(2.56)

Pornind de la observaia c termenii celor dou sume reprezentnd funcia dorita i funcia de transfer a filtrului sunt de aceeai form, se poate realiza o identificare a unui numr finit de termeni, 1,...,0),()( == nnhnh d (2.57)

Aceasta este echivalent cu o trunchiere a seriei )( jd eH pentru a o putea identifica cu

suma finit )( jeH . Frecvent, se dorete un filtru cu o caracteristic de faz liniar i cu o

caracteristic amplitudine frecven )( jd eH impus. Vom presupune dat i lungimea

(cel puin aproximativ) a filtrului. Decizia asupra tipului de filtru ales se ia avnd n

vedere restriciile prezente mai nainte. ntr-o sintez cu coeficieni reali, )( jd eH ndeplinete condiia de paritate:

)()( jdj

d eHeH = (2.58)

n cazurile 1 si 2, )(0 H este funcie par i se poate lua

[ ] ,,)()(0

= jdd

eHH (2.59)

care se completeaz cu factorul de faz

)()(0

2

1

d

j

j

dHeeH

= (2.60)


16

n cazul filtrelor de tip 3 sau 4, )(0jeH este o funcie impar de , aa nct se

poate lua :

( )( ) ( ]( ) [ )

=

=

00

0,,

,0,

0

j

d

j

d

deH

eH

H (2.61)

Evident, opiunea pentru aceste tipuri este justificat numai dac 0)( 0 =jd eH . Se completeaz apoi cu termenul de faz liniar,

)()(0

2

1

d

j

j

dHjeeH

= (2.62)

Dup stabilirea lui )( jd eH se face descompunerea n serie Fourier, avnd ca

rezultat secvena infinit = ,...,),( nnhd . n final, se determin coeficienii filtrului sintetizat cu ( ) ( ) 1,,0, == nnhnh d L (2.63) Aceast trunchiere a seriei Fourier este echivalent cu o nmulire a seriei cu o fereastr temporal, ( )nw , )()()( nwnhnh d= (2.64) cu proprietatea

[ ]1,0pentru,0)( = nnw (2.65) Este de ateptat ca trunchierea seriei sa conduc la anumite efecte asupra

caracteristicilor realizate. Pentru a pune in eviden acest fapt vom introduce transformatele Z { } )()(Z zHnh dd = i { })(Z)( nwzW =

nmulirea secvenelor are drept efect convoluia in planul Z, deci

)())(()()()( zHzWHnwnhnh dz

d == (2.66) Deci funcia de transfer a filtrului obinut este

{ }juC

d

evvC

dvvv

zWvH

jzH

==

=

C

1)(2

1)(

(2.67)

Fcnd schimbarea de variabil juev = si trecnd pe cercul unitar, jez = pentru a obine caracteristicile de frecven obinem

dueWeHeH ujjudj )()(

2

1)( )(

=

(2.68)

care evident nu coincide in general cu .)( jd eH In cazul sintezei filtrelor cu faz liniar, funcia fereastr va trebui s ndeplineasc condiia de simetrie )1()( nwnw = (2.69)


17

deci se poate scrie

)()( 02

1

WeeW

j

j =

(2.70)

)( jeW

Fig. 11

Aa cum se va vedea in continuare, pentru ferestrele uzuale, caracteristicile amplitudine frecven au un lob principal, centrat pe 0= si un numr lobi secundari, cu o tendin generala de descretere (Fig.11)

Efectul produs asupra caracteristicii obinute (cunoscut sub numele de efect Gibbs) se poate constata n special in zonele de tranziie rapid. n figura 12 este luat exemplul unui filtru trecejos ideal (caracteristica dorit). Se constat apariia a dou fenomene :

- Apare o band de tranziie de lrgime finit ntre banda de trecere si cea de oprire (in cazul filtrului ideal, lrgimea acestei benzi era nul). Se poate arta c lrgimea acestei benzi este cu att mai mare cu ct este mai mare lrgimea lobului principal al spectrului ferestrei.

- Apar nite ondulaii (ripluri) , att n banda de trecere ct i n cea de oprire, cu amplitudini mai mari in apropierea tranziiilor. Se poate arta c amplitudinea acestora i viteza lor de scdere este determinat de amplitudinea i viteza de scdere a lobilor secundari ai spectrului ferestrei.

)( jd eH

)( jeH Fig. 12

0


18

n concluzie, pentru a avea o banda de tranziie ct mai mic i ondulaii ct mai reduse, funcia fereastra utilizat ar trebui sa aib un lob principal ct mai ngust i lobi secundari ct mai mici. La limit, condiiile acestea ar fi ndeplinite de

)(2)( =jeW , ceea ce ar conduce evident la

)()( jjd eHeH = Acest rezultat nu are ns valoare practic, deoarece in acest caz const.1)( ==nw , pentru orice n, deci lipsete fereastra. Observaiile de mai sus conduc la o modalitate de specificare a gabaritului impus pentru ctigul sau atenuarea filtrului. Sa consideram tot cazul unui FTJ (Figura 13) Se pot preciza :

- limita superioar a benzii de trecere, t ;

- ondulaia maxim (eroarea) in banda de trecere, t ; - limita inferioar a benzii de oprire b ; - ondulaia maxim (eroarea) in banda de oprire (blocare), b .

Evident, acest mod de definire presupune ca :

[ ]ttjeH ,0pentru1)(

[ ] ,pentru)( bbjeH (2.71)

Oricare din aceste ripluri se poate exprima in dB Se mai poate indica, in loc de t , abaterea maxim a atenurii in banda de trecere :

( ) ( ) )dB(1

1lg201lg201lg20

t

tttta

+=++= (2.72)

Asemntor, in loc de b se poate specifica atenuarea minim n banda de oprire : )dB(lg20 bba = (2.73) Din multitudinea de funcii fereastr propuse n literatur, vom prezenta n continuare cteva care sunt cele mai frecvent folosite.

)( jeH

Fig. 13 t

t

+

1

1

1

b

bt


19

Fereastra dreptunghiular Se definete prin :

[ ]

=restin,0

1,0,1)(

nnwD (2.74)

i este reprezentat n figura 14. Transformata z este :

1

1

0 1

1)(

=

==

z

zzzW

n

nD (2.75)

iar spectrul e dat de

2

1sin

2sin

1

1)( 2

1

ee

eeW

j

j

jj

D

=

= (2.76)

Cum era de ateptat, avnd in vedere relaia de simetrie )1()( nwnw DD = , apare si aici termenul de faza nul

2

1sin

2sin

)(0

WD

= (2.77)

Modulul spectrului, )( jD

eW este reprezentat, pentru =8 in Fig. 15.

Fig. 14

)(nwD

1

-2 -1 0 1 -1 +1 n


20

Fig. 15

Remarcm urmtoarele puncte caracteristice :

- Pentru k2= se obin maxime principale egale cu ;

- Pentru ,dar,2

deci,22

mr

r

==

se obin anulri;

- ntre dou zerouri succesive apare cte un maxim secundar; zerourile delimiteaz lobii secundari;

- S facem o evaluare a amplitudinii primului lob secundar. Vom presupune

suficient de mare, aa nct 2

sin

variaz mult mai repede dect 2

1sin . Maximul

(in modul) se obine cnd 12

sin =

. Prima frecven la care este ndeplinit

aceast condiie, este .3

deci22

=+= S evalum raportul ntre

amplitudinea acestui lob i aceea a lobului principal.

5

12,0

3

2

2

311

)(

)(0

3

==

eW

eWj

D

j

D (2.78)

sau -13dB. Aceast valoare s-a obinut pentru suficient de mare. La valori mici ale lui , poate rezulta o valoare ceva mai mare a lobului secundar, dar pe msura ce crete, aceasta nu mai depinde de , nct poate fi considerat practic constant. Valoarea raportului de mai sus, exprimat n decibeli, este reprezentat n figura 16, pentru =29. n caracteristica rezultat a filtrului sintetizat, vor rezulta ondulaii cu amplitudinea maxim de circa 9% (-21 dB) din amplitudinea tranziiei.

22

22

0

( )jD eW


21

Fig. 16

Ferestrele Hamming

Se definesc prin relaia :

[ ]

+=

restin,0

1,01,)2

1(

2cos)1(

)(nn

nwH

(2.79)

Este de fapt o familie de ferestre, cu parametrul . Pentru 54,0= se obine fereastra Hamming propriu-zisa, iar pentru 5,0= se obine fereastra Hann (deseori, in mod impropriu numit Hanning)

Fig. 17

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

( )nwH

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

frecventa normata

Bd

jD

jD

eW

eW

)(

)(0


22

Aspectul secvenei ( )nwH este sugerat n Fig 17, pentru =45. Eantioanele de la capete (primul si ultimul) au valoarea

ww HH

cos)1()1()0( ==

Pentru lungimi mari , 12)1()0( = ww HH valoare apropiat de 0 pentru 5,0 . Termenul central (dac exist, deci dac e impar) are valoarea

12

1=

wH

Cderea abrupt la extremitile ferestrei este nlocuit cu una mai lent, avnd drept efecte, pe de o parte lrgimea lobului principal al spectrului, iar pe de alta parte, reducerea important a lobilor laterali. S justificm printr-un calcul aceste afirmaii.

)(nwH poate fi scris

)(2

1)(

2

1)()(

22

nweenweenwnw Dn

j

j

D

n

j

j

DH

= (2.80)

Pentru evaluarea spectrului vom utiliza teoremele liniaritii i deplasrii :

)(2

1)(

2

1)()(

)2

()2

(

j

D

j

j

D

jj

Dj

H eWeeWeeWeW

+

= (2.81)

unde )( jD eW este spectrul ferestrei dreptunghiulare:

2

1sin

2sin

)(

),()(

0

0

2

1

W

eWeeW

D

j

D

j

j

D

=

=

(2.82)

n consecin :

)2

(2

1

)2

(2

1

)()(

0

0

0

)2

(2

1

)2

(2

1

2

1

Wee

Wee

WeeW

D

j

j

D

j

j

D

j

j

H

+

=

+

(2.83)

dar

2

1

2

1)

2(

2

1

==

j

jj

j

j

j

eeeeee aa nct

+

+

+=

)

2(

2

1)

2(

2

1)()(

000

2

1

W

WeWeeW

DD

j

D

j

j

H

(2.84)


23

n faa parantezei s-a obinut termenul de faz liniar, aa nct cantitatea din parantez reprezint funcia de faz nul

)2

(2

1)

2(

2

1)()(

0000 W

WeWeW

DD

j

D

j

H

+

+

+= (2.85)

Aceasta funcie este reprezentat n Figura 18, cu linie continu. n aceeai figur, sunt reprezentai cu linie punctat, cei trei termeni ai sumei din relaia 2.85. Se constat :

- o dublare a limii lobului principal

8 fa de cazul ferestrei dreptunghiulare

- n cazul ferestrei Hamming propriu-zis mai apare o anulare a spectrului ntre

4

i

6, care face ca principalul lob secundar sa aib o valoare foarte redusa (circa

41dB fa de lobul principal). Spectrul e reprezentat n figura 19, pentru =29. Aceasta va conduce la ondulaii ale caracteristicii de amplitudine a filtrului realizat ce nu depesc -54dB din amplitudinea saltului.

Fig. 18

2

2

4

6

( )0H

W


24

Fig. 19

- n cazul 5,0= (fereastra Hann), amplitudinea celui mai mare lob secundar este de circa -31dB din aceea a lobului principal. Spectrul este reprezentat n figura 20, pentru =29. Ondulaiile caracteristicii de frecven sunt de circa 44 dB din amplitudinea tranziiei.

Fig. 20

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

frecventa normata

( )( )

dB0j

H

jH

eW

eW

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

frecventa normata

( )( )

dB0j

H

jH

eW

eW

PNS_-_Curs_2p1v2007-v2014

Documents

Transcript of PNS_-_Curs_2p1v2007-v2014